Теория автоматического управления

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Основные понятия и принципы управления. Классификация САУ

1.1 Связь с фундаментальными и прикладными науками. Понятие система автоматического управления

автоматический управление структурный величина

Задача изучения дисциплины "Теория автоматического управления" состоит в освоении основных принципов построения и функционирования автоматических систем управления на базе современных математических методов и технических средств.

Основной целью автоматизации является исключении непосредственного участия человека в управлении производственными процессами и другими техническими объектами. В настоящее время автоматизация технологических процессов представляет собой одно из важнейших средств роста эффективности производства, интенсификации развития народного хозяйства.

Теория автоматического управления -- это составная часть технической кибернетики, которая предназначена для разработки общих принципов автоматического управления, а также методов анализа (исследования функционирования) и синтеза (выбора параметров) систем автоматического управления (САУ) техническими объектами.

Направления технической кибернетики:

Бионика - прикладная наука о применении в технических устройствах и системах принципов организации, свойств, функций и структур живой природы, то есть формы живого в природе и их промышленные аналоги. Проще говоря, бионика -- это соединение биологии и техники. Бионика рассматривает биологию и технику совсем с новой стороны, объясняя, какие общие черты и какие различия существуют в природе и в технике.

Инженерная психология - изучает психофизиологические особенности человека и его поведение в процессе «общения» с машиной.

Распознавание образов - изучает характерные особенности того или иного объекта, присущие только ему или его классу, и позволяет выделить этот объект из массы подобных ему.

Система автоматического управления (САУ) - есть совокупность объекта управления и управляющего устройства. Рассмотрим основные понятия и элементы, которые образуют САУ:

Объект управления - технологический агрегат, в котором происходит изменение регулируемой величины в результате воздействия и в котором устанавливается чувствительный элемент для измерения регулируемой величины (бак с жидкостью, печь, в которой необходимо поддерживать температуру, автомобиль, электродвигатель и т.п.). Объекты регулирования и управления по своей физической природе весьма разнообразны, но принципы построения систем управления и методы их исследования одни и те же.

Воздействие на объект управления происходит за счет изменений подачи энергии или вещества, в результате которого изменяется регулируемая величина. Это воздействие называется регулирующим (управляющим) воздействием.

1.2 Объект управления (ОУ) и управляемые величины

Объект управления - технологический агрегат, в котором происходит изменение регулируемой величины в результате воздействия и в котором устанавливается чувствительный элемент для измерения регулируемой величины (бак с жидкостью, печь, в которой необходимо поддерживать температуру, автомобиль, электродвигатель и т.п.). Объекты регулирования и управления по своей физической природе весьма разнообразны, но принципы построения систем управления и методы их исследования одни и те же.

Воздействие на объект управления происходит за счет изменений подачи энергии или вещества, в результате которого изменяется регулируемая величина. Это воздействие называется регулирующим (управляющим) воздействием.

К возмущающим относятся воздействия нагрузки на объект, различные воздействия окружающей среды, и воздействия, обусловленные изменением внутренних параметров объекта.

Комплекс устройств, который позволяет воздействовать на объект управления при отклонении выходной величины от заданного значения и обеспечивающий необходимое качество работы объекта называют регулятором или управляющим устройством.

Понятие о структурной схеме системы

Для наглядного схематического изображения системы автоматического управления (регулирования) используют структурные схемы, в которых отдельные элементы системы изображаются в виде прямоугольников, а связи между элементами - линиями со стрелками, показывающими направление передачи сигнала. Основными элементами системы автоматического регулирования являются объект и регулирующее устройство (регулятор).

Пример структурной схемы:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 1. Пример структурной схемы

Например, в системе управления курсом корабля:

* объект управления - это сам корабль, находящийся в воде; для управления его курсом используется руль, изменяющий направление потока воды;

* регулятор - цифровая вычислительная машина;

* привод - рулевое устройство, которое усиливает управляющий электрический сигнал и преобразует его в поворот руля;

* датчики - измерительная система, определяющая фактический курс;

* внешние возмущения - это морское волнение и ветер, отклоняющие корабль от заданного курса;

* шумы измерений - это ошибки датчиков.

Структурная схема показывает, из каких типовых динамических звеньев состоит система и как они соединены. Т.е. структурная схема отражает математическую модель системы.

Классификация систем автоматического управления

По принципу управления:

А) Использующие принцип Понселе, или принцип управления по возмущению (нагрузке), это, как правило, разомкнутые САУ. В этом случае измеряется возмущение, а выходные объекты - нет. Для эффективной работы системы необходимо точно знать математическую модель объекта, иметь возможность проконтролировать все возмущения, действующие на объект. Задача управляющего устройства сводится к компенсации этих возмущений.

Рисунок 2. Структура системы управления по возмущению

УУ - управляющее устройство (регулятор);

ОУ - объект управления;

g(t) - задающее воздействие (то воздействие, которое необходимо воспроизвести на выходе системы;

f(t) - возмущающее воздействие;

y(t) - управляемая величина (выходной сигнал объекта);

u(t) - управляющее воздействие.

Задача управления: y(t)= g(t).

Б) Использующие принцип обратной связи (по отклонению, по ошибке). Это замкнутые САУ. По цепи главной обратной связи, которая всегда отрицательна, сигнал о текущем значении регулируемой величины передаётся в УУ и сравнивается с предписанными значениями. Определяется ошибка, на основании которой формируется управляющее воздействие. Математическую модель объекта можно знать приблизительно.

Рисунок 3. Структура системы управления по отклонению

- сигнал ошибки (отклонения);

ГОС - главная обратная связь.

Обратная связь (ОС) - это передача выходного сигнала системы на вход. Если выходной сигнал вычитается из входного, обратную связь называют отрицательной (ООС), если входной и выходной сигналы складываются, обратную связь называют положительной (ПОС). На структурных схемах ООС обозначается либо пометкой знаком «-» вычитаемого сигнала, либо закрашиванием соответствующего сектора сумматора.

