Фазові траєкторії в прямих та зворотних задачах динаміки нелінійних пружних систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

НАЦІОНАЛЬНИЙ ТРАНСПОРТНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

АВТОРЕФЕРАТ

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

ФАЗОВІ ТРАЄКТОРІЇ В ПРЯМИХ ТА ЗВОРОТНИХ ЗАДАЧАХ ДИНАМІКИ НЕЛІНІЙНИХ ПРУЖНИХ СИСТЕМ

05.23.17 - будівельна механіка

ВОЛКОВА Вікторія Євгенівна

Київ - 2009

Дисертацією є рукопис.

Робота виконана в Дніпропетровському національному університеті залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна Міністерства транспорту та зв'язку України.

Науковий консультант:

доктор технічних наук, професор

Казакевич Михайло Ісакович,

Дніпропетровський національний університет залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна Міністерства транспорту та зв'язку України, професор кафедри мостів

Офіційні опоненти:

доктор технічних наук, професор

Піскунов Вадим Георгійович

Національний транспортний університет Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри опору матеріалів та машинознавства;

доктор технічних наук, професор

Гайдайчук Віктор Васильович

Київський національний університет будівництва та архітектури Міністерства освіти і науки України, завідувач кафедри теоретичної механіки;

доктор технічних наук, старший науковий співробітник

Перельмутер Анатолій Вікторович,

ВАТ Український науково-дослідний і проектний інститут сталевих конструкцій ім. В.М. Шимановського, головний науковий співробітник.

Захист відбудеться 23 жовтня 2009 р. о 10⁰⁰ на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.059.02 у Національному транспортному університеті за адресою: 01010, м. Київ, вул. Суворова 1, ауд. 333.

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Національного транспортного університету за адресою: 01103, м. Київ, вул. Кіквідзе, 42.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

фазовий пружний динамічний конструкція

Актуальність теми. Питання, пов'язані з коливаннями елементів конструкцій і споруд, часто виникають в інженерній практиці. Виникнення надмірних коливань може викликати порушення умов експлуатації елементів конструкцій або стати причиною їх руйнування. Урахування дії динамічних впливів має виключно важливе значення, що знайшло відображення в рішенні Міжвідомчої комісії з питань науково-технологічної безпеки при Раді національної безпеки і оборони України від 21 березня 2008 р. з питання “Стан забезпечення сейсмічної безпеки та проблеми розвитку сейсмостійкого будівництва в Україні”.

У зв'язку із збільшенням швидкостей транспортних засобів і потужностей технологічного устаткування різко зростає роль динамічних розрахунків. Невід'ємною основною частиною будь-якої задачі прогнозування динамічної поведінки механічних систем є побудова математичної моделі, що задовільно описує або прогнозує функціонування об'єкту або системи. Реальні фізичні процеси, що мають місце в цих системах, як правило, задовільно описуються тільки нелінійними диференціальними рівняннями. Традиційно з метою побудови моделей використовують технічні креслення, описи і іншу технічну документацію про склад динамічної системи і значення окремих параметрів. Проте у ряді випадків ця інформація недостатня. Апріорне виявлення динамічної моделі конструкції може привести не тільки до розбіжності розрахункових і відповідних дійсних параметрів коливань, але і до виникнення небажаних непередбачених режимів коливань.

Останні два десятиріччя, набули підвищеного інтересу проблеми побудови математичних моделей і прогнозування динамічної поведінки елементів конструкцій за даними експериментальних записів їх коливань. Найбільш важливими й актуальними є задачі структурної ідентифікації - виявлення динамічної моделі коливань елементів конструкцій.

Незважаючи на інтенсивну розробку даної проблеми в наукових центрах різних країн (про це свідчить велика кількість публікацій з теоретичних і експериментальних досліджень, проведення спеціалізованих конференцій) і одержані важливі результати, єдиний ефективний підхід, який би дозволяв коректно визначати, прогнозувати й аналізувати динамічні властивості елементів конструкцій, відсутній. Кожний із запропонованих методів має свою галузь або галузі застосування і не може використовуватися для всіх типів динамічних систем. Розвиток методів ідентифікації тісно пов'язаний з існуючим рівнем експериментальної вимірювальної і обчислювальної техніки, що надає можливість розробки нових підходів до розв'язання задач динаміки.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертація узагальнює результати досліджень автора, які виконувалися в рамках науково-дослідних робіт по Програмі Міністерства транспорту та зв'язку України, номери державної реєстрації 0105U001797 20.00.05.06 2005 - 2006 рр.(провідний фахівець), 0108U000643 80.01.08.09 2008 - 2009 рр. (старший науковий співробітник); досліджень за грантом Міжнародного наукового фонду INTAS (грант YSF-102-02, 2002 р. виконавець).

Мета і завдання дослідження. Мета дисертаційної роботи полягає в створенні методів розв'язання прямих та зворотних задач динаміки пружних елементів конструкцій, споруд і механізмів на основі нового підходу з застосуванням фазових траєкторій та їх відображень на площинах «прискорення - переміщення» і «прискорення - швидкість».

Для досягнення поставленої мети необхідно вирішити такі задачі:

виконати аналіз існуючих методів розв'язання прямих та зворотних задач динаміки пружних елементів конструкцій, споруд і механізмів;

дослідити властивості фазових траєкторій та їх відображень на площинах «прискорення - переміщення» і «прискорення - швидкість» для моделей пружних елементів конструкцій, споруд і механізмів, що мають геометричну або конструктивну нелінійність пружних характеристик, або нелінійні дисипативні характеристики;

виявити закономірності впливу різних форм зовнішнього збурення на структуру фазових траєкторій в розширеному фазовому просторі;

розробити критерій наявності нелінійності пружних або дисипативних характеристик досліджуваних систем, стосовно фазових траєкторії в розширеному фазовому просторі;

розробити методи коректного визначення типів і параметрів пружних характеристик динамічних моделей елементів конструкцій за даними перехідних, стаціонарних і хаотичних процесів.

Об'єктом дослідження є динамічні моделі змушених і вільних коливань, що виникають в елементах конструкцій, споруд і механізмів.

