Теория автоматического управления

,

где - комплексные коэффициенты передачи типовых звеньев.

А величину фазового сдвига определяют по формуле:

, где - фазовые сдвиги типовых звеньев.

В общем случае, если система не содержит в своем составе неминимально-фазовых звеньев, при построении ЛАЧХ и ФЧХ можно руководствоваться следующими правилами:

1) определяется общий (эквивалентный) коэффициент усиления системы;

2) определяются частоты сопряжения звеньев ;

3) определяется начальный наклон ЛАЧХ системы: если в передаточной функции нет сомножителя , то начальный наклон составляет 0 дБ/дек, а начальный фазовый сдвиг ; если сомножитель присутствует в числителе, то начальный наклон составит +20 дБ/дек, а фаза ; если сомножитель присутствует в знаменателе, то начальный наклон составит -20 дБ/дек, а фаза ;

4) через точку на частоте или проводится линия с начальным наклоном от () до пересечения с первой сопрягающей частотой;

5) далее, при достижении каждой сопрягающей частоты наклон будет изменяться на +20 дБ/дек - если сомножитель в числителе и на -20 дБ/дек - если сомножитель в знаменателе; фазовые сдвиги для этих звеньев определяются аналогичным образом, т.е. - для числителя и - для знаменателя. При этом необходимо также учитывать степень, с которой сомножитель входит в передаточную функцию, показатель степени будет являться множителем при определении наклона и фазы.

При использовании логарифмического критерия Найквиста легко учитывается запаздывание в системе, т.к. звено чистого запаздывания не влияет на амплитуду выходного сигнала, а изменяет лишь фазовый сдвиг .

Согласно критерию, система будет устойчивой в замкнутом состоянии, если ЛАЧХ системы пересекает ось частот раньше, чем ФЧХ пересекает линию или, по-другому, фазовый сдвиг системы на частоте среза (частоте, на которой ЛАЧХ пересекает ось частот) будет больше .

На рисунке представлены ЛАЧХ и ФЧХ устойчивой статической системы, имеющей следующую передаточную функцию в разомкнутом состоянии:

.

ФЧХ системы будет определяться по формуле:

.

Устойчивость системы является необходимым, но недостаточным условием нормальной работы системы.

Кроме этого в системе должно быть обеспечено требуемое качество переходного процесса, также его плавность, определённая точность, то есть после завершения переходного процесса в системе должна отсутствовать ошибка.

Комплекс требований, предъявляемых к системе в переходном процессе и установившемся режиме, называется показателем качества. Для оценки систем, различных по физической природе, используются типовые воздействия.

Для систем стабилизации используется единичное воздействие, после чего оценивается реакция системы:

Equation Section 6(6.1)

Для следящих систем применяется импульсное воздействие:

(6.2)

Для оценки качества необходимо точно определить характеристики переходного процесса. Если система реализована, то переходной процесс можно снять, а если же система представлена структурно, то можно рассчитать её переходную характеристику.

- реакция на ступеньку .

А) Задана структура системы.

Запишем уравнение динамики:

(6.3)

Решая это дифференциальное уравнение при заданном входном сигнале получаем:



.

Б) ,

При использовании этого метода определяется автоматически, остаётся лишь вычисление корней характеристического уравнения.

В) Использование разложения Хэвисайда

, где - корни(6.4)

Переходную характеристику можно построить по частотным характеристикам. Для этого можно использовать вещественную и частотную характеристику. Существует прямая связь между переходной характеристикой и видом замкнутой системы.

(6.5)

где - вещественная частотная характеристика.

По этой формуле можно записать выражение выходного сигнала при любом входном.

Показатели качества, которые рассматриваются по переходной характеристике, называются прямыми.

Существуют также косвенные методы оценки качества:

Корневые

Интегральные

Частотные функции

Поведение САР существенно зависит от величины и характера воздействий на систему. В виде типового воздействия при анализе динамики САР часто выбирают ступенчатое воздействие или единичный скачок. Такого рода воздействию соответствует, например, сброс или увеличение нагрузки в системах регулирования скорости электродвигателей.

Переходные процессы в системах при скачкообразном входном сигнале можно разделить на следующие типы:

1) колебательный процесс, который характеризуется несколькими значениями перерегулирования;

2) малоколебательный процесс, который характеризуется одним перерегулированием;

3) монотонный процесс, который характеризуется тем, что скорость изменения регулируемой величины не меняет знака в течении всего переходного процесса;

4) апериодический процесс (процесс без перерегулирования), который характеризуется тем, что отклонение регулируемой величины остается в переходном процессе меньше установившегося значения (не меняет знака).

Рассмотрим основные показатели качества системы автоматического регулирования, которые определяются по переходной характеристике (рисунок 5.2).

В точке переходного процесса, соответствующей времени , имеет место максимальное отклонение регулируемой величины .

Под максимальным перерегулированием понимается величина максимального отклонения регулируемой величины от установившегося значения, выраженное в процентах:

,

где соответствует установившемуся значению регулируемой величины, т.е.

.

Второй показатель качества позволяет оценить быстродействие системы автоматического регулирования и называется временем регулирования (протекания переходного процесса) . - время за которое от начала переходного процесса отклонение регулируемой величины не превышает 2-5% от установившегося значения.

Рисунок 6.1 - Типы переходных процессов



Рисунок 6.2 - Определение показателей качества по переходной характеристике

Третий показатель качества характеризует число колебаний регулируемой величины в течение времени переходного процесса .