В) Комбинированное управление. В этом случае один блок УУ компенсирует действие возмущения, а второй - устраняет оставшуюся ошибку.

Измеряются основное возмущение и реальный выходной сигнал объекта.

По назначению/цели управления.

А) Системы стабилизации. Могут быть как разомкнутыми, так и замкнутыми.

Б) Системы программного управления. Задающее воздействие изменяется во времени, но по определённому закону. Может строится разомкнутой и замкнутой.

В) Системы слежения. Задающее воздействие меняется вслед за изменяемым параметром, который меняется случайным образом. Задача системы состоит в воспроизведении этого изменения.

(0.1)

Такие системы всегда либо замкнутые, либо комбинированные.

Г) Системы оптимальные. Их задача состоит в том, чтобы обеспечивать работу объекта управления в оптимальном режиме. Качество достижения этого режима оценивается специальным критерием качества (целевая функция). Этот критерий является функцией многих переменных и при оптимальном режиме достигает максимального либо минимального значения соответственно. Системы строятся либо замкнутыми, либо комбинированными. Задающее воздействие формируется внутри системы

Рисунок 4. Схема оптимальной системы управления



Вычислительное устройство вычисляет величину оптимизации (при каком значении воздействия он достигнет критического значения).

Д) Адаптивные системы, которые подстраиваются под свойства объекта. Их подразделяют на:

Самонастраивающиеся - системы, в которых адаптация при изменении условий работы осуществляется путём изменения параметров и управляющих воздействий.

Самоорганизующиеся - системы, в которых адаптация осуществляется за счёт изменения не только параметров и управляющих воздействий, но и структуры.

Самообучающиеся - системы, в которых оптимальный режим работы управляемого объекта определяется при помощи управляющего устройства, алгоритм которого автоматически целенаправленно совершенствуется в процессе обучения путём автоматического поиска.

3) По наличию в системе статической ошибки

А) Статические системы, которые после завершения переходных процессов имеют статическую ошибку. Характеризуются коэффициентом статизма (S) - ошибка при максимальной нагрузке объекта.

(0.2)

В замкнутых системах относительная погрешность управления зависит от коэффициента передачи системы. Чем он больше, тем меньше абсолютная и относительная ошибка. Это приводит к возникновению проблем с устойчивостью системы.

Б) Астатические системы. В них коэффициент статизма S равен нулю (статическая ошибка отсутствует). Но появляется динамическая ошибка

Если g(t) - величина переменная, то имеет место астатизм 1 порядка. Он характеризуется добротностью системы по скорости (коэффициент передачи астатической системы.

(0.3)

Формула 1.3 представляет собой отношение скорости изменения выходного сигнала к изменению сигнала на входе. Ошибки могут быть по скорости и ускорению

При астатизме 2 порядка статическая и ошибка по скорости отсутствуют, но есть ошибка по ускорению.

Характеризуется добротностью системы по ускорению:

(0.4)

4) По виду уравнений, описывающих динамику системы.

Линейные (в переходном режиме описываются линейными дифференциальными уравнениями). В таких системах справедлив принцип суперпозиции: зная реакцию системы на какой-либо сигнал можно определить реакцию системы на сигнал любой формы, представив сигнал в виде импульсов.

Нелинейные системы в динамике описываются нелинейными уравнениями. Поведение системы зависит от величины внешних воздействий и начального состояния. Одна и та же система может вести себя по-разному. Системы содержат один или несколько функциональных элементов, у которых статическая характеристика нелинейна.



5) По стабильности параметров во времени.

Детерминированные (стационарные), с постоянными параметрами. Реакции таких систем на один и тот же сигнал одинаковы.

Нестационарные (стохастические) - параметры некоторых элементов изменяются во времени, поэтому в переходных режимах они будут описываться ДУ с переменными параметрами

По количеству управляемых переменных

Одномерные (однопараметровые)

Многомерные (многопараметровые) - имеют несколько управляющих переменных, могут быть системно-связного и несвязного регулирования.

По свойствам приспособления:

Обыкновенные, не обладающие свойствами адаптации.

Адаптивные

По количеству замкнутых контуров:

Одноконтурные

Многоконтурные

Пример САУ

САУ можно представить электрической принципиальной схемой, которая отображает принцип работы каждого функционального элемента. Если для каждого такого элемента записать уравнения статики и динамики, то можно перейти к структурной схеме, на которой функциональные элементы представлены в виде типовых динамических звеньев. Под типовым динамическим звеном понимают элемент системы, описываемый в динамике определённого рода алгебраическим или дифференциальным уравнением.

Принципиальная схема управления частотой двигателя постоянного тока.

ЭМУ в одном корпусе совмещает асинхронный двигатель и генератор, совершая преобразование механической энергии в электрическую. В этой системе используется комбинированное управление. Объект управления компенсирует влияние возмущения.

Функциональными элементами являются ДПТ с нагрузкой в качестве ОУ и тахогенератор в качестве датчика.

Структурная схема:



Для того, чтобы провести анализ (расчёт) системы по структурной схеме записывают эквивалентную передаточную функцию и по ней составляют дифференциальное уравнение, описывающее поведение системы, с помощью которого и проводится анализ.

2. Математическое описание непрерывных систем. (6 ч.)

2.1. Уравнения динамики и статики, линеаризация. Формы записи уравнений динамики. Представление в пространстве состояний.

2.2. Преобразование Лапласа, его свойства и использование, передаточные функции и их свойства.

2.3. Типовые регулярные сигналы, их преобразования. Временные и частотные характеристики, переходная и импульсная переходные функции, комплексные частотные функции.

Одним из способов задания математической модели объекта является составление дифференциальных уравнений, описывающих в динамике процесс преобразования входных величин объекта в выходные. При составлении дифференциального уравнения каждого элемента необходимо, прежде всего, выявить физический закон, определяющий его поведение.

