Синтез систем управления для массообменных технологических процессов в условиях неопределенности

Размещено на http://www.allbest.ru

Размещено на http://www.allbest.ru

Введение

Актуальность проблемы. В настоящее время переход экономики на инновационный путь развития связан с необходимостью в усовершенствовании систем управления (СУ) такими энергоемкими производственными объектами как массообменные технологические процессы (МТП), протекающие в ректификационных и абсорбционных колоннах, и распространенные в нефтеперерабатывающей, нефтехимической и химической промышленности. Так около 50-60% от общего количества производимой энергии нефтехимического предприятия приходится только на процесс ректификации.

В последнее десятилетие уже не вызывает сомнение то, что одними из эффективных в реальных условиях производства для МТП оказались СУ на основе прогнозирующих моделей (ПМ). Это подтверждает факт наличия множества коммерческого программного обеспечения для реализации в промышленности таких СУ. Среди лидеров отметим регуляторы RMPCT (Honeywell), DMC-plus (Aspen Tech), HIECON, PFC (Adersa), SMOC (SGS), Connoisseur (Invensys), MVC (Continental Controls), Process Perfecter (Pavilion Technologies).

Основополагающий вклад в создание теоретических основ методов управления с использованием ПМ внесен И.И. Перельманом, В.М. Дозорцевым, В.Н. Буковым, В.С. Шендриком, С.Р. Катлером, Б.Л. Рамакером, Д.В. Кларке, А. Моршеди, С.Е. Гарсиа, Д.М. Преттом, М. Морари, Д.Х. Ли, В.Х. Квоном. Дальнейшее развитие концепция управления с ПМ получила развитие в работах К.Р. Муске, Д.Б. Ролингса, С.Д. Квина, Ф. Алговера, Д.М. Макиеджоски, Е.Ф. Камачо, С. Бордонса и многих других.

Основной проблемой синтеза СУ методами теории оптимального управления является высокая размерность моделей динамики МТП. Например, для простой ректификационной колонны установки газоразделения нефтеперерабатывающего завода количество дифференциальных уравнений находится в диапазоне 800-1200. Кроме этого структура и параметры уравнений фазового равновесия часто известны неточно и изменяются со временем. Это приводит к необходимости синтеза СУ с помощью методов теории робастного управления, которая создавалась благодаря работам Б.Т. Поляка, Я.З. Цыпкина, А.П. Молчанова, Ф. Дойла, М. Морари, Д.Д. Шиляка и др. Вклад в развитие методов исследования робастной устойчивости и робастного качества СУ на основе ПМ внесли Е. Зафириоу, Д.К Майне, Т.А. Бадгвел, Д.А. Росситер и др. В большинстве случаев рассматривается два класса ПМ. К первому относятся передаточные матрицы и модели в пространстве состояний. Ко второму - импульсные переходные (весовые) функции, которые в дискретной форме на конечном временном интервале имеют усеченный вид. Методы синтеза регуляторов с моделями первого типа наиболее развиты и удобны для исследования, в особенности, робастной устойчивости системы. Однако они обладают существенными недостатками, сдерживающими их применение в реальных условиях: необходима непрерывная оценка вектора состояния модели объекта с целью осуществления прогноза, что, как правило, требует знания статистических характеристик сигналов для совместного применения алгоритмов оценивания вектора состояния; при синтезе робастного регулятора на основе ПМ, например, используя H-оптимизацию, прибегают к аппроксимации элемента запаздывания рядом Паде, что приводит к неприемлемым для практики результатам. ПМ, принадлежащие второму классу довольно просто учитывают последействие (запаздывание) объекта: соответствующие элементы вектора весовой характеристики будут равны нулю. При этом не требуется оценивание вектора состояния объекта. Однако условия робастной устойчивости со вторым типом ПМ имеют следующие недостатки: нет учета влияния горизонта управления на робастную устойчивость системы; не рассмотрены условия робастной устойчивости для астатических объектов с запаздыванием, так как в этом случае для построения будущей оптимальной последовательности управляющих воздействий требуется обращение бесконечномерных матриц.

Особенностью рассматриваемых объектов управления является наличие нестационарного запаздывания различного типа. Построение систем управления с идентификатором позволяет существенно улучшить стабилизацию технологического объекта (ТО) с неизвестными нестационарными параметрами. Значительный вклад в теорию идентификации внесли Н.С. Райбман, В.М. Чадеев, Л. Льюнг и др., а развитие методов синтеза систем управления с идентификатором представлено также в работах многих других отечественных и зарубежных ученых. Для большинства ТО вариации запаздывания происходят в весовой функции, при этом динамика выхода существенно отличается от систем с запаздыванием по входу, выходу и состоянию. Если для последних уже существуют некоторые алгоритмы идентификации переменного запаздывания, изложенные в работах С.В. Дракунова, Ю. Орлова, Д.П. Ришарда, Л. Белкоура, то для систем с запаздыванием в весовой функции ПМ методы идентификации практически не разработаны. В связи с этим необходимым является построение алгоритмов идентификации ПМ с учетом того, что структура модели возмущения запаздывания неизвестна, а доступно лишь знание границ интервала изменения запаздывания.

Таким образом, имеет место актуальная проблема, заключающаяся в разработке новых методов синтеза СУ МТП, в связи с тем, что:

1) структура и параметры моделей фазового равновесия МТП в производственных условиях могут быть неизвестны;

2) воздействуют неизмеряемые возмущения по составу сырья;

3) запаздывание и гидродинамические режимы объекта изменяются со временем;

4) взаимодействие между контурами регулирования температурных профилей в аппаратах колонного типа имеет нелинейный характер.

В результате применения разработанных методов достигнуто снижение энергозатрат промышленных МТП (ректификационных колонн) и увеличение отбора наиболее ценных продуктов.

Диссертационная работа выполнена в соответствии с тематическими планами Института автоматики и процессов управления ДВО РАН, связанных с разработкой методов оценивания и управления непрерывными ТО в условиях неопределенности, поддержана грантами РФФИ (06-08-96014-р-восток-а; 08-08-00004-а), ДВО РАН (06-III-В-03-080, 09-III-В-03-087) и Советом по грантам Президента РФ (МК-2034.2008.8).

Цель работы состоит в разработке методов синтеза систем управления для МТП, функционирующих в условиях априорной неопределенности, воздействия внешних неизмеряемых возмущений и имеющих нестационарное запаздывание.

