Размещено на http://allbest.ru

На правах рукописи

УДК 51-74+531.39+534.1

АВТОРЕФЕРАТ

на соискание ученой степени

доктора технических наук

Динамика намоточных и гибких связей, выполненных из упруговязкопластических материалов, при взаимодействии с рабочими органами механизмов машин

Специальность 01.02.06 - Динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры

Бараев Абдулжан

Москва 2010

Работа выполнена в ГОУ ВПО «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского

Научный консультант доктор технических наук, профессор Дасибеков Ажибек Дасибекович

Официальные оппоненты доктор физико-математических наук, профессор Васин Рудольф Алексеевич

доктор технических наук, профессор Каримбаев Тельман Джамалдинович

доктор технических наук, профессор Айнабеков Алпысбай Иманкулович

Ведущая организация ООО «Лирсот»

Защита состоится «___» _____________ 2010 г. в «___» часов на заседании диссертационного совета Д 212.110.07 в «МАТИ» - Российском государственном технологическом университете им. К.Э. Циолковского по адресу: 121552, г. Москва, ул. Оршанская, д. 3 (аудитория ___).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке «МАТИ» - Российского государственного технологического университета им. К.Э. Циолковского.

Автореферат диссертации разослан «___» _____________ 2010 г.

Отзывы в двух экземплярах (заверенные печатью учреждения) просим присылать по адресу: 121552, г. Москва, Г-552, ул. Оршанская, д. 3, «МАТИ» - Российский государственный технологический университет им. К.Э. Циолковского.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 212.110.07 ______________ Чуфистов В.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

С развитием техники и технологий в области применения различных намоточных и гибких связей в текстильной и легкой промышленности, которые являются одним из ведущих направлений экономического и социального развития, в горной, нефтедобывающей, морской, авиационной промышленности и других отраслях народного хозяйства из года в год расширяются. В центре наукоемкой техники и технологии продолжают оставаться самолетостроение, ракетостроение. Во всех этих и в других отраслях промышленности гибкие элементы: различные волокна, нити, кабели, канаты, гибкие протяженные элементы в строительстве, ремни приводных механизмов, ленты ленточных конвейеров, намоточные связи и т.д. - являются важными элементами конструкций технологического процесса. Во многих случаях при проектировании таких элементов изгибной и крутильной жесткостью пренебрегают и их рассматривают как гибкую нить. Под «гибкой нитью» обычно понимают тело, у которого размеры поперечного сечения во много раз меньше, чем их длина (канаты, тросы, проволоки, кабели и др.). Под действием внешних нагрузок в них возникают в основном только силы натяжения, направленные в каждый момент времени по касательной к центру тяжести поперечного сечения. Такая нить может испытывать большие поперечные перемещения и принимать произвольную конфигурацию в пространстве. В развитие теории нитей и гибких связей и их приложения внесли большой вклад такие видные ученые, как Ляв А., Релей Л., Ильюшин А.А., Рахматулин Х.А., Минаков А.П., Савин Г.Н., Горошко О.А., Кристеску Н., Щедров В.С., Шапиро Г.С., Павленко А.Л., Кийко И.А., Григорян С.С., Шемякин Е.И., Агаларов Д.Г., Светлицкий В.А., Мигушов И.И., Новацкий В.К., Куликовский А.Г., Глушко М.Ф., Демьянов Ю.А., Смит С., Баренблатт Г.И. и многие другие. Хотя модель идеальной нити представляет некоторую абстракцию, тем не менее, она удовлетворительно описывает поведение текстильных пряжей, тросов, цепей, канатов и других деталей. Однако реальная нить, намоточные связи оказывают сопротивление не только растяжению, но также изгибу и кручению. Необходимость учета сопротивления на изгиб и кручение возникает при изучении прочности нити, а также при расчете и проектировании канатов и тросов в подъемных машинах. Настоящая работа обобщает и систематизирует результаты многолетних исследований автора. Приводятся результаты исследований пространственного движения нелинейно-упругих, вязкоупругих, упруговязкопластических нитей. Исследования выполнены на основе законов механики совместно с кинематическими (геометрическими) условиями. Дифференциальные уравнения, описывающие пространственное движение таких нитей при заданном законе деформирования и с учетом геометрических связей, становятся существенно нелинейными. Полученные уравнения решаются методом характеристик. Излагается приложение теории распространения продольно-поперечных волн в упругих, упругопластических и упруговязкопластических гибких и намоточных связях к решению проблем, связанных с пространственным движением и с напряженным состоянием намоточных связей, с получением динамических диаграмм растяжения-деформации нитей и намоточных связей, со скольжением намоточных и гибких связей по поверхности твердого тела - модели рабочих органов машин. Сформулированы задачи, возникающие при изучении распространения волн в телах различной геометрической формы, а также задачи взаимодействия волн с границами раздела сред и отражения. Эти задачи важны для понимания и выделения наиболее существенных факторов волнового воздействия на элементы механизмов машин, в том числе текстильных.

