Зрівноваження і віброзахист роторів пасивними автобалансирами

Размещено на http://www.allbest.ru/

Національний технічний університет України

“Київський політехнічний інститут”

УДК 62-752+62-755

Зрівноваження і віброзахист роторів пасивними автобалансирами

Спеціальність 05.02.09 - Динаміка та міцність машин

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

Філімоніхін Геннадій Борисович

Київ 2005

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана на кафедрі динаміки та міцності машин і опору матеріалів Національного технічного університету України "Київський політехнічний інститут", і на кафедрі деталей машин та прикладної механіки Кіровоградського національного технічного університету.

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор Бобир Микола Іванович, Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", директор механіко-машинобудівного інституту.

Офіційні опоненти: доктор технічних наук, професор, Гайдайчук Віктор Васильович, Київський національний університет будівництва і архітектури, завідувач кафедри теоретичної механіки;

доктор технічних наук, професор, Дубенець Віталій Георгійович, Чернігівський державний технологічний університет, завідувач кафедри прикладної механіки;

доктор технічних наук, професор Хільчевський Володимир Васильович, Національний технічний університет України "Київський політехнічний інститут", професор кафедри лазерної технології конструювання машин та матеріалознавства.

Провідна установа: Національний університет “Львівська політехніка”, Міністерство освіти і науки України, м. Львів.

Захист відбудеться 26 квітня 2005 р. о 15⁰⁰ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д.26.002.01 при Національному технічному університеті України “Київський політехнічний інститут” за адресою: 03056, м. Київ-56, проспект Перемоги, 37, корпус 1, ауд. 166.

З дисертацією можна ознайомитися у науковій бібліотеці Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут” за адресою: 03056, м. Київ-56, проспект Перемоги, 37.

Автореферат розісланий 22 березня 2005 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради доктор технічних наук, доцент О.О. Боронко

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Для зрівноважування і віброзахисту на ходу швидкісних роторів, чий дисбаланс змінюється при експлуатації - шпинделів верстатів, автомобільних і авіаколес, колінчастих валів, абразивних кругів шліфувальних верстатів, дисків ручних шліфувальних машин, екстракторів, центрифуг, сепараторів відцентрових машин, CD і DVD дисків, тощо використовуються пасивні автобалансувальні пристрої (АБП). Це так званні класичні АБП: з твердими коригувальними вантажами (КВ) - маятникові, кільцеві, кульові, тощо; рідинні і комбіновані. Вони працюють за подібною схемою. Їх КВ чи рідина на певних швидкостях обертання ротора з часом самі приходять у положення, у якому усувають чи зменшують дисбаланс ротора, і далі обертаються з ним як одне ціле, поки не почне мінятися дисбаланс, або не з'являться збурення іншого походження.

Пасивні АБП прості і дешеві у виготовленні, надійні в роботі. Але у цього метода є принципові технічні недоліки. Так, КВ, чи рідина навіть при зрівноваженому роторі, тиснуть із значними силами на вал, ротор, бігову доріжку, тощо, що значно знижує якість зрівноваження ротора, особливо на великих швидкостях обертання. Також КВ і рідина у класичних АБП чутливі до зміни швидкості обертання ротора, можуть вносити під час розгону ротора додатковий дисбаланс, тощо.

Не вирішено багато фундаментальних проблем і у загальній теорії пасивних АБП, призначеній відповідати на питання, як і чим зрівноважувати і захищати від вібрацій різні гнучкі і жорсткі ротори. Вони, зокрема, наступні.

1. Не з'ясовано, чи є інші методи автобалансування і віброзахисту роторів АБП з твердими КВ, відмінні від відомого - класичного, і взагалі, за яких умов тверді КВ можуть зрівноважити ротор у певній площині корекції.

2. Існуючі методи визначення умов настання автобалансування, зокрема визначення критичних швидкостей (при переході через які настає чи втрачається автобалансування) застосовуються тільки для конкретного типу АБП і ротора, і тому одержані результати носять частинний характер. Їх важко застосовувати до систем з багатьма КВ, бо кожен КВ збільшує сумарну ступінь вільності системи.

3. Як наслідок, основні дослідження були проведені для двохкульових АБП, причому з різною глибиною, що залежить від складності руху ротора (його ступенів вільності). Майже не досліджені класичні АБП з багатьма КВ. Не з'ясовано, як зрівноважувати пасивними АБП гнучкі ротори.

І під кінець є принципові недоліки у методологічному підході до дослідження процесу зрівноваження і віброзахисту певного типу ротора певним типом пасивного АБП. До них відносяться, зокрема, наступні.

1. При дослідженні динаміки ротора з АБП виділяються тільки ті усталені рухи, у яких КВ припиняють рух щодо ротора. При цьому не з'ясовано, а чи є інші усталені рухи, і якщо є, то як вони впливають на процес зрівноваження і віброзахисту ротора і на умови настання автобалансування.

2. Прийнято вважати, що критичні швидкості системи ротор-АБП, знайдені у найнижчому наближенні (коли маса КВ набагато менша маси ротора), достатньо близькі до дійсних критичних швидкостей, а наступні наближення можуть тільки уточнити величини критичних швидкостей, причому їх кількість не зміниться. Проте є експерименти і числові дослідження, які спростовують ці припущення, але аналітично це не досліджено.

Вказані технічні недоліки класичного методу зрівноваження і віброзахисту роторів пасивними АБП, та істотна неповнота теорії стосуються найбільш загальних, фундаментальних питань з зрівноваження і віброзахисту роторів пасивними АБП, що безумовно стримує розробку, експлуатацію і розширення областей застосування цих пристроїв. Тому надолуження цієї неповноти є актуальною науковою проблемою.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота відповідає темі наукових досліджень КНТУ “Зрівноваження обертових тіл пасивними автобалансирами” (Держ. реєстр. № 0103V006103 від 01.03 - 40.Д103), та державній цільовій програмі № 062 "Програма виробництва технологічних комплексів, машин та обладнання для агропромислового комплексу" на 1998-2005 р.р. (постанова Кабінету Міністрів України від 30 березня 1998 р. №403, та від 11 квітня 2001 р. № 350).

Метою роботи є: розробити нові методи зрівноваження і віброзахисту роторів пасивними АБП з твердими КВ; розробити метод визначення умов настання автобалансування, придатний для будь-якої роторної системи, та АБП; визначити з його допомогою критичні швидкості різних роторних систем; визначити межі застосування методу шляхом поглибленого теоретико-експериментального дослідження динаміки певних типів АБП.

