Опір матеріалів з елементами теорії пластичності

Відповідно до гіпотез міцності виводять формули для розрахунку еквівалентного напруження, яке потім порівнюють з допустимим напруженням на розтягання. Таким чином умова міцності матиме вигляд

екв р

4.2 Основні гіпотези міцності

Теорія найбільших нормальних напружень (перша теорія міцності). В основі цієї теорії лежить припущення, що причиною руйнування матеріалу є найбільші нормальні напруження. За цією теорією складний і простий напружений стани є рівнобезпечними, якщо найбільші за абсолютною величиною головні напруження у них однакові.

Для матеріалів, які не однаково чинять опір розтяганню і стисканню умови міцності такі:

де р і с допустимі напруження відповідно при розтяганні і при стисканні.

Перша теорія підтверджується дослідами над невеликою кількістю видів напруженого стану крихких матеріалів. Зараз вона майже не застосовується

Теорія найбільших лінійних деформацій (друга теорія міцності). В основі цієї теорії лежить припущення, що міцність матеріалу при будь-якому напруженому стані визначається величиною максимальних відносних деформацій. За цією теорією складний і простий напружений стани є рівнобезпечними, якщо найбільші відносні лінійні деформації у них однакові.

Позначимо максимальну відносну деформацію при складному напруженому стані , а при простому через . Тоді умова міцності запишеться у вигляді

Використовуючи (3.11) і (2.8) отримаємо

Хоча теорія найбільших деформацій і враховує всі три головні напруження, для пластичних матеріалів вона на практиці не підтверджується. Для крихких матеріалів тільки при 1 0 і 3 0 і , якщо при цьому 1 3 (за абсолютною величиною), ця теорія наближено узгоджується з даними дослідів.

Першу і другу теорію практично не застосовують.

Теорія найбільших дотичних напружень (третя теорія міцності). В основі цієї теорії лежить припущення, що причиною руйнування матеріалу є дотичні напруження. Отже, граничний стан матеріалу настане тоді, коли максимальне дотичне напруження досягне значення, при якому з'являються пластичні деформації або руйнування цього матеріалу при простому розтяганні або стисканні. Таким чином, за цією теорією простий і складний напружені стани є рівнобезпечними, якщо їх максимальні дотичні напруження дорівнюють одне одному.

Позначимо максимальні дотичні напруження при простому і складному напружених станах відповідно через і . Тоді умова рівнобезпечності, згідно з розглядуваною теорією виразиться рівністю

=

При одноосному розтяганні max = 1, а 2 = 3 = 0, а тому згідно з (3.8) максимальне дотичне напруження

При об'ємному напруженому стані

Якщо позначити допустиме напруження при простому напруженому стані , то умова міцності при складному напруженому стані виразиться формулою

Недоліком цієї теорії є те, що вона не враховує впливу проміжного головного напруження .

Ця теорія досить добре узгоджується з даними дослідів для пластичних матеріалів, для яких допустимі напруження на розтягання і стискання можуть бути взяті однаковими.

Енергетична теорія міцності (четверта).

Ця теорія грунтується на припущенні, що вирішальним фактором міцності є величина потенціальної енергії пружної деформації зміни форми, яка накопичується в одиниці об'єму. Згідно з енергетичною теорією складний і простий напружений стани є рівнобезпечними, якщо їх питомі потенціальні енергії, пов'язані із змінами форми при деформації, дорівнюють одна одній. Згідно з цією теорією

Енергетична теорія добре узгоджується з даними дослідів для пластичних матеріалів і набула великого поширення в інженерній практиці.

Теорія Мора.

На основі експериментальних досліджень міцності при різних напружених станах для матеріалів, які по різному чинять опір розтяганню і стисканню, Мор одержав для таких матеріалів граничні криві. На основі аналізу цих кривих він одержав вираз для еквівалентного напруження. Умова міцності в даному випадку має вигляд:

де р і с допустимі напруження відповідно при розтяганні і при стисканні.

Теорія Мора тотожна з третьою теорією міцності.

Умовою (4.10) користуються для розрахунку міцності при складному напруженому стані матеріалів, які мають різні граничні напруження при розтяганні і стисканні.

4.3 Критерії руйнування

В класичних теоріях міцності, в якості критерію руйнування використані обмеження, які накладаються на деформації; в цьому випадку в просторі головних деформацій є деяка поверхня, яка обмежує область безпечних станів. В подальшому ці уявлення практично не використовувались. Але останнім часом ідеї розвитку деформаційних критеріїв руйнування виявились плідними.

В області великих пластичних деформацій інтенсивність дотичних напружень збільшується незначно, а руйнування може настати в будь-який момент, який залежить від виду напруженого стану і рівня гідростатичного тиску. Наприклад, при розтяганні на фоні гідростатичного тиску граничні деформації ростуть суттєво, а напруження руйнування збільшується незначно. Дотичні напруження, які викликають пластичну деформацію, призводять до збільшення дефектів кристалічної гратки. Нормальні розтягувальні напруження прискорюють процес руйнування, стискувальні або гідростатичний тиск уповільнюють процес руйнування.

Як уже відмічалось в якості міри пластичності в області великих пластичних деформацій доцільно використовувати міру деформацій параметр Одквіста, накопичену на всіх етапах деформування інтенсивність деформацій в момент руйнування, яку називають граничною деформацією:

Із класичних теорій міцності, сформульованих в просторі напружень, найбільш доцільно використовувати для оцінки в'язкого руйнування критерій Шляхтера-Надаі, згідно з яким інтенсивність дотичних напружень при руйнуванні є визначена для даного матеріалу функція гідростатичного тиску



При отримуємо умову пластичності Мізеса.

