Потенциальная энергия деформации при растяжении - сжатии стержня

Размещено на http://www.allbest.ru/

Потенциальная энергия деформации при растяжении - сжатии стержня



U - потенциальная энергия, запасённая пружиной (Дж),

x - удлинение (укорочение) пружины (м).

где k - жёсткость (или упругость) пружины (измеряется в Килопаскалях).

где Е - модуль упругости 1-го рода (измеряется в Мегапаскалях и Гигапаскалях).



Внешние силы, приложенные к упругому телу, совершают работу. Обозначим ее через P. В результате этой работы накапливается потенциальная энергия деформированного тела U. Кроме того, работа идет на сообщение скорости массе тела, т.е. преобразуется в кинетическую энергию К.

Баланс энергий имеет вид: P = U + К.

Если нагружение производится медленно, скорость перемещения масс тела будет весьма малой. Такой процесс нагружения называется статическим. Тело в любой момент времени находится в состоянии равновесия. В этом случае P = U, и работа внешних сил целиком преобразуется в потенциальную энергию деформации.

При разгрузке тела за счет потенциальной энергии производится работа. Таким образом, упругое тело является аккумулятором энергии. Это свойство упругих тел широко используется, например, в заводных пружинах часовых механизмах

и в различных упругих амортизирующих элементах (рессоры, пружины, торсионные валы и др.).

На рис. 1. показан растянутый стержень. Для большей наглядности последующих рассуждений удлинение стержня изображено в увеличенном масштабе и соответственно отрезку l внизу показан график изменения силы F.

Поскольку на пути l сила F не остается постоянной, работа, затраченная на растяжение стержня, должна быть определена интегрированием по элементарным участкам пути. На элементарном перемещении d(l ) работа текущей силы F равна dA = d(l ). Очевидно, работа на перемещении l численно равна площади треугольника ОВС, т.е.:

Таким образом, работа силы на упругом перемещении определяется половиной произведения наибольшего значения силы и перемещения l . Если бы между силой и перемещением не было прямой пропорциональности, вместо коэффициента 1/2 был бы получен какой-то другой коэффициент. В частности, при постоянной силе он равен единице. В дальнейшем при определении работы внешних сил коэффициент 1/2 будем ставить без пояснений. Исключая из полученного для U выражения l найдем:

Нормальная сила N, работает против силы F , и, по 3-му закону Ньютона равна ей по модулю и противоположна по направлению.

Если нормальная сила N меняется вдоль оси стержня, то потенциальная энергия деформации должна определяться суммированием по участкам dx (см. рис. 1). Для элементарного участка

а для всего участка .

Потенциальную энергию деформации, накопленной стержнем при кручении, можно определить аналогично тому, как это делали в случае растяжения.

Энергия, накопленная в этом элементе, равна работе моментов Мк, приложенных по торцам:

,

где d - взаимный угол поворота сечений. Двойка, стоящая в знаменателе, опять же является следствием того, что момент Мк меняется пропорционально d .

В полученное выражение подставляем формулу для d :

,

где произведение GJp - жёсткость стержня при кручении. Тогда:

.

Потенциальную энергию во всем стержне определяем интегрированием этого выражения по длине:

.

где G - модуль упругости при закручивании.

Перемещения в стержневой системе при произвольной нагрузке

Потенциальная энергия стержня в общем случае нагружения

Потенциальную энергию элемента можно рассматривать как сумму независимых работ каждого из шести силовых факторов, т.е., иначе говоря, как сумму энергий кручения, изгиба растяжения и сдвига:

Естественно, такое разделение работ возможно лишь при определенном выборе осей. В частности, точка приведения сил должна совпадать с центром тяжести сечения. Иначе нормальная сила N вызовет поворот сечения, и изгибающие моменты совершат работу на угловом перемещении, вызванном этой силой. Оси х и у должны быть главными. В противном случае момент Ых вызовет поворот сечения относительно оси у, и будет произведена взаимная работа на угловых перемещениях, вызванных двумя изгибающими моментами.

Выражения для первых четырех слагаемых нам уже известны:

Остаётся найти энергию сдвига dU(Qx) и dU(Qy).

Можно доказать, что:

,

где коэффициенты kz и kу представляют собой безразмерные величины, зависящие от геометрической формы сечения. Например, для прямоугольного сечения:

k = kz = kу = 6/5. Для сплошного круглого сечения k = 10/9. Для тонкостенного кругового профиля k = 2 и т. д..

Таким образом:

Для получения потенциальной энергии всего бруса, проинтегрируем это вывражение по длине бруса:

Если конструкция сложная и состоит из нескольких элементов, имеющих форму стержня, то после интегрирования в пределах каждого стержня должно быть произведено суммирование энергии по числу составляющих элементов.

В последнем выражении не всегда все слагаемые являются равноценными. Для подавляющего большинства встречающихся на практике систем, где составляющие элементы работают на изгиб или кручение, три последних слагаемых в этом выражении оказываются существенно меньшими трех первых. Иначе говоря, энергия растяжения и сдвига, как правило, существенно меньше энергии изгиба и кручения. Иногда учитывают только одно слагаемое, а остальными пятью пренебрегают ввиду их незначительности.

В основу определения перемещений стержня может быть положена теорема Кастилиано: Частная производная от потенциальной энергии системы по силе равна перемещению точки приложения силы по направлению этой силы.



Здесь i - перемещение точки приложения этой силы по направлению силы,

U - потенциальная энергия точки,

Fi - одна из внешних сил.

