Размещено на http://www.allbest.ru/

Міністерство освіти і науки України

Вінницький державний технічний університет

ОПІР МАТЕРІАЛІВ З ЕЛЕМЕНТАМИ ТЕОРІЇ ПЛАСТИЧНОСТІ

В.А. Огородніков,

І.О. Сивак,

Вінниця ВДТУ 2001

УДК 620.1(075)

О 39

Рецензенти:

П.С. Берник, доктор технічних наук, професор

О.М. Переяславський, кандидат технічних наук, доцент

А.С. Моргун, кандидат технічних наук, доцент

Рекомендовано до видання Ученою радою Вінницького державного технічного університету Міністерства освіти і науки України

В.А. Огородніков, І.О. Сивак, М.В. Бабак

О 39Опір матеріалів з елементами теорії пластичності. Під загальною редакцією В.А. Огороднікова.

Навчальний посібник. - Вінниця: ВДТУ, 2001. - 100 с.

Навчальний посібник стане в нагоді студентам всіх спеціаль-ностей, а також буде корисним викладачам та фахівцям.

УДК 620.1(075)

© В.А. Огородніков, І.О. Сивак, М.В. Бабак, 2001

ЗМІСТ

ПЕРЕДМОВА

1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ

1.1 Предмет і задачі курсу

1.2 Реальний об'єкт і розрахункова схема

1.3 Основні гіпотези і припущення

1.4 Види навантажень і основних деформацій

1.5 Внутрішні сили. Метод перерізів

1.6 Напруження в перерізі

2. РОЗТЯГАННЯ І СТИСКАННЯ

2.1 Напруження і деформації

2.2 Закон Гука при розтяганні і стисканні

2.3 Діаграма розтягання. Механічні характеристики матеріалу

2.4 Допустиме напруження

2.5 Розрахунки на міцність за допустимими напруженнями

2.6 Статично невизначувані задачі

2.7 Розрахунок температурних напружень в СНС

3. НАПРУЖЕНИЙ СТАН В ТОЧЦІ

3.1 Поняття про напружений стан

3.2 Плоский напружений стан

3.3 Головні площадки і головні напруження

3.4 Узагальнений закон Гука

3.5 Потенціальна енергія деформації

4. ТЕОРІЇ МІЦНОСТІ

4.1 Оцінка міцності при складному напруженому стані

4.2 Основні гіпотези міцності

4.3 Критерії руйнування

5. ЗСУВ

5.1 Основні поняття. Напруження при зсуві

5.2 Напруження і деформації при чистому зсуві

5.3 Практичні розрахунки на зріз і зминання

6. ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ПЕРЕРІЗІВ

6.1 Статичний момент площі. Центр ваги перерізу

6.2 Моменти інерції перерізу

6.3 Формули переходу до паралельних або повернутих осей

6.4 Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу

6.5 Радіуси інерції. Моменти опору

7. КРУЧЕННЯ

7.1 Напруження і деформації при кручені стрижнів круглого поперечного перерізу

7.2 Епюри крутних моментів

7.3 Розрахунки на міцність і жорсткість

7.4 Напруження і деформації в стержнях некруглого поперечного перерізу

7.5 Статично невизначувані задачі при крученні

8. ЗГИН

8.1 Основні поняття

8.2 Поперечна сила і згинальний момент

8.3 Залежності між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом

8.4 Епюри поперечних сил і згинальних моментів

8.5 Нормальні напруження при чистому згині

8.6 Поперечний згин. Дотичні напруження

8.7 Аналіз напруженого стану при згині. Розрахунки на міцність

8.8 Рівняння пружної лінії зігнутої балки

8.9 Визначення кутових та лінійних переміщень методом початкових параметрів

ПЕРЕДМОВА

Останнім часом в зв'язку зі скороченням аудиторного часу, який відводиться на вивчення курсу опору матеріалів в вищих навчальних закладах, і в той же час появою нових розділів в науках про міцність - повзучість, експериментальна механіка машин, пластичність, теорія надійності та інше, виникла потреба в створені короткого підручника, який буде відображати сучасні тенденції розвитку наук про міцність. Більшість відомих нам підручників розраховані на суттєво більший об'єм годин, ніж це передбачено сучасними програмами. Тому в запропонованому підручнику зроблена спроба привести у відповідність фактичний об'єм відведених годин, які відводяться на вивчення курсу опору матеріалів, із конспективним його викладенням.

Крім того, на відміну від підручників, які вже існують, де деякі розділи наук про міцність відображені слабо, в запропонованому підручнику викладено новий науковий напрямок, який розвивається на кафедрі опору матеріалів та прикладної механіки ВДТУ з 1971 року - теорія граничних станів в умовах складного напруженого стану і складного навантаження, теорія деформовності тіл зі складною реологією. Цей матеріал представляє великий науковий та практичний інтерес як для спеціалістів, які досліджують матеріал за границею пружності, так і для технологів з обробки металів тиском.

Підручник складається із трьох частин:

І - охоплює розділи “Основні положення”, “Розтягання і стискання”, “Напружений стан в точці”, “Теорія міцності”, “Зсув”, “Геометричні характеристики плоских перерізів”, “Кручення” і “Згин”;

ІІ - традиційні розділи і розділи в яких висвітлені методи розрахунків за межами пружності;

ІІІ - експериментальна механіка машин.

Деякі спеціальні розділи підручника призначені для студентів усіх спеціальностей, а також корисні для магістрів, аспірантів та викладачів вищих навчальних закладів.

1. ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ

1.1 Предмет і задачі курсу

Опір матеріалів як наука виник в епоху Відродження, коли розвиток техніки, торгівлі, мореплавства, військової справи вимагав наукових обгрунтувань, потрібних для будівництва великих морських суден, мостів, гідротехнічних споруд та інших складних конструкцій. Засновником цієї науки вважають італійського вченого Галілея (15641642). Значний вклад в розвиток науки про опір матеріалів вніс англійський вчений Роберт Гук (16351703), який відкрив закон пружної деформації. Подальший розвиток цієї науки був викликаний прогресом промисловості і пов'язаний з працями видатних учених та інженерів: Леонарда Ейлера (17071783), М.В. Ломоносова (17111765), І.П. Кулібіна (17351818), Д.І. Журавського (18211891), Ф.С. Ясинського (18561899), Н.А. Боголюбського (18451922), О.М. Крилова (18631945) та інших. Значний вклад в розвиток опору матеріалів як науки внесли також Лагранж, Максвелл, Кастільяно, Мор.