Математическое выражение соответствующего физического закона и является исходным дифференциальным уравнением данного элемента автоматической системы (уравнением динамики).

Преобразование Лапласа, его свойства и использование, передаточные функции и их свойства.

Математическим аппаратом, позволяющим представлять дифференциальные уравнения в виде степенных алгебраических уравнений, является преобразование Лапласа.

Преобразованием Лапласа называется преобразование функции x(t) переменной t в функцию X(p) другой переменной p при помощи оператора, определяемого соотношением



Equation Section 2(2.1)

где x(t) - оригинал функции; X(p) - изображение по Лапласу функции x(t); p - комплексная переменная . Данная формула определяет прямое преобразование Лапласа.

В некоторой литературе оператор Лапласа обозначается буквой .

Возможно и так называемое обратное преобразование Лапласа, позволяющее по изображению найти оригинал. Оно определяется соотношением:

(2.2)

где с - абсцисса сходимости функции X(p).

Для большинства функций, встречающихся на практике, составлены таблицы соответствия между оригиналами и изображениями. Изображения некоторых наиболее часто встречающихся функций в теории управления приведены в таблице.

Таблица 1 - Таблица преобразования Лапласа

№	Оригинал	Изображение	№	Оригинал	Изображение
1		1	8
2	1		9
3	t		10
4			11
5			12
6			13
7

Широкое применение преобразования Лапласа обусловлено тем, что изображение некоторых функций оказывается проще их оригиналов и ряд операций, таких как интегрирование, дифференцирование над изображениями проще, чем соответствующие операции над оригиналами.

Преобразование Лапласа позволяет ввести некоторую обобщенную модель объекта или системы в виде передаточной функции .

Типовые регулярные сигналы, их преобразования. Временные и частотные характеристики, переходная и импульсная переходные функции, комплексные частотные функции

Для получения модели или уравнения динамики элемента системы экспериментально (в результате наблюдения) используются специальные «тестовые» сигналы.

Наиболее часто в теории автоматического управления используются следующие сигналы.

Единичный скачок (единичное ступенчатое воздействие):

Рисунок 2.1



(2.3)

Преобразование Лапласа для этого сигнала:

(2.4)

Если высота ступенчатого сигнала 1, то

(2.5)

Реакция на единичное ступенчатое воздействие называется переходной характеристикой h(t). Уравнение, описывающее этот график, называется переходной функцией.

Её можно получить, если взять обратное преобразование Лапласа переходной функции H(p).

(2.6)

(2.7)



2) Импульсный сигнал(единичная импульсная () функция)

(2.8)

Реакция элемента или системы на импульсный сигнал называется импульсной переходной характеристикой, а уравнение, описывающее её - функцией веса (t).

(2.9)

Таким образом, функция веса является обратным преобразованием Лапласа от передаточной функции:

(2.10)

Если импульс смещённый:



(2.11)

Если используется треугольный импульс:

(2.12)

Для астатических элементов или систем используют:

3) Линейно нарастающий сигнал

(2.13)

(2.14)

- временное уравнение(2.15)

4) Гармонический сигнал:

(2.16)

Гармонический сигнал характеризуется такими параметрами, как амплитуда - А; угловая частота - щ; фаза - .

Рисунок 6. Гармонический сигнал:

а - обычный сигнал; б - представление гармонического сигнала

вращением вектора; в - гармонический сигнал со сдвигом фазы

Между периодом и угловой скоростью справедливы соотношения

(2.17)

Если колебания начинаются не из нуля, то они характеризуются фазой колебаний, которая во временной области характеризуется отрезком ?t, но обычно фазу выражают в радианах или градусах - .

Перевод осуществляется по формуле:

(2.18)

Таким образом, сняв динамическую характеристику, можно получить уравнения временных характеристик (h(t),w(t)), и с их помощью найти передаточную функцию.

Важную роль при описании линейных систем играют частотные характеристики, отражающие реакцию объекта на гармонический сигнал.

Частотные характеристики могут быть легко получены, если задана передаточная функция элемента системы в форме Лапласа. Для этого в передаточной функции элемента системы нужно заменить оператор Лапласа на оператор Фурье , где - мнимая единица.

(2.19)

Выражение называется комплексным коэффициентом передачи.

АЧХ - амплитудно-частотная характеристика, изменение соотношения амплитуд при .

ФЧХ - фазо-частотная характеристика, отражает изменение угла или фазового сдвига по изменению частоты от 0 до .

(2.20)

Так же в ТАУ используется АФЧХ - амплитудно-фазовая частотная характеристика.

При изменении частоты входного сигнала от 0 до ? можно исследовать спектр входного и выходного сигналов, т.е. получить амплитудно-фазовую частотную характеристику (АФЧХ) - траекторию движения конца вектора комплексного коэффициента передачи W(jщ), при изменении частоты от 0 до ?.

АФЧХ отражает соотношение амплитуд и фаз сигналов на выходе и входе элемента системы.

- вещественная частотная характеристика

- мнимая частотная характеристика

Действительная часть амплитудно-фазовой характеристики называется вещественной частотной характеристикой (ВЧХ).

Мнимая часть амплитудно-фазовой характеристики называется мнимой частотной характеристикой (МЧХ).

Для построения частотных характеристик их уравнения можно получить зная передаточную функцию элемента или системы. Вместо оператора Лапласа в передаточную функцию подставляется оператор Фурье.

;

Так как диапазон исследуемых величин довольно высок, то частотные характеристики строятся в логарифмическом масштабе, и тогда они называются ЛАЧХ - логарифмическую АЧХ. представляющую собой зависимость от .