Наряду с этими основными показателями качества существуют и другие характеристики:

Собственная частота колебаний системы:

,

где - период собственных колебаний системы.

Логарифмический декремент затухания системы , характеризующий быстроту затухания колебательного процесса:

,

где и - две амплитуды для рядом расположенных экстремумов кривой переходного процесса. Чем больше , тем быстрее происходит затухание переходного процесса.

Максимальная скорость отработки регулируемой величины .

Прямые показатели качества

Время регулирования определяет быстродействие системы - это время от момента приложения воздействия до момента, когда изменение не превышает .

Перерегулирование (ограниченно) ,

(6.7)

Число колебаний за время регулирования. N - число колебаний за , ограниченно ().

Время достижения первого максимума характеристики скорости переходного процесса. Для многих систем её ограничивают.

Точность системы оценивается по установившемуся состоянию и для систем стабилизации вычисляют статическую ошибку

,где - изображение ошибки Лапласа.

, при , .

Если система управления статическая, то могут присутствовать все виды ошибок.

Косвенные методы

Корневой метод. Вид переходного процесса зависит от расположения корней на комплексной плоскости. Поэтому вычислить корни характеристического уравнения замкнутой системы можно, располагая их на комплексной плоскости. «Степень устойчивости» определяет быстродействие системы, т.е. , то есть рассматриваются ближайшие к вещественной оси корни. «Степень колебательности» определяется как

(6.8)

Рисунок 6.3

При проектировании системы часто задаётся степень устойчивости и колебательности, это означает, что будет задана область, в которой будут располагаться корни характеристического уравнения. Используют также понятие «чистого корня».

- средний геометрический корень(6.9)

; - характеристическое уравнение, .

Все корни характеристического уравнения одинаковы и вещественны.

- для статических систем

- для астатических систем

Если средний геометрический корень увеличить в 10 раз, то переходной процесс будет затухать в 10 раз быстрее. При выборе расположения полюсов следования придерживаются следующих рекомендаций:

Желательно, чтобы нули располагались вблизи области полюсов, удаление нулей от области полюсов ведёт к увеличению амплитуд собственных колебаний в переходном процессе

Приближение нулей к и полюсов друг к другу не представляет опасности для полюсов, расположенных далеко от мнимой оси.

Основным влиянием на переходной процесс обладают корни полинома знаменателя, расположенные на мнимой оси.

Косвенные оценки

Частотные методы

А) АФЧХ разомкнутой системы



Рисунок 6.4

,

С - запас устойчивости , - запас устойчивости по фазе ().

Б) По АЧХ замкнутой системы

,

По АЧХ



- резонансная частота

- частота, соответствующая полосе пропускания системы

- частота среза

Рисунок 6.5

- показатель колебательности(6.10)

- оптимальные пределы для показателя колебательности.

Система является астатической:

,

Система астатическая 1-го порядка:

Для того, чтобы в системе показатель колебательности М был не больше заданного значения нужно, чтобы АФЧХ разомкнутой системы не заходила внутрь окружности , центр которой смещён влево от начала координат на .

АЧХ замкнутой системы можно построить, либо найти по АФЧХ разомкнутой системы. Поэтому построим АФЧХ разомкнутой системы.

Рисунок 6.6

Преобразуя это выражение:

По этому выражению построено семейство окружностей с различным значением параметра С. Их центры располагаются на отрицательном отрезке вещественной оси на расстоянии от начала координат . Эти окружности называются круговыми диаграммами для (M=C).

При М=1 окружность вырождается в прямую линию, параллельную оси ординат и проходящую слева от неё на расстоянии 0.5.

При М окружность вырождается в точку с координатами .

Для диапазона семейство окружностей располагается справа от линии М=1.

Симметричное ему семейство в диапазоне располагается слева от оси M=1.

При М=0 окружность вырождается в точку [0,0].

Стоит отметить, что на каждой окружности наносится значение С(М). Накладывая на эту круговую диаграмму график АФЧХ, построенный в таком же масштабе, можно определить показатель колебательности, который будет определятся той окружностью, которая касается АФЧХ разомкнутой системы.

Рисунок 6.7

Показатель колебательности на рисунке равен 1.3. По этому показателю можно определить запас устойчивости системы:

(6.11)

Для удовлетворения качества переходного процесса, когда перерегулирование показатель колебательности должен быть в диапазоне , а запас по фазе .

В учебной литературе приводятся специальные диаграммы, связывающие показатель колебательности с показателем устойчивости.

Рисунок 6.8

Показатель колебательности может определить по ЛАЧХ, а так же запас устойчивости, частоту среза, оценить время регулирования.



Рисунок 6.9.

Где - запас устойчивости по фазе, - добротность по ускорению. Чтобы обеспечить хорошее качество системы ЛАЧХ на частоте среза должна иметь

.

- это соотношение двух частот - до и после частоты среза.

(6.12)

- точка пересечения ЛАЧХ с осью частот .

дБ, значит на частоте, при которой ФЧХ пересекает линию -180 - это и есть запас устойчивости по фазе.

,, .

Определение по вещественной частотной характеристике:

Существует связь между спектрами и выходными сигналами системы. Выходной сигнал системы при произвольном входном сигнале:

(6.13)

При входном сигнале

, тогда , где .

Для того, чтобы определить качество системы, необходимо построить вещественную частотную характеристику.