Актуальность исследований. Известно, что форма движения гибких и намоточных связей, их напряженно-деформированное состояние, волновые процессы в них зависят от физических свойств материала, от способа приложения и величины внешней нагрузки. Решению задач, связанных с динамикой намоточных и гибких связей, посвящено большое число как теоретических, так и экспериментальных исследований и все же качественное и количественное влияние названных и других параметров на напряженное состояние материала, на конкретные формы движения гибких связей недостаточно исследовано. В большинстве работ решения получены при определенных упрощающих предположениях либо относительно закона деформирования материала, либо относительно граничных или начальных условий. Это связано с тем, что постановка задачи о пространственном движении нити с учётом реальных свойств материала приводит к сложной системе уравнений, включающей дифференциальные уравнения в частных производных. Даже численное решение такой нелинейной системы уравнений весьма затруднительно; трудно поддается анализу и зависимость решения от множества параметров. Вместе с тем, развитие вычислительной техники и математического моделирования позволяет исследовать всё более сложные динамические задачи о распространении нелинейно-упругих и неупругих волн. В настоящее время математическое моделирование стало неотъемлемой частью исследований и разработки сложных технических систем. Оно является удобной и экономически оправданной составляющей научно-технического прогресса. В самом деле, проведение натурного эксперимента требует длительного времени, больших капитальных вложений; а для математического моделирования такой проблемы не возникает, но оно становится эффективным только тогда, когда базируется на достаточно адекватных моделях материалов и явлений.

С учетом сказанного, в настоящей работе развивается модель динамического поведения нитей с более адекватным учетом механических свойств материала и контактных условий при взаимодействии нитей с твердыми телами.

Цели и задачи диссертационной работы. Целью диссертационной работы является разработка методов прогнозирования причин, приводящих к снижению качества продукции и производительности технологических процессов, а также повышение прочности намоточных и гибких связей, выполненных из упруговязкопластических материалов, при взаимодействии с рабочими органами механизмов машин.

Поставленная цель достигается решением следующих задач.

Модернизация существующих и разработка более компактных расчетных схем для исследования пространственного движения нелинейно-упругих, вязкоупругих, гибких и намоточных связей.

Исследования волновых явлений в гибких и намоточных связях с физико-механическими характеристиками, более приближенным к реальным свойствам.

Построение математических моделей волновых процессов в гибких связях с различными физико-механическими и технологическими свойствами и с учетом различных граничных условий.

Исследование численно-экспериментально волновых движений и напряженно-деформированных состояний возмущенных участков упругих и упругопластических гибких связей в зависимости от свойств материала, от способа приложения и величины внешних нагрузок.

Определение характера разрывов в решениях динамических задач и исследование параметров пространственного движения гибких связей, обладающих различными физико-механическими свойствами на этих разрывах.

Построение математических моделей взаимодействия гибких и намоточных связей, обладающих заданными технологическими показателями, с твердыми телами (рабочими органами механизмов машин) с учетом эффекта многократного отражения волны от поверхности контакта.

Разработка методов качественной и количественной оценки скорости натяжения нитей и намоточных связей для оптимизации конструкций узлов и режимов работы машин.

Разработка методики определения участков нити с наибольшими значениями деформаций и анализ причин появления опасных деформаций и возможных мер по их снижению.

Объекты и методы их исследований. Для решения поставленных задач проведены теоретические исследования пространственного движения гибких и намоточных связей, материал которых обладает физико-механическими характеристиками, соответствующими их реальным свойствам, при различных граничных условиях, включая контактное взаимодействие с твердыми телами - моделями рабочих органов механизмов машин.

В работе использованы методы теоретической механики, теории упругости, инженерные расчетные схемы и численные методы механики сплошных сред, проведен анализ численных расчетов, сравнение с экспериментальными данными, подтвердившее обоснованность выбранных подходов.

Научная новизна работы заключается в следующем.

- Дано развитие и обобщение методики исследования пространственных и плоских движений гибких и намоточных связей с усложненными законами деформирования материала.

- Исследован полный набор функциональных соотношений между разрывами различных параметров движения, определяющих напряженно-деформированное состояние гибких и намоточных связей.

- Установлены условия возникновения продольно-поперечно-крутильных волн в гибких намоточных связях, выявлены характерные свойства этих волн. Исследовано влияние этих волн на удлинение-сжатие и раскрутку-закрутку намоточных связей.

- Исследованы все возможные варианты движения волн в нити из нелинейно-упругого материала.

- Построена и реализована модель скольжения намоточных связей по поверхности твердого тела - рабочего органа механизмов машин - с учетом волновых процессов в связях, в том числе при многократных отражениях продольных волн.

- Выполнен параметрический анализ влияния неровноты (неоднородности) намоточной связи на характеристики усилий.

- Для участков нити с наибольшими значениями деформаций выявлены основные причины появления опасных деформаций и сформулированы рекомендации по их снижению.

Научные положения, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие научные результаты.

Исследования динамики намоточных и гибких связей, выполненных из упруговязкопластических материалов с физико-механическими характеристиками, соответствующими их более реальным свойствам, волновых явлений в гибких и намоточных связях при поперечном ударе и при взаимодействии с рабочими органами механизмов машин.

- Математические модели для изучения волновых процессов в гибких связях, численные схемы решений динамических задач и результаты качественного анализа волновых процессов в гибкой нити и намоточной связи полубесконечной и конечной длины.

- Численный эксперимент для определения коэффициента неровноты, а также способ установления причин возникновения и разработки мер устранения различных дефектов, приводящих к снижению качества произведенной продукции и производительности при скольжении растяжимых и нерастяжимых упругопластических нитей.

Степень обоснованности и достоверности полученных результатов. Результаты исследований базируются на строгих физических и математических основах. Дифференциальные уравнения пространственного движения, свойства волн и разрывов, возникающих в различных нитях и намоточных связях, исследуются строго современными методами механики сплошных сред и математической физики.

