Потенциальная энергия деформации при растяжении - сжатии стержня

По условию т1 - т2= т. Тогда получаем:



Если определитель системы уравнений равен нулю, то это значит, что по крайней мере одно из уравнений является линейной комбинацией остальных. В данном случае, после того как частота приняла одно из указанных значений, определитель обратился в нуль, и одно из уравнений может рассматриваться как следствие другого. Поэтому мы имеем фактически уже не два, а только одно уравнение, из которого может быть определена связь между величинами А1 и А2 .

Взяв, например, первое уравнение и подставив в него вместо 2 величину 12 при т1 - т2= т получим:

Если же подставить 22, то

Таким образом, функции принимают следующие выражения:

при = 1: ,

при = 2 :

Следовательно, для системы с двумя степенями свободы существуют две формы колебаний. При колебаниях с низшей частотой колебания масс т1 и т2 происходят в фазе (рис. 36, а), поскольку амплитуды имеют один знак. При второй форме колебаний (частота 2) амплитуды будут разного знака. Колебания происходят в противофазе. Форма колебаний показана на рис. 36, б.

Теперь издвух найденных функций может быть составлено полное решение системы



,

.

где постоянные А, В, 1 и 2 определяются из начальных условий, т. е. находятся по заданным скоростям и положениям первой и второй масс в заданный момент времени.

Итак, система с двумя степенями свободы обладает двумя собственными частотами. Если система имеет три степени свободы, она будет иметь соответственно три собственные частоты. Для их определения нужно решать уже не квадратное, а кубическое уравнение.

При добавлении каждой степени свободы задача, таким образом, будет усложняться.

Определить частоты собственных колебаний сосредоточенной массы m подвешенной на Г-образной раме рис. 37. Жесткость элементов рамы на изгиб EJ, а на кручение -- GJр.

Система обладает тремя степенями свободы.

Уравнения движения будут следующими:



Перемножая единичные эпюры (рис. 37)» находим:

Так как 12 = 23 = 0, третье уравнение оказывается не зависящим от двух первых:

Частоты 1 и 2 определяются по формуле:

подстановкой 11, 12, 22 и т1 = т1 = т :

Третья частота:



Пример 8

Определить частоту собственных крутильных колебаний вала с тремя маховиками, момент инерции каждого из которых J (рис 512).

Рис. 38.

Система имеет три степени свободы, но колебательных степеней всего две, поскольку одна из координат определяет положение системы как жесткого целого.

Рис. 39.

Обозначим углы поворота маховиков через 1, 2 и 3. Соответственно будем иметь инерционные моменты J1, J2, J3, причем очевидно,

.

Далее, составляем уравнения:

где коэффициенты 11, 12 и 22 определяются путем перемножения эпюр (рис. 38).

.

Решение уравнений ищем в виде:

После подстановки этих функций в наши уравнения, получаем:

Приравниваем нулю определитель системы



Законы изменения угловых перемещений соответственно двум формам колебаний вала показаны на рис 39. стержневой колебание затухание вал

откуда после подстановки 11, 12 и 22 находим:

Пример 9

Определить частоты собственных колебаний кузова автомобиля (рис. 40), рассматривая только вертикальные и угловые перемещения массы в плоскости чертежа.

Рис. 40.

Масса кузова т, его момент инерции относительно центральной поперечной оси J.

Характеристики рессор линейные:

где с1, и с2, -- заданные коэффициенты жесткости рессор. Положение центра тяжести задано на чертеже.

Система имеет две степени свободы. Вертикальное перемещение центра тяжести обозначим через , а угол поворота кузова -- через .

Уравнения движения будут:

.

Для определения коэффициентов 11, 12 и 22, находим усилия, возникающие в рессорах под действием единичных силовых факторов (рис. 40). Далее, определяя перемещения и углы поворота кузова под действием этих силовых факторов, получаем:

Частоты определяются по формуле



,

в которой величина т1, должна быть заменена на т, а т2 -- на J.

Аналог массы при вращательном движении это момент инерции J.