В общем случае, если система не содержит в своем составе неминимально-фазовых звеньев, при построении ЛАЧХ и ФЧХ можно руководствоваться следующими правилами:

1) определяется общий (эквивалентный) коэффициент усиления системы;

2) определяются частоты сопряжения звеньев ;

3) определяется начальный наклон ЛАЧХ системы: если в передаточной функции нет сомножителя , то начальный наклон составляет 0 дБ/дек, а начальный фазовый сдвиг ; если сомножитель присутствует в числителе, то начальный наклон составит +20 дБ/дек, а фаза ; если сомножитель присутствует в знаменателе, то начальный наклон составит -20 дБ/дек, а фаза ;

4) через точку на частоте или проводится линия с начальным наклоном от () до пересечения с первой сопрягающей частотой;

5) далее, при достижении каждой сопрягающей частоты наклон будет изменяться на +20 дБ/дек - если сомножитель в числителе и на -20 дБ/дек - если сомножитель в знаменателе; фазовые сдвиги для этих звеньев определяются аналогичным образом, т.е. - для числителя и - для знаменателя. При этом необходимо также учитывать степень, с которой сомножитель входит в передаточную функцию, показатель степени будет являться множителем при определении наклона и фазы.

При использовании логарифмического критерия Найквиста легко учитывается запаздывание в системе, т.к. звено чистого запаздывания не влияет на амплитуду выходного сигнала, а изменяет лишь фазовый сдвиг .

Согласно критерию, система будет устойчивой в замкнутом состоянии, если ЛАЧХ системы пересекает ось частот раньше, чем ФЧХ пересекает линию или, по-другому, фазовый сдвиг системы на частоте среза (частоте, на которой ЛАЧХ пересекает ось частот) будет больше .

На рисунке представлены ЛАЧХ и ФЧХ устойчивой статической системы, имеющей следующую передаточную функцию в разомкнутом состоянии:

.

ФЧХ системы будет определяться по формуле:

.

1.3 Типовые динамические звенья САУ

Все элементы системы независимо от их конструктивного исполнения и назначения по своим динамическим свойствам можно подразделить на ограниченное число типовых динамических. Под типовым динамическим звеном понимают элемент системы направленного действия, описываемый в динамике дифференциальным уравнением не выше второго порядка или алгебраическим уравнением. Классифицируют звенья именно по виду уравнения динамики.

Все звенья можно разделить на два типа: минимально-фазовые и неминимально-фазовые.

Звено является неминимально-фазовым, если его передаточная функция имеет положительные нули или полюса, у таких звеньев фазовая характеристика не соответствует дифференциальному уравнению. Для минимально-фазовых звеньев фазочастотная характеристика однозначно определяется амплитудно-частотной характеристикой.

Динамические звенья могут быть устойчивыми, если после приложения и снятия воздействия его выходная переменная стремится к значению до момента приложения воздействия (т.е. возвращается в исходное состояние); нейтральными (астатическими), если при ступенчатом воздействии выходная переменная изменяется с постоянной скоростью (астатизм первого порядка) или постоянным ускорением (астатизм второго порядка); а после приложения и снятия воздействия приходит в новое устойчивое состояние; неустойчивые, если выходная переменная после приложения и снятия возмущения изменяется, не приходя к некоторому устойчивому состоянию.

Рассмотрим минимально-фазовые звенья. По типу уравнений динамики их можно классифицировать следующим образом.

Простейшие звенья: а) безынерционное (усилительное, пропорциональное); б) идеально-интегрирующее, идеально-дифференцирующее;

Звенья первого порядка: а) инерционное звено первого порядка (апериодическое); б) форсирующее звено; в) реально-дифференцирующее звено первого порядка; г) интегро-дифференцирующее (инерционно-форсирующее) первого порядка.

Звенья второго порядка: а) апериодическое (инерционное) звено второго порядка; б) колебательное; в) консервативное.

Особые звенья: звено запаздывания и иррациональные звенья.

Рассмотрим типовые звенья, их уравнения динамики, передаточные функции и характеристики.

§1. Простейшие звенья.

1) Безынерционное звено.

Выходной сигнал этого звена по форме повторяет входной сигнал. Уравнение динамики

, где

K - коэффициент пропорциональности, который может быть определен по статической характеристике



Уравнение звена в изображениях

и передаточная функция

Комплексный коэффициент передачи получим, заменив в выражении передаточной функции оператор Лапласа p на оператор Фурье jщ.

Временные характеристики звена:

а) переходная функция и характеристика (реакция на ступенчатый сигнал)

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.1

б) функция веса и импульсная переходная характеристика - реакция на импульс



Звено устойчивое.

Частотные характеристики звена.

- АФЧХ получим изменяя частоту от нуля до бесконечности. Из выражения W(jщ) видно, что комплексный коэффициент усиления не зависит от частоты и не будет смещения вектора W(jщ). Таким образом АФЧХ этого звена представляет собой точку на вещественной оси, отстоящую на расстояние K от начала координат.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.2

Логарифмические амплитудно и фазочастотные характеристики:

ЛАЧХ >

Таким образом ЛАЧХ пройдет параллельно оси частот на расстоянии от нее (20 Lg K) определяемым коэффициентом передачи, фазовый сдвиг во всем диапазоне частот равен нулю.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.3

Примеры безынерционных звеньев: зубчатая передача, рычажная передача, делитель напряжения, усилитель.

2) Идеально-интегрирующее звено.

Выходной сигнал этого звена равен интегралу от входного, уравнение динамики имеет следующий вид:

, где - время интегрирования.

Запишем уравнение в изображениях

Передаточная функция звена

Перейдем к выражению комплексного коэффициента передачи:



Временные характеристики:

а) переходная функция и характеристика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.4

б) функция веса и импульсная переходная характеристика



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.5

По импульсной переходной характеристике видно, что звено астатическое (астатизм первого порядка), после снятия возмущения выходная переменная приходит к новому установившемуся значению.

Частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика

представляет собой отрицательный отрезок мнимой полуоси.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.6

Логарифмические частотные характеристики.