Постановка и исследование динамических задач о распространении волн слабых и сильных разрывов в гибких и намоточных связях базируются на известных и апробированных методах волновой механики (метод распространяющихся волн). Достоверность полученных численных решений задачи о соударении нити с твердым телом или скольжении её по поверхности твердого тела подтверждается следующими приёмами и способами:

- применением апробированных методов теоретической механики, механики сплошных сред и вычислительной математики;

- анализом и обобщением существующих методов качественного исследования системы нелинейных гиперболических уравнений в частных производных;

- сопоставлением полученных результатов численных расчетов с экспериментальными данными;

- сравнением полученных результатов с результатами исследований других авторов.

Практическая ценность исследования. Практически значимым результатом является выявление методами волновой динамики основных причин натяжения нитей в процессе работы технологических машин и возникновения в них пластических деформаций - очагов их обрыва, приводящих к снижению производительности промышленных установок.

Решение задач о взаимодействии упругих и упругопластических нитей с произвольно расположенными поверхностями твердых тел - моделей рабочих органов механизмов машин - позволило установить:

текущее напряженно-деформированное состояние возмущенных участков и участков с экстремальными натяжениями, где возможен разрыв параметров движения; зависимости этих параметров от физико-механических свойств взаимодействующих материалов;

характер расположения нити относительно твердого тела, скорости скольжения и технологические показатели нитей;

- коэффициенты неровноты, причины возникновения и меры по устранению различных дефектов, приводящих к снижению качества произведенной продукции и производительности;

- влияние статических (соответствующих моменту простоя технологической машины) и динамических нагрузок, направления крутки и скольжения, свойств и формы поперечного сечения твердого тела на текущие технологические показатели, в том числе на неровноту реальной нити.

Полученные результаты исследований по теории распространения волн в гибких нитях, установленные новые соотношения между параметрами движения нитей и намоточных связей могут быть использованы при проведении прикладных расчетов и численных экспериментов во многих областях техники. Они служат научной базой для проектирования элементов конструкций, имеющих вид жгутов, лент, тросов, канатов и других гибких связей.

Апробация результатов работы и публикации. По теме диссертации опубликовано 38 печатных работ, в том числе 3 монографии и 8 статей в научных журналах, входящих в список ВАК РФ.

Материалы диссертационной работы докладывались и обсуждались на различных международных, всесоюзных, республиканских научно-теоретических и практических конференциях, симпозиумах. Основные разделы диссертации докладывались:

на научных семинарах:

- кафедры теории упругости механико-математического факультета Московского университета им. М.В. Ломоносова, 2008 г.,

- кафедры «Механика машин и механизмов» «МАТИ» - РГТУ им. К.Э. Циолковского, 2008 г.,

- кафедры основы конструирования машин Московского энергетического института, 2009 г.;

на объединенных научных семинарах:

- «Прикладные задачи механики» при Ташкентском государственном институте текстильной и легкой промышленности, 2008, Ташкент,

- «Прочность, устойчивость и надежность летательных аппаратов и их исследование методами математического моделирования» при Ташкентском государственном техническом университете, 2008, Ташкент,

- «Механика деформируемого твердого тела, динамика, прочность машин, приборов и аппаратуры, процессы и аппараты химических технологий» при Южно-Казахстанском университете им. М. Ауезова, 2008, Шымкент.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 332 страницах, содержит 102 рисунка, 10 таблиц и состоит из введения, 6 разделов, выводов, списка использованной литературы, состоящего из 268 наименований, а также приложения, содержащего три акта о внедрении, результаты проведенных экспериментов и вычислений, выполненных численными методами.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Во введении рассматриваются состояние и развитие динамической теории нитей (гибких связей) со сложными физико-механическими свойствами. Обосновывается актуальность темы диссертации, сформулированы основные цели и задачи, отражена научная новизна полученных результатов, отмечается их достоверность и практическая значимость, а также приведены основные положения, выносимые на защиту.

В первом разделе выполнен обзор литературы, состоящий из трех частей. Здесь обсуждаются проблемы исследования волновых процессов, имеющих место при поперечном ударе по упругопластической гибкой связи, материал которой деформируется по схеме Прандтля (диаграмма напряжения-деформации имеет излом) и более общей схеме (диаграмма напряжения-деформации не имеет излома).

В первом подразделе (пункт 1.1.1) проведен обзор литературы, посвященной проблемам распространения продольных и поперечных волн, возникающих при динамических воздействиях на нити (на гибкие связи), в том числе при поперечном ударе телом, имеющим различные геометрические формы.

В пункте 1.1.2 выполнен обзор литературы, посвященной проблемам динамики текстильной нити, канатов, тросов и других подобных изделий. В пункте 1.1.3 проведен обзор литературы, посвященной вопросам математического моделирования.

В подразделе 1.2 схематизирован в хронологическом порядке анализ результатов, посвященных исследованию распространения упругопластических волн в гибких связях, возникающих при динамическом воздействии.

Проведенный анализ научной литературы по схематизации свойств волн, возникающих в идеальной нити и гибких намоточных связях, позволяет охарактеризовать текущее состояние разработок, наметить основные направления и перспективы развития теоретических исследований и решения прикладных задач, которые сформулированы в подразделе 1.3. На основе динамических кинематических условий, которые должны выполняться на фронтах волны, показана возможность различного расположения фронтов волн, возникающих при поперечном ударе.

В подразделе 1.4 исследуются схемы движения упругопластических гибких связей при поперечном ударе, когда закон деформирования берется в более сложном виде (диаграмма напряжения-деформации не имеет излома), а также исследуются возможности различного расположения фронтов волн, возникающих при поперечном ударе.

На основе полученных численных результатов указаны пределы применимости тех или иных схем движения. В отличие от подраздела 1.3, здесь область деформирования разделена на три участка, и в каждом участке задача решается отдельно, так как законы деформирования для каждой области различны:

(1.4.1)

где - постоянный параметр.