Критерій () враховує двоякий характер руйнування, оскільки одночасно розглядаються дотичні і нормальні напруження. В цьому відношенні підхід Давиденкова-Фрідмана також враховує двоякий характер руйнування і наявність у матеріалу двох характеристик граничної міцності опору відриву та опору зсуву .

Якщо виходити із гіпотези про єдину криву текучості в координатах и еи , то із умови (4.12) випливає, що гранична деформація ер це деяка, визначена для кожного матеріалу, але єдина для різних напружених станів та історій деформування функція відносного гідростатичного тиску . Показник напруженого стану 1 введений в практику оцінки деформовності В.А. Бабічковим і вперше використаний при побудові діаграми пластичності Г.А. Смірновим-Аляєвим.

Таким чином, в якості критерію в'язкого руйнування потрібно прийняти обмеження, які накладаються на деформації. Якщо впливом історії деформування знехтувати, то таким критерієм є критерій запропонований Г.А. Смірновим-Аляєвим

,

або, при нормуванні на одиницю,

,

де гранична деформація в момент появи перших тріщин, які спостерігаються візуально; використаний ресурс пластичності, який при деформуванні без руйнування менший одиниці.

Критерій руйнування В.Л. Колмогорова отриманий з використанням гіпотези про пропорційну залежність між накопиченням пошкоджень і ступенем приросту деформації в вигляді

де коефіцієнт, який враховує самозаліковування дефектів при високих температурах; величина, яка враховує швидкість розвитку тріщин та їх заліковування при холодному деформуванні; інтенсивність швидкості деформації.

Практичне використання критерію, записаного у вигляді (4.15), затрудняється, оскільки в літературі не наводяться дані про значення коефіцієнтів та при різних процесах пластичного деформування. Тому ці коефіцієнти приймають рівними одиниці:

.

Відмітимо аналогію між приведеними критеріями руйнування та лінійним законом сумування пошкоджень в умовах повзучості та при циклічних навантаженнях. Із критерію А.А. Ільюшина в випадку простого навантаження

,

де міра пошкоджень для випадку розтягання; час деформування; tr час деформування до моменту руйнування.

При навантаженнях, близьких до простого, критерій (4.16) приводиться до критерію (4.14), якщо покласти в критерій (4.15) B() = 1; 1 = const.

Визначення критеріїв (4.14), (4.15) випливає з лінійної теорії накопичення деформацій. В багатьох практично важливих випадках використання критеріїв, які базуються на на лінійній теорії накопичення пошкоджень, відмічена відповідність між теорією і експериментом.

5. ЗСУВ

5.1 Основні поняття. Напруження при зсуві

Зсувом називають такий вид деформації, за якої у будь-якому поперечному перерізі бруса виникає лише одна поперечна сила. Деформацію зсуву можна спостерігати, наприклад, під час різання ножицями металевих штаб або прутків (рисунок 5.1). Розглянемо брус площею поперечного перерізу А, перпендикулярно до осі якого прикладен і дві однакові, але протилежно напрямлені сили P , лінії дії їх паралельні і проходять на відносно невеликій відстані одна від одної. Для визначення поперечної сили Q застосуємо метод перерізів (рисунок 5.1).

В усіх точках перерізу діятимуть розподілені сили, рівнодійну яких визначимо із умови рівноваги залишеної частини бруса

,

Q=P.

Природно вважати, що при зсуві в поперечному перерізі бруса діють тільки дотичні напруження . Припускаємо, що ці напруження розподілені по перерізу рівномірно і, отже, їх можна обчислити за формулою

Отже, при зсуві форма перерізу на величину напруження не впливає.

5.2 Напруження і деформації при чистому зсуві

Чистим зсувом називається такий випадок плоского напруженого стану, при якому в околі досліджуваної точки можна виділити елементарний паралелепіпед на чотирьох бокових гранях якого будуть діяти тільки дотичні напруження (рисунок 5.2, а).

За формулами (3.6) і (3.7) знаходимо, що головні напруження при чистому зсуві дорівнюють і діють на площадках, які складають кут 45 з площадками дії (рис. 5.2,б).

Коефіцієнт пропорційності G характеризує жорсткість матеріалу (його здатність протидіяти пружним деформаціям) при зсуві. Його називають модулем зсуву або модулем пружності другого роду. Для сталі

G=8,1105 кг/см2=8,11010 Па=8,1104 МПа

Для ізотропних матеріалів між трьома пружними сталими E, , i G існує залежність



При отримаємо .

Запишемо вираз для переміщення однієї грані відносно іншої (для абсолютного зсуву ) при чистому зсуві. Позначивши площу грані , рівнодійну силу зсуву і відстань між гранями через (рисунок 5.3), отримаємо. деформація стискання напруження зріз

Формула (5.6) виражає закон Гука при зсуві в абсолютних одиницях.

Потенціальна енергія деформації елемента при чистому зсуві

,

а питома потенціальна енергія

.

5.3 Практичні розрахунки на зріз і зминання

На практиці багато деталей конструкцій зазнають деформацій, близьких до деформації зсуву, і в таких випадках їх розміри визначають з розрахунку на зсув (зріз). Розглянемо, наприклад, роботу заклепки, що скріплює два стальних листи (рисунок 5.4).

Нехай на листи діють сили P, що намагаються зсунути їх один відносно одного. Цьому зміщенню перешкоджатиме стержень заклепки. На стержень заклепки передаються зусилля Р, які намагаються зрізати заклепку по площині mn.

Позначимо через [] допустиме напруження матеріалу заклепки на зріз. Тоді умова міцності матиме вигляд

При статичному навантажені звичайно беруть

,

де [] допустиме напруження на розтяг для того самого матеріалу.