В соответствии с целью поставлены следующие задачи исследования:

- получение условий робастной устойчивости СУ на основе ПМ с усеченной весовой функцией;

- разработка метода синтеза регуляторов на основе ПМ с робастно-стабилизирующими горизонтами прогнозирования управления и выхода с учетом различного вида неопределенности МТП;

- разработка метода идентификации нестационарного запаздывания ПМ, исходя из того, что структура модели вариаций запаздывания неизвестна;

- разработка метода компенсации взаимного влияния выходных переменных многомерного нелинейного МТП и воздействия неизмеряемых внешних возмущений, используя нелинейную модель статического режима ТО;

- разработка метода синтеза робастного регулятора фиксированной структуры для многомерного линеаризованного МТП с известной направленностью действия заданий системы и внешних возмущений;

- разработка способа определения робастно-оптимальных параметров цифровых регуляторов в смысле минимума критерия свертки дисперсий отклонений системы от заданной траектории, учитывая спектральные плотности мощности неизмеряемых внешних возмущений;

- разработка методов синтеза СУ с ПМ, построенных на основе нейросетевого подхода для управления оптимальными статическими режимами МТП.

Методы исследования. В работе использованы методы теории робастного управления, теории разностных уравнений, методы оптимизации, методы линейной алгебры и теории матриц. Эффективность разработанных методов синтеза систем управления на основе ПМ исследована численным моделированием и подтверждена экспериментально на промышленных МТП.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Получены условия робастной устойчивости для систем на основе ПМ с усеченной импульсной переходной функцией, отличающиеся от известных условий учетом влияния горизонта управления на качество функционирования системы и распространением их на модели с астатизмом, описывающие динамику МТП в условиях отсутствия данных фазового равновесия разделяемых компонентов. Вывод условий базируется на введении нового показателя несоответствия ПМ реальному объекту с запаздыванием.

2. Разработан метод определения робастно-стабилизирующих горизонтов прогнозирования управления и выхода для регуляторов на основе ПМ МТП с запаздыванием с мультипликативной формой представления присущей им структурной и/или параметрической неопределенности в моделях фазового равновесия и гидродинамических режимов.

3. Разработаны новые нелинейные градиентные алгоритмы идентификации для МТП с нестационарным запаздыванием с целью обновления ПМ. Доказана сходимость алгоритмов и показано, что они обеспечивают максимальную скорость сходимости ошибки идентификации к нулю при изменении значений управляющего воздействия.

4. Разработан метод управления на основе обратной нелинейной статической модели МТП, учитывающий доступную априорную информацию о термодинамическом (фазовом) равновесии разделяемых веществ и отличающийся новым механизмом компенсации нелинейного взаимного влияния контуров регулирования для подавления неизмеряемых внешних возмущений по составу сырья.

5. Для переменных МТП с малоинерционной динамикой (расходы потоков, давление, уровни в аппаратах и др.), подверженных воздействию внешних стохастических возмущений и в моделях которых также присутствует неопределенность, разработан метод синтеза робастно-оптимальных регуляторов, минимизирующих свертку дисперсий выхода системы. Предложен алгоритм оценки влияния спектральных характеристик неизмеряемых внешних возмущений на оптимальные значения параметров регуляторов фиксированной структуры.

6. Разработан метод итерационного синтеза робастных регуляторов для многомерных МТП, учитывающий реальную направленность действия возмущений и заданий регуляторам, с минимизацией структурированного сингулярного числа (количественного показателя робастного качества регуляторов) замкнутой системы.

7. Разработан метод построения систем управления на основе ПМ для МТП, используя нейросетевой подход в оценке показателей качества продуктов, для решения задач стабилизации МТП в оптимальном режиме в смысле заданных критериев (энергозатраты и производительность).

Практическая ценность и реализация результатов работы. Полученные научные результаты используются в качестве теоретических и практических основ синтеза систем управления на основе ПМ МТП, имеющих нестационарное запаздывание, неопределенности различного типа в моделях динамики, а также подверженных воздействию внешних неизмеряемых возмущений. Синтезированные системы управления на основе ПМ позволяют существенно улучшить стабилизацию показателей качества (концентрации целевых компонентов, фракционный состав продуктовых потоков и т.д.) непрерывных ТО, которые распространены в нефтеперерабатывающей, химической промышленности и биотехнологии. Кроме этого, обеспечивается автоматическое поддержание оптимальных режимов функционирования ТО по критериям, задаваемыми операторами-технологами (например, поддержание режима с минимальными энергозатратами и т.д.), что является источником улучшения экономических показателей производства.

Разработанные алгоритмы робастного управления на основе ПМ были реализованы в виде специального серверного приложения связанного с платформой распределенной системы управления (РСУ) Yokogawa и внедрены на установках органического синтеза (Завод тонкой химической технологии корпорации Самсунг, г. Ульсан, Ю.Корея) для управления оптимальными статическими режимами ректификационных колонн производств четвертичных аммониевых солей, диметилацетамида, эпихлоргидрина и др.

Внедрены ПМ в составе многомерных робастных регуляторов на базе инструментальных средств РСУ Experion PKS для стабилизации измеряемого с запаздыванием вектора состояния (вектор показателей качества) и минимизации энергозатрат колонных аппаратов фракционирования нефти на производственном объединении «Киришинефтеоргсинтез».

Полученные в диссертационной работе научные результаты и рекомендации использовались при чтении и подготовки курсов: «Автоматизированное управление химико-технологическими процессами и химико-технологическими системами», «Принципы математического моделирования химико-технологических систем» на кафедре химических технологий Дальневосточного государственного университета.

На вышеуказанные внедрения получены соответствующие акты.

На защиту выносятся:

1. Разработанные теоретические положения анализа робастной устойчивости систем управления на основе ПМ с усеченной импульсной переходной функцией применительно к массообменным технологическим процессам (ректификационным и абсорбционным колоннам), математическое описание которых содержит неопределенность в параметрах и структур моделей фазового равновесия.

2. Развитие методов синтеза регуляторов на основе ПМ, имеющих робастно-стабилизирующие горизонты прогнозирования и управления. Решение задачи выбора весовых коэффициентов квадратичного критерия управления, при заданных горизонтах прогнозирования и управления, с целью стабилизации объекта (массообменного аппарата) на основе параметрически неопределенной ПМ с учетом ограничений на управляющие воздействия.