Рисунок 6.10



Интервалы:

Интервал, в котором , называется интервалом положительности. ()

Интервал, в котором , называется интервалом существенных частот.

Интервал частот, в котором , называется интервалом равномерного пропускания.

Чем шире интервал положительности, тем быстрее происходит переходной процесс. Конечное значение переходной характеристики равно начальному значению вещественной характеристики. Начальное значение определяет конечное значение графика .

Рисунок 6.11

h(0) может быть 0, если полиномы передаточной функции замкнутой системы в числителе и знаменателе имеют равный порядок.

(6.14)

По вещественной частотной характеристике можно определить перерегулирование через максимальное значение:

(6.15)

При невозрастающей ,когда её скорость отрицательна или 0, перерегулирование в системе не превышает 18%.

Для того, чтобы h(t) была монотонной, должна быть положительной во всём диапазоне частот убывающей, также должно выполняться условие .

Рисунок 6.12.

При невозрастающей , которая приблизительно может быть заменена одной трапецией, время регулирования может определятся в диапазоне:

(6.16)

Выработанные Солодовниковым В.В. специальные монограммы позволяют по значениям и , величину перерегулирования и время регулирования, в зависимости от того, насколько в трапеции развивается вещественная частотная характеристика.

По графику вещественной частотной характеристики можно построить переходную характеристику с помощью h-функции.

Рисунок 6.13.

Вещественная частотная характеристика может быть построена из АФЧХ разомкнутой системы. Для того, чтобы построить ВЧХ используют специальные круговые монограммы.

На вещественную круговую диаграмму , накладывается АФЧХ разомкнутой системы, точка её пересечения с окружностью даёт значение на конкретной частоте.

Можно построить по ЛАЧХ разомкнутой системы. Был разработан метод построения переходной характеристики h(t) по вещественной частотной характеристике, разбитой на несколько траекторий.

Вводится понятие типовой единичной трапецеидальной вещественной частотной характеристики.

Рисунок 6.14. Трапецеидальная ВЧХ

Имеет высоту =1, частоту =1, характеризуется коэффициентом наклона, который равен . Если ВЧХ разбита на несколько трапеций, то для каждой трапеции определяется коэффициент наклона, и уже по нему определяется h-функция.

Для каждой трапеции определяется высота и наклон, причём сумма площадей трапеций должна быть равна площади по кривой .

Для конкретных значений находятся значения графика h(t), они изображаются в одном масштабе, после чего их ординаты суммируются, пересчитывается масштаб и получают график h(t) для конкретной системы.

Рисунок 6.15



Интегральные оценки качества:

Дают более общую картину и оценку быстроты затухающих переходных процессов величины ошибки системы в совокупности, не вычисляя их отдельно.

Линейные интегральные оценки применяются для монотонных переходных процессов, для колебательных процессов применяют квадратичные колебательные оценки.

Для монотонных:

(6.17)

Если оценивается качество по переходной характеристике, то ошибка будет равна:

(6.18)

, где - задающее воздействие. Интеграл 6.17 представляет собой площадь под кривой ошибки.

Рисунок 6.16



Если переходной процесс колебательный, то появляются положительные и отрицательные площади под кривой. Тогда используют квадратичные интегральные оценки качества:

(6.19)

Рисунок 6.18

Интегральная оценка будет тем меньше, чем меньше сумма заштрихованных площадей для квадратов ординат. Если можно обеспечить минимум интегральной оценки, то в системе будет большее перерегулирование, до 40%. Поэтому используются интегральные квадратичные критерии с определением скорости изменения выходного сигнала.

(6.20)

- коэффициент, ограничивающий скорость нарастания выходного сигнала. При его минимальном значении переходной процесс не имеет большого перерегулирования. Идеалом, к которому должен стремится переходной процесс, является ступенька.

Если удастся обеспечить 0, то идеальный переходной процесс будет являться ступенькой, а если 0, то идеальный переходной процесс будет являться экспонентой, которая определяется выражением:

(6.21)

Длина экспоненты определяется коэффициентом . Можно использовать и более сложные интегральные оценки

(6.22)

Для вычисления интегральных оценок могут использоваться специальные формулы, позволяющие вычислить интегральную оценку через коэффициент уравнения ошибки.

А определяется через разложение интеграла на 2:

(6.23)

Формула Мандельштама:

(6.24)

- начальное условие

Выражение для вычисления интегральной оценки на основе коэффициента уравнения ошибки, распространяется на уравнения более высокого порядка, но наиболее удобно вычислять интегральные ошибки через определители.

Интегральная квадратичная оценка:

(6.25)

где коэффициенты и , - это коэффициент изображения переходной характеристики.

(6.26)

- определитель Размещено на http://www.allbest.ru/

n-ного порядка, составляющийся из коэффициента:

(6.27)

; ;

Все эти коэффициенты приведены в сборнике Иващенко.

.

Формула Релея



(6.28)

где - спектр сигнала ошибки.

(6.29)

Тогда получаем:

(6.30)

По коэффициенту этих номиналов можно вычислить интеграл. Эти интегралы вычислены и записаны в специальную таблицу, с помощью которой можно определить значения интегралов.

Методы повышения точности

Качество любой системы управления в конечном счёте определяется величиной ошибки после завершения переходного процесса при .

(7.1)

где - заданное значение, - текущее значение выхода.

Точность оценивается в установившихся режимах, которых различают 2 вида:

Статический установившийся режим, который характерен тем, что внешние характеристики могут меняться скачками, а могут и оставаться постоянными. Этот режим характерен для систем стабилизации.

