Математичне моделювання аероелектродинамічних нестаціонарних процесів на основі монотонних різницевих схем

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ

ІНСТИТУТ ПРОБЛЕМ МАШИНОБУДУВАННЯ ім. А.М. ПІДГОРНОГО

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ АЕРОЕЛЕКТРОДИНАМІЧНИХ НЕСТАЦІОНАРНИХ ПРОЦЕСІВ НА ОСНОВІ МОНОТОННИХ РІЗНИЦЕВИХ СХЕМ

Ванін Віктор Антонович

01.05.02-математичне моделювання та обчислювальні методи

Харків-2005

Анотація

Ванін В.А. Математичне моделювання аероелектродинамічних нестаціонарних процесів на основі монотонних різницевих схем. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 01.05.02 - математичне моделювання та обчислювальні методи. Інститут проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України, Харків, 2005.

Дисертацію присвячено розробці і обґрунтуванню методів побудови монотонних різницевих схем з обмежувачами та ефективному використанню їх для чисельного дослідження запропонованих математичних моделей нестаціонарних аеродинамічних, електродинамічних процесів у вигляді квазілінійних гіперболічних систем диференціальних рівнянь в частинних похідних. Запропоновані функціональні рівняння та система рівнянь і побудовано їхні загальні розв'язки (L- функції), які використовуються в конструкціях монотонних різницевих схем слабкої та класичної апроксимації. Впроваджено L- модифіковані інтерполяційні поліноми Ньютона. Розроблено математичну модель багаторядної гратки жорстких профілів в трансзвуковому потоці газу на основі системи рівнянь газової динаміки (Ейлера). Виконано чисельне дослідження механізму виникнення низькочастотних аеродинамічних навантажень на профілі робочої гратки, пов'язаного з рухом ударної хвилі через систему рухомих і нерухомих граток профілів. Побудовано математичну модель аеропружної гратки профілів на основі зв'язаних систем рівнянь для газодинамічного потоку і пружних коливань профілів. Виконано чисельне дослідження умов виникнення автоколивань в системі „газ-пружні профілі” у разі імпульсного збурення закону коливань профіля гратки. Модель ізольованого пружного профілю крила використано для чисельного дослідження стійкості переходів меж зон, компактних за числом Маха, стабільних та нестабільних його аеропружних коливань в трансзвуковому потоці газу. Монотонну різницеву схему застосовано для інтегрування нестаціонарних рівнянь Максвелла, записаних у дивергентній формі. Виконано порівняння коефіцієнтів віддзеркалення імпульсу монохроматичної електромагнітної хвилі, отриманих методами моментів і запропонованим, від біперіодичної решітки стрічкових елементів. Визначено нестаціонарні резонансні властивості біперіодичної просторової решітки з ідеальними провідниками С-форми.

Ключові слова: математичне моделювання, аеропружність, багаторядні гратки профілів, біперіодичні решітки, дифракція аеродинамічних та електродинамічних хвиль, монотонні різницеві схеми, слабка і класична апроксимація.

Summary

Vanin V.A. Mathematical simulation of unsteady aero-electrodynamic processes on the basis of the monotone difference schemes. The manuscript.

The thesis is for the degree of Doctor of Sciences (tech.), specialty 01.05.02 - mathematical modeling and computational methods. - A.N.Podgorny Institute for Mechanical Engineering Problems of the National Academy of Sciences of Ukraine. --Kharkov, 2005.

The thesis is dedicated to developing and substantiating methods for constructing monotonous difference schemes with limiters, and to employing them efficiently for numerical analysis of offered mathematical models for unsteady aerodynamic and electrodynamic processes presented in the form of quasi-linear hyperbolic systems of partial derivative differential equations.

A functional equation and a set of equations have been suggested, and their general solution (L-function) has been built. They are used in constructions of monotonous difference schemes of weak and classical approximation. Newton's L-modified interpolating polynomials are presented.

A mathematical model has been developed for a multirow cascade of rigid airfoils in a transonic gas flow, which is based on a system of Euler's gas dynamic equations. Numerical analysis has been carried out for the mechanism of origin of low-frequency aerodynamic loads on the rotor cascade, which result from shock wave transport through a system of moving and fixed cascades. A mathematical model has been built for an aeroelastic blade cascade, which is based on a coupled system of equations for gas dynamic flow and airfoils elastic oscillations. Numerical analysis has been carried out for conditions of occurrence of self-excited oscillations in the “gas-elastic blades” system at impulse excitation of the law of airfoil cascade oscillation. The model of an isolated elastic airfoil is used for numerically analyzing the boundary transition stability of compact (as per Mach number) stable and unstable zones of its aeroelastic oscillations in a transonic gas flow. The monotonous difference scheme has been applied to integrate unsteady Maxwell's equations written in conservative form. The coefficients of reflection of a monochromatic electromagnetic wave impulse, which were obtained by the moment's method, were compared with the calculated ones. The reflections were from a biperiodic 3D cascade with band elements. The unsteady resonance characteristics for a biperiodic array comprising ideally conducting C-elements have been defined.

Keywords: mathematical simulation, aeroelasticity, multirow blade cascades, biperiodic arrays, diffraction of aerodynamic and electrodynamic waves, monotonous difference schemes, weak and classical approximation.

Аннотация

Ванин В.А. Математическое моделирование аэроэлектродинамических процессов на основе монотонных разностных схем. Рукопись

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 01.05.02 - математическое моделирование и вычислительные методы. Институт проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины, Харьков, 20005.

Диссертация посвящена разработке и обоснованию методов построения монотонных разностных схем с ограничителями и эффективному их использованию для численного исследования предложенных математических моделей нестационарных аэродинамических, электродинамических процессов в виде квазилинейных гиперболических систем дифференциальных уравнений в частных производных, которые допускают решения с подвижными разрывами. Рассматриваются также теоретические основы методов построения ограничительных функций.

Предложены функциональные уравнения и системы уравнений, построенные общие решения (L - функции) которых используются в конструкциях монотонных разностных схем слабой и классической аппроксимации. L - модифицированные интерполяционные полиномы Ньютона применяются при построении разностных схем с заданными неасимптотическими свойствами. Построены L - представления известных, широко применяемых в вычислительной практике ограничительных функций. Доказана теорема о монотонности оператора шага используемых разностных схем с ограничителями.