Предмет дослідження - фазові траєкторії стаціонарних, перехідних і хаотичних режимів коливань і їх відображення на площинах «прискорення - переміщення» і «прискорення - швидкість».

Методи дослідження. Поставлена мета була досягнута за допомогою комплексного підходу, який включає використання аналітичних методів теорії нелінійних коливань, методів чисельного та гібридного експериментів, а також методів фізичного експерименту.

Наукова новизна одержаних результатів відображена в наукових положеннях, запропонованих і розроблених автором:

1. розвинуто можливості класичних методів якісної теорії дослідження динамічних систем на клас зворотних задач шляхом уведення нових фазових траєкторій на площинах «прискорення - переміщення» і «прискорення - швидкість» перехідних і стаціонарних процесів;

2. вперше застосовані методи оцінки нелінійних пружних і дисипативних характеристик, які на відміну від існуючих методів, подають графічну інтерпретацію енергетичних співвідношень, що діють в досліджуваній системі, і дозволяють аналізувати характеристики не тільки гладкого типу, але й кусково-лінійні та розривні;

3. розроблені нові методи аналізу часових записів хаотичних, перехідних і стаціонарних режимів коливань, на основі застосування відображенні фазових траєкторії на площинах «прискорення - переміщення» і «прискорення - швидкість» для визначення пружних характеристик динамічних систем;

4. розроблені нові алгоритми дослідження коливань за наявності статичних і полічастотних складових зовнішнього збурення щодо конструкцій з гладкими й кусково-лінійними пружними характеристиками; запропоновані аналітичні та чисельні методи аналізу хаотичних коливань.

Практичне значення одержаних результатів. У дисертаційній роботі поданий розвиток теорії аналізу й моделювання динамічної поведінки пружних систем, запропоновані практичні рекомендації щодо виявлення й класифікації нелінійностей пружних і дисипативних характеристик, зокрема:

- створена методологія розв'язання зворотних задач динаміки, яка є більш чутливої до наявності нелінійностей, що дозволяє більш коректно встановлювати клас нелінійних моделей динамічних систем і може бути реалізована не тільки для моногармонічних, а й для полігармонійних і хаотичних режимів коливань;

- використання методів не потребує створення зовнішнього збурення спеціальних форм, таких як «білий шум», ступінчастий імпульс, які є складними в реалізації.

- запропоновані методи оцінки параметрів пружних і дисипативних систем, які на відміну від існуючих методів, що базуються на використанні рядів Вінера і Гамерштейна, не потребують чисельно диференціювати експериментальні записи, які містять шум, що дозволяє значно підвищити точність побудованих моделей.

Обгрунтування та достовірність наукових положень, висновків та рекомендацій, сформульованих в роботі, підтверджені:

строгістю і корректнестю формулювання задач динаміки деформованого тіла;

математиченим обгрунтуванням розроблених методів і обчислювальних алгоритмів;

дослідженням збіжності отриманих результатів і їх фізичним осмисленням;

порівнянням отриманих результатів з відомими результатами інших авторів і даними фізичного експеримента.

зіставленням з даними натурних вимірювань.

Результати дисертаційної роботи використовувалися при експериментальному визначенні динамічних характеристик автодорожніх мостів (Держдор НДІ імені М.П. Шульгіна ), в дослідженнях динамічних якостей пневматичних ресор рейкових екіпажів (замовник ВАТ «Крюківський вагонобудівний завод», головне пасажирське управління Укрзалізниці), при виконанні науково-дослідних робіт, в навчальному процесі.

Публікації і особистий внесок здобувача. По темі дисертації опубліковано 58 наукових робіт. В тому числі: 1 монографія, 33 статті у фахових виданнях згідно вимог ВАК України (з них - 24 без співавторів), 2 деклараційні патенти України, 3 статті в міжнародних журналах; 11 робіт в збірниках трудів конференцій, тези 8 конференцій. У спільних працях [2 - 5, 10] автор брав участь у розробці методик чисельного й гібридних експериментів, їх проведенні й обговоренні результатів. Особистий внесок автора в публікаціях [11, 26, 30] полягав в постановці досліджень і остаточному викладі результатів.

Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації були представлені на міжнародних і національних конференціях, симпозіумах, семінарах, у тому числі: міжнародному науковому конгресі “ ХХІ International Congress Theoretical and Applied Mechanics ICTAM 04” (Варшава, Польща, 2004); міжнародній конференції “Inverse problems, design and optimization 2007”, (Флоріда, США, 2007); міжнародній конференції “Fifth European Conference on Structural Dynamics “EURODYN `2002”(Мюнхен, Німеччина, 2002); міжнародній конференція “Footbridge 2002” (Париж, Франція 2002); міжнародних конференціях “International Conference on Dynamical Systems - Theory and Applications” (Лодзь, Польща, 2005, 2007); міжнародних конференціях “International Conference on the Application of Computer Science and Mathematics in Architecture and Civil Engineering IKM” (Веймар, Німеччина 2000, 2003, 2006); міжнародних конференціях “Modern Building Materials, Structures and Techniques” (Вільнюс, Литва, 2001, 2004, 2007); міжнародних конференціях “International Conference on Dynamics of Civil Engineering and Transport Structures and Wind Engineering” (Жіліна, Республіка Словаччина, 2003, 2005); міжнародній конференції “15-th International Conference on Computer methods in Mechanics” (Глівіце, Польща, 2003); українських міжгалузевих науково-практичних семінарах “Сучасні проблеми проектування і експлуатації на шляхах сполучення” (Київ, Україна, 2004, 2006); науково-технічних конференціях “Сучасні проблеми і перспектива дорожньо-будівельного комплексу України” (Київ, Україна, 2004, 2007); VІІ Українській науково-технічній конференції “Металеві конструкції. Погляд в минуле і майбутнє” (Київ, Україна, 2004); міжнародній конференції “Проблемы строительства, реконструкции и капитального ремонта зданий и сооружений, на железнодорожном транспорте” (С.- Петербург, Росія, 2003); україно-польських семінарах “Theoretical Foundations of Civil Engineering” (2000, 2003, 2004, 2006, 2007); міжнародній науковій конференції «Інженерні питання впливу вітру на споруди” (Макіївка, Україна, 1999); міжнародний науковому симпозіумі “Сучасні будівельні конструкції з металу і деревини” (Одеса, Україна, 2001); ІІ міжнародній науково-технічній конференції “Баштові споруди, матеріали, конструкції, технології” (Макіївка, Україна, 2003); науково-технічній конференції “Математичні моделі процесів в будівництві” (Луганськ, Україна, 2004); науково-практичній конференції “Інноваційні технології життєвого циклу об'єктів житлового, цивільного та транспортного призначення” (Дніпропетровськ, Україна, 2006, 2007, 2008), а також на науковому семінарі групи “Laser dynamic” інституту прикладного аналізу ім. Вейерштраса (під керівництвом професора К. Шнайдера Берлін, Німечина 04.06.2002) , семінарі Укр. НДІ сталевих конструкцій імені В.Шимановського (під керівництвом професора О.В. Шимановського 01.03.2007), семінарі «Актуальні проблеми інформаційних та транспортних систем і технологій» (під керівництвом члена-кореспондента Транспортної академії наук України, професора А.М. Пасічника 17.11.2008).

Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається з вступу, 7 розділів, висновків, списку використаних джерел (284 назв). Загальний обсяг - 326 сторінок, з них 279 сторінки основного тексту, 90 рисунків, 7 таблиць і додатків.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі обґрунтована актуальність проблеми аналізу динамічної поведінки елементів конструкції, подана загальна характеристика роботи, її мета, визначені новизна й практичне значення одержаних результатів.

У першому розділі виконаний огляд основних напрямків аналізу механічних систем і підходів до прогнозування їх динамічної поведінки. Показано, що існує два основні типи задач динаміки елементів конструкцій, а саме: прямі та зворотні задачі. У прямих задачах відомим значенням інерційних, дисипативних і пружних характеристик, а також відомому зовнішньому збуренню ставиться у відповідність закон руху досліджуваної системи. Основним напрямком розв'язування таких задач є застосування аналітичних методів у поєднанні з чисельним експериментом.

Істотний внесок у розвиток аналітичних методів дослідження динамічної поведінки елементів конструкцій зробили М. М. Крилов, М. М. Боголюбов, О. О. Андронов, В. М. Мельников, Ю. А. Митропольський, М. Г. Бондар, Л. І. Маневич.

Питанням динамічної поведінки гнучких стержнів присвячені роботи В. В. Болотіна, В. І. Гуляєва, В.В. Гайдайчука, W. Y. Tseng, J. Dugundji. Результати дослідження геометрично нелінійних тонких оболонок наведені в працях В. А. Баженова, В. І. Гуляєва, А. П. Філіпова, В. В. Болотіна, Л. І. Маневича. Особливості динамічної поведінки шаруватих композитних і товстих пластин і оболонок викладені в роботах В.Г. Піскунова, О.О. Рассказова, В. К. Чибирякова. Оцінка впливу параметрів різних типів дисипативних характеристик на поведінку досліджуваних систем зроблена в працях Я. Г. Пановко, В. А. Кононенко, К. В. Фролова, А. Тондла, М. Ф. Діментберга, І. І. Вульфсона, М. З. Коловського, М.І. Казакевича , В. В. Кулябко.

У сфері коливань пружних систем і аеродинамічної стійкості значні дослідження виконані Н. Е. Жуковським, J. P. Den Hartog, E. Simiu, М. І. Казакевичем. Різні задачі динаміки балок, пластин і оболонок, які несуть розподілене або зосереджене рухоме навантаження, вивчалися в роботах В. І. Феодосьєва, А. А. Мовчана, А. Г. Демьяненка, С. П. Киби, С. І. Коношенко, І. А. Колесника, А. П. Філіпова, В. А. Свєтлицького.

Широке впровадження комп'ютерних методів будівельної механіки дозволили істотно збільшити розміри доступних для розв'язання задач статики, динаміки і стійкості елементів конструкцій та споруд в цілому. Особливості вибору скінченноелементних моделей і їх обґрунтування викладені в роботах А.В. Перельмутера , В.І. Слівкера та інших авторів.

Інший напрям у розв'язанні прямих задач динаміки елементів конструкцій пов'язаний з вивченням поведінки фазових траєкторій на площині «переміщення - швидкість». Незважаючи на те що геометричний підхід успішно застосовується достатньо тривалий час, саме він є основою нелінійної динаміки, дає можливість передбачати нові ефекти в ряді галузей. Витоки сучасної якісної теорії нелінійних коливань сягають фундаментальних працях А. Пуанкаре і А. M. Ляпунова. Істотне значення для формування якісної теорії мали роботи Ван дер Поля, Д. Біркгофа, О. О. Андронова, М. Фейгенбаума. У післявоєнні роки інтенсивний розвиток теорії нелінійних коливань супроводжувався значним розширенням сфери її практичного застосування. Важливий внесок у цю теорію зробили вітчизняні вчені Ю. А. Митропольський, Н. Н. Моїсеєв, Ю. І. Неймарк, М. Г. Бондар, Н. У. Бутенін, П. С. Ланда, В. І. Гуляєв, В. А. Баженов, А. І. Маневич, Л. І. Маневич, Л. П. Шильников.

У зворотних задачах динаміки елементів конструкцій за відомим законом руху механічної системи визначається її модель. Інтенсивне розв'язання зворотних задач почалося у середині ХХ ст. Сфери застосування існуючих методів ідентифікації механічних систем залежить від форми зображення моделей, виду зовнішньої дії і способу обробки початкової інформації. Ряд важливих математичних результатів у сфері параметричної ідентифікації механічних систем одержали В. А. Кононенко, Н. П. Єругін, М. П. Плахтієнко, В. Б. Ларін, В. Ф. Ушкалов, С. Ф. Редько, В. П. Яковлев, питання непараметричної ідентифікації описані в роботах М. Ф. Діментберга, S. F. Masri, T. К. Caughey, M. Kulisiewics.