Продольные колебания однородного стержня

Выше было установлено, что исследование колебаний системы, обладающей п степенями свободы, сводится к решению п совместных дифференциальных уравнений. При п = , т. е. для системы с распределенными массами, имеет место качественный переход в указанной закономерности и возникает необходимость решать только одно уравнение, но в частных производных.

В качестве простейшей системы с распределенными массами рассмотрим однородный призматический стержень, в котором возбуждены продольные колебания (рис. 41).

Рис. 41.

Пусть массовая плотность материала стержня будет . Тогда масса элемента стержня длиной dx равна:



Если обозначить через осевое перемещение в текущем сечении, то, рассматривая условия равновесия элемента dx, легко получить:

.

С другой стороны, удлинение элемента:

. ,

Исключив из двух полученных уравнений N, находим:

,

Таким образом, получено уравнение, в котором искомая величина является функцией двух независимых переменных: x и t. Решение ищем в виде:

,

где X -- функция только одного независимого переменного x. После подстановки в уравнение получаем: , откуда

.

Постоянные А и В должны быть определены из граничных условий для стержня. Например, если стержень на конце свободен, то на конце стержня N = 0 и согласно выражению .

Если конец стержня закреплен неподвижно, то = X = 0.

Рис. 42.

Пусть стержень будет закреплен неподвижно левым концом, а правый будет свободен (рис. 42). Тогда при x = 0 функция X = 0, а при x = l ее производная:



.

Следовательно, имеем:

.

Из последнего выражения следует, что либо А = 0, либо же

.

В первом случае получаем для нулевое решение, не представляющее интереса.

Во втором же случае

,

где п - любое целое число. Отсюда определяется ряд последовательных значений частот собственных продольных колебаний стержня:

.

Таким образом, стержень обладает бесконечным множеством частот собственных колебаний.

Соответственно этим частотам возможно возникновение резонансных состояний. Низшая частота или, как говорят, частота основного тона будет:

.

После подстановки в выражение можно определить формы колебаний, соответствующие различным значениям п.

.

Формы колебаний показаны на рис. 42. Возникновение той или иной формы колебаний определяется начальными условиями возбуждения собственных колебаний.

Поперечные колебания балки

Рассмотрим поперечные колебания балки постоянного сечения A (рис. 43).

Участок балки длиной dx имеет массу

,

где -- плотность материала.

Обозначая через у поперечное перемещение, находим инерционную силу, приходящуюся на единицу длины балки,

.



Рис. 43.

Знак минус принят в связи с тем, что нагрузка q направлена в сторону,

противоположную прогибу.

В теории сопротивления материалов доказывается,

что , где q - распределённая сила (н/м).

Таким образом, получаем уравнение поперечных колебаний балки

.

Как и в случае продольных колебаний, решение ищем в виде .

После подстановки находим:

,



где .

Решение уравнения будет следующим:

Постоянные А, В, С, D должны быть определены из граничных условий.

Положим, что балка закреплена по концам шарнирно, как это показано на рис.43. Тогда на каждой опоре прогиб у и изгибающий момент EJ обращаются в нуль. Следовательно, имеем граничные условия:

Из первых двух условий вытекает, что B = D = 0. Из двух других -- имеем:

Приравниваем нулю определитель этой системы: или

Но так как гиперболический синус обращается в нуль только при al=0, то остается:

,

или согласно обозначению получаем: .

Как видим, и в случае изгибных колебаний образуется бесконечная последовательность частот, но в отличие от продольных колебаний здесь частоты пропорциональны не первой, а второй степени чисел натурального ряда

Форма упругой линии балки при поперечных колебаниях определяется выражением

Поскольку B = C = D = 0, a , получаем: .

При колебаниях в основном тоне балка изгибается по одной полуволне синусоиды. При п = 2 будет две полуволны, при п = 3 - три, и т. д. (рис. 43). Соответственно этим частотам при наличии периодически изменяющихся внешних сил возможно возникновение резонансных состояний.

При собственных колебаниях амплитуды различных форм определяются начальными условиями, т. е. зависят от способа возбуждения. Если возбуждение колебаний производится ударом по балке, то мы слышим звуковые колебания различного тембра в зависимости от того, в каком сечении балки произведен удар. Так, если удар произведен посередине, наибольшую амплитуду будет иметь основная форма колебаний и те формы, которые имеют нечетное число полуволн.