3. Метод синтеза оптимальных алгоритмов идентификации нестационарного запаздывания, обусловленного сменой гидродинамического режима массообменного технологического процесса.

4. Обобщение метода синтеза систем управления на основе обратной нелинейной модели статического режима массообменного процесса ректификации для случая воздействия неизмеряемых возмущений по составу исходной разделяемой смеси веществ.

5. Развитие методов синтеза робастных цифровых регуляторов фиксированной структуры с учетом спектральных характеристик действующих внешних возмущений, обеспечивающие высококачественную стабилизацию таких технологических параметров как расходы потоков, давление и уровень в масообменном аппарате.

6. Алгоритмы и комплекс программ для синтеза усовершенствованных АСУ ТП ректификационными установками на основе прогнозирующих моделей, предназначенные для снижения энергозатрат промышленных объектов и увеличения отбора наиболее ценных продуктов.

Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались автором и получили одобрение на Всемирных конгрессах Международной федерации автоматического управления (IFAC): 14-ом в г. Пекине, КНР, 1999 г.; 16-ом в г. Праге, Чехия, 2005 г.; 17-ом в г. Сеуле, Ю.Корея, 2008 г.; 6-ом Международном симпозиуме IFAC по динамике и управлению технологическими системами DYCOPS'6 (г. Чеджу, Ю.Корея, 2001 г.); 7-ом Международном симпозиуме IFAC по передовым системам управления химико-технологическими процессами ADCHEM'7 (г. Гонк Конг, 2004 г.); III Международной конференции «Проблемы управления» (г. Москва, 2006 г.); X Международном семинаре "Устойчивость и колебания нелинейных систем управления" имени Е.C. Пятницкого (г. Москва, 2008 г.); Дальневосточной математической школе-семинаре им. Е.В.Золотова (г. Владивосток, 2004 г., 2006-2008 гг.) и на научно-технических семинарах ИАПУ ДВО РАН.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты научных исследований по теме диссертации изложены в более чем 30 печатных работах, из них 12 - в журналах, входящих в перечень ВАК.

Все выносимые на защиту научные положения разработаны соискателем лично. В основных научных работах по теме диссертации, опубликованных в соавторстве, лично соискателем разработаны: [1-3,13,16-19] - метод управления на основе обратной нелинейной модели для компенсации статических нелинейностей массообменных аппаратов в оптимальных режимах функционирования и при воздействии неизмеряемых возмущений по составу сырья; [4,20] - методика построения прогнозирующей модели оптимального состояния массообменного процесса на основе нейросетевого подхода в условиях неопределенности параметров и структуры уравнений фазового равновесия; [21] - разработка и реализация в промышленных условиях робастного децентрализованного регулятора ректификационной установкой производства диметилацетамида.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, списка литературы, включающего 226 наименований, и 3-х приложений. Основной текст изложен на 281 странице, содержит 114 рисунков и 34 таблицы.

Автор выражает благодарность д.т.н., профессору В.П.Кривошееву за обсуждение проблем управления процессом ректификации, а также зав. отделом № 60 ИАПУ ДВО РАН д.т.н., профессору О.В.Абрамову за создание благоприятной обстановки, способствующей выполнению данной работы.

1. Сравнительная характеристика существующих методов синтеза систем управления МТП

Указывается ограниченность их применения, в основном, в связи с высокой размерностью динамики МТП и неопределенностью. Анализируются источники неопределенности, возникающие в описании массообменных аппаратов и проводится исследование робастной устойчивости систем с прогнозирующими моделями МТП, для которых неизвестны модели фазового равновесия. В этом случае номинальные динамические модели (в окрестности рабочего установившегося режима) можно получить лишь экспериментально во время опытно-промышленного пробега производственной установки. Вводится новое представление несоответствия (невязки) непараметрической прогнозирующей модели (НПМ) реальному объекту с запаздыванием для анализа и получения условий робастной устойчивости СУ на основе НПМ. Рассматривается некоторый динамический объект, имеющий один вход и один выход. Его уравнение модели имеет вид (дискретное представление интеграла свертки):

робастный ректификационный многомерный

, (1.1)

где - выходная переменная модели; u - управляющее воздействие. Номинальная НПМ представляется как усеченная импульсная переходная функция (УИПФ) в виде конечномерного вектора и может быть получена путем метода идентификации.

Введем также в рассмотрение вектор , характеризующий динамические свойства реального объекта. Опишем семейство объектов :

 = {, i=1,…,N}, (1.2)

где и - векторы нижних и верхних границ значений h. Номинальная НПМ располагается в центре множества и определяется как:

, i=1,…,N.

Несоответствие НПМ реальному объекту выражается суммой модулей разностей:

.(1.3)

Каждый элемент hi ограничен значениями и , поэтому справедливо неравенство:

, i=1,…,N,

где:

. (1.4)

Учитывая (1.3) и (1.4), максимальное значение несоответствия имеет вид:

.

Введем в рассмотрение коэффициент [0;1], характеризующий степень неопределенности модели посредством влияния на значения границ семейства (1.2) ; .

На рис.1 изображены два семейства объектов с одной и той же номинальной моделью, но с разными . Очевидно, что чем больше , тем более неопределенней становится объект, т.е. область возможных траекторий УИПФ расширяется. Под реальным объектом, понимается объект, УИПФ которого принадлежит множеству (1.2).

Утверждение 1.1. Пусть реальный объект устойчив и для него возможны два случая реализации формы траектории номинальной НПМ:

- случай 1) УИПФ начинает убывать сразу после первого значения;

- случай 2) значения УИПФ в начале увеличиваются до некоторой величины, а затем убывают;

- и для обоих случаев справедливы предположения:

а) верхние и нижние границы множества (1.2) монотонно невозрастающие и больше нуля;

б) известна степень неопределенности ;

в) имеется запаздывание на d тактов, причем d<N,

тогда выполняется следующее неравенство:

,(1.5)

где - максимальное значение несоответствия НПМ реальному объекту с запаздыванием.



Рис. 1. Семейства объектов при различных

Вычисление и анализ (1.5) рассматривается последовательно для двух случаев.

Случай 1. Форма траектории УИПФ представлена на рис.2а. В результате временного сдвига на d тактов образуется дополнительная область . Из рис. 2а можно убедиться в том, что:

,

где всегда положительное число:

,

так как для i=1,…,d и для i=d+1,…,N.