Предполагается, что при монотонном нагружении нить деформируется:

- на участке по линейному закону Гука (область OA),

- на участке по нелинейному закону: (область AB),

- на участке по упругопластическому закону:

(область BD).

На основе динамических условий, которые должны выполняться на фронтах волны, показано, что при переходе от одной области деформирования к другой возможно возникновение поперечной пластической волны, когда на диаграмме напряжения-деформирования имеет место излом первого порядка.

Во втором разделе рассматривается пространственное движение упругих, упругопластических нитей и гибких связей, являющихся основными составляющими различных канатов, жгутов, намоточных связей и т.д. Проведены исследования дифференциальных уравнений пространственного движения нелинейно-упругих гибких связей, имеющих вид:

(2.1)

,

Исследуются свойства волн слабых разрывов, возникающих в гибких связях, а также решаются системы дифференциальных уравнений (2.1) при нелинейном законе деформирования материала: (2.2)

совместно со стандартными кинематическими (геометрическими) дифференциальными условиями:

(2.3)

В уравнениях (2.1)-(2.3): - время, - лагранжева координата, - координаты рассматриваемой точки нити в декартовой системе координат (), - натяжение, - относительная деформация, - составляющие массовой силы на оси соответственно, - углы, образованные между касательной к нити в данной точке и осями , - плотность недеформированной нити, - составляющие ускорения. Введены обозначения: .

Полученные дифференциальные уравнения при заданном законе деформирования (2.2) и с учетом геометрической связи (2.3) являются существенно нелинейными. Так как математическая часть теории сводится к нахождению решений нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа (действительно система уравнений (2.1)-(2.3) - гиперболического типа, что строго доказал, используя метод характеристик, С.К. Годунов Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1979. 392 c.), решение проводим методом характеристик.

Излагается теория распространения продольно-поперечных волн в упругих и упругопластических гибких связях, а также ее приложение к решению вопроса получения динамических диаграмм растяжения-деформации нитей основы в текстильном производстве. Излагаются вопросы постановки задач, возникающие при изучении распространения волн в телах разной геометрии, а также задач взаимодействия волн с границами раздела сред. Эти задачи важны для понимания и выделения наиболее существенных факторов волнового воздействия на элементы механизмов и машин.

Так как в данной работе рассматриваются только случаи активного нагружения элементов гибкой связи с течением времени и не рассматриваются случаи разгрузки в области упругопластического деформирования, полагаем, что производная - всегда монотонно убывающая функция деформации. Последнее предположение обеспечивает непрерывный волновой процесс нагружения (без образования ударных волн).

У большинства материалов зависимость на некотором интервале удовлетворяет закону Гука =. На этом интервале а₀== . Иногда зависимость при приближенно заменяют линейным соотношением , где называется модулем упрочнения (). Очевидно, при имеем, что на волне деформации скачком возрастают до , а скорости -- до . На волне (=) деформации скачком возрастают от до максимального значения . В области, ограниченной волнами и , деформации и скорости частиц не меняются и равны, соответственно, и . упруговязкопластический деформация дефект

Учитывая, что и (*) (где , ), дифференциальные уравнения движения можно представить в виде:

(2.4)

Коэффициенты являются нелинейными функциями первых производных искомых перемещений:

,	,	,
,	,	,
=.

Пусть есть уравнение характеристической кривой. Уравнения (2.4) на характеристической кривой имеют дифференциальные условия Н. Кристеско «ПММ АН СССР Том XVIII, 1954».:



(2.5)

.

Здесь (где ) пока неизвестные функции, - угловой коэффициент касательной к характеристической кривой .

Решая совместно системы уравнений (2.4) и (2.5) можно получить:

(2.6)

Система уравнений (2.6) является линейно-зависимой, так как на характеристической кривой вторые производные и имеют не единственные значения. Чтобы найти характеристические корни системы уравнений (2.6), второе и третье уравнения (2.6) умножим на неизвестные пока коэффициенты и соответственно и рассмотрим сумму всех трех уравнений системы (2.6), получим:

.

Так как коэффициенты и не равны нулю и произвольные, а система уравнения (2.6) линейно-зависима, мы можем приравнять к нулю коэффициенты при и и получить:



(2.7)

,

(2.8)

Из уравнения (2.7) можно получить выражения относительно и :

.

Подставляя значения коэффициентов , можно получить:

, ,

и для :

,

где

=, =, .

Учитывая выражения (2.3) и (*), можно найти:

, . (2.9)

Как видно, все корни характеристического уравнения являются вещественными, причем является кратным корнем (необходимо отметить, что не все системы с кратными характеристическими корнями являются гиперболическими). Это означает, что динамическая нагрузка вдоль рассматриваемой гибкой нити распространяется с двумя различными скоростями: k_1,2, k_3,4. Волны, распространяющиеся со скоростью k_1,2, называются продольными волнами, а волны, распространяющиеся со скоростью k_3,4, - поперечными. Продольная волна k_1,2 распространяется вдоль гибкой связи, а поперечные волны k_3,4 - по двум радиальным направлениям, что было получено впервые. Из полученных выражений можно показать, что коэффициент является функцией параметра , а коэффициент от не зависит, зависит только от , т.е. от текущей геометрии нити. На характеристической линии исследованы разрывы параметров движения как по перемещениям, так и по времени. Также найден разрыв первых производных углов , характеризующих направление касательной к нити в рассматриваемой точке М=М.Установлены функциональные соотношения между скачками параметров движения. На основе полученных результатов доказывается, что на фронте продольной волны имеет место разрыв составляющих ускорения касательной к нити: вторых производных перемещения, первых производных относительной деформации и натяжения по координате .