Задачі досліджень:

1. Розробити нові методи зрівноваження і віброзахисту роторів пасивними АБП з твердими КВ, зокрема: визначити умови, за яких тверді КВ можуть зрівноважувати ротор у певній площині корекції; встановити інші методи автобалансування і віброзахисту роторів, відмінні від відомого - класичного.

2. Розробити фізично обґрунтований метод визначення умов настання автобалансування, зокрема, критичних швидкостей, придатний для будь-якої роторної системи і будь-якого типу АБП. Визначити межі його застосування.

3. За допомогою розробленого метода дослідити критичні швидкості і особливості зрівноваження жорстких роторів в залежності від їх масо-інерційних характеристик, способу закріплення, місця встановлення АБП, тощо. Визначити умови зрівноваження пасивними АБП гнучких роторів. Порівняти одержані результати з відомими.

4. Розробити єдиний методологічний підхід (теоретичний та експериментальний) до поглибленого дослідження процесу зрівноваження і віброзахисту ротора певним пасивним АБП.

5. Із застосуванням розробленого підходу, у рамках моделі ротора на ізотропних опорах, який здійснює плоскопаралельний рух, теоретично дослідити процес статичного зрівноваження ротора багатокульовими (багатомаятниковими) АБП - класичним методом, та некласичним АБП - некласичним методом.

6. Експериментально перевірити результати теоретичних досліджень, зокрема виявити і дослідити усталені рухи системи, у яких КВ не припиняють рух відносно ротора, дослідити критичні швидкості системи.

Об'єктом дослідження є зрівноваження і віброзахист роторів пасивними АБП, та умови настання автобалансування.

Предметом дослідження є: методи зрівноваження і віброзахисту роторів АБП з твердими КВ; метод визначення умов настання автобалансування; критичні швидкості системи ротор-АБП у випадках зрівноваження гнучких і жорстких роторів при різному закріпленні; нові явища, якими супроводжується процес віброзахисту і зрівноваження роторів.

Наукова новизна одержаних результатів полягає у наступному:

1. Встановлено, що пасивні АБП з твердими КВ, зокрема класичні, є матеріальними системами з можливістю руху КВ принаймні навколо однієї точки на повздовжній осі вала ротора. Запропоновані: нові методи зрівноважування та віброзахисту роторів, які відрізняються схемою руху КВ відносно ротора; нові КВ, відповідні АБП.

2. Створено наближений метод визначення умов настання автобалансування, зокрема визначення критичних швидкостей системи ротор-АБП, при переході через які настає чи втрачається автобалансування. Встановлена його застосовність при скінчених силах в'язкого опору в системі.

3. Уперше для основних моделей жорсткого ротора встановлені діапазони кутових швидкостей обертання, на яких настає автобалансування при зрівноваженні ротора будь-яким пасивним АБП, встановлена оптимальна кількість і оптимальне розташування АБП при зрівноваженні гнучкого ротора, який обертається із сталою кутовою швидкістю між суміжними критичними швидкостями.

4. Розроблено новий методологічний підхід дослідження процесу зрівноваження і віброзахисту роторів пасивними АБП з твердими КВ, який, на відміну від існуючих, враховує такі явища:

наявність усталених рухів системи ротор-АБП, у яких КВ не припиняють рух відносно ротора;

істотний вплив на кількість і величини критичних швидкостей системи ротор-АБП самого АБП.

5. Для моделей ротора на ізотропних опорах, який рухається плоскопаралельно і статично зрівноважується багатокульовим (багатомаятниковим) АБП, некласичним АБП уперше аналітично виявлені і досліджені такі явища:

квазіперіодичні рухи системи ротор - АБП;

залежність кількості і величини критичних швидкостей системи ротор-АБП від положення КВ відносно ротора, дисбалансу, сил опору.

Встановлено, що вони стають істотними при малих силах опору в системі.

6. Уперше експериментально встановлено, що квазіперіодичні рухи існують тільки при дисбалансах, які АБП може зрівноважити. При малих силах опору виявлені квазіперіодичні рухи у ротора з нерухомою точкою і опорою - циліндричним шарніром при зрівноваженні ротора кульовим АБП.

Достовірність результатів досліджень. В теоретичних дослідженнях достовірність результатів обумовлена використанням: фізично обґрунтованих припущень при побудові і аналізі математичних моделей ротора й АБП; відомих методів теорій коливань, стійкості стаціонарних рухів нелінійних автономних систем, малого параметра. В експериментальних дослідженнях - використанням візуального спостереження за поведінкою системи ротор-АБП при стробоскопічному освітленні; спостереженням за (лазерним) променем, спрямованим по осі вала ротора. Теоретичні та експериментальні результати добре погоджуються між собою.

Практична цінність.

1. Розроблені методи зрівноваження і віброзахисту роторів (технічні рішення захищені патентами України), які мають переваги над відомим - класичним: забезпечують спокійний розгін і вибіг ротора; КВ нечутливі до зміни швидкості обертання ротора; КВ діють на вал, ротор і т.п. рівно з такими силами, які потрібні для зрівноваження ротора, тощо.

2. Результати роботи впроваджені на: державному підприємстві “Запорізьке машинобудівне конструкторське бюро “Прогрес” ім. академіка А.Г.Івченка”, м. Запоріжжя; ЗАТ “Ельгран”, м. Кіровоград; Кіровоградському заводі "Сегмент”; використовуються у навчальному процесі кафедри деталей машин та прикладної механіки КНТУ.

Результати роботи застосовні при виборі типу, проектуванні і розрахунку параметрів пасивних АБП, призначених для зрівноважування і віброзахисту на ходу широкого класу швидкісних жорстких і гнучких роторів.

Апробація роботи. Матеріали дисертації обговорювалися на: ХХХ-ХХХV наукових конференціях викладачів, аспірантів та співробітників КНТУ (1999-2004 р.р.); І-ому Всеукраїнському з'їзді по ТММ, (Харків, 1997); 8-ій Міжнародній конференції "Моделювання і дослідження стійкості систем", (Київ, 1997); науковому семінарі “Сучасні проблеми механіки” (під керівництвом член.-кор. НАН України А.Ф.Улітко) у Київському національному університеті ім. Тараса Шевченко, 12.01.2001 р.; 3-й Міжнародній науково-практичній конференції “Проблеми конструювання, виробництва та експлуатації сільськогосподарської техніки” (Кіровоград, 2001); Міжнародній науково-технічній та методичній конференції “Механіка машин і механізмів” (Хмельницький, 2002); 6-му Міжнародному симпозіумі Українських інженерів-механіків у Львові, (Львів, 2003); І-ій Міжнародній н.-т. конференції “Машинобудування та металообробка - 2003” (Кіровоград, 2003).