Разработана математическая модель многорядной решетки жестких профилей в трансзвуковом потоке газа на основе системы уравнений газовой динамики (уравнений Эйлера). Численно исследовано влияние значений тангенциального разворота неподвижных лопаточных аппаратов и межвенцевого зазора на величину нестационарной составляющей аэродинамической нагрузки на профили подвижной решетки. Выполнено параметрическое исследование на основе предложенных разностных схем механизма возникновения низкочастотных аэродинамических нагрузок на профили рабочей решетки. Показана его связь с движением ударной волны через систему подвижных и неподвижных решеток профилей, возникающим при достижении критической нагрузки на многорядную решетку.

Построена математическая модель аэроупругой решетки профилей на основе связанных систем уравнений для газодинамического потока и упругих колебаний профилей. С использованием разработанных монотонных разностных схем, выполнено численное исследование условий возникновения автоколебаний в системе “газ - упругие профили”. Установлены характерные режимы движения ударных волн в таких системах в зависимости от формы профиля при импульсном возмущении его закона колебаний. Показана возможность численного моделирования процесса потери устойчивости такой системы при определенном способе ее возмущения.

Модель изолированного упругого профиля крыла ЛА использована для численного исследования устойчивости перехода границы компактных, по числу Маха, зон устойчивых и неустойчивых его аэроупругих колебаний в трансзвуковом потоке газа.

Монотонная разностная схема второго порядка аппроксимации применена для интегрирования нестационарных уравнений Максвелла, записанных в дивергентной форме. Выполнено сравнение коэффициентов отражения импульса монохроматической электромагнитной волны от бипериодической решетки ленточных элементов, полученных методами моментов и предложенным. Определены нестационарные резонансные свойства бипериодической решетки из идеально проводящих С - элементов.

Ключевые слова: математическое моделирование, аэроупругость, многорядные решетки профилей, бипериодические решетки, дифракция аэродинамических и электродинамических волн, монотонные разностные схемы, слабая и классическая аппроксимация.

монотонний електродинамічний похідна

1. Загальна характеристика роботи

Актуальність теми. Математичними моделями багатьох важливих фізичних процесів є гіперболічні системи нелінійних рівнянь, які допускають розв'язки з розривами. Розвиток методів наскрізних розрахунків, що найбільш інтенсивно використовуються на сучасному етапі під час побудови розв'язків таких моделей, обумовлений теоретичними і обчислювальними проблемами. Складність таких задач полягає в тому, що для побудови чисельних моделей необхідно виходити із слабкої (інтегральної) постановки вихідної задачі. Розв'язок задачі необхідно будувати як узагальнений. Крім того, положення і характер розриву в розв'язку, як правило, апріорі невідомі. Тому виділити і відслідкувати в процесі часової еволюції пересування і взаємодію розривів розв'язку в чисельному методі не завжди можливо. Відносний успіх під час розв'язання такого типу задач (задач з розривами в розв'язку) був досягнутий при використанні схем наскрізного розрахунку. В таких схемах локалізація особливостей виконується за допомогою вмонтованих в чисельний алгоритм процедур адаптації.

Досягнутий високий рівень теоретичних і алгоритмічних розробок для названих задач пов'язано з роботами в області чисельних методів, особливо різницевих, таких авторів: Бабенка К.І., Бахвалова Н.С., Годунова С.К., Ковеня В.М., Макарова В.Л. (узагальнені розв'язки для еліптичних систем рівнянь), Марчука Г.І., Ніколаєва Є.С., Рождєственського Б.Л., Рябєнького В.С., Самарського О.А., Яненка Н.Н. Теоретичні і алгоритмічні особливості побудови різницевих схем для задач з узагальненими розв'язками наведені в серії статей Остапенка В.В. і Пінчукова В.І. Також необхідно відмітити роботи Lax P.D., Fridrichs K.O., Chakravathy S.R., Osher S., Shu C.-W., Sod G.A., Harten A., Moretti G. На глибокий зв'язок різницевих методів і методів, що ґрунтуються на ідеях Бубнова І.Г., Гальоркіна Б.Г., вказують Агошков В.І., Марчук Г.І., Флетчер К.

Задачі обчислення аеродинамічних характеристик в плоских та просторових системах лопаток, які виникають під час проектування та модернізації турбін і компресорів енергетичних пристроїв та авіаційних двигунів, отримали суттєвий розвиток в роботах Іванова М.Я., Крайка А.М. (ЦІАД, Росія), Соколовського Г.О., Гнєсіна В.І., Солодова В.Г., Приходька О.А., Єршова С.В.

Аеропружні задачі лопатевих машин в різних постановках вирішувались Самойловичем Г.С. (Росія), Гнєсіним В.І.(Україна), а також Fleeter S., Karta, Бендіксоном П., Фершингом Г. (США).

Аеропружні задачі для ізольованого профілю крила літака розглядались в роботах Mabey D.S. Jameson A., Фершинга Г.

Електродинамічні задачі в частотній області (залежність від часу у вигляді ) успішно досліджувались московською, ленінградською і харківською школами. Значний внесок в розвиток теорії дифракції електромагнітних хвиль на періодичних структурах зробили Шестопалов В.П., Кириленко А.А., Масалов С.А., Литвиненко Л.М., Просвірнін С.Л., Сіренко Ю.К., Гандель Ю.В., Третяков О.А., Свєшніков А.Г., Ільїнський А.С., Міттра Р.І. та ін. Особливо необхідно відмітити суттєвий внесок харківської школи.

Розв'язання задач електродинаміки в просторово-часовій області їхнього визначення розпочався в нашій країні з великим запізненням по відношенню до аналогічних робіт в країнах Заходу. Широко використаний там метод FDTD (finite-difference time-domain)працював на електродинамічну теорію, поставляючи результати чисельних досліджень для теоретичного та експериментального обґрунтування.