Наука про опір матеріалів продовжує розвиватися, уточнюються і вдосконалюються методи розрахунку. Більшість законів і висновків мають чітке математичне відбиття. Опір матеріалів як класична наука має менш абстрактний характер у порівнянні з теоретичною механікою, що досліджує закони руху абсолютно твердих тіл. Опір матеріалів вивчає поведінку реальних твердих тіл, розміри яких можуть змінюватися у процесі дії сил.

Досвід показує, що всі частини конструкцій під дією навантажень деформуються, тобто змінюють свою форму і розміри, а іноді руйнуються.

Опір матеріалів це наука про інженерні методи розрахунку на міцність, жорсткість і стійкість елементів машин та споруд.

Міцністю називається здатність матеріалу конструкцій і їх елементів чинити опір дії зовнішніх сил не руйнуючись. В опорі матеріалів розглядають методи розрахунку елементів конструкцій на міцність.

Під жорсткістю розуміють здатність конструкцій, їх елементів протидіяти деформації (зміні розмірів і форми). Розрахунки на жорсткість гарантують, що зміни форми і розміру конструкцій і їх елементів не перевищать допустимих норм.

Під стійкістю розуміють здатність конструкції і її елементів протидіяти зусиллям, які намагаються вивести її з початкового стану рівноваги. Розрахунки на стійкість дають можливість уникнути раптової втрати стійкості і викривлення довгих або тонких деталей.

Щоб конструкція в цілому відповідала вимогам міцності, жорсткості і стійкості, необхідно придати її елементам раціональну форму і необхідні розміри всі ці питання розглядаються в курсі ”Опір матеріалів”.

Наука про опір матеріалів грунтується на законах теоретичної механіки, в якій тіла вважаються абсолютно жорсткими, тобто не здатними до деформації. Користуючись розглянутим в теоретичній механіці принципом твердження, в опорі матеріалів для визначення реакцій опор і діючих у перерізах деталей внутрішніх сил застосовуватимемо до деформованих тіл умови рівноваги статики. Проте для розрахунків на міцність та жорсткість деякі положення теоретичної механіки виявляються непридатними, зокрема:

1) зовнішні сили, які діють на тіло, не можна замінити їх рівнодійною або еквівалентною системою сил;

2) силу не можна переносити вздовж лінії її дії;

3) пару сил не можна пересувати в площині дії пари.

Ці правила мають виняток. Так, наприклад, сили, прикладені до невеликої поверхні тіла як і в теоретичній механіці, вважатимемо зосередженими, тобто прикладеними до однієї точки; розподілені реактивні сили, прикладені до затисненого кінця балки, як і раніше, замінюватимемо реактивною силою і реактивним моментом. Такі заміни не вносять суттєвих змін в умови деформування. Це положення має назву принципу пом'якшених граничних умов або принципу Сен-Венана, за ім'ям французького вченого Сен-Венана (17971886).

Принцип Сен-Венана можна сформулювати так: у точках тіла, достатньо віддалених від місць прикладення зовнішніх сил, величина внутрішніх сил дуже мало залежить від конкретного способу прикладення сил. Надалі, вивчаючи окремі види деформацій, на підставі принципу Сен-Венана не будемо цікавитися конкретними способами прикладення зовнішніх сил і вважатимемо, що в місці їх прикладення внутрішні сили змінюються стрибкоподібно.

В поєднанні з аналітичними методами, розвинутими в математиці, в курсі опору матеріалів використовуються експериментальні методи, досягнення фізики і матеріалознавства.

На практиці доводиться мати справу з конструкціями складної форми, але їх можна уявити складеними з окремих простих елементів, наприклад, брусів, пластин, оболонок і масивів. Основним розрахунковим елементом в опорі матеріалів є брус, тобто тіло, поперечні розміри якого малі порівняно з довжиною. Бруси бувають прямолінійні і криволінійні, сталого і змінного перерізу. Залежно від їх призначення в конструкції бруси називають колонами, балками, стержнями.

Плоский переріз, перпендикулярний до осі бруса, називають поперечним; переріз, паралельний осі бруса (прямолінійного) повздовжнім; інші плоскі перерізи похилими. Крім розрахунку брусів курс “Опір матеріалів” займається розрахунком пластин і оболонок, тобто тіл, які мають малу товщину порівняно з іншими розмірами (наприклад, резервуари, труби, обшивки кораблів та літаків). Тіла в яких всі три розміри однакового порядку, називають масивами (наприклад, фундаменти, станини верстатів).

1.2 Реальний об'єкт і розрахункова схема

Перед тим як починати розрахунки необхідно вияснити, що в даному випадку є головним, а що другорядним, тобто тим, що мало впливає на роботу системи в цілому. Другорядні фактори при розрахунках системи не враховуються.

Реальний об'єкт, звільнений від факторів, що мало впливають, називається розрахунковою схемою.

Для одного і того ж об'єкта може бути запропоновано декілька розрахункових схем в залежності від необхідної точності розрахунків і від того, яка сторона явища цікавить дослідника. Разом з тим одній і тій же розрахунковій схемі може відповідати багато різних реальних об'єктів, що дуже важливо, оскільки досліджуючи одну розрахункову схему, можна одержати рішення певного класу задач.

Вибір розрахункової схеми в опорі матеріалів починається із схематизації властивостей матеріалу, які називають гіпотезами.

1.3 Основні гіпотези і припущення

Розглянемо основні гіпотези і припущення стосовно фізико-механічних властивостей матеріалів.

1. Гіпотеза про відсутність початкових внутрішніх зусиль.

Згідно з цією гіпотезою, припускають, що коли немає причин для деформації тіла (навантаження, зміна температури), то в усіх його точках внутрішні зусилля дорівнюють нулю. Тобто, сили взаємодії між частинками ненавантаженого тіла до уваги не беруть.

2. Гіпотеза про однорідність матеріалу. Фізико-механічні властивості тіла в різних точках можуть бути неоднаковими. В опорі матеріалів ці відмінності не враховують, припускаючи, що матеріал в усіх точках тіла має однакові властивості.

3. Гіпотеза про неперервність матеріалу. Згідно з цією гіпотезою, матеріал будь-якого тіла має неперервну будову і є суцільним середовищем. Припущення про неперервну будову дає змогу використовувати при розрахунках методи вищої математики.

