Геометрические характеристики поперечных сечений стержня

1) ориентированными; 2) главными площадками;

3) октаэдрическими; 4) секущими.

Решение: Верный ответ - 2).



При повороте элементарного объема 1 можно отыскать такую его пространственную ориентацию 2, при которой касательные напряжения на его гранях исчезнут и останутся только нормальные напряжения (некоторые из них могут быть равными нулю).

Задание 4.1.3: Главные напряжения для напряженного состояния, показанного на рисунке, равны… (Значения напряжений указаны в МПа).

1)у1=150 МПа, у2=50 МПа; 2) у1=0 МПа, у2=50 МПа, у3=150 МПа;

3) у1=150 МПа, у2=50 МПа, у3=0 МПа; 4) у1=100 МПа, у2=100 МПа.

Решение: Верный ответ - 3). Одна грань элемента свободна от касательных напряжений. Поэтому это главная площадка, а нормальное напряжение (главное напряжение) на этой площадке также равно нулю.

Для определения двух других значений главных напряжений воспользуемся формулой

,

где положительные направления напряжений показаны на рисунке.



Для приведенного примера имеем , , . После преобразований найдем , . В соответствии с правилом нумерации главных напряжений имеем у1=150 МПа, у2=50 МПа, у3=0 МПа, т.е. плоское напряженное состояние.

Задание 4.1.4: В исследуемой точке напряженного тела на трех главных площадках определены значения нормальных напряжений: 50МПа, 150МПа, -100МПа. Главные напряжения в этом случае равны...

1)у1=150 МПа, у2=50 МПа, у3=-100 МПа;

2) у1=150 МПа, у2=-100 МПа, у3=50 МПа;

3) у1=50 МПа, у2=-100 МПа, у3=150 МПа;

4) у1=-100 МПа, у2=50 МПа, у3=150 МПа;

Решение: Верный ответ - 1). Главным напряжениям присваивают индексы 1, 2, 3 так, чтобы выполнялось условие .

Задание 4.1.5: На гранях элементарного объема (см. рисунок) определены значения напряжений в МПа. Угол между положительным направлением оси x и внешней нормалью к главной площадке, на которой действует минимальное главное напряжение, равен …

1) ; 2) 00; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 3).

Угол определяется по формуле

.

Подставляя числовые значения напряжений, получаем

,

. Отрицательный угол откладываем по часовой стрелке.

Задание 4.1.6: Значения главных напряжений определяют из решения кубического уравнения . Коэффициенты J1, J2, J3 называют…

1) инвариантами напряженного состояния; 2) упругими постоянными;

3) направляющими косинусами нормали;

4) коэффициентами пропорциональности.

Решение: Верный ответ - 1). Корни уравнения - главные напряжения ? определяются характером напряженного состояния в точке и не зависят от выбора исходной системы координат. Следовательно, при повороте системы осей координат коэффициенты

,

должны оставаться неизменными.

4.2 Виды напряженного состояния

Задание 4.2.1: Стержень круглого сечения диаметром d испытывает деформации чистого изгиба и кручения. Напряженное состояние в точке В показано на рисунке…

Решение: Верный ответ - 3). Секущими плоскостями, ориентированными вдоль и поперек оси стержня, выделим объемный элемент. В сечении стержня у заделки действуют изгибающий момент М и крутящий момент 2М. От изгибающего момента М в точке В возникает нормальное растягивающее напряжение . Крутящий момент 2М, действующий в плоскости, перпендикулярной оси стержня, вызывает касательное напряжение . Направление касательного напряжения должно быть согласовано с направлением крутящего момента. Поэтому напряженное состояние элемента на рисунке 4 соответствует напряженному состоянию в точке В.

Задание 4.2.2: Стержень испытывает деформации растяжения и чистого изгиба. Напряженное состояние в опасной точке называется…



1) плоским; 2) объемным; 3) линейным; 4) чистым сдвигом.

Решение: Верный ответ - 3). Опасные точки расположены бесконечно близко к верхней грани элемента. В них возникают только растягивающие нормальные напряжения от продольной силы и изгибающего момента. Эпюры распределения напряжений от каждого внутреннего силового фактора и результирующая эпюра показаны на рисунке.

Следовательно, в опасной точке будет линейное напряженное состояние.

Задание 4.2.3: Напряженное состояние «чистый сдвиг» показано на рисунке…

Чистый сдвиг - напряженное состояние, когда на гранях выделенного элементарного объема действуют только касательные напряжения. Если элементарный объем повернуть на угол, равный 450, то касательные напряжения на его гранях (площадках) будут равны нулю, но появятся нормальные (главные) напряжения и . Чистый сдвиг может быть реализован растяжением и сжатием в двух взаимно перпендикулярных направлениях напряжениями, равными по абсолютной величине.