Відмітимо зв'язок наявності розривів у розв'язках окреслених задач з гіперболічністю системи рівнянь, котра використовується як математична модель фізичного процесу, що вивчається. Розриви у розв'язку також можуть породжуватись розривами в коефіцієнтах задачі, граничних або початкових умовах. Тому при визначенні порядку апроксимації, використання розгортання в ряди Тейлора є не зовсім коректним. Склалась думка, що підвищення порядку апроксимації на гладкій частині розв'язку приводить до кращого визначення його і на розривній частині. З'ясувалось, що це не завжди так.

Формулювання задачі у вигляді інтегральних співвідношень стало в таких випадках визначним. Введення поняття про узагальнений (слабкий) розв'язок (Годунов С.К., Lax P.D.) і дві його еквівалентні форми запису законів збереження становлять основу для побудови узагальнених чисельних розв'язків.

Один із можливих напрямів, який успішно розвивається новосибірською школою дослідників-обчислювачів, базується на використанні слабоапроксимуючих вихідну систему рівнянь компактних різницевих схем. Для їхньої монотонізації застосовується штучна в'язкість високого порядку дивергентності.

Необхідність дослідження моделей процесів з розривною поведінкою їхніх характеристик, що викликана як загальними властивостями оператора задачі (гіперболічність), так і наявністю розривів у інших даних задачі, приводить до актуальної наукової проблеми побудови для них ефективних математичних моделей і чисельних методів. Суть прикладної проблеми складають дослідження їхніх властивостей і чисельний аналіз задач з рухомими і нерухомими розривами в їхніх розв'язках.

Змістовними задачами з розв'язками, в яких присутні рухомі і нерухомі розриви, є задачі трансзвукового обтікання системи рядів граток жорстких або пружних профілів (однорідні або багаторядні гратки профілів), які рухаються один відносно другого, а також ізольованих пружних профілів.

Нестаціонарна поведінка електромагнітного поля в задачі дифракції на системі двоперіодичних граток із провідникових або діелектричних елементів розглядається у зв'язку з проблемою розробки нових матеріалів (метаматеріалів) з унікальними властивостями. Розподіл параметрів електромагнітного поля з великими градієнтами в малих областях, який утворюється за взаємодії електромагнітної хвилі з перепонами, можливо розглядати як розривний. Існуючі підходи базуються на квазістаціонарній постановці такої задачі.

Використання інтегральних законів збереження, як основи для математичних моделей досліджуваних процесів аеродинаміки великих швидкостей, взаємодії газу з пружними тілами і відповідних їм різницевих моделей, дозволило отримати в цих випадках задовільні чисельні результати. Окрему проблему складає необхідність узагальнення накопичених емпіричних фактів використання для наведених задач монотонізованих різницевих схем підвищеного порядку апроксимації. В таких різницевих схемах ключовим елементом є інтегровані в обчислювальну схему різні процедури монотонізації. Дослідження методів їхньої побудови, характеру структури, впливу на стійкість, апроксимацію і збіжність чисельного розв'язку являє собою актуальну математичну задачу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана автором як складова частина бюджетних тем та господарських договорів Інституту проблем машинобудування ім. А.М. Підгорного НАН України на протязі 1984-2005 рр.; б/т-№ 74 (1980-1984 рр.) “Дослідження просторових течій рідини в проточній частині енергомашин і розробка високоефективних робочих органів паротурбін, гідротурбін для ГЕС з параметрами 40-70 метрів, радіально-осьових реверсних гідромашин на середні та високі напори, комплексні гідротрансформатори”, Держ. реєстр. № 01824002757; б/т-№ 87 (1985-1988 рр.) “Розробка математичних моделей і дослідження в'язких і нестаціонарних течій рідини та газу в лопатевих системах турбомашин”, Держ. реєстр. № 01840076873; б/т-№ 104 (1989-1992 рр.) “Математичне та фізичне моделювання просторових течій рідини і газу в турбомашинах з урахуванням пружних коливань лопатевих апаратів”, Держ. реєстр. № 01890011477; б/т-№ 175 (1993-1996 рр.) “Розробка наукових основ і розвиток теорії просторових аеропружних і в'язких явищ в проточних частинах турбомашин”, Держ. реєстр. № 0194U002431; б/т-№ 14 (2001-2004 рр.) “Математичне та фізичне моделювання тривимірних нестаціонарних і в'язких турбулентних течій в турбомашинах з урахуванням коливань лопатевих апаратів”, Держ. реєстр. № 0101U003585; б/т-№ 52 (2005-2007 рр.) “Розробка наукових основ для дослідження зв'язаних задач аерогідродинаміки і пружних коливань з використанням ефективних чисельних методів і експериментальних результатів в'язких течій в турбомашинах", Держ. реєстр. № 0105U002644; г/д № 182-83, “Розробка методу розрахунку і дослідження трансзвукових течій крізь компресорні та турбінні гратки профілів”, Держ. реєстр. № 01830030586; г/д № 250-85, “Використання тривимірного методу розрахунку трансзвукової та дозвукової течії газу для розробки високоефективних компресорних вінців”, Держ. реєстр. № 01850000583; г/д № 74-87, “Чисельне дослідження аеродинамічних характеристик лопатевих апаратів при проектуванні перспективних двигунів”, Держ. реєстр. № 01870090088; г/д № 280-90, “Розробка методів обчислення стаціонарної і нестаціонарної тривимірної течії газу в вінці і ступені турбомашини”, Держ. реєстр. № 01900009450, а також теми ”Розробка ефективних обчислювальних методів для дослідження складних аеродинамічних течій в елементах літальних апаратів” (Держ. реєстр. № 098206), яку було виконано в Харківському інституті льотчиків ВПС України в 1999-2000 рр.