Случай 2. На рис.2б изображена соответствующая форма траектории НПМ. Как правило, такая форма траектории УИПФ соответствует объектам высокого порядка. Сдвиг на d-тактов вызывает появление двух дополнительных областей и , выделенных более светлым цветом на рис.2б. Выражение для в этом случае имеет вид:

.

Рис. 2. Область (выделена по контуру сплошной жирной линией): а) - случай 1; б) - случай 2

Сумма + принимает положительное значение:

,

так как для i=1,…,d и , для i=d+1,…,N.

Из утверждения 1.1 следует, что присутствие запаздывания в реальном объекте увеличивает значение максимального несоответствия НПМ. Следуя известным условиям робастной устойчивости, гарантировать существование стабилизирующего регулятора с номинальной НПМ в этом случае невозможно. Однако, в работе доказано все-таки наличие запаса устойчивости системы для ранее не рассматриваемого случая, т.е. когда имеет место (1.5).

В диссертационной работе рассматривается алгоритм управления на основе НПМ, принадлежащий классу алгоритмов Dynamic Matrix Control (DMC). DMC получил широкое распространение при решении задач стабилизации параметров химико-технологических процессов, поэтому продолжение исследований робастной устойчивости системы с данным регулятором весьма актуально.

Уравнение (1.1) в приращениях имеет вид:

,(1.6)

где uk-i=uk-i uk-i-1; .

Прогнозирование выходной переменной на j шагов вперед, используя (1.6), выполняется по уравнению:

,(1.7)

где есть ошибка прогноза (разность между измеренным выходным сигналом yk реального объекта и полученным по модели (1.6)). На j шагов вперед предполагается, что dk является неизменной величиной. Ошибка прогноза обусловлена влиянием неизмеряемых возмущений и несоответствием НПМ реальному объекту.

Запишем (1.7) в векторно-матричной форме, учитывая конечные горизонты прогнозирования P и управления M:

, (1.8)

где Sf - матрица свертки размеров PM:

;

uf = [uk uk+1 … uk+M-1]T. Матрица Sp размера P(N-2), отражающая степень влияния предыдущих изменений управляющего воздействия на будущие значения выходной переменной, имеет вид:

.

up = [uk-1 uk-2 … uk-N+2]T; uN = [uk-N+1 uk-N+2 … uk-N+P]T.

Разность между сигналом задания R и прогнозом (1.8) находится по уравнению:

,(1.9)

где является невынужденной составляющей ошибки, не включающей в себя эффект от будущих изменений uf. Цель управления состоит в отыскании такой последовательности uf, которая минимизирует среднеквадратичную целевую функцию:

, (1.10)

где E = [ek+1 ek+2 … ek+P]T; - диагональная матрица весовых коэффициентов.

Решением задачи минимизации критерия (1.10) методом наименьших квадратов является:

, (1.11)

где размерностью MP. Физическая реализуемость (1.11) состоит в том, что на текущем шаге управления k возможно использование только первой строки матрицы K.

Поэтому от (1.11) приходим к уравнению:

. (1.12)

На следующем такте осуществляется пересчет (1.11)-(1.12) из-за изменений вектора .

Для последующего анализа робастной устойчивости системы управления выполним z-преобразование уравнения (1.12).

В итоге дискретная передаточная функция регулятора на основе НПМ имеет вид:

,(1.13)

где:

; ; ; ; ;

X - единичная матрица-столбец размерности P. Отметим, что горизонт управления M не присутствует в явном виде в знаменателе (1.13). Он оказывает влияние на размерность матрицы свертки Sf и, следовательно, на значения элементов матрицы-строки K1. Использование образа (1.13) z-преобразования является новым для исследования свойств замкнутых систем с регуляторами на основе НПМ.

Ранее считалось, что перевод астатического объекта в желаемое состояние на основе модели в виде УИПФ невозможен с нулевой ошибкой. Причина заключается в том, что для данного типа объектов не соблюдается условие =0 для i>N, а реализация НПМ размерностью N= неосуществима. Тогда НПМ не способна описывать в полной мере динамику объекта и прогнозирование (1.8) будет заведомо ошибочным. Следовательно нет гарантии, что за бесконечное число будущих шагов мы достигнем абсолютно точно заданного значения выходной переменной объекта.

В работе показано, что в случае конечного N возможно свести ошибку регулирования к нулю. Исходя из концепции управления на основе УИПФ предполагается, что существуют некоторые si в (1.8), обеспечивающие устойчивость замкнутого контура.

Утверждение 1.2. Регулятор на основе НПМ размерностью N приводит астатический объект в заданное состояние с нулевой ошибкой при ступенчатом воздействии на входе системы при k.

Ступенчатый входной сигнал (задающее воздействие) рассмотрен здесь исходя из его широкой распространенности на практике в системах управления технологическими процессами.

В работе предлагается прибегнуть к форме представления семейства объектов (1.2) в виде номинальной модели, дополненной неопределенностью в частотной области. Рассматриваются непрерывные объекты, имеющие следующую дискретную ПФ:

, (1.14)

где H(s) - ПФ экстраполятора; G(s) - непрерывная номинальная модель объекта. Для того, чтобы получить представление модели (1.14) в частотной области необходимо использовать подстановку z=еjT. В дальнейшем выражения, содержащие данную замену, будем обозначать с верхним индексом *. Например, . Для заданного можно сформировать множество объектов в частотной области:

,, (1.15)

где - ПФ реального объекта (некоторый элемент множества ); есть разность ПФ и . Модуль предполагаем ограниченным:

.

Функция описывает в частотной области границы семейства . Если введем в рассмотрение отношение:

,

тогда окончательно получим следующее условие робастной устойчивости для системы с регулятором (1.13)

,, (1.16)

где ; - максимальное значение модуля для [0; /T].

2. Задача определения робастно-стабилизирующих значений горизонтов управления (M) и прогнозирования (P) для системы с регулятором, реализующим стратегию прогнозирующего управления

Аналитическое решение напрямую, используя (1.16), для получения области робастно-стабилизирующих горизонтов P, M (для заданного N) невозможно из-за сложности знаменателя (1.13). Рассмотрено влияние величины горизонта управления M на функционирование регулятора на основе ПМ.