Надійність з'єднання, показаного на рисунку 5.4, визначається не лишеміцністю заклепки проти перерізання. Тиск від листа на стержень заклепки передається по циліндричній поверхні. Цей тиск називається напруженням зминання зм . При надмірно високому значенні зм може відбутися зминання заклепки або листа. Внаслідок цього переріз заклепки або отвір у листі наберуть овальної форми. Для запобігання можливості зминання розрахунком встановлюють необхідну величину площі зминання Азм .Умову міцності на зминання записують у вигляді

де []зм допустиме напруження зминання. Звичайно беруть

При контакті по циліндричній поверхні (рисунок 5.4) за розрахункову площу зминання умовно беруть площу проекції поверхні зминання на діаметральну площину. Для розглядуваного прикладу

Розглянемо, наприклад, розрахунок з'єднання стропильної ноги з стропильною затяжкою.

Довжину частини затяжки визначимо з умови (5.6)

6. ГЕОМЕТРИЧНІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ПЛОСКИХ ПЕРЕРІЗІВ

Опір стержня різним видам деформації залежить не тільки від його матеріалу і площі поперечного перерізу, а і від форми поперечного перерізу, і його розміщення по відношенню до діючих навантажень. Досі вивчалися деформації, у яких напруження залежали тільки від площі поперечного перерізу. Для вивчення деформацій згину і кручення потрібно знати й інші, більш складні геометричні характеристики плоских перерізів

6.1 Статичний момент площі. Центр ваги перерізу

Статичним моментом Sz або Sy площі перерізу відносно осі z або y, які лежать у площині перерізу, називаються інтеграли виду

де n кількість окремих частин перерізу,

Аi площа частини перерізу,

zi , yi відстані від центра ваги цієї площі до осей Oz та Oy.

Положення центра ваги перерізу C відносно будь-яких осей z та y (рисунки 6.1 і 6.2) визначається формулами

,

6.2 Моменти інерції перерізу

Осьовими моментами інерції Iz та Iy перерізу відносно будь-яких осей z та y, що лежать у площині перерізу (рисунок 6.1) називають інтеграли виду

,

де y та z відстані від елементарної площадки А до осей Oz та Oy.

Відцентровим моментом інерції Izy перерізу відносно осей Oz та Oy, які лежать у площині перерізу, називається інтеграл виду

.

Інтеграл від добутків елементарних площадок на квадрати їх відстаней до даної точки (полюса) O (рисунок 6.1) називається полярним моментом інерції

Осьові і полярний моменти інерції завжди додатні, відцентровий момент інерції може бути додатним, від'ємним і рівним нулю.

Якщо полюс О збігається з початком координатних осей z, y, то

Ip=Iz+Iy

Із (6.7) випливає, що при повороті осей координат сума осьових моментів інерції залишається незмінною.

За формулами (6.4 6.6) легко підрахувати моменти інерції для перерізів, які часто зустрічаються на практиці. Наприклад, для прямокутника (рисунок 6.3)

.

для круга

.

для трикутника відносно центральної осі паралельної основі

Полярний момент інерції круга відносно полюса, розміщеного в центрі ваги

.

6.3 Формули переходу до паралельних або повернутих осей

Нехай система координат zCyC проходить через центр ваги C перерізу (рисунок 6.4), а друга система yz, що має початок у точці O, паралельна їй. Відстані між осями цих систем позначимо через a і b. Якщо відомі моменти інерції площі А відносно центральних осей zC і yC , то відносно осей z , y, паралельних центральним осям (рисунок 6.4) моменти інерції знаходять за формулами

При повороті координатних осей на кут (рисунок 6.5) залежність між моментами інерції така:

.

Кут при повороті осей проти стрілки годинника.

Момент інерції складної фігури (рисунок 6.2) дорівнює сумі моментів інерції простих фігур

де n кількість окремих частин перерізу,

момент інерції і-тої частини відносно довільно вибраних осей z, y. Тобто, для кожної частини вони взяті відносно одних і тих же осей.

6.4 Головні осі інерції та головні моменти інерції перерізу

Головними називають осі, відносно яких відцентровий момент інерції перерізу дорівнює нулю. Найбільший практичний інтерес мають головні центральні осі, на відміну від інших позначимо їх через u i v будь-яких допоміжних центральних осей zy, отримаємо

.

Формула дає два значення кута , що відрізняються на і визначають положення двох взаємно перпендикулярних головних осей інерції. Моменти інерції відносно головних осей називаються головними моментами інерції. Головні моменти інерції мають екстремальні значення, тобто один має найбільше, а другий найменше значення із всіх отриманих при повороті осей координат. Сума осьових моментів інерції при повороті осей координат величина стала

Головні моменти інерції позначимо Iu , Iv або Imax , Imin . Їх можна підрахувати за формулами (6.13) з врахуванням того, що , або

Із залежності (6.17) випливає, що при повороті допоміжних осей zy до збігу з головними осями uv більший з моментів інерції відносно допоміжних осей повинен збільшитися і досягти величини Imax , тоді як менший повинен зменшитися на ту саму величину й досягти Imin . Отже віссю максимального моменту завжди буде вісь, суміжна з тією допоміжною віссю (z або y), відносно якої момент інерції більший. Якщо, наприклад, Iz Iy , то вісь u, що з віссю z становить гострий кут (рисунок 6.5), буде віссю Imax .

Потрібно відмітити, що отримані за формулою (6.16) значення потрібно відкладати проти стрілки годинника, якщо вони додатні, і за стрілкою годинника, якщо вони від'ємні.

6.5 Радіуси інерції. Моменти опору

Радіусом інерції перерізу називають величину виду

Головні радіуси інерції перерізу отримаємо, якщо у формулу (6.19) підставимо головні моменти інерції

Осьовим моментом опору називається частка від ділення головного моменту інерції на відстань від осі до найбільш віддаленої від неї точки перерізу

де Iz , Iy головні моменти інерції.