Публікації. За результатами виконаних робіт опубліковано 1 монографію, 23 статті у фахових виданнях, 2 депонованих рукописи, одержано 6 патентів України, опубліковано 5 тез науково-технічних конференцій.

Особистий внесок здобувача. Всі наукові результати в дисертаційній роботі, зокрема ті, що складають наукову новизну, одержані особисто автором. Зокрема це: умови зрівноважування ротора твердими КВ; нові КВ, нові схеми їх руху відносно ротора і відповідні методи зрівноважування і віброзахисту ротора; метод визначення умов настання автобалансування і одержані з його допомогою умови зрівноваження гнучких і жорстких роторів при різному пружному закріпленні будь-яким типом АБП; нові явища, якими супроводжується процес автобалансування, зокрема квазіперіодичні рухи. За участю та під науковим керівництвом автора досліджувалися: В.С.Сотніковим - динаміка ротора, який зрівноважується АБП-демпфером; Ю.А.Невдахою - динаміка ротора, який зрівноважується некласичним АБП, не чутливим до сил ваги. В них автору належить теоретико-експериментальний підхід з дослідження динаміки ротора з АБП, зокрема універсальний стенд і методика проведення на ньому досліджень, некласичні КВ. Також, в дослідженнях АБП-демпферів автору належать: загальна схема руху КВ - навколо точки на повздовжній осі ротора; способи здійснення сферичного руху сферичним шарніром, або заключенням КВ у сферу, а її - у сферичну порожнину ротора. В дослідженнях некласичних АБП, не чутливих до сил ваги, автору також належить схема руху КВ - прототип, у якій КВ повертається навколо повздовжньої і поперечної осей ротора.

Структура і обсяг роботи. Робота складається із вступу, шести розділів, п'яти додатків. Основний обсяг дисертації складає 321 сторінку, включаючи 62 рисунка, 13 таблиць. Список використаних літературних джерел складається з 263 найменувань. Додатки містять 21 с.

ротор зрівноваження віброзахист автобалансир

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність теми дисертаційної роботи, сформульовані мета й задачі досліджень, вказується наукова новизна, практичне значення отриманих результатів, наводяться апробація, публікації, загальна структура роботи.

У першому розділі, на підставі критичного огляду літератури з конструкції АБП і областей їх застосування, теоретичного і експериментального дослідження процесів віброзахисту і зрівноваження роторів пасивними АБП, робиться оцінка існуючого рівня теорії і практики з зазначеної галузі, обґрунтовуються мета і задачі досліджень.

Проведений огляд літератури з зазначених і суміжних областей, зокрема робіт - Ю.В. Агафонова, А.І. Артюніна, І.І. Блехмана, М.В. Василенка, І.А. Віковича, В.В. Гайдайчука, Б.І. Горбунова, О.О. Горошка, О.О. Гусарова, Ф.M. Детинка, В.Г. Дубенця, В.І. Кравченка, А.С. Кельзона, М.Е. Левита, А.І. Муйжнієка, В.П. Нестеренка, М.А. Павловського, Ю.С. Рейбаха, А.И. Ривкіна, В.П. Ройзмана, А.Я. Савченка, Б.І. Сокола, Є.В. Харченка, В.В. Хільчевського, J. Adolfsson, J.D. Alexander, Y. Araki, R.B. Bhat, P. Bцvik, J.W. Cade, C.P. Chao, J. Chung, S. Emanuelsson, A. Fesca, C. Hцgfors, C.L. Huang, C.H. Hwang, I. lnove, J. Inoue, I. Jang, M.S. Jeon, Y. Jinouchi, J.R. Kang, T. Kawaguchi, Y. Kawakami, W.D. Kim, H.O. Kwon, J.K. Lee, H.S. Lee, T. Miwa, S. Miyara, W.K. Van Moorhem, Y. Ohtsuka, J.S. Park, C. Rajalingham, S. Rakheja, D.S. Ro, S. Shimizu, C.K. Sung, K. Suzuki, C. Tan, E.L. Thearle, та інших вчених.

За оглядом конструкцій і принципів дії основних типів АБП з твердими КВ встановлено, що всі існуючі АБП з твердими КВ - кільцеві, кульові, маятникові, сегментні, тощо (класичні) зрівноважують і захищають ротор від вібрацій за методом A. Feska - центри мас КВ обертаються навколо повздовжньої осі ротора. Встановлені переваги і недоліки різних типів класичних АБП. Основним їх недоліком є дія на вал, ротор і т.п. із значними силами навіть при зрівноваженому роторі, що знижує якість балансування.

За оглядом основних робіт з теоретичного дослідження процесів віброзахисту і зрівноваження роторів пасивними АБП проаналізовані послідовність досліджень, моделі ротора і АБП, отримані результати. Встановлено, що дослідження цього процесу традиційно засновується на припущенні, що з часом рух системи ротор-АБП встановлюється, причому КВ здоганяють ротор. При цьому спостерігаються два види усталених рухів: основні - у яких ротор зрівноважений, якщо ємності АБП вистачає, або найбільше зрівноважений - якщо ні; побічні - у яких ротор розбалансований. Тому математичне визначення умов настання автобалансування зводиться до дослідження умов існування і стійкості різних усталених рухів системи ротор-АБП.

Також у дослідженнях визначаються критичні швидкості - при переході через які настає чи втрачається автобалансування. Вони визначаються у найнижчому наближенні (коли маса КВ набагато менша маси ротора) і далі вважається, що вони достатньо близькі до дійсних критичних швидкостей, а наступні наближення можуть тільки уточнити величини критичних швидкостей, причому їх кількість не зміниться.

Як наслідок, в існуючих підходах покладається, що саме ротор визначає динамічні властивості системи ротор-АБП, а обернена дія АБП на динаміку ротора майже не помітна. Проте є експерименти і числові дослідження, які спростовують ці припущення. Так, можливі режими руху, у яких КВ не можуть догнати ротор, автобалансування може не наставати на швидкостях, значно більших за найвищу критичну швидкість обертання ротора, тощо.

