Моделі кінцевого стану та їх застосування в задачах аналізу і синтезу систем керування

Приведено приклади використання алгоритму (36) у випадках, коли членом можна понехтувати (приклад 1) і коли їм нехтувати не можна (приклад 2). У прикладі 1, що представляє собою нелінійну систему сьомого порядку з випадковими початковими умовами і білошумовим впливом, досягнутий дуже високий збіг оцінок дисперсії вихідної координати (порядку десятих часток відсотка) з відповідною оцінкою, отриманої методом Монте-Карло. При цьому витрати комп'ютерного часу на одержання оцінок розрізняються на два порядки на користь методу (36). Така висока точність обчислення статистичних оцінок обумовлена тим, що в прикладі 1 чотири із шести нелінійностей квадратичного типу, а математичне чекання майже збігається з детермінованим рішенням.

На прикладі 2 простої системи першого порядку з випадковою початковою умовою показаний прямий вплив кількості членів розкладання, що враховуються, на точність оцінювання . Крім того, на цьому ж прикладі, що має аналітичне рішення, отримані точне значення і верифікований алгоритм (36).

У п'ятому розділі, що іменується “ЗАСТОСУВАННЯ МЕТОДУ КІНЦЕВОГО СТАНУ”, розглянуті практичні задачі керування з електроенергетики, гідромеханіки, організаційного керування, хімічної кінетики і застосування для їхнього рішення розглянутого в третьому розділі методу кінцевого стану. Зазначені області застосування характерні частим використанням у них нелінійних описів об'єктів керування.

Зокрема, нелінійні режими характерні для опису процесів розгону і гальмування електричних машин постійного і перемінного струмів, компенсації великих стрибків навантаження, комутації електричних апаратів. Для даної області застосувань виконаний окремий огляд літератури, на основі якого виявлені як класичні, так і сучасні способи керування подібними процесами. Відзначено, що в сучасних алгоритмах керування машинами перемінного струму, що використовують принцип FOC (field oriented control), для вироблення керуючого сигналу й оцінювання невимірюваних координат використовуються математичні моделі об'єктів. При цьому, однак, розповсюджена практична реалізація принципу FOC зводиться до розв'язки каналів керування електромеханічної й електромагнітної підсистем з використанням у кожнім з каналів ПІ-регуляторів. Таким чином, дана схема використання зазначеного принципу штучно підганяється під існуючі типи регуляторів на шкоду ефективному використанню динамічних характеристик об'єкта. Застосування термінального методу кінцевого стану (МКС), описаного в розділі 3 дисертації, дозволяє вирішити задачу керованої комутації по новому. При цьому варто враховувати, що МКС призначено для керування на кінцевому інтервалі, а системи, що комутуються, функціонують тривалий час. Це визначає специфіку критеріїв МКС у частині використання як бажаних кінцевих значень фазових координат параметрів номінального режиму при включенні і нульових значеннях при відключенні. Параметри номінального режиму визначаються експериментально, комп'ютерним моделюванням або аналітично як сталі значення після включення або відключення системи. При цьому передбачається, що в системах існують стаціонарні режими без автоколивань. Аналогічний спосіб зведення нетермінальної задачі до термінального використаний і при компенсації стрибка навантаження. Розглянуто різні випадки застосування МКС: з аналітичними вираженнями для перемінних кінцевого стану і перехідних функцій; зі скалярним керуванням на одному вході і двома керованими координатами; зі скалярним керуванням, прикладеним до двох входів і трьома керованими координатами; двовимірним керуванням трьома координатами; безперервно-дискретним скалярним керуванням двома координатами; скалярним керуванням об'єктом з диференційно-алгебраїчними обмеженнями й оцінюванням координат, що не спостерігаються, за допомогою асимптотичного спостерігача Льюєнбергера. Керування розраховані для наступних електроенергетичних об'єктів: двообмоткового електромагніта постійного струму (нелінійна модель третього порядку), двигуна постійного струму (ДПС) з незалежним (нелінійна модель третього порядку), паралельним (нелінійна модель третього порядку), послідовним (нелінійна модель другого порядку) і постійним (лінійна модель третього порядку) збудженням, синхронного двигуна (нелінійна модель четвертого порядку), синхронного генератора (нелінійна диференційно-алгебраїчна модель з п'яти диференціальних і п'яти алгебраїчних рівнянь). Цілями керування були: для електромагніта - включення і відключення за мінімальний час; для двигунів постійного струму - розгін (для ДПС із незалежним збудженням - і гальмування) за мінімальний час; для синхронного двигуна - розгін за мінімальний чи заданий час при максимальному обертаючому моменті; для синхронного генератора - компенсація багаторазового накиду навантаження за мінімальний час. При цьому для обмеження пікових значень струмів на МКС-керування накладалися амплітудні обмеження. В усіх випадках, крім керування синхронним двигуном, перехідні процеси для МКС-керування порівнювалися з перехідними процесами при некерованій комутації (для двигунів) і компенсації накиду навантаження (для генератора). Для синхронного ж двигуна перехідні процеси для МКС-керування порівнювалися з відповідними процесами для алгоритмів керування, узятих із двох сучасних журнальних публікацій. Крім того, для синхронного двигуна досліджувалася параметрична чутливість, яка також порівнювалася з відповідними даними зі згаданих публікацій. Крім МКС-керування, для синхронного двигуна досліджувався і приводячий МКС-алгоритм (33), (34), модифікований для випадку різних порядків приводимої й еталонної моделей.