Чaстка від ділення полярного моменту інерції на відстань від центру до найбільш віддаленої точки перерізу називається полярним моментом опору



Для прямокутника

Для круга

Для перерізів у вигляді прокатних профілів (кутиків, швелерів, двотаврів) розглянуті вище геометричні характеристики наведені у таблицях сортаменту.

7. КРУЧЕННЯ

7.1 Напруження і деформації при кручені стрижнів круглого поперечного перерізу

Деформація кручення бруса має місце тоді, коли на них діють пари сил, розташованих у площинах, перпендикулярних до осі бруса.

Зовнішній момент, що прикладений до будь-якого перерізу бруса і викликає деформацію бруса, називають скручувальним моментом Мк , а внутрішній силовий фактор називається крутним моментом Мх .

У розглядуваному брусі (рисунок 7.1) в будь-якому поперечному перерізі крутний момент Мх дорівнює скручувальному моментові Мк . Початкова твірна після деформації набуде вигляду Е, А, В, С. На відстані x від закріпленого кінця бруса виділимо елемент завдовжки dx.

,

,

де відстань від точки перерізу до осі бруса, радіус перерізу, d діаметр бруса, max , відносний зсув на поверхні і на віддалі від осі бруса, відповідно.

Використовуючи закон Гука при зсуві (5.4), для дотичних напружень при крученні отримаємо вираз



У площині поперечного перерізу на відстані від осі бруса виділимо елементарну площадку dА. Зусилля, що припадає на цю площадку, дорівнює dА, а момент цього зусилля відносно осі бруса дорівнює dА. Склавши суму зусиль отримаємо величину крутного моменту

тому (7.6) запишемо у вигляді

Підставивши це значення у вираз (7.4) матимемо

Для круглого поперечного перерізу

Користуючись цією формулою, легко визначити величину напружень в будь-якій точці перерізу, розташованій на відстані від осі бруса. Максимальні напруження діють у точках, які розташовані на контурі поперечного перерізу бруса (рисунок 7.2), для яких max = r. Величина максимальних напружень

Замінивши Ip/r полярним моментом опору (див.(6.21)) отримаємо

Для круглого поперечного перерізу

Для елемента біля поверхні бруса взаємне положення головних площадок і площадок, на яких діють максимальні дотичні напруження, показано.

Характер руйнування при крученні визначається напруженим станом і особливостями опору матеріалу бруса лінійним і кутовим деформаціям. Так, стержні із пластичних матеріалів будуть руйнуватися по поперечному перерізі від дотичних напружень. Дерев'яний стержень буде руйнуватися по повздовжніх перерізах, оскільки дерево погано чинить опір зсуву вздовж волокон. Стержень із крихкого матеріалу буде руйнуватися по площадках, розміщених під кутом 45 до осі, тобто перпендикулярних головному напруженню max .

Кут закручування ділянки стержня довжиною l знайдемо за формулою (7.7) з врахуванням.

Якщо крутний момент Мх і жорсткість перерізу GIp величини сталі на ділянці довжиною l, то

Кут закручування стрижня, який має n ділянок

7.2 Епюри крутних моментів

Для розрахунку бруса на кручення (формули 7.77.12) необхідно знати величину крутного моменту Мх в будь-якому поперечному перерізі бруса. Закон зміни крутних моментів по довжині бруса Мх(х) називають епюрою крутних моментів. Епюра дає наочне зображення розподілу крутних моментів вздовж осі бруса. Величину Мх знаходять із умови рівноваги будь-якої частини бруса, розміщеної з одного боку від перерізу. Із рівняння рівноваги (1.7) випливає, що крутний момент у будь-якому поперечному перерізі чисельно дорівнює алгебраїчній сумі зовнішніх моментів, прикладених до бруса справа або зліва від перерізу.

Епюри крутних моментів дають змогу визначити небезпечні перерізи, зокрема, якщо брус має сталий поперечний переріз, то небезпечними будуть перерізи на ділянці, де виникає найбільший крутний момент.

Крутний момент вважають додатним, якщо результувальний момент зовнішніх пар, прикладених до розглядуваної частини бруса буде перпендикулярно прямій, паралельній осі бруса (базі епюри). На рисунку 7.4 приведений приклад побудови епюри крутних моментів.

7.3 Розрахунки на міцність і жорсткість

Для нормальної роботи стержнів на кручення необхідно задовольнити:

умову міцності

умову жорсткості

де допустиме напруження кручення, яке вибирають залежно від допустимого напруження на розтяг, умов роботи конструкції та інше. Наприклад:

для сталей

[]=(0,55...0,60)[]р,

для чавунів

[]=(1,0...1,2)[]р.

В формулі (7.14) допустимий кут закручування, нормований технічними умовами.

Для вала суцільного поперечного перерізу

, звідки

.

Для трубчастого вала

, звідки

де =d/D.

При розрахунках на жорсткість, враховуючи (7.14) і значення Ip для суцільного вала

,

для трубчастого вала

знаходимо:

для суцільного вала

для трубчастого вала

Таким чином діаметр вала визначають з умови міцності (7.13) та умови жорсткості (7.14). За кінцевий розмір беруть більший діаметр.

Часто скручувальні моменти визначають за потужністю N, що передається на вал або знімається з нього і за його кутовою швидкістю . У такому випадку скручувальний момент визначають за формулою

.

Якщо N взяти в ватах, а у радіанах за секунду, то Мк буде в Нм.

7.4 Напруження і деформації в стержнях некруглого поперечного перерізу

В теорії кручення брусів некруглого поперечного перерізу гіпотеза плоских перерізів не виконується, оскільки в процесі деформації будуть в точках А, А1, розміщених по середині довгих сторін. Їх можна визначити за формулою

,

.

В точках В і В1 напруження

.

Кут закручування стержня

,

де.

Iк ,Wк називають моментом інерції і моментом опору при крученні.

