Теория и методы синтеза многомерных систем автоматического управления с динамическим компенсатором в форме периодических структур обратных операторов

Размещено на http://www.allbest.ru/

ТЕОРИЯ И МЕТОДЫ СИНТЕЗА МНОГОМЕРНЫХ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯ С ДИНАМИЧЕСКИМ КОМПЕНСАТОРОМ В ФОРМЕ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СТРУКТУР ОБРАТНЫХ ОПЕРАТОРОВ

Специальность 05.13.01 - “Системный анализ, управление и обработка информации (промышленность)”

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени

доктора технических наук

Тян Владимир Константинович

Самара 2008

Работа выполнена на кафедре «Автоматика и управление в технических системах» ГОУ ВПО “Самарский государственный технический университет”

Официальные оппоненты:

- доктор технических наук, профессор Кузнецов Павел Константинович

- доктор технических наук, профессор Лачин Вячеслав Иванович

- доктор технических наук, профессор Салмин Вадим Викторович

Ведущая организация: Санкт-Петербургский государст венный горный институт (технический университет), г. Санкт-Петербург

Защита состоится 19 марта 2009 г. в 10 часов на заседании диссертационного совета Д-212.217.03 в Самарском государственном техническом университете по адресу: 443010, г.Самара, ул. Галактионовская, 141, ауд. 28.

Отзывы по данной работе в двух экземплярах, заверенные печатью, просим направлять по адресу: Россия, 443100, г. Самара, ул. Молодогвардейская, 244, главный корпус, на имя ученого секретаря диссертационного совета Д212.217.03.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Самарского государственного технического университета по адресу: 443100, г. Самара, ул. Первомайская, 18, корп. №1.

Автореферат разослан 19 февраля 2009 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Н.Г. Губанов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы.

Современная линейная теория автоматического управления является фундаментальной наукой и решает широкий спектр проблем с привлечением современного математического аппарата. Но с другой стороны, теория управления постоянно развивается, далека от завершения. Ряд важных задач линейной теории управления просты по своей формулировке, но эффективных методов их решения, гарантированно приводящих к точному решению (если таковое имеется) с заданной точностью, неизвестны. Эти проблемы существуют как в классической, так и в современной теории линейных систем.

Центральной проблемой синтеза многомерных систем управления является достижение автономности управления. Проблема представления многомерных систем управления в виде совокупности одномерных, впервые сформулированная профессором Вознесенским И.Н., в настоящее время является открытой и ее решение позволит применить мощнейший аппарат синтеза одномерных систем к многомерным.

Другой важнейшей проблемой синтеза многомерных линейных систем является достижение инвариантности к векторам возмущающих воздействий, приложенных к различным входам объекта управления. Впервые проблема достижения абсолютной инвариантности была поставлена академиком Щипановым Г.В. в 1939 году. Однако она вызывает интерес и по сей день.

Особые сложности при синтезе автономных и инвариантных многомерных линейных систем управления возникают в случае неминимально фазового объекта управления. Это обусловлено принципиальной неустойчивостью неминимально фазовых звеньев при определении обратных передаточных функций в задачах динамической компенсации (помимо уже указанных проблем). Вопрос синтеза многомерных автономных и инвариантных систем управления с неминимально фазовым объектом остается также открытым.

Задачи синтеза многомерных систем управления по существу относятся к обратным задачам динамики теории управления и требуют решения систем интегральных уравнений вольтеррова типа, реализуемого в реальном масштабе времени. Постановка и решение указанных уравнений позволили бы на качественно новом уровне физически реализовать динамическую компенсацию, синтезировать автономные и инвариантные системы управления, решить ряд других важных задач управления. Значительных успехов в решении обратных задач теории управления достигли ученые Института проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва (А.Л. Вунич, А.В. Уткин), Военно-воздушной инженерной академии им. Н.Е. Жуковского, Москва (В.Н. Буков, И.М. Максименко, В.Н. Рябченко, А.М. Бронников), научная школа МВТУ (В.В. Солодовников, К.А. Пупков, Н.Д. Егупов, В.С. Макашов и др.), а также ученые в области управления П.Д. Крутько, А.Р. Гайдук, М.В. Мееров, М.Ш. Мисриханов, М. Уонэм, А. Фрэнсис и др.

