Анализ и синтез типовых механизмов

2.1.2 Построение картины зацепления

При вычерчивании профилей зубьев нужно помнить следующее:

а) профили зубьев могут касаться только на активной части линии зацепления;

б) наличие зазора на активной части линии зацепления между профилями, пересекаемыми линией зацепления, свидетельствует о неправильном выполнении чертежа;

Масштаб построения следует выбирать таким образом, чтобы высота зуба на чертеже была не менее 40 мм. При построении картины зацепления рекомендуется оставлять на чертеже следы построения эвольвент.

Профили зубьев вычерчивают в такой последовательности:

На чертеже под произвольным углом откладываем линию центров О₁О₂. Длина линии центров равна межосевому расстоянию О₁О₂=a_w. (рис 2.1)

Из точек О₁ и О₂ проводим начальные окружности dw1 и dw2, они касаются друг друга в полюсе зацепления P. Проводим основные окружности db1 и db2_.

Из полюса P к основной окружности проводим касательную РА (рис. 2.2).
Отрезок АР (см. рис.) делим на четыре равные части (АВ = ВС = СD = DP) и из точки В проводим дугу радиуса r = ВР до пересечения в точке Р1 с основной окружностью, тогда АР1= АР.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

Отрезок АР ( рис. 2.3) снова делим на произвольное число равных частей длиной 15…20мм (число делений целесообразно взять четным, например 8). Дугу АР₁ также делим на такое число равных частей (Р₁1'= 1' 2' = 2' 3' = …). Точки 1'; 2'; 3'… соединяем с центром О₂.

Рис. 2.3

Через точки 1'; 2'; 3'… (рис. 2.4) проводим перпендикуляры к соответствующим радиусам О₂1'; О₂2'; О₂3'… На перпендикулярах (они касаются основной окружности) откладываем отрезки 1'1''; 2'2''; 3'3''…, соответственно равные отрезкам Р1; Р2; Р3…

Рис. 2.4

Соединяем точки Р₁; 1''; 2''; 3''… плавной кривой и получаем часть эвольвенты второго колеса (рис. 2.5).

Рис. 2.5

Для продолжения построения профиля зуба второго колеса строим окружности выступов и впадин зубьев второго колеса (рис. 2.6). Следует отметить, что радиус окружности впадин может быть больше, равен и меньше радиуса r_в основной окружности. Это зависит от числа Z зубьев колеса и от коэффициента смещения х. В нашем случае d_в2 > d_f2.

Рис. 2.6

Для построения продолжения эвольвенты до окружности выступов вводим дополнительные точки 8 и 9 (рис. 2.7). Причем, точки 8 и 9 откладываем в обратном направлении от точки А. Пользуясь описанным выше методом, находим точки 8''и 9''. Завершаем построение эвольвенты второго колеса.

Рис. 2.7

Профиль ножки у основания зуба можно построить упрощенно. Если r_f < r_в, то от основания эвольвенты до окружности впадин проводят радиальный отрезок, а затем у основания зуба делают закругление радиуса 0,2m (рис. 2.8). Упрощенное построение профиля ножки зуба не отражают истинного его очертания, а является только чертежным приемом.

Рис. 2.8

Строим делительную окружность колеса 2 и получаем точку D ее пересечения с эвольвентой (рис. 2.9). От точки D откладываем на делительной окружности колеса 2 (пользуясь построением, показанным выше) дуги: влево DE, вправо DF, равные каждая длине шага р. От точки E, D, F влево откладываем (пользуясь тем же построением) дуги ER, DM, FH, равным каждая толщине S зуба по делительной окружности.

Делим дуги DM, FH, ER пополам в точках T, Y, Q. Соединяем эти точки с центром О2, получаем оси симметрии зубьев (рис. 2.9). После этого вырезаем из твердой бумаги шаблон половины зуба, которым пользуемся для построения остальных зубьев. Обязательным является построение трех зубьев - первого, профиль которого построен по точкам, и двух, находящихся справа и слева от первого.

Рис. 2.9

Аналогично строим три зуба для другого колеса (рис. 2.10).

Рис. 2.10

2.1.3 Определение основных параметров эвольвентного зацепления

Теоретической линией зацепления называют отрезок касательной к основным окружностям, заключенный между точками касания.

Активной линией зацепления называют отрезок теоретической линии зацепления, заключенный между точками пересечении ее с окружностями выступов колес.

Рабочие участки профилей зубьев - это те участки профилей зубьев, которые участвуют в зацеплении. Чтобы найти эти участки, нужно на профиле зуба первого колеса найти точку, сопряженную с крайней точкой головки второго колеса, а на профиле зуба второго колеса -- точку, сопряженную с крайней точкой головки первого колеса.