За результатами застосування МКС-керування для електроенергетичних систем зроблені висновки: мета керування у всіх випадках досягнута; кратність зменшення часу перехідних процесів МКС-комутації в порівнянні з некерованої складає 2-5 при включенні і близько 10 при відключенні при кратності збільшення пікових струмів 1,5 - 3; неузгодженість параметрів МКС-алгоритму (25) й об'єкта при керуванні синхронним двигуном не повинна бути значною (до 10%). Застосування для керування синхронним двигуном приводячого МКС-алгоритму (33),(34) додає системі керування властивості інваріантості до зміни в дуже широких межах моменту навантаження і приведеного до вала двигуна моменту інерції. При цьому майже по всіх параметрах припустимі досить великі (до 50%) неузгодженості між алгоритмом і об'єктом. Порівняння зі згаданими алгоритмами з журнальних публікацій показало, що по швидкодії й інваріантості до зміни навантаження і моменту інерції привод із МКС-керуванням краще.

Як застосування до гідромеханіки розглянута мережна гідросистема, що складається з двох ємностей різного обсягу, двох з'єднуючих і однієї підводячої труб. Поставлено задачу розрахунку напору насосів, розташованих у двох точках мережі, при яких за заданий час здійснюється прокачування води через ємності. Ця задача відображає в спрощеному виді один проект по розробці системи динамічного збереження питної води. Одна з цілей системи - періодичне відновлення води в ємностях. Традиційне керування потоками в гідросистемах мережного типу здійснюється з використанням заслінок чи вентилів. При використанні сучасних алгоритмів керування можна поставити задачу керування потоками шляхом регулювання напорів за допомогою керованих приводів напірних насосів. Модель системи, складена на основі закону Бернуллі при припущенні про абсолютну твердість стінок труб і ємностей, урахуванні їхньої шорсткості і без урахування процесів перемішування, представлена системою з 7 нелінійних диференціальних рівнянь, доповнених трьома алгебраїчними рівняннями збереження потоків. Після приведення системи до виду з адитивними впливами порядок диференціальної системи зріс до 9. Моделювання даної системи з МКС-керуванням показав, що використання двох керованих напірних насосів дозволяє одночасно обновити воду в двох ємностях, що на порядок скорочує енергетичні витрати в порівнянні з використанням одного насоса з постійним напором і без використання вентилів. Енергетичний виграш у даному випадку пояснюється тим , що при постійному напорі відновлення води в ємностях різного обсягу відбувається з різними темпами - поки одна ємність обновляється один раз, інша за цей час обновляється кілька разів.

Розглянута також одна задача організаційного керування, яка зв'язана з залученням за заданий час необхідної кількості технічних засобів для ліквідації плями нафтопродуктів, що розтікається по поверхні води. Розроблена модель такого процесу, що враховує розтікання плями за законом Фея, її саморозпад, а також її збір за допомогою механічних збирачів типу буксуємої “трос-швабри”. Отримана модель описується системою лінійних нестаціонарних диференціальних рівнянь третього порядку зі скалярним керуванням, прикладеному на двох входах. Особливістю задачі є нелінійна цільова функція критерію у виді полінома четвертого ступеня. Дана функція відображає сумарні фінансові витрати від екологічного збитку і витрат на ліквідацію плями. Результатом рішення задачі є часові графіки залучення засобів без урахування і з урахуванням перемінних у часі обмежень на їхню величину.