Задание 4.2.4: Тип напряженного состояния, показанного на рисунке, называется…



1) линейным; 2) плоским; 3) объемным; 4) чистым сдвигом.

Решение: Верный ответ - 1). Тип напряженного состояния определяется в зависимости от значений главных напряжений. В примере одна грань свободна от касательных напряжений - это главная площадка. Нормальное напряжение, действующее на главной площадке, называют главным напряжением. В данном случае оно равно нулю. Используя формулу

,

найдем два других главных напряжения. После преобразований получим , , . В соответствии с принятыми обозначениями имеем , . Два главных напряжения равны нулю, следовательно, на рисунке показано линейное напряженное состояние.

Задание 4.2.5: Напряженное состояние при значениях у1=0 МПа, у2=-20 МПа, у3=-50 МПа называют…

1) объемным; 2) чистым сдвигом; 3) плоским; 4) линейным.

Решение: Верный ответ - 3). Тип напряженного состояния определяется значениями главных напряжений. В случае, когда все три главных напряжения отличны от нуля, имеем объемное напряженное состояние. Если одно главное напряжение равно нулю - плоское напряженное состояние, а когда два равны нулю - линейное.

Задание 4.2.6: На гранях элементарного объема (см. рисунок) действуют напряжения заданные в МПа. Напряженное состояние в точке …



1) линейное; 2) плоское (чистый сдвиг); 3) плоское; 4) объемное.

Решение: Верный ответ - 3). Передняя грань элементарного объема свободна от касательных напряжений. Это означает, что она является главной площадкой и одно из трех главных напряжений равно (-50 МПа). Два других главных напряжения определим по формуле

.

Поставляя числовые значения, получаем

,

, . Присваивая главным напряжениям индексы, имеем: у1=0 МПа, у2=-50 МПа, у3=-100 МПа.

4.3 Оценка прочности материала при сложном напряженном состоянии. Теории прочности

Задание 4.3.1: Напряженное состояние в точке показано рисунке. Значение эквивалентного напряжения по критерию удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности) равно...



1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 2). Эквивалентное напряжение по четвертой теории прочности определяется по формуле

.

Для заданного напряженного состояния значения главных напряжений равны у1=у, у2=0, у3=-у. После преобразований найдем.

Задание 4.3.2: Число, показывающее, во сколько раз следует одновременно увеличить все компоненты напряженного состояния, чтобы оно стало предельным, называется…

1) коэффициентом запаса для данного напряженного состояния;

2) теоретическим коэффициентом концентрации напряжений;

3) эффективным коэффициентом концентрации напряжений;

4) коэффициентом динамичности системы.

Решение: Верный ответ - 1). Предположим, что при заданном напряженном состоянии в точке материал находится в упругом состоянии. При пропорциональном увеличении всех компонентов этого напряженного состояния в данной точке материала, возникнут либо пластические деформации, либо начнется разрушение.

Задание 4.3.3: Напряжение, которое следует создать в растянутом стержне, чтобы его состояние было равноопасно с заданным напряженным состоянием, называют …

1) главным напряжением; 2) наибольшим касательным напряжением;

3) октаэдрическим напряжением; 4) эквивалентным напряжением.

Решение: Верный ответ - 4). Понятие «эквивалентное напряжение» содержит предположение, что для количественной оценки перехода материала из одного состояния в другое достаточно знать числовое значение эквивалентного напряжения.

Задание 4.3.4: Состояние, при котором происходит качественное изменение свойств материала, переход от одного механического состояния к другому, называется…

1) хрупкостью; 2) пластичностью;

3) предельным напряженным состоянием; 4) разрушением.

Решение: Верный ответ - 3). Напряженное состояние в точке является главной причиной изменения механических свойств материала. В зависимости от условий нагружения материал конструкции может находиться в различных механических состояниях. При незначительных внешних силах материал находится в упругом состоянии. При больших значениях внешних нагрузок материал переходит или в пластическое состояние, или в состояние разрушения.