Дуга зацепления - дуга начальной окружности, которая проходит через полюс Р за время зацепления одной пары сопряженных профилей. Длину k дуги зацепления определяют по формуле

(2.2)

где ab - длина активной линии зацепления, измеряется по чертежу, µ - масштабный коэффициент. Длину активной части линии зацепления ab измеряют непосредственно на чертеже и значение ее подставляют в формулу.

2.1.4 Определение качественных показателей зацепления

Коэффициент торцевого перекрытия - это отношение угла торцевого перекрытия зубчатого колеса цилиндрической передачи к его угловому шагу.

Также коэффициентом перекрытия называют отношение длины k дуги зацепления к длине шага p_w по начальным окружностям колес.

Коэффициент перекрытия определяют по чертежу, используя формулу:

, (2.3)

Коэффициент перекрытия характеризует плавность зацепления и показывает среднее число пар зубьев, находящихся одновременно в зацеплении. Чем больше коэффициент перекрытия, тем более плавно и бесшумно работает передача.

Коэффициентом перекрытия не должен быть меньше единицы, так как это приводит к перерывам в передаче движения от ведущего к ведомому и к ударам зубьев колес. Предельное значение коэффициента перекрытия в зубчатой передаче с нормальной высотой зуба равен 1,982. Если коэффициент перекрытия равен, например, 1,6, то это значит, что в среднем в зацеплении находится 1,6 пары зубьев, т.е. фактически 60% времени в зацеплении находятся две пары зубьев, а 40% - одна пара зубьев.

При проектировании зубчатого зацепления рекомендуется принимать допустимое значение коэффициента перекрытия = 1,2.

Коэффициенты относительного скольжения. Так как рабочие участки профилей зубьев перекатываются друг по другу со скольжением, то на этих участках возникают силы трения и происходит процесс изнашивания. Характеристикой вредного влияния скольжения являются коэффициенты л₁ и л ₂ относительного скольжения, которые определяют по формулам

; (2.4)

где е = АВ -- длина теоретической линии зацепления,

i_1,2=; i_2,1= ? передаточные отношения,

Х -- расстояние от точки В касания теоретической линии зацепления с основной окружностью первого (меньшего) колеса, отсчитываемое в направление к точке А (рис. 2.11).

Коэффициент удельного давления. Отношение модуля зацепления к приведенному радиусу кривизны эвольвентных профилей называется коэффициентом удельного давления .

Коэффициенту имеет минимальное значение в середине теоретической линии зацепления АВ.

При расчете зубьев на контактную прочность коэффициент определяется по формуле:

(2.5)

где АВ -- длина теоретической линии зацепления; АР, ВР ? расстояния от точек А и В касания теоретической линии зацепления с основной окружностью до полюса зацепления Р соответственно.

Пример 8. Определить геометрические параметры зубчатого зацепления, если числа зубьев колес z1= 12; z2=34; модуль зацепления m = 5 мм. Построить картину зацепления. Определить качественные характеристики зубчатой передачи.

1. Выберем коэффициенты смещения: Минимальное значение коэффициента смещения определяем по формуле . Примем значение . Т.к. суммарное число зубьев , то проектируем равносмещенное зацепление и принимаем .

2. Определяем инволюту угол зацепления

,

где . По таблице инволют найдем угол зацепления .

3. Межосевое расстояние:

4. Делительное межосевое расстояние

5. Радиусы делительных окружностей

; .

6. Радиусы начальных окружностей

;

.

Проверка вычислений:

.

7. Коэффициент воспринимаемого смещения

,

8. Коэффициент уравнительного смещения

9. Радиусы окружностей вершин зубьев

,

где - коэффициент высоты головки зуба.

10. Радиусы окружностей впадин зубьев

,

где - коэффициент высоты ножки зуба.

11. Высота зуба

;

.

12. Толщина зуба по делительным окружностям

.

13. Радиусы основных окружностей

;

.

14. Углы профилей зубьев в точках на окружностях вершин

;

.

15. Эвольвентные функции

; .

16. Толщина зубьев по окружностям вершин

17. Коэффициент толщины зуба по окружностям вершин

;

.

18. Коэффициент перекрытия

.

19. Шаг по делительной окружности

.

20. Угловые шаги

;

.

Построим картину зацепления (рис.2.11).

1. На линии центров колес от точки Р (полюса зацепления) откладываем радиусы r_w1 = r₁ и r_w2 = r₂ начальных окружностей, так как зацепление равносмещенные, они совпадают с делительными, и строим эти окружности.