4. Гіпотеза про ізотропність матеріалу. Ця гіпотеза передбачає, що матеріал тіла має однакові властивості в усіх напрямках. Багато матеріалів складається з кристалів, в яких фізико-механічні властивості в різних напрямках істотно відрізняються. Проте, завдяки наявності в тілі великої кількості безладно розміщених кристалів, властивості всього тіла в різних напрямках вирівнюються.

Припущення про ізотропність добре підтверджується практикою для більшості матеріалів і лише наближено для таких матеріалів, як камінь, пластмаси, залізобетон. Матеріали, які мають неоднакові властивості в різних напрямках, називають анізотропними.

5. Гіпотеза про ідеальну пружність. Ця гіпотеза передбачає, що в певних межах навантаження матеріал виявляє ідеальну пружність, тобто після зняття навантаження деформації повністю зникають.

Розглянемо тепер гіпотези, пов'язані з деформаціями елементів конструкцій. Зміну лінійних і кутових розмірів тіла називають відповідно лінійною і кутовою деформаціями. Зміну положення (координат) точок тіла, спричинену деформацією, називають переміщенням.

6. Гіпотеза про малість деформацій. За цим припущенням деформації тіла і пов'язані з ними переміщення точок і перерізів дуже малі порівняно з розмірами тіла. На підставі цього змінами в розміщенні зовнішніх сил, спричинених деформацією, нехтують.

7. Гіпотеза про лінійну залежність між навантаженням і деформацією. Згідно з цією гіпотезою, зміщення точок і перерізів пружного тіла в певних межах навантаження прямо пропорційне силам, які спричиняють ці переміщення.

8. Гіпотеза плоских перерізів, або гіпотеза Бернулі. Згідно з цією гіпотезою, плоскі поперечні перерізи, зроблені в тілі до деформації, залишаються під час деформації плоскими і нормальними до осі.

1.4 Види навантажень і основних деформацій

У процесі роботи машин і споруд їх вузли і деталі сприймають і передають різні навантаження, тобто силові дії, які спричиняють зміну внутрішніх сил і деформації вузлів і деталей. Сили бувають масові або об'ємні (сили тяжіння, сили інерції), або поверхневі, які зумовлені контактною взаємодією розглядуваного елемента з сусідніми елементами або прилеглим до нього середовищем (наприклад, пара, повітря, рідина).

З теоретичної механіки відомо, що поверхневі навантаження бувають зосередженими або розподіленими. Залежно від характеру дії навантаження поділяють на статичні і динамічні.

Динамічними називають навантаження, значення яких, напрям або місце прикладання швидко змінюються з часом. До динамічних належать ударні, раптово прикладені і повторно-змінні навантаження. Ударні навантаження виникають, наприклад, під час кування металу або забивання паль; прикладом раптово прикладеного навантаження є тиск колеса, яке котиться по рейці; повторно-змінних навантажень зазнають, наприклад, деталі кривошипно-повзунного механізму двигуна.

Треба пам'ятати, що до зовнішніх сил, які беруть до уваги при розрахунках конструкцій, належать не тільки активні сили, а й реакції опор і сили інерції.

Перейдемо до розгляду питання про основні деформації. Під дією зовнішніх сил тіло деформується, тобто його точки змінюють своє положення в просторі. Проекції вектора переміщення на осі вибраної системи координат позначаються U, V, W відповідно осям x, y, z. Крім лінійних є кутові переміщення: відрізок прямої між двома близькими точками в результаті дії зовнішніх сил не тільки міняє свої розміри, а повертається в просторі на деякий кут.

При визначенні деформації в околі довільної точки А (рисунок 1.1, а) розглядають малий відрізок АВ довжиною l, проведений через цю точку в довільному напрямку. В результаті деформації відрізок АВ переміститься і поміняє свою довжину на l, тоді відношення

називається відносною лінійною деформацією в точці А, в напрямку АВ. В тій же точці, в іншому напрямку деформація буде іншою. Якщо розглядають деформації в напрям координатних осей x, y, z то їх позначають відповідно

Крім лінійних деформацій мають місце також кутові деформації (рисунок 1.1, б). Кутова деформація це величина зміни прямого кута в процесі деформування між двома перпендикулярними до деформації прямими, проведеними через точку А. Вона називається деформацією зсуву. В координатних площинах деформації зсуву позначають

Сукупність лінійних та кутових деформацій в різних напрямках і в різних площинах, які проходять через розглядувану точку середовища, визначають деформований стан в точці.

1.5 Внутрішні сили. Метод перерізів

У будь-якому тілі між його мікрочастинками завжди існують сили взаємодії, які зумовлюють існування тіла, як єдиного цілого.

При дії на тіло, що являє собою елемент якої-небудь машини або будівельної конструкції, зовнішніх сил у будь-якому його перерізі виникають додаткові, внутрішні сили взаємодії між частинками тіла (крім тих, що існували в цьому елементі, коли він був ненавантажений), які перешкоджають зміні відстаней між цими частинками і руйнування тіла. Ці сили часто називають внутрішніми силами пружності.

Для встановлення величини внутрішніх сил, що виникають у перерізі стрижнів, які підлягають зовнішній силовій дії, використовується метод перерізів. Нехай є деяке пружне тіло (рисунок 1.2, а), що перебуває у рівновазі під дією системи зовнішніх сил Розділимо це тіло деякою площиною Н на дві частини і . Відкинемо одну з частин, наприклад і розглянемо умови рівноваги частини (рисунок 1.2, б), що залишилася. Щоб ця частина була в рівновазі, як і у випадку, коли вона була частиною цілого тіла, треба, щоб крім зовнішніх сил, прикладених до неї, були збережені й раніше діючі на цю частину внутрішні сили взаємодії, що виникають між частинами і під впливом зовнішніх сил.

Згадані внутрішні сили, суцільно розподілені по зробленому перерізу, очевидно, можна звести до деякої системи сил, яка замінює вплив відкинутої частини тіла на ту, що залишилася.

Якби ми розглядали рівновагу частини , відкинувши частину , то вплив відкинутої частини, очевидно, врахувався б такими самими внутрішніми силами, прикладеними до частини у тому самому перерізі, але у зворотному до попереднього напрямку.