Мета і задачі дослідження. Метою роботи є розробка, розвиток і обґрунтування методів побудови монотонних різницевих схем з обмежувальними функціями та їхнє ефективне використання для чисельного дослідження особливостей запропонованих математичних моделей нестаціонарних аеродинамічних, електродинамічних процесів у вигляді гіперболічних систем лінійних та нелінійних рівнянь з частинними похідними, які допускають розв'язки з рухомими розривами, а також розробка теоретичних основ методів побудови обмежувальних функцій.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати такі задачі:

1. Побудувати математичну модель трансзвукової течії газу через багаторядну систему ґраток жорстких профілів на основі рівнянь Ейлера в інтегральній формі для ідеального газу;

2. Створити математичну модель трансзвукової течії газу через однорядну систему граток пружних профілів на основі рівнянь Ейлера в інтегральній формі для ідеального газу і чисельно дослідити особливості її розв'язків;

3. Побудувати математичну модель автоколивань ізольованого пружного профілю в трансзвуковому потоці газу і чисельно дослідити умови виникнення автоколивань в цій нелінійній системі з одним ступенем свободи з використанням монотонних різницевих схем;

4. Застосувати математичну модель на основі системи рівнянь Максвелла в дивергентній формі для чисельного дослідження нестаціонарних електромагнітних резонансних явищ на біперіодичній решітці. Запропонувати чисельну реалізацію умов на ідеальних провідникових включеннях в гратці;

5. Вивести генеруюче функціональне рівняння для монотонізуючих функцій (L-функцій) і побудувати його загальний розв'язок. Знайти L-зображення обмежувальних функцій, які широко використовуються при побудові монотонних різницевих схем. Визначити можливості їхньої модифікації. Дослідити аналітично і чисельно деякі нові і модифіковані відомі L-функції на тестових задачах;

6. Модифікувати L-функціями інтерполяційний поліном Ньютона для його використання під час конструювання різницевих схем підвищеного порядку апроксимації з гладкою генеруючою функцією;

7. Застосувати отримані L-функції в різницевих схемах під час дослідження дифракції електромагнітних хвиль на біперіодичних гратках;

8. Чисельно дослідити закономірності низькочастотних коливань газу в високонавантаженних багаторядних гратках жорстких профілів;

9. Застосувати розроблені різницеві схеми для дослідження аеропружної стійкості граток пружних профілів, ізольованого пружного профілю і можливості стабілізації (дестабілізації) їхніх коливань зовнішньою імпульсною силою.

Об'єктом дослідження є газодинамічні та електродинамічні поля в елементах енергетичних установок, літальних апаратів і електронних пристроїв, а також різницеві схеми з монотонізуючими функціями.

Предметом дослідження є математичні моделі у вигляді гіперболічних систем рівнянь для електродинамічних процесів під час дифракції електромагнітних хвиль на біперіодичній гратці, ударно-хвильової взаємодії газодинамічного потоку з гратками жорстких або пружних профілів, коливання пружного ізольованого профіля, а також запропоновані для їх дослідження різницеві схеми з L-функціями і функціональне рівняння, яке їх генерує.

Методи дослідження. В роботі використовуються аналітичні і чисельні методи досліджень. Аналітичні методи застосовувались до лінеаризованих систем диференціальних та функціональних рівнянь. Чисельне дослідження за допомогою різницевих схем застосовувалось для вищезгаданих задач без спрощуючих допущень в їхніх математичних моделях.

Наукова новизна одержаних результатів. До нових наукових результатів виконаної роботи слід віднести такі положення:

-запропоновано багатоканальну математичну модель і за її допомогою виконано чисельне дослідження механізму виникнення низькочастотних коливань газу (ударних хвиль) в багаторядній компресорній гратці високонавантажених жорстких профілів; отримано результати параметричних (режимних і геометричних) досліджень її аеродинамічних характеристик;

-досліджено низькочастотні коливання газу в високонавантаженій багаторядній гратці жорстких профілів і вплив на них режимних і геометричних параметрів (міжгратковий зазор, співвідношення чисел профілів у гратках); показано, що однонаправлена зміна навантаження і числа профілів в гратках діють на період коливання ударної хвилі в газі протилежно;

-вперше досліджено область впливу тангенціального розвороту сусідніх нерухомих граток профілів на величину нестаціонарного аеродинамічного навантаження в компресорі авіаційного двигуна; показано можливість зниження нестаціонарної складової аеродинамічного навантаження на робочу гратку профілів за рахунок вибору оптимального тангенціального розвороту нерухомих граток профілів;

-запропоновано математичну модель для дослідження аеропружних коливань в плоскій гратці профілів і різницевий метод для її чисельного дослідження з рухомими ударними хвилями. Отримано результати чисельного дослідження механізму виникнення їхніх сумісних коливань і параметричної стабілізації;

-отримано нестаціонарні аеродинамічні і кінематичні характеристики процесу виникнення автоколивань з наростаючою, постійною і спадаючою амплітудою кутових рухів профілів гратки за імпульсного зовнішнього навантаження на її профілі;

-показано особливість руху ударних хвиль в міжпрофільних каналах і можливість зміни характеру автоколивань за зовнішнього імпульсного навантаження; продемонстровано одночасність і неодначасність руху ударної хвилі по каналах в залежності від форми профілів гратки; установлено “перемикаючий” вплив дифракції ударної хвилі на відкритому кінці міжпрофільного каналу на напрям передачі енергії в аеропружній системі в стані автоколивань;

-запропоновано математичну модель для дослідження аеропружних коливань ізольованого профілю крила і чисельний метод для її дослідження на режимах з ударними хвилями;

-виконано дослідження режимів виникнення автоколивань профілю в залежності від числа Маха набігаючого потоку; показано наявність компактних зон стійких і нестійких коливань профілю в діапазоні чисел Маха від М=0.2 до М=2.0; установлено, що різний характер переходу, за числом Маха набігаючого потоку в зону стійких коливань і навпаки, може привести до зміни характеру автоколивань;

-з використанням запропонованих алгоритмів побудови монотонних різницевих схем виконано розрахунок просторової течії ідеального газу в міжлопатевому каналі ізольованого вінця компресора авіаційного двигуна;

-вперше використано дивергентну форму запису диференціальних рівнянь Максвелла для побудови математичної моделі дифракції електромагнітних хвиль на біперіодичних гратках і отримано стаціонарні і нестаціонарні характеристики їхньої резонансної взаємодії за допомогою монотонних різницевих схем; виконано порівняння отриманих результатів розрахунків з результатами частотного методу;

-вперше отримано і застосовано під час побудови монотонних різницевих схем класичної і слабкої апроксимації функціональні рівняння (системи рівнянь) для обмежувальних функцій; побудовано загальний розв'язок функціонального рівняння для L-функцій; показано можливість класифікації обмежувачів, що використовуються, за гладкістю їхнього L-зображення і носія;

-вперше запропоновано загальний підхід до модифікації L-функціями коефіцієнтів інтерполяційних поліномів Ньютона для підвищення гладкості функції, яка генерує монотонну різницеву схему;

-доведено теорему про монотонізаційну властивість запропонованих різницевих схем та структурні теореми про інваріантність деякої множини L-функцій відносно побудови їхньої обвідної.