Если произвести удар ближе к одной из опор, значительную роль приобретут формы с четным числом полуволн и звуковая окраска (тембр) колебаний будет другим.

Пример 10

Определить основную частоту собственных колебаний однородной консольной балки (рис. 44).

Рис. 44.

Для функции имеем следующие граничные условия: .

На левом конце балки (при x = 0) изгибающий момент и поперечная сила равны нулю.

Следовательно: .

Таким образом, получили 4 уравнения:

Приравниваенм нулю определитель системы:



откуда .

Наименьший корень этого трансцендентного уравнения будет: .

Учитывая выражение , находим частоту основного тона:

Для определения высших частот необходимо определить соответствующие им корни уравнения .

Приближенные способы определения частот

собственных колебаний упругих систем

Практика расчетов упругих систем на колебания показывает, что в подавляющем большинстве случаев те упрощения, которые делались в рассмотренных выше задачах, являются неприемлемыми. Так, большей частью собственная масса упругих связей (балок, валов) оказывается соизмеримой с присоединенными массами. Последние же в свою очередь редко удается рассматривать как сосредоточенные. Обычно в расчетной практике приходится иметь дело с балками или валами переменной жесткости при неравномерном распределении масс. В этих условиях определение частот собственных колебаний изложенными выше методами оказывается громоздким и более предпочтительным является приближенное решение. Ниже мы рассмотрим наиболее распространенный из существующих приближенных методов ? метод Рэлея.

Положим, имеется некоторая колебательная система, состоящая, например, из упругой связи (балки) и нескольких присоединенных к ней масс (рис. 45). В число этих масс может быть включена частями и масса самой балки.

Рассмотрим форму колебаний основного тона и примем, что колебания всех масс синфазны. Закон движения для i-ой массы напишем в следующем виде:

где yi - смещение i-й массы, Аi - амплитуда колебания, - частота колебания,

- начальная фаза.

Скорость i-ой массы будет:

В момент прохождения всеми массами положения равновесия величина yi обращается в нуль, а скорость yi достигает максимального значения. Соответственно наибольшего значения достигает и кинетическая энергия системы:

Упругая потенциальная энергия системы равна при этом нулю.

В момент максимального отклонения масс от положения равновесия кинетическая энергия обращается в нуль, но зато максимального значения достигает потенциальная энергия изогнутой балки. Обозначим эту энергию через U.

Из условия сохранения энергий можно написать:



или

Для того чтобы подсчитать по этой формуле частоту, необходимо знать форму упругой линии балки. Но упругая линия может быть определена только на основе решения дифференциального уравнения, т. е. на основе точных методов, приводящих к громоздким выкладкам. Казалось бы, что энергетический подход к определению частоты собственных колебании не дает преимуществ.

Однако, как и при определении критических сил, здесь имеется возможность определять частоту не для точной упругой линии балки, а для некоторой, к ней приближающейся. При этом частота, подсчитанная по формуле

оказывается мало отличающейся от своего точного значения.

Рис. 45. Рис. 46.



Пример 11

Методом Релея определить низшую частоту собственных продольных колебаний системы, состоящей из стержня и присоединенной к нему массы т (рис. 46) Масса стержня ? т0, длина ??l, жесткость на растяжение ??EА.

Примем, что перемещение x для различных сечений стержня представляет собой линейную функцию z (рис. 46),

,

и подсчитаем в этом предположении частоту по формуле

Для растянутого стержня потенциальная энергия

Относительное удлинение равно

.

.



Далее, определяем . Эта сумма должна быть вычислена как для стержня, так и для присоединенной массы:

Величина , стоящая под знаком интеграла, представляет собой массу элемента стержня длиной dz, а ?? перемещение этого элемента.

По формуле находим:

.

Если масса стержня мала, то .

В некоторых случаях величина в предпоследнем выражении трактуется как приведенная масса, а 1/3 -- как коэффициент приведения, показывающий, какую часть массы упругой системы следует присоединить к основной колеблющейся массе, чтобы учесть инерционность упругого элемента, в данном случае стержня.

Величина коэффициента приведения зависит от особенностей системы и в небольшой мере от принятого закона распределения перемещений в упругом элементе.