У найбільш загальному випадку систему внутрішніх сил можна звести до однієї сили (головного вектора) і однієї пари сил (головного моменту).

При визначенні внутрішніх сил в стержнях рекомендується проводити переріз перпендикулярно до осі стержня. Виберемо осі координат x, y, z з початком в центрі ваги перерізу так, щоб осі Oy і Oz лежали в його площині. Розкладемо головний вектор на складові по осях координат: , а головний момент на три моменти: і (рисунок 1.2, б).

Ці шість зусиль можуть бути легко знайдені з рівнянь рівноваги (рівнянь статики), записаних для будь-якої із частин

,(1.2),

,(1.3),

,(1.4),

де Pyi , Pzi , Pxi проекції зовнішніх сил на відповідні осі; myi , mzi , mxi моменти зовнішніх сил відносно відповідних осей.

Шість величин N, Qy , Qz , Mx , My i Mz прийнято називати внутрішніми силовими факторами або внутрішніми зусиллями. Кожна із цих сил має свою назву. Силу N, що діє вздовж осі x, називають повздовжньою, або нормальною силою. Сили Qy i Qz називають поперечними силами. Моменти My i Mz , очевидно , намагатимуться зігнути стержень у площинах xОy i xОz, тому їх називають згинальними, а момент Mx , який скручує стержень, називають крутним моментом.

1.6 Напруження в перерізі

Напруження це інтенсивність внутрішніх сил (внутрішнє зусилля, що припадає на одиницю площі поперечного перерізу).

Якщо, наприклад, на площадку dA діє внутрішня сила (рисунок 1.3), то повне напруження

,

Величина повного напруження залежить від орієнтації площадки, проведеної через точку, яку розглядаємо. Повне напруження у загальному випадку можна розкласти на дві складові: складову, нормальну до виділеної площадки будемо називати нормальним напруженням

,

і складову, дотичну до цієї площадки, будемо називати дотичним, або тангенціальним напруженням

,

Дотичне напруження має різні напрямки і величину, тому замість одного напруження , розглядають два дотичних напруження yx?i zx , які напрямлені паралельно осям y , z і діють на площадці, нормаль до якої збігається з віссю x.

yx?zx

Як видно із рисунка 1.3

Шість внутрішніх силових факторів N, Qy , Qz , Mx , My i Mz є інтегральними величинами, тому що вони рівнодійні розподілених по перерізу внутрішніх сил. Між напруженнями і внутрішніми силами існують такі інтегральні залежності (див. рис. 1.3 і формули (1.9 1.11)



де z, y координати площадки dA.

2. РОЗТЯГАННЯ І СТИСКАННЯ

2.1 Напруження і деформації

Центральний (осьовий) розтяг або стиск виникає від сил, прикладених до осі бруса (рисунок 2.1). Напружений стан, що спричиняється такими силами, називають простим або лінійним (одновісним). В силу гіпотези плоских перерізів напруження по перерізу розподіляються рівномірно, що може бути виражено формулою

,

де нормальне напруження в поперечному перерізі;

N зусилля в цьому перерізі;

A площа перерізу.

В різних перерізах одного і того ж бруса внутрішні зусилля N різні. При розрахунках необхідно знати внутрішні зусилля в будь-якому перерізі. Тому будують графіки N(x), з яких видно, як змінюються внутрішні зусилля N вздовж осі бруса. Такі графіки називають епюрами внутрішніх зусиль.

Розглянемо східчастий брус, затиснутий лівим кінцем (рисунок 2.1), вздовж осі якого діють активні сили P i 3P. Частини бруса сталого перерізу, що містяться між площинами, в яких прикладені активні або реактивні сили, називаються ділянками. Таким чином межами ділянок є точки прикладання зовнішніх сил, а також місця зміни розмірів поперечного перерізу. Даний брус (рисунок 2.1)складається з трьох ділянок.

Для побудови епюри повздовжньої сили N використаємо метод перерізів і рівняння рівноваги (1.4). Розтяжні (направлені від перерізу) повздовжні сили вважатимемо додатними, а стисківні (направлені до перерізу) від'ємними. Зробимо переріз 11. В усіх точках перерізу діятимуть внутрішні розподілені сили, рівнодійна яких N1, визначається з умови рівноваги однієї з частин бруса, наприклад, правої

,

Звідки N1=P

Повздовжня сила це рівнодійна внутрішніх нормальних сил, які виникають у поперечному перерізі. Знаходимо величину повздовжньої сили в перерізі 22.

, , .

Таким чином, повздовжня сила в поперечному перерізі бруса чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх сил, що діють з одного боку перерізу.

Для побудови епюри повздовжньої сили N під рисунком бруса проведемо лінію, паралельну осі бруса. Ця лінія називається базовою (рис. 2.1). Величини повздовжніх сил у довільному масштабі відкладемо перпендикулярно до базової лінії, причому додатні значення (розтягання) відкладемо вгору, а від'ємні (стискання) вниз від базової лінії. Епюру штрихуємо тонкими лініями перпендикулярними до осі. У точках прикладання зосереджених сил на епюрі N мають місце стрибкоподібні зміни, причому величина “стрибка” дорівнює модулю прикладеної в перерізі бруса зовнішньої зосередженої сили (рисунок 2.1).

Очевидно, що значення ординати епюри повздовжніх сил під закріпленням дорівнює реакції закріплення. Зазначимо, що за методом перерізів зручніше розглядати рівновагу частини бруса, розміщеної з боку вільного кінця, у протилежному випадку потрібно заздалегідь визначити і вводити в рівняння рівноваги реакцію закріплення.

Щоб побудувати епюру , визначимо за формулою (2.1) нормальні напруження на ділянках бруса, беручи значення N із епюри N(x). Тоді на першій, другій і третій ділянках будемо мати

Правила побудови епюри (x) такі самі, як і для епюри N(x), включаючи і правило знаків. У межах кожної ділянки напруження сталі, тому епюра (x) на кожній ділянці паралельна осі (рисунок 2.1).

У розрахунках на міцність привертають особливу увагу ті перерізи бруса, в яких напруження за абсолютними значеннями максимальні. Ці перерізи можуть бути небезпечними. У розглянутому прикладі небезпечними є перерізи бруса на 2-й ділянці.

Перейдемо до розгляду деформацій. Уявимо прямий брус сталого поперечного перерізу A0 і довжиною l0 (рисунок 2.2). Під дією сили P брус видовжиться на деяку величину l



яку називають абсолютним видовженням.