На фронте поперечной волны имеют место разрывы нормальной к нити составляющей ускорения, вторых производных перемещения и первых производных углов. Задача решена для двумерного и одномерного случаев. Результаты решения сравниваются с ранее полученными результатами в монографии Х.А. Рахматулина и Ю.А. Демьянова Рахматулин Х.А., Демянов Ю.А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках. Изд. 2-е, доп. М.: Университетская книга; Логос, 2009. 512 с.. В подразделе 2.2 на основе разработанного метода исследуются частные случаи, когда законы деформирования имеют следующие формы:

а) , ,

где и - положительные постоянные. Принятый закон деформирования свойственен материалу вулканизированной резины. Постоянная является пределом относительной деформации. При натяжение стремится к бесконечности. Постоянная характеризует начальное сопротивление резины. Значения этих постоянных зависят от свойств смеси материала и режима вулканизации;

б) ,

где и - положительные постоянные, а - отрицательная постоянная. Закон описывает характер нелинейного деформирования резиновых материалов. Диаграмма растяжения резиновой нити обращена вогнутостью в сторону положительных натяжений;

в) ,

материал нити деформируется по схеме Прандтля.

В подразделе 2.3 исследуются частные случаи, когда закон деформирования имеет вид как в 1.4.1. Задача решается отдельно для каждого участка: ОА, АВ, ВД. На всех участках исследуются динамические условия, разрывы параметров движения, имеющие место на фронтах упругих и пластических волн, возникающих при поперечном ударе по гибкой нити. В двумерном случае показано, что поперечная волна слабого разрыва всегда стремится уменьшить радиус кривизны нити.

В разделе 3 исследуется пространственное движение вязкоупругих нитей. Закон деформирования берется в виде (*). В этом случае дифференциальное уравнение движения имеет вид:

,

, (3.1)

.

Здесь , .

Система уравнений (3.1) отличается от системы уравнений (2.5) не только коэффициентами , но и дополнительными слагаемыми типа , , , содержащими смешанную производную .

Здесь аналогично тому, что было исследовано во втором разделе, с помощью метода характеристик можно найти скорость распространения продольных и продольно-поперечных волн k_1,2 = и k_3,4 = .

Найдены дифференциальные условия на характеристических кривых, а также значения разрывов смешанной производной относительной деформации на фронтах рассматриваемых волн. Установлено, что в рассмотренной вязконелинейно-упругой нити продольная волна k_1,2 обладает аналогичными с нелинейно-упругой моделью свойствами и на ее фронте функция не имеет разрывов.

На фронте k_3,4 функция имеет разрывы. Кроме того, напряжение, деформация и касательные составляющей ускорения к нити терпят разрывы. Обосновано, что свойства поперечной волны, возникающей в вязкоупругой нити, отличаются от свойств аналогичной волны, возникающей в упругой нити. В вязкоупругой нити вместо поперечной волны, возникающей в упругой нити, всегда возникает продольно-поперечная волна.

Исследуются слабые разрывы. Основное внимание уделяется исследованию поведения смешанной производной относительной деформации на слабых разрывах, а также смешанных производных перемещения на фронтах продольных и продольно-поперечных волн слабых разрывов. Такая волна называется продольно-поперечной волной. Показано, что в случае нелинейной вязкоупругой нити общий вид соотношения, устанавливающего функциональные связи между разрывами искомых функций на фронте продольной волны, остается без изменений, а на фронте продольно-поперечной волны существенно меняется.

В заключение приведена схема численного решения краевых задач о пространственном движении вязкоупругой нити под действием динамической нагрузки.

В подразделе 3.2 приведен ряд примеров, представляющих практический интерес. Здесь исследуется влияние законов деформирования на параметры движения. Рассмотрено несколько частных случаев законов деформирования:

1) вязкоупругий материал с «запаздывающей упругостью» или «модель Фойхта»:

;

2) пластический материал с линейным упрочнением:

при и ;

3) вязкопластический материал с экспоненциальным упрочнением:

.

Исследовано влияние вязкости на распространение волн, найдено время, когда вязкость начинает оказывать влияние. Например, для случая 1) пусть при монотонном нагружении до некоторого напряжения нить деформируется по закону

(здесь ),

а при - по закону

(здесь ),

т.е. предполагается, что при малых деформациях вязкость отсутствует, материал деформируется по закону Гука, и только при вязкость начинает оказывать влияние на диаграмму растяжения. При нагружении по первому закону, в пределах , в нити, как было установлено выше, возникают продольная волна, распространяющаяся со скоростью

, (3.2)

и поперечная волна, распространяющаяся со скоростью

. (3.3)

Эти волны возникают одновременно, и поперечная волна двигается с меньшей скоростью, чем продольная волна. При и в фазовой плоскости сначала образуются область , возмущенная характеристикой (рис. 3.1), соответствующей продольной волне , и область , возмущенная характеристикой , соответствующей поперечной волне .

При и образуется область , возмущенная характеристикой , соответствующей продольно-поперечной волне . Точка соответствует деформации . Схема волнового движения нити, возникающего при вертикальном точечном ударе по первоначально горизонтальной нити, изображена на рис. 3.2.

Рис. 3.1

Рис. 3.2

В области имеют разрывы первые производные натяжения, относительная деформация и касательные к нити составляющие ускорения, в области - нормальные к нити составляющие ускорения и первые производные углов , и , а в области все параметры имеют разрывы.