Рис. 47. Рис. 48.

Пример 12

Определить коэффициент приведения для консоли с массой, установленной на конце (рис. 47, а).

Упругую линию балки при колебаниях приближенно примем той же, что и при статическом нагружении силой на конце (рис. 47, б). В этом случае

Введя неопределённую постоянную получим:

Вычисляем, далее:



.

Таким образом, коэффициент приведения равен 33/140.

В 17.00 2.02.20

Пример 13

Методом Рэлея определить низшую частоту собственных колебаний балки переменной жесткости (рис. 48) с тремя присоединенными массами. Собственной массой балки можно пренебречь.

Примем, что упругая линия балки при колебаниях может быть представлена функцией

,

Потенциальная энергия изогнутой балки:

После интегрирования

.



Далее:

По формуле получаем:

.

В ряде случаев за упругую линию балки принимают ту, которая получается в результате приложения к системе некоторых статических сил Pi = mig.

Тогда потенциальная энергия U может быть представлена как сумма работ этих сил на соответствующих перемещениях А , т. е.

.

Формула принимает в этом случае вид .

где под А, понимается прогиб в i-ой точке, вызванный системой сил Pi .

На основании выражения может быть предложен метод последовательных приближений для определения частот собственных колебаний.

Рассмотрим следующий пример.

Пример 14

Определить частоту собственных колебаний ступенчатого вала с двумя массивными дисками весом 1300 и 2000 кГ (рис. 49). Материал вала - сталь.

Для того чтобы воспользоваться выражением , необходимо определить форму упругой линии вала. В первом приближении возьмем ту упругую линию.

Рис. 49.

которую имеет вал при статическом нагружении его двумя заданными силами и собственным весом. Поскольку жесткость вала многократно меняется по его длине, определение упругой линии аналитическими методами, описанными ранее, представляет значительные трудности. В таких случаях прибегают обычно к

графическому методу или к методу численного интегрирования.

Последний в настоящее время является более употребительным. Воспользуемся им.

Прежде всего, выбираем шаг интегрирования по длине вала x = 10 см, разбивая вал по длине на 30 участков. Собственный вес вала представляем в виде сосредоточенных сил, приложенных в этих сечениях, включая в каждую силу вес вала длиной 5 см справа и слева от сечения. Удельный вес материала принимаем равным 7,810-3 кГ/см3. Кроме того, для каждого сечения подсчитаем величину

.

Результаты подсчетов сводим в таблицу 11.

Далее, в каждом сечении определяется величина изгибающего момента Мi , как сумма моментов всех сил, лежащих по одну сторону от сечения. При этом, понятно, должны быть найдены реакции опор. В данном случае реакция левой опоры равна 2226,9 кГ, а правой -- 2076,1 кГ. После несложных подсчетов заполняется четвертый и пятый столбцы таблицы 11.

Угол наклона упругой линии определяем путем первого интегрирования, т. е. суммированием величин

Величина отличается от истинного угла тем, что в нем не учтены еще условия закрепления бруса.



После того как найдены значения . определяем перемещения у*, также без учета граничных условий

.

Результаты подсчетов сводим в соответствующие столбцы таблицы11. После двукратного интегрирования мы должны получить две произвольные постоянные С1 и С2

.

Эти постоянные должны быть подобраны так, чтобы при x = 0 и x = l перемещение у обращалось бы в нуль. Первое условие соблюдается при С2 = 0, а второе ? при

,



Таким образом: ,

откуда определяются значения у и вносятся в последний столбец таблицы 11.

Далее, суммируем произведения и . В результате находим:

Тогда согласно выражению

.

Это искомое значение частоты получено в первом приближении. Чтобы уточнить результат, учтем, что в процессе колебания вал нагружается не силами веса mig, а инерционными силами ? miy.

Поскольку для i-ой точки , то .

Тогда максимальное значение инерционной силы в i-ой точке будет: .