При розтяганні бруса його поперечні розміри зменшуються. При цьому абсолютна поперечна деформація дорівнюватиме

.

Відношення абсолютного видовження l до початкової довжини l0 називають відносним видовженням і позначають

.

Аналогічно, відносна поперечна деформація дорівнює

.

Зв'язок між відносною поперечною і відносною повздовжньою деформаціями виражається формулою

,

де безрозмірний коефіцієнт поперечної деформації коефіцієнт Пуассона. Знак “мінус” у формулі (2.6) говорить про те, що деформації і мають різні знаки, а коефіцієнт Пуассона визначається за формулою

Величина для різних матеріалів не однакова: так, для сталі =0.25-0.3, для каучуку =0.47. Значення для різних матеріалів приводяться в довідниках.

2.2 Закон Гука при розтяганні і стисканні

Напруження і деформації розтягання і стискання пов'язані між собою залежністю, яку називають законом Гука, за ім'ям англійського фізика Роберта Гука (16351703), що встановив цей закон. Закон Гука справедливий лише у певних межах навантаження і формулюється так: нормальне напруження прямо пропорційне відносному видовженню або укороченню

Коефіцієнт пропорційності Е характеризує жорсткість матеріалу, тобто його здатність протидіяти пружним деформаціям розтягу або стиску і називається модулем повздовжньої пружності, модулем пружності першого роду, модулем Юнга.

Для сталі

E=(1,8...2,2)106 кг/см2=(1,8...2,2)1011 Па=(1,8...2,2)105 МПа

З врахуванням (2.1) і (2.4) отримаємо другу формулу закону Гука



За формулою можна знайти деформацію ділянки стержня довжиною l, якщо в межах цієї ділянки N і А сталі величини.

Повна деформація стержня, який має n ділянок дорівнює

Якщо нормальна сила N і площа перерізу А в межах ділянки l є змінними величинами, то

Величина EА називається жорсткістю перерізу ,а ЕА/l жорсткістю бруса. Чим більша площа Аі менша довжина l бруса, тим більша його жорсткість.

2.3 Діаграма розтягання. Механічні характеристики матеріалу

Механічні характеристики матеріалів, тобто величини, які характеризують їх міцність, пластичність, пружність, твердість, а також пружні сталі Е і потрібні конструктору для вибору матеріалів та розрахунків проектованих деталей, визначають за допомогою механічних випробувань стандартних зразків, виготовлених з досліджуваного матеріалу. У цьому розділі докладно розглянемо діаграму, отриману в процесі найбільш поширеного і важливого механічного випробування, а саме випробування на розтягання маловуглецевої сталі при статичному навантаженні. У процесі цього випробування спеціальний пристрій випробувальної машини креслить діаграму, яка показує залежність між розтягувальною силою P і абсолютним видовженням l (рисунок 2.3).

механічні характеристики матеріалу, які не залежать від розмірів зразка, застосовують діаграму в координатах (рисунок 2.4). Напруження і деформації при цьому розраховують за формулами (2.1) і (2.4). Така діаграма характеризує властивості матеріалу і відрізняється від діаграми Р l (рисунок 2.3) лише масштабами. Використовуючи діаграму розтягання (рисунок 2.4) отримують характеристики міцності і пластичності матеріалу. До характеристик міцності відносять напруження пц , пр , т , в , і р .

Ділянка діаграми , яка знаходиться нижче від точки А, прямолінійна, що є вираженням закону Гука. Тангенс кута нахилу цієї ділянки є модуль пружності

Границею пружності називають таке найбільше напруження, до якого деформації залишаються практично пружними (точка В на діаграмі)



Границя пружності за своєю величиною для сталей мало відрізняється від границі пропорційності. Тому пц і пр на практиці часто ототожнюють.

Границя текучості це напруження, при якому сильно зростають деформації при майже сталій силі (точка С на діаграмі).

де Рт сила, при якій метал “тече”. Границя текучості т це основна механічна характеристика для оцінки міцності пластичних матеріалів.

З появою текучості матеріалу на діаграмі з'являється горизонтальна ділянка так звана площадка текучості. Треба відмітити, що чітко виражену площадку текучості мають лише діаграми розтягу маловуглецевої сталі і деяких сплавів кольорових металів. Для матеріалів, діаграми розтягу яких не мають чітко вираженої площадки текучості, або зовсім її не мають, вводиться поняття умовної границі текучості напруження, при якому відносне залишкове видовження зразка дорівнює 0.002 або 0.0002. Умовну границю текучості позначають 0.2 або 0.02 , відповідно величині залишкової деформації.

Границя міцності (тимчасовий опір) - це напруження, що відповідає максимальній силі, яку витримує зразок (точка D на діаграмі)

У цей час (точка D) у випробуваному зразку починає утворюватись місцеве звуження, яке називається шийкою. Поява шийки свідчить про початок руйнування зразка. При цьому, оскільки шийка швидко росте (площа перерізу зменшується), сила, що діє на зразок, падає (ділянка DE діаграми рисунок 2.3) і він розривається при значно меншій силі Рр , ніж максимальна сила Pmax при випробувані.

Розривне напруження це напруження в зразку в момент розриву. Його визначають за формулою

Слід відмітити, що напруження р (точка Е діаграми рисунок 2.4) виникає у зразку в момент розриву, у всіх поперечних перерізах, крім перерізу шийки. Дійсне напруження в шийці більше р і навіть більше в.

Деформація зразка за границею пружності складається з пружної і залишкової (пластичної), причому пружна частина деформації підлягає закону Гука і за границею пропорційності. Якщо в точці K1 навантаження зняти, то зразок розвантажиться по прямій K1K , діаграми (рисунок 2.3). При цьому залишкова деформація буде дорівнювати lпл , а пружна lпр . При повторному навантаженні того самого зразка його деформація відповідатиме діаграмі KK1DE. Отже, при повторному навантаженні зразка, раніше навантаженого більше, ніж границя пружності, механічні властивості матеріалу змінюються, а саме: підвищується міцність (пц , пр , т) і зменшується пластичність на величину lпл (рисунок 2.3). Це явище називається наклепом. Іноді наклеп не бажаний. В інших випадках наклеп створюють навмисно. Наприклад дріт, який витягують волочінням, у результаті наклепу має значно більшу міцність, ніж точений зразок з того самого матеріалу.