Виділені три різні математичні методи досліджень, що ґрунтуються на: теорії стійкості стаціонарних рухів нелінійних автономних систем; теорії стійкості періодичних рухів нелінійних неавтономних систем; асимптотичних методах. Встановлено, що перший метод дозволив для роторів на ізотропних опорах провести дослідження із найбільшою глибиною. Встановлено, що застосування методів значно ускладнюється із зростанням кількості КВ, чи кількості ступенів вільності ротора.

За оглядом основних робіт з експериментального дослідження процесів віброзахисту і зрівноваження роторів виділені і оцінені різні методи експериментальних досліджень і результати, одержані з їх допомогою. Встановлено, що задачі досліджень можна умовно поділити на дві групи: загального спрямування - з дослідження узагальнених роторних систем (жорстких і гнучких роторів при різному закріпленні); спеціального спрямування - з дослідження динаміки конкретних типів роторних машин (ручних шліфувальних машин, шліфувальних верстатів, CD/DVD приладів, тощо). Дослідження першої групи спрямовані на: перевірку теоретичних результатів і положень; дослідження режимів і явищ, які важко досліджувати теоретично (розгін і вибіг ротора, реакція системи на різні збурення, тощо).

За результатами оглядів сформульовані мета і задачі досліджень.

У другому розділі розроблені нові методи зрівноваження і віброзахисту роторів АБП з твердими КВ, зокрема визначені: умови, при виконанні яких АТТ може зрівноважити ротор у певній площині корекції; нові схеми зрівноваження і віброзахисту роторів твердими КВ, відповідні конструкції АБП.

У класичній схемі зрівноваження і віброзахисту ротора (A. Feska) КВ повертається навколо повздовжньої осі ротора. Для виявлення нових можливих схем розглянута більш загальна задача.

Аналізом диференціальних рівнянь руху АТТ навколо рухомої точки встановлено, що АТТ з нерухомою точкою на повздовжній осі ротора здатне зрівноважити ротор у площині, що проходить через цю точку і перпендикулярна до осі при наступних характеристиках АТТ відносно головних осей , , , що виходять із цієї точки:



I=A, I=I=B, l=(0,0,- l)^т, (1)

де: I, I, I - осьові моменти інерції КВ; l - радіус-вектор центра мас КВ відносно точки підвісу; т - знак транспонування.

У частинному випадку осьові моменти інерції можуть бути рівними

I=I=I=A, l=(0,0,- l)^т. (2)

Табл. 1

Методи віброзахисту і зрівноваження роторів

№ п.п.	Метод - вид руху КВ відносно ротора	Позначення
1	Класичний A. Feska - КВ обертаються навколо повздовжньої осі ротора	К1
2	Класичний із в'язями - КВ попарно обертаються навколо повздовжньої осі ротора на рівні кути у протилежні боки	К2
3	Некласичний - КВ обертаються навколо поперечних осей ротора	Н1
4	Некласичний - КВ обертаються навколо повздовжньої і поперечної осей ротора	Н2
5	Некласичний - КВ обертаються навколо двох непаралельних осей, які не є повздовжніми осями ротора	Н3
6	Некласичний - КВ обертаються навколо точки на повздовжній осі ротора ()	Н4

Встановлені переваги і недоліки різних методів. Загальною перевагою нових методів є: тиск КВ на ротор, осі і т.п. рівно з такою силою, яка потрібна для зрівноваження ротора (рис. 3); у вертикально розташованому роторі КВ під час пуску і гальмування ротора прямують до нейтрального положення (центри мас прямують до осі обертання), що робить ці процеси спокійними.

Встановлено, що основною відмінністю одного класичного АБП від іншого є вид КВ, що застосовуються у пристрої. Тому вони діляться на кульові, роликові, маятникові, кільцеві і сегментні. Некласичні АБП запропоновано розрізняти за видом руху КВ відносно ротора.

Метод A.Feska ефективно застосовувати, коли усередині ротора немає вільного місця і треба, щоб АБП охоплював його зовні, або коли вільне місце близьке за формою до відносно плоского циліндра. Некласичні методи ефективно застосовувати, коли усередині ротора є вільне місце, яке технологічно не застосовується і близьке за формою до високого циліндра (порожні шпинделі, вали, ротори електродвигунів; різноманітні екстрактори, центрифуги, сепаратори, тощо).

У третьому розділі розроблений метод визначення умов настання автобалансування, придатний для будь-яких роторних систем, та для будь-яких типів пасивних АБП. Із його застосуванням знайдені умови настання автобалансування при зрівноваженні пасивними АБП жорстких роторів при різному пружному закріпленні, та гнучких роторів.

Метод визначення умов настання автобалансування ґрунтується на двох фізично обґрунтованих критеріях.

Критерій настання автобалансування: для усунення пасивним АБП з твердими КВ відхилення деякої точки поздовжньої осі ротора від осі обертання, чи для зменшення цього відхилення рідинним АБП необхідно і достатньо, щоб ця точка під дією дисбалансу, у ній прикладеного, у середньому за один оберт ротора, відхилялася протилежно вектору дисбалансу.

Математично критерій можна записати так

, (3)

де: - кут повороту ротора; t - час; - стала кутова швидкість обертання ротора; - одиничний вектор, спрямований по вектору дисбалансу, як функція (t); - вектор відхилення точки А вала від осі обертання, викликаний статичним дисбалансом, прикладеним у точці А, як функція (t).



Критерій застосовується у такій послідовності:

зрівноваженому ротору надається у певній точці A на його повздовжній осі, через яку буде проходити площина корекції АБП, елементарний дисбаланс, створений елементарною масою, встановленою на відстані, яка значно перевищує відхилення вала від осі обертання у цій точці, складаються диференціальні рівняння руху системи;

визначається закон усталеного руху цієї точки, викликаний елементарним дисбалансом;

із застосуванням критерію (3) визначається алгебраїчна умова настання автобалансування, яка зв'язує параметри системи і кутову швидкість обертання ротора;

із алгебраїчної умови визначаються критичні швидкості - швидкості, при переході через які настає чи втрачається автобалансування.

Критерій стійкості основного руху: для стійкості основного руху системи ротор-АБП необхідно і достатньо, щоб точка на повздовжній осі ротора, яка знаходиться у площині корекції АБП, під дією елементарного дисбалансу, викликаного відхиленням КВ чи КМ від основного руху, відхилялася від основного руху у середньому за один оберт ротора, протилежно вектору елементарного дисбалансу:

, (4)

де - відхилення у русі точки A від закону , викликане елементарним дисбалансом.