В области решения обратных задач теплопроводности неоценимый вклад внесли О.М. Алифанов, Ю.М. Мацевитый, А.В. Мултановский, Л.А. Коздоба, П.Г. Круковский и др. Необходимо отметить в этой области научные результаты ученых Самарского государственного технического университета Э.Я. Рапопорта, Н.В. Дилигенского, М.Ю. Лифшица, Ю.А. Плешивцевой, В.Н. Митрошина, а в области информационно - измерительных систем - работы В.И. Батищева, В.С. Мелентьева и К.Л. Куликовского. Оригинальные инженерные решения инвариантных систем управления производством кабелей связи были реализованы в работах К.Д. Колесникова, Э.Б. Попова, А.Г. Михеева, О.Н. Авдеева, А.А. Абросимова, Б.К. Чостковского, А.А. Москвичева, С.А. Кижаева и др.

Без сомнения, основополагающие результаты в решении обратных задач получены научной школой под руководством А.Н. Тихонова.

Однако современная теоретическая база анализа и синтеза многомерных и распределенных систем управления часто не отвечает запросам инженерной практики.

Объектом исследования диссертации является класс линейных стационарных многомерных систем управления. Рассматриваются многомерные минимально фазовые и не минимально фазовые объекты управления с векторами возмущающих наблюдаемых и ненаблюдаемых воздействий, приложенных к различным точкам объекта управления.

Предметом исследования являются свойства динамических компенсаторов в форме периодических структур обратных операторов уравнений объектов и условия их физической реализуемости.

Цель работы - разработка теории и методов синтеза многомерных автономных и инвариантных систем автоматического управления с физически реализуемым динамическим компенсатором, позволяющих редуцировать синтез многомерных линейных систем управления к синтезу совокупности независимых одномерных систем управления.

Для достижения указанной цели должны быть решены следующие взаимосвязанные задачи:

1) обосновать постановку задачи и алгоритм решения систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа;

2) произвести оценку точности решения систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа;

3) разработать теорию синтеза автономных и инвариантных многомерных линейных систем управления с минимально фазовым объектом; компенсатор фазовый передаточный матрица

4) ввести обоснованное определение обратной передаточной матрицы неминимально фазового объекта управления и разработать алгоритм синтеза динамического компенсатора для многомерного неминимально фазового объекта управления;

5) рассмотреть вопросы синтеза многомерных систем управления с неминимально фазовым объектом управления.

Научная новизна. В диссертации выделены ключевые проблемы, решение которых позволяют достичь поставленную в работе цель. Основополагающей проблемой является отсутствие алгоритмов решения систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа в реальном масштабе времени (в темпе изменения заданной векторной функции), а также отсутствие оценки точности полученных решений. Другой проблемой является отсутствие обоснованных методов синтеза физически реализуемых динамических компенсаторов для минимально и неминимально фазовых объектов управления. Следствием указанных проблем является проблема синтеза автономных и инвариантных многомерных систем управления.

Постановка и методы решения указанных проблем, представленные в диссертации, существенно отличаются от традиционных решений интегрального уравнения вольтеррова типа и обратных задач теории синтеза автономных и инвариантных многомерных линейных систем. Принципиальным отличием предлагаемых методов от известных заключается в отсутствии вариационной постановки и соответствующих методов решения обратных задач.

В диссертации представление обратного оператора интегрального уравнения вольтеррова типа реализовано посредством прямого оператора, а решение обратных задач динамики базируется на использовании исходных стандартных математических моделей многомерных объектов управления. Это позволило реализовать системный подход в области автоматизации многомерных объектов управления путем редукции многомерных систем управления к совокупности одномерных с последующим применением классической и современной теории синтеза одномерных систем.

К новым научным результатам относятся:

- способ структурного представления устойчивого динамического компенсатора для непрерывного и дискретного многомерных минимально фазовых объектов управления с интерпретацией точности представления;

- постановка обратной задачи динамики с неминимально фазовым объектом управления;

- синтез физически реализуемого устойчивого динамического компенсатора для неминимально фазовых многомерных непрерывных и дискретных объектов управления;

- синтез автономных и инвариантных систем управления путем редукции многомерных линейных систем управления к совокупности одномерных систем с типовым объектом управления.