Для этого требуется нахождение матрицы K, что совпадает с поиском псевдообратной матрицы для Sf , т.е. . Если М=1, то является вектором. Показано, что:

.(2.1)

Из (2.1) найдено при минимальном М=1:

.

Рассмотрим граничный случай, когда М=Мmax, т.е. М=Р (значения горизонтов равны между собой). Матрица есть нижняя треугольная (в силу свойства операции свертки) и допускаем, что она имеет полный ранг, тогда . Найдем K1, используя присоединенную матрицу к :

, (2.2)

где ; ; Ai1= 0 для i=2,…,P. В итоге получим

.(2.3)

Сравнивая между собой (2.1) и (2.3), получено, что при условии:

.(2.4)

Заметим, что всегда можно найти P, при котором выполняется неравенство (2.4) для любых объектов (будь то астатические или с самовыравниванием), так как . Из (2.2) также следует, что при достаточно большом Р значения и (q>1) равны между собой, так как , что соответствует достижению своей верхней границы (максимального значения), равной (2.3).

Теорема 2.1. Пусть заданы элементы УИПФ, при которых si>0, i=1,…,P, тогда с увеличением значения горизонта управления M от 1 до P коэффициент передачи (КП) также увеличивается и достигает максимального значения .

Из теоремы 2.1 следует, что регулятор на основе ПМ стремится уже на следующем такте управления достичь заданного значения выходной переменной y, т.е. подать на вход объекта приращение uk=1/s1 (если в начальный момент времени =[1…1]T). Очевидно, что такое управление (M=P) весьма агрессивно и может вызвать колебания в системе, если s1 известно неточно.

Теорема 2.1 также позволяет заключить, что КП есть сумма элементов первой строки матрицы и равен 1/s1.

С учетом запаздывания объекта матрица становится вырожденной, поэтому необходимо найти псевдообратную матрицу . Представим в виде блочной матрицы R:

,

где A, B и D - нулевые матрицы размеров d(P-d), dd и (P-d)d соответственно; С - невырожденная нижняя треугольная матрица размера (P-d)(P-d):

.

Применим рекурсию Гревилля для нахождения блочной псевдообратной матрицы R+. Для первого столбца матрицы R имеем:

,

где , X1 - нулевая матрица размера (P-d)d. Продолжая вычисления со вторым столбцом матрицы R, получим:

,

где ; - нулевая матрица размера (P-d)d; ; Y1 и Y2 - нулевые матрицы размеров dd и d(P-d) соответственно. С учетом вида D2 и b2 блочная матрица B2 примет вид:

,

где Y3 = X1. В итоге запишем искомую псевдообратную матрицу:

.

Присутствие Y3 не влияет на значение суммы элементов первой строки R+ и можно показать справедливость равенства .

Теорема 2.2. Пусть модель объекта задана вектором , М=Р и регулятор имеет КП . Если объект имеет запаздывание на d тактов, т.е. , тогда .

Из теоремы 2.2 следует, что регулятор на основе ПМ будет стремиться завершить переходный процесс в системе за d+1 тактов в случае наличия запаздывания. Данное свойство делает его весьма эффективным, так как идеальное управление по обратной связи может сделать то же самое за (2d+1) тактов, т.е. в 2 раза медленнее.

В работе рассматривается возмущенный коэффициент передачи регулятора при максимальном M=P:

, (2.5)

где - некоторая малая величина отклонения (0<<<1) от номинального значения s1. Найдем разность между номинальным значением и (2.5):

 (2.6)

По аналогии с (2.5) и (2.6) найдем разностное выражение коэффициента передачи, когда М=1:

(2.7)

Показано, что если горизонт управления M=1, то КП регулятора обладает минимальной чувствительностью (робастностью) к неопределенности модели, т.е.

(2.8)

Учитывая схожесть некоторых членов в (2.6) и (2.7), перепишем (2.8) в виде:

.(2.9)

Справедливость неравенства (2.9) может быть установлено из неравенств и .

Представлены примеры определения робастно-стабилизирующих значений P, M и N. Изложим кратко один из них. Допустим, что номинальная непрерывная модель объекта имеет вид:

.(2.10)

От модели (2.10) перейдем к ее аналогу в виде вектора УИПФ конечной размерности N: = [0,1813 0,1484 0,1215 0,0995 … hN]T.

Любое дробно-рациональное выражение типа (2.10) можно представить в форме .

Примем (с целью упрощения дальнейших выкладок) N=3, P=2 и M=1, т.е. регулятор с тройкой (3,2,1). Тогда получим следующий z-образ регулятора с ПМ:

.

Найдем характеристический полином замкнутого контура для номинального случая:

.(2.11)

С применением леммы Джури к полиному (2.11) дает заключение о неустойчивости системы, так как сумма модулей коэффициентов при нестарших степенях z больше единицы (1,0638>1). Но система сохраняет устойчивость, так как корни полинома ri (2.11) расположены внутри единичного круга:

r1,2 = -0,5181j0,5464;

r3,4 = -0,6910j0,3948.

Вычислим .

Допустим, что реальный объект имеет запаздывание :

,(2.12)

где d - целое число тактов запаздывания. При d=1 получаем . Ранее полученные результаты свидетельствуют, что стабилизирующий регулятор в этом случае отсутствует. Действительно, для характеристического полинома:

(z)=z4 - z3 + 0,4227z2 - 0,1274z + 0,3591

применение леммы Джури вновь дает условие неустойчивости 1,9092>1. Однако система сохраняет устойчивость, так как корни полинома все еще внутри единичного круга:

r1,2 = 0,7798j0,5339;

r3,4 = -0,2797j0,5691.

Таким образом, очевидна ограниченность применения леммы Джури в анализе робастной устойчивости систем.

Дополнительно предположим, что в процессе функционирования объект проявляет астатические свойства:

.(2.13)

На практике это довольно распространенный случай для динамики таких химико-технологических объектов, как ректификационные колонны. В них переходный процесс может идти несколько часов, и, следовательно, идентифицировать коэффициент передачи часто становится невозможно.

С учетом (2.10), (2.12) и (2.13) условие робастной устойчивости трансформируется в уравнение, из которого можно определять робастно-стабилизирующие горизонты регулятора:

,.(2.14)

Используя уравнение (2.14), можно изучать влияние N, P и M на критические значения d, b0, и T. Для этого необходимо оставлять поочередно только одну независимую переменную в вышеуказанном уравнении и решать его известным численным методом. Значения N, P и M, полученные из (2.14), будут робастно-стабилизирующие, так как гарантируют устойчивость системы для объектов различной структуры (2.10), (2.12) и (2.13).