Критерій застосовується у такій послідовності:

КВ чи КМ і ротор у основному русі розглядаються як жорстке ціле, у площині корекції АБП ротору надається елементарний дисбаланс, створений елементарною масою, встановленою на відстані, яка значно перевищує відхилення вала від осі обертання у цій точці, складаються диференціальні рівняння руху системи;

визначається закон усталеного руху цієї точки, викликаний елементарним дисбалансом;

із застосуванням критерію (4) визначається алгебраїчна умова настання автобалансування, яка зв'язує параметри системи і кутову швидкість обертання ротора;

із алгебраїчної умови визначаються критичні швидкості - швидкості, при переході через які настає чи втрачається автобалансування.

Перший критерій дозволяє одержувати умови, придатні для будь-якого типу АБП. Другий критерій дозволяє врахувати тип АБП. З критичних швидкостей, отриманих другим критерієм, можна одержувати критичні швидкості, отримані першим критерієм, якщо покласти, що маса КВ значно менша маси ротора.

У п. 3.2, із застосуванням критеріїв, знайдені діапазони швидкостей, на яких настає автобалансування при зрівноваженні різних плоских роторних систем.

У п.п. 3.2.1 розглянутий ротор на анізотропних опорах.

При неврахуванні сил в'язкого опору в опорах (рис. 4, а) встановлено, що існують три критичні швидкості

, (5)

де , і M - маса ротора, - жорсткості опор. Автобалансування настає між першою і другою, та над третьою критичними швидкостями

. (6)



Подібний результат раніше одержувався різними авторами для двохкульового АБП і уперше розповсюджується на всі типи пасивних АБП.

При врахуванні сил в'язкого опору в опорах встановлено існування однієї - , чи трьох - критичних швидкостей, які є коренями рівняння

, (7)

де з (5), і , - коефіцієнти в'язкого опору опор. Автобалансування настає на швидкостях, які більші за єдину критичну, або між першою і другою, та над третьою критичними швидкостями. При малих силах в'язкого опору () існують три критичні швидкості

,

. (8)

Цей результат одержаний уперше.

Встановлено, що при ізотропних опорах (), не залежно від сил опору в опорах (h), існує єдина критична швидкість

. (9)

Подібний результат раніше одержувався багатьма авторами для різних класичних АБП і уперше розповсюджується на всі типи пасивних АБП.

У п.п. 3.2.2 розглянутий ротор, пружно закріплений в АТТ, яке також пружно закріплено і рухається поступально. Встановлено, що існують три критичні швидкості



, (10)

де - маса АТТ,

, (11)

і - маса ротора, - жорсткості опор тіла і ротора. Автобалансування настає між першою і другою, та над третьою критичними швидкостями.

Подібний результат раніше одержувався різними авторами для двохкульового АБП і уперше розповсюджується на всі типи пасивних АБП.

У п.п. 3.2.3 розглянутий ротор під час різання (шліфування)

Встановлено, що існує єдина критична швидкість, при перевищенні якої настає авто балансування

, (12)

де: M - маса ротора; - жорсткості опор відносно осей X, Y; f - коефіцієнт сухого тертя (шліфування, різання).

При ізотропних опорах і

. (13)

Подібний результат, тільки у випадку, коли , раніше одержувався різними авторами для двохкульового АБП. Він уперше розповсюджується на всі типи пасивних АБП, і у ньому уперше враховано, що в загальному випадку .

У п.п. 3.2.4 для розглянутих систем одержані критичні швидкості з застосуванням критерію стійкості основних рухів. При цьому враховано, що разом з ротором обертаються КВ масою , певна маса , що створює дисбаланс і припускалося, що ротор встановлений у важке тіло (корпус), масою , яке пружно закріплене і рухається поступально.

Уперше встановлене наступне правило визначення критичних швидкостей з врахуванням АБП, дисбалансу і додаткового тіла: у рівняння для визначення критичних швидкостей треба підставляти замість маси ротора сумарну масу ротора, дисбалансу, АБП і додаткового тіла:

. (14)

Використання правила проілюстровано прикладами. Зокрема одержана критична швидкість для ротора на ізотропних опорах

. (15)

Ця формула співпадає з загальновідомими формулами для визначення критичної швидкості для плоского ротора на ізотропних опорах, який зрівноважується кульовим, рідинним АБП, але узагальнює її для будь-якого АБП і дозволяє враховувати масу додаткового тіла.

У п. 3.3 одержані умови зрівноваження ротора з нерухомою точкою. Припускалося, що ротор маси М, осесиметричний з екваторіальними і полярним моментами інерції відносно центра мас відповідно А, С.

У п.п.3.3.1 розглянутий випадок, коли вал утримує сферичний шарнір і пружні опори жорсткості .

Досліджений випадок анізотропних опор (). Встановлено, що кількість критичних швидкостей, зокрема, залежить від осьових моментів інерції ротора та від положення площини корекції - переріза А.

Для довгого відносно точки О ротора () існують три критичні швидкості

, (16)

,

. (17)

Автобалансування настає між першою і другою, та над третьою критичними швидкостями.

Для сферичного відносно точки О ротора () існують дві критичні швидкості

, (18)

і автобалансування настає між цими двома швидкостями.

Для короткого відносно точки О ротора () існують дві критичні швидкості

, (19)

де з (17). Автобалансування настає між цими двома швидкостями.

Досліджений випадок ізотропних опор (, або ).

Для довгого відносно точки О ротора () існує єдина критична швидкість, при перевищенні якої настає автобалансування:

. (20)

У випадках сферичного і короткого відносно точки О ротора () не існує діапазону швидкостей, на яких настає автобалансування.

Подібні результати, тільки для двохкульового АБП, одержувалися раніше. Вони уперше розповсюджуються на всі типи пасивних АБП.

У п.п.3.3.2 розглянутий випадок, коли вал утримує циліндричний шарнір і пружна опора жорсткості (рис. 8, б). Встановлено, що існує єдина критична швидкість

, (21)

вище якої настає автобалансування. Результат отриманий уперше.

У п. 3.4 одержані умови зрівноваження ротора, який здійснює просторовий рух (рис. 9). Припускалося, що ротор маси М, осесиметричний з екваторіальними і полярним моментами інерції відносно центра мас відповідно А, С. Він встановлений на ізотропні пружні опори (рис. 9, а), або на невагомий пружний вал (рис. 9, б і інші схеми закріплення вала). Спосіб пружного закріплення ротора характеризують коефіцієнти жорсткості закріплення .

Розглянутий випадок ротора, несиметрично встановленого на пружні опори (). Встановлено наступне.