Достовірність результатів забезпечується фізичною та математичною коректністю постановки початково-крайових задач і виведенням апроксимуючих рівнянь; збігом результатів чисельних розрахунків тестових задач з їхніми точними розв'язками, а також відповідністю отриманих чисельних результатів теоретичним та експериментальним даним інших дослідників для явищ, що вивчаються.

Практичне значення одержаних результатів полягає в реалізації розроблених математичних моделей процесів на основі запропонованих монотонних різницевих схем у вигляді програмних комплексів. Виконані за їх допомогою чисельні дослідження дозволили зменшити витрати часу і коштів під час конструкторської розробки нової техніки.

Отримані в процесі досліджень теоретичні положення, алгоритми і програми можуть використовуватись в подальшому як при поглибленому вивченні проблем монотонізації різницевих схем, так і в практичній діяльності конструкторських бюро за перспективних розробок техніки на основі фізичних процесів, для яких математичні моделі допускають розривні розв'язки.

Високий рівень довіри до результатів чисельних досліджень складних аеродинамічних течій, які отримані багатьма дослідниками і автором, дозволяє впровадити використані чисельні методи в навчальний процес під час підготовки спеціалістів по розробці і удосконаленню запропонованих чисельних алгоритмів. За результатами наукових досліджень розроблені і видані два навчальних посібники (з співавтором), один - по застосуванню чисельних методів для розрахунку аеродинамічних характеристик вертольотів, а інший - по теоретичних основах методів побудови монотонних різницевих схем в задачах газової динаміки.

Отримані результати знайшли застосування (підтверджено актами впровадження):

-під час проектування та доводки нової техніки на підприємстві ДП “Івченко-Прогрес”;

-під час проектування нової техніки в філії НДПІАСУтрансгаз ДП “Науканафтогаз” НАК “Нафтогаз України”;

-в задачах дослідження аеропружної стійкості обтічника антен Радіоастрономічного інституту НАН України, а також в задачах дифракції електромагнітних хвиль на біперіодичних гратках під час дослідження властивостей матеріалів з нетрадиційними електромагнітними властивостями;

-в навчальному процесі під час підготовки спеціалістів по бакалаврату “Прикладна фізика” в Інституті високих технологій при Харківському національному університеті ім. В.Н.Каразіна на фізико-енергетичному факультеті (факультеті подвійного підпорядкування разом з Інститутом проблем машинобудування ім. А.М.Підгорного НАН України);

-в навчальному процесі Харківського університету Повітряних Сил України під час підготовки спеціалістів інженерно-авіаційного факультету.

Особистий внесок здобувача в роботах, виконаних у співавторстві, полягає в такому. В роботах [1,21], [32,47,51] і [14], [5,20,17] в частинах, присвячених розробці теоретичних основ L-функцій та їхньому застосуванню до конструювання монотонних різницевих схем - постановка задачі, теоретичне і чисельне дослідження їхніх властивостей належать автору. В дослідженнях дифракції електромагнітних хвиль на біперіодичних гратках [14,34] автору належить різницевий метод побудови розв'язку задачі, пакет прикладних програм. Постановка задачі, чисельний метод, програма розрахунків і результати чисельних досліджень багаторядної гратки профілів в роботах [2,23,35,38-43] належать автору. Постановка задач стабілізації аеропружної гратки профілів в [6,8,10,17,33,50], ізольованого пружного профіля крила в [7,12,13,15], течії в камері згоряння [24] і метод їх чисельного дослідження на основі різницевих схем з L-функціями в інтерполяційних поліномах Ньютона належить автору. Чисельний метод з використанням монотонних різницевих схем і програма для чисельного дослідження просторового нестаціонарного обтікання вінця компресора в [20] належать автору.

Всі основні результати дисертаційної роботи отримані здобувачем самостійно.

Апробація результатів роботи. Основні результати дисертаційної роботи доповідались на таких науково-технічних конференціях та симпозіумах: “Математичні моделі процесів і конструкцій енергетичних турбомашин в системах їх автоматизованого проектування” (Харків, 1985, 1987, 1989, 1994, 1997, 2000, 2003 рр.), X Всесоюзной конференции по аероупругости турбомашин (Ужгород, 1985 р.), XII Всесоюзной конференции по аероупругости турбомашин (Рига, 1989 р.), Engineering Aerohydroelasticity, EAHE International Conference (Prague, 1989), II Всесоюзной науково-технической конференции "Гидроупругость и долговечность конструкций энергетического оборудования" (Каунас, 1990 г.), 5^th International Symposium “Unsteady Aerodynamics and Aeroelasticity of Turbomachines and Propellers” (Beijing, China, 1990), “Динаміка і міцність машинобудівельних і будівельних конструкцій“, (Севастополь, 1993 г.), симпозіумі “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики (Харьков, 1993, Феодосия, 1997, Орел, Россия, 2000, Феодосия, 2001, Херсон, 2003), Міжнародній конференції по математичному моделюванню (Херсон, 2000, 2003 рр.), EAHE International Conference Engineering Air-hydroelasticity(Plzen, 1994), V, VI, VII-мiжнародних наукових конференцiях iм. академiка М.Кравчука (Київ, 1996, 1997, 1998 рр.), Всеукраїнській конференцiї з нелiнiйних проблем математичної фiзики (Кременчук, 2000), International Akhiezer Centenary Conference "Theory of functions and mathematical physics" (Kharkiv, 2001), Second International Workshop Ultrawideband and Ultrashort Impulse Signals Proceedings (Sevastopol, 2004), Dynamical System Modeling and Stability Investigation (Kyiv, 2005). Окремі результати виконаної роботи доповідались на республіканському науково-технічному семінарі кафедри математичної фізики та обчислювальних методів Харківського національного університету ім. В.Н. Каразіна протягом 1985-2005рр., на семінарі кафедри вищої математики Національного аерокосмічного університету ім. М.Є. Жуковського “ХАІ” (2005 р.)