Следовательно, дифференцируя потенциальную энергию по одной из внешних сил (при прочих неизменных силах), находим перемещение точки приложения этой силы по направлению силы.

Пример 1

Определить при помощи теоремы Кастилиано угол поворота левого торца стержня длиной 21 см и диаметром 5 см , нагруженного моментом М = 5 кНм. Материал стержня - сталь G = 200 ГПа.

Рис. 4

Внутренняя потенциальная энергия стержня при кручении, согласно выражению

,



.

Так как Mк = М, а жесткость предполагается неизменной, то

.

Дифференцируя по M, находим , что совпадает с известным выражением для угла закручивания:

Пример 2

Определить прогиб консоли длиной 1м, нагруженной на конце силой F = 15 кН. Модуль упругости E = 200 ГПа.

Момент инерции поперечного сечения: I = 2,510-6 м4

Рис. 5.



Потенциальная энергия стержня при изгибе .

На расстоянии x от конца Mz = -F x . При постоянной жесткости EIz получаем:

.

Перемещение точки приложения силы F:

Это значение прогиба уже было получено ранее методом интегрирования упругой линии стержня.

Итак:

Пример 3

Определить вертикальное перемещение точки А для конструкции, показанной на рисунке. Жесткости стержней одинаковы и равны EА.

Решение

Если не пользоваться теоремой Кастилиано, то такую задачу решить было бы довольно трудно. Нужно было бы найти удлинения всех стержней, а затем путем геометрических преобразований установить положение узлов деформированной фермы. При помощи теоремы Кастилиано эта задача решается несравненно проще.

Сначала методом вырезания узлов находим усилия в каждом стержне и полученные значения N сводим в таблицу:

Номер стежня	Ni	li	Ui
1	F	l
2
3	F	l
4	- F	l
5
6	2F	l

Далее определяем значение потенциальной энергии для каждого стержня

и заполняем последний столбец этой таблицы.

Суммируя, находим: .

Искомое перемещение точки А равно: .

Пример 4

Определить величину потенциальной энергии деформации в шарнирно-стержневой системе (рис. 7), нагруженной в узле В вертикальной силой F = 40 кН. Стержни АВ и ВС имеют одинаковые площади поперечного сечения A = 5см2 и изготовлены из одного материала МПа.

Найти (в мм) вертикальное перемещение узла В.

Рис. 7

Решение

1. Находим усилия в стержнях АВ и ВС:

(а)

(б)

Из уравнения (б) находим:

;



из уравнения (а) находим :

.

2. Определяем потенциальную энергию системы:

Внутренняя потенциальная энергия стержня при растяжении или сжатии, согласно выражению

,

равна: .

A так как в данной конструкции 2 стержня, то:

3. Находим вертикальное перемещение узла В:

2-й способ

Представим потенциальную энергию деформации как половину произведения силы F, приложенной в узле, на вертикальное перемещение узла В l = :

Пример 5

Вычислить потенциальную энергию деформации балки на двух опорах (рис. 8), нагруженную силой F = 30 кН. Определить перемещение под силой и посредине пролета. Жесткость поперечного сечения балки принять равной EJ = 3600 кНм2.

Рис. 8

Решение

1. Вычисляем опорные реакции:

2. Вычисляем изгибающий момент на каждом участке:



3. Определяем потенциальную энергию деформации:

4. Находим прогиб под силой F на перемещении балки :

2-й способ

По формуле работы и потенциальной энергии l = :

5. Находим прогиб посредине балки при a = b = l/2. Получим:

Интеграл Мора

Определение перемещений при помощи теоремы Кастилиано, как можно было убедиться на примерах, обладает тем очевидным недостатком, что дает возможность найти перемещения только точек приложения внешних сил и только в направлении этих сил. На практике же возникает необходимость определять перемещения любых точек системы в любом направлении.

Для этого применяют искусственный приём. Если необходимо найти перемещение какой-либо точки системы, к которой приложены внешние силы, мы сами прикладываем в этой точке внешнюю силу Ф в интересующем нас направлении. Далее, составляем выражение потенциальной энергии системы с учетом силы Ф. Дифференцируя его по Ф, находим перемещение рассматриваемой точки по направлению приложенной силы Ф. Теперь остается вспомнить, что на самом деле силы Ф нет, и положить ее равной нулю. Таким образом, можно определить искомое перемещение.

Определим перемещение точки А в направлении силы Ф для стержневой системы, показанной на рис. 7.

Приложим в точке А по направлению силу Ф. Внутренние силовые факторы в каждом поперечном сечении при этом, вообще говоря, изменятся на величины, зависящие от силы Ф. Например, крутящий момент в некотором поперечном сечении будет иметь вид:

где первое слагаемое представляет собой момент, который возникает под действием заданной системы внешних сил, а второе слагаемое - дополнительный момент, который появляется в результате приложения силы Ф. Понятно, что и МкF, и МкФ являются функциями x т.е. изменяются по длине стержня. Аналогично появляются дополнительные слагаемые и у остальных внутренних силовых факторов:

, и т.д.

Очевидно, что дополнительные силовые факторы МкФ, МzФ, МyФ, ... пропорциональны Ф. Если силу Ф, например, удвоить, удвоятся соответственно и дополнительные силовые факторы. Следовательно:

Мк1, Мz1, Мy1, ... - некоторые коэффициенты пропорциональности, зависящие от положения рассматриваемого сечения, т.е. переменные по длине стержня. Если исключить систему внешних сил и заменить силу Ф единичной силой, то:

и т. д.

Следовательно, Мк1, Мz1, Мy1, N1, Qz1, Qy1 есть не что иное, как внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении под действием единичной силы, приложенной в рассматриваемой точке в заданном направлении.

Вернёмся к выражению потенциальной энергии и заменим в нём внутренние силовые факторы новыми значениями с дополнительными силами:



Дифференцируя это выражение по Ф и полагая после этого Ф = 0, находим перемещение точки А:

Эти интегралы называются интегралами Мора.

Для систем, элементы которых работают на растяжение или сжатие (например, шарнирно-стержневые системы - фермы), в формуле Мора отличен от нуля будет только слагаемое, содержащее продольные силы.

Пример 6

Найдём вертикальное перемещение узла В из примера 4:

Решение

Усилия в стержнях фермы:

;

Находим вертикальное перемещение узла В.

Пример 7

Определить горизонтальное перемещение точки А консоли, показанной на рис.8, а. Материал консоли характеризуется E = 160 ГПа, I = 210-6 м4. R = 1м. F = 1 кН

(изгиб во второй плоскости и кручение отсутствуют).

Изгибающий момент силы F на участке АВ равен нулю. На участке ВС:



В рассматриваемом стержне основную роль играют изгибные перемещения. Перемещения вследствие растяжения и сдвига так же малы по сравнению с перемещениями изгиба, как и энергия растяжения и сдвига по сравнению с энергией изгиба. Поэтому из шести интегралов Мора берем один - для изгиба -

МF = Fx,

а на участке CD: МF = F R(1 + sin).

Момент от единичной силы на участке АС равен нулю, а на участке CD:

М1 = - 1 R(1 - cos).

Знак минус поставлен в связи с тем, что единичный изгибающий момент направлен в сторону, противоположную МF .

Произведение МF М1 на участке АС оказывается равным нулю. Поэтому интегрирование ведем только на участке CD. Заменяя dx на Rd, получаем:

Знак минус указывает на то, что горизонтальное перемещение точки А направлено не по единичной силе, а против нее, т.е. влево (рис. 8, б).

Отсюда видно, что при определении перемещений для стержня, изогнутого по дуге окружности, приходится брать интегралы от простейших тригонометрических функций в различных комбинациях. В таблице даны наиболее часто встречающиеся при решении подобных задач интегралы.

Способ Верещагина

Основным недостатком определения перемещений при помощи интеграла Мора является необходимость составления аналитического выражения подынтегральных функций. Это особенно неудобно при определении перемещений в стержне, имеющем большое количество участков. Однако, если он состоит из прямых участков с постоянной в пределах каждого участка жесткостью, операцию интегрирования можно упростить. Это упрощение основано на том, что эпюры от единичных силовых факторов на прямолинейных участках оказываются линейными.

Положим, на участке длиной l нужно взять интеграл от произведения двух функций f1(x)f2(x):

,

при условии, что по крайней мере одна из этих функций - линейная.

Пусть f2(x) = b + kx.

Тогда этот интеграл принимает вид:

Первый из написанных интегралов представляет собой площадь, ограниченную кривой f1(x) (рис. 9), или, короче говоря, площадь эпюры f1(x):

.



Второй интеграл характеризует статический момент этой площади относительно оси ординат, т.е.

где xц.т. - координата центра тяжести первой эпюры.

Теперь получаем:

Но b + kxц.т.= f2(xц.т.) . Следовательно,

Таким образом, по способу Верещагина операция интегрирования заменяется перемножением площади первой эпюры на ординату второй (линейной) эпюры под центром тяжести первой.

В случае, если обе функции f1(x) и f2(x) - линейные, операция перемножения обладает свойством коммутативности. В этом случае безразлично, умножается ли площадь первой эпюры на ординату второй или площадь второй эпюры на ординату первой.

В каждый из интегралов Мора входит произведение функций МхF Мх1,

МкF Мк1, и т.д. Способ Верещагина применим к любому из шести интегралов, и перемножение эпюр проводится одинаково, независимо от того, построены эти эпюры для изгибающих и крутящих моментов и нормальных и поперечных сил. Разница заключается лишь в том, что результат перемножения делится не на жесткость EJ, как при изгибе, а на жесткость EJк, если речь идет о кручении, или на EА или GА - при растяжении и сдвиге.

На первый взгляд может показаться, что способ Верещагина не дает существенных упрощений. Для его применения необходимо вычислять площадь эпюры моментов и положение ее центра тяжести, что при сложных эпюрах все равно потребует интегрирования, как и в методе Мора. Однако встречающиеся на практике эпюры изгибающих моментов могут быть, как правило, разбиты на простейшие фигуры: прямоугольник, треугольник и параболический треугольник (рис.10), для которых площадь А и положение центра тяжести известны. При кручении, растяжении и сдвиге эпюры оказываются еще более простыми: они, как правило, линейные и состоят из прямоугольников и треугольников в различных комбинациях.

Вычисление Интеграла Мора по правилу Верещагина - Перемножение эпюр.

Рис. 11.



Здесь проиллюстрировано перемножение эпюр по Верещагину:

C -- центр тяжести первой эпюры,

А -- площадь первой эпюры,

y ц.т. -- ордината второй эпюры под центром тяжести первой.

Интеграл Мора:

Площадь и центр тяжести эпюр

Если стержень состоит из многих участков, то, при использовании метода Верещагина, берется не сразу вся площадь эпюры, а частями, в пределах участков. Эпюра изгибающих моментов расслаивается на простейшие фигуры.

Любую эпюру можно расслоить всего на три фигуры: прямоугольник, прямоугольный треугольник и параболический сегмент (см. таблицу).

Частные случаи перемножения эпюр по Верещагину.

Прямоугольник на прямоугольник



J =MF ?M1 = b?h?c

Прямоугольник на треугольник

J =MF ?M1 = b?h?1/2 ?c

Треугольник на прямоугольник



J =MF ?M1 = 1/2?b?h?c ?

Сегмент на прямоугольник

где q -- интенсивность равномерно распределенной нагрузки.

Сегмент на треугольник



Частные случаи расслоения эпюр на простые фигуры,

для возможности их перемножения по Верещагину.

Прямоугольник и треугольник

Два треугольника



Два треугольника и сегмент

Треугольник, прямоугольник и сегмент

Пример 8

Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.12, а), методом Мора.

Рассмотрим три состояния балки: первое (грузовое) - при действии заданной распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра моментов (рис.12, б). Второе состояние (единичное) - при действии сосредоточенной силы , приложенной в точке С; ему соответствует эпюра моментов (рис.12, в).



Рис. 12.

Решение

Третье состояние (также единичное) - при действии сосредоточенного момента , приложенного в точке В; ему соответствует эпюра моментов (рис.12, г). Примем начало координат на левой опоре; тогда ординаты указанных эпюр в сечении с координатой z соответственно равны:

,

,

,

Вычисляем прогиб балки в точке С:

,

Знак "+" означает, что точка С переместится в направлении действия силы .

Вычисляем угол поворота сечения В:

,

Знак "+" означает, что сечение В поворачивается в направлении действия момента то есть по часовой стрелке.

Пример 9

Определить прогиб в середине пролета и угол поворота левого опорного сечения балки, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой (рис.13, а), способом Верещагина.

Рис. 13.

Решение

Последовательность расчета способом Верещагина - такая же, как и в методе Мора, поэтому рассмотрим три состояния балки: грузовое - при действии распределенной нагрузки q; ему соответствует эпюра Mq (рис.13, б), и два единичных состояния - при действии силы приложенной в точке С (эпюра , рис.13, в), и момента , приложенного в точке В (эпюра , рис.13, г).

Прогиб балки в середине пролета:

,

Аналогичный результат был получен ранее методом Мора (см. пример 5). Следует обратить внимание на тот факт, что перемножение эпюр выполнялось для половины балки, а затем, в силу симметрии, результат удваивался. Если же площадь всей эпюры умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (L/4 на рис.13, в), то величина перемещения будет совершенно иной и неправильной так как эпюра ограничена ломаной линией. На недопустимость такого подхода уже указывалось выше.

А при вычислении угла поворота сечения в точке В можно площадь эпюры умножить на расположенную под ее центром тяжести ординату эпюры (1/2, рис.13, г), так как эпюра ограничена прямой линией:

,

Этот результат также совпадает с результатом, полученным ранее методом Мора (см. пример 7).

Пример 10

При помощи правила Верещагина определить перемещение точки А для стержня, показанного на рис. 14, a .



F = 21 кН, l = 90 см, E = 200109, I = 2,4410-6

Строим эпюру изгибающих моментов от заданных сил F (рис. 14, б). Затем, полагая внешние силы равными нулю, прикладываем в точке А единичную силу и также строим эпюру (рис. 14, a и г). Далее проводим перемножение эпюр.

На участке ВС площадь эпюры моментов заданных сил .

Ордината единичной эпюры под центром тяжести эпюры моментов заданных сил для этого участка будет .

Перемножая эти величины, находим: .

Участок BD нельзя рассматривать целиком, так как на этом участке эпюра моментов единичной силы является ломаной. Надо взять половину участка, т.е. отрезок АВ. Здесь:

.

Складывая полученные выражения для АМ1 ц.т. находим:

Для участков, расположенных справа от точки А, получим по условиям симметрии тот же результат. Поэтому удваиваем найденное выражение и находим искомое перемещение:

Пример 11

В системе, показанной на рис.15, а, определить, на какое расстояние разойдутся точки А под действием сил F.

Строим эпюры моментов от заданных сил F и от единичных сил, приложенных в точках А (Рис. 15, б, в).

Очевидно, результат перемножения на вертикальных участках будет равен нулю. Для горизонтального участка: , , следовательно



.

Суббота в 18.00

Пример 12

Определить перемещение точки А консоли, нагруженной равномерно распределенной нагрузкой q (рис. 16, а).

Строим эпюры моментов от заданных сил и от единичной силы, приложенной в точке А (рис. 16, б и в). Перемножение эпюр должно быть проведено по участкам - для правой и левой половин стержня. Но для левой половины эпюра моментов заданных сил представляет собой параболическую трапецию, площадь и положение центра тяжести которой нам неизвестны. Поэтому проводим так называемое “расслаивание эпюры”. Вместо эпюры, показанной на рис. 16, б, строим отдельно эпюры от нагрузки, расположенной справа, и отдельно от нагрузки, расположенной слева, от точки А (рис. 16, г). Теперь на левом участке взамен параболической трапеции имеем простые прямоугольник, треугольник и параболический треугольник. Для всех этих фигур площади и положение центров тяжести известны.

Произведение эпюр для правого участка равно нулю. На левом участке соответственно для прямоугольника, треугольника и параболического треугольника получаем следующие слагаемые:

откуда: .

Колебания упругих систем

Особое значение теория колебаний имеет для прикладных задач, встречающихся в инженерной практике, в частности в вопросах прочности машин и сооружений.

Известны случаи, когда конструкция, расчитанная с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушалась под действием сравнительно небольших, периодически действующих сил, в то время как такая же, но более лёгкая, и на первый взгляд менее прочная конструкция, воспринимает эти усилия совершенно безболезненно.

Основные определения

Упругие системы принято различать, прежде всего, по числу степеней свободы.

Под числом степеней свободы понимается число независимых координат, определяющих положение системы. Так, например, жёсткая масса m, связанная с пружиной, имеет одну степень свободы, поскольку её положение определяется одной координатой x, отсчитываемой от некоторой точки.

Рис. 20.

Для системы изображённой на Рис. 21. положение колеблющегося груза m, в плоскости чертежа определяется тремя независимыми переменными - двумя координатами центра тяжести и углом поворота массы относительно центра тяжести. Следовательно система имеет три степени свободы.

Далее, колебания упругих системы разделяются на собственные и вынужденные.

Под собственными колебаниями понимаются колебания совершаемые системой, освобождённой от внешнего силового воздействия и предоставленной самой себе.

Под вынужденными колебаниями понимаются колебания совершаемые системой под действием изменяющихся внешних сил, называемых возмущениями.

Промежуток между двумя одинаковыми положениями колеблющейся упругой системы называется периодом Т.

Период измеряется в секундах, милисекундах, микросекундах и т. д..

Величина обратная периоду, называется частотой колебаний:

.

Частота измеряется в герцах: .

В технике также используется так называемая круговая частота:

Круговая частота измеряется в радианах в секунду: .

Собственные колебания систем с одной степенью свободы

без затухания

Рассмотрим простейшую систему, состоящую из массы и пружины (РРис. 22).

При составлении уравнений движения в данном случае и в последующих мы будем исходить из принципа Д'Аламбера, который заключается в том, что к движущейся с ускорением системе могут быть применены соотношения статики при условии, что в число внешних сил включена фиктивная сила инерции, равная произведению массы на ускорение и направленная против ускорения. Этот, несколько формальный прием, вытекающий из элементарных соотношений динамики, дает особенно ощутимые преимущества при составлении уравнений движения для систем с несколькими степенями свободы.

Координату x (рис. 22) будем отсчитывать от положения, соответствующего ненапряженной пружине, вправо. При этом предполагается, что то же самое положительное направление имеет скорость и ускорение . Сила инерции равна произведению и направлена влево (рис. 22).

Рис. 22.

Для написания уравнения движения воспользуемся выражением для перемещений в канонической форме:

Здесь первый индекс при соответствует направлению перемещения, а второй - силе, вызвавшей это перемещение. Индексы 12 означают, что речь идёт о перемещении в направлении 1 в результате действия силы 2, а строка:

x1 = 11F1 + 12F2 + ... + 1n Fn

означает, что перемещение x1 в направлении 1 определяется суммой всех сил.

В данном случае мы имеем только одно перемещение x и силу:

Таким образом, .

Знак минус при силе взят постольку, поскольку она направлена против перемещения.

В итоге имеем дифференциальное уравнение

или

где ,

Под величиной 11 в данном случае понимается перемещение массы m под действием статически приложенной единичной силы. Таким образом, 11 определяется жесткостью пружины. Согласно выражению, составленному для осадки витой пружины,

.



Уравнение представляет собой дифференциальное уравнение простых гармонических колебаний.

Решая его, получим: ,

где С1 и С2 -- произвольные постоянные, зависящие от начальных условий движения, т. е. от положения массы и ее скорости в момент t = 0.

Выражение для x может быть написано также в форме

.

где произвольными постоянными являются амплитуда А и фаза , также определяемые из начальных условий.

График изменения x во времени представлен на рис. 23.

Рис. 23.

Период колебаний Т легко определяется из того условия, что при увеличении времени t на величину Т аргумент, стоящий под знаком синуса, изменится на 2.

; Частота: ;

.

Величина представляет собой круговую частоту

и равна числу колебаний за 2 секунд.

Пример 1

Как изменятся колебания рассмотренной выше системы, если движение массы происходит в вертикальной плоскости, как это показано на рис. 24 ?

Рис. 24.

В этом случае в рассмотрение следует ввести силу веса mg. Тогда уравнение движения будет следующим:

.

или .

Таким образом, получилось уравнение с правой частью. Его решение:



Учитывая обозначение для круговой частоты, получим:

Величина 11mg представляет собой удлинение пружины под действием веса груза. Следовательно, колебания происходят около положения статического

равновесия системы. Амплитуда и фаза колебаний определяются по-прежнему начальными условиями. Частота остается неизменной.

Полученный результат является общим. Сила веса не изменяет характера колебаний. Происходит лишь смещение равновесного положения системы. В дальнейшем поэтому силу веса в рассматриваемых системах принимать во внимание не будем.

Пример 2

Определить частоту собственных колебаний сосредоточенной массы, расположенной в угловой точке плоской рамы (рис. 25) Жесткость составляющих элементов рамы EJ. Массой рамы по сравнению с массой груза можно пренебречь.

Рис. 25.



Масса имеет возможность перемещаться только в горизонтальном направлении, а поскольку она рассматривается как сосредоточенная, можно считать, что система имеет одну степень свободы.

Определяем единичное перемещение 11 . Для этого прикладываем в горизонтальном направлении к массе единичную силу (рис.25) и строим эпюру изгибающих моментов.

Перемножая эту эпюру самое на себя, находим:

Тогда согласно выражению имеем: .

Пример 3

Определить частоту собственных колебаний шарнирно опертой массы, связанной с упругой балкой, имеющей жесткость EJ (рис. 26. а).

Положение колеблющейся массы определяется одним параметром - углом поворота Система, следовательно, имеет одну степень свободы.

Рассматриваем систему в отклоненном положении, прикладывая к массе в соответствии с принципом Д'Аламбера момент Jm где Jm - момент инерции массы относительно оси шарнира. Из обобщенных канонических уравнений

получаем:

откуда:

и

где 11 - угол поворота, который получает масса, когда к ней приложен единичный момент. В данном случае при определении 11 возникает осложнение в связи с тем, что система является статически неопределимой. Поэтому необходимо, прежде всего раскрыть статическую неопределимость и построить для балки эпюру изгибающих моментов в случае приложения к массе момента М (рис 27, а).

Рис. 27.

Делается это обычным методом, изложенным в гл. VI. На рис. 27, б) показана уже окончательно построенная суммарная эпюра изгибающего момента.

Для того чтобы найти величину 11 , можно эту эпюру перемножить саму на себя, положив М = 1.

Более простые выкладки получаются, если суммарную эпюру множить не саму на себя, а на эпюру единичного момента, приложенного к основной системе

(рис 27, в). Такое упрощение вытекает из правила определения перемещений в статически неопределимых системах (см § 48) Понятно, что величина 11 , найденная тем и другим способом, будет одной и той же

Таким образом, искомая частота:

Собственные колебания систем с линейным затуханием

В рассмотренных выше примерах предполагалось, что собственные колебания системы происходят без рассеяния энергии, т. е. при отсутствии сил сопротивления. В этом предположении собственные колебания продолжаются неопределенно долго. В действительности, однако, всегда существуют внешние силы, направленные против движения масс и приводящие к постепенному уменьшению амплитуды собственных колебаний. По истечении некоторого времени собственные колебания полностью прекращаются.

Рис. 28.



Природа сил сопротивления бывает различной. Это может быть сопротивление среды (воздух вода), сопротивление масляного слоя в подшипниках, внутреннее трение в частицах металла и пр. Сила трения довольно сложно и зачастую неопределенно зависит от параметров движения упругой системы. Характер этой зависимости можно установить только приближенно. Для большей простоты принимают обычно, что сила сопротивления пропорциональна первой степени скорости движения.

Например, для рассмотренной выше системы «масса - пружина» (рис. 28) при составлении уравнения движения в число внешних сил включается сила сопротивления где а - коэффициент пропорциональности между силой и скоростью.

Возвращаясь к уравнениям , получаем:

,

или же

где .

Решение уравнения может быть написано в виде

, где .

Из выражения видно, что при линейном затухании колебания происходят с уменьшающейся амплитудой (рис. 29) при частоте 1. Величина 1, мало отличается от , т. е. от частоты собственных колебаний без затухания, поскольку величина n2 практически ничтожна по сравнению с 2.

Через интервал времени , амплитуда колебаний уменьшается в отношении

.

Как видим, в рассматриваемом случае отношение двух последующих амплитуд остается величиной постоянной, не зависящей от времени. Это верно, однако, постольку, поскольку сила сопротивления пропорциональна скорости движения массы. Между тем в подавляющем большинстве колебательных систем, с которыми приходится иметь дело на практике, не обнаруживается этой пропорциональности. Силы сопротивления оказываются, как правило, в более сложной зависимости от скорости и перемещений масс. Это приводит к серьезным затруднениям в математическом анализе колебательных процессов.

С тем, чтобы использовать для решения необходимых задач простой аппарат линейных уравнений во многих случаях затухание, как говорят, линеаризуют, т. е. несмотря на то, что силы сопротивления в какой-то мере не пропорциональны скорости, пользуются при анализе уравнением . Величина коэффициента п определяется при этом из эксперимента на основе оценки рассеянной при колебании энергии.

В момент максимального отклонения массы от положения равновесия система с одной степенью свободы обладает потенциальной энергией:

,

или ,

где А1 -- амплитуда колебаний.

Кинетическая энергия в момент максимального отклонения равна нулю.

Через промежуток времени Т: .

Разность между этими величинами представляет собой энергию, потерянную за цикл колебаний. Относительное рассеяние энергии будет:

.

Если А2 мало отличается от А1, т. е.

,



то .

Но при малом линейном затухании отношение двух последующих амплитуд

равно enT. Поэтому, если для какой-то системы при эксперименте найдена разность соседних амплитуд А, то на основе равенства энергий, рассеянных за цикл, можно сказать, что

.

Отсюда определяется величина коэффициента п для соответствующего линейного затухания, эквивалентного в смысле рассеяния энергии заданному.

Понятно, что указанная линеаризация затухания справедлива в определенном интервале амплитуд и при не слишком резком отклонении наблюдаемых зависимостей от приближенных линейных. В большинстве встречающихся на практике задач указанная приближенная оценка затухания может применяться с достаточным успехом.

Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы. Резонанс.

Рассмотрим случай, когда на систему, имеющую одну степень свободы (рис. 30), действует сила, изменяющаяся по гармоническому закону

F(t) = F0 sint,

где F0 - максимальное значение силы, а - круговая частота ее изменения.



При составлении уравнения движения массы необходимо ввести в рассмотрение не только силу инерции и силу сопротивления x, но также и внешнюю силу F(t), т. е. возмущающую силу. Согласно первому из уравнений системы

,

или

Обозначения для п и остаются прежними:

Таким образом, получено дифференциальное уравнение с правой частью. Полное решение этого уравнения складывается из решения однородного уравнения без правой части и частного решения уравнения с правой частью. Что касается однородного уравнения



,

то оно было рассмотрено выше. Его решение дает закон движения при собственных колебаниях с затуханием: ,

где .

Остается найти частное решение уравнения

.

Примем ,

где С1, и С2, - неопределенные постоянные.

Подставляя эту функцию в уравнение

,

подбираем постоянные С1 и С2, так, чтобы уравнение удовлетворялось тождественно. Тогда оказывается, что

После подстановки С1 и С2 выражение для функции x* перепишем в следующем виде:



.

Введем обозначение:

.

Поскольку сумма квадратов коэффициентов, стоящих перед sint и cost, равна единице, имеем право принять, что

,

Тогда

Так как то есть , получаем окончательно:

Таким образом, полное решение уравнения имеет вид



.

Мы видим, что в рассматриваемом случае система участвует одновременно в двух колебательных движениях. Первое представляет собой собственное колебательное движение, амплитуда и фаза которого определяются начальными условиями. Эти колебания являются затухающими и по истечении некоторого времени практически исчезают. Второе колебательное движение происходит с частотой возмущающей силы и сдвигом фазы. Оно не затухает, а продолжается, пока действует возмущающая сила. Эти колебания носят название вынужденных. Амплитуда вынужденных колебаний согласно выражению

будет: .

Произведение F011 представляет собой то перемещение, которое получила бы масса т, если бы к ней статически была приложена сила F0.



Следовательно, коэффициент:

показывает, во сколько раз амплитуда вынужденных колебаний больше статического перемещения, вызванного максимальным значением возмущающей силы.

Во столько же раз большими по сравнению со статическими будут и напряжения, возникающие в упругом элементе (пружине, балке и пр.).

Коэффициент зависит от двух величин: от отношения частот и параметра затухания п.

На рис. 31 показаны кривые зависимости от для нескольких значений п.

При п = 0, т. е. при отсутствии затухания, величина в случае совпадения частот собственных и вынужденных колебаний обращается в бесконечность.

Это означает, что при таких условиях амплитуда вынужденных колебаний неограниченно возрастает. При наличии затухания (при п 0) величина остается ограниченной, но в зоне совпадения частот имеет максимальное значение.

Явление повышения амплитуды при совпадении частот собственных колебаний и возмущающей силы носит название резонанса, а само совпадение частот называется условием резонанса.

В практике инженерных расчетов на динамическую прочность вопросы резонанса по своей значимости занимают одно из первых мест.

Дело в том, что в большинстве случаев законы изменения возмущающих сил носят периодический характер. Так, например, несбалансированные подвижные части работающего двигателя создают периодически изменяющиеся силы. Поезд, идущий по пути с постоянной скоростью, получает периодические толчки на стыках рельсов. Детали приборов, установленных на вибрирующем основании (на самолете, автомашине), получают в процессе работы толчки с частотой колеблющегося основания. Подобных примеров можно привести очень много. Во всех этих случаях возникает вопрос о том, насколько опасны возмущающие силы для работы упругой системы и не приведут ли они к ее чрезмерной раскачке и преждевременному разрушению.

Такая задача решается, прежде всего, путем сопоставления частот собственных колебаний и возмущающей силы. В случае, если эти частоты сильно отличаются друг от друга, можно быть уверенным в том, что явление резонанса не возникает и условия работы для упругих элементов являются благоприятными. При этом представляется возможным подсчитать без труда и амплитуду вынужденных колебаний, не зная наперед величину коэффициента затухания п. Как это видно из рис. 31, кривые заметно отличаются друг от друга лишь в зоне резонанса. Уже в случае, когда частота больше или меньше частоты в полтора-два раза, можно считать, что приведенные кривые практически совпадают и коэффициент затухания п значения не имеет. Его можно просто принять равным нулю, что идет в запас прочности.

Тогда выражение дает: .

Если коэффициент найден, легко определяются напряжения в упругих элементах колебательной системы , где под СТ понимается то напряжение, которое возникло бы в системе при статическом приложении максимального значения возмущающей силы. По напряжению , если это представляется необходимым, может быть проведен расчет наиболее напряженных элементов на усталостную прочность.

В случае, когда сопоставление частот и указывает на опасность резонанса, обычно путем конструктивных изменений добиваются, смотря по обстоятельствам, изменения той или иной частоты. При этом наиболее целесообразным будет

изменение частот в сторону увеличения отношения с тем, чтобы добиться (судя по

рис. 31) наиболее заметного снижения коэффициента . Проще всего этого достичь

смягчением подвески, т. е. уменьшением жесткости упругих элементов колебательной системы.

Если конструктор в силу обстоятельств лишен возможности варьировать частотами, то при возникновении опасности резонанса практикуется демпфирование системы, т. е. установка специальных устройств, повышающих рассеяние энергии при колебаниях. Коэффициент затухания п при этом возрастает и амплитуда в зоне резонанса при неизменном отношении частот снижается (см. рис. 31).

При приложении возмущающих сил амплитуда вынужденных колебаний, определяемая формулой:

достигает своего значения не сразу.

Требуется некоторое более или менее продолжительное время, чтобы «раскачать» систему. В связи с этим кратковременное состояние резонанса для сооружений не представляет, как правило, опасности, поскольку амплитуда в течение короткого промежутка времени не успевает достичь больших значений.

Пример 4

На двух балках (рис. 32) установлен двигатель, в котором имеется несбалансированная вращающаяся масса m0 (m0g = 40 кГ). Радиус дисбаланса

r = 0,1 мм . Число оборотов массы п = 3000 об/мин. Вес двигателя 200 кГ. Длина балок l =1,5 м. В качестве профиля выбран швеллер № 12 (см таблицу в приложениях). Для сечения каждой балки Jx =346,3 см4.

Требуется произвести проверку конструкции на резонанс.

Решение

Круговая частота возмущающей силы равна угловой скорости вращения

массы m0.Тогда

.

Определяем частоту собственных колебаний системы, пренебрегая массой балок.



.

Сначала находим 11, перемножая единичную эпюру (рис. 32) саму на себя:

.

Далее, подсчитываем :

Как видим, частоты практически совпадают, т.е. в системе должно возникать резонансное состояние. Наиболее простым выходом из создавшегося положения является замена профиля другим номером по стандарту, т.е. изменение жесткости балок EJ. Удобнее при этом облегчить подвеску и взять меньший номер профиля

Возьмем, например, швеллер № 8 (Jx = 101,3 см4).

Тогда для круговой частоты собственных колебаний получаем:

Эта частота уже сильно отличается от частоты возмущающей силы .

Поэтому имеется возможность, пренебрегая затуханием, подсчитать коэффициент по формуле:



,

Взяв знак с таким расчетом, чтобы было положительным, получаем:

Определяем, далее, максимальное значение возмущающей силы:

Напряжение, возникающее в балках под действием этой силы, при условии статического приложения будет:

где 22,4 -- момент сопротивления одного швеллера № 8.

Напряжение при вынужденных колебаниях будет равно:

.

Эти переменные напряжения накладываются на постоянные напряжения от собственного веса двигателя mg= 200 кГ:



Таким образом, при расчете балки на усталостную прочность следует считать, что цикл напряжений имеет номинальные характеристики:

.

неправильно определили по таблице момент сопротивлени швеллера № 8: Wx=22,4 см3 и Jx = 89,4 см4

Пример 5

Для замера вибраций, возникающих на борту беспилотного летательного аппарата, используется датчик, представляющий собой массу, установленную на вибрирующем основании при помощи пружины (рис. 33). Масса связана с контактом, скользящим по потенциометру. Сигналы с потенциометра преобразуются в радиосигнал и воспринимаются наземной телеметрической станцией. Требуется определить, каким образом надо подбирать параметры датчика с тем, чтобы замеряемые колебания передавались с наименьшими искажениями по амплитуде.

Рис. 33.

Будем считать, что основание колеблется по гармоническому закону с амплитудой А0, и частотой : .

Пренебрегая сопротивлением, можем написать, как обычно:



.

где - перемещение массы, - 0 - изменение высоты пружины.

Таким образом, после подстановки 0 и получаем дифференциальное уравнение:

.

Частное решение этого уравнения, соответствующее вынужденным колебаниям массы, будет:

.

Поскольку потенциометр связан с вибрирующим основанием, датчик будет выдавать сигналы, пропорциональные разности величин 0 - *, т. е.

.

Теперь видно, что для того, чтобы передаваемый закон изменения 0 - *, был бы возможно ближе к закону изменения собственных колебаний основания

,



необходимо, чтобы коэффициент был бы возможно меньшим по абсолютной величине. Это будет тогда, когда частота собственных колебаний массы будет малой по сравнению с частотой основания Q, что нетрудно обеспечить при проектировании датчика.

Пример 6

Определить резонансные состояния для случая изменения возмущающей силы по закону, показанному на рис. 34.

Рис. 34.

Раскладываем периодическую функцию возмущающей силы

в тригонометрический ряд:

Постоянные а0, а1, а2, ... в соответствии с правилами разложения в ряд Фурье получают следующие значения:

В итоге получаем



.

Теперь необходимо найти частное решение уравнения:

.

Оно будет следующим:

.

Под действием внешней периодической возмущающей силы возникает, как видим, сложное колебательное движение, состоящее из ряда наложенных друг на друга гармонических колебаний Амплитуда каждой составляющей гармоники зависит от периода возмущаюшей силы Т. Резонансные условия возникают при ряде последовательных значений Т:

Колебания систем с несколькими степенями свободы

До сих пор мы рассматривали системы, имеющие только одну степень свободы, и на примерах убедились в том, что основной характеристикой колебательной системы является частота ее собственных колебаний. В зависимости от частоты собственных колебаний определяется степень опасности возникновения резонанса и величина напряжений при вынужденных колебаниях. Теперь рассмотрим способы определения частот собственных колебаний при нескольких степенях свободы.

В качестве простейшего примера возьмем систему, показанную на рис. 35.

Если пренебречь массой балки и рассматривать грузы как сосредоточенные, то система будет иметь, очевидно, две степени свободы.

Кроме того, для простоты, что т1 = т2= т.

Обозначим через 1 перемещение первой массы, а через 2 - перемещение второй. Из уравнений

Вторник 3.12.2019 в 19.00

получаем:

Вместо одного дифференциального уравнения мы имеем уже систему двух уравнений относительно переменных 1 и 2. Поскольку при приложении силы к первой массе вторая получает некоторое перемещение, уравнения оказываются взаимосвязанными (12 0).



Рис. 36.

Решение уравнений



будем искать в виде .

После подстановки этих функций в уравнения

получаем систему однородных уравнений относительно А1 и А2 :

Эта система дает ненулевое решение только в том случае, если ее определитель равен нулю:

или, поскольку 12 = 21 :



.

Из этого уравнения определяются два значения для частоты собственных колебаний

.

В рассматриваемом примере величины 11 , 22 и 12 , определяются путем перемножения единичных эпюр (рис. 35):

...