Задание 4.3.5: Изотропный материал на растяжение и сжатие работает неодинаково. Для оценки прочности материала при сложном напряженном состоянии используется теория…

1) О. Мора; 2) наибольших удлинений (вторая теория прочности);

3) наибольших касательных напряжений (третья теория прочности);

4) удельной потенциальной энергии формоизменения (четвертая теория прочности);

Решение: Верный ответ - 1). При оценке прочности материала, неодинаково работающего на растяжение и сжатие, используют теорию прочности О. Мора. Эквивалентное напряжение по данной теории определяют по формуле Коэффициент «k» для пластичного материала равен отношению предела текучести при растяжении к пределу текучести при сжатии, . Для хрупкого материала где - предел прочности материала при растяжении, - предел прочности материала при сжатии.

Задание 4.3.6: Согласно теории наибольших касательных напряжений (третья теория прочности), самое опасное напряженное состояние показано на рисунке …

1) А; 2) Б; 3) все три напряженных состояния равноопасны; 4) В.

Решение: Верный ответ - 2). Эквивалентное напряжение по теории наибольших касательных напряжений (третья теория прочности) определяется по формуле . Для состояния А: у1=у, у2=у, у3=0. Для состояния Б: у1=у, у2=0, у3= -у. Для состояния В: у1=0, у2= -у, у3= -у. Наибольшая величина эквивалентного напряжения получается для напряженного состояния, показанного на рисунке Б , поэтому данное напряженное состояние является самым опасным.

4.4 Деформированное состояние в точке. Связь между деформациями и напряжениями

Задание 4.4.1: Зависимость между компонентами напряженного и деформированного состояния в пределах малых упругих деформаций носит название…

1) принципа Сен-Венана; 2) закона Гука при сдвиге;

3) теоремы Кастилиано; 4) обобщенного закона Гука.

Решение:

Верный ответ - 4). Напряженное и деформированное состояния в точке тела связаны друг с другом через свойства материала. В пределах малых упругих деформаций эта зависимость является линейной и носит название обобщенного закона Гука. Наиболее простую форму этот закон принимает для изотропного материала.

Задание 4.4.2: Совокупность линейных и угловых деформаций, возникающих по различным осям и в различных плоскостях, проходящих через данную точку тела, называют…

1) депланацией; 2) перемещением точки;

3) деформированным состоянием в точке; 4) объемной деформацией.

Решение: Верный ответ - 3).

В общем случае элементарный объем испытывает три линейные деформации и три угловые. Деформированное состояние в точке полностью определяется, если заданы шесть компонентов тензора деформаций (, , , , , ). Зная эти компоненты, можно определить линейную и угловую деформации в любом направлении и в любой плоскости, проходящей через данную точку.

Задание 4.4.3: Три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых отсутствуют угловые деформации, называют…

1) главными осями деформированного состояния;

2) главными осями; 3) центральными осями; 4) осями симметрии.

Решение: Верный ответ - 1). Среди множества осей, проходящих через точку, в которой исследуется деформированное состояние, существуют три взаимно перпендикулярные оси, в системе которых угловые деформации равны нулю. Эти оси называются главными осями деформированного состояния, а линейные деформации в этой системе - главными деформациями.

Задание 4.4.4: Модуль упругости материала Е и коэффициент Пуассона м заданы. Относительное изменение объема равно …

1); 2) ; 3) 0; 4) .

Решение: Верный ответ - 2). Для определения относительного изменения объема используем формулу . Подставим вместо их значения, тогда

Задание 4.4.5: На рисунке показано напряженное состояние в точке изотропного тела. Модуль упругости материала , коэффициент Пуассона . Линейная деформация в направлении х равна…



1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 3). Воспользуемся уравнением обобщенного закона Гука

.

В данном примере , , . После вычислений найдем.

Задание 4.4.6: Объемный элемент находится под действием нормальных напряжений, показанных на рисунке: , , . Модуль упругости материала , коэффициент Пуассона . Линейная деформация в направлении оси z будет равна нулю, когда у принимает значение…

1) 25 МПа; 2) 100 МПа; 3) -25 МПа; 4) 50МПа.

Решение: Верный ответ - 1). На основании обобщенного закона Гука, составим выражение для определения линейной деформации в направлении оси z:

.

Подставим в формулу числовые значения

, тогда .

5. Геометрические характеристики поперечных сечений стержня

5.1 Статические моменты. Центр тяжести плоской фигуры

Задание 5.1.1: Статический момент относительно оси x равен…

1) 48а3; 2) 96а3; 3) 144а3; 4) 72а3.

Решение: Верный ответ - 4). Статический момент площади сечения относительно оси x

.

В данном случае , где А - площадь сечения, - ордината центра тяжести сечения.

Задание 5.1.2: Ось, относительно которой статический момент площади сечения равен нулю, называется…

1) осью симметрии; 2) центральной;

3) средней линией контура; 4) нейтральной линией.