2. Основний зміст роботи

У вступі обґрунтовується актуальність теми дисертації, мета і задачі досліджень, висвітлено наукову новизну та практичну значущість отриманих результатів. Наведені відомості про апробацію роботи та публікації.

У першому розділі наводиться літературний огляд стану досліджень у вибраному науковому напрямі по розробці методів побудови і застосуванню монотонних різницевих схем. Окреслюється коло нерозв'язаних проблем у зв'язку з математичним моделюванням низькочастотних коливань в багаторядних гратках профілів, аеропружних явищ в гратках профілів і для ізольованого профілю, дифракції електромагнітних хвиль на біперіодичних структурах на основі квазілінійних та лінійних систем гіперболічного типу. Показані основні етапи розвитку чисельних методів з класичною і слабкою апроксимацією для задач з розривами у розв'язках.

Пропонується, на основі аналізу стану досліджень математичних моделей аеродинамічних та електродинамічних процесів що аналізуються, записати їх в єдиній дивергентній формі законів збереження з відповідними початковими і граничними умовами. Для такої системи відомі інтегральні форми рівнянь з узагальненим розв'язком, які будуть використовуватись під час побудови різницевих операторів задачі з слабкою апроксимацією.

У другому розділі подано теоретичні положення про L-функції та функціональні рівняння, для яких вони є розв'язками. Розвивається теоретичне підґрунтя для вивчення їх властивостей. Наводяться L-зображення для відомих функцій-обмежувачів (монотонізаторів). Використовуючи їх як конструктивний елемент для побудови монотонних різницевих схем зі слабкою і класичною апроксимацією, на тестових задачах виконується порівняння результатів розрахунків з точними розв'язками та результатами інших авторів.

До математичної моделі процесу застосовується процедура розщеплення за координатними напрямками, і задача пошуку ефективної різницевої схеми зводиться до її побудови для векторного рівняння типу та його інтегрального аналога. Величина знаходиться із розв'язку задачі розпаду довільного розриву (схема С.К. Годунова, алгоритм Роя), що забезпечує другий порядок апроксимації по координаті. Обмежувальні функції, в подальшому L-функції, застосовуються покомпонентно до фізичних або характеристичних змінних. Показник “гладкості” розподілу дискретних значень розв'язку задачі має вигляд.

Пропонуються функціональні рівняння і системи рівнянь розв'язки яких із класу для та для) використовуються як L-функції. До цього класу належать більшість з використовуваних обмежувачів.

Відповідний вибір носія L-функції-дозволяє задовольнити ряд додаткових умов до різницевої схеми, в якій він використовується. Один з обмежувачів Ван-Ліра має вигляд

В роботі доведена така теорема.

У роботі запропоновано чотири способи побудови різних модифікацій ІПН:

У наведених співвідношеннях кожна дужка-вибір (L-функція) діє на всі наступні, а перша дужка реалізує вибір із модифікованих перших різниць.

Узагальнену конструкцію L-функції пропонується записати у вигляді

Для індикації “гладкості” дискретного розподілу пропонується застосовувати не тільки величини або, а і більш складні вирази, наприклад, як в поліномах. Аналіз гладкості також може виконуватися не тільки за допомогою функцій, і, наприклад, за значенням варіації функції на допустимих шаблонах.

Тестування L-функцій з ненульовою дією на екстремумах розподілу виконано на двовимірних задачах руху ударної хвилі в міжпрофільних каналах у разі поступового підвищення навантаження на гратку з різними за формою профілями, а також в каналі з виступом.

Вплив форми профілю і величини навантаження в гратці на структуру ударної хвилі. Поля статичного тиску, отримані за розробленими чисельними алгоритмами і результатом Eidelman S.,Collela P.R., Shreeva R.P., досить близькі.

У четвертому розділі знаходять практичне застосування методи, що теоретично розбудовані в попередніх розділах, під час дослідження задачі дифракції електромагнітної хвилі на біперіодичній гратці. Основні рівняння Максвела.

На гранях розрахункових комірок сітки, перпендикулярних до осей ,,, в яких компоненти векторів знаходяться за допомогою проекстрапольованих за координатою та часом з використанням обмежувачів величин інваріантів Рімана

Задача дифракції плоскої нестаціонарної хвилі розглянута на гратках із прямих металевих стрічок і об'ємних стрічкових елементів С-форми. Електромагнітна хвиля падає нормально до поверхні гратки.

Забезпечення виходу віддзеркаленої хвилі від решітки через границю досягалось зміною граничних умов на ній на невіддзеркалюючі. Замість умов для падаючої хвилі використовуються співвідношення в яких функції і дорівнюють нулю, а, підраховуються за значенням поля справа від цієї границі. Умова періодичності задається на границях розрахункової області, перпендикулярних площині періодичної структури. На границі значення тангенціальних до неї компонент електромагнітного поля, в якому, обчислюються за значеннями поля в комірках, розташованих зліва від неї, а функції. На поверхні ідеального провідника задається.

Тестування алгоритму виконувалось під час моделювання розповсюдження бігучої хвилі в вільному просторі, на задачі про віддзеркалення імпульсної плоскої хвилі ідеальним провідником у вигляді площини, плоскою границею розподілу вільного і діелектричного напівпросторів і плоскопаралельним діелектричним шаром. Порівняння результатів розрахунків запропонованим методом і методом на основі інтегральних рівнянь (Просвірнін С.Л.) задачі дифракції імпульсу монохроматичної хвилі на стрічковій гратці. Суцільна крива отримана за чисельного, на основі методу моментів, розв'язання інтегральних рівнянь відносно густини поверхневого струму на стрічках. Значення коефіцієнта віддзеркалення, що отримані за допомогою розроблених монотонних різницевих схем, позначені точками.