ЛАЧХ определяется выражением

и представляет собой прямую с отрицательным угловым коэффициентом. При щ=1 , точка пересечения с осью lg соответствует уравнению

20lgK - 20lg = 0, lg = lg K, т.е. = K.

Поэтому ее можно построить рассчитав значение L( = 1) = 20lgK и через эту точку провести прямую с наклоном -20Дб/дек, или через точку lg=lgK.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.7

Уравнение фазовой характеристики , т.е. фазовый сдвиг, постоянен и не зависит от частоты, а характеристика ФЧХ параллельна оси частот.

Наклон ЛАЧХ -20Дб/дек означает, что с увеличением частоты в 10 раз (1 декада) модуль амплитудной характеристики уменьшается на 20 Дб (в 10 раз).

Примеры звена:

3) Идеально-дифференцирующее звено.

Выходной сигнал этого звена пропорционален скорости изменения входного сигнала и уравнение звена

Уравнение в изображениях



Передаточная функция звена

Комплексный коэффициент передачи

Временные характеристики

а) переходная функция и характеристика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.9

б) функция вес и импульсная переходная характеристика

- два импульса противоположной полярности.

Частотные характеристики.

АФЧХ строится по выражению и представляет собой положительный отрезок мнимой оси. .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.10

Логарифмические характеристики

ЛАЧХ строится по выражению и представляет собой прямую с положительным угловым коэффициентом, она пересекает ось lgщ в точке

На частоте щ=1 L(щ) = 20lgK.

Таким образом, ЛАЧX можно построить рассчитав точку и отложив ее на оси lgщ провести прямую с наклоном +20Дб/дек или через точку (при щ=1) 20lgK с тем же наклоном.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.11

наклон +20Дб/дек, означает, что с увеличением частоты в 10 раз модуль амплитудной характеристики увеличивается на 20Дб (в 10 раз).

Уравнение фазовой характеристики - т.е. фазовый сдвиг не зависит от частоты и ФЧХ проходит параллельно оси lgщ через отметку +90є.

§2. Звенья первого порядка.

Апериодическое (инерционное) звено первого порядка.

Это звено в динамике описывается дифференциальным уравнением первого порядка.

,

где T - постоянная времени, характеризующая инерционные свойства звена;

K - коэффициент пропорциональности, характеризует статизм звена (коэффициент статизма ).

Запишем уравнение в изображениях



,

передаточная функция ;

Заменой p на jщ перейдем к комплексному коэффициенту передачи

Временные характеристики звена

а) Переходная функция и характеристика

- уравнение экспоненты;

- корень характеристического уравнения > Tp +1 = 0

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.13



Согласно уравнению переходной характеристики h(t=T)=0,63K, т.е. за время равное одной постоянной времени выходная переменная достигает 0,63 от установившегося значения h(?).

h(t=3T) = 0,95 • h(?); h(t=4T) = 0,98 • h(?), т.е. переходный процесс за время равное 4T можно считать завершившимся (tпер=(3ч4)T).

Постоянную времени можно определить по графику h(t) (как показано на рисунке) используя свойство экспоненты - проекция под касательной на линию установившегося значения равна постоянной времени или определяя время за которое h(t) достигает значение 0,63 h(?).

б) Функция веса и импульсная переходная характеристика.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.14

В соответствии с видом временных характеристик звено является устойчивым .

Частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению при изменении частоты 0 < щ < ?. АФЧХ этого звена согласно уравнению, представляет собой полуокружность диаметром K, расположенную в четвертом квадранте.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.15

При увеличении частоты вектор W(jщ) смещается по часовой стрелке и фазовый сдвиг меняется нуля до -90є.

Логарифмические характеристики.

ЛАЧХ > (*)

Обычно строят асимптотические ЛАЧХ, которые представляют собой ломаные линии и очень легко рассчитываются. На низких частотах , второе слагаемое в выражении (*) очень мало и его можно не учитывать, при второе слагаемое дает значение 10lg2 = 3,01, а при увеличении частоты его вклад возрастает.

Поэтому асимптотическую ЛАЧХ строят следующим образом:

для частоты по уравнению - прямая параллельна оси частот;

для наклонную линию с наклоном -20 Дб/дек. Ошибка на частоте равна 3Дб, т.е. точная L(щ) на этой частоте проходит ниже на 3Дб (показана пунктиром).

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.16

Фазовая характеристика

Примеры звена:

Дифференциальным уравнением первого порядка описываются переходные процессы в магнитном усилителе (инерционный усилитель), тепловые процессы, процессы растворения и осаждения и другие технологические процессы.

Остальные звенья первого порядка можно рассматривать как соединения простейших звеньев и звена апериодического или как соединение простейших звеньев.

Форсирующее звено.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.19

K1 - размерный коэффициент (сек.), K2 - безразмерный.

Дифференциальное уравнение звена

,

т.е. выходной сигнал пропорционален входному и скорости его изменения.

Уравнение в изображениях и передаточная функция

Комплексный коэффициент передачи

Временные характеристики звена

а)переходная функция и характеристика



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.20

б) функция веса и импульсная переходная характеристика

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.21

Звено устойчивое

Частотные характеристики

Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению

при изменении частоты 0 < щ < ? и представляет собой вертикальную прямую отстоящую от начала коорлинат на величину K.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.22

Логарифмическая амплитудно-частотная характеристика >

.

Асимптотическая ЛАЧХ - ломаная линия, на первом участке до - прямая параллельная оси частот и отстоящая от нее на расстояние 20lgK, на частоте происходит излом и дальше характеристика проходит с наклоном +20 Дб/дек.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.23

Реально-дифференцирующее звено

Это звено можно рассматривать как последовательное соединение идеально-дифференцирующего звена и апериодического первого порядка или как встречно-параллельное соединение безынерционного и идеально-интегрирующего звеньев.