Запишемо умови міцності та жорсткості для прямокутного перерізу:

,

де і = 1, 2, 3, …, n номери елементарних частин, на які розбитий переріз.

Оскільки кут закручування для всього перерізу і всіх його частин однаковий, то крутний момент розподіляється між окремими частинами перерізу пропорційно їх жорсткостям. Найбільшого значення напруження досягає для того елемента, в якого буде максимальне

,

де

7.5 Статично невизначувані задачі при крученні

Якщо крутні моменти, що виникають у поперечних перерізах бруса, не можуть бути визначені за допомогою лише рівнянь статики, то такі задачі називають статично невизначуваними.

Щоб розв'язати задачу необхідно визначити реактивні моменти МА і МС . Оскільки для цього випадку можна скласти тільки одне рівняння статики то задача є один раз статично невизначуваною. Необхідне для розв'язування ще одне рівняння отримаємо із умови, що кут закручування стрижня в перерізі

С=0,

оскільки стержень в цьому перерізі закріплений.

Використовуючи формулу (7.12) запишемо (7.20) у вигляді

,

Тепер (7.23) запишемо у вигляді

,

або

,

звідки

MA=0,66M.

а із (7.21) знайдемо

MC=0,34M.

За отриманими результатами побудована епюра крутних моментів Мх (рисунок 7.6, а)

Максимальні напруження:

на ділянці АВ

,

на ділянці ВС

.

Епюра напружень показана на рисунку 7.6, в. Найбільші напруження, як бачимо, мають місце в точках, які знаходяться по середині довгих сторін прямокутного перерізу (ділянка АВ). Для них необхідно задовольнити умову міцності

,

звідки

м.

Приймаємо d=100 мм, b=100 мм, h=150 мм.

Кут повороту перерізу В відносно закріпленого перерізу А

рад.

Епюра кутів закручування показана на рисунку 7.6, г.

8. ЗГИН

8.1 Основні поняття

Розглянемо призматичний брус з прямою віссю, на який діє ряд зрівноважених сил, розташованих в одній площині, що проходить через вісь бруса (рисунок 8.1). У такому випадку брус зазнаватиме деформації згину. Площину, в якій розташовані сили, що викликають згинання бруса, називають площиною дії згинальних сил. Площину, що проходить через деформації згину, називають балкою Балка, жорстко закріплена одним кінцем, називається консоллю (рисунок 8.2, а). На рисунку 8.2, б зображено балку на трьох опорах, навантажену зосередженими силами

8.2 Поперечна сила і згинальний момент

При дослідженні напружень, що виникають у балці при згині, будемо користуватися методом перерізів. Перерізаємо балку площиною перпендикулярною до її осі і розглядаємо рівновагу однієї частини, яка перебуває під дією зовнішніх навантажень і невідомих внутрішніх сил, певним чином розподілених по зробленому перерізі. Внутрішні сили повинні зрівноважувати всі зовнішні навантаження (включаючи реакції опор), що діють на відсічену частину балки.

Розглянемо балку на двох опорах, навантажену вертикальним навантаженням і парою сил М (рисунок 8.3, а). Припустимо, що балка розрізана на дві частини перерізом mn, взятим на відстані х від лівої опори (рисунок 8.3, б). Із статики відомо, що система паралельних сил RА силою , а момент Mz згинальним моментом у довільному перерізі балки, взятому на відстані x від початку координат. Поперечна сила і згинальний момент є внутрішніми силовими факторами в поперечних перерізах балки при згині.

Для визначення величини поперечної сили запишемо рівняння рівноваги для всіх сил, які діють на ліву частину балки

,

звідки

Для визначення величини згинального моменту, складемо рівняння моментів усіх сил, що діють на ліву частину балки, відносно осі z, яка проходить через центр перерізу mn

,

звідки

.

Поперечна сила і згинальний момент, знайдені з розгляду рівноваги правої частини балки, будуть мати ті самі значення, але напрямок їх буде протилежним. Це випливає з того, що всі сили, включаючи реакції, є системою сил, що перебувають у рівновазі.

Для того, щоб поперечна сила і згинальний момент, визначені з розгляду лівої та правої частин балки, були однакових знаків, слід дотримуватися певного правила знаків.

Поперечну силу будемо вважати додатною, якщо вона намагається повернути вирізаний елемент за стрілкою годинника (рисунок 8.4, а). Згинальний момент будемо вважати додатним, якщо він вигинає балку опуклістю вниз (стиснуті верхні волокна)



8.3 Залежності між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом

Установимо залежність між інтенсивністю розподіленого навантаження, поперечною силою і згинальним моментом. Для цього розглянемо балку навантажену довільним навантаженням (рисунок 8.5, а). Виріжимо елемент балки завдовжки dx (рисунок 8.5, б). Протягом довжини dx навантаження q вважатимемо розподіленим рівномірно.

Складемо рівняння рівноваги виділеного елемента балки. Сума проекцій всіх сил на вісь y звідки

,

.

Складемо рівняння моментів всіх сил відносно осі z, яка проходить через точку О

.

Відкидаючи як нескінченно малу величину другого порядку, отримаємо

.

Із двох отриманих диференціальних залежностей (8.3) і (8.4) легко отримати третю

.

8.4 Епюри поперечних сил і згинальних моментів

Поперечна сила і згинальний момент, будучи функціями від абсциси х, змінюються по довжині балки. Для визначення найбільш небезпечних перерізів балки зміну поперечної сили і згинального моменту по довжині балки зручно зображувати графічно. Такі графіки мають назву епюр поперечних сил і згинальних моментів. Розглянемо на прикладі порядок побудови епюр для балки.

Побудуємо епюри поперечних сил і згинальних моментів для балки, показаної на рисунку 8.6, а.

Спочатку визначимо реакції опор RA i RK .

кН,

кН.

Перевірка:

.