Алгоритм мав такі параметри: елементарна розрахункова комірка-куб з ребром 0.25 мм, розмір дискретної області елементарних просторових комірок, число Куранта - 0.4. Лінії рівнів розподілу компонент напруженості електричного поля в площині перед решіткою на відстані 0.125 мм (а-розподіл , б-, в-.). Зображення ближнього поля відповідає моменту, коли віддзеркалений імпульс досяг лівої границі розрахункової області. Аналіз розподілу параметрів поля при дифракції синусоїдальної хвилі на періодичній структурі із об'ємних елементів С-форми показав, що найменший за частотою максимум резонансного віддзеркалення відповідає довжині хвилі, яка приблизно дорівнює довжині металевої стрічки, що утворює С-елемент.

Розподіл компонент електромагнітного поля і його часова еволюція показують, що завдяки поверхневому струму відбувається перерозподіл заряду, аналогічно тому, як це відбувається в прямолінійному диполі.

У п'ятому розділі досліджується багаторядна гратка жорстких профілів у зв'язку з проблемою виникнення низькочастотних аеродинамічних нестаціонарних навантажень на її профілях. Систему рівнянь газової динаміки запишемо у вигляді

Задаються початкові та граничні умови: U(,0)= U₀(), на вході (a,a₁) - P₀,T₀,, на виході (h,h₁) - P₂,умова періодичності на границях (ab,a₁b₁), (cd,c₁d₁), (a₂b₂, a₃b₃), (c₂d₂, c₃d₃), (ef,e₁ f₁), (gh,g₁ h₁), умова непротікання на - , де P_0,T₀ -тиск і температура ізоентропічно заторможеного потоку газу; - кут, який утворює вектор швидкості газу з віссю OX в абсолютній системі координат, P₂ - статичний тиск газу на (hh₁). Середня гратка рухається з лінійною швидкістю . Параметр визначає величину відносного тангенціального зсуву двох нерухомих граток. Різницеву схему для (20) запишемо у вигляді

В цій схемі для визначення граничної коміркової величини використовується модифікований за способом 1 ІПН

Проведене чисельне дослідження щодо впливу величини на нестаціонарну складову аеродинамічного навантаження профілів рухомої гратки показало наявність його мінімізуючого значення. Аналіз розподілу нестаціонарних аеродинамічних характеристик для граток з різним співвідношенням чисел лопаток і зсувів показав можливість впливу на розфазування аеродинамічних пульсацій від нерухомої гратки на рухому. Привести їх дію у протифазну вдається відповідним вибором міжграткових зазорів і величини тангенціального зсуву. Найбільш ефективно це вдалося при однаковому числі профілів у нерухомих гратках. Залежність амплітуди нестаціонарних аеродинамічних сил від величини для цього випадку.

Підвищення навантаження на багаторядну гратку може привести до цікавого явища низькочастотних коливань ударної хвилі по гратках профілів з низькою, відносно лопатевої, частотою. Розглянутий випадок належить до периферійного перерізу лопатевого апарата високонавантаженого компресора авіаційного двигуна з співвідношенням чисел лопаток 16:40:24(2:5:3) і =531м/с. У разі навантаження нижче критичного в нестаціонарних пульсаціях присутні лопатеві частоти від трьох граток. Біфуркація періодичного розв'язку задачі відбувається після підвищення навантаження вище деякого критичного значення. В аеродинамічному навантаженні на профілях граток з'являється суттєва низькочастотна складова. Характерні поля статичного тиску (начало періоду коливань), (3/4 періоду) для двох моментів часу на періоді нових коливань.

Реалізувати такий режим в двохрядній гратці автору не вдалося. Ступінь підвищення тиску компресора (трьохрядного) під час руху ударної хвилі, як добуток змінних підвищень на кожній гратці, зберігав постійне значення. Збільшення рядів гратки до чотирьох привело до зміни величини критичного навантаження і періоду коливань ударної хвилі.

У шостому розділі чисельно, вивчаються закономірності виникнення і розвиток ударно-хвильового флатера профілів в гратці. Система доповнюється законами руху профілів гратки у вигляді

Значення параметрів для розпаду довільного розриву знаходяться за допомогою модифікованого за способом 1 ІПН L-функція.

Кути , 1, 2, 3 відраховуються від деякого кута установки, однакового в початковий момент для всіх профілів. Значення параметрів в граничних умовах -200000 Па, 288К, 100000 Па, - 0.1рад., 432.2 м/с. Гратка профілів, яка досліджується, належить до класу високонавантажених і обтікається потоком газу з утворенням стрибків щільності (розрив у розв'язку) в стаціонарному полі для жорстких профілів. Нестаціонарна залежність кута повороту профілів і моменту аеродинамічних сил, який діє на них. На початку всі профілі коливаються синфазно з наростаючою амплітудою. Після імпульсної зупинки профілю 2 (момент) в системі виникає стан з характерними ознаками: фаза внесеного збурення (2-й профіль зупинено в момент знаходження в середньому положенні) змінюється в процесі еволюції; внесене збурення розповсюджується послідовно від профілю до профілю протилежно напряму руху гратки, модулюючи високочастотні власні коливання; після розсіювання збурення за степенями вільності профілі синхронізуються і амплітуди кутових коливань зростають; досягнувши деякого критичного значення кутового відхилення в момент стрибок ущільнення починає коливатись по каналах з періодом за схемою 1>3>2>1; коливання стрибка відбуваються декілька разів (3-10 коливань) на спадаючій гілці залежності нижнього профілю каналу; коливання стрибка породжують імпульсну зміну протилежних знаків в моментах, які діють на нижньому і верхньому профілях каналу гратки, залишаючи середні значення , такими, як в рівномірному потоці з жорсткими профілями. На рис.16 наведено три миттєвих положення профілів в гратці на періоді з відповідними ізолініями тиску для випадку коливань стрибка в другому каналі. Нестаціонарні кутові і моментні характеристики, які відповідають періоду одного коливання ударної хвилі в другому каналі. Малий фазовий зсув в залежності і суттєвий в вказує на домінування сил інерції профілів. Зниження навантаження на гратку () приводить до синхронізованих коливань профілів з постійною амплітудою. Внесення збурення миттєвою зупинкою другого профілю викликає коливання з наростаючою амплітудою.