Крім перерахованих характеристик міцності, велике значення мають також механічні характеристики пластичності матеріалу, які визначаються безпосереднім вимірюванням зразка після розриву. Основними кількісними характеристиками пластичності матеріалу є:

відносне залишкове видовження після розриву

і відносне залишкове звуження перерізу зразка в місці розриву

де , l0 довжина розрахункової частини зразка до випробування, lр довжина розрахункової частини зразка після розриву, А0 початкова площа перерізу, Аш площа перерізу зразка в місці розриву (в місці шийки). Чим вищі значення характеристик і , тим матеріал більш пластичний.

2.4 Допустиме напруження

Умови міцності вимагають, щоб напруження, які виникають в елементах конструкцій, не перевищували допустимих. Допустимі напруження [] становлять деяку частину від небезпечних напружень. Для пластичних матеріалів таким небезпечним напруженням є границя текучості т , при якій деформації, що швидко зростають перешкоджають нормальній експлуатації конструкції. Для крихких матеріалів небезпечним напруженням є границя міцності в , при якій настає руйнування матеріалу. Допустиме напруження визначають за формулою



де н = т для пластичних матеріалів і н = в для крихких, n коефіцієнт запасу міцності при дії на конструкцію статичного навантаження встановлюється в межах n = 1,5...2, для крихких n = 3...5, а іноді і вище (наприклад, для каменів природних і штучних він може бути в межах n = 10...30). Коефіцієнт запасу міцності залежить також від умов роботи конструкції, точності розрахунків напружень, характеру навантажень.

2.5 Розрахунки на міцність за допустимими напруженнями

При розрахунках за допустимими напруженнями міцність конструкції або її елементів буде забезпечена, якщо максимальне напруження max не перевищує допустимого, тобто виконується умова

Формула (2.21) дає можливість розв'язувати такі інженерні задачі:

1. Підбір перерізу елемента конструкції при відомих силах, що діють на елемент (проектний розрахунок)

2. Перевірний розрахунок, при якому визначають напруження і порівнюють його з допустимим



3. Визначення допустимого навантаження на існуючий елемент

Порядок виконання розрахунків.

Будують епюри нормальних сил і напружень (рисунок 2.1).

2. Задовольняють умову міцності (2.21) для перерізу, в якому має місце максимальне напруження. Якщо матеріал по різному чинить опір розтяганню і стисканню (характерно для крихких матеріалів), то найбільші розтягувальні напруження не повинні перевищувати допустимих напружень на розтягання []р , а найбільші стискувальні напруження допустимих напружень на стискання []с .

2.6 Статично невизначувані задачі

Задачі на розрахунок конструкцій, в елементах яких силові фактори не можна визначити за допомогою лише рівнянь рівноваги статики, називають статично невизначуваними. При розв'язуванні таких задач, рівнянь яких не вистачає для визначення зусиль, складають на основі умов деформацій бруса або системи додаткові рівняння. Ці додаткові рівняння називають рівняннями сумісності деформацій (нерозривності деформацій). Від зв'язку між деформаціями, використовуючи закон Гука, переходять до рівнянь, які зв'язують зусилля в деформованих елементах. Рівняння сумісності деформацій мають різну форму, залежно від характеру задачі. Кількість таких задач визначає ступінь статичної невизначуваності задачі, який, очевидно дорівнює різниці між кількістю невідомих і кількістю рівнянь статики, які можна скласти.

Наведемо кілька прикладів.

Приклад 1.

Жорстка балка підтримується двома стержнями, як показано на рисунку 2.5. Перший стержень повинен мати площу поперечного перерізу в два рази більшу ніж другий; для матеріалу стержнів прийняти допустиме напруження []=1600 кг/см2.Визначити площу поперечного перерізу стержнів.

Дано: а=1 м; b=2 м; с=1,5 м

=45; Р=120 кН; А1=2А2

Е1=Е2=Е; =160 МПа

Визначити: А1?; А2?

Розв'язування:

В задачі потрібно визначити площі перерізів стержнів, тобто провести проектний розрахунок. Оскільки стержні системи працюють на розтяганнястискання, то проектний розрахунок виконується за формулою

Допустиме напруження задано, тому потрібно визначити нормальні сили в поперечних перерізах стержнів 1 і 2.

Використаємо метод перерізів і переріжимо стержні поперечними перерізами, відкинемо верхню частину стержня 1 і нижню частину стержня 2, замінимо їх дію нормальними силами N1 та N2. Використовуючи формальний підхід, припустимо, що обидва стержні розтягнуті, тобто направимо N1 та N2 від перерізів. Відкинемо також шарнір і замінимо реакціями Rx та Ry (рисунок 2.6, а).

Для визначення чотирьох невідомих реакцій N1 ,N2 ,Rx ,Ry ми можемо скласти лише 3 незалежних рівняння статики, тобто

Отже, система 1 раз статично невизначувана.

Перші 2 рівняння статики крім N1 та N2 містять невідомі реакції Rx та Ry, визначати які немає необхідності. Отже, відносно невідомих зусиль N1 та N2 ми маємо лише одне рівняння:

З врахуванням цього отримаємо рівняння сумісності переміщень

Виразимо l1 та l2 через зусилля в стержнях N1 та N2

Враховуючи, що А1=2А2, підставимо вирази для l1 та l2 в рівняння

N1= 3N2

Сумісним розв'язуванням рівнянь (2.25) та (2.28) визначаємо N1 та N2

Н

N1=3N2=114103 Н

Отримані знаки зусиль говорять про те, що при навантаженні системи силою Р стержень 1 розтягується, а стержень 2 стискається. Порівняння величин N1 та N2 показує, що перший стержень більш навантажений. Визначаємо необхідну площу А1

м2=7,12 см2

Приймаємо А1=7,2 см2

см2

Перевіримо міцність 2-го стержня

Н/м2 =105,5 МПа< []=160 МПа

Умова міцності виконується

Приклад 2.

Визначити зусилля в перерізах стержня (рисунок 2.7.).

Дано: Ест=2105 МПа; Ем=1105 МПа ;

Ам=Аст=А; Р=30 кН.

При цьому ступінь статичної невиз начуваності дорівнює 1, тобто необхідно скласти одне рівняння сумісності переміщень.