Для довгого ротора () існують три критичні швидкості

, (22)

,

. (23)

Автобалансування настає між першою і другою, та над третьою критичними швидкостями.

Для сферичного ротора () існують дві критичні швидкості

, , : , (24)

між якими настає автобалансування.

Для короткого ротора () можливі два випадки.

а) . Існують дві критичні швидкості

, (25)

де з (23), і автобалансування настає між цими швидкостями.

б) . Існує єдина критична швидкість

, (26)

де з (23), і автобалансування настає по її перевищенні.

Розглянутий випадок ротора, симетрично встановленого на пружні ізотропні опори (). В цьому випадку кількість і умови існування критичних швидкостей не зміниться, але є можливість розташування критичних швидкостей у порядку зростання у явному вигляді.

Для довгого ротора ():

: . (27)

Для сферичного ротора ():

: , . (28)

Для короткого ротора ():

а) :

; (29)

б) :

. (30)

Результати для таких просторових моделей отримані уперше. Раніше розглядався випадок зрівноваження симетрично встановленого ротора () двома двохкульовими АБП. Для спрощення задачі припускалося, що гіроскопічний момент є сталим (). Тому із всіх областей настання автобалансування була одержана тільки верхня область.

У п. 3.5 одержані умови зрівноваження гнучких роторів. На прикладі шарнірно опертого на жорсткі опори однорідного вала, довжиною l і погонною масою m (рис. 10) уперше встановлені два критерії.

Критерій оптимального розташування АБП: для забезпечення найбільшого діапазону автобалансування ротора між n-ою і (n+1)-ою критичними швидкостями необхідно встановлювати АБП у вузлах (n+1)-ої форми головних коливань ротора (рис. 10).

Критерій оптимальної кількості АБП: для забезпечення найбільш повного зрівноваження ротора між n-ою і (n+1)-ою критичними швидкостями необхідно встановити n АБП у вузлах (n+1)-ої форми головних коливань ротора.

Результати для гнучких роторів отримані уперше.

Аналізом одержаних результатів встановлено, що критичні швидкості, які одержуються із застосуванням критерію настання автобалансування, співпадають з критичними швидкостями, одержаними для конкретних типів АБП іншими наближеними методами і узагальнюють їх шляхом розповсюдження на всі типи пасивних АБП. Розроблений метод, як і інші наближені методи, ефективний тоді, коли вплив на динаміку системи ротор-АБП самого АБП неістотний, а властивості системи визначає в основному ротор. У зв'язку з цим виникає потреба у визначені меж застосування методу.

Результати, одержані у розділах 2, 3 дозволяють для основного класу роторів: обирати певний метод зрівноваження і віброзахисту і відповідний тип АБП; розраховувати основні параметри АБП; наближено визначати діапазони кутових швидкостей, у яких буде відбуватися автобалансування.

У четвертому розділі розроблений єдиний теоретико-експериментальний методологічний підхід до поглибленого дослідження процесу зрівноваження і віброзахисту роторів пасивними АБП з твердими КВ. Описані експериментальні стенди і методика проведення на них досліджень.

Теоретичні дослідження, проведені автором, уперше виявили, що можливий істотний вплив на динаміку системи ротор-АБП самого АБП. Цей вплив може проявлятися такими явищами.

1. На певному діапазоні кутових швидкостей обертання ротора існують квазіперіодичні побічні усталені рухи системи ротор-АБП. У них КВ не можуть здогнати ротор і майже рівномірно обертаються відносно землі із швидкістю, близькою до резонансної. Повздовжня вісь ротора рухається по гіпоциклоїді, що утворена прямою прецесією з частотою обертання КВ, і прямою нутацією, з частотою обертання ротора. Істотно, що області стійкості основних і квазіперіодичних рухів системи можуть перетинатися.

2. АБП може впливати на кількість і величину критичних швидкостей. Так, критична швидкість системи ротор-АБП, знайдена у найнижчому наближені (коли масою АБП нехтують), може розпадатися у наступних наближенях на непарну кількість критичних швидкостей. Величини критичних швидкості залежать від дисбалансу ротора, маси КВ, їх поточного положення, тощо.

Відповідно до цього в методологічний підхід до дослідження процесу віброзахисту і зрівноваження роторів пасивними АБП внесені наступні нові етапи: 1) дослідження квазіперіодичних рухів системи ротор-АБП; 2) уточнення величин і кількості критичних швидкостей, знайдених у найнижчому наближенні. Також змінена математична умова настання автобалансування: необхідно, щоб на робочому інтервалі кутових швидкостей обертання ротора при будь-якому допустимому дисбалансі принаймні один основний рух був стійким, а всі побічні, зокрема квазіперіодичні рухи - нестійкими, або не існували. Коли ці явища стають істотними, то спрощені підходи до визначення умов настання автобалансування - незастосовні.

Для роторів на ізотропних опорах доведена ефективність метода досліджень, що ґрунтується на теорії стійкості усталених рухів нелінійних автономних систем. Встановлені основні етапи і особливості його застосування. Показано, що метод дозволяє досліджувати і квазіперіодичні рухи системи.

Встановлені загальні задачі і послідовність експериментального дослідження процесу зрівноваження і віброзахисту ротора АБП з твердими КВ. Основними задачами є: перевірка результатів теоретичних досліджень; дослідження явищ, які важко теоретично дослідити.

Для їх розв'язання розроблений новий метод експериментальних досліджень, який використовує - відоме стробоскопічне освітлення для спостереження за рухом КВ відносно ротора, і уперше - (лазерний) промінь, спрямований по осі вала ротор для: попереднього зрівноваження ротора; визначення частоти власних коливань ротора; визначення закону його руху в різних режимах; оцінки швидкості і якості зрівноваження ротора, тощо. Розроблений метод балансування ротора по (лазерному) променю, який ґрунтується на визначенні положення головної центральної осі ротора.

Створені два стенди: універсальний стенд для дослідження динаміки різних АБП; стенд ротора з нерухомою точкою і валом, який утримується циліндричним шарніром - для дослідження динаміки кульового АБП. Сформульовані вимоги до дослідних моделей АБП. Розроблена методика проведення на стендах експериментів.