Гратка профілів 2. Наступна гратка з S-формою профілів досліджувалась за умов - 182868 Па, 347К, 124607 Па, 0.0рад., 388.5 м/с, . Стійкість такої аеропружної системи досліджувалась по відношенню до збурень і . В стаціонарне аеродинамічне поле, що утворене граткою жорстких профілів, поміщається гратка з пружними (по куту повороту) профілями. Після перехідного періоду Т₁ система профілів коливається синфазно зі спадаючою амплітудою. В момент Т₂ > Т₁, коли, покладаємо . Внесене збурення не змінило характеру коливань профілів. Інший спосіб внесення збурення призводить до неоднорідної по куту установки гратки профілів. Рух ударної хвилі, який виникає спочатку у третьому каналі, після досягнення критичного кута повороту профілю розповсюджується на решту каналів. Залежності і на періоді власних коливань профілю. Особливості розподілу тиску газу в гратці пружних профілів для чотирьох моментів на періоді коливань. Втрата стійкості коливань профілів проходить на фоні руху ударних хвиль в усіх каналах зі зсувом по фазі. Подальше дослідження гратки з S профілів при показало наявність режиму синфазних коливань, що згасають. Імпульсне збурення аеропружної системи зупинкою різної тривалості в момент другого профілю не змінює асимптотичного характеру коливань. Відзначимо, що внесене збурення привело до рівномірного розподілу зсуву фаз в законах коливань профілів, яке зберігалось до повного їхнього аеродемпфування. У випадку, коли і збурення аеропружної системи проведене аналогічним способом, спостерігаємо, як синфазні згасаючі коливання перетворюються на коливання із зростаючою амплітудою. Виокремленний фрагмент залежності нестаціонарних кутових коливань і аеродинамічних моментів біля моменту Т₂ >>Т₁. Узгоджений аналіз розподілу кутів, моментів і відповідних ізоліній тиску в гратках для чотирьох моментів показує механізм ударно-хвильового флатера. Достатнє переміщення ударної хвилі вверх по потоку приводить до зміни знаку додаткового аеродинамічного моменту, зростання його повного значення і збільшення амплітуди коливань профілів. В свою чергу, коливання профілів деформує канали гратки і збільшує амплітуду руху ударної хвилі. “Запуск” такого механізму в випадку, що вивчається, виконується зовнішнім збуренням.

У сьомому розділі розглядається ефективність запропонованих математичних моделей аеропружних систем і чисельних алгоритмів в задачах про аеропружну поведінку ізольованого профілю літального апарату (ЛА). Еволюція системи у трансзвуковому потоці газу. Розглядається вплив нерівномірності параметрів атмосферного потоку на можливість виникнення автоколивань профілю.

Досліджується аеропружна поведінка профілів NACA-0006 і NACA-0012 в газодинамічному потоці з параметрами в граничних умовах - =300K, =5, =1,4, =286,8 Дж/(кг*град), =100000 Па та відносно границі рухомого профілю - умова непротікання. Розглянуто аеропружний випадок, коли кутові коливання відбуваються відносно центру мас і , , . При 0.505 амплітуди кутових коливань профілю NACA-0006 монотонно спадають. Початкове поле для режимів з 0.568 вибиралось із стаціонарної задачі для жорстких профілів, в яке розміщувався пружний профіль. Початкові поля при =0.784 і =0.88.

Відзначимо, що у разі збільшення числа Маха набігаючого потоку (0.568) стрибок густини переміщується з передньої крайки профілю до задньої, а для аеропружного профілю збільшується амплітуда його коливань. Для трьох моментів положення (максимальні і середнє) профілю в аеропружних коливаннях наведені ізолінії розподілу тиску біля нього на режимі з =0.784.

Під час подальшого збільшення швидкості 0.88 трибок густини відходить від задньої крайки, і з'являється зона з надзвуковою швидкістю біля нижніх обводів профіля. Значення стають від'ємними, профіль повертається за годинниковою стрілкою, амплітуда коливань зростає. Побудовано залежність моменту тангажа від числа Маха і вказані зони із зростаючою (U-unstability) та згасаючою і постійною (S-stability) амплітудою коливань. Аналогічні дослідження виконані і для профілю NACA-0012..

На відміну від класичного аналізу лінеарізованої аеропружної системи, для якої встановлено існування дискретного набору критичних швидкостей газу, в нашому випадку маємо компактні зони їх критичних значень, які призводять до коливань з необмежено наростаючою амплітудою.

Розглянемо характер коливань, який реалізується, коли права границя інтервалу стійких коливань з [0,63-0,71] долається стрибкообразною зміною числа Маха від =0,71 (зона стійких коливань) до = 0,733 (зона нестійких коливань) і навпаки. Результати розрахунків у вигляді нестаціонарних залежностей моменту тангажа і кутових переміщень.

Особливість поведінки аеродинамічних характеристик під час проходження через ліву границю розглянутого інтервалу визначається дозвуковою швидкістю потоку і зростанням величини середнього значення аеродинамічного моменту. Перехід зі стрибком за числом Маха із зони стійких коливань в зону нестійких і навпаки (0,5050,71) принципово не змінює характеру поведінки аеропружної системи. Інша поведінка системи спостерігається за циклічного переходу (0,7330,7) через праву границю інтервалу [0,63-0,71], що супроводжувалась появою надзвукових зон, замкнених стрибками щільності, і зростанням середнього значення аеродинамічного моменту. Перший та другий перехід не внесли зміни в характер вихідних коливань, після третього переходу коливання стабілізувались.

Експериментальне дослідження аеродинамічних характеристик профілю під час динамічного зриву потоку проведені в Глазго- Котоном та Галбрейтом, для крила NACA-0015, яке виконувало кабрірування з різною кутовою швидкістю із положення = -5°. За результатами чисельних досліджень, відповідно до експерименту, складена група залежностей для =0.16. На графіках видно, що за різних величин швидкості зміни кута підйом цієї аеродинамічної характеристики “затягується” аналогічно даним експерименту. Наведені дані показують можливість моделювати явище класичного запізнення зриву потоку, що викликане кутовим рухом профілю монотонними різницевими схемами, для ідеального газу. В виконаних дослідженнях зроблена спроба використати явище динамічного виходу на критичні кути атаки для утримання високих значень підйомної сили. Розрахунки виконувались за явною та неявною за часом різницевими схемами.