2. Строим основные окружности радиусами r_b1 и r_b2.

3. Строим эвольвенты, которые описывает точка Р прямой АВ при перекатывании ее по основным окружностям.

4. Строим окружности выступов и окружности впадин обоих колес.

5. От полюса зацепления р по делительным окружностям откладываем влево и право дуги, равные шагу зацепления. Откладываем дуги, равные толщине зубьев, находим оси симметрии зубьев и строим вторые половинки зубьев. Остальные зубья строим методом копирования.

Рис. 2.11

Определим основные параметры эвольвентного зацепления по чертежу (рис.2.11, а)

Теоретическую линию зацепления (рис. 2.11а) - отрезок АВ касательной к основным окружностям, заключенный между точками касания.

Активную линию зацепления (рис.2.11а) - отрезок ab теоретической линии зацепления, заключенный между точками пересечении ее с окружностями выступов колес.

Дугу зацепления (рис.2.11а) - проведем одноименные профили зубьев через токи a и b активной линии зацепления, точки пересечения с начальной окружностью a'b' определят дугу зацепления.

Длину k дуги зацепления определим по формуле (2.2)

Рабочие участки профилей зубьев (рис. 2.11а) - через точку а из центра О₁ проведем дугу радиуса О₁a до пересечения с профилем зуба первого колеса и через точку b из центра O₂ - дугу радиуса O₂b до пересечения с профилем зуба второго колеса. Чтобы обозначить на чертеже эти участки, проведем линии, параллельные профилям зубьев на расстоянии 1,5-2 мм и заштрихуем получившиеся полоски.

Рис. 2.11, а

Определим качественные характеристики зацепления.

Коэффициент торцевого перекрытия определяем по формуле 2.3

.

Коэффициенты относительного скольжения подсчитываем по формулам (2.4)

где =- длина теоретической линии зацепления,

передаточные отношения

;

x - расстояние от точки В касания теоретической линии зацепления с основной окружностью первого (меньшего) колеса, отсчитанное в направлении к точке А.

Значения коэффициентов и

Пользуясь полученной таблицей, строим диаграммы (рис.2.12. 2.13) для значений коэффициентов относительного скольжения в прямоугольной системе координат. Для того чтобы выделить те части диаграмм, которые дают значения и для фактически имеющихся на зубьях рабочих участков профилей, проведем через точки a и b перпендикуляры к линии зацепления, которые отсекут на диаграммах интересующие нас участки.

рис. 2.12

Определяем коэффициент удельного давления по формуле (2.5):

,

где отрезки АВ, АР и ВР (рис. 2.11а) измеряем по чертежу.

В результате всех построений получаем картину эвольвентного зацепления, представленную на рис 2.13.

Рис. 2.13

2.2 Кинематика многозвенных зубчатых передач

2.2.1 Кинематика дифференциального механизма

Число оборотов водила аналитически определяется с использованием основной формулы дифференциального механизма:

(2.6)

где: - передаточное отношение механизма в обращенном движении (при неподвижном водиле Н; n₂ - число оборотов зубчатого колеса 2, определяется из соотношения ; n₄- число оборотов зубчатого колеса 4, дано.

Число оборотов водила , передаточные отношения и графическим методом определяется путем построения планов скоростей (треугольников скоростей по методу Смирнова [4]).

Для построения планов скоростей необходимо построить кинематическую схему механизма в масштабе , определив радиусы делительных окружностей зубчатых колес . В выбранном произвольном масштабе построить треугольники распределения линейных скоростей звеньев в системе координат r0V.

Пример 9. Определить число оборотов водила Н дифференциального механизма аналитическим и графическим методами.

Дано:

Определим число оборотов водила аналитически, используя основную формулу дифференциального механизма (2.6):

где - передаточное отношение механизма в обращенном движении;

n₂ - число оборотов зубчатого колеса 2, определяем из соотношения

Выразим число оборотов водила из основной формулы дифференциального механизма:

Определим число оборотов водила графически. Построим кинематическую схему механизма в масштабе (рис. 2.14), предварительно определив радиусы делительных окружностей зубчатых колес:

; ;

; ;

; ;

.

Определим окружные скорости в зацеплениях A и D:

Выберем масштабный коэффициент плана скоростей , тогда длины векторов, изображающих соответствующие скорости, определятся:

; ;

Рис. 2.14

В произвольно выбранной системе координат rOV построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев (рис.1.14). На ось ординат проецируем неподвижные оси зубчатых колес - точки

Из точки а с ординатой r₁ отложим отрезок , из точки d с ординатой r₄ отложим отрезок . Через точки и проводим прямую, которая является линией распределения скоростей для точек звена , лежащих на оси . На эту линию проецируем точку В и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость в зацеплении В.