Динамический установившийся режим, характерен тем, что задающее воздействие меняется во времени, характерен для следящих систем.

Инвариантность систем

Одним из наиболее эффективных способов повышения точности следящих систем является применение методов теории инвариантности. В общем случае инвариантность системы по какому-либо воздействию - это независимость выходной переменной системы от этого воздействия. Применение методов теории инвариантности наиболее эффективно в тех случаях, когда к следящим системам предъявляются высокие требования в отношении динамической точности.

Основным методом, используемым при построении инвариантных систем, является введения второго канала передачи воздействия, по которому требуется обеспечить инвариантность. Следящие системы, в которых вводится второй канал передачи задающего воздействия также называют системами с комбинированным управлением, потому что в таких системах управление осуществляется как сигналом ошибки, так и сигналом задающего воздействия.

При необходимости получения абсолютной (полной) инвариантности системы по какому-либо воздействию передаточные функции устройств, которые необходимо вводить во второй канал передачи, определяются из условия равенства нулю ошибки по этому воздействию. Однако при этом часто получаются передаточные функции компенсирующей цепи, содержащие производные высоких порядков. Поскольку реализовать такие передаточные функции практически не удается, поэтому чаще всего ограничиваются выполнением условий частичной инвариантности, т.е. обеспечивают инвариантность системы к определенным составляющим воздействий. На практике обычно ограничиваются введением в компенсирующую цепь производных не выше второго или третьего порядка. В большинстве случаев этого бывает достаточно для обеспечения высокой точности системы.

Рассмотрим пример систем с комбинированным управлением. Структурные схемы следящих систем с таким управлением приведены на рисунке 7.1.

Рисунок 7.1 - Структурные схемы систем с комбинированным управлением

Теоретически может быть рассчитана такая передаточная функция компенсирующей цепи , при введении которой можно получить абсолютную инвариантность системы как по входному сигналу, так и по возмущению, т. е. абсолютно точную систему, в которой ошибка равна нулю и не зависит от входного сигнала и возмущения.

В следящей системе с комбинированным управлением по входному сигналу (рисунок 7.1, а) передаточная функция компенсирующей цепи находится из условия равенства нулю передаточной функции по ошибке:

(7.2)

Передаточная функция замкнутой системы в этом случае будет тождественно равна единице:

.(7.3)

Условие (1) является условием абсолютной (полной) инвариантности следящей системы по входному сигналу.

В следящей системе с комбинированным управлением по возмущению (рисунок 7.1, б) условием полной инвариантности является равенство .

В схеме, приведенной на рисунке 7.1, б, при выполнении условия (2) сигналы на выходе и , обусловленные возмущением, будут равны, а их разность (на входе ) равна нулю, т. е. действия возмущения по цепям и взаимно компенсируются.

Особенностью следящих систем с комбинированным управлением является то, что компенсирующие цепи при выполнении условий (1) и (2) не изменяют характеристическое уравнение замкнутой системы, а следовательно, не влияют на устойчивость.

Реализация принципа комбинированного управления позволяет компенсировать ошибки, обусловленные действием входного сигнала и возмущения, но не устраняет переходную составляющую ошибки, обусловленную ненулевыми начальными условиями.

Условия абсолютной инвариантности (1) и (2) получить на практике в большинстве случаев не удается из-за физической нереализуемости требуемых передаточных функций компенсирующих цепей, представляющих собой дроби, у которых порядок числителя больше порядка знаменателя. Приближенная реализация условий (1) и (2) позволяет получить частичную инвариантность (инвариантность до е). При этом повышается порядок астатизма системы и она становится инвариантной (не имеет ошибки) к определенным типам воздействий.

Рассмотрим возможность компенсации ошибки на примере системы с комбинированным управлением по входному сигналу (рисунок 7.1, а). Предположим, что передаточная функция этой части содержит интегратор и несколько инерционных звеньев:

,(7.4)

где ; ; ;…

Для выполнения условия инвариантности (2) передаточная функция компенсирующей цепи получается:

, (3)

где ; ; ;…

На выходе компенсирующей цепи формируется сигнал, пропорциональный производным входного сигнала, число которых определяется порядком знаменателя .

Реализовать компенсирующую цепь с передаточной функцией вида (3) практически не удается. При этом практически реализуемая передаточная функция компенсирующей цепи получается в виде



Наличие паразитной постоянной времени в передаточной функции влияет на условия компенсации ошибки, а также на характеристическое уравнение замкнутой системы. Поэтому на практике необходимо, чтобы была как можно меньше.

На практике обычно ограничиваются двумя-тремя производными из-за сложности реализации и настройки компенсирующей цепи. Хотя полная инвариантность при этом не достигается, но повышается астатизм системы на два-три порядка, причем без заметного ухудшения устойчивости.

Коррекция систем.

Для улучшения качества систем, особенно её динамики, в систему вводятся корректирующие устройства пассивного типа (четырёхполюсника с индуктивными, резистивными, ёмкостными элементами) и активные устройства, содержащие дополнительный источник питания - это корректирующие устройства на основе операционных усилителей.

