2.1 Предварительная обработка экспериментальных данных

Запись цифр материала необходимо осуществлять так, чтобы все нули, стоящие справа и слева в данном числе и обозначающие десятичные разряды, представлялись в виде целых положительных чисел или степеней десяти. Например, интенсивность отказов электротехнического изделия следует записывать .

Числовые значения величин должны указываться с одинаковым числом разрядов:

- правильная запись: 21,0 ± 0,2; 15,13 ± 0,20;

- неправильная запись: 21 ± 0,2; 15,13 ± 0,2.

Числовое значение величины и ее погрешность (отклонение) необходимо записывать с указанием одной и той же физической величины.

Округление числа заключается в отбрасывании значащих цифр справа до определенного разряда с возможностью изменения цифры этого разряда. Например, округление числа 163,92 до четырех значащих цифр дает 163,9. При этом следует учитывать, что если первая из отбрасываемых цифр меньше 5, то последняя сохраняемая цифра не меняется. Округление цифры 15,61 до трехзначной позволяет записать 15,6. Если первая из отбрасываемых цифр больше 5, то последняя сохраняемая цифра увеличивается на 1. При округлении цифры 13,86 до трехзначной цифры мы получим 13,9. Округление следует выполнять сразу до желаемого количества значащих цифр. Например, число 239,44 может быть округлено до 239 или до 239,4. Поэтапное округление с изменением нескольких разрядов не допустимо, то есть нельзя число 239,44 вначале округлить до 239,4, а затем до 239.

Прежде чем рассматривать параметры, характеризующие полученную совокупность экспериментальных данных, необходимо проверить имеющийся массив на наличие так называемых выскакивающих значений (промахов). Они являются, как правило, следствием какой-либо грубой ошибки в проведении данных измерений, незамеченной экспериментатором. Речь может вестись о величинах, существенно отличающихся от остальных, например в несколько раз. Причины таких ошибок могут быть сбои в аппаратуре, ложное проставление экспериментатором результатов из-за невнимательности или усталости. Промахи нужно исключить, однако руководствоваться только эмоциями некорректно.

Методы, обычно применяемые при выявлении выскакивающих значений, довольно громоздки. Однако существует достаточно быстрый способ, позволяющий решить задачу с приемлемой точностью [1]. Метод основан на оценке различий крайних значений рассматриваемой совокупности экспериментальных данных. Рассмотрим конкретный пример обработки данных. Пусть в результате эксперимента получен следующий массив результатов измерений: 1,06; 1,03; 1,07; 1,01; 1,29; 1,05; 1,04; 1,12.

Расположим полученные данные в порядке возрастания и пронумеруем их

Рассмотрение полученного ряда показывает, что выскакивающим значением является величина под номером 8. Обозначим приведенные данные через х_i, i = 1, 2, …, n и укажем их номера в виде индекса, например выскакивающее значение x₈.

Рассчитав отношение

,

получим .

Полученное значение оценим с использованием данных, приводимых в Приложении А. В таблице Приложения А для числа экспериментальных данных n = 8 и уровня достоверности 99 % указано пограничное значение отношения равное 0,59. Так как вычисленное значение больше табличного, мы в праве рассматривать вариант 8 в качестве промаха и исключить его из дальнейшего рассмотрения.

Вместе с тем возможен случай, когда отношение будет находиться в диапазоне достоверности от 95 до 99 %. В этом случае мы не имеем права говорить о безоговорочном исключении выскакивающего значения, можно говорить только о значительной вероятности грубой ошибки. В такой ситуации лучше провести дополнительное измерение, но при условии, что найденное в опыте значение меньше пограничного уровня достоверности 95 %, тогда предположение об исключении выскакивающего значения является безоговорочным.

В Приложении А приводятся также другие возможные варианты появления выскакивающих значений в массиве экспериментальных данных, это отношение , когда выскакивающими являются наибольшее и наименьшее значения измеряемого параметра и отношение , когда выскакивающими являются сразу два наибольших значения.

2.2 Оценка случайной погрешности прямых измерений

При проведении n измерений одной и той же величины получаются результаты х₁, х₂, …, х_n. В математической статистике доказано, что при отсутствии систематических погрешностей (или после устранения их) наилучшим приближением к измеряемой величине является среднее статистическое значение результатов измерения.

. (2.1)

Разности между средним значением измеряемой величины и значениями х₁, х₂, …, х_n, полученными при отдельных измерениях, называются абсолютными ошибками

. (2.2)

Рассматриваемые значения абсолютных ошибок могут быть как положительными, так и отрицательными.

В основе теории погрешностей лежат два предположения, подтверждаемые опытом.

1. При большом числе измерений случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, то есть погрешности, как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения, встречаются одинаково часто.

2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются реже, чем малые, то есть вероятность появления погрешностей уменьшается с ростом величины погрешности.

Для определения средней абсолютной ошибки результата измерений берут среднее арифметическое абсолютных значений отдельных ошибок

. (2.3)

Если число измерений достаточно велико (строго говоря, при ), то согласно предположению 1

. (2.4)

Из теории ошибок известно, что плотность распределения случайных ошибок зависит от их величины и выражается формулой нормального распределения (закон Гаусса)

, (2.5)

где - истинное (среднеарифметическое значение измеряемой величины;

у² - дисперсия;

у - средняя квадратическая погрешность.

Дисперсия генеральной совокупности для n полученных значений случайной величины х₁, х₂, …, х_n определяется по формуле

. (2.6)

Она характеризует степень разброса x_i вокруг .

Стандартное отклонение (среднеквадратическую ошибку) отдельного опыта находят по формуле

. (2.7)

Кривая плотности нормального распределения показана на рисунке 1.1.

Кривая плотности распределения случайной величины х характеризует частоту попадания измеряемой величины х_i в интервалы ; ; и аналогично для отрицательных значений ; ; .

В принципе цифры перед у могут быть и дробными, поэтому используют общее обозначение в виде безразмерного коэффициента k_б.

Из приведенной на рисунке 1.1 кривой можно установить важную закономерность: в диапазон попадает 68 % всех измеренных величин, в диапазон - 95 %, а в диапазон - 99,7 %.

Рисунок 1.1 - Кривая плотности нормального распределения

Для полноты описания случайной погрешности необходимо уметь указывать вероятность б попадания результата измерения x_i в любой заданный интервал полуширины Дх кривой распределения случайных ошибок . При этом Дх удобно выражать через у и коэффициент k_б, то есть

Дх = k_бу. (2.8)

Интервал, в котором с заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины, называется доверительным интервалом, а соответствующая вероятность б - доверительной вероятностью этого интервала. Зависимость доверительной вероятности от коэффициента k_б приведена в таблице1.1.

Таблица 1.1 - Зависимость доверительной вероятности от коэффициента k_б

Вероятность б в ряде случаев называется надежностью.

Задавшись б, мы по таблице 1.1 можем определить величину k_б и, зная у, определить Дх. Указанные рассуждения справедливы при большом числе измерений (). На практике обычно выполняется ограниченное число измерений. В этом случае величина называется выборочным средним (в отличие от генерального среднего, получаемого при ). Выборка означает, что из бесконечного множества (генеральной совокупности) берется наугад n значений случайной величины x_i.

Если истинное значение х неизвестно, оценка дисперсии у² является так называемая выборочная дисперсия или дисперсия выборки

. (2.9)

При ограниченном числе измерений n величина является лишь оценкой дисперсии у², а не равна ей, то есть при ограниченном числе измерений мы можем непосредственно определить лишь величину , а не у².

Корень квадратный из выборочной дисперсии определяет выборочную среднюю квадратическую погрешность

. (2.10)

Покажем теперь, как найти оценку погрешности результата серии измерений. Если мы проведем несколько серий, каждая из которой будет состоять из n измерений, то мы будем получать после обработки каждый раз различное значение , то есть среднее арифметическое значение измеряемой величины для каждой серии само является случайной величиной и описывается нормальным законом распределения с дисперсией .

При ограниченном числе измерений и нескольких сериях k приблизительным выражением будет

. (2.11)

Отсюда среднеквадратическая погрешность результата серии измерений равна

. (2.12)

Математическая статистика предлагает в качестве среднего значения случайной погрешности использовать именно величину . Эту величину называют среднеквадратическим отклонением среднего значения. Число характеризует точность определения искомой величины х путем вычисления среднестатистического значения от истинного значения х. Не случайно, ГОСТ 8.201-76 регламентирует доверительную вероятность именно для этого показателя. Согласно этого ГОСТ в технических измерениях следует принимать доверительную вероятность б = 0,95, а в научных исследованиях б = 0,68.

Оценки дисперсий у² и являются предельными. Они справедливы при , то есть при большом числе n. При малых значениях n эти оценки сами являются случайными величинами и в лучшем случае определяют лишь порядок величины дисперсии. В силу этого при нахождении границы доверительного интервала для величины х при малых значениях n (n < 20) мы не можем пользоваться коэффициентом , поскольку величина нам неизвестна.

Для получения границ доверительного интервала в этом случае нам необходимо ввести новый коэффициент t_б. Этот коэффициент был предложен 1908 году английским математиком и химиком Госсетом, публиковавшем свои работы под псевдонимом «Стьюдент» - студент, и получил в последствии название коэффициента Стьюдента. При (практически при n > 20) распределение Стьюдента переходит в нормальное распределение с единичной дисперсией.

Распределение Стьюдента позволяет оценить величину надежности б по заданному значению Дх или наоборот, по заданной величине надежности б найти величину погрешности Дх. Таким образом, при недостаточно большом числе измерений (практически при n < 20) при расчетах Дх с учетом заданной надежности б необходимо вводить вместо коэффициентов k_б коэффициент Стьюдента t_б, зависящий от числа произведенных измерений и от величины надежности б

, (2.13)

где - определяется по формуле (2.12), а , соответственно по формуле (2.10).

При коэффициенты t_б переходят в коэффициенты k_б.

В Приложении Б приводятся значения коэффициентов Стьюдента t_б для разных значений надежности б и различных значениях n.

Согласно математической статистике для корректного представления результата измерений следует в начале задаться его надежностью (доверительной вероятностью б). Зная вероятность того, что истинное значение измеряемой величины х попадает в доверительный интервал, то есть, другими словами, задавая надежность б, равную определенной величине (например, б = 0,99) по числу проведенных измерений (например, n = 8) по таблице Приложения Б для числа степеней свободы f = n - 1 можно установить значение коэффициента Стьюдента. В нашем случае оно равно 3,50. Тогда, определив предварительно , использую формулу (2.13), удается найти погрешность Дх по формуле

. (2.14)

После этого результат измерения можно записать в виде или , что означает, что истинное значение величины х попадает в доверительный интервал с надежность, равной б.

Данный метод оценки погрешности среднего измерения годен для любого числа измерений.

Часто при обработке результатов экспериментальных исследований целесообразно кроме абсолютной погрешности использовать относительную погрешность измеряемой величины. Относительной погрешностью измеряемой величины х называется отношение абсолютной погрешности Дх к истинному значению х.

В качестве наилучшей оценки относительной погрешности е обычно используется отношение Дх к среднестатистическому значению

(2.15)

Относительная погрешность является безразмерной величиной и ее часто выражают в процентах.

Таким образом, изложенный теоретический материал позволяет сформулировать следующий алгоритм математической обработки результатов прямых измерений.

1. Записывается массив полученных экспериментальных данных.

2. Полученные данные располагаются в порядке возрастания и нумеруются.

3. Делается оценка наличия выскакивающих данных и при их наличии они отбрасываются.

4. Определяется среднее арифметическое значение измеряемой величины

.

5. Вычисляются погрешности отдельных измерений

.

6. Определяются квадраты погрешностей отдельных измерений

.

7. Рассчитывается средняя квадратическая погрешность результата серии измерений

.

8. Задается значение надежности б.

9. Определяется коэффициент Стьюдента для выбранной надежности б и числа проведенных измерений по таблице Приложения Б.

10. Находятся границы доверительного интервала по формуле

.

11. Если величина погрешности результата измерений, определенная по п. 10, окажется сравнимой с величиной погрешности прибора, то в качестве границы доверительного интервала следует взять величину

,

где д - величина погрешности прибора.

12. Окончательный результат записывается в виде.

13. Выполняется оценка относительной погрешности результата серии измерений

•100 %.

2.3 Аппроксимация экспериментальных кривых

Одним из наиболее распространенных методов, используемых при обработке экспериментальных данных, является метод наименьших квадратов.

Линейная аппроксимация. Метод наименьших квадратов в большинстве случаев применяется, если исследуемая функция является линейной или ее можно свести к линейной с помощью элементарных преобразований.

Широкое применение линейной аппроксимации обусловлено возможностью разложения любой гладкой функции в ряд Тейлора. При этом такое разложение имеет хорошую точность в некотором интервале значений аргумента.

Итак, мы полагаем, что между величинами х и у существует линейная зависимость (хотя бы на определенном интервале значений х). Тогда функцию у = f(х) можно записать в следующем виде

(2.16)

где б и в - некоторые постоянные коэффициенты.

Коэффициенты б и в будем определять, пользуясь экспериментальными данными с применением метода наименьших квадратов.

Для начала в выражении (2.16) заменим неизвестные постоянные б и в на переменные а и b. Сумма квадратов для линейной функции (2.16) приобретет вид

. (2.17)

Рассматривая функциональную зависимость (2.17) мы видим, что величина q является функцией двух аргументов a и q, так как значения x_i и у_i нами получены из опыта. Следовательно, необходимо варьировать переменными а и b до тех пор, пока величина q, не достигнет минимума. После этого для постоянных коэффициентов б и в линейной зависимости (2.16) можно взять найденные значения переменных а и b, которые минимизируют выражение (2.17) при заданных значениях x_i и у_i.

Отыскание минимума функции двух переменных представляет собой типичную задачу математического анализа. В точке экстремума первые частные производные q, взятые по а и b обращаются в нуль

(2.18)

Это условие дает нам систему двух уравнений для определения двух неизвестных а и b.

Дифференцирование правой части уравнения (2.17) и алгебраические преобразования приводят систему уравнений (2.18) к стандартной форме

(2.19)

Фактически мы получаем систему двух линейных алгебраических уравнений для двух неизвестных величин а и b.

Решение такой системы уравнений можно записать в виде

(2.20)

(2.21)

Как следует из выражения (2.17) данная квадратичная зависимость всегда будет положительной.

Частным случаем линейной зависимости является пропорциональная зависимость

(2.22)

Применяя метод наименьших квадратов, заменим в₀ на b₀, получим уравнение

(2.23)

Производную q(b₀) по параметру b₀ приравняем нулю, получим уравнение

x_i = 0. (3.41)

Из полученного уравнения выразим величину b₀ через результаты эксперимента

(2.24)

Нелинейная аппроксимация. Нелинейную аппроксимацию можно применить для квадратичной зависимости тип у = а + bх + сх² [10], а также некоторых случаев нелинейных зависимостей, например, для уравнения типа , довольно часто используемого в электротехнике.

Рассмотрим этот вопрос применительно к последней зависимости более подробно. В этом случае целесообразно искать не минимум суммы квадратов функции , а минимум суммы квадратов отклонений логарифмов этих функций .

В результате мы получим систему уравнений

(2.25)

После преобразования система уравнений будет выглядеть следующим образом

(2.26)

Решение системы алгебраических уравнений позволяет определить параметры г и lnб

; (2.27)

. (2.28)

2.4 Корреляционный анализ экспериментальных данных

Корреляционный анализ имеет своей целью количественное определение тесноты связи между признаками.

Простейшей, но достаточно информативной характеристикой тесноты связи двух величин х и у является коэффициент корреляции. В теории вероятностей этот показатель определяется с помощью других вероятностных характеристик.

Линейный коэффициент корреляции был впервые введен в 40-х годах XIX столетия Пирсоном, Эджвортом и Велдоном. На практике применяются различные модификации формул для расчета коэффициента корреляции.

Наилучшим приближенным значением коэффициента корреляции, который можно вычислить с помощью результатов измерений, является величина r_xy, определяемая по формуле

, (2.29)

; .

Таким образом. Численное значение коэффициента корреляции характеризует близость к линейной зависимости между исследуемыми величинами х и у. Целесообразность применения коэффициента корреляции обусловлена в том случае, если близость к линейной зависимости обоснована теоретически и связана с тем, что в первом приближении многие сложные зависимости полагаются линейными.

Линейный коэффициент корреляции имеет большое значение при исследовании процессов и явлений, распределение которых близко к нормальному.

Коэффициент корреляции имеет ряд важных свойств:

1. Абсолютное значение коэффициента корреляции не превышает 1 . Линейный коэффициент корреляции изменяется в пределах от (- 1) до (+ 1).

2. Легко доказывается, что равенство r_xy = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы величины х и у были независимы.

3. Если r_xy = 1, то это означает, что все точки (х и у) находятся на прямой и зависимость между х и у является функциональной (у = kx + b, k и b - постоянные величины).

4. Коэффициент корреляции однозначно определяет характер зависимости у = f(x). Если r_xy > 0, то величины х и у одновременно возрастают или убывают (с точностью до случайных погрешностей). Если r_xy < 0, то с ростом х величина у убывает, а с уменьшением х - величина у растет.

Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе t-критерия Стьюдента. При этом выдвигается и проверяется гипотеза H₀ о равенстве коэффициента корреляции нулю (r_xy = 0). При проверке этой гипотезы используется t-статистика

. (2.30)

При выполнении H₀ t-статистика имеет распределение Стьюдента с входными параметрами (б, f = n - 2). Если расчетное значение t_p больше табличного значения t_б, то гипотеза Н₀ отвергается, что свидетельствует о значимости линейного коэффициента корреляции, а, следовательно, о статистической существенности зависимости между х и у.

Рассматриваемый критерий используется при числе наблюдений n < 50. При числе наблюдений n > 100 можно применить другую форму t-статистики

. (2.31)

Необходимо отметить также, что если по предварительным теоретическим исследованиям связь между величинами в принципе нелинейна, то использование коэффициента корреляции в представленном виде является не корректным. В таких случаях анализ нелинейной связи следует проводить с помощью так называемых корреляционных отношений. Метод их применения дается в специальной литературе по статистике.

2.5 Обработка результатов многофакторного эксперимента

В отличие от достаточно широко распространенного однофакторного эксперимента, когда изучается действие каждого фактора в отдельности, существует метод, позволяющий осуществлять эксперимент при варьировании несколькими факторами сразу. Это способствует повышению эффективности экспериментальных исследований, так как интересующий экспериментатора параметр определяется с меньшей ошибкой, то есть при увеличении числа факторов повышается точность экспериментов.

План многофакторного эксперимента выполняется в несколько этапов:

· выбор уравнения регрессии;

· определение необходимого числа опытов;

· составление плана многофакторного эксперимента;

· расчет коэффициентов регрессии;

· расчет дисперсии воспроизводимости и дисперсии коэффициентов регрессии;

· оценка значимости коэффициентов регрессии;

· проверка адекватности модели.

Выбор уравнения регрессии. Математическая задача планирования эксперимента может быть записана в следующем виде

, (2.32)

где r - выход процесса, то есть параметр, который изучается;

х₁, х₂, …, х_n - переменные факторы, которыми можно варьировать.

В общем случае мы не располагаем полным знанием механизма изучаемого явления и, следовательно, вид функции r нам не известен. В этом случае пользуются разложением функции в степенной ряд.

Точность, с которой степенной ряд описывает процесс, зависит от порядка (степени) ряда, то есть от того с какими показателями степени представлены последние члены ряда. Если описать какой-либо процесс в узком интервале переменных, то почти всегда можно воспользоваться частью степенного ряда, отбросив члены высших порядков. Только для описания оптимальной области может возникнуть необходимость использования ряда, содержащего члены второго, а иногда и третьего порядка.

Пользуясь результатами эксперимента можно получить лишь оценки модели, представленной уравнением (2.32). В зависимости от числа изучаемых факторов, определяющих условия прохождения процесса, можно записать в общем виде уравнение регрессии без членов высших порядков:

- для двух факторов

; (2.33)

- для трех факторов

, (2.34)

где - выборочная оценка для выходного параметра;

х₁, х₂, … - значения факторов;

b₀ - свободный член, равный выходу процесса при х = 0;

b₁, b₂, b₃ - коэффициенты регрессии соответствующих факторов, указывающие на влияние того или иного фактора на изучаемый процесс;

b_{1, 2}, b_{1, 3}, b_{2, 3} - коэффициенты регрессии при произведениях факторов, свидетельствующие о наличии двойного взаимодействия между факторами;

b_{1, 2, 3} - коэффициент регрессии, указывающий на тройное взаимодействие факторов.

Аналогично записывается уравнение для четырех и более факторов.

Определение необходимого числа опытов. При составлении плана проведения экспериментальных исследований для каждого фактора выбирается определенное число уровней варьирования. Поэтому необходимое число опытов устанавливается числом возможных комбинаций уровней варьирования независимых переменных, а также количеством повторных опытов. В большинстве случаев планирование экспериментов осуществляется по схеме полного факторного эксперимента. Она предусматривает варьирование всех исследуемых факторов на двух уровнях:

· верхнем, имеющему максимальное значение рассматриваемого фактора;

· нижнем, соответствующему минимальному значению фактора.

В этом случае необходимое число опытов определяется по формуле

, (2.35)

где i - число рассматриваемых факторов.

Варьирование переменными на двух уровнях позволяет значительно уменьшить объем экспериментальной и счетной работы.

Значения (уровни) факторов удобно задавать в кодированных величинах: верхний уровень фактора (+ 1), нижний (- 1), средний или основной (условный нулевой) уровень .

Условный нулевой уровень - это такое значение переменных х_i, в области которых начинается изучаемый процесс. Обычно нулевой уровень выбирается достаточно близко к центру факторного пространства. При отсутствии каких-либо теоретических или практических соображений этот уровень выбирается произвольно.

Основное преимущество многофакторного эксперимента заключается в том, что в процессе его проведения варьируются одновременно все факторы. Это приводит к тому, что дисперсия при оценке коэффициентов регрессии оказывается в m раз меньше ошибки опыта.

Кроме выбора уровней необходимо установить единицы варьирования, то есть величины, на которые в сторону увеличения или уменьшения мы будем изменять данный фактор от нулевого уровня. Обозначим значение единицы варьирования через м_i. Указанный параметр нельзя выбирать слишком малым, чтобы не получить результат ниже ошибки измерения. При большом значении м_i возникает опасность получения уравнения, не содержащего членов второй, третьей и других более высоких степеней. Таким образом, в каждом конкретном опыте единицы варьирования нужно задавать исходя из опыта и интуиции исследователя.

Обычно выбирают м_i = 0,5 … 0,3 от значения области определения фактора.

Основное требование к интервалу варьирования состоит в том, чтобы он не превышал удвоенную квадратичную ошибку опыта. Это требование связано с тем, что интервал между двумя соседними уровнями должен значимо (не случайно) влиять на выходной параметр. Обычно интервал варьирования выбирается на основании априорной информации (или интуитивно), а затем уточняется (если он выбран неудачно) после получения математической модели. Удачно выбранный интервал варьирования факторов гарантирует получение достоверной математической модели. Определенные сведения о нулевых уровнях и интервалах варьирования могут быть получены на этапе предварительного эксперимента.

Уровни ( - м_i) и ( + м_i) обозначим в кодированном виде соответственно (- 1) и (+ 1). После этого можно приступать к составлению матрицы планирования эксперимента.

Составление плана многофакторного эксперимента. План эксперимента удобно задавать таблицей, называемой матрицей планирования эксперимента, включающей в себя последовательность проведения опытов, значения факторов и эффектов и их взаимодействий, а также значения исследуемой функции. При этом должны быть исчерпаны все возможные значения комбинаций факторов, варьируемых на верхнем и нижнем уровнях.

Условия эксперимента представляются в виде таблицы - матрицы планирования, где строки соответствуют различным опытам, а столбцы - значениям факторов. Матрица планирования обычно записывается не в физических, а в кодированных переменных.

Для двухфакторного эксперимента матрица планирования, включающая четыре опыта, имеет вид (таблица 2.2).

Таблица 2.2 - Матрица планирования эксперимента для двух факторов

Во втором столбце таблицы 2.2 даются значения фиктивной переменной х₀ = 1, вводимой формально для расчета b₀, в третьем и четвертом столбцах - значения переменных х₁ и х₂ (эти две переменные являются управляемыми и определяют собственно планирование). В пятом (расчетном столбце) приводится значение произведения х₁х₂, вводимого в матрицу планирования для вычисления в последующем коэффициентов регрессии b_{1, 2}, а в шестом - значения результатов наблюдения в каждом из четырех опытов. Первая строка матрицы соответствует первому варианту опыта, в котором обе переменные х₁ и х₂ находятся на нижнем уровне, вторая строка - второму варианту опыта, в котором первая переменная находится на верхнем уровне, а вторая - на нижнем уровне и т. д.

Этот план соответствует уравнению регрессии .

Для трехфакторного эксперимента матрицу планирования можно получить из матрицы для двух факторов, повторив ее дважды - один раз при значениях х₃ на нижнем уровне, а второй раз - при значениях х₃ на верхнем уровне. В результате мы получим следующую таблицу (таблица 2.3).

Таблица 2.3 - Матрица планирования трехфакторного эксперимента

В том случае, если необходимо учесть четыре фактора, матрица планирования эксперимента будет содержать 16 наблюдений. Строится она в такой последовательности. Сначала берется матрица для двух факторов (без их произведений), затем она повторяется дважды при х₃ = - 1 и х₃ = + 1. Полученная матрица для трех факторов снова повторяется дважды для х₄ = - 1 и х_ч = + 1. Кроме столбцов, содержащих уровни факторов, в матрицу добавляются значения произведений факторов х₁х₂, х₁х, х₂х₃, х₁х₂х₃, и т. д.

Аналогичный подход может быть использован для составления матрицы планирования эксперимента при наличии пяти и более факторов. Однако на практике при постановке многофакторного эксперимента рассмотрение четырех и более факторов производится крайне редко, так как это не дает большого выигрыша в получении информации от эксперимента, а лишь приводит к повышенным затратам средств и времени на реализацию опытов.

Обычно в многофакторном эксперименте важно оценить эффект влияния и направление действия того или иного фактора, а также возможность взаимодействия между ними. Два-три фактора вполне обеспечивают выполнение такого условия.

Рассматривая планы полного факторного эксперимента для двух и трех факторов, нетрудно установить общую определенную закономерность получения таких планов. В первом столбце матрицы для переменной х₁ знаки меняются в каждой строке, во втором столбце для переменной х₂ - через две строки, а для i - переменной знаки будут меняться через 2ⁱ - 1 строки.

Матрица планирования эксперимента показывает, в каких точках факторного пространства необходимо производить измерение отклика, т. е. произвести опыты. Каждый опыт состоит в установке нужных значений факторов и в измерении отклика. Требуемые значения кодированных факторов устанавливаются варьированием или принятием соответствующих значений физических переменных.

После построения матрицы планирования эксперимента приступают непосредственно к эксперименту. Обычно матрицу представляют в виде, удобном для реализации опытов, - все кодированные значения факторов заменяют натуральными. Такую матрицу планирования называют рабочей.

Поскольку на изменение выходного параметра влияют помехи, план чаще всего реализуют несколько раз, получая k параллельных значений переменной состояния. Число k выбирается по результатам предварительного эксперимента или с помощью специально поставленных опытов. Матрица планирования эксперимента с несколькими параллельными опытами представлена в таблице 2.4.

Таблица 2.4 - Матрица планирования двухфакторного эксперимента при наличии нескольких серий опытов

В таблице 2.4 величины у^/, у^//, у^/// показывают значения выходного параметра в трех параллельных сериях опытов.

Расчет коэффициентов регрессии. Для двухфакторного эксперимента в соответствии с уравнением (2.33) необходимо вычислить коэффициенты регрессии для уравнения, содержащего четыре члена - свободный член b₀, два линейных эффекта b₁x₁ и b₂x₂ и взаимодействие факторов b_{1, 2}x₁х₂. Что касается трехфакторного плана эксперимента, то здесь уже, согласно выражения (2.34), необходимо вычислить коэффициенты для уравнения, содержащего 8 членов.

Расчет коэффициентов регрессии выполняется по следующим формулам

(2.36)

, (2.37)

, (2.38)

где m = 2ⁱ - число вариантов в матрице планирования эксперимента;

- среднее значение выходного параметра в m - м варианте;

- значение данного фактора в m - м варианте;

- значение произведения факторов в m - м варианте.

Таким образом, для нахождения b₀ необходимо вычислить сумму произведений на значение фиктивной переменной и разделить полученный результат на m = 4 в двухфакторной схеме и m = 8 в трехфакторной схеме эксперимента. Например, для двухфакторного эксперимента

. (2.40)

Иными словами, b₀ не что иное как средняя арифметическая величина выходного параметра, когда факторы находятся на нулевом уровне.

Для нахождения b_i необходимо вычислить сумму произведений на значения +1 или -1 фактора в соответствующем столбце матрицы планирования эксперимента и разделить результат на m = 2ⁱ. Например, для двухфакторного эксперимента

(2.41)

(2.42)

С физической точки зрения коэффициенты b₁ и b₂ показывают насколько изменяется выходной параметр процесса при изменении соответственно х₁ и х₂ от нуля до .

При вычислении коэффициентов регрессии для взаимодействующих факторов значения x_ix_j берутся в расчетных столбцах матрицы планирования эксперимента. Так, для двухфакторного эксперимента

(2.43)

В зависимости от значения коэффициента b_1,2 судят о степени взаимодействия между факторами.

После нахождения величины коэффициентов регрессии записывается уравнение регрессии, и переходят к статистическому анализу уравнения регрессии. Анализ состоит из 3 этапов: оценки дисперсии воспроизводимости (оценки ошибки опыта), определения значимости коэффициентов уравнения регрессии и проверки адекватности модели.

Расчет дисперсии воспроизводимости и дисперсии коэффициентов регрессии. Известно, что ошибка опыта S²(y) оценивается по параллельным опытам. Перед расчетом ошибки опыта необходимо убедиться в том, что рассеяние в каждой точке факторного пространства не превышает некоторой величины, т. е. проверить однородность построчных дисперсий. Для этого рассчитываются построчные дисперсии Расчет проводится по формуле

(2.44)

где k - число параллельных опытов.

Понятие однородность нескольких оценок дисперсий означает, что все они являются оценками одной и той же дисперсии , которая называется дисперсией воспроизводимости или дисперсией опытов. В этом случае различие между оценками объясняется их случайным характером.

Проверить однородность дисперсий можно по критерию Кохрена. Критерий Кохрена для проверки однородности построчных дисперсий применяется, когда число параллельных опытов во всех строках постоянно k = const.

Расчетное значение критерия Кохрена определяется следующим образом

/, (2.45)

где - наибольшая построчная дисперсия.

Полученная величина G_p сравнивается со значением G_n, определяемым по таблице Приложения В. С величиной G_n связаны два параметра: f₁ = k - 1 - число степеней свободы суммы стоящей в знаменателе и f₂ = m. По значению чисел f₁ и f₂ и уровню значимости г (обычно г = 0,05) из распределения Кохрена находят G_n. Гипотеза об однородности дисперсий принимается, если выполняется неравенство G_р < G_n . При G_р > G_n дисперсии признаются неоднородными и принимаются меры для достижения их однородности. Если условие G_р < G_n не выполняется, то одним из решений является увеличение числа параллельных опытов, то есть еще один раз или несколько раз необходимо реализовать матрицу планирования эксперимента.

Если увеличение числа параллельных опытов не дает результата, то следует изменить метод контроля выходного параметра, увеличив его точность. Иногда прибегают к масштабированию функции отклика - вводится некоторая математическая функция от у (например, квадратный корень или логарифм). Выполнив требование однородности построчных дисперсий можно перейти к определению дисперсии воспроизводимости, как среднего арифметического значения построчных дисперсий

(2.46)

Затем необходимо определить дисперсию среднего значения

(2.47)

И только после этого можно установить дисперсию коэффициентов регрессии по выражению

/m. (2.48)

Зная , можно определить ошибку коэффициентов регрессии

(2.49)

В ряде случаев в процессе исследований ставится всего один эксперимент вместо нескольких параллельных опытов. Если k = 1, то есть, повторяемости опытов нет, то дисперсия среднего значения совпадает с дисперсией метода измерения, который может быть определен по результатам предварительных исследований. При этом = S²/m и

Таким образом, ошибка коэффициентов регрессии в раз меньше ошибки используемого метода, что является одним из достоинств многофакторного эксперимента.

Проверка значимости коэффициентов регрессии. Различные факторы могут по-разному влиять на выходной показатель - один больше, другой меньше. Для оценки этого влияния используют проверку значимости каждого коэффициента регрессии. С этой целью составляется неравенство

(2.50)

Значения коэффициента Стьюдента приводятся в таблице Приложения Б для заданной достоверности б и числа степеней свободы f = m(k - 1).

Если для какого либо фактора условие (2.50) не выполняется, то соответствующий фактор можно признать не значимым и исключить его из уравнения регрессии. Однако нужно быть осторожным и всегда помнить, что при проведении предварительных экспериментов уже отсеивались незначимые факторы. Нельзя утверждать со 100 % уверенностью, что оказавшийся не значимым фактор не влияет на процесс.

Обычно отсутствие значимости коэффициента регрессии может быть обусловлено следующими причинами:

· соответствующий фактор (или взаимодействие) не имеют функциональной связи с откликом у;

· дисперсия воспроизводимости слишком велика, т. е. на фоне помех выделить влияние данного фактора не возможно.

Таким образом, установление не значимости фактора может являться следствием неудачно выбранного интервала варьирования (он был выбран слишком малым). Более правильным в этом случае является решение повторить эксперимент при расширенном значении единицы варьирования с увеличенным числом параллельных опытов. Безусловно, при этом число опытов, а также время эксперимента возрастают. Иногда количество опытов можно уменьшить, если единицу варьирования добавлять только в одном направлении, а другой уровень оставлять неизменным. Если фактор остается не значимым после повторной серии экспериментов и всех необходимых расчетов, то его (или их) отбрасывают и переходят к оценке адекватности полученной математической модели.

Проверка адекватности модели предусматривает проверку принятой гипотезы о линейности системы и включает два этапа - оценку возможности описания выхода процесса уравнением без квадратичных членов и возможности использования уравнения без парных членов.

Первый этап - оценка значимости коэффициентов регрессии при членах высших порядков. Для выполнения рассматриваемой оценки нужно повторить опыт на нулевом уровне несколько раз и по полученным результатам вычислить среднее значение выходного параметра . Разность , если она не значима, указывает на возможность использования уравнения без квадратичных членов.

Значение величины определяется по формулам

, (2.51)

, (2.52)

, (2.53)

где b₀ - свободный член в уравнении регрессии, определяемый после постановки многофакторного эксперимента;

- средневзвешенное значение из двух дисперсий;

v - количество серий опытов с переменными х₁, х₂, …, находящимися на нулевом уровне;

- коэффициент Стьюдента для выбранного уровня достоверности и числа степеней свободы f = (m + v - 2);

- дисперсия среднего значения выходного параметра при значениях всех факторов на нулевом уровне.

Если неравенство (2.51) выполняется, это свидетельствует о значимости разности и о невозможности отбросить квадратичные члены в уравнении регрессии. Указанная ситуация свидетельствует о значительной кривизне поверхности отклика вблизи оптимума. В этой ситуации необходима постановка факторного эксперимента с меньшими един ицами варьирования.

Если же проведенные расчеты показывают обратный результат, то принятое предположение о возможности описания выхода процесса без членов высших порядков в уравнении регрессии справедливо. В этом случае для упрощения модели процесса желательно также проверить возможность описания выходного параметра уравнением с линейными членами без их парных взаимодействий.

Второй этап - проверка описания процесса линейной моделью. В этом случае необходимо преобразовать матрицу планирования эксперимента: исключить выходы эксперимента при повторных опытах и дополнить матрицу выходным параметром процесса, рассчитанным по уравнению регрессии без парных взаимодействий. Для двухфакторного эксперимента такая матрица будет иметь вид, представленный в таблице 2.5.

Таблица 2.5 - Преобразованная матрица для проверки описания процесса линейной моделью

Выполнив необходимые расчеты, можно определить дисперсию неадекватности модели без парных взаимодействий

(4.34)

где m - число вариантов при проведении многофакторного эксперимента, равное 2ⁱ;

(m - i - 1) - число отброшенных взаимодействий;

i - число факторов.

Получив значение его сравнивают с дисперсией воспроизводимости , определяя /.

Далее по критерию Фишера можно оценить возможность отбрасывания членов парных взаимодействий.

Значение критерия Фишера для степеней свободы f₁ и f₂ определяется по таблице Приложения Г. При этом f₁ = m - i - 1, f₂ = k - 1.

Если , то мы не можем отбросить парные взаимодействия и должны констатировать, что линейное приближение не адекватно. Если , то парные взаимодействия из уравнения регрессии можно исключить и уравнение регрессии будет адекватно полностью линейной модели.

Список использованных источников