Остання задача, для якої застосований МКС-алгоритм, є типовою задачею хімічної кінетики. У задачі розглянута хімічна реакція в суміші з трьох речовин, метою якої є одержання за заданий час потрібної концентрації двох продуктів, а керуючим впливом - температура. Об'єкт керування описується системою нелінійних диференціальних рівнянь третього порядку з параметричним керуючим впливом. Після перетворення моделі до виду (1) порядок моделі зріс до чотирьох. Моделювання даної системи з МКС-керуванням показало, що мета керування досяжна: задані концентрації отримані навіть при деякій економії сировини. Спроба ж досягти мети керування при постійній температурі реакції виявилася безуспішної через передчасне вичерпання одного з реагентів.

У висновках приведені основні результати і висновки дисертаційної роботи, намічені перспективні області їхнього використання і напрямки розвитку.

кінцевий стан термінальний керування

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

У дисертаційній роботі запропоновані моделі кінцевого стану як засіб опису термінальних керованих систем у функціональній формі, на основі яких отримані нові алгоритми оптимального і термінального керування, коваріаційного аналізу, аналізу чутливості.

Основні наукові результати і висновки полягають у наступному:

1.Для опису термінальних динамічних систем запропоновано використовувати моделі кінцевого стану, елементами яких є матриці перехідних функцій і перемінні кінцевого стану. Зміст останніх - це прогноз кінцевого стану системи при її некерованому русі. Моделі кінцевого стану є представниками функціональних моделей, які можуть бути ідентифіковані по реєстрованим вхідним впливам і відповідному відгуку вихідних координат і є протилежністю структурних моделей, створюваних на основі використання фізичних законів і відтворюючих структуру системи. Достоїнством моделей кінцевого стану, на відміну від інших форм функціональних моделей (частотних характеристик, рядів Вольтерра, параметричних передатних функцій і ін.) є їхнє строге визначення, однорідний вид для лінійних і нелінійних систем, відомі способи переходу до еквівалентних структурних моделей. В основі побудови моделей кінцевого стану лежать формули Коші для лінійних і формула Алексєєва для нелінійних систем з диференційованими нелінійностями й адитивним керуванням.

Моделі кінцевого стану отримані для лінійних і нелінійних безперервніх систем, а також для лінійних безперервно-дискретних систем. Клас нелінійних систем включає всі системи з безперервними і диференційованими нелінійними характеристиками й адитивним керуючим впливом. Клас безперервно-дискретних систем включає однотактні, багатотактні з довільним співвідношенням між тактами й інші системи, що можуть бути представлені лінійними моделями з розривами рішень у задані моменти часу.

2.Застосування принципу максимуму до квадратичної задачі Майера з вільним кінцем, амплітудними обмеженнями на керування і моделлю кінцевого стану дозволило редукувати дану задачу до задачі нелінійного програмування з невідомим і підлягаючим визначенню вектором кінцевого стану системи. Розмірність цієї задачі дорівнює порядку диференціальних рівнянь системи, а її елементами є елементи моделі кінцевого стану. Для особистого випадку даної задачі - керування однією координатою при скалярному обмеженому керуванні, - вирішена задача оптимального синтезу, тобто отримане явне аналітичне вираження для оптимального керування як функції поточних значень фазових координат.

3.На основі моделей кінцевого стану отримана раніше невідома функціональна форма оптимального керування для загального випадку лінійно-квадратичної задачі. Для особистого випадку цієї задачі на основі моделей кінцевого стану отримана відома з публікацій інших авторів функціональна форма, де керування має аналітичний вид, виражений через квадратури. У даному окремому випадку наукова новизна полягає в способі одержання форми. Виявлено область застосування отриманих функціональних форм для керування об'єктами, заданими як функціональними, так і структурними моделями.

4.На основі функціональної форми оптимального керування лінійно-квадратичної задачі без урахування поточного стану в критерії отриманий алгоритм розрахунку параметричної чутливості оптимального кінцевого стану. Даний алгоритм вимагає значно менших обчислень, чим в алгоритмі, отриманому традиційним способом по моделі стану.