Отже, реакції розраховано правильно.

Побудуємо епюри Qy i Mz для ділянки АВ. Для цього зробимо переріз m1n1 на відстані х від опори А і розглянемо рівновагу відсіченої частини (рисунок 8.6, г). Згинальний момент Mz і поперечну силу Qy в перерізі будемо зображати додатними, хоч це не обов'язково .

Ділянка АВ

0 x1 1 м

Qy=RA=1 кН

Mz=RAx1M1

приx1=0 м Mz=4 кНм,

приx1=1 м Mz=3 кНм.

Як видно із (8.6) і (8.7) поперечна сила залишається сталою на всій довжині ділянки АВ а згинальний момент змінюється за лінійним законом. Графіки цих залежностей показані на рисунку 8.6, б і рисунку 8.6, в. Додатні значення сили Qy будемо відкладати вгору від базової прямої, а від'ємні вниз. Епюри згинальних моментів домовимося будувати на стиснутих волокнах. Тому вгору від базової лінії будемо відкладати в масштабі додатні значення згинального моменту, а вниз від'ємні.

Побудуємо епюри Мz i Qy для ділянки ВС. Для цього зробимо переріз

m2n2 і розглянемо рівновагу лівої відрізаної частини балки (рис. 8.6, д)

Ділянка ВС

0 x2 1 м

Qy=RAP1=11=0 кН

Mz=RA(1+x2)P1x2 M1

приx2=0 м Mz=3 кНм,

приx2=1 м Mz=3 кНм.

Будуємо графіки функцій (8.8) і (8.9) на ділянці ВС (риc. 8.6, б, в).

Із умов рівноваги лівої відсіченої частини балки знаходимо закони, за якими змінюються Qy i Mz на ділянці CD.

Ділянка CD

0 x3 1 м

Qy=RAP1+P2qx3

приx3=0 мQy =3 кН,

приx3=1 мQy =1 кН,

приx3=0 м Mz=3 кНм,

приx3=1 м Mz=1,75 кНм.

Для побудови епюр Qy i Mz на ділянці DK розглянемо рівновагу правої відрізаної частини балки (переріз m3n3 , рисунок 8.6, е)

Ділянка DK

0 x4 2 м

Qy=qx4RK

приx4=0 мQy =3 кН,

приx4=2 мQy =1 кН,

приx4=0 м Mz=0 кНм,

приx4=2 м Mz=2 кНм.

Із (8.4) випливає, що при Qy =0 момент Mz приймає екстремальне зна

чення. Значення х1, при якому Qy =0, знайдемо з рівняння (8.12)

м

Визначимо величину згинального моменту за формулою (8.13),при х4=1,5 м

Mz=2,25 кНм

Будуємо епюри Qy i Mz на ділянці DK (рис. 8.6, б, в).

Як видно із рисунків 8.6, б, в на ділянках, де немає розподіленого навантаження (q=0), поперечна сила Qy залишається сталою, а момент Mz змінюється за лінійним законом (ділянка АВ). На ділянці ВС Qy=0, а Mz=const. На ділянці з рівномірно розподіленим навантаженням (q=const), епюра Qy лінійна, а згинальний момент Mz змінюється за законом квадратичної параболи (ділянка CD).

В перерізах, де прикладені зосереджені сили, на епюрі Qy мають місце стрибки на величину і в напрямках цих сил, а на епюрі Mz злами.

В перерізах, де прикладені зосереджені моменти, на епюрі Qy ніяких змін немає, а на епюрі Mz мають місце стрибки на величину цих моментів.

На ділянках, де Qy=0, момент Mz сталий, а в перерізах, де Qy=0, згинальний момент набуває екстремального значення. Практично всі наведені властивості епюр Qy i Mz випливають із залежностей (8.3) і (8.4).

8.5 Нормальні напруження при чистому згині

Згин балки, при якому згинальний момент сталий по довжині бруса, а поперечна сила дорівнює нулю, називається чистим згином. Чистий згин можна отримати, якщо прикласти до бруса в кінцевих перерізах рівні за величиною і протилежного напрямку пари сил, які діють в площині симетрії бруса (рисунок 8.7, а) або навантажити брус силами (рисунок 8.7, б). Досвід показує, що при чистому згині повздовжні лінії ab i aobo , нанесені на поверхню бруса, викривляються, а поперечні aoa i bob повертаються, залишаючись прямими і перпендикулярними зігнутим лініям (рисунки 8.8, в, г). Повздовжні волокна бруса зазнають простого розтягу або стиску, не спричинюючи взаємного бокового стиску.

Для цього розглянемо деформацію ділянки бруса, вирізаної двома перерізами, розташованими на відстані dx один від одного (рисунок 8.8, а). Нейтральний шар на цьому рисунку зображений лінією aobo=dx.

Позначимо радіус кривизни нейтрального шару через , а кут повороту перерізу n-n відносно перерізу m-m через d. Розглянемо відносне видовження довільного волокна ab, розташованого на відстані у від нейтрального шару (рисунок 8.8, б).

.

За законом Гука нормальне напруження в волокні ab буде рівне

.

Розглянемо переріз m-m (рисунок 8.8, б). Візьмемо на площині перерізу елементарну площадку dА з координатами y і z. На цю площадку діє нормальне зусилля . Сума моментів елементарних внутрішніх

сил dN відносно осі z дає величину внутрішнього згинального моменту, який діє в цьому перерізі

.

Підставимо значення х із

або,

де осьовий момент інерції бруса відносно осі z.

Перепишемо (8.16) у вигляді

.

Вираз (8.17) - це залежність між згинальним моментом і кривизною осі бруса при чистому згині. Добуток EIz називається жорсткістю поперечного перерізу бруса при згині. Підставивши (8.17) в (8.15) знайдемо

.