На рис. 3 представлены рассчитанные зависимости при различных значениях горизонта M, отражающие максимально допустимые вариации запаздывания (dcr) при номинальной ПМ (2.10). Очевидна робастность регулятора на основе ПМ при M=1, так как в этом случае регулятор гарантирует устойчивость при фактически троекратном изменении запаздывания по сравнению с вариантом, когда M=2.

Изложено решение задачи выбора весовых коэффициентов квадратичного критерия управления, при которых замкнутый контур сохраняет устойчивость, если горизонты M и P регулятора на основе параметрически неопределенной ПМ заданы, и присутствуют ограничения на управляющие воздействия.



Рис. 3. Максимально возможное запаздывание как функция от робастно-стабилизирующих значений P, M и N

3. решение задачи идентификации запаздывания ПМ, задаваемой посредством УИПФ или конечной импульсной характеристикой (КИХ)

Пусть дискретный динамический объект без запаздывания имеет КИХ:

,(3.1)

где:

;(3.2)

=0 для qN+1,…,. Вектор есть составляющая оператора преобразования входа объекта u в его выход y посредством сверточной суммы:

,(3.3)

где k - дискретное время.

Допускается, что известны элементы вектора и границы изменения запаздывания , но закон вариации запаздывания внутри данного интервала неизвестен. Тогда на такте k вектор КИХ размерности имеет структуру:

,(3.4)

и от уравнения (3.3) с учетом (3.4) приходим к выражению:

,(3.5)

которое является дискретным аналогом интегрального уравнения с неизвестными элементами двухмерного ядра . Из (3.4) можно лишь установить границы изменений .

Выражение (3.5) можно представить в виде уравнений модели системы в пространстве состояний. Для этого введем в рассмотрение конечное множество независимых от времени теплицевых матриц сверток , где:

(3.6)

имеет размерность ; . Теплицевы матрицы задаются первым столбцом и первой строкой. Запись (3.6) означает, что первый столбец матрицы есть , а все элементы первой строки, начиная со второго, определяются посредством , т.е. равны нулю. Например, если N=3, =2 и =0, то:

; ; .

Обозначим каждый столбец матрицы (3.6) как , тогда получим следующее конечное множество из векторов:

.(3.7)

Из множества (3.7) сформируем блочные матрицы-строки:

,.(3.8)

Чтобы учесть нестационарность запаздывания, введен вектор:

,(3.9)

где - символ Кронекера. В результате получено представление нестационарной системы с запаздыванием в КИХ (3.5) в виде стационарной нелинейной по выходу системы с неизвестными вектором состояния и входом :

, ,(3.10)

,

где:

; ; ; ; ; - матрица-строка размерности Q.

Приведено представление линейных дискретных систем с запаздываниями по входу, выходу и состоянию в канонических формах управляемости в виде систем без запаздывания, но с расширенными векторами состояний.

Модель объекта с запаздыванием на d тактов по входу.

,

,(3.11)

где:

;

; ; ; .

.

Модель объекта с запаздыванием на d тактов по выходу.

,

,(3.12)

где:

; .

;

.

Модель объекта с запаздыванием на d тактов по состоянию.

,

, (3.13)

где:

; ; ; , j = 1,…,N; ; ; ; ; ; ; .

Динамика нелинейной системы (3.10) отличается от (3.11)-(3.13) по выходу и прежде всего в моменты времени появления возмущения по запаздыванию, если при этом изменения входа отсутствовали на некотором интервале времени , где .

Утверждение 3.1. Пусть для каждой системы (3.11)-(3.13) справедливы условия:

а) ;

б) ; ; ;

в) u(k)=const, ,

тогда любые возмущения запаздывания в интервале (а) не вызывают изменений выходов систем (3.11)-(3.13). - спектральный радиус матрицы.

Утверждение 3.2. Пусть для системы (3.10) задан вектор КИХ и выполняются условия (а) и (в), тогда возмущение по запаздыванию вызывает изменение выхода в системе (3.10).

В случае одновременного действия возмущений по запаздыванию и вариаций входа u(k) выход системы (3.10) будет также отличаться от выходов систем (3.11)-(3.13).

Особенность системы (3.10), сформулированная в утверждении 3.2, практически значима при описании возмущений по запаздыванию в транспорте реагирующих веществ в реакционных зонах химико-технологических процессов.

Требуется построить алгоритм оценивания вектора состояния в (3.10), гарантирующий на каждом такте максимальную скорость сходимости ошибки оценивания к нулю при неизвестных вариациях в интервале , - оценка вектора состояния. Таким образом, исходная задача оценивания запаздывания в КИХ свелась к задаче оценки вектора состояния нелинейной системы (3.10) без запаздывания.

Важно отметить, что задача оценивания нестационарного запаздывания может быть также рассмотрена как задача построения наблюдателя состояния с неизвестным входом для системы (3.10). Однако в этом случае нарушается необходимое условие существования решения (такого наблюдателя), потому что для некоторого k .

Для минимизации критерия оценивания на каждом такте получен следующий нелинейный рекуррентный алгоритм градиентного типа:

,

,(3.14)

,

где - параметр, влияющий на скорость сходимости алгоритма; ; - вектор кусочно-линейных функций:

;(3.15)

i - целое число, причем и , если и . Ввод функций (3.15) обусловлен поддержанием работоспособности алгоритма (3.14) в условиях, когда принимает нецелочисленные значения.

Дифференцирование по вызвано необходимостью избежания равенства нулю производной в (3.14). В силу свойств функций (3.15), при дифференцировании , только последний ()-й элемент вектора производных не равен нулю при любом текущем значении запаздывания из интервала .

Для входной последовательности выполняется условие постоянного возбуждения (persistent excitation - PE), согласно которому ее ковариационная матрица положительно определена. Этому условию могут удовлетворять различные типы сигналов. В том числе случайный сигнал типа белый шум с матрицей ковариации , - дисперсия входной последовательности. В работе доказана сходимость ошибки оценивания к нулю для системы с неизвестным стационарным или медленно изменяющимся запаздыванием с пределом .