5.На основі уявлення систем моделями кінцевого стану розроблений новий метод термінального керування - метод кінцевого стану (МКС-керування). Метод відноситься до класу методів для рішення зворотних задач динаміки і застосуємий до лінійних і нелінійних систем довільного порядку. Клас нелінійних систем включає всі системи з безперервними і диференційованими нелінійними характеристиками. Для застосування методу система попередньо приводиться до виду з адитивними керуючими впливами. Достоїнствами методу є незначні в порівнянні з методами оптимального керування нелінійними системами обчислювальні витрати і вільні параметри, що дозволяють регулювати невраховані в критерії цілі функціонування системи. Зроблено порівняння методу кінцевого стану й оптимального методу (10) з відомими методами оптимального і термінального керування на прикладі задачі переслідування рухомої цілі. Показано, що з комплексу властивостей (точності, параметричної чутливості, енергії керування, універсальності) метод кінцевого стану є найкращим серед порівнюваних методів, а метод (10) уступає методу кінцевого стану тільки по енергії керування.

МКС-керування отримане для трьох видів систем - безперервних з диференціальними обмеженнями, безперервних з диференціальними й алгебраїчними обмеженнями і лінійних безперервно-дискретних. Моделі у виді спільних систем диференціальних і алгебраїчних рівнянь часто виникають в електротехнічних, гідромеханічних і інших задачах, де використовуються закони збереження алгебраїчного виду (типу закону Кірхгоффа). Такі задачі вирішують непрямими способами - використанням штрафних функцій у критерій або диференціюванням алгебраїчних рівнянь. На основі ж моделей кінцевого стану алгебраїчні обмеження вдалося урахувати, не прибігаючи до зазначених і інших непрямих способів. Показано, що при використанні дискретного керування можливе досягнення заданого досяжного значення критерію за один такт.

6.Запропоновано алгоритми рішення задачі сигнального самонастроювання (приводимості в некласичному змісті) на основі методу кінцевого стану для випадків приводимості по кінцевому стану і приводимості на часовому інтервалі. Приведено приклади застосування алгоритмів приводимості для додання властивостей еталонних лінійних систем нелінійним системам.

7.Розроблено алгоритми коваріаційного аналізу нелінійних систем із гладкими нелінійними характеристиками й адитивним вхідним впливом типу білого шуму у функціональній і структурній формах. Функціональна форма має вид змішаної системи диференціальних і кінцево-різницевих рівнянь. Структурна форма, яка отримана межевим переходом кінцево-різницевих рівнянь структурної форми до диференціальних, є узагальненням відомих рівнянь Дункана, де як матриця системи використовується якобіан відповідної детермінованої системи. Отримані форми містять додаткові члени у вигляді невідомих прямої і транспонованої матриць коваріацій між вектором станів і сумами нелінійних членів тейлоровських розкладань функцій правих частин рівнянь структурної моделі системи. Показано, що в багатьох випадках додатковим членом можна понехтувати. Для тих же випадків, коли вплив додаткового члена визначальний, запропонований підхід для його оцінки. Приведено приклади застосування методу для випадків неврахування й урахування додаткових членів і порівняння з методами Монте-Карло, статистичної лінеаризації, точним рішенням.

8.Отримано МКС-керування для ряду застосувань - комутації електроенергетичних установок (електромагніта, електродвигунів різних типів), компенсації накиду навантаження в синхронному електрогенераторі, керування насосами в системі динамічного збереження питної води, залучення необхідних технічних засобів при ліквідації нафтових плям, керування переслідуванням рухомої цілі, керування температурним режимом хімічного реактору. Задачі керування в перерахованих додатках мають різні особливості, що проявилися в алгоритмах МКС-керування: скалярні і векторні керування, скалярний і векторний керований вихід, використання асимптотичного спостерігача для оцінки координат, термінальні квадратичні і неквадратичні критерії, диференційно-алгебраїчні обмеження, безперервно-дискретні керування.

11.Моделі кінцевого стану є дуже корисним і перспективним інструментом для дослідження і проектування динамічних систем досить широкого класу. На основі застосування цих моделей отримані ефективні методи аналізу і синтезу систем. Подальші перспективи застосування даного апарата зв'язані з розширенням області застосування моделей на нелінійні системи з недиференційованими і розривними характеристиками, нелінійні безперервно-дискретні системи, системи з запізнюванням і інші. Для розширення області практичного використання МКС-керування необхідно, насамперед, вирішити задачу ідентифікації нелінійних перехідних матриць і перемінних кінцевого стану за даними спостережень. Становить інтерес також задача дослідження зв'язку бажаного поводження різних критеріальних функцій з мінімально досяжними значеннями критеріїв, рішення задач оптимального керування шляхом пошуку оптимальних критеріальних функцій.