Научная значимость работы. Предложен алгоритм решения систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа, позволяющий решать обратные задачи динамики в линейных системах автоматического управления.

Практическая ценность работы состоит в следующем. Теоретические результаты, полученные в диссертационной работе, являются методологической базой для проектирования автономных и инвариантных систем управления, позволяющие применить весь арсенал классических и современных средств синтеза одномерных систем управления к многомерным. При этом сформулированы «границы применимости» данного подхода.

Широкие возможности появляются у производителей современных программных и аппаратных средств автоматизации, в значительной мере ориентированных на создание одномерных систем управления. Более точно, фирмы не производят программных и аппаратных средств, специально предназначенных для управления многомерными объектами. Это объясняется, с одной стороны, необозримым многообразием многомерных объектов управления, а с другой стороны, отсутствием методов синтеза многомерных систем управления, аналогичных методам синтеза одномерных систем, широко применяемых в инженерной практике. Задача редукции синтеза многомерных систем управления к синтезу одномерных систем управления является объектом научного поиска в современной теории автоматического управления.

В результатах работы заинтересованы фирмы - производители современных программных и аппаратных средств автоматизации с целью дальнейшего внедрения на предприятиях, закупающих у них аппаратно программные средства автоматизации, а также проектные организации, занимающиеся автоматизацией сложных многомерных объектов управления.

В работе представлены

- система управления двухконтурным форсированным турбореактивным двигателем (ТРДДФ), реализованная на базе аппаратных и программных средств автоматизации фирмы Шнейдер Электрик,

- система управления наложением изоляции коаксиального кабеля, реализованная с помощью фундаментальных структур, необходимость введения которых обусловлена наличием большого количества ненаблюдаемых возмущающих воздействий на управляющие и управляемые координаты,

- примеры нахождения обратных матриц и решения систем линейных алгебраических уравнений с применением фундаментальных структур. Рассмотренные прикладные задачи подтверждают практическую ценность разработанной теории в обратных задачах теории управления.

Основные положения, выносимые на защиту:

- метод структурного представления устойчивой обратной передаточной матрицы непрерывного и дискретного многомерных минимально фазовых объектов управления с интерпретацией точности представления в частотной области;

- постановка обратной задачи в теории автоматического управления с неминимально фазовым объектом управления и структурное представление устойчивой обратной передаточной матрицы непрерывного и дискретного многомерных неминимально фазовых объектов управления;

- синтез автономных систем управления с применением физически реализуемого устойчивого динамического компенсатора с редукцией многомерных линейных систем управления к совокупности одномерных систем с типовым объектом управления;

- синтез инвариантных систем управления с применением физически реализуемого устойчивого динамического компенсатора.

Методы исследований. Для решения поставленных задач использовались методы теории функций и функционального анализа, методы теории матриц и математического анализа, методы решения некорректных задач, аппарата конечных интегральных преобразований и преобразований Лапласа, современной и классической теории автоматического управления, современные методы исследования объектов и систем автоматического управления с применением специализированных пакетов прикладных программ. Современные компьютеры и прикладное программное обеспечение позволили в целях верификации теоретических результатов широко использовать математическое и структурное моделирование.

Достоверность и обоснованность полученных в диссертационной работе научных результатов, выводов и рекомендаций обеспечивается корректным применением используемого математического аппарата; результатами компьютерного моделирования и сравнительных исследований с известными работами.

Полученные теоретические результаты многократно проверифицированы с использованием современных методов исследования объектов и систем автоматического управления с применением специализированных пакетов прикладных программ.

Реализация результатов исследований.

Полученные в работе теоретические положения и практические результаты использованы:

- при разработке методологической основы проектирования многомерных систем управления с применением аппаратных и программных средств фирмы SCHNEIDER ELEKTRIC (фирма SCHNEIDER ELEKTRIC, г. Москва);

- при разработке системы управления двухконтурным форсированным турбореактивным двигателем (ТРДДФ);

- при разработке и создании автоматизированного комплекса по производству коаксиального кабеля (СКК, г. Самара);

- в учебном процессе при чтении лекций по курсу «Системный анализ и исследование операций», в курсовом и дипломном проектировании, а также в Учебном центре «SCHNEIDER ELEKTRIC» Самарского государственного технического университета.