Соединяем точки и и проецируем на эту линию точку С, так как ее скорость зависит от скоростей звеньев и 4. Вектор изображает скорость V_C в масштабе . Отрезок является линией распределения угловых скоростей водила Н.

2.2.2 Кинематика планетарного механизма

При определении передаточного отношения планетарного механизма аналитическим методом следует иметь в виду, что общее передаточное отношение представляется в виде произведений передаточных отношений отдельных ступеней и планетарного механизма:

(2.7)

где - передаточные отношения, взятые со своими знаками, зацеплений зубчатых колес 1 и 2; Н и 5;

Передаточное отношение планетарного механизма определяется по формуле:

, (2.8)

где: - передаточное отношение механизма в обращенном движении (при неподвижном водиле Н).

Пример 10. Определить передаточное отношение планетарного механизма аналитическим и графическим методами. Исходные данные те же.

Общее передаточное отношение представим в виде произведений передаточных отношений отдельных ступеней и планетарного механизма (2.7):

,

где , - передаточные отношения зацеплений зубчатых колес 1 и 2; Н и 5;

- передаточное отношение планетарного механизма.

Передаточное отношение планетарной передачи

Определим передаточное отношение графически. Построим кинематическую схему механизма (рис. 2.15) в том же масштабе, что и дифференциальный механизм. Выберем масштабный коэффициент плана скоростей , тогда длина вектора, изображающего скорость в зацеплении А определится:

.

Рис. 2.15

В произвольно выбранной системе координат rOV построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев (рис 2.15). На ось ординат проецируем неподвижные оси зубчатых колес - точки и точку d с ординатой r₄.

Из точки а с ординатой r₁ отложим отрезок . Через конец этого отрезка и начало координат т. , проведем линию, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси r₁.

Через точки и проводим прямую, которая является линией распределения скоростей для точек звена , лежащих на оси . На эту линию проецируем точку В и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость в зацеплении В. Соединяем точки и и проецируем на эту линию точку С. Получаем вектор , изображающий скорость V_C в масштабе .

Через точки и проводим линию, проецируем на нее точку Е и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость зацепления Е. Через конец этого отрезка и начало координат т. проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 5, лежащих на оси r₅.

Передаточное отношение планетарного механизма, определенное по данным графическим построениям, определится

2.2.3 Кинематика трехступенчатой передачи

Передаточное отношение трехступенчатой зубчатой передачи определяется по формуле:

, (2.9)

где k - число внешних зацеплений.

Пример 11. Определить передаточное отношение трехступенчатой зубчатой передачи графически и аналитически. Исходные данные те же.

Определим передаточное отношение i₁₄ трехступенчатой зубчатой передачи аналитически:

Определим передаточное отношение i₁₄ графически. Построим кинематическую схему механизма в том же масштабе (рис. 2.16), что и предыдущие схемы.

Выберем масштабный коэффициент плана скоростей , тогда длина вектора, изображающего скорость в зацеплении А определится:

В произвольно выбранной системе координат rOV построим треугольники распределения линейных скоростей звеньев (рис. 2.16). На ось ординат проецируем неподвижные оси зубчатых колес - точки и точку с ординатой .

Из точки а с ординатой r₁ отложим отрезок . Через конец этого отрезка и начало координат т. проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 1, лежащих на оси r₁.

Рис. 2.16

Через точки и проводим прямую, которая является линией распределения скоростей для точек звена , лежащих на оси . На эту линию проецируем точку В и получаем вектор , изображающий в масштабе окружную скорость в зацеплении В. Соединяем точки и с и проецируем на эту линию точку D. Получим вектор , изображающий скорость V_D в масштабе . Через конец этого отрезка и начало координат т. проведем прямую, которая определит распределение скоростей для точек звена 4, лежащих на оси r₄.

Передаточное отношение трехступенчатой зубчатой передачи, определенное по данным графическим построениям, определится

Контрольные вопросы

Задачи структурного анализа рычажных механизмов с низшими кинематическими парами.

Подвижность механизма. Формула Чебышева для определения подвижности плоского механизма.

Первичный механизм и группы Ассура. Класс и порядок механизма.

Задачи кинематического анализа механизма. Кинематические характеристики и передаточные функции (аналоги скоростей и ускорений) механизма.

Кинематический анализ рычажных механизмов методом планов положений.

Кинематический анализ рычажных механизмов методом планов скоростей.

Кинематический анализ рычажных механизмов методом планов ускорений.

Дин...