ОСНОВНІ ПУБЛІКАЦІЇ ПО ТЕМІ ДИСЕРТАЦІЇ

Шушляпин Е.А. Об эквивалентности кусочно - постоянного управления с известным числом переключений и произвольного амплитудно-ограниченного управления в терминальной задаче для линейной нестационарной системы / Е.А.Шушляпин // Динамические системы: Межвед. науч. сб.- Киев: Вища школа, 1988. - №7. - С.78-84.(англ.перевод Shushlyapin E.A. On the equivalence of piece-constant control with a known number of switchings and arbitrary amplitude bounded control in a terminal problem for a linear nonstationary system / Е.А. Shushlyapin // Journal of Soviet Mathematics.- New York:Plenum, 1993.-v.65, №2.-P.1550-1554.)

Шушляпин Е.А. Оптимальное ограниченное управление линейной нестационарной системой управления конечным положением /Е.А.Шушляпин // Динамические системы: Межвед. науч. сб.- Киев: Либiдь, 1994. - №13. - С.36-39.(англ.перевод Shushlyapin E.A. Optimal constrained control of a linear non-stationary end-position control system / Е.А. Shushlyapin // Journal of Mathematics Science.- New York:Plenum, 1996.-v.82, №3.-P.3425-3427.)

Шушляпин Е.А. Синтез линейных и нелинейных систем управления конечным положением на основе моделей конечного состояния / Е.А.Шушляпин // Проблемы управления и информатики. - 1997. - №3.-С.10-15.

Шушляпин Е.А. Оптимальное управление нестационарными линейными терминальными системами по модели конечного состояния / Е.А.Шушляпин // Вестник СевГТУ: сб. науч. тр; Севастоп. гос. техн. ун-т. - Севастополь: 1998. - №14. - С.34-38.

Шушляпин Е.А. Об одном подходе к синтезу нелинейных систем управления / Е.А.Шушляпин // Динамические системы: Межвед. науч. сб.- Симферополь: Изд. Симфер. гос. ун-та, 1998. - №14. - С.44-50. (англ.перевод Shushlyapin E.A. An Approach to the Design of Nonlinear Control System / Е.А. Shushlyapin // Journal of Mathematics Science.- New York:Plenum, 2001.-v.103, №1.-P.34-37.)

Шушляпин Е.А. Синтез управления переходными процессами в нелинейных системах электропривода / Е.А.Шушляпин, Л.Н.Канов // Радиоэлектроника, информатика, управление.-1999.-№1.-С.136-140.

Канов Л.Н. Терминальное управление процессами коммутации двухобмоточных электромагнитов постоянного тока / Л.Н.Канов, Е.А.Шушляпин // Оптимизация технологических процессов: сб. науч. тр.; Севастоп. гос. техн. ун-т. - Севастополь: 1999. - №1. - С.102-107.

Шушляпин Е.А. Альтернативная форма оптимального управления для линейно-квадратической задачи / Е.А.Шушляпин // Динамические системы: Межвед. науч. сб.- Симферополь: КФТ, 1999. - №15. - С.19-24.(англ.перевод Shushlyapin E.A. Alternative Form of Optimal Control for the Linear-Quadratic Problem / Е.А. Shushlyapin // Journal of Mathematics Science.- New York:Plenum, 2001.-v.103, №2.-P.154-157.)

Канов Л.Н. Терминальное управление динамикой синхронного электродвигателя / Л.Н.Канов, Е.А.Шушляпин // Оптимизация технологических процессов: сб. науч. тр.; Севастоп. гос. техн. ун-т. - Севастополь: 1999. - №2. - С.96-102.

Шушляпин Е.А. Модели конечного состояния для непрерывно - дискретных систем / Е.А.Шушляпин, Л.Н.Канов // Радиоэлектроника, информатика, управление.-1999.-№2.-С.129-132.

Шушляпин Е.А. Синтез терминального управления методом конечного состояния / Е.А.Шушляпин, Л.Н.Канов // Известия вузов “Электромеханика”. - 2000. - №1. - С.72-75.