Апробация работы. Основные научные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на Всесоюзных, российских и международных конференциях:

- научно-технической конференции СамГТУ. Самара, 2003г.;

- V Международная научно-техническая конференция: Компьютерное моделирование. Санкт-Петербург, 2004г.;

- Вторая Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием «Мехатроника, автоматизация, управление» (МАУ'2005). Уфа, ноябрь 2005г.;

- VII Международная научно-техническая конференция «Математическое моделирование, обратные задачи, информационно - вычислительные технологии». Пенза, 2007г.;

- X Международная конференция Российской академии наук «Проблемы управления и моделирования в сложных системах». Самара, 2008г.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 32 научных работах, в том числе 8 статей опубликовано в периодических научных изданиях, рекомендованных ВАК России для опубликования результатов докторских диссертаций, в 22 статьях и материалах конференций, в авторском свидетельстве и патенте.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения, приложений и списка использованных источников, содержащего 197 наименований. Основная часть работы содержит 228 страниц машинописного текста, включающего 96 рисунков.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулирована цель работы, отражены основные положения, выносимые на защиту, показаны их научная новизна и практическая значимость.

В первой главе рассматривается обзор существующих методов синтеза автономных и инвариантных систем управления. Показано, что решение поставленных задач тесно связано с решением некорректных и обратных задач. Отмечена актуальность фундаментальных принципов, заложенных академиком А.Н.Тихоновым и его учениками, обусловленная неразрешимыми противоречиями между корректной постановкой задач математической физики по Ж. Адамару и практической потребностью решения важнейших задач.

Приведена условно корректная по Тихонову А.Н. постановка некорректных задач и рассмотрены основные методы их решения и построения регуляризующих алгоритмов. Приведен краткий перечень решенных важнейших практических задач.

Отмечено, что основоположники методов решения некорректных задач не ставили перед собой цель решения обратных задач для систем, работающих в реальном масштабе времени. Эти задачи важны в теории и практике систем управления, а более конкретно для синтеза автономных, инвариантных и комбинированных систем управления. Поэтому был дан обзор современных методов синтеза, в результате которого был сделан вывод об актуальности указанных задач и на сегодняшний день.

Рассмотрены, так называемые, «трудные задачи», возникающие не только при синтезе многомерных систем управления, но и при синтезе одномерных систем управления. Особенностью этих проблем является то, что они понятны и просты в своей постановочной части, однако эффективных методов решений на настоящий момент они не имеют. Под эффективным понимаем такой способ, который гарантированно приводит к точному решению (если оно существует) с заданной точностью за "разумное" время. Исходя из физических и интуитивных соображений «какое - то» решение трудных задач должно существовать. Именно наличие приставки «какое - то» к слову «решение» требует в ряде случаев иной постановки и отличного от существующих методов подхода к решению «трудных» задач.

Необходимо отметить тот факт, что для решения «трудных» проблем привлекается сложный математический аппарат. В качестве примеров рассмотрены научные работы, связанные с решением проблем синтеза автономных многомерных систем и достижением инвариантности к возмущающим воздействиям. В качестве математического аппарата использована технология вложения систем и параметризации уравнения Лурье - Риккати, математический аппарат матричного исчисления, теория интегральных уравнений, общая теория систем и многие другие разделы современной математики.

С другой стороны, как показывает практика, большинство инженерных требований к качеству реальных систем управления формулируются в терминах простых свойств желаемой системы, таких как перерегулирование, время установления, степень устойчивости, колебательность процесса и т.д., имеющих понятный физический смысл. Для одномерных систем управления существует множество инженерных приемов синтеза регуляторов, позволяющих приближенно достигать желаемого качества проектируемой системы по этим показателям.

Таким образом, наблюдается противоречие между потребностями практики и услугами, предоставляемыми теоретиками и проектировщиками. К тому же опытный инженерный состав имеет навык настраивать одномерные ПИД- регуляторы, широко применяемые в промышленности. В сложившейся ситуации практически невозможно использовать этот прием (опыт) в случае многомерных линейных систем управления. Представление многомерной системы управления, описываемой диагонально - доминантной передаточной матрицей, в виде совокупности одномерных систем, является кардинальным выходом из сложившейся ситуации.