У другому розділі запропоновано використання фазових траєкторій і їх відображень у розширеному фазовому просторі й виконано аналіз існуючих графічних зображень коливальних процесів, які використовуються для дослідження механічних систем з одним степенем вільності. Наголошується, що більшість графічних зображень коливальних процесів дозволяють визначити тип коливального процесу і його характеристики, але не дають інформації про тип моделі початкової механічної системи.

Вказується, що у ході розробки методів прогнозування динамічної поведінки механічних систем, необхідно враховувати такі особливості механічних систем: складність реєстрації в експерименті абсолютних переміщень різних точок і доступність реєстрації їх абсолютних прискорень; простоту моделювання у багатьох випадках систем з розподіленими параметрами системами із зосередженими параметрами.

Показано, що прискорення точок більш чутливі до відхилень коливань від гармонічних. Виконане зіставлення лінійної системи з нелінійною симетричною системою з двома потенціальними ямами. Слід зауважити, що при деяких режимах коливань на частоті збурення осцилограми цих систем подібні, а акселерограми різні. Так, акселерограми лінійної системи мають вигляд гармонічного процесу, а несиметричної системи з двома потенціальними ямами - пилкоподібний вигляд (рис. 1).

Класичні фазові траєкторії на площині (y,?) широко використовуються для вивчення автономних систем з одним степенем вільності. Структура фазових траєкторій (y,?) дозволяє судити про періодичність динамічних процесів і існування особливих точок, які відповідають стійким або нестійким положенням рівноваги. Сфера застосування даних методів не обмежувалася задачами автономних коливань. Відомі також роботи, у яких дані траєкторії були використані для розв'язання задачі параметричної ідентифікації. Так, за допомогою графічного методу інтеграції Шеффера були одержані числові оцінки дисипативних і пружних характеристик в окремих точках фазового простору.

Метою даного дослідження є отримання не числових оцінок параметрів дисипативних характеристик, а їх узагальненого графічного зображення, яке більш зручне для подальшої обробки.

Фазовий простір динамічних систем багатовимірний. Кожна його точка характеризується не менше ніж чотирма координатами, а саме: переміщенням, швидкістю, прискоренням і часом.

У дисертаційній роботі пропонується використання фазових траєкторій в розширеному фазовому просторі (y,?,я). Найбільший інтерес становить фазова площина (y,я). Це пов'язано з тим, що енергетичні критерії на ній інтерпретуються найнаочніше. Зокрема, площа, обмежена кривою я(y), рівна роботі, а обхід її контуру проти годинникової стрілки відповідає енергії, витраченій системою за один цикл коливань. Фазові траєкторії на площині зворотно симетричні графіку пружної сили відносно осі y. Дані траєкторії дозволяють істотно розширити можливості класичних методів на клас зворотних задач динаміки, а саме - задач якісної ідентифікації.

У розділі виконаний аналіз властивостей фазових траєкторій автономних консервативних систем. Показано, що кут нахилу фазових траєкторій до осі y пропорційний жорсткості системи в даній точці фазового простору і для лінійних систем пропорційний частоті коливань ?₀. Виявлений взаємозв'язок між фазовими траєкторіями на площинах (y,я) і (?,я), сформульована умова існування особливих точок для траєкторій, які лежать на площині (y,я). На відміну від існуючих методів виявлення нелінійності моделей динамічних систем, застосування фазових траєкторій на площині (y,я) має ряд переваг. Так, щоб виявити порушення принципу суперпозиції необхідно й достатньо випробувати систему при роздільній і сумісній дії двох різних тестових сигналів. Проте для ряду механічних систем неможливо варіювати амплітудою зовнішнього збурення, оскільки це може привести до руйнування або встановлення аварійних режимів коливань. Цей метод дуже громіздкий у реалізації. Ізохронність коливань досліджуваної системи також не завжди дозволяє зробити висновок про лінійність характеристики пружної сили. Відомо, що серед сім'ї систем з несиметричною характеристикою пружної сили існують такі системи, період коливань яких постійний і не залежить від амплітуди, наприклад системи з білінійним і тангенціальним типами характеристик пружної сили.

Крім фазових траєкторій на площині (y,я), для аналізу динамічних систем, що знаходяться під дією зовнішнього збурення, вперше було запропоноване використання відображень фазових траєкторій на площині (?,я).

Позначимо множину точок, які описують виміряні значення переміщень, швидкостей і прискорень системи (1) в дискретні моменти часу t = t_k = t₀+kT, , k = 1,…,n, де T - період зовнішнього збурення.

У розділі викладено новий підхід до отримання детальної інформації щодо невідомих або тільки частково відомих характеристик системи на основі фазових відображень на площині (y,я). Як ілюстрація запропонованого методу розглянуті задачі оцінки таких параметрів: пружної характеристики системи з в'язким тертям; нелінійної дисипативної характеристики гладкої системи, а також системи з великою масою. Особлива увага приділена аналізу впливу параметрів зовнішнього збурення на точність оцінки шуканих параметрів.

Виконаємо аналіз перехідного процесу довжиною 15T, де T - період зовнішнього збурення. Амплітуда гармонічної складової зовнішнього періодичного збурення набувала значень a₃=1;2. Точкові відображення на площину (y,я) 4. Як видно з рис. 4, відображення, одержані для різних амплітуд зовнішнього збурення a₃, добре корелюють одне з одним. При збільшенні амплітуди зовнішнього гармонічного збурення довжина перехідного процесу зменшується. Відображаючи точки, відповідні двом послідовним періодам коливань, близькі.

У третьому розділі досліджені фазові траєкторії систем з кусково-лінійними типами характеристик пружної сили. Фізичним аналогом досліджуваних систем є віброударні демпфери, які використовуються для ефективного гасіння коливань. Зокрема, в їх склад входять спеціальні обмежувачі ходу. За типом конструктивного виконання ці пристрої можуть бути симетричними й несиметричними. Злом характеристики пружної сили чинить домінуючий вплив на поведінку системи.