Шушляпин Е.А. Статистический анализ динамических систем на основе моделей конечного состояния / Е.А.Шушляпин // Труды Международной конференции по автоматическому управлению “Автоматика-2000”, Т.2.-Львов: 2000.-С.234-238. - (Госуд. НИИ информационной инфраструктуры)

Шушляпин Е.А. Терминальное управление системами с дифференциально - алгебраическими ограничениями методом конечного состояния // Радиоэлектроника, информатика, управление.-2000.-№1.-С.166-172.

Шушляпин Е.А., Канов Л.Н. Синтез терминального управления непрерывно - дискретными системами методом конечного состояния // Е.А.Шушляпин, Л.Н.Канов // Динамические системы: Межвед. науч. сб.; Симф.гос.ун-т. - Симферополь: 2000. - №16. - С.21-27.

Шушляпин Е.А. О параметрической чувствительности в линейно-квадратической задаче / Е.А.Шушляпин // Вестник СевГТУ “Автоматизация процессов и управление”; Севаст.гос.техн.ун-т.- Севастополь, 2000.-Вып.27, С.20-25.

Шушляпин Е.А. Модели конечного состояния и их применение для анализа и синтеза систем управления / Е.А.Шушляпин // Оптимизация технологических процессов: сб. науч. тр.; Севастоп. гос. техн. ун-т. - Севастополь: 2001. - №4. - С.41-45.

Шушляпин Е.А. Управление температурным режимом химического реактора методом конечных состояний // Е.А.Шушляпин, Л.Н.Канов // Вестник СевГТУ “Информатика, электроника, связь”; Севаст.гос.техн.ун-т.- Севастополь, 2001.-Вып.32, С.49-54.

Шушляпин Е.А. Интегрированные модели и управление в задаче очистки загрязненной акватории / Е.А.Шушляпин // Морской гидрофизический журнал.-2001.-№4.-С.72-79.

Шушляпин Е.А. Применение моделей конечного состояния в неклассической задаче приводимости систем / Е.А.Шушляпин // Вестник СевГТУ “Информатика, электроника, связь”; Севаст.гос.техн.ун-т.- Севастополь, 2002.-Вып.38, С.25-32.

Шушляпин Е.А. Терминальное управление возбуждением синхронного генератора методом конечных состояний / Е.А.Шушляпин, Л.Н.Канов // Известия вузов “Электромеханика”. - 2002. - №2. - С.69-72.

Шушляпин Е.А. Исследование и оценка ковариаций между вектором состояния и нелинейными членами тейлоровских разложений функций правых частей в обобщенном методе Дункана для ковариационного анализа систем с дифференцируемыми нелинейностями / Е.А.Шушляпин // Вестник СевГТУ “Автоматизация процессов и управление”; Севаст.гос.техн.ун-т.- Севастополь, 2002.-Вып.36, С.7-16.

Шушляпин Е.А. Сравнительный анализ алгоритмов оптимального и терминального управления на примере задачи преследования движущейся цели / Е.А.Шушляпин // Сб.научн.трудов Сев. инст-та. ядерн. энергии и промышл.- Севастополь, 2002.-Вып.6, С.178-184.

Шушляпин Е.А. Ковариационный анализ динамических систем с дифференцируемыми нелинейностями / Е.А.Шушляпин // Динамические системы: межвед. науч. сб.; Симф.гос.ун-т. - Симферополь: 2002. - №17. - С.3-11.

Шушляпин Е.А.Синтез управления с обратной связью в терминальных нестационарных системах / Е.А.Шушляпин // Тез. докл. респ. науч.-техн. конф. “Методологические проблемы автоматизированного проектирования и исследования систем”.-Севастополь, 1987.-С.63.

Шушляпин Е.А. Об одном подходе к синтезу нелинейных систем управления / Е.А.Шушляпин // Тез. докл. 3-й укр. конф. по автоматическому управлению “Автоматика-96”.-К.:1996, С.49-50.

Шушляпин Е.А. Модели конечного состояния для описания терминальных управляемых систем /Е.А.Шушляпин // Тез. докл. 3-й Междунар. конф. “Дифференциальные уравнения и их применение”; СПб гос.техн.ун-т.-СПб:2000, С.203.

Размещено на Allbest.ru