В случае неустойчивости или неудовлетворительного качества переходных процессов в устойчивой системе в нее вводят корректирующие устройства (КУ). Они могут вводиться в прямую цепь - последовательные КУ, параллельно какому-либо элементу - параллельное КУ, в местную обратную связь - КУ обратной связи (ОС). Использование КУ ОС делает систему многоконтурной, они предпочтительнее других КУ. При коррекции ОС возможна линеаризация нелинейностей, устранение влияния нестабильности параметров звеньев, повышение устойчивости и качества систем. Местной ОС обычно охватывают усилители с большим коэффициентом усиления, элементы с нестабильными характеристиками, неустойчивые звенья.

Корректирующие ОС могут быть жесткие и гибкие, структура и параметры ОС выбираются по требованиям к переходному процессу в системе и условиям устойчивости корректирующего контура.

Корректирующие средства.

Под улучшением качества процесса управления, помимо повышения точности в типовых режимах, понимается изменение динамических свойств системы с целью получения необходимого запаса устойчивости и быстродействия. В этой проблеме основное значение имеет обеспечение запаса устойчивости, т.к. стремление снизить ошибки системы приводит, как правило, к необходимости использовать такие значения коэффициента усиления, при которых без принятия специальных мер система оказывается неустойчивой.

При решении задач повышения запасов устойчивости необходимо попытаться рациональным образом изменить ее параметры (коэффициенты передачи отдельных звеньев, постоянные времени и т.п.) так, чтобы удовлетворить требованиям качества. Если это невозможно в систему вводят корректирующие устройства (их иногда называют демпфирующими или стабилизирующими звеньями).

Использование того или иного типа КУ определяется удобством технической реализации. КУ последовательного типа особенно удобны в тех случаях, когда в системе используются электрический сигнал в виде напряжения постоянного тока, величина которого линейно связана с сигналом ошибки . Тогда КУ можно реализовать при помощи R, C, L - элементов.

КУ параллельного типа удобно применять в тех случаях, когда необходимо осуществить сложный закон управления с введение интегралов и производных от сигнала ошибки.

КУ обратной связи находят более широкое применение вследствие простоты технической реализации. Это объясняется тем, что на вход КУ обратной связи поступает сигнал довольно высокого уровня, часто непосредственно с выхода системы, с входа усилителя мощности или с выхода исполнительного устройства.

Отрицательные обратные связи имеют свойства уменьшать влияние нелинейностей тех участков цепи управления, которые ими охватываются.

Так как практически все системы управления содержат те или иные нелинейности (люфт, зона нечувствительности и т.п.), ухудшающие качество работы системы, то использование КУ в виде отрицательных местных обратных связей, как правило, дает возможность добиться лучших результатов по сравнению с другими типами КУ.

Можно перейти от КУ одного типа к КУ другого типа, формулы перехода получают приравниванием результирующих передаточных функций (передаточных функций скорректированной системы ).

При последовательном КУ передаточная функция , где - передаточная функция исходной системы.

При параллельной коррекции:

,

где - передаточная функция участка системы к которому подключено КУ.

- передаточная функция участка системы от сумматора до выхода системы.

При КУ обратной связи

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.2 - Коррекция обратной связью

,

где - передаточная функция участка цепи не охваченного ОС.

- передаточная функция элементов охваченных местной ОС.

Приравнивая все эти выражения можно получить шесть формул перехода от КУ одного типа к КУ другого типа, например:

> последовательное КУ через КУ обратной связи.

> КУ обратной связи через КУ последовательного типа.

Последовательные КУ.

Наиболее просто последовательные КУ реализуются на пассивных RC, RL четырехполюсниках и имеют широкое распространение. Они могут быть представлены в виде обобщенной схемы:



Размещено на http://www.allbest.ru/

где - сопротивления участков цепи, записанные в операторной форме.

Параллельные корректирующие звенья.

Параллельные КУ удобно применять при использовании сложных законов управления, когда необходимо вводить производные и интегралы от сигнала ошибки. Введение интеграла позволяет сделать систему астатической и следовательно снизить ошибки, лучше формировать изодромные звенья.

Введение производных преследует обычно цель обеспечения устойчивости и запасов устойчивости.

Введение интеграла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.3 - Параллельная коррекция введением интеграла

- изодромное звено, 

где - время изодрома.

Введение производных

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.4 - Параллельная коррекция введением производных

- форсирующее звено.

.

Обратные связи.

Местные ОС могут быть положительными и отрицательными, жесткими и гибкими. Гибкие обратные связи изменяют динамику и работают в переходных режимах, а в установившемся состоянии она как бы отключаются. Жесткая ОС действует как в переходном так и установившемся состоянии. ОС является гибкой, если .

Введение жестких отрицательных ОС приводит к уменьшению коэффициента передачи и постоянных времени.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.5 - Коррекция жесткой ОС

Отрицательные корректирующие ОС часто используют для охвата исполнительных двигателей и серводвигателей (вспомогательных двигателей), исполнительных механизмов. Это позволяет снизить влияние нелинейностей и нечувствительности на работу системы.

Положительные корректирующие ОС находят значительно меньшее применение. Их можно использовать в качестве так называемых корректоров ошибки. Например:

Рисунок 7.6 - Коррекция положительной ОС

, при

получается изодромное звено с , т.е. вводится интегрирование на базе апериодического звена.

Методы повышения запаса устойчивости.

Повышение запаса устойчивости, или демпфирование, системы сводится, в конечном счете, к рациональному перераспределению полюсов и нулей передаточной функции системы в разомкнутом состоянии.