Найдем условия, при которых вязкость начинает оказывать влияние на закон деформирования нити. Из условия найдем:

, .

Отсюда .

Проинтегрировав последнее соотношение, будем иметь:

. (3.4)

Данное выражение служит для определения деформации , соответствующей моменту времени появления деформации .

В подразделе 3.3 исследуется влияние величины как функции смешанной производной на распространение волн, возникающих при динамическом воздействии. В подразделе 3.4 рассмотрены те же примеры, что в 3.2, но с учетом влияния , и в заключение отмечается, что на фронте продольной волны частная производная второго порядка относительной деформации и частные производные третьего порядка перемещения не имеют разрывов, а на фронте продольно-поперечной волны все эти производные являются разрывными.

4 раздел посвящен исследованиям пространственного движения нелинейных упругих намоточных связей, динамическая модель которого представляется в виде:

, М*=М*. (4.1)

По единой схеме, изложенной в разделах 2 и 3, исследуются распространения и свойства продольно-крутильных и поперечно-крутильных волн, возникающих в намоточных связях. Определены уравнения характеристики, дифференциальные условия и функциональные соотношения между коэффициентами скачка параметров движения на фронте слабого разрыва. Приведены численные результаты для частных случаев. Если обозначить напряжения и крутящие моменты =, учитывая, что и (приведенный момент инерции поперечного сечения относительно оси сечения), то дифференциальные уравнения намоточной связи приводятся к виду:

,

, (4.2)

,

.

Здесь: , - угол поворота поперечных сечений намоточных связей, - относительная угловая деформация. В разделе 4.2 отыскиваются характеристики дифференциальных уравнений по методике, описанной в разделе 2. К дифференциальным уравнениям (4.2) приобщаются следующие соотношения, имеющие место на характеристической кривой:

,

, (4.3)

,

,

где , - неизвестные пока функции, ,

или , ,

, . (4.4)

Если использовать соотношения (4.4), то уравнения (4.2) преобразовываются к виду:

,

,

, (4.5)

.

По аналогии с процедурой, изложенной в предыдущем разделе, второе, третье и четвертое уравнения (4.5) умножаются соответственно на неизвестные пока коэффициенты , , и суммируются:

.

Так как система уравнений (4.5) является линейно-зависимой, а , и имеют не единственные значения, можно приравнять к нулю коэффициенты при вторых производных , и и получить:

, ,

,, (4.6)

.

Из полученных соотношений (как в разделе 2) определяются неизвестные коэффициенты , , и .

,

, .

, (4.7)

где , .

Отсюда видно, что общий вид выражения коэффициента совпадает с выражениями, полученными для упругих и вязкоупругих нитей.

Уравнение или является уравнением с кратными корнями. Это означает, что в намоточных связях поперечные волны распространяются по двум направлениям с одинаковой скоростью: . Из (4.7) получается

,

или

, .

Так как рассматриваются гиперболические уравнения, дискриминант не является отрицательной величиной, т.е. подкоренное выражение всегда

.

Таким образом, дифференциальные уравнения пространственного движения намоточной связи имеют следующие характеристические корни:

,

,

, (4.8)

т.е. динамическая нагрузка вдоль намоточной связи в каждый момент времени распространяется в сторону роста параметра s и в обратном направлении с тремя различными скоростями k_1,2, k_3,4 и k_5,6. Доказывается, что k_1,2 больше, чем k_3,4, и они имеют разный физический смысл. При этом параметры k_1,2 и k_3,4 являются скоростями продольно-крутильных волн, а k_5,6 - скорости распространения поперечной волны, распространяющейся по двум радиальным направлениям. В разделе 4.3 рассматриваются некоторые частные случаи линейной и нелинейно-упругой намоточной связи, например: случаи чистого растяжения , и чистого кручения , , , .

В подразделе 4.4 рассмотрены дифференциальные условия на характеристических кривых k_1,2, k_3,4, k_5,6 в отдельности. В подразделе 4.5 рассмотрено плоское движение нелинейно-упругой намоточной связи и указаны особенности её плоского движения, когда поперечная волна не возникает. Вводя новые функции:

,

,

,

где , можно получить волновые уравнения в виде:

,

, (4.9)

.

Можно показать, что поперечные сечения намоточных связей на фронтах волн k_1,2 и k_3,4 в каждый момент времени совершают продольно-поперечно-крутильные движения со скоростью и соответственно, а на фронте волны k_5,6 совершают только продольно-поперечные движения со скоростью . На скорость распространения поперечной волны относительная деформация кручения влияет только через натяжение.

В подразделе 4.6 исследуются разрывы на характеристических кривых. При этом на фронте слабого разрыва считают справедливой формулу:

,

Ф - произвольная функция, знак означает операцию скачок (4.10).

В подразделе 4.7 в качестве примера решены динамические задачи намоточных связей полубесконечной длины, в том числе автомодельные решения дифференциальных уравнений пространственного и плоского движения линейно-упругой намоточной связи. В подразделе 4.9 в качестве примера решены динамические задачи намоточных связей конечной длины.

В разделе 5 рассмотрены и решены задачи, аналогичные задачам раздела 4, но с учетом вязкости материала.

Здесь исследуется влияние вязкости на распространение волн, возникающих в нелинейно-вязкоупругой намоточной связи, и на параметры движения. В этом случае закон деформирования имеет вид:

, , (5.1)

где = - скорость деформирования.

Дифференциальные уравнения движения вязкоупругой намоточной связи приобретают дополнительные слагаемые в виде:

,

где .