З умови закріплення бруса очевидно, що переміщення крайніх перерізів А і В дорівнюють нулю (оскільки вони закріплені). Відкинемо нижнє закріплення, замінимо його дію реакцією RB, значення якої поки що не відоме. Таким чином отримаємо статично визначуваний брус навантажений силами Р і RB . Переміщення перерізу В визначається сумою деформацій 1-ї та 2-ї ділянок, тобто Але з умови закріплення з=0. Тоді рівняння сумісності переміщень має вигляд:

l1 + l2 = 0

Підставляючи в (2.29) отримаємо, з врахуванням того, що Ест=2Ем

Звідси отримаємо

Н

З рівняння

Н

Методом перерізів визначаємо, що в перерізах 1-ї ділянки N1=10 кН, а в перерізах 2-ї ділянки N2=20 кН.

Знаки зусиль показують, що перша, тобто мідна ділянка стержня розтягнута, а друга (стальна) стиснута.

2.7 Розрахунок температурних напружень в СНС

Особливістю статично невизначуваних систем (СНС) є виникнення в них температурних напружень. Температурними називаються напруження, які виникають в СНС при зміні температури всіх або окремих елементів системи.

Оскільки визначення температурних напружень є статично невизначуваною задачею, то доцільно їх розрахунки проводити за таким планом:

Записати незалежні рівняння статики.

Встановити ступінь статичної невизначуваності.

Скласти рівняння сумісності переміщень.

Замінити деформації через зусилля за законом Гука.

Розв'язати отриману систему рівнянь, визначити внутрішні зусилля.

Розрахувати напруження.

Приклад 3.

Жорсткий брус (рисунок 2.8), крім шарнірної опори, підтримується ще двома стальними тягами з площею поперечного перерізу А1=40 см2 та А2=20 см2. Після встановлення тяг їх температура підвищилась на t=+20о. Визначити напруження в тягах.

Розв'язування:

Передбачити напрямок зусиль неможливо, тому припустимо, що система буде деформуватись таким чином, що обидва стержні будуть розтягнуті, тобто перший стержень буде після нагрівання розтягнутий зусиллям N1, а другий розтягнутий зусиллям N2. Уявно проводимо перерізи через два стержні і відділяємо брус від нижньої опори. В відповідності до принципу початкових розмірів рівняння статики можна складати для недеформованої системи. Для того щоб виключити реакції в шарнірній опорі в якості рівняння рівноваги візьмемо

Маємо одне незалежне рівняння статики і два невідомих внутрішніх зусилля. Задача є один раз статично невизначуваною. Необхідно скласти одне додаткове рівняння рівняння сумісності переміщень. Розглянемо схему деформації системи при нагріванні тяг.

Покажемо деформації окремих стрижнів. Тоді відрізок АС = l1, а ВВ1 = l2. Оскільки ми прийняли, що обидва стержні розтягнуті, то відрізок

АС дорівнює l1 зі знаком ”мінус” оскільки за схемою деформації цей стержень стиснутий.

Із подібності трикутників ОАА1 та ОВВ1 маємо

Із прямокутного трикутника АСА1 випливає

Підставляючи (2.32) в (2.31) отримаємо

l2=l1

Деформації l1 та l2 будуть викликані зусиллями N1 та N2 і підвищенням температури

де

Підставляючи (2.34) в (2.33) з врахуванням (2.30) і (2.35) отримаєм

Після скорочень та перетворень отримаємо

 кН

З умови (2.30) визначаємо

N2=N1=150 кН.

Від'ємні знаки в N1 і N2 означають, що стержні 1 і 2 в дійсності не розтягнуті як ми прийняли, а стиснуті. Тоді напруження в стрижнях, викликані зміною температури

МПа

Мпа

При розв'язані задач, пов'язаних із визначенням температурних напружень в деяких випадках доводиться розв'язувати задачу з визначення граничної зміни температури t, при якій напруження в системі досягають граничної величини.

В такому випадку величину t визначають з умови

де k числовий коефіцієнт, т границя текучості матеріалу.

3. НАПРУЖЕНИЙ СТАН В ТОЧЦІ

3.1 Поняття про напружений стан

Розглянемо напруження в будь-якій точці К тіла, що деформується (рисунок 3.1, а). У розділі 1 зазначалося, що величина повного напруження, яке діє на довільній площадці, проведеній через точку К, залежить від орієнтації площадки. Напруження, які діють на незліченній кількості по-різному орієнтованих площадок, що проходять через розглядувану точку, характеризують напружений стан у точці. Метод вивчення напруженого стану в точці такий: вирізають елементарний паралелепіпед з ребрами (рисунок 3.1, б) і визначають напруження на його гранях. Враховуючи малість розмірів паралелепіпеда і те, що всі його грані є площадками, які проходять через точку К, то напруження по гранях паралелепіпеда можуть розглядатися як напруження, що діють у точці К.

Повні напруження, які діють на кожній грані, розкладаємо на три складові на нормальне напруження і дотичні , як показано на рисунку 3.1, б. На невидимих гранях елемента виникають відповідно такі самі за величиною, але протилежного напрямку напруження. Перший індекс у дотичного напруження вказує напрямок напруження, а другий напрямок нормалі до площини перерізу. Нормальні напруження будемо позначати індексом осі, перпендикулярної до площадки.

Оскільки вирізаний елемент знаходиться в рівновазі, то склавши суму моментів усіх сил відносно осі х, маємо

,

звідки отримуємо . З рівнянь моментів відносно осей y і z маємо



Отже, у двох взаємно перпендикулярних площадках дотичні напруження перпендикулярні до спільного ребра і рівні за величиною. У цьому полягає закон парності дотичних напружень.

Таким чином, напружений стан в будь-якій точці напруженого тіла, яке деформується, визначається шістьма складовими x , y , z , xy , xz, zy , які діють на трьох взаємно перпендикулярних площадках. Знаючи ці складові, можна знайти напруження в будь-якій площадці, проведеній через дану точку.

В курсі теорії пружності доводиться, що через незліченну кількість площадок, які можна провести через довільну точку напруженого тіла, завжди можна знайти такі три взаємно перпендикулярні площадки, на яких дотичні напруження дорівнюють нулю. Такі площадки називаються головними площадками, а діючі на них нормальні напруження головними напруженнями. Головні напруження позначають 1 , 2 , 3, при цьому повинна виконуватись умова 1 > 2 > 3 (за алгебраїчною величиною).

Якщо в будь-якій точці навантаженого тіла усі три напруження відрізняються від нуля, то такий напружений стан називають об'ємним або триосним. Якщо з трьох головних напружень одне дорівнює нулю, то такий напружений стан називається плоским або двоосним. Напружений стан, при якому два головних (з трьох) напруження дорівнюють нулю, називається лінійним або одноосним. Прикладом лінійного напруженого стану є звичайний центральний розтяг (стиск) стержня.

Аналіз напруженого стану в точці необхідний в першу чергу для розрахунків на міцність в загальному випадку навантаження.

Напруження і деформації при лінійному напруженому стані розглянуті у розділі 2. Розглянемо напруження при плоскому напруженому стані.

3.2 Плоский напружений стан

Оскільки при плоскому напруженому стані дві грані елементарного паралелепіпеда вільні від напружень, то для спрощення міркувань сумістимо ці грані з площиною рисунку (рисунок 3.2).

Якщо напруження x , y i yx відомі, то можна визначити напруження на довільній площадці, повернутій на кут відносно площадки, на якій діє напруження

Кут вважається додатним, якщо він відкладається проти руху годинникової стрілки. Розтягувальні нормальні напруження будемо і додатні). Якщо осі координат повернути на 90, то дотичні напруження змінюють знак на протилежний.

На площадці повернутій на кут +90 по відношенню до площадки з напруженням х (рисунок 3.2)

із (3.2) і (3.4) випливає, що тобто сума нормальних напружень , що діють на двох взаємно перпендикулярних площадках величина стала.

3.3 Головні площадки і головні напруження

Знайдемо положення головних площадок. На головних площадках дотичні напруження дорівнюють нулю, тому прирівнявши вираз (3.3) до нуля, знайдемо

звідки

Формула (3.6) дає два значення кута і , які і визначають положення двох головних площадок. Якщо x y i yx 0 то 0 буде додатним (рисунок 3.3).

Головні напруження можна визначити за формулами (3.2) і (3.4) якщо замість підставити 0 і 0+, знайдені за формулою (3.6). Після нескладних перетворень одержимо



Нормальні напруження на цих площадках

3.4 Узагальнений закон Гука

Досліджуючи деформації і розглядаючи питання міцності при об'ємному та плоскому напружених станах, будемо в відповідності з основними гіпотезами і припущеннями вважати, що матеріал поводиться згідно з законом Гука, а деформації малі. В розділі 2 було розглянуто залежність між напруженням та деформацією при простому розтяганні або стисканні, тобто при лінійному напруженому стані.

Зв'язок між відносними деформаціями і напруженнями при об'ємному напруженому стані має вигляд

де коефіцієнт Пуассона, E модуль Юнга, G модуль зсуву.

Співвідношення (3.10) є аналітичним виразом узагальненого закону Гука для ізотропного тіла.

В головних напруженнях формули (3.10) мають вигляд

3.5 Потенціальна енергія деформації

Потенціальною енергією деформації називається енергія, яка накопичується в тілі при його пружній деформації. Коли під дією зовнішнього статичного навантаження тіло деформується, точки прикладання зовнішніх сил переміщуються і потенціальна енергія положення вантажу зменшується на величину, яка чисельно дорівнює роботі, виконаній зовнішніми силами. Енергія, витрачена зовнішніми силами, не зникає, а перетворюється, в основному, в потенціальну енергію деформації тіла. Решта, незначна частина розсіюється, головним чином, в вигляді тепла за рахнок різних процесів, що проходять в матеріалі при його деформації.

Величину потенціальної енергії деформації, що припадає на одиницю об'єму тіла, називають питомою потенціальною енергією деформації і визначають за формулою

Маючи на увазі, що , одержимо для питомої потенціальної енергії деформації вираз



Для загального випадку визначення питомої потенціальної енергії деформації при об'ємному напруженому стані, якщо задані головні напруження формула має вигляд

При деформації елемента змінюється, як його об'єм, так і форма (із куба він перетворюється на паралелограм). В зв'язку з цим можна вважати, що повна питома потенційна енергія деформації

де uV питома потенціальна енергія зміни об'єму, тобто енергія, яка накопичується за рахунок зміни об'єму;

uф питома потенціальна енергія формозміни, тобто енергія, яка накопичується внаслідок зміни форми елементу.

Безпосередньо визначити uф важко, тому спочатку визначимо uV.

Тепер, згідно формули (3.15),

Підставляючи сюди значення u і uv із (3.14) і (3.16), після елементарних перетворень отримаємо, що



Це і є шуканий вираз для питомої потенціальної енергії формозміни.

4. ТЕОРІЇ МІЦНОСТІ

4.1 Оцінка міцності при складному напруженому стані

При лінійному напруженому стані, коли діє тільки одне головне напруження (при розтяганні) або (при стисканні), умова міцності записується у вигляді

1 р або 3 с

де р і с допустимі напруження відповідно при розтяганні і при стисканні, які встановлюються залежно від величини граничного напруження для даного матеріалу.

Граничне напруження (границя текучості для пластичних матеріалів або границя міцності для крихких) у цьому випадку легко може бути знайдене експериментально в дослідах на розтягання або стискання.

Значно складніше оцінити міцність при складному напруженому стані. Настання небезпечного стану в цьому випадку залежить не тільки від абсолютних величин головних напружень, а також від їх співвідношень. Для оцінки міцності при складному напруженому стані лабораторним шляхом потрібно виконати дуже багато складних випробувань зразків з метою реалізації різних величин і співвідношень головних напружень, що практично здійснити не можливо.

Щоб можна було судити про міцність при складному напруженому стані, треба знати істинні причини руйнування матеріалу. Ці теорії дають можливість скласти умови міцності при складному напруженому стані, виходячи з даних про міцність матеріалу, одержаних з випробувань на просте розтягання або стискання.

Напружені стани при складному напруженому стані і при одноосному розтяганні називатимемо рівнобезпечними або еквівалентними, якщо при пропорційному збільшенні головних напружень в одне і теж число разів вони одночасно стають граничними. Інакше кажучи, коефіцієнти запасу міцності для еквівалентних напружених станів однакові.

Еквівалентним напруженням називають таке умовне напруження одноосного розтягування, яке рівнобезпечне заданому випадку складного напруженого стану.

...