Наиболее наглядно это можно показать на АФЧХ разомкнутой системы, которую нужно с помощью КУ деформировать так, чтобы получить заданные запасы устойчивости. Наиболее просто использовать показатель колебательности М, тогда АФЧХ не должна заходить в окружность соответствующую заданному М.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.7 - Коррекция положительной ОС

Деформация АФЧХ может быть произведена тремя основными способами:

а) демпфирование с подавлением высоких частот;

б) демпфирование с поднятием высоких частот;

в) демпфирование с подавлением средних частот.

Демпфирование с подавлением высоких частот может осуществляться различными способами. Наиболее просто - введением последовательного КУ в виде апериодического звена с коэффициентом передачи K=1 и с большой постоянной времени.



T>>Ti,

т.е. больше постоянных времени остальных звеньев.

Введение звена с большой постоянной времени делает все остальные постоянные времени относительно малыми, в результате чего достигается эффект демпфирования.

Недостатком демпфирования с подавлением высоких частот является то, что снижение полосы пропускания системы означает понижение быстродействия. Поэтому этот способ используется только тогда, когда допустимо снижение быстродействия.

Демпфирование с поднятием высоких частот. Положительный фазовый сдвиг (фазовое упреждение) может быть получен посредством включения в канал регулирования звеньев дифференцирующего типа. Если параллельной части основного канала включить идеально дифференцирующее звено, то будет получен дополнительный положительный фазовый сдвиг.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рисунок 7.8 - Параллельная коррекция

Одновременно с положительным фазовым сдвигом звено увеличивает пропускание высоких частот. Могут применяться и два дифференцирующих звена, включенных последовательно, что соответствует введению первой и второй производной от сигнала ошибки.

Могут использоваться и пассивные дифференцирующие звенья



, где , .

В этом случае положительный фазовый сдвиг получается за счет подавления низких частот. Аналогичный эффект дает применение отрицательных ОС, содержащих апериодическое звено.

Демпфирование посредством поднятия высоких частот является универсальным методом, т.к. позволяет получить требуемый результат практически при любых передаточных функциях исходной системы, в том числе и при наличии неминимально-фазовых звеньев. Поднятие верхних частот расширяет полосу пропускания системы, что приводит к увеличению быстродействия и одновременно усиливает влияние на систему высокочастотных помех. При большом уровне помех может привести к неприемлемым результатам.

Демпфирование с подавлением средних частот может быть осуществлено включением в цепь управления последовательного интегро-дифференцирующего звена с передаточной функцией:

Его ЛАЧХ и ФЧХ:

Рисунок 7.9

Звено подавляет усиление в некоторой области частот .

Вместо пассивного интегро-дифференцирующего звена можно применять его эквивалент - например гибкую обратную отрицательную связь к инерционному усилителю. По своим свойствам демпфирование с подавлением «средних» частот занимает промежуточное положение между двумя первыми методами.

Таким образом, для получения заданного качества переходного процесса и точности в установившихся режимах в систему вводят КУ. Какова должна быть структура и параметры КУ для конкретной системы определяется в процессе синтеза системы.

Под синтезом системы понимается направленный расчет, имеющий конечной целью отыскание рациональной структуры системы и определение оптимальных величин параметров ее звеньев.

Синтез системы можно трактовать как инженерную задачу, сводящуюся к такому построению системы, при котором обеспечивается выполнение технических требований к ней; или как более узкую задачу - определение структуры и параметров КУ которые необходимо добавить к некоторой неизменной части системы, чтобы обеспечить требуемое качество (проектирование САУ).

В более широком смысле синтез можно трактовать как вариационную задачу, рассматривая построение САУ при котором для данных условий работы (управляющие и возмущающие воздействия, помехи, ограничения по координатам, управлению и по времени) обеспечиваются теоретический минимум ошибки.

Регуляторы (управляющие устройства и законы регулирования)

Комплекс устройств, который позволяет воздействовать на объект управления при отклонении выходной величины от заданного значения и обеспечивающий необходимое качество работы объекта называют регулятором или управляющим устройством.

В общем виде, закон регулирования можно представить как уравнение связи между положением регулирующего органа и величиной ошибки.

(7.5)

Рисунок 7.10

Существуют 5 основных линейных законов регулирования. Стоит отметить, что при создании промышленных регуляторов стремятся, чтобы алгоритм управления с достаточной точностью описывался линейным дифференциальным уравнением.

В состав такого уравнения входят следующие математические модели:

ММ элемента сравнения

ММ усилителя

ММ исполнительного механизма

ММ регулировочного органа

5 основных законов регулирования

Закон	Описание
П-регулятор (пропорциональный)
И-регулятор (интегрирующий)
ПИ-регулятор (пропорционально-интегрирующий)
ПД-регулятор (пропорционально-дифференцирующий)
ПИД-регулятор (пропорционально-интегрирующе-дифференцирующий)

Расчёт и построение частотных характеристик САУ с заданными свойствами.

Структурная схема исходной системы представлена на рисунке 1.1, где:

К1=20; К2=2; К3=1,2;

Т1=0,4с; Т2=0,2с; Т3=2с.

Рисунок 1.1

Требования, предъявляемые к системе:

Добротность системы: Dv=20; Da=2.

При х( t)=1(t), з? 20%; tp ? 10c;

Исходная система является одноконтурной линейной (не содержит нелинейных элементов) детерминированной непрерывного действия. Ввиду того, что в структурной схеме исходной системы присутствует одно интегрирующее звено, определяем, что относительно входного воздействия система является астатической с астатизмом 1-го порядка.