Дифференциальное уравнение звена

Уравнение в изображениях и передаточная функция



Комплексный коэффициент передачи

Временная характеристика звена

а) переходная функция и характеристика

,

т.е. аналогична функции веса апериодического звена первого порядка.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.26

б) функция веса и импульсная переходная характеристика.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.27

Частотные характеристики.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика при 0 < щ < ?, представляет собой полуокружность диаметром в первом квадранте.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.28

Логарифмическая асимптотическая амплитудно-частотная характеристика представляет собой ломаную линию, до - наклон +20 Дб/дек далее прямая параллельна оси частот.



и может быть получена как сумма ЛАЧХ двух последовательно соединенных апериодического и идеально-дифференцирующего звена.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.29

Инерционно-форсирующее (интегро-дифференцирующее) звено.

Может быть получено как последовательное соединение апериодического первого порядка и форсирующего звена или встречно-параллельного соединения усилителя и апериодического звена первого порядка.

Дифференциальное уравнение звена:

Уравнение в изображениях и передаточная функция 

;

Комплексный коэффициент передачи

Свойства этого звена зависят от соотношения постоянных времени , если < 1 то звено по своим свойствам приближается к инерционному звену, а если > 1 - к дифференцирующему.

Временные характеристики звена.

а) переходная функция и характеристики.

в<1 в>1



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.34

б) функция веса и импульсная переходная характеристика.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.35

Частотные характеристики звена.

Амплитудно-фазовая частотная характеристика строится по выражению при изменении частоты от нуля до бесконечности и вид ее также зависит от соотношения .

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.36

Логарифмические характеристики асимптотическая амплитудная также представляет собой ломаные линии и зависят от коэффициента в.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.37

Неминимально-фазовые звенья

Звено является неминимально-фазовым звеном, если сдвиг по фазе при 0 < щ < ? превышает максимально возможное значение для данного типа уравнения динамики.

Звено является неминимально-фазовым, если его W(p) имеет положительный нуль или полюс (корень полинома числителя или знаменателя). Одной и той же АЧХ звена может соответствовать разные ФЧХ.

Устойчивое неминимально-фазовое инерционное звено первого порядка

Уравнение:

имеем положительный нуль

- корень положительное число.

при 0 < щ < ?, ц(щ) меняется от 0 до -180є.

Временные характеристики.

при T2 > T1



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.38

Частотные характеристики: АФЧХ T2 > T1

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.39

ЛАЧХ - - уравнение такое же как у инерционно-форсирующего звена.

T2 > T1



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.40

Апериодическое неустойчивое неминимально-фазовое звено.

Уравнение:

- начало в третьем квадранте.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.41



ЛАЧХ - - как у апериодического устойчивого.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.42

Неустойчивое неминимально-фазовое звено второго порядка.

Уравнение:

Частотные характеристики - расходящиеся колебания.



Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.43

ЛАЧХ - уравнение как у колебательного звена.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.44

о < 0,3 - использовать номограммы поправок.

К неминимально-фазовым относятся звенья:

- неустойчивое

- неустойчивое

- устойчивое

и другие.

Особое звено (также неминимально-фазовое)

Звено запаздывания (чистого запаздывания)

Уравнение:

- не зависит от щ.

ц(щ) при изменении частоты меняется от 0 до -?.

Временные характеристики. Звено повторяет входной сигнал без искажения, но со сдвигом во времени:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.45

Частотные характеристики:

АФЧХ - окружность первого радиуса.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.46

ЛАЧХ - - совпадает с осью частот, а ц(щ) - от 0 до -?.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 3.47

Примеры звеньев: устройства считывания и записи информации, длинные линии электропередачи, гидротрубопроводы, транспортные линии.

2. Правила преобразования структурных схем

Элементы САУ, математические модели которых описываются в виде передаточных функций, могут быть соединены последовательно, параллельно и с обратной связью. Рассмотрим записи эквивалентных передаточных функций при указанных типах соединений.

1. При параллельном соединении элементов на вход элементов и подается один и тот же сигнал . Эквивалентная передаточная функция параллельного соединения элементов и будет равна сумме передаточных функций и .

Рисунок 4.1. Параллельное соединение элементов

2. При последовательном соединении элементов и выходной сигнал первого элемента будет равен входному сигналу второго элемента, а эквивалентная передаточная функция будет равна произведению передаточных функций и .

Рисунок 4.2. Последовательное соединение элементов

3. При соединении элементов с отрицательной обратной связью:



Рисунок 4.3. Соединение элементов с отрицательной обратной связью

4. При соединении с положительной обратной связью:

Рисунок 4.4. Соединение элементов с отрицательной обратной связью

5. Звено можно переносить через сумматор как вперед, так и назад. Чтобы при этом передаточные функции не изменились, перед сумматором нужно поставить дополнительное звено:

Рисунок 4.5. Перенос через сумматор

6. Звено можно переносить также через точку разветвления, сохраняя все передаточные функции:



Рисунок 4.6. Перенос через точку разветвления

Всякая система автоматического управления должна нормально функционировать при действии на нее случайных помех, шумов или, несмотря на действие различных посторонних возмущений, она должна работать устойчиво. В связи с этим чрезвычайно важным является понятие об устойчивости заданного режима работы системы. Для линейных систем автоматического управления заданным режимом принято состояние равновесия.

Понятие устойчивости и ее определение

Устойчивость - способность системы возвращаться в исходное состояние равновесия после приложения и снятия воздействия, которое вывело ее из этого состояния. Если система неустойчива, то она не возвращается в исходное состояние. Таким образом, различают три типа систем:

1) устойчивые ? системы, которые после снятия воздействия возвращаются в исходное состояние равновесия;

2) нейтральные ? системы, которые после снятия воздействия возвращаются в состояние равновесия, отличное от исходного;

3) неустойчивые ? системы, в которых не устанавливается равновесие после снятия воздействия.