Проблема редукции многомерного объекта управления к совокупности одномерных связана с проблемой обращения передаточных функций (динамической компенсацией"). Рассмотрены известные методы синтеза многомерных систем управления, основанные на построении динамических компенсаторов, реализующих необходимое и достаточное условие автономности.

Во второй главе приведено обоснование необходимости общефункционального подхода к решению проблем синтеза многомерных комбинированных систем обобщенного вида. Это обусловлено тем, что системы управления являются системами реального времени и описываются интегральными уравнениями первого рода вольтеррова типа, имеющими следующий вид в операторной форме

(1)

где - метрические пространства с соответствующими метриками и , A - некоторый непрерывный оператор.

В теории управления оператор данного интегрального уравнения в подавляющем большинстве случаев является компактным, откуда следует неразрешимость обратной задачи в корректной постановке Ж. Адамара. В условно корректной постановке А.Н.Тихонова решение обратной задачи в реальном масштабе времени также отсутствует. С другой стороны, физическая детерминированность реальных систем подразумевает существование причины при наличии следствия. Возникла необходимость постановки задачи нахождения решения интегрального уравнения первого рода вольтеррова типа, включая определение понятия решения. С этой целью предложен метод структурного представления обратных операторов в банаховом пространстве, являющийся теоретической базой для системного подхода в решении обратных задач синтеза многомерных систем управления.

В данной главе приведен общий алгоритм решения интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа с различными ядрами, а также систем интегральных уравнений на основе структурного представления обратных операторов. Проблема компактных операторов в системах реального времени состоит в отсутствии решения, обусловленного типом интегрального уравнения и собственными свойствами компактных операторов, которыми описываются системы реального времени. В контексте этой проблемы рассмотрены интегральные уравнения первого рода вольтеррова типа и их дискретные аналоги. В интегральном уравнении первого рода вольтерра типа

(2)

ядро должно удовлетворять условию функционирования систем в реальном масштабе времени

(3)

Аналогичная ситуация присутствует в задачах решения дискретного аналога интегрального уравнения первого рода вольтеррова типа (2) при решении уравнений дискретных объектов управления. В пространстве состояний (в форме Коши) дискретные уравнения имеют следующий вид

, (4)

где дискретное время, - динамическая матрица, - матрица управления, - матрица выходных координат для дискретного объекта управления,- вектор состояния, - матрица управления, - вектор выходных координат.

При нулевых начальных условиях решение уравнений дискретного объекта имеют вид дискретных уравнений первого рода вольтеррова типа

(5)

, (6)

где матрица перехода выражается через фундаментальную матрицу известным образом

. (7)

Интегральное уравнение (2), а также дискретные аналоги (5, 6) соответствуют операторному уравнению (1).

В данной работе предлагается алгоритм решения обратных задач, базирующийся на структурном представлении обратных операторов в виде периодической структуры.

Введены понятия стабилизирующего оператора и фундаментальной структуры в следующих формулировках.

Оператор называется стабилизирующим оператором, если для заданного прямого оператора A выполняется условие

, (8)

где - тождественный оператор.

Периодическая структура называется фундаментальной структурой, если последовательность операторов, описывающая данную структуру, при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры является фундаментальной последовательностью в соответствующем пространстве.

На рис.1 представлена периодическая структура, для которой доказано, что в случае выполнения условия (8), она является фундаментальной.

Рис. 1 Структурное представление обратного оператора - тождественный оператор, A - непрерывный оператор, отображающий множество в , - стабилизирующий оператор

Пусть в (1) - банаховы пространства. Доказано следующее утверждение.

При выполнении условия фундаментальности (8) периодической структуры фиксированной длины, представленной на рис.1, оператор фундаментальной структуры является ограниченным и сходится к обратному оператору .

Для реализации процедуры синтеза фундаментальной структуры использована замена Лаврентьева М.М.: исходное уравнение (1) заменяется близким ему уравнением

(А + бI)z = и. , (9)

имеющим решение для любой правой части.

Здесь б - числовой параметр (параметр уравнения Лаврентьева М.М.), - единичный оператор.