На рис. 11 показана схема універсального стенда. У його корпусі 1 маються дві ємності 2, 3. У ємності 2 установлене джерело спрямованого світла 4. Світло від джерела проходить через вузький отвір 5 у корпусі машини в ємність 3. У ній установлений ротор 6. У його корпусі так само мається вузький отвір 7. Світло через нього, один раз за повний оберт ротора, попадає в середину ротора. Цим створюється стробоскопічне освітлення. Центрифугу 6 кріплять до вала 8 двигуна 9 АБП 10 (на схемі кульовий АБП), виконані у вигляді окремих балансувальних голівок, що нагвинчуються на торець вала. У корпусі АБП виконаний співосно валу ротора різьбовий отвір 11, у який вкручується джерело лазерного світла 12. Включення двигуна і світла в ємності 2 здійснюється тумблерами “Двигун” і “Світло”. Керування швидкістю обертання двигуна здійснюється блоком керування двигуном (БКД) 13.

В двох стендах швидкість обертання ротора вимірюється цифровим тахометром ЦАТ-3М, а частоти коливань системи і проміжки часу - за допомогою лічильника імпульсів - секундоміра Elwro FPM-09. У розглядуваному стенді відносний рух КВ знімається відеокамерою і передається на ПЕОМ через плату захоплення відео AVerMedia TV Studio. Рух лазерного променя на горизонтальному екрані знімається відеокамерою і цифровим фотоапаратом Olympus С-1 ZOOM.

АБП повинен мати ємність, яка приблизно у два рази менша за найменший дисбаланс, при якому ротор починає бити по корпусу машини. Це дасть можливість вивчати зрівноваження дисбалансів, які як не перевищують, так і перевищують (до 2-х разів) балансувальну ємність АБП. Стенд дозволяє досліджувати динаміку різних АБП з мінімальним попереднім налагодженням.

Основне призначення стенда - перевірка результатів теоретичних досліджень, а саме: доведення можливості зрівноваження ротора некласичними АБП; виділення і дослідження різних усталених рухів системи ротор-АБП, зокрема квазіперіодичних; оцінка якості і швидкості зрівноваження ротора; дослідження критичних швидкостей системи, тощо. На стенді також досліджуються явища, які теоретично важко дослідити: режими розгону і вибігу ротора; реакція системи на збурення різного походження, тощо.

Він створений на базі верстату для динамічного балансування ТММ ІК. У ньому ротор 1 і кульовий АБП 2 насаджені на вал 3. На вал також насаджені диски 4, призначені для створення дисбалансів у двох площинах І-І і ІІ-ІІ , і лімби, призначені для відрахування кутів поворотів дисків. На диски встановлюються зосереджені вантажі. Вал 3 тримає рама 5, яка пружно встановлена на опори з можливістю повороту навколо точки О. Вертикальні коливання рами вимірюються за допомогою важеля 6, прикріпленого до рами і багатообертового індикатора вимірювання переміщень стрілочного типу 7. Обертання ротору надається колекторним електродвигуном, який починає працюва-ти після натискання важеля двигуна. Стробоскопічне освітлення створюється автомобільним стробоскопом. У отвір на правому торці вала ротора вкручується лазерний ліхтарик.

Основне призначення стенда - перевірка можливості зрівноваження ротора пасивним АБП (кульовим) при істотній анізотропії опор. Також визначаються різні режими руху системи, критичні швидкості, тощо.

У п'ятому розділі у рамках моделі ротора на ізотропних опорах, який рухається плоскопаралельно, теоретично досліджена динаміка багатокульових і багатомаятникових АБП. На створених стендах досліджена динаміка кульових АБП. Дослідження проводилися за методами розділу 4.

Обрана плоска модель системи ротор-АБП. У її рамках ротор - симетричний плоский диск маси М, насаджений з ексцентриситетом е на абсолютно жорсткий вал, перпендикулярний його площині. Він розташований вертикально, рухається плоскопаралельно у горизонтальній площині і обертається із сталою кутовою швидкістю . У випадку маятникового АБП (рис. 13, а) на вал ротора насаджені n маятників, масою , фізичної довжини з осьовим моментом інерції відносно осі, на яку насаджені, . У випадку кульового АБП (рис. 13, б) n куль, масою рухаються по кільцевим доріжкам радіуса , , причому кулі приймаються за матеріальні точки, або - відстані від осі вала до центра мас j-ої кулі, і осьовим моментом інерції кулі відносно її центральної осі нехтуємо.

Рух системи визначається відносно правої системи нерухомих прямокутних осей X, Y, Z. Вісь Z спрямована по осі обертання убік вектора кутової швидкості. Кут повороту ротора відраховується від додатного напряму осі X. Положення маятників (куль) визначаються аналогічно кутами . При повороті j-го маятника навколо вала на нього діє момент сил в'язкого опору , де - коефіцієнт сил в'язкого опору, - швидкість обертання маятника навколо вала відносно ротора, і штрих над величинами означає похідну за часом. При русі j-ої кулі по доріжці на неї діє сила в'язкого опору , де - коефіцієнт в'язкого опору, і - швидкість руху кулі по доріжці відносно ротора.

При нерухомому роторі вал суміщений з віссю обертання. У процесі руху вал - точка K, відхиляється від осі обертання, точки O, і на нього починають діяти оновлююча сила, і сила в'язкого опору середовища , , де: x, y - координати, що визначають положення вала щодо осей X, Y; - коефіцієнти жорсткості і демпфірування в опорах вала.

Одержані диференціальні рівняння руху системи у нерухомій системі координат у комплексному безрозмірному вигляді:

- якщо КВ різні

,

, (31)

,

, (32)

, (33)

, , ; (34)

- якщо КВ однакові ()

,

, (35)

. (36)

У рухомій системі координат, яка обертається із швидкістю

(37)

- диференціальні рівняння руху для випадку різних КВ:

; (38)

- диференціальні рівняння руху для випадку однакових КВ:

. (39)

Якщо система координат обертається синхронно з ротором (), то:

- диференціальні рівняння руху для випадку різних КВ:

,

; (40)

- диференціальні рівняння руху для випадку однакових КВ:

,

. (41)

Аналізом диференціальних рівнянь у вигляді (40), (41) встановлено, що якщо балансувальної ємності АБП вистачає для зрівноваження ротора , то система має (n-2) параметричну сім'ю основних рухів, у яких ротор зрівноважений і відсутнє відхилення вала від осі обертання

, . (42)

Також встановлено, що система має наступні усталені рухи, у яких КВ обертаються синхронно з ротором.

1) За відсутністю зовнішніх сил опору (H=0), в залежності від дисбалансу, система має два види усталених рухів.