Показано, что в этом случае возникают волны трех типов, распространяющиеся со скоростями k_1,2, k_3,4 и k_5,6. При этом скорости волн k_1,2 и k_3,4 явно не зависят от натяжения, относительной деформации и ее скорости. Они являются функциями производных этих величин по координате s. Скорость k_5,6 является явной функцией одновременно натяжения и относительной деформации, а от вязкости материала зависит только через натяжение. Общий вид формулы скорости распространения волны имеет вид:

. (5.2)

Выражение для коэффициента , соответствующего возникающим в гибких нитях и намоточных связях продольным и поперечным волнам, имеет одинаковую для всех случаев форму . Коэффициент, соответствующий продольным волнам, зависит от свойств материала и скорости распространения продольной волны и определяется формулой:

,

где , =.

Коэффициент , соответствующий поперечным волнам, возникающим как в гибкой нити, так и в намоточных связях, от свойств материала не зависит и имеет одинаковую для всех материалов форму записи: . Коэффициент зависит от свойств материала и имеет место только на фронтах продольно-крутильных волн, возникающих в намоточных связях, и определяется формулой

.

В этом разделе также исследуются разрывы на волнах, возникающих в рассматриваемой намоточной связи. Наиболее существенные отличия в свойствах волн, возникающих в нелинейно-упругих нитях, нелинейно-упругих намоточных связях, проявляются в свойствах разрывов. Показано, что на фронтах продольно-крутильных волн k_1,2, k_3,4 коэффициенты при , входящие в дифференциальные условия, принимают отличные от нуля значения. Также показано, что на фронтах продольно-крутильных волн , а касательные векторы, расположенные на рассматриваемых волнах, не терпят разрывов, т.е. или, иначе говоря:

.

На фронте k_5,6 при помощи дифференциальных условий невозможно установить значение скачка параметра , т.е. относительно свойств материала и интенсивности внешней нагрузки данный параметр может иметь произвольные значения. Действительно, скорость распространения и свойства поперечной волны k_5,6 зависят от натяжения, деформации и скорости деформации k_1,2, k_3,4 и k_5,6.

В подразделе 5.2 рассмотрены частные случаи, когда материал намоточной связи деформируется по закону:

, .

В подразделе 5.3 рассмотрены случаи, когда материал намоточных связей (НС) деформируется по закону:

, .

В подразделе 5.4 рассмотрены случаи, когда материал НС деформируется по закону:

, .

Рис. 6.1. Общий вид крученой гибкой связи



Рис. 6.2. Направления силы реакции

и силы трения в идеальной поверхности

Рис. 6.3. Сила реакции R образует угол

с нормалью к поверхности контакта

В разделе 6 рассмотрена задача о скольжении гибких, упругих и упругопластических намоточных связей по поверхности твердого тела - математической модели рабочих органов механизмов машин. Как известно, такие гибкие связи, как реальные текстильные нити, тросы, канаты, жгуты, некоторые кабели и т.д. обладают распределенной по длине и поперечному сечению неровностью поверхности, т.е. поперечные сечения гибкой связи имеют различную толщину (рис. 6.1). При взаимодействии (скольжении) таких связей даже с абсолютно гладкой поверхностью цилиндра условия идеальности материала на поверхности контакта не выполняются (реактивная сила не совпадает с направлением биссектрисы угла обхвата), и в результате линия действия реактивной силы не совпадает с осью = 0 (рис. 6.2). Во всех задачах, рассмотренных в этом разделе, предполагается, что сила реакции R образует некоторый угол с нормалью к поверхности контакта (рис. 6.2 и 6.3).

Обозначения угла в этом разделе, в разделе 2 () и в разделах 4 и 5 () имеют различный смысл. Угол и коэффициент трения можно рассматривать как поправочные величины, учитывающие условия контакта поверхностей твердого тела и реальной нити при скольжении.

Решены следующие задачи.

Задача 1. Граничные условия - скорость скольжения и натяжение - задаются в точке приложения внешней нагрузки. Требуется найти натяжения в остальных ветвях гибкой связи и реактивные силы, возникающие на поверхности контакта, используя задаваемые из эксперимента значения угла .

Задача 2. Граничные условия задаются в конечной точке по отношению направления скольжения, и требуется найти натяжения остальных ветвей и реактивные силы, используя задаваемые из эксперимента значения угла .

Задача 3. Граничные условия: задаются экспериментальные значения натяжений в различных ветвях гибкой связи. Требуется найти соответствующие заданным натяжениям скорость скольжения, натяжения в остальных ветвях и реактивные силы.

Задача 4 (обратная). Граничные условия: задаются экспериментальные значения скорости скольжения и натяжений всех ветвей гибкой связи. Требуется найти соответствующие заданным натяжениям значения реактивных сил и условия контакта - углы .

Решения первой и второй задачи позволяют установить функциональные зависимости неизвестных натяжений и реактивных сил контакта от скорости скольжения, углов обхвата гибкой связью поверхности твердого тела, свойств трущихся материалов, граничных условий и заданных технологических характеристик гибкой связи. На практике, используя такие решения, можно прогнозировать причины возникновения и меры устранения различных дефектов, возникающих при работе технологических машин или выполнении своих функциональных задач конкретными рабочими или вспомогательными органами.