Желаемая ЛАЧХ и ЛАЧХ не скорректированной системы должны совпадать в возможно более широком диапазоне частот. Это позволяет выбрать наиболее простые корректирующие устройства.

В области низких частот наклон желаемой ЛАЧХ должен быть равен 20 дБ/дек*, где - степень астатизма системы.

На частоте среза желаемая ЛАЧХ должна иметь наклон -20 дБ/дек (при частоте -40 дБ/дек сложно обеспечить запасы устойчивости по модулю и по фазе).

В области высоких частот наклоны желаемой ЛАЧХ и нескорректированной должны совпадать.

Построение низкочастотной области желаемой ЛАЧХ по заданной величине добротности системы.

Система с астатизмом первого порядка, поэтому ЛАЧХ в области низких частот, до первой сопрягающей частоты имеет наклон -20 дБ/дек.

Низкочастотная часть логарифмической амплитудной характеристики обуславливает точность работы системы при отработке медленно меняющихся сигналов управления в установившемся состоянии и определяется добротностью системы. Нам задана добротность системы по скорости Dv = 20 1/с. lg(20)=1.3.

Из точки, лежащей на оси частот равной lg(20)=1.3 проведём прямую с наклоном -20 дБ/дек.

Графически Dv можно найти, продлив начальный низкочастотный участок ЛАЧХ с наклоном -20 дБ/дек до пересечения с осью частот . Абсцисса точки пересечения и будет численно равна добротности системы по скорости.

Рисунок 3.1 - ЛАЧХ и ФЧХ скорректированной системы и ЛАЧХ исходной системы.



Сопрягающую частоту найдём графически при построении среднечастотной области.

Построение среднечастотной области по величине перерегулирования и времени регулирования.

Среднечастотная область ЛАЧХ разомкнутой системы и её сопряжение с низкочастотной определяют динамические свойства системы - устойчивость и показатели качества в переходном процессе.

Нам задана добротность системы по ускорению (Dа = 2 1/с2). Она позволяет нам определить базовую частоту о :

о = Da = 1,41 1/с.

Из точки, лежащей на оси частот с равной о проведём прямую с наклоном -40 дБ/дек до пересечения с низкочастотным участком (1СК).

Для построения среднечастотной области ЛАЧХ проведём прямую, имеющую наклон -20 дБ/дек через точку на оси частот, соответствующую ср, до сопряжения с прямой -40 дБ/дек (2СК). Протяжённость этого участка должна быть не менее 1 декады.

Зададимся lg(щср)=0.3дек.

Исходя из имеющихся данных: lg(щср)=0.3дек, величина перерегулирования з = 20 % и время регулирования tр ? 10с, с помощью которых по номограммам В. В. Солодовникова (рис. 3.2) получаем:



Рисунок 3.2 - Номограммы В. В. Солодовникова

Полученное значение tр = 4,4с соответствует условию tр ? 10с.

Определим графически сопрягающие частоты:

lg(1СК) = -1.0 (дек) => 1СК = 0.1 1/с; Т1СК = 10 с;

lg(2СК) = 0(дек) => 2СК = 1 1/с; Т2СК = 1 с.

Протяжённость сопрягающего участка между средними и высокими частотами должна быть не менее одной трети декады. Его наклон -40 дБ/дек .

Построение высокочастотной области.

Высокочастотная асимптота желаемой ЛАЧХ мало влияет на свойства системы, поэтому её следует выбрать так, чтобы корректирующее устройство было возможно простым. Исходя из этого, её наклон будет -80 дБ/дек (4СК).

Определим графически сопрягающие частоты:

lg(3СК)=1.1(дек) =>3ск = 12.6 1/с; Т3СК = 0.08 с;

lg(4СК) = 1.5 (дек) => 4СК = 31.6 1/с; Т4СК = 0.03 с.

В итоге скорректированная ЛАЧХ имеет следующие наклоны:

до частоты 1СК -20 дБ/дек;

в области частот от 1СК до 2СК -40 дБ/дек;

в области частот от 2СК до 3СК -20 дБ/дек;

в области частот от 3СК до 4СК -40 дБ/дек;

в области частот, превышающих 4СК -80 дБ/дек.

Для построения ФЧХ скорректированной системы найдём уравнение этой характеристики:

СК()= - 90 - arctg(T1СК) + arctg(T2СК) - arctg(T3СК) -2 arctg(T4СК);

СК()= - 90 - arctg(10) + arctg() - arctg(0,08) - 2arctg(0,03).

Таблица 3.1

w	0,01	0,04	0,10	0,50	1,00	2,00	5,00	10,00	12,45
цск(w)	-95,22	-109,83	-130,09	-146,13	-137,30	-129,66	-139,03	-167,20	-179,98

ЛАЧХ и ФЧХ скорректированной системы представлены на рисунке 3.1. Из рисунка 3.1 и таблицы 3.1 видно, что запас по фазе скорректированной системы ???? = 180о - |(ср)| = 180 - 130 = 50о .

Корректирующие устройства обратной связи

Корректирующие устройства обратной связи уменьшаю нестабильность характеристик элементов системы и их нелинейность. Питание корректирующих устройств обратной связи обычно осуществляется с выхода элементов развивающих значительную мощность. В качестве корректирующих устройств обратной связи часто применяется жёсткая глубокая отрицательная обратная связь, т. е. усилитель с большим коэффициентом усиления, при этом коэффициент усиления системы уменьшается, и если жёсткой отрицательной обратной связью охватить инерционное звено, то уменьшится его инерционность, может сильно уменьшится время переходного процесса системы.