Наглядно устойчивость равновесия представляется следующими рисунками.

Положение равновесия шара характеризуется точкой A0. При отклонении в положение A1 в первом случае шар стремится к положению A0, во втором не стремится к этому положению, в третьем состояние шара безразлично.

Примером устойчивых систем могут служить все типовые звенья, кроме интегрирующего, которое является нейтральным объектом.

Рисунок 5.1. Иллюстрация понятия устойчивости:

а - устойчивая система; б - неустойчивая система; в - нейтральная система

Примером неустойчивой системы может служить объект, охваченный положительной обратной связью. так, некоторые химические реакторы, в которых происходят экзотермические реакции, являются неустойчивыми объектами, так как при повышении температуры скорость химической реакции увеличивается, что в свою очередь приводит к увеличению выделения тепла реакции и повышению температуры.

Устойчивость линейного дифференциального

уравнения с постоянными коэффициентами

Как известно, поведение системы после снятия возмущения, т.е. свободное движение, описывается решением однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами:

(1.1)

и заданными начальными условиями.

С этим уравнением связан характеристический полином:

(1.2)

Без ограничения общности предположим, что корни этого полинома различны, тогда решение уравнения записывается в виде:

(1.3)

Исследуем характер решения. Пусть, например, корень ? действительный, тогда возможны два случая:

а) . В этом случае составляющая имеет вид кривой, асимптотически приближающейся к оси абсцисс t > ? (рис. 6.4, а).

Действительно, при имеет место условие:

Таким образом, если все корни ? действительные отрицательные, то и все слагаемые будут стремиться к нулю, а, следовательно, и их сумма.

б) Пусть один из корней действителен и положителен, , тогда абсолютная величина слагаемого будет безгранично возрастать при t > ? (рис. 6.4, б), т.е > ? при t > ?. В этом случае у > ? даже в том случае, когда все остальные слагаемые решения стремятся к нулю при t > ?.



Рис. 5.2 Изображение составляющих решения дифференциального уравнения:

а ? корни действительные отрицательные; б ? корни действительные положительные; в ? корни комплексно-сопряженные с отрицательной действительной частью; г ? корни комплексно-сопряженные с положительной действительной частью; д ? корни мнимые; е ? нулевой корень

в) Пусть уравнение имеет комплексно-сопряженные корни. Здесь также возможны два случая. Первый случай, если , причем б < 0, тогда решение представляет собой затухающие колебания с частотой щ (рис. 6.5, в), так как eбt> 0 при t > ? , и, следовательно, все выражение также стремится к нулю при возрастании t.

Если комплексно-сопряженные корни имеют отрицательную действительную часть, то соответствующие члены решения стремятся к нулю при t > ?.

г) Пусть б > 0. В этом случае решением являются колебания с нарастающей амплитудой (рис. 6.4, г), так как eбt > ? при t > ?, следовательно, .

д) Допустим теперь, что уравнение (6.5) имеет мнимые корни, т.е. тогда решение будет иметь вид: , т.е. незатухающие колебания (рис. 6.4, д).

е) Пусть уравнение имеет нулевой корень p1 = 0, в этом случае y1= C , т.е. решение представляет собой константу.

Для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения имели отрицательные действительные части. Геометрическая интерпретация этого признака показана на рис. 6.5.

Отсюда вытекает следующая формулировка признака устойчивости: для устойчивости системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения находились в левой полуплоскости комплексной переменной p. Если хотя бы один корень лежит справа от мнимой оси, то система неустойчива. Если же хоть один корень лежит на мнимой оси, система находится на границе устойчивости. Мнимая ось jщ является границей устойчивости. Если характеристическое уравнение имеет одну пару мнимых корней, а все остальные корни находятся в левой полуплоскости, то система находится на колебательной границе устойчивости. Если же уравнение имеет нулевой корень, то система находится на апериодической границе устойчивости. Данный признак устойчивости был сформулирован А.М. Ляпуновым.



Рис. 5.3 Геометрическая интерпретация признака устойчивости:

а ? все корни с отрицательной действительной частью;

б ? часть корней имеет положительную действительную часть

Для оценки устойчивости корневым методом необходимо решение характеристического уравнения, т.е. нахождение его корней. Для уравнений высокого порядка решение является достаточно трудоемким, в связи с этим на практике получили широкое распространение т.н. критерии устойчивости, позволяющие судить об устойчивости системы, не решая характеристического уравнения.

Алгебраические критерии устойчивости

Критерий устойчивости Рауса и Гурвица позволяет по коэффициентам характеристического уравнения без вычисления его корней сделать суждение об устойчивости системы.

Словацкий ученый А.Стодола, преподававший в Швейцарии, поставил перед швейцарским математиком Гурвицем задачу нахождения условий устойчивости для линейной системы любого порядка. Такую же задачу поставил Максвелл в своем докладе, на котором присутствовал английский математик Раус. В результате, независимо друг от друга и в различных формах, Раус и Гурвиц вывели неравенства, соблюдение которых является необходимым и достаточным условием устойчивости систем любого порядка.

1. Критерий устойчивости Гурвица

Гурвиц разработал алгебраический критерий устойчивости в форме определителей, составляемый из коэффициентов характеристического уравнения системы.

Из коэффициентов характеристического уравнения строят сначала главный определитель Гурвица

(1.4)

по следующему правилу: по главной диагонали определителя слева направо выписывают все коэффициенты характеристического уравнения от an-1 до a1 в порядке возрастания индексов. Столбцы вверх от главной диагонали дополняют коэффициентами характеристического уравнения с последовательно убывающими индексами, а столбцы вниз - коэффициентами с последовательно возрастающими индексами. На место коэффициентов с индексами больше n и меньше нуля проставляют нули.

Отчеркивая в главном определителе Гурвица диагональные миноры, получим определители Гурвица низшего порядка.