а) За наявністю дисбалансу () виникають рухи, у яких вектори дисбалансів КВ співнапрямлені, чи протилежно напрямлені вектору дисбалансу ротора. Рухи нумеруються за допомогою n-розрядного двійкового числа (і його десяткового еквівалента)

k=k_n…k₁, , (43)

нулі у якому визначають, які КВ відхилені у важкий бік ротора, а одиниці - у легкий. Всього таких рухів до 2ⁿ, що залежить від того, однакові, чи різні КВ. При однакових КВ таких рухів ().

б) За відсутністю дисбалансу () виникають рухи, у яких вектори дисбалансів всіх КВ знаходяться на одній лінії, яка утворює з вектором дисбалансу ротора кут , де k - n-розрядне двійкове число. Ці рухи, на відміну від попередніх - одопараметричні сім'ї кутів . Всього таких сімей до 2^n-1, що пояснюється довільністю кута . При однакових КВ таких сімей - для парних, і - для непарних n.

Якщо ємності АБП вистачає для зрівноваження ротора, то всі рухи - побічні. Якщо - не вистачає, то рух k=(2ⁿ-1) - основний, а решта - побічні. У русі k=(2ⁿ-1) всі КВ відхилені у легкий бік ротора, але не можуть зрівноважити дисбаланс. Сумарний дисбаланс, який створюють КВ, визначається числом

. (44)

2) За наявністю зовнішніх сил опору (H0) система має один вид усталених рухів - аналог рухів типу а) попереднього випадку.

В них вектори дисбалансів всіх КВ знаходяться на одній лінії, яка утворює з вектором дисбалансу ротора кут . Якщо , то ці рухи існують при будь-якої швидкості обертання ротора. Якщо , то ці рухи існують на таких швидкостях обертання ротора

, (45)

. (46)

Досліджена стійкість усталених рухів. Для основних рухів встановлено, що у випадках однакових внутрішніх (безрозмірних) сил в'язкого опору (), або за їх відсутністю () стійкість сімей основних рухів цілком визначається коренями характеристичного рівняння

, (47)

, , ; (48)

;

. (49)

Його корені також визначають всі власні частоти коливань системи. Характеристичне рівняння явно не залежить від кількості КВ, а залежить від 5 безрозмірних параметрів, які на практиці мають такі межі зміни

; . (50)

У безрозмірних змінних відкрита аналогія між багатомаятниковим (багатокульовим) АБП, двохкульовим (двохмаятниковим) АБП, і АБП із зв'язаними маятниками. У цих пристроїв подібні характеристичні рівняння, що визначають стійкість основних рухів. Завдяки подібності, для кульових і маятникових АБП, уперше встановлено, що за відсутністю сил опору система ротор-АБП має одну, чи три критичні швидкості, при переході через які стійкість сім'ї основних рухів змінюється на нестійкість і навпаки. Вони є функціями вигляду , , і є монотонними відносно . Сім'я стійка над єдиною критичною швидкістю, або між першою і другою, та над третьою критичними швидкостями.

Сім'я основних рухів буде стійка незалежно від величини дисбалансу при обертанні ротора з швидкостями, більшими за , яка визначається:

- для :

; (51)

- для :

, . (52)

Додатковими дослідженнями характеристичного рівняння (47), уперше встановлено наступне.

На кількість і перші складові розкладання критичних швидкостей не впливає поява невеликих сил в'язкого опору: .

При кінцевих силах в'язкого опору система має єдину критичну швидкість, вище якої основний рух із сім'ї стає асимптотично стійким:

:

. (53)

Найменше і найбільше значення критичної швидкості

. (54)

При обертанні ротора з швидкостями, що перевищують , незалежно від дисбалансу, будь-яка сім'я основних рухів буде асимптотично стійкою.

Корені характеристичного рівняння для найбільшої кількості випадків задаються такими наближеними формулами

; ; , ; , ; , :

, ,

. (55)

, (56)

і знаки , при визначенні беруться у чотирьох різних комбінаціях. Дійсні частини коренів визначають швидкість згасання перехідних процесів в системі, а уявні частини - власні частоти коливань системи.

Досліджена стійкість побічних усталених рухів і основного руху у випадку, коли ємності КВ не вистачає для зрівноваження ротора.

У випадку однакових КВ умови стійкості побічних рухів, у яких КВ синхронно обертаються з ротором і основного руху у випадку великих дисбалансів наступні:

побічний рух (всі КВ відхилені у важкий бік ротора) може бути стійкий тільки на дорезонансних швидкостях обертання ротора (), але за умови існування, а на зарезонансних швидкостях - нестійкий;

решта стаціонарних побічних рухів завжди нестійка;

основний рух (всі КВ відхилені у легкий бік ротора і не можуть зрівноважити дисбаланс) стійкий на зарезонансних швидкостях обертання ротора принаймні у випадках, коли ефективна маса КВ набагато менша маси ротора або коли ротор швидко обертається .

Аналізом диференціальних рівнянь (39) (випадок однакових КВ) встановлено існування однопараметричних сімей періодичних побічних усталених рухів, які виникають за відсутністю дисбалансів. В них всі КВ відхилені у один бік, обертаються відносно землі із сталою кутовою швидкістю і відстають від ротора:

, . (57)

Тут - параметр, і швидкість є коренем алгебраїчного рівняння

. (58)

Встановлено, що у рівняння (58) один чи три дійсних кореня, причому:

;

: ;

: ;

, (59)

де ,

: , . (60)

При появі невеликих дисбалансів ці сім'ї породжують однопараметричні сім'ї квазіперіодичних рухів, у яких повздовжня вісь ротора рухається по гіпоциклоїді, що утворена прямою прецесією з частотою обертання КВ, і прямою нутацією, з частотою обертання ротора:

,

. (61)

Аналізом стійкості породжуючих рухів встановлено, що

серед усіх сімей квазіперіодичних рухів стійкими можуть бути рухи тільки тієї сім'ї, у якій КВ обертаються відносно землі із швидкістю, меншою за резонансну (), а решта квазіперіодичних рухів нестійка;

принаймні у випадках, коли: ; ; ; ця сім'я стійка у області власного існування ;

області стійкості квазіперіодичних і основних рухів можуть перетинатися, у зв'язку з чим необхідною умовою настання автобалансування є обертання ротора із швидкостями, більшими за .

Досліджений вигляд стійких квазіперіодичних рухів. Встановлено, що:

1) повздовжня вісь ротора рухається по гіпоциклоїді, що є сумою двох рухів - повільної прецесії і швидкої нутації відповідно з кутовими швидкостями і та амплітудами

...