Существует несколько рекомендаций по включению корректирующих устройств обратной связи:

- местной обратной связью желательно охватить те звенья, которые в процессе работы могут изменять свои параметры и имеют высокие значения коэффициентов передачи;

- отрицательная местная обратная связь уменьшает также влияние нелинейностей элементов (гистерезис, насыщение, люфт), поэтому всегда желательно включать нелинейные элементы в число охватываемых обратной связью.

Способ коррекции местной обратной связью позволяет наилучшим образом скорректировать динамические свойства системы по сравнению со способами последовательной и параллельной коррекции.

Выбор структуры корректирующего устройства обратной связи.

При введении КУ обратной связи система становится не одноконтурной. КУ обратной связи включают чаще всего к элементам с нестабильными статическими и динамическими характеристиками, в том числе, к элементам, имеющим нелинейные статические характеристики и большую инерционность.

При использовании КУ обратной связи скорректированная система имеет вид, как на рисунке 4.1

Рисунок 4.1 - Структурная схема системы при использовании КУ обратной связи.

Тогда передаточная функция желаемой системы в разомкнутом состоянии имеет следующий вид:

(4.1)

ЛАЧХ скорректированной системы:

Lск = Lох + Lно - L(1 + Wох*Wкуос). (4.2)

Для области частот, для которых Wох*Wкуос<<1 имеем:



Lск ? Lох + Lно - L1 = Lисх - 0 = Lисх. (4.3)

Поэтому необходимо, чтобы Wох*Wкуос>>1, тогда

Lск = Lох + Lно- (Lох+ Lкуос); (4.4)

Lох + Lкуос = Lисх - Lск; (4.5)

Lох + Lкуос ? - Lпосл.ку; (4.6)

Чтобы формула 4.6 была справедливой, инверсная ЛАЧХ корректирующего устройства последовательного типа должна лежать в области НЧ и СЧ не ниже 7-10 дБ от оси частот.

Для этого введём дополнительный усилитель, коэффициент усиления которого находим из графика (рис. 4.2):

20lg(kдоп) ? 36 дБ => kдоп = 63. (4.7)

Этот усилитель расположим в неохваченной обратной связью части системы.

Исходя из рекомендаций, что обратной связью лучше всего охватывать звенья, имеющие наибольшие постоянные времени, получаем:

; (4.8)

. (4.9)

По Wох(р) строим Lох(??), затем исходя из формулы 4.6 графически получаем Lкуос (рис. 4.3).

Lкуос = - Lпосл.ку - Lох . (4.10)



Рисунок 4.3 - ЛАЧХ охваченной части исходной системы, инверсная ЛАЧХ корректирующего устройства последовательного типа после усиления и ЛАЧХ КУОС.

Далее определяем по графику передаточную функцию корректирующего устройства обратной связи:



. (4.11)

Передаточная функция КУ ОС неправильная дробь, поэтому для упрощения реализации КУ изменим ЛАЧХ скорректированной системы, т. е. последний участок на частоте ??4СК сделаем -60 дБ/дек (соответственно на этой же частоте изменится наклон ЛАЧХ корректирующего устройства последовательного типа) (рис. 4.3).

Тогда передаточная функция КУ ОС имеет вид:

. (4.12)

Рисунок 4.5 - Структурная схема скорректированной системы.

Уточним коэффициент передачи дополнительного усилителя:



; (4.13)

Подставим в выражение 4.13 численные значения и выразим КОС:

;

. (4.14)

Реализация КУ.

Параметры необходимого корректирующего устройства:

. (6.1)

Разбиваем КУ на три части и рассчитываем их по отдельности:

1)WКУОС1 (р)= ;2) WКУОС2 (р) =; WКУОС3 (р) = ; (6.2)

Для WКУОС1 (р) выбираем корректирующую цепочку, представленную на рисунке 6.1. Тогда передаточная функция этого звена:

(6.3)

L0 =; L? = 1; Т1СК =R1C1; T2СК =

Рисунок 6.1 - Принципиальная электрическая схема и ЛАЧХ WКУОС1 (р).

Зададимся значением C1 = 500 мкФ, тогда:

L0 =

Для WКУОС2 (р) выбираем корректирующую цепочку, представленную на рисунке 6.2. Тогда передаточная функция этого звена равна:

(6.4)

Т4СК =R4C2; T1 = . (6.5)

Рисунок 6.2 - Принципиальная электрическая схема и ЛАЧХ WКУОС2 (р).

Зададимся значением C2 = 100 мкФ, тогда:

Для WКУОС3 (р) выбираем корректирующую цепочку, представленную на рисунке 6.3. Тогда передаточная функция этого звена равна:

(6.6)

Т3СК =R6C3; T2 = . (6.7)



Рисунок 6.3 - Принципиальная электрическая схема и ЛАЧХ WКУОС3 (р).

Зададимся значением C3 = 100 мкФ, тогда:

Определим коэффициент усиления согласующего усилителя для обеспечения требуемого коэффициента усиления корректирующего устройства:

Окончательная принципиальная электрическая схема корректирующего устройства представлена на рисунке 6.3.



Рисунок 6.4 - Окончательная принципиальная электрическая схема корректирующего устройства.

Размещено на Allbest.ru

...