Номер определителя определяется номером коэффициента по диагонали. Сам критерий формулируется следующим образом.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы все определители Гурвица имели знаки, одинаковые со знаком первого коэффициента характеристического уравнения a0, т.е. при a0 > 0:

(1.5)

Если an = 0 или ?n-1 = 0 при ?1 > 0, ..., то система находится на границе устойчивости, причем при an= 0 ? граница апериодической устойчивости (один из корней равен нулю); при an-1 = 0 ? граница колебательной устойчивости (имеются два комплексно-сопряженных корня).

По этому критерию можно определить критическое значение параметра, при котором система находится на границе устойчивости.

Критерий устойчивости Рауса

Критерий, который предложил Раус, наиболее просто поясняется табл. 5.1, где - характеристический полином.

Таблица 1

Коэффициент	Строка	Столбец
		1	2	3
-	1
-	2
	3
	4
	5
…	…	…	…	…

В первой строке записываются в порядке возрастания индексов коэффициенты характеристического уравнения, имеющие четный индекс, во второй ? нечетный индекс.

Любой другой коэффициент таблицы определяется как



где ri = c1,i-2 /c1,i-1; k - номер столбца; i - номер строки.

Число строк таблицы Рауса равно степени характеристического полинома плюс единица - (n + 1). После заполнения таблицы можно сделать следующее суждение об устойчивости системы согласно условию устойчивости Рауса.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты первого столбца таблицы Рауса имели один и тот же знак, т.е. при a0 > 0 были положительными числа:

Если не все коэффициенты первого столбца положительны, то система неустойчива, а число правых корней равно числу перемен знака в первом столбце таблицы Рауса.

Этот критерий очень удобен, когда заданы численные значения коэффициентов характеристического уравнения, очень легок для программирования на ЭВМ и нашел широкое применение при исследовании влияния на устойчивость коэффициентов уравнения либо отдельных параметров системы.

Частотные критерии устойчивости

Частотные критерии устойчивости позволяют судить об устойчивости систем автоматического управления по виду их частотных характеристик. Эти критерии позволяют исследовать устойчивость систем высокого порядка и имеют простую геометрическую интерпретацию.

1. Критерий Михайлова

Этот критерий по существу является геометрической интерпретацией принципа аргумента и был сформулирован в 1938 г. советским ученым Михайловым.

Рассматривается характеристический полином:

Замена p = jщ, приводит к комплексному полиному, называемому функцией Михайлова, характеристическим вектором.

,

где:

При изменении частоты конец вектора D(jщ) будет описывать некоторую кривую в комплексной плоскости, которая называется годографом Михайлова или годографом характеристического вектора.

Для того, чтобы система автоматического управления была устойчива, необходимо и достаточно, чтобы годограф Михайлова при изменении частоты от 0 до ?, начинаясь при щ = 0 на вещественной положительной полуоси, обходил только против часовой стрелки последовательно n квадрантов координатной плоскости, где n - порядок характеристического уравнения, не менял порядка следования и не проходил через 0. Годограф при щ = 0 начинается на положительном отрезке вещественной оси на расстоянии от начала координат, а при , уходит в бесконечность в том квадранте, каков порядок характеристического уравнения.

Годограф Михайлова для устойчивых систем имеет плавную спиралевидную форму и уходит в бесконечность в том квадранте, номер которого равен степени характеристического уравнения.



Годограф Михайлова для устойчивых систем

Примеры годографа Михайлова для неустойчивых систем:

Рис. 5.23 Годографы Михайлова для неустойчивых систем:

а - начинается на отрицательной действительной полуоси;

б - не обходит n-квадрантов координатной плоскости;

в - не охватывает начало координат



3. Критерий Найквиста

Этот частотный критерий был разработан в 1932 г. американским ученым Найквистом, он позволяет судить об устойчивости замкнутой системы по виду АФЧ разомкнутой системы.

Пусть передаточная функция разомкнутой системы имеет вид

Характеристическое уравнение разомкнутой системы (n-го порядка) определено, как A(p)=0.

Характеристическое уравнение замкнутой системы (n-го порядка) выражается, как A(p) + B(p) = 0.

Для определения устойчивости записывают передаточную функцию системы в разомкнутом состоянии, заменяют оператор на , и по выражению комплексного коэффициента передачи, изменяя частоту , строится траектория движения конца вектора , т.е. АФЧХ системы. Вид АФЧХ зависит от того, устойчива ли система в разомкнутом состоянии и от астатизма системы. Для статических систем, при , АФЧХ начинается на положительном отрезке вещественной оси на расстоянии от начала координат, с увеличением частоты, вектор движется по часовой стрелке, и при . Если АФЧХ при этом не охватывает точку с координатами , то система в замкнутом состоянии будет устойчива. На рисунке представлена АФЧХ статичесской системы (А - устойчива, В - неустойчива).



Нейтральная (астатическая) система будет устойчива в замкнутом состоянии, если ее АФЧХ в разомкнутом состоянии, при дополнении ее дугой бесконечного радиуса до положительного отрезка вещественной оси, не будет охватывать точку с координатами . В системе с астатизмом первого порядка при частоте , значение модуля АФЧХ , а величина фазового сдвига .

На рисунке 2 представлена АФЧХ астатической системы (А - устойчива, В - неустойчива).



Анализ устойчивости по логарифмическим амплитудно-частотным характеристикам (ЛАЧХ)

Наиболее удобным и наглядным способом оценки устойчивости является критерий Найквиста, в котором используются логарифмические амплитудно-частотные характеристики (ЛАЧХ) и фазочастотные характеристики (ФЧХ). Для одноконтурной системы такие характеристики можно легко построить при помощи асимптотических ЛАЧХ и ФЧХ типовых звеньев, входящих в систему. В этом случае ЛАЧХ системы определяется как сумма типовых ЛАЧХ:

...