Разработан метод нахождения значения параметра , при котором обеспечивалась бы максимальная скорость сходимости (затухания) ошибки оценивания к нулю на каждом такте k.

Введена в рассмотрение квадратичная функция Ляпунова:

(3.16)

с симметричной положительно определенной матрицей P, обозначаемой далее как ; . Скорость сходимости траектории к нулю выражается через приращение квадратичной функции (3.16):

.(3.17)

Чем больше коэффициент (для всех траекторий системы выполняется (3.17)), тем более быстрый отклик имеет система. В нашем случае на динамические свойства системы оказывает значение , поэтому приходим к задаче поиска такого , при котором наблюдается максимальное значение и, соответственно, достигнута максимальная скорость сходимости ошибки оценивания к нулю.

Показано, что определяется в результате решения оптимизационной задачи в терминах линейных матричных неравенств (ЛМН):

{},, (3.18)

где и - нижняя и верхняя границы , задаваемые априорно. Решение (3.18) позволяет найти , при котором всегда поддерживается максимальная скорость сходимости ошибки оценивания к нулю при изменении d(k) в интервале . В случае быстро изменяющегося запаздывания в среднем будут сохраняться колебания ошибки в области нулевого решения из-за ограниченности скорости сходимости алгоритма оценивания.

Следует отметить практические аспекты решения задачи (3.18). Решение подобных задач с ЛМН может осуществляться с помощью эффективных пакетов прикладных программ. Как правило время решения составляет несколько секунд на современных ЭВМ, что позволяет применять (3.18) на каждом такте, так как период управления для производственных МТП находится в пределах 0,5-1 мин.

4. Методы многомерного нелинейного управления на основе нелинейных моделей МТП на примере ректификационных колонн (РК)

Рассматривается решение задачи управления процессом ректификации на основе обратной нелинейной модели (ОНМ) в условиях воздействия неконтролируемых возмущений по составу исходной разделяемой смеси веществ. Предложен механизм оценки влияния таких возмущений с введением необходимой динамической коррекции в параметры ОНМ. Преимущество управления на основе ОНМ состоит во введении в контур регулирования физико-химической модели процесса. В общем случае такой закон управления имеет следующий вид:

,(4.1)

где y - вектор выхода; ySP - вектор заданных значений y; t - текущее значение времени; K1 и K2 - матрицы настроечных параметров имеют следующий вид:

; .

Полученное с помощью уравнения (4.1) значение ySS подставляется в нелинейную модель статического режима процесса:

,(4.2)

из которой вычисляется вектор управляющих воздействий u при измеренном векторе возмущений d. В выражении (4.2) p - вектор параметров модели процесса. Специфика решаемой в диссертационной работе задачи состоит в том, что отсутствует (неизвестна) информация о составляющей z в векторе d. В этих условиях необходимо найти способ подавления неконтролируемых помех z.

Предназначение ОНМ состоит в определении вектора управлений на основе векторов выхода и возмущений ([y,d][u]). С учетом настоящей постановки задачи, при неизмеряемой составляющей вектора d, расчет РК посредством ОНМ разбивается на две подзадачи. Первая - это ввод механизма оценки изменения z по наблюдениям за доступными измерениями температур верха и низа Tq и Tp. Вторая - это создание процедуры расчета РК при заданных значениях Tq и Tp.

Статическая модель процесса ректификации представляет собой систему из NC+N нелинейных алгебраических уравнений. Для обычной (с двумя продуктами) РК размерность такой системы составит 269+26=260. Решение нелинейной системы с таким количеством уравнений при фиксированных Tq и Tp можно выполнить численным методом, например методом Ньютона-Рафсона. В этом случае потребуется гораздо больше машинного времени на расчет, по сравнению с использованием метода -коррекции, предложенного изначально Листером. В современных моделирующих компьютерных программах технологических процессов (PRO/II, Design II, HySim и др.) задействованы другие алгоритмы расчета, например с внутренним/внешним контурами (Inside/Out), релаксационные и др., дающие гарантию сходимости расчета, но при существенных затратах машинного времени. Кроме этого, задача расчета РК при заданных температурах в двух точках (Tq и Tp) решается ими как оптимизационная с двумя степенями свободы, в качестве которых выступают переменные D (верхний продукт) и V (паровой поток). В качестве нового подхода предложено использовать метод -коррекции, обладающий быстрой сходимостью (что является существенным при интеграции ОНМ в контур регулирования) и позволяющий оставить только одну степень свободы для нахождения вектора u, удовлетворяющего заданным значениям Tq и Tp. Это было достигнуто следующим способом.

Измерение Tq осуществляется выше тарелки питания f РК. В алгоритм расчета предлагается вводить функцию -коррекции:

,(4.3)

где ; , и - мольный расход i-компонента в жидкой фазе в верхнем, нижнем продуктах и на тарелке q, соответственно; - константа фазового равновесия i-компонента, зависящая от температуры Tq.

Введение в алгоритм -коррекции функции (4.1) позволяет рассчитать одну составляющую вектора управлений u1=D при заданном значении Tq за один расчет статического режима. Далее, используя любой численный метод одномерной оптимизации, варьируя u2=V, добиваются выполнения условия:

,(4.4)

где - точность расчета; индекс j означает номер итерации оптимизационной процедуры.

Система управления на основе ОНМ, компенсирующая влияние неконтролируемых возмущений для двумерного случая изображена на рис. 4.

Рис. 4. Система управления на основе ОНМ с контуром коррекции по z: z0 - начальное значение

Виду того, что z недоступен для измерения, то его можно условно рассматривать как дополнительный вектор параметров ОНМ и обозначим его через z. В зависимости от изменений Tq и Tp, вызванных воздействием z, предлагается подстраивать z в соответствии со следующим правилом: если Tq и Tp возрастают, то z уменьшается, и наоборот, если Tq и Tp уменьшаются, то z увеличивается. Следовательно, по температурному профилю можно косвенно отслеживать характер неконтролируемого возмущения z. Новым элементом является дополнительный контур динамической коррекции по параметру z в ОНМ, состоящий из суммы пропорционального (КП) и интегрального (КИ/S) звеньев, которые очень просто реализовать в промышленных условиях. Из-за высокой размерности динамической модели РК невозможно выполнить аналитическое исследование и определение оптимальных значений параметров , , , , KП и KИ для системы управления на рис.4, поэтому была доказана ее работоспособность по аналогии с упрощенной системой. Допустим, что объект управления описывается следующим уравнением:

,(4.5)

где и - константы; z - возмущение. Модель статического (установившегося) режима для (4.5) имеет вид:

.(4.6)

Так как z не измеряется, то в (4.6) произведем замену на z=z и получим обратную модель (ОМ):

.(4.7)

Рассмотрим канал возмущения в статическом режиме. Из (4.5) аналогично получим уравнение:

.(4.8)

Из (4.4) следует, что увеличение y означает произошедшее увеличение z, а уменьшение y достигается при уменьшении z (при u=const). Приняв во внимание последний вывод и уравнения (4.5-4.8), получим структуру системы управления с вводом соответствующего динамического канала коррекции параметра z в ОМ (рис. 5).