Наявність нелінійностей пружної сили в механічних системах приводить до відхилення «скелетної» амплітудно-частотної залежності від прямої лінії, як у разі лінійних систем. Область існування резонансних режимів коливань нелінійних систем значно ширша, ніж для лінійних, а отже, збільшується діапазон робочих частот. Нелінійні віброударні гасителі коливань підвищують стійкість роботи системи, а також дозволяють знизити вимоги до їх регулювання і настройки.

На основі чисельного моделювання були одержані часові процеси, спектральні характеристики та фазові траєкторії на площинах (y,?) , (y,я) і (?,я) для автономних і змушених коливань симетричних і несиметричних систем з кусково-лінійною характеристикою пружної сили. Результати були отримані для таких систем з різними типами кусково-лінійних пружних характеристик: лінійної; білінійної; триланкової симетричної; симетричної з люфтом; системи з натягом; системи з натягом і люфтом.

За результатами дослідження встановлено, що фазова площина «прискорення - переміщення» для систем з кусково-лінійними характеристиками пружної сили може бути розбита на ділянки, у межах яких фазові траєкторії є відрізками прямих

Показано, що в точках перемикання кусково-лінійних пружних характеристик порушується плавність траєкторій на площині «прискорення - переміщення».Люфтам-зазорам пружної характеристики відповідають горизонтальні ділянки фазових траєкторій, а силовому натягу - вертикальні. Кут нахилу фазових траєкторій на площині «прискорення - переміщення» і відображень пропорційний жорсткості механічної системи. Вплив зовнішнього періодичного збурення приводить до встановлення суб- і ультрагармонічних режимів коливань додаткових петель на фазових траєкторій, кількість яких залежить від порядку ультра- і субгармонік.

У розділі наведено результати аналітичного дослідження фазових траєкторій на площині (y,я) коливань кусково-лінійних консервативних систем.

Для оцінки достовірності одержаних теоретичних даних було виконано їх зіставлення з даними натурного експерименту, одержаними галузевою лабораторією динаміки рухомого складу Дніпропетровського національного університету залізничного транспорту імені академіка В. Лазаряна під керівництвом професора Є. П. Блохіна. Під час проведення експерименту до демпфера було прикладене зовнішнє стохастичне збурення. Слід зауважити, що виконати оцінку параметрів пружної характеристики шляхом обернення точних аналітичних рішень у даному випадку неможливо у зв'язку з їх відсутністю. Застосування відомих методик на основі методу найменших квадратів також неможливе через відсутність числових оцінок зовнішнього збурення. Шляхом обробки експериментальних записів прискорень і переміщень були побудовані точкові відображення віброударного демпфера. Аналітично отримані значення частот власних коливань показали хороший збіг з експериментальними даними.

У четвертому розділі подані результати дослідження змушених коливань систем з гладкими нелінійними пружними характеристиками, яке проводилося на гібридному обчислювальному комплексі, створеному на базі аналогового обчислювального комплексу АВК-31. Для генерування зовнішнього збурення був використаний генератор сигналів спеціальної форми Г6-26. Для візуального спостереження обчислювального процесу використовувався двопроменевий осцилограф С1-99. Результати інтеграції нелінійного диференціального рівняння передавалися за допомогою інтерфейсних пристроїв на комп'ютер. Метою гібридного експерименту було дослідження стаціонарних і перехідних процесів і їх фазових траєкторій (рис. 7), вивчення впливу початкових умов на стаціонарні режими коливань, побудова амплітудно-частотних характеристик.

У даному розділі наведено результати якісного дослідження резонансних коливань шести систем: «м'якої»; «жорсткої»; нелінійної несиметричної «жорсткої» системи ; нелінійних систем з двома потенціальними ямами - симетричної і несиметричної.

Зіставлення одержаних фазових траєкторій для систем з різними типами гладкої пружної характеристики дозволяє узагальнити результати. Резонансним коливанням систем з «м'якою» і «жорсткою» пружними характеристиками відповідають траєкторії на площині (y,я), що мають вигляд від'ємної та додатної кубічних парабол відповідно. Траєкторії нерезонансних коливань систем з нелінійною характеристикою пружної сили зважаючи на малість переміщень подібні траєкторіям лінійних систем. Траєкторії коливань систем з несиметричною характеристикою типа Дуффінга пружної сили несиметричні відносно початку координат.

Траєкторії «великих» резонансних коливань на частоті зовнішнього збурення для систем з двома потенціальними ямами подібні траєкторіям резонансних коливань систем з «жорсткою» пружною характеристикою. Відмінною особливістю систем з двома потенціальними ямами є існування двох несуміжних траєкторій на площині (y,я), які відповідають режимам коливань відносно двох несуміжних стійких положень рівноваги. Вплив непарних ультрагармонік у системах з двома потенціальними ямами приводить до виникнення «малих» коливань відносно точок, відповідних положенням рівноваги, а парних - до виникнення «малих» коливань відносно тільки одного з положень рівноваги. При цьому на графіках часових процесів я(t) спостерігається модуляція коливань зображувальної точки. Фазові траєкторії на площинах ?(y) і я(?), характерні для даного діапазону частот, мають характер замкнутих кривих: симетричних при резонансах на непарних гармоніках і несиметричних - на парних гармоніках. При цьому на фазових траєкторіях на площині ?(y) до основної ділянки, подібної кубічній параболі, додаються додаткові криві - елементи квадратних парабол. Фазові траєкторії на площині я(?) мають вигляд еліпсів, на які накладаються додаткові петлі, симетричні відносно осі я. Для «малих» коливань основного тону фазові траєкторії (y,?) і (?,я) є колами, часові процеси я(t) мають моногармонічний характер, а графік залежності (y,я) має вигляд прямої. Для резонансних «великих» субгармонійних коливань вплив гармоніки основного тону викликає появу самоперетинів фазових траєкторій на площинах (y,?) . Часові процеси «великих» субгармонічних коливань є графіками періодичного полігармонічного процесу.

У п'ятому розділі виконано дослідження механічних систем з лінійною пружною характеристикою і найпоширенішими типами дисипативних характеристик нелінійних дисипативних систем.