Вияснимо положення осі z нейтральної лінії перерізу. При чистому згині нормальна сила в перерізі дорівнює нулю, тобто

.

Оскільки , то . Цей інтеграл являє собою статичний момент площі перерізу бруса відносно осі z, оскільки , то вісь z проходить через центр ваги перерізу.

При чистому згині дорівнює нулю згинальний момент відносно осі у, тобто

.

Оскільки відцентровий момент , то вісь z є головною.

Отже нейтральна лінія при згині збігається з головною віссю перерізу.

Як видно із (8.8) нормальні напруження змінюються по висоті перерізу за лінійним законом. На рисунку 8.9 показані епюри нормальних напружень. Найбільші напруження виникають у точках найбільш віддалених від нейтральної лінії, для яких y=ymax . Величину найбільших напружень у перерізі визначають за формулою

.

Величина

називається осьовим моментом опору перерізу. Поняття моменту опору вводиться тільки для перерізів, симетричних відносно нейтральної осі (рисунок 8.9, а, б). Для таких перерізів формула (8.21) записується у вигляді

Якщо переріз несиметричний відносно нейтральної лінії, то

,

де уА , уВ координати найбільш віддалених точок перерізу.

8.6 Поперечний згин. Дотичні напруження

При поперечному згині бруса в його перерізах, крім згинального моменту діє поперечна сила. У цьому випадку, крім нормальних напружень від згинального моменту, у перерізах виникають також дотичні напруження від поперечної сили. Їх розраховують за формулою Журавського

,

де Qy поперечна сила в перерізі, b ширина перерізу в тому місці, де треба обчислити дотичні напруження, S*z абсолютна величина статичного моменту площі відносно осі z тієї частини площі перерізу A*,

Оскільки для перерізу Qy і Iz величини сталі, то закон розподілу дотичних напружень по висоті перерізу визначається відношенням . Наприклад, для прямокутного перерізу

Підставивши значення S*z і Iz в (8.25), отримаємо

.

Отже, по висоті прямокутного перерізу дотичні напруження змінюються за параболічним законом. Найбільшого значення дотичні напруження досягають в точках, розташованих на нейтральній лінії при y=0.

8.7 Аналіз напруженого стану при згині. Розрахунки на міцність

Як видно із рисунка 8.9 і рисунка 8.10 в точках, які лежать на верхній і нижній границях поперечного перерізу, мають місце тільки нормальні напруження і в цих точках вони мають найбільше значення. Таким чином для цих точок умову міцності можна записати у вигляді

.

Якщо матеріал крихкий і по різному чинить опір розтяганню і стисканню, то балки із такого матеріалу мають несиметричний по відношенню до нейтральної лінії переріз (рис. 8.8, г). Такі балки розміщують так, щоб більші за абсолютною величиною напруження були стискувальні, а менші розтягувальні (рисунок 8.9, д). Умови міцності для таких випадків приймають вигляд

де р допустиме напруження при розтяганні, а с допустиме напруження при стисканні.

Порівнюючи з цих позицій, наприклад, прямокутний переріз з двотавровим, неважко переконатись в перевазі останнього.

У балки прямокутного перерізу матеріал в області нейтральної лінії повністю не використовується, оскільки знаходиться в зоні з малими напруженнями. У двотаврової балки більша частина матеріалу розміщена в найбільш напруженій зоні. Тому при однаковій міцності двотаврова балка в 2...3 рази легша прямокутної. В точках перерізу, розміщених на нейтральній осі, діють тільки дотичні напруження (рисунках 8.9 і 8.10), тому умова міцності для цих точок буде така:

.

В решти точок перерізу при поперечному згині має місце плоский напружений стан, тобто одночасно діють дотичні і нормальні напруження (рисунок 8.11). Умова міцності записується у вигляді

.

Головні напруження в цих точках визначаються за формулами

Еквівалентне напруження екв вибирається в залежності від прийнятої теорії міцності.

Для пластичних матеріалів за третьою теорією міцності.

.

Для крихких матеріалів за теорією Мора

,

де .

Більшість розрахунків на міцність при згині роблять за формулою (8.27). Для цього необхідно побудувати епюру згинальних моментів Mz і по ній визначити небезпечний переріз, тобто той переріз, в якому Mz має найбільше значення.

Можливі випадки, коли при великих поперечних силах в перерізах балки діють незначні згинальні моменти (короткі балки). В цьому випадку підбирають переріз по (8.27) і обов'язково перевіряють чи виконується умова міцності (8.29) для точок, які лежать на нейтральній лінії. Перерізи, в яких діють найбільша поперечна сила і найбільший згинальний момент можуть збігатися.

В балках з тонкостінним перерізом небезпечною може бути точка перерізу, розміщена в місці переходу стінки в полку (рисунок 8.9, г). Тут має місце плоский напружений стан, тобто х0, ух0.

Для перевірки міцності таких балок необхідно:

1. Визначити переріз, в якому діє найбільший згинальний

момент і за (8.27) підібрати переріз.

2. Знайти переріз балки, в якому одночасно Mz і Qy мають найбільші значення. Такий вибір не завжди однозначний, тому бувають випадки, коли таких перерізів більше одного.

3. Перевірити за формулами (8.32) або (8.33), залежно від матеріалу балки, чи виконуються ці умови міцності для небезпечної точки.Якщо умови міцності (8.32) або (8.33) не виконуються, то збільшуютьплощу перерізу, або вибирають по сортаменту більший номер профілю.

Розглянемо наступний приклад.

Підібрати двотавровий переріз для балки, показаної на рисунку 8.12, а, якщо а=0,5 м, кН/м, =160 МПа.

Епюри поперечних сил і згинальних моментів показані на рисунках 8.12,б і 8.12,в.