Решение: Верный ответ - 2). Рассмотрим некоторое поперечное сечение стержня. Свяжем его с системой координат x, y и составим два интеграла.



Индекс А у знака интеграла указывает на то, что интегрирование проводится по всей площади сечения стержня. Первый интеграл называется статическим моментом площади сечения относительно оси x, второй - относительно оси y. В зависимости от выбранной системы координат статические моменты могут быть положительными, отрицательными или равными нулю.

Задание 5.1.3: Статический момент площади сечения относительно оси x равен…

1) ; 2) 0; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 4). Статический момент сечения относительно оси

В данном случае , где Аi - площади составных фигур, - ординаты центров тяжести составных фигур.

.

Задание 5.1.4: Статический момент площади фигуры относительно оси x определяется интегралом …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 1).

Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площади dA прямоугольной координатной сеткой (x и y - координаты центра тяжести элементарной площадки). Если каждую элементарную площадь умножить на координату у и сложить эти произведения, то получим статический момент площади относительно оси x. Чем мельче координатная сетка, тем точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием по площади А, получим выражение статического момента площади относительно оси x:

.

Задание 5.1.5: Статический момент относительно оси x равен…



1) ; 2) нулю; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 2). Центр тяжести треугольника расположен на расстоянии h/3 от основания. Следовательно, ось x проходит через центр тяжести фигуры и является центральной. Относительно центральной оси статический момент площади сечения равен нулю.

5.2 Осевые моменты инерции. Зависимость между моментами инерции при параллельном переносе осей

Задание 5.2.1: Осевой момент инерции площади сечения относительно оси y равен…

1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 3). Для круга . В данном случае для полукруга

.

Задание 5.2.2: Осевой момент инерции площади фигуры относительно оси y определяется интегралом …

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 3).

Разделим площадь А плоской фигуры на элементарные площадки dA прямоугольной координатной сеткой (x и y - координаты центра тяжести элементарной площадки). Если каждую элементарную площадку умножить на х2 и сложить эти произведения, то получим осевой момент площади относительно оси y. Чем мельче координатная сетка, тем точнее результат расчета. Заменяя операцию сложения интегрированием по площади А, получим выражение для осевого момента площади относительно оси y:

.

Задание 5.2.3: На рисунке размеры поперечного сечения заданы в см. Осевой момент инерции сечения относительно центральной оси x равен…



1) 512 см4; 2) 1792 см4; 3) 576 см4; 4) 448 см4.

Решение: Верный ответ - 4). Дополним поперечное сечение до прямоугольника, который обозначим 1. Прямоугольнику с отрицательной площадью присвоим цифру 2. Ось х является центральной для прямоугольников 1 и 2.

Осевой момент инерции прямоугольного сечения относительно центральной оси, параллельной основанию, определяется по формуле . При определении осевого момента инерции сечения необходимо из момента инерции прямоугольника 1 вычесть два момента инерции прямоугольника 2, то есть

см3.

Задание 5.2.4: Если h=3b, то значение осевого момента инерции площади относительно оси x1 равно…



1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 4). Для вычисления используем формулу перехода от центральной оси к любой, параллельной ей:

.

Задание 5.2.5: Осевой момент инерции относительно оси x1 равен…

1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 2). Для круглого сечения диаметром d осевой момент инерции сечения относительно центральной оси х определяется по формуле

.

Ось х1 расположена параллельно центральной. Воспользуемся формулой для определения осевого момента инерции сечения при переходе от центральной оси к нецентральной, расположенной параллельно центральной , где b - расстояние между осями х1 и х, А - площадь поперечного сечения. Тогда

.

Задание 5.2.6: Осевой момент инерции относительно оси y равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 3). Для прямоугольника момент инерции площади относительно центральной оси, перпендикулярной основанию равен . В данном случае

.

5.3 Главные оси и главные моменты инерции

Задание 5.3.1: Для сечения известны осевые моменты инерции сечения относительно осей х1, у1, х2: , , . Осевой момент инерции относительно оси у2 равен…

1) 1000 см4; 2) 2000 см4; 3) 2500 см4; 4) 3000 см4.

Решение: Верный ответ - 3). Сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей при повороте осей на некоторый угол остается постоянной, то есть

.

После подстановки заданных значений получим .

Задание 5.3.2: Из указанных центральных осей сечения равнополочного уголка главными являются…

1) х3; 2) все; 3) х1; 4) х2.