Підкреслюється, що зараз найбільшого поширення набули методи визначення характеристик розсіяння енергії в матеріалі, що базуються або на безпосередньому вимірюванні розсіюваної в зразку енергії, або на отриманні відносних характеристик розсіяння енергії - непрямі методи. Аналізуючи перераховані методи і їх різновиди, можна відзначити, що всі вони дозволяють визначити тільки усереднені характеристики; жоден з методів не виключає впливу сухого тертя на кількісні характеристики, не є універсальним стосовно досліджуваних матеріалів.

На основі чисельного моделювання були одержані часові процеси, спектральні характеристики для систем з в'язким тертям; з кулоновим тертям; з комбінованим тертям; з нелінійним тертям для від'ємних і додатних значень коефіцієнта; систем з аеродинамічним опором; систем з симетричною і несиметричною кусково-лінійною характеристиками позиційного тертя.

Аналіз одержаних результатів дозволяє стверджувати, що швидкість загасання часових процесів y(t), ?(t) і я(t) постійна для систем з лінійним, нелінійним і кулоновим тертям. Відстань між витками петель гістерезису на площині (y,я) і еліптичними дугами на площині (?,я) постійна для систем з кулоновим тертям і змінна для інших типів тертя. Кінцеві ділянки петель гістерезису на площині (y,я) для випадку лінійного тертя скруглені, оскільки прискорення, досягнувши свого максимального значення, повільного затухає, а для випадку нелінійного тертя - гострі.

У системах з кулоновим тертям у точці, що відповідає максимальному прискоренню, відбувається миттєвий перехід від однієї гілки до іншої, яким на діаграмі залежності (?,я) відповідають вертикальні прямі. Відстані між витками спіралей на фазовій площині (?,я) для систем з додатним коефіцієнтом при кубічному члені у виразі для сили тертя спадають швидше, а для систем з від'ємним - повільніше, ніж для систем з лінійною залежністю. При наростаючих коливаннях спіралі траєкторій на площині (?,я) і петлі гістерезису на площині я(y) розкручуються, а при тих, що убувають - згортаються до стійкого положення рівноваги. Фазові траєкторії систем з позиційним тертям на площині (?,я) є елементами еліптичних дуг, зміщених один відносно іншого в лівій і правій півплощинах: кососиметричними відносно початку координат для системи з кулоновим тертям і несиметричними для систем з позиційним тертям. Відображення фазових траєкторій на площині (y,я) дозволяють виконати оцінку величини модуля сухого тертя. Частота й амплітуда зовнішнього збурення якісно не впливають на вигляд відображень фазових траєкторій на площині (y,я) для систем з позиційним тертям.

На основі результатів, одержаних в розділах 4 і 5, було виконано узагальнення і сформульовані рекомендації щодо застосування фазових траєкторій на площині «прискорення - переміщення» до оцінки параметрів динамічних моделей. Передбачалося, що характеристика пружної сили може бути описана кубічною залежністю.

Одержані фазові траєкторії можна розглядати як такі, що складаються з окремих елементів.

Для деякого набору параметрів фазові траєкторії змінюватимуть свою форму і положення на площині (y,я) залежно від частоти зовнішнього збурення: при зростанні частоти зовнішнього збурення довжина фазових траєкторій збільшуватиметься, досягаючи максимального значення при резонансі, і швидко зменшуватиметься після проходження резонансу. Для визначення параметрів пружної характеристики перевага віддається фазовим траєкторіям резонансних коливань на частоті зовнішнього збурення. Беручи до уваги особливості динамічної поведінки систем з нелінійною пружною характеристикою, для контролю точності оцінки параметрів пружних характеристик доцільно використовувати декілька фазових траєкторій на площині (y,я), одержаних для декількох значень частот зовнішнього збурення. Оцінка значень параметрів a і b може бути виконана або із застосуванням відомих аналітичних рішень, або шляхом інтерполяції. Наприклад, припустимо, що відомі амплітуди і частоти коливань основного тону, що відповідають білярезонансним режимам. З метою визначення параметрів a і b скористаємося відомим усередненим розв'язком для знаходження частот резонансних коливань. Тоді, для двох послідовних значень частот одержимо систему двох рівнянь, розв'язуючи яку маємо:

Аналізуючи рис. 10, можливо зауважити, що величина модуля сухого тертя H₁ може бути виміряна безпосередньо при обробці фазової траєкторії в точці y= A_r, а значення коефіцієнта в'язкого тертя можна визначити із співвідношення , де G_f - відстань між точками перетину фазовою траєкторією осі я. Точність отриманих значень параметрів в'язкого та сухого тертя може бути оцінена через проведення альтернативних обчислень за відомими формулами.

Дані рекомендації були застосовані до обробки і аналізу результатів натурних вимірювань коливань автодорожнього моста, виконаних Державним дорожнім науково-дослідним інститутом імені М.П.Шульгіна. З генеральної сукупності експериментальних записів, були виділені часові процеси вільних коливань і побудовані фазові траєкторії і їх відображення в розширеному фазовому просторі. Відображення фазових траєкторій на площині (y,я), дозволили віднести досліджувану систему до несиметричних систем з «м'якою» характеристикою пружної сили. Нелінійний характер пружної сили автодорожнього моста пояснюється наявністю дефектів і пошкоджень пролітної будови. Зокрема, при коливаннях тріщини мостового полотна поперемінно відкриваються і закриваються, що приводить до зміни жорсткості. Іншим фактором, що пояснює несиметрію пружної характеристики, є наявність односторонніх зв'язків між сталевими балками і мостовим полотном.

Шостий розділ присвячений дослідженню впливу зовнішнього збурення на динамічну поведінку механічних систем з нелінійними симетричними і несиметричними гладкими й кусково-лінійними типами характеристик пружної сили. У розділі розглядаються дві основні форми зовнішнього збурення, а саме - змушуючі сили й параметричне збурення. Наголошується, що основна роль зовнішнього збурення при формуванні періодичних режимів коливань полягає в підтримці вільних коливань системи на частотах рівних, кратних або дробових до частоти зовнішнього збурення.