Решение третьей задачи позволяет установить рациональные значения скорости скольжения гибкой связи, т.е. технологический режим работы данной машины в зависимости от заданной практической постановки производственной задачи. Решения задачи 4 позволяют установить степень влияния схемы расположения, свойств трущихся материалов, граничных условий и скорости скольжения на условия контакта - технологические показатели данной гибкой связи. Кроме того, можно дать количественную оценку влияния многократного отражения волн от заданной границы (левой или правой) и поверхности контакта на технологические показатели гибкой связи. При решении задачи о скольжении упругопластической гибкой связи по поверхности неподвижного твердого тела предполагается, что материал гибкой связи деформируется по модели Прандтля, и исследуются деформации пластических областей.

В подразделе 6.1 построена математическая модель скольжения упругопластических нитей по поверхности твердого тела. На основе этой модели рассмотрена задача скольжения нити с одним свободным концом. Установлены аналитические выражения для силы реакции и для других параметров

(6.1)

Здесь

Также рассмотрены некоторые частные случаи, когда:

а) , б) , в) ,

г) (идеальная нить), д) , е) .

Отдельно рассмотрен случай, когда левый или правый конец свободен. Указаны отличия полученных результатов, которые являются обоснованием необходимости рассмотрения правого и левого скольжения.

В подразделе 6.2 исследуется влияние граничных условий на параметры скольжения нерастяжимой нити.

В зависимости от задаваемых граничных условий получаются различные решения поставленной задачи. На основе решенных задач показан характер и технические показатели взаимодействия двух рабочих органов в процессе совместной работы.

Определены их взаимное расположение в пространстве рабочего органа машины (углы обхвата), связь со скоростью скольжения нити (технологический режим и производительность данной машины) и подаваемыми рабочими нагрузками. Если скольжение идеальной нити происходит по поверхности твердого тела, имеющего цилиндрическую форму и , то решение принимает следующий вид:

,

. (6.2)

Полученные выражения можно рассматривать как решение обратной задачи - задачи определения допустимого, с точки зрения прочности материала нити, значения массы груза при заданных значениях натяжения и скорости движения в области 1 нити, определяемой по формуле:

(6.3)

В подразделе 6.3 дана методика экспериментальной и теоретической оценки неровноты гибкой связи. Неровнота оказывает существенное влияние на условия контакта при взаимодействии реальной гибкой связи с поверхностью твердого тела. В зависимости от неровноты гибкой связи координаты точки приложения на поверхности контакта, значение и направление действия сил трения и давления меняются. Вводимый угол , как было сказано, связан с неровнотой гибкой связи и поэтому, имея значение угла , силы реакции поверхности контакта и трения, можно будет судить о неровноте гибкой связи.

Для оценки неровноты гибких связей, в частности, текстильной нити вводится коэффициент неровноты. Несмотря на многочисленные попытки ученых и специалистов, особенно в области текстильной промышленности, проблема определения или оценки неровноты гибкой связи продолжает оставаться открытой, а имеющиеся результаты являются порой спорными. В этом подразделе предлагаемая экспериментально-теоретическая методика определения угла и реактивной силы поверхности контакта может характеризовать степень неровноты гибких связей, которая определяется по формуле:

, (6.4)

, ,

,

В подразделе 6.4 рассматривается задача о скольжении растяжимой нити по поверхности твердого тела. Растяжение гибкой связи, например текстильной нити, может стать причиной появления таких дефектов, как перераспределение крутки, относительные сдвиги волокон и т.п. Одной из основных причин возрастания натяжения нити в процессе работы технологических машин являются волновые явления. Например, в результате отражения волны нагрузки от некоторого рабочего или вспомогательного органа технологических машин натяжение за отраженной волной может возрастать до двух раз и может стать причиной появления в нити областей с сильно облегающими натяжениями.

Рис. 6.4. Отраженные волны и направление силы реакции



Рис. 6.5. В области 1 выполняется условие е₂ < е₃ и существует решение; в области 2 решения не существуют. В точках A₁ и A₂ деформации равны е₂ = е₃

В связи с этим проведены исследования отраженных волн. Показано, что интенсивность отраженной волны зависит от начальных и граничных условий, условий контакта гибкой связи на поверхности рабочего органа. На основе полученных решений сделан важный вывод: если угол является углом трения (идеальная связь), то отражения прямой волны от поверхности твердого тела не происходит.

Отклонение угла от этого значения приводит к отражению прямой продольной волны. Максимальная деформация при этом возникает в области 3 (рис. 6.4). Причем, если отраженная волна возникает и несет разрыв деформации, то условие всегда выполняется.

Проведенные численно-экспериментальные исследования показали, что путем вариации, например, задавая значения углов обхвата при фиксированных значениях всех остальных параметров, можно найти координаты точек и (рис. 6.5) в плоскости , в которых деформации и будут иметь одинаковые значения, т.е. отраженная волна не несет разрыва деформации.

В заштрихованной области между точками и условие > выполняется, т.е. данная область является областью существования решения задачи для фиксированных значений исходных параметров.

Внутри данной области отраженная волна возникает и несет разрывы деформации. Вне штрихованной области решение отсутствует - деформация принимает большие, чем значения, т.е. противоречит физической постановке задачи.

Рассмотрены несколько частных случаев, в том числе и обратные задачи.

, , (6.5)

, ,

.

Рис. 6.6

Рис. 6.7

Пусть нить огибает поверхности твердого тела так, как показано на рис. 6.6. В данном случае на прямой волны С имеют место следующие соотношения:

В результате отражения волны С от точки B в нити возникают волны N и M (рис. 6.7). На фронтах волн и в окрестности точки B имеем:

- на волне N:

, , (6.6)

, , ;

- на волне M:

, , ,

, ; (6.7)

- в окрестности точки B:

,

,

. (6.8)

Из уравнений (6.6) и (6.7) найдем:

...