Используем значения yi и 2 первого приближения и изменим значения сил

в отношении , т. е. будем считать, что вал загружен силами

,



где ? значения сил, а уi ? перемещения, взятые из таблицы 11. Далее, полностью повторяя выкладки, составляем таблицу 12. Производя суммирование, находим:

После того как найдено новое значение , можно сделать следующее приближение. Для этого надо пересчитать значения сил, полагая

где ( yi - и 2 берутся уже по результатам второго, а не первого приближения.

В рассматриваемом примере, однако, надобности в последующих приближениях нет, так как полученные значения мало отличаются одно от другого. При этом разница в значениях оказывается заметно меньшей не только погрешностей численного интегрирования, но также и тех ошибок, которые вносятся при выборе расчетной схемы. Например, предположение, что опоры являются абсолютно жесткими, в реальных случаях уже содержит в себе ошибку большую, чем та, которую мы получаем за счет погрешностей метода вычислений .

Критическое число оборотов вала

Быстровращающиеся детали машин не могут быть идеально сбалансированы и в практических случаях всегда возникают инерционные силы дисбаланса, уводящие вращающуюся деталь (вал, ротор) от оси вращения. При этом, как показывает опыт, при определенных угловых скоростях вращения, называемых критическими, имеют место наибольшие прогибы системы и наиболее сильная ее раскачка.

При дальнейшем увеличении числа оборотов раскачка уменьшается.

Этому явлению можно дать довольно простое объяснение, рассматривая упругую систему как колебательную, а силы дисбаланса ? как возмущающие силы.

Положим, имеется вал, на котором насажен диск, имеющий эксцентриситет е (рис. 50).

Угловая скорость вращения вала ??.

Проекции силы m2e на оси х и у будут: .

Таким образом, в вертикальной и горизонтальной плоскостях на вал действуют возмущающие силы с частотой , равной угловой скорости вращения вала. В том случае, когда частота возмущающей силы равна частоте собственных поперечных колебаний вала, наступает состояние резонанса. Таким образом, критическая угловая скорость

кр = .

Поэтому, когда ведется расчет вала или ротора на критическое число оборотов, определяется круговая частота поперечных колебаний, которая как раз и равна критической угловой скорости. Так, например, в последнем числовом примере, рассмотренном в предыдущем параграфе, для вала

.

Параметрический резонанс и автоколебания

При решении многих технических задач часто приходится сталкиваться с так называемыми параметрическими колебаниями и явлением параметрического резонанса.

Сопоставим две простейшие колебательные системы, показанные на рис. 51.



Масса т покоится на пружине, имеющей жесткость с:

и связана с невесомым горизонтальным стержнем. К массе приложена внешняя возмущающая сила, изменяющаяся по периодическому закону:

В первом случае сила Р имеет вертикальное, а во втором ? горизонтальное направление. Вводя инерционные силы т, составляем уравнения движения в случаях а) и б) (рис. 51):

где 11 представляет собой величину, обратную с: .

Преобразовывая оба уравнения, находим:

где, как обычно: .

Первое уравнение является обычным уравнением вынужденных колебаний. Система, представленная на рис.51.а, не содержит в себе особенностей, отличающих ее от аналогичных систем, рассмотренных ранее.

Второе уравнение существенно отличается от цервого. В нем, прежде всего, нет правой части, и в этом смысле оно может рассматриваться как уравнение собственных колебаний, но с переменным коэффициентом жесткости. Основываясь на виде уравнения, можно сказать, что воздействие силы на систему является не прямым, а косвенным. Внешнее воздействие сводится к периодическому изменению параметров уравнения. Отсюда и происходит название «параметрические колебания». Полученное уравнение является простейшим уравнением параметрических колебаний, а механическая система, показанная на рис. 51.б, является колебательной системой с параметрическим возбуждением.

Для такой системы характерно, что внешние силы совершают работу не на прямых, а на вторичных, меньших по порядку перемещениях, как это видно из рис. 51.б. Существенно, что внешняя сила в отличие от случая обычных вынужденных колебаний, не способна сама по себе вызвать отклонение системы из равновесного положения. Здесь необходимо некоторое внешнее воздействие, которое сообщило бы системе хотя бы малое отклонение, после чего уже может сказаться роль внешних периодически изменяющихся факторов (в данном случае силы Р).

При параметрических колебаниях, как и при обычных, возможно резкое возрастание амплитуды, которое при отсