Синтез управляющих воздействий двухмассовой колебательной системы методом обратных задач динамики

Размещено на http://www.allbest.ru/

Синтез управляющих воздействий двухмассовой колебательной системы методом обратных задач динамики

Нгуен Ван Хуан

Иркутский государственный технический университет,

664074, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

На примере двухмассовой колебательной системы рассматриваются вопросы формирования управляющих воздействий, обеспечивающих минимальную колебательность на основе заданных уравнений движения. В отличие от известных работ, посвященных данной проблеме и основывающихся на использовании двухмассовой расчетной схемы, исследования предполагается выполнять на основе трехмассовой расчетной схемы, которая позволит расширить класс моделируемых мехатронных систем.

Ключевые слова: двухмассовая колебательная система; управление колебаниями; обратная задача динамики; дифференциальные уравнения движения.

Synthesis of control actions of the dual-mass oscillatory system by the method of inverse dynamic problem. Nguyen Van Huan

In the case of the dual-mass oscillatory system, the author examines the issues of formation of the control actions that ensure minimum oscillation based on the given equations of motion.

Unlike popular papers dedicated to this issue and based on dual-mass oscillatory analytical model, the intention here is to conduct a research based on three-mass analytical model, which allows expanding the range of modeled mechatronic systems.

Key words: dual-mass oscillatory system, controlling oscillating, inverse problem of dynamics

В современном автоматизированном производстве все большее применение находят технологические машины с автоматическим управлением: промышленные и транспортные роботы, автооператоры, станки-роботы, обрабатывающие центры, координатные и поворотные столы, манипуляционное оборудование гибких производственных систем. В отличие от цикловых машин, предназначенных для реализации явно выраженного установившегося движения, управляемые машины, представляющие собой единый комплекс двигательного, передаточного и исполнительного механизмов с системой автоматического управления, позволяют осуществлять механическое движение любой сложности, в том числе и управляемые переходные режимы. Актуальной проблемой создания многих современных машин и оборудования с программным управлением, которые могут быть отнесены к классу мехатронных систем, является ограничение уровня колебательных движений исполнительных механизмов в переходных режимах работы. Особенно большое значение эта проблема приобретает при создании новых высокопроизводительных машин. Значительные динамические нагрузки приводят к интенсивным колебательным движениям рабочих органов в неустановившихся режимах.

Эффективным методом синтеза управляющих воздействий для обеспечения движения машин с программным управлением является метод обратных задач динамики [1-3]. Обратными задачами динамики называются задачи об определении активных сил, действующих на механическую систему, параметров механической системы и связей, наложенных на систему, при которых движение с заданными свойствами является одним из возможных движений рассматриваемой механической системы. В известных работах, посвященных этой проблеме, динамические свойства управляемых машин задаются, как правило, с помощью конечных уравнений [4]. Недостатком этого способа задания движения является трудность получения требуемых законов управления движением для систем выше второго порядка. Кроме того, получаемые при этом результаты справедливы только для конкретных начальных условий движения. В отличие от конечных, дифференциальные уравнения охватывают не одно, а целый класс движений управляемых механических систем, обладающих заданными динамическими свойствами.

На примере двухмассовой колебательной системы рассматриваются вопросы формирования управляющих воздействий, обеспечивающих минимальную колебательность на основе заданных уравнений движения.

Схема, изображенная на рис. 1, а, соответствует поступательной степени подвижности и использованию электрогидравлического привода движения, а схема, приведённая на рис. 1, б, - вращательной степени подвижности и использованию электропривода.

а

б

Рис. 1. Двухмассовая расчётная схема: ЭГУ - электрогидравлический усилитель типа сопло-заслонка; ГД - гидродвигатель; УМ - усилитель мощности; ЭД - электродвигатель

Синтез управляющих воздействий осуществляется на основе дифференциальных уравнений движения двухмассовой системы в виде

(1)

(2)

здесь m - масса исполнительного механизма; mn - масса привода; c - коэффициент жесткости;

b - коэффициент демпфирования; Qn - движущая сила привода; QH - сила сопротивления (нагрузка); q - управляемая координата; q - упругая координата.

Требуемые дифференциальные уравнения, обеспечивающие минимальную колебательность упругой механической системы, должны удовлетворять определенным условиям. Во-первых, порядок уравнения должен быть не меньше порядка уравнения управляемой механической системы. Во-вторых, решение этого уравнения должно быть устойчивым и инвариантным относительно программного движения. Эти уравнения можно выбрать как в классе линейных, так и нелинейных дифференциальных уравнений заданного порядка.

Зададим сначала дифференциальное уравнение в форме уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами

, (3)

, (4)

здесь - коэффициент затухания колебаний; - собственная частота колебаний. Например, при показатель колебательности , а длительность переходного процесса оказывается равной , где - период собственных колебаний системы.

Полагая в уравнении (1) и (2) Qн=0 и b=0 перепишем его в виде

(5)

где - частота собственных колебаний.

Найдем такой закон изменения ускорения , который обеспечивает движение в соответствии с уравнением (4) при . Подчиним, для определенности, уравнения (4) и (5) следующим начальным условиям:

; (6)

Решая совместно уравнения (4) и (5), с учетом (6), найдем закон движения первой массы

(7)

Непосредственной проверкой можно убедиться, что движение колебательной системы (5) при воздействии (7) и заданных начальных условиях (6) эквивалентно движению, заданному уравнением (4), при . Ускорение движения первой массы при этом должно изменяться по гармоническому закону с заданной частотой колебаний.

В то же время, как показано в работе [5], компенсирующее воздействие может быть определено из решения уравнений движения (3) путем исключения второй производной из заданного уравнения. Из (4) найдем требуемое значение второй производной

. (8)

Подставляя формулу (8) в уравнения (1) и (2) при Qн=0, получим требуемое компенсирующее воздействие в виде

 , (9)

; .

Коэффициенты и в уравнении (9) могут быть представлены как коэффициенты усиления дополнительных обратных связей по упругой координате и ее скорости, как это показано на структурной схеме (рис. 2).

Как следует из этой схемы, требуемое компенсирующее воздействие формируется на основе сравнения ускорения , вычисляемого в БОЗД управляющей ЭВМ по заданным коэффициентам б0 и б1 уравнения (4), и ускорения, измеряемого с помощью датчиков упругой координаты и её скорости.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис. 2. Структурная схема формирования компенсирующих воздействий

Определим управляющее воздействие путем заданания дифференциального уравнения в виде уравнения с переменными коэффициентами

, (10)

где и - соответственно инерционный, диссипативный и упругий коэффициенты, являющиеся функциями времени.

Полагая в уравнении (10) и деля последний член в нем на , получим

. (11)

В этом уравнении . Функцию удобно трактовать как переменную собственную частоту. При этом если - периодическая функция, то уравнение (11) называется уравнением Хилла, а если гармоническая - уравнением Матье.

Сконструируем уравнение (11), то есть определим закон изменения собственной частоты для обеспечения желаемого характера затухания упругих колебаний. Вначале предположим, что частота изменяется скачкообразно дважды за период колебаний. Тогда движение системы в первом полупериоде будет определяться уравнением

, (12)

а во втором

, (13)

где , - постоянные значения собственной частоты.

Решая уравнения (12) и (13) при начальных условиях , ,

найдем:

; (14)

. (15)

Логарифмический декремент колебаний на основе (14) и (15) будет иметь вид

, (16)

здесь - последовательные значения амплитуд колебаний. Как следует из выражения (16), чем больше разница между частотамии, тем выше интенсивность затухания колебаний. Частота колебаний может быть изменена с помощью как инерционного , так и упругого коэффициентов. В случае, если изменяется коэффициент жесткости, логарифмический декремент определится выражением

, (17)

где , (>) - постоянные значения коэффициента жесткости.

Можно показать, что если коэффициент жесткости скачкообразно менять четыре раза за период колебаний ф, то логарифмический декремент будет равен

, (18)

то есть увеличится в раз. Подобный эффект может быть достигнут и путем мгновенного изменения диссипативного коэффициента в уравнении (13). Можно показать, что в этом случае с помощью подстановки

,

уравнение (10) приводится к виду, не содержащему :

, (19)

где ; .

Уравнение (19) может быть решено методом условного осциллятора, предложенным в работе. Таким образом, для обеспечения наискорейшего затухания упругих колебаний, описываемых дифференциальным уравнением второго порядка (10), необходимо, чтобы в нечетных четвертях колебаний упругий и диссипативный коэффициенты были максимальными, инерционный коэффициент минимальным, для уменьшения упругого отклонения от положения статического равновесия, а в четных четвертях - имели противоположные значения. В качестве сигналов дискриминаторов, обеспечивающих скачкообразное изменение этих параметров, могут служить, например, знаки произведений или , которые имеют удвоенную, по сравнению с собственной, частоту. С учетом сказанного, алгоритм управления указанными параметрами может быть представлен в виде (20)

Очевидно, что рост частоты мгновенных изменений коэффициентов в динамическом плане эквивалентен увеличению частоты переключений управляющей силы, согласно

где и будет способствовать увеличению интенсивности затухания упругих колебаний.

С другой стороны, бесконечно большая частота изменений этих коэффициентов может привести к реализации так называемых скользящих режимов движения, нашедших широкое применение в управляемых системах и обеспечивающих высокое качество переходных процессов в условиях действия параметрических возмущений [6] . С математической точки зрения преднамеренное введение скользящих режимов движения означает принудительный переход от дифференциальных уравнений одного порядка и с одними коэффициентами к дифференциальным уравнениям другого порядка и с другими коэффициентами. Условие этого перехода можно интерпретировать как процесс наложения дополнительной связи на управляемое движение в виде, например, уравнений прямой или гиперплоскости скольжения, для реализации желаемых свойств этого движения.

Библиографический список

двухмассовый колебательный уравнение движение

1. Крутько П.Д. Обратные задачи динамики управляемых систем: Линейные модели. - М.: Наука, 1987. - 304 с.

2. Галиуллин А.С. Методы решения обратных задач динамики. - М.: Наука, 1986. - 224 с.

3. Петров Б.Н., Крутько П.Д., Попов Е.П. Построение алгоритмов управления как обратная задача динамики // Докл.` АН СССР. - 1979. - Т. 247. - № 5. - С. 1078-1081.

4. Кузнецов, Н. К. Синтез алгоритмов управления колебаниями двухмассовой мехатронной системы // Вестник ИрГТУ. - 2005. - № 3. - С. 135-141.

5. Черноусько Ф.Л., Болотник Н.Н., Градецкий В.Г. Манипуляционные роботы: динамика, управление, автоматизация. - М.: Наука, 1989. - 368 с.

6. Емельянов С.В. Теория систем с переменной структурой. - М.: Наука, 1970. - 592 с.

7. Кузнецов Н.К., Перелыгина А.Ю., Перелыгин В.Н. Гашение колебаний в трехмассовых мехатронных системах: монография. - Иркутск: Изд-во ИрГТУ, 2011. - 160 с.

Размещено на Allbest.ru