Вплив параметричного збурення на структуру фазових траєкторій на площині (y,я) було досліджено на прикладі задачі про коливання трубопроводу під дією рухомого продукту. Розрахункова схема трубопроводу являла собою шарнірно обперту балку довжиною l, на яку діє рівномірно розподілене рухоме навантаження інтенсивністю q з постійною швидкістю n. Інтенсивність власної ваги балки p.

Математична модель коливань трубопроводу відносно стійкого квазістатичного положення рівноваги є диференціальним рівнянням із змінними коефіцієнтами. Відмітною особливістю досліджуваної системи від систем з постійними пружними характеристиками є те, що нахил фазових траєкторій на площині (y,я) до осі y є змінним і залежить від швидкості потоку. Так, встановлено, що при збільшенні швидкості потоку нахил фазових траєкторій на площині (y,я) до осі y зменшується, а при зменшенні швидкості - зростає. Досягши критичного значення швидкості руху продукту, фазова траєкторія на площині (y,я) вироджується в горизонтальну пряму.

У розділі також наведені результати дослідження динамічної поведінки гнучкого пішохідного моста довжиною l=100 м, що має замкнутий поперечний переріз площею А=0,3 м². Зауважимо, що даний клас конструкцій дуже чутливий до динамічних дій, особливо до рухомого пішохідного навантаження. Припустимо, що розрахункова схема моста є гнучкою пологою двошарнірною аркою прогоном l. Поперечний переріз арки постійний по її довжині. Стріла підйому арки W₀. На арку діє постійне навантаження від власної ваги q і зусилля розпору N_x.

Динамічні дії рухомого пішохідного навантаження на міст мають такі особливості: частота прикладення рухомого пішохідного навантаження f залежить від його інтенсивності q; швидкість руху пішоходів уздовж моста V також залежить від інтенсивності пішохідного навантаження q.

Динамічна поведінка досліджуваної системи описується несиметричним нелінійним рівнянням типу Дуффінга із змінною амплітудою зовнішнього збурення. За допомогою чисельного моделювання були одержані амплітудно-частотні характеристики, часові процеси, спектральні характеристики та фазові траєкторії на площинах (y,?), (y,я), (?,я).

У розділі виконаний аналіз впливу стріли підйому арки на її динамічну поведінку. Зауважимо, що із збільшенням стріли підйому моста стійке положення рівноваги змінюється і резонансні частоти «малих» коливань щодо положення стійкої рівноваги зростають. Одержані часові процеси мають полігармонічний характер. Вплив зовнішнього періодичного збурення із змінною амплітудою приводить до розширення діапазонів частот, у яких реалізуються хаотичні коливання. На «великі» коливання на частоті зовнішнього збурення накладаються коливання з частотами 2w і w/3. Положення центру коливань змінне. Фазові траєкторії на площині (y,я) зворотносиметричні графіку зміни пружної характеристики і мають додаткові петлі відносно трьох положень рівноваги.

Вплив полігармонічного зовнішнього збурення приводить до емержентності - появі нових властивостей системи. Так, лінійна механічна система може мати нескінченне число резонансних діапазонів частот, відповідних гармонікам зовнішнього збурення.

Оскільки поява стаціонарних режимів коливань можлива тільки при періодичному зовнішньому збуренні, то частоти нижчої і вищої гармонік приймалися кратними.

Аналіз одержаних результатів дозволяє зробити висновок про те, що нелінійні несиметричні системи вельми чутливі до виду зовнішнього збурення. Тому часто використовуване припущення про моногармонічний характер зовнішнього збурення в реальних механічних системах є не завжди коректним. Вплив полігармонічного збурення приводить до зміни спектрального складу коливань і розширення областей існування субгармонічних режимів коливань. Наявність декількох гармонічних складових зовнішнього збурення приводить до розщеплювання фазових траєкторій резонансних коливань на площині (y,я).

Аналітичне дослідження змушених коливань систем з нелінійною пружною силою показало, що основна гармоніка зовнішнього збурення помітно збільшує відклик на частоті вищої гармоніки - перший максимум амплітудної кривої, і нею нехтувати не можна. Вплив вищої гармоніки на відклик системи на основній гармоніці дуже малий для малих значень кратності гармонік ?, і при визначенні другого максимуму амплітудної кривої ним практично можна знехтувати.

Для підтвердження достовірності одержаних результатів і визначення ефективності запропонованих методів оцінки пружних і дисипативних властивостей механічних систем було проведене їх зіставлення з даними, одержаними групою американських вчених по гранту «National Science Foundation». До складу групи входили професори S. F. Masri ( Civil Engineering Department, University of South California) і T.K. Caughey (Division of Engineering and Applied Science, California Institute of Technology). Ними був запропонований метод параметричної ідентифікації, основна ідея якого полягала в апроксимації відновлювальної сили в тривимірному фазовому просторі поліномами Чебишева. Як тестові приклади розглядалися лінійна система і система Дуффінга. У дисертації наведене якісне порівняння методу F. Masri і T. K. Caughey і запропонованого автором методу точкових відображень. Вказується, що точкові відображення є більш чутливими до нелінійності пружної характеристики. Вони можуть бути застосовані не тільки для систем з гладкими типами нелінійностей, але й з розривними нелінеаризовними типами.

У сьомому розділі подані результати експериментального дослідження коливань гнучкого стержня. Експеримент включав: визначення динамічних характеристик вільних коливань стержня; побудову амплітудно-частотних характеристик змушених коливань; вивчення форм коливань; ідентифікацію динамічної моделі гнучкого стержня.

Стержень був виконаний із смуги пружинної сталі довжиною l₁=2 м і з розмірами поперечного перерізу bxh = 0,05x0,0056 м. Відстань між опорними отворами становила l=1,995 м. Для дослідження змушених нелінійних коливань гнучкого стержня на стадії монтажу моделі стержню було надане початкове подовжнє зусилля стиску N. Величина зусилля осьового стиснення приймалася більше ейлерової сили втрати стійкості. Після обтиснення прямолінійна форма подовжньої осі стержня ставала нестійкою Вплив сил стиску приводить до несиметрії системи. Стійким положенням рівноваги стержня відповідали статичні початкові прогини y_b=0,058м і y_с=-0,006м.