Решение: Верный ответ - 4). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.3: Главные оси инерции …

1) можно провести только через точки, лежащие на оси симметрии;

2) можно провести только через центр тяжести плоской фигуры;

3) это оси, относительно которых моменты инерции плоской фигуры равны нулю;

4) можно провести через любую точку плоской фигуры.

Решение: Верный ответ - 4). На рисунке показана произвольная плоская фигура. Через точку С проведены две взаимно перпендикулярные оси U и V.

В курсе сопротивления материалов доказывается, что если эти оси поворачивать, то можно определить такое их положение, при котором центробежный момент инерции площади обращается в ноль, а моменты инерции относительно этих осей принимают экстремальные значения. Такие оси называются главными осями.

Задание 5.3.4: Из указанных центральных осей главными осями сечения являются…

1) все; 2) х1 и х3; 3) х2 и х3; 4) х2 и х4.

Решение: Верный ответ - 1). Для симметричных сечений оси симметрии являются главными осями инерции.

Задание 5.3.5: Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются…

1) центральными осями; 2) осями симметрии;

3) главными центральными осями; 4) главными осями.

Решение: Верный ответ - 4). При повороте осей координат на угол б моменты инерции сечения меняются.

Пусть заданы моменты инерции сечения относительно координатных осей x, y. Тогда моменты инерции сечения в системе координатных осей u, v, повернутых на некоторый угол относительно осей x, y, равны

,

,

.

При некотором значении угла центробежный момент инерции сечения обращается в нуль, а осевые моменты инерции принимают экстремальные значения. Данные оси называются главными осями.

Задание 5.3.6: Момент инерции сечения относительно главной центральной оси хС равен…



1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 2)

Для вычисления используем формулу

5.4 Моменты инерции простых и сложных сечений

Задание 5.4.1: Осевой момент инерции относительно оси x равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 3).

Осевой момент инерции . В данном случае

.

Задание 5.4.2: Поперечное сечение балки составлено из вертикального листа и четырех неравнополочных уголков . Характеристики уголка заданы. Размеры на рисунке даны в мм. Моменты инерции сечения и соответственно равны…

1) 4551 см4, 516 см4; 2) 9445 см4, 496 см4;

3) 9445 см4, 516 см4; 4) 9445 см4, 186 см4.

Решение: Верный ответ - 3). При решении задачи воспользуемся формулами перехода к параллельным осям:

,



учитывая, что первоначальные оси х1 и у1 - центральные. Разбиваем составное сечение на четыре неравнобоких уголка и прямоугольник, которые обозначим индексами 1 и 2 соответственно.

Осевой момент инерции относительно оси x определяется по формуле

.

Аналогично определяем осевой момент инерции относительно оси y

Задание 5.4.3: Момент инерции площади фигуры, состоящей из двух кругов, относительно оси x равен…

1) ; 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 3). При вычислении задачи используем формулу перехода к параллельным осям , где - осевой момент инерции фигуры относительно своей центральной оси х1; b - расстояние между осями х2 и х1; А - площадь фигуры. Применительно к данной задаче имеем

.

Задание 5.4.4: Момент инерции площади фигуры относительно оси x, проходящей через центр тяжести фигуры, равен …

1) 19,15t4; 2) 2,25t3-0,785t4; 3) 5,18t4; 4) 5,965t4 .

Решение: Верный ответ - 4). Разбиваем фигуру на квадрат 1 и круг 2. Момент инерции всей фигуры равен разности моментов инерции квадрата и круга:

Задание 5.4.5: Поперечное сечение балки составлено из двух швеллеров №20 и листов, прикрепленных с помощью сварки. Характеристики швеллера приведены. Размеры на рисунке даны в мм. Осевой момент инерции сечения относительно главной центральной оси x равен…



1) 17560 см4; 2) 8800 см4; 3) 3080 см4; 4) 17600 см4.

Решение: Верный ответ - 4). Разбиваем сложное сечение на ряд простых фигур: два швеллера и два прямоугольника, которые обозначены индексами 1 и 2 соответственно. Ось x является главной центральной осью сечения. Осевые моменты инерции простых фигур относительно своих главных центральных осей, расположенных параллельно оси x, равны , .Ось швеллера совпадает с осью x. Ось листа удалена от оси x на расстоянии 11 см. Поэтому при определении момента инерции второй фигуры относительно оси x надо воспользоваться формулой перехода к параллельным осям. Окончательно имеем

.

Задание 5.4.6: Момент инерции сечения относительно оси х равен…

1); 2) ; 3) ; 4) .

Решение: Верный ответ - 4).



Для вычисления используем формулу

,

.

Размещено на Allbest.ru

...