Приближенное решение записывается в следующем виде:

z_а = (А + аI)^-1и. (10)

Стабилизирующий оператор выражен через оператор исходного уравнения следующим образом

, (11)

где постоянная величина - параметр уравнения Лаврентьева М.М., лежит в пределах

. (12)

В данной главе разработан алгоритм решения систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа для непрерывного и дискретного аргументов.

Поскольку соответствующее операторное уравнение, как известно, не имеет точного решения в классическом смысле, возникла необходимость введения понятия решения этого уравнения и оценки его точности.

Приближенным решением операторного уравнения для систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа с правой частью в настоящей работе называется решение, вычисленное по формуле

(13)

с применением структурного представления обратного оператора в виде фундаментальной структуры с определенным числом ячеек периодической структуры.

Оценку точности решения уравнения в работе произведена косвенным способом с использованием образа полученного решения. Невязка решения сформирована как разность образа решения и правой части интегрального уравнения

(14)

Образ решения вычислен по формуле

(15)

В случае точного решения невязка равна нулю.

Алгоритм решения систем интегральных уравнений с применением фундаментальной последовательности, а также оценка точности полученного решения в различных метриках представлена на функциональной схеме рис.2.



Рис. 2 Функциональная схема решения интегрального уравнения первого рода вольтеррова типа с оценкой точности полученного решения

- заданная функция (правая часть операторного уравнения), - приближенное решение операторного уравнения, - образ приближенного решения,- невязка решения, - оценка точности приближенного решения в равномерной метрике, - оценка точности приближенного решения в квадратичной метрике.

Приведено решение интегрального уравнения первого рода вольтеррова типа с ядром

и правой частью вида.

Для указанной правой части интегрального уравнения при , точность решения в равномерной метрике равна 0.073, а в квадратичной - 0.002, что является свидетельством высокой точности решения.

Рассмотрено также решение системы интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа. Система является решением уравнений многомерного динамического объекта управления

(16)

где Х - вектор состояния; B(t) - матрица управления; U - вектор управляющих координат; - импульсная матрица, выражающаяся через фундаментальную матрицу системы аналогично (7).

Решение данной системы интегральных уравнений является некорректной задачей, не имеющей точного решения при компактном операторе. По аналогии с вышеприведенным определением и алгоритмом регуляризации решение данной системы найдено с применением структурного представления обратного оператора в форме фундаментальной структуры.

Высокая точность решения систем интегральных уравнений с применением структурного представления оператора позволила использовать предложенный метод при синтезе системы управления двухконтурным форсированным турбореактивным двигателем (ТРДДФ) на этапе анализа многомерного устойчивого объекта управления с двумя входами и двумя выходами (рис.3).

Правая часть системы интегральных уравнений, представляющая векторную функцию, задана в виде

(17)



а

б

Рис. 3 Оценка точности решения системы интегральных уравнений вольтеррова типа а - оценка точности в равномерной метрике, б- оценка точности в квадратичной метрике

Погрешность решения системы интегральных уравнений ТРДДФ в равномерной метрике составляет 0.4 %, а в квадратичной метрике - 0.12%. Достигнута высокая точность решения системы интегральных уравнений вольтеррова типа.

Предложенный алгоритм решения систем интегральных уравнений первого рода вольтеррова типа обладает системными свойствами и может быть применен для решения операторных уравнений первого рода с компактным оператором.

В третьей главе предложен алгоритм синтеза многомерных автономных систем управления с минимально фазовым объектом. Как известно, необходимым и достаточным условием автономности управления является диагональность передаточной матрицы многомерного объекта управления с последовательно - соединенным корректирующим звеном. С целью реализации указанного условия автономности в работе рассмотрен вопрос построения физически реализуемого динамического компенсатора в форме фундаментальной структуры в качестве корректирующего звена.

По аналогии со структурным представлением обратного оператора в абстрактном банаховом пространстве введены определения стабилизирующей матрицы, стабилизирующего функционала, фундаментальной структуры, доказаны теоремы применительно к обратным передаточным матрицам многомерного объекта управления, описываемых фундаментальной последовательностью передаточных матриц и получено условие ее поточечной сходимости.

Назовем передаточную матрицу стабилизирующей матрицей, функционал стабилизирующим функционалом, а представленную на рис.4 передаточную матричную структуру фундаментальной, если последовательность периодических структур передаточных матриц при неограниченном увеличении количества периодических ячеек данной структуры описывается фундаментальной последовательностью передаточных матриц.

Для стабилизирующего функционала получено в форме неравенства

(18)

необходимое и достаточное условие фундаментальности периодической передаточной матричной структуры.

Частотный диапазон, в котором выполняется условие (18), назван интервалом регуляризации.



Рис. 4 Структурное представление обратной передаточной матрицы

Кроме того, показано, что при выполнении условия фундаментальности периодической передаточной матричной структуры и при неограниченном увеличении числа периодических ячеек, передаточная функция фундаментальной структуры является ограниченной, непрерывной и сходится к обратной передаточной матрице модели линейного минимально фазового объекта управления.

Показано, что в интервале регуляризации матрица периодической структуры, а, следовательно, и матрица динамического компенсатора сходится к обратной передаточной матрице объекта управления. Таким образом, достигается доминантность диагонали передаточной матрицы многомерного объекта управления с последовательно соединенным динамическим компенсатором, а, следовательно, и автономность системы управления в интервале регуляризации. Физическая реализация обратной задачи в системах с причинно - следственными связями (системах реального времени) возможна только в интервале регуляризации. Соотношение (18) использовано для оценки точности решения обратной задачи в интервале регуляризации при конечной длине периодической структуры. При высокой точности решения обратной задачи амплитудно-частотная характеристика произведения диагональных элементов передаточной матрицы W_k(p)•W(p) в интервале регуляризации близка к единице как произведение величин, близких к единице, а фазо-частотная характеристика близка к нулю как сумма величин, близких к нулю.

Частотные характеристики произведения диагональных элементов передаточной матрицы последовательно соединенных фундаментальной последовательности с объектом управления названы обобщенными частотными характеристиками фундаментальной структуры.

В интервале регуляризации взаимное влияние контуров управления теоретически может быть сколь угодно малым за счет увеличения длины периодической структуры. На практике же точность решения ограничена рядом факторов и, в первую очередь, точностью математической модели объекта управления.

Часть обобщенной частотной характеристики фундаментальной структуры, отличная от нуля и находящаяся вне интервала регуляризации, определяет погрешность решения обратной задачи для систем реального времени и принципиально не может быть сведена к нулю. На основании изложенного сделан вывод о принципиальной недостижимости абсолютной автономности в системах управления с динамическим объектом управления.

В соответствии с вышеизложенной теорией приведен синтез и анализ автономной САУ ТРДДФ. Рассмотрен синтез и анализ динамического компенсатора - элемента системы, обеспечивающий автономность управления. Построены обобщенные частотные характеристики для диагональных элементов передаточной матрицы, описывающей динамический компенсатор с многомерным объектом управления. Обобщенные ЛАЧХ и ЛФЧХ представлены на рис. 5-а и 5-б соответственно.



а

б

Рис. 5 Обобщенные частотные характеристики динамического компенсатора ТРДДФ

а- обобщенные ЛАЧХ: А1(щ) - n = 6; А2(щ) - n = 10; А3(щ) - n = 13,

б- обобщенные ЛФЧХ: ц1(щ) - n = 6; ц2(щ) - n = 10; ц3(щ) - n = 13.

В интервале регуляризации АЧХ практически равна единице, ФЧХ - нулю. Таким образом, в системе управления достигнута автономность в смысле развязки контуров управления в интервале регуляризации. Как и следовало ожидать, вне этого интервала автономность не достигнута (более того, принципиально не может быть достигнута), вследствие чего сохраняется некоторое влияние входов на несобственные выходы.

Полученные результаты позволили произвести редукцию синтеза многомерной САУ ТРДДФ к синтезу совокупности одномерных САУ с типовым объектом управления. Для повышения степени развязки контуров применена низкочастотная фильтрация с полосой пропускания, равной интервалу регуляризации. Соответствующая функциональная схема автономной системы управления представлена на рис. 6.

а

б



в

Рис. 6 Редуцированная многомерная САУ

а - структурная схема многомерной редуцирванной САУ: Р - многомерный регулятор с диагональной передаточной матрицей, ФНЧ - фильтр низких частот, ФС - фундаментальная структура, ОУ - объект управления,

...