Для дослідження змушених коливань гнучкого стержня був використаний комплект вимірювально-реєструючої апаратури, до складу якого входили засоби реєстрації переміщень і прискорень точок стержня, частотомір, пристрої перетворення і зберігання сигналів, а також комп'ютер.

Форма коливань вимірювалася за допомогою реєстрації сигналів у ході всього експерименту. Форми згинальних коливань визначалися шляхом одночасного запису сигналів усіх п'яти тензодатчиків, розташованих на відстанях 1/8 l, 1/4 l, 1/2 l, 3/4 l і 7/8 l від лівої опори. Вивчення одержаних осцилограм показало, що коливання для всіх п'яти точок стрижня однакові, а амплітуди коливань зростають від крайніх перерізів до середнього.

При динамічних випробуваннях гнучкого стержня на дію періодичного зовнішнього збурення були знайдені діапазони частот, у яких існують декілька стійких режимів коливань, і одержані часові процеси хаотичних коливань (рис. 16). Випуклий стержень при малих амплітудах зовнішнього збурення до появи режимів проклацування проявляв властивості системи з «м'якою» характеристикою пружної сили, а для режимів проклацування - систем з «жорсткою» характеристикою. Унаслідок несиметрії пружної характеристики, максимальні значення частот «малих» коливань щодо нижнього й верхнього положень рівноваги не рівні. Одержані фазові траєкторії на площинах для стаціонарних процесів коливань були подібні траєкторіям, характерним для несиметричних систем з двома потенціальними ямами.

У розділі вперше запропоноване використання точкових відображень фазових траєкторій на площині (y,я) для ідентифікації моделі досліджуваної системи за записами хаотичних коливань. Для побудови відображень фазових траєкторій була виконана обробка часових процесів прискорення й переміщень довжиною 252 періодів зовнішнього збурення. Заздалегідь нехтуючи впливом дисипації, можна припускати, що характеристика пружної сили може бути визначена із рівняння (3).

Основною причиною цього ефекту є наявність високочастотних шумів з амплітудами, співмірними з амплітудами «малих» коливань. Шляхом усереднювання отриманих значень прискорень і переміщень був одержаний поліноміальний тренд. Крива тренда являє собою несиметричну кубічну параболу, що перетинає вісь переміщень у точках y₁ = 0,06 м, y₂ = 0,039 м і y₃=0,006 м, близьких за значенням до координат положень рівноваги стержня y_b=0,058 м, y_а=0,034 м і y_с=-0,006 м.

Для оцінки статистичної достовірності одержаного поліноміального тренда було визначено значення множинного коефіцієнта детермінації, яке становило R²=0,835. Можливості пропонованого методу обмежені тільки рівнем шумів, похибкою вимірювань і об'ємом вибірки оброблюваного процесу.

На основі аналізу фазових траєкторій стержня і їх відображень виконана непараметрична ідентифікація динамічної моделі, а потім визначені значення її параметрів. Для оцінки їх достовірності виконана процедура параметричної ідентифікації з використанням методу найменших квадратів і проведено зіставлення, що показало хороший якісний збіг результатів.

ОСНОВНІ РЕЗУЛЬТАТИ І ВИСНОВКИ

Дисертаційна робота містить теоретичні узагальнення й нові рішення проблеми прогнозування динамічної поведінки і динамічних характеристик елементів конструкцій, що мають загально наукове та прикладне значення.

Найважливіші наукові й практичні результати роботи такі:

1. Більшість існуючих методів розв'язання зворотних задач динаміки пружних елементів основані на обернені точних і наближених аналітичних розв'язків, що описують коливання модельних систем. Однак не всі диференційні рівняння, що описують динамічну поведінку механічних систем мають замкнуті аналітичні рішення. Методи, що основані на поліноміальному представлені нелінійних моделей потребують значної кількості обчислювальних операцій і пов'язані як з проблемами збору великої кількості даних, так і їх збереженням на жорсткому диску комп'ютера.

2. Вперше розвинуто можливості класичних методів якісної теорії на клас зворотних задач динаміки шляхом використання фазових траєкторій і їх відображень в розширеному фазовому просторі. На відміну від класичних фазових траєкторій на площині «швидкість - переміщення», запропоновані фазові траєкторій на площинах «прискорення - переміщення» і «прискорення - швидкість» дозволяють не тільки виявити тип динамічного процесу, але й встановити клас початкової моделі.

3. За результатами аналітичних і експериментальних досліджень, вперше виділені загальні і відмітні особливості фазових траєкторій на площинах «прискорення - переміщенні» і «прискорення - швидкість», властиві окремим класам динамічних моделей, сформована сукупність класифікаторів, а також представлений опис взаємодії між елементами траєкторій для класифікації типу моделі і (або) коливального процесу.

4. Вперше встановлено, що для аналізу нестаціонарних процесів найбільш ефективним є застосування відображень фазових траєкторій на площинах «прискорення - переміщення» і «прискорення - швидкість». Для автономних систем фазові траєкторії на площині «прискорення - переміщення» зворотно симетричні відносно осі «переміщення» графіка зміни пружної характеристики. Їх нахил до осі «переміщення» пропорційний жорсткості досліджуваної системи.

5. Виявлено, що фазова площина «прискорення - переміщення» для систем з кусково - лінійними типами пружних характеристики може бути розбита на ділянки, у межах яких фазові траєкторії є відрізками прямих, в точках перемикання кусково-лінійних пружних характеристик порушується плавність траєкторій, люфтам-зазорам пружної характеристики відповідають горизонтальні ділянки фазових траєкторій, а силовому натягу - вертикальні ділянки.

6. Вища гармоніка бігармонійного зовнішнього збурення незначно впливає на реакцію за основною гармонікою, але із збільшенням кратності гармонік зовнішнього збурення рівень взаємного впливу гармонік збільшується.

7. Встановлено, що параметричне збурення істотно впливає на вигляд фазових траєкторій на площині «прискорення - переміщення», призводячи до обертання фазових траєкторій. В момент втрати стійкості руху в досліджуваних системах фазові траєкторії приймали вигляд горизонтальних прямих.