Рис. 5. Упрощенная система управления с подстройкой параметра z в ОМ

Задавшись значениями параметров K=8, K=2, C1=1, C2=1, C3=1 и C4=500, построим переходные процессы в системе управления с ОМ (рис.5) при воздействии возмущения z в виде единичной ступенчатой функции 1(t) для случаев с введенным динамическим каналом по z (рис.6а-б) и без него (рис.6в-г). Анализ рис.6 показывает, что введение коррекции по z в ОМ обеспечивает автоматическую идентификацию величины возмущения z (рис.6б), т.е. в установившемся состоянии zz и подавление неизмеряемых возмущений. Таким образом, показана эффективность предложенной динамической коррекции параметров ОНМ.

5. Методы синтеза робастно-оптимальных алгоритмов управления, применяемых для регулирования второстепенных или вспомогательных переменных МТП, например, расходы потоков, уровни в колоннах и флегмовых емкостях, давление в аппарате и др., с заданными спектральными характеристиками неизмеряемых возмущений

Для большинства таких переменных справедливы два типа моделей динамики:

; ,(5.1)

где G(s) - передаточная функция (ПФ) модели ТО.



Рис.6. Переходные процессы в системе управления с ОМ: а), б) - с изменением z в ОМ; в), г) - без изменения z в ОМ

Параметры моделей (5.1) точно неизвестны на практике. Предположим, что их значения принадлежат интервалам с заданными границами. В этом случае для модели GI(s) получим множество параметров PI, а для GII(s) имеем PII. Множества PI и PII содержат вектора значений параметров моделей Pi: PIi={i, Ti, Ki}, i=1,…,23; PIIi={i, T1i, Ti, Ki}, i=1,…,24.

Рассматривается замкнутый контур (рис.7) с ПФ цифрового регулятора (ПИД структуры):

.(5.2)

H(s) - ПФ экстраполятора нулевого порядка. Sg(), SN() - спектральная плотность мощности (СПМ) задающего и возмущающего сигналов, соответственно.

Таблица 1 иллюстрирует пример с множеством PI.

Таблица 1

PIi	i	Ti	Ki
PI1	min	Tmin	Kmin
PI2	min	Tmin	Kmax
PI3	min	Tmax	Kmin
PI4	min	Tmax	Kmax
PI5	max	Tmin	Kmin
PI6	max	Tmin	Kmax
PI7	max	Tmax	Kmin
PI8	max	Tmax	Kmax

Допускается отсутствие корреляции между g(t) и N(t), тогда СПМ сигнала ошибки e(t) имеет вид:

,(5.3)

где ; F1(j)=F2(j)С(j)G'(j). Для получения уравнения (3) используется подстановка . TS - период квантования. .

Рис. 7. Замкнутая система управления со спектром неизмеряемого возмущения

Дисперсия ошибки De рассчитывается на основе (5.3) по формуле:

(5.4)

Значение интеграла (5.4) находится численно. Пределы интегрирования заменяются на +c и -c, т.е. . рад/ед.вр. удовлетворяет многим практическим приложениям.

Задача оптимизации параметров регулятора для объекта с неопределенными параметрами (5.1) формулируется в виде свертки критериев типа (5.4):

,(5.5)

при нелинейных ограничениях:

i,(5.6)

i,(5.7)

i. (5.8)

Выбор оптимальных параметров существенно зависит от СПМ входных сигналов. Проанализирован типичный практический пример: регулирование расхода вещества. В данном примере присутствует несколько источников неизмеряемых стохастических возмущений, таких как флуктуационные процессы в насосах, перекачивающих вещество, перепады давления в трубопроводе и др. Рис.8 демонстрирует проявление вышеуказанных возмущений при фиксированном положении регулирующего клапана (данные получены с реального объекта).

Рис. 8. Нормализованные значения выходной переменной (Ts=2 сек)

Рис. 9. Значения критериев Ji: импульсные функции различной амплитуды

Очевидно, что стохастическое возмущение имеет гармоническую природу и его представление в виде обычного отфильтрованного белого шума (полиномом C(z)w) не подходит для данного случая. Более приемлемым является описание в виде суммы взвешенных синусоид (или комплексных экспонент) в белом шуме. Отметим, что использование СПМ сигналов позволяет избежать встречающиеся проблемы с правильным выбором модели возмущений. Для упрощения дальнейшего анализа пренебрежем влиянием белого шума в сигнале на рис.8, тогда получим модель возмущения:

,

где равномерно распределенная случайная величина в интервале между - и . Найдено, что 0=0.36 рад/сек и A1. Спектр синусоидального сигнала со случайной фазой имеет вид:

,

где - импульсная функция.

Номинальная модель ТО для примера на рис. 7:

+ 10% разброс значений параметров.

В этом случае получаем упрощенный критерий (5.5):

, где .



Рис. 10. Свертка дисперсии как функция от K2

На рис.10 изображены результаты исследований влияния K2 на значение критерия J при фиксированных K1=2.2 и K0=0.1. Обнаружена сильная чувствительность формы спектра возмущения к местоположению оптимального значения K2OPT. Для трех различных Sn получены три различные K2OPT. Для нашего демонстрационного примера установлено, что при 0=0.36 рад/сек введение дифференциальной составляющей в закон регулирования не обеспечивает улучшения качества управления.

Алгоритм предлагаемого метода синтеза изображен на рис.11. Оптимизационная задача решается методом последовательного квадратичного программирования (SQP), который дополняется условиями робастной устойчивости замкнутого контура посредством границ нелинейных неравенств (5.6)-(5.8).



Рис. 11. Алгоритм синтеза робастно-оптимального регулятора

...