За формулою (8.27) знаходимо

м3=140,6 см3

По сортаменту підбираємо двотавр № 18,а (рисунок 8.12, г), для якого см3, см3, Іz=1290 см4, h=180 мм, b=90 мм, d=5,1 мм, t=8,1 мм.

Перевіримо, чи виконується умова міцності для точки, яка знаходиться в перерізі з найбільшою поперечною силою

Н/м2=24 МПа 0,5=80 МПа

Таким чином, міцність за дотичними напруженнями в точці “4” забезпечена.

Перевіримо міцність в точці “2”, для перерізу, в якому діють найбільші поперечна сила і згинальний момент. Таким перерізом буде переріз D.

Визначимо нормальне напруження в точці “2”

Н/м2=148 МПа

Дотичне напруження в точці “2”

Н/м2=14,3 МПа

Визначимо нормальне напруження в точці “2”

Н/м2=148 МПа

Визначаємо головні напруження

1=144,2 МПа, 3=1,4 МПа.

Еквівалентне напруження за третьою теорією міцності

МПа =160мпа.

8.8 Рівняння пружної лінії зігнутої балки

В інженерній практиці розраховують балки не тільки на міцність, але й на жорсткість. При згині жорсткість характеризується здатністю балки чинити опір викривленню. При деформації в межах пружності зігнуту вісь балки називають пружною лінією. Відхилення будь-якої точки осі балки від первісної прямої називають прогином. Кут повороту будь-якого перерізу балки відносно його початкового положення називають кутом повороту перерізу.

Раніше було установлено, що кривизна пружної лінії прямо пропорційна згинальному моменту.

.

,

.

Рівняння (8.35) називають диференціальним рівнянням пружної лінії і інтегрування цього рівняння пов'язане з великими труднощами. Тому в тих випадках, коли прогини невеликі, величиною порівняно з одиницею можна знехтувати.

.

Знак кривизни може не збігатися зі знаком згинального моменту і залежить від напрямку координатних осей. Якщо вісь у направити вверх а вісь х вправо, то знаки у і Мz збігаються, тому в (8.36) запишемо знак “плюс”

.

Інтегруючи це рівняння один раз, дістанемо рівняння кутів повороту

.

Інтегруючи вдруге, знайдемо

,

де С1 і С2 сталі інтегрування, які можна знайти із граничних умов.

Наприклад, для балки, показаної на рисунку 8.13 граничні умови після інтегрування (8.38) і (8.39) будемо мати

Використовуючи граничні умови (8.40), маємо С1=С2=0. Знайдені значення С1 і С2 підставимо в рівняння (8.41) тоді одержимо рівняння кутів повороту

і рівняння пружної лінії

.

Підставивши х=l, знайдемо кут повороту і прогин вільного кінця балки

.

Знак “мінус” говорить про те, що переріз повернувся вправо і балка прогнулась вниз.

8.9 Визначення кутових та лінійних переміщень методом початкових параметрів

Визначення переміщень методом безпосереднього інтегрування диференційного рівняння пружної лінії в випадку балок з великою кількістю ділянок ускладнено. Ці труднощі пов'язані не з інтегруванням диференціальних рівнянь, а з технікою визначення довільних сталих інтегрування складанні і розв'язуванні систем лінійних алгебраїчних рівнянь. Так, якщо балка має n ділянок, то інтегрування диференціального рівняння (8.36) необхідно виконувати для кожної ділянки. В такому випадку буде 2n сталих інтегрування, які визначають із умов на границях ділянок. Тому на практиці часто використовують метод початкових параметрів, який базується на диференціальних залежностях, справедливих для будь-якого перерізу балки між кутом повороту та моментом Mz і дозволяє при будь-якій кількості ділянок звести розв'язання до визначення всього двох сталих прогину і кута повороту перерізу в початку координат.

,

між прогином y та кутом повороту

.

При використанні цього методу початок координат розміщують в крайньому лівому перерізі і він є загальним для всіх ділянок балки.

Згинальний момент визначають як алгебраїчну суму моментів всіх сил розміщених зліва від перерізу. При цьому зовнішній зосереджений момент M1 (рисунок 8.14), прикладений на відстані a від початку координат, множать на величину (x-a)0 , яка дорівнює 1, а розподілене навантаження, у випадку його обриву (наприклад при x=d) продовжують до перерізу, в якому визначають переміщення і починаючи з перерізу x=d вводять розподілене навантаження протилежного напрямку. Інтегрування диференціального рівняння виконують не розкриваючи дужок.

Проінтегруємо (8.37) з врахуванням (8.44) один раз, одержимо рівняння кутів повороту для балки сталої жорсткості

Інтегруючи вдруге, одержимо рівняння прогинів

В перерізі балки, де взято початок координат, в загальному випадку будуть діяти поперечна сила, згинальний момент, а також будуть мати місце кут повороту і прогин, які ми позначили відповідно Q0 , M0 , 0 , y0 і називатимемо їх далі початковими параметрами (рисунок 8.14). Для балки, показаної на рисунку 8.14, Q0=P, M0=M, а значення 0 і y0 можна визначити із умов закріплення

y(b1)=0,y(l)=0.

Слід відмітити, що при визначенні кута повороту і прогину в перерізі з координатою x в рівняння (8.45) і (8.46) входять тільки ті навантаження, які знаходяться між початком координат і перерізом.

Приклад. Напишемо рівняння кутів повороту і прогинів для балки, показаної на рисунку 8.15.

Початковий параметр 0 визначимо із умови: при х=7а , y(7а)=0

Тепер рівняння прогинів приймає вигляд



Запишемо рівняння кутів повороту

Визначимо, використовуючи ці рівняння, вертикальне переміщення і кут повороту перерізу B, для якого x=2a

Знак “мінус” говорить про те, що при х=2а (переріз В) балка прогинається вниз, а переріз повертається вправо.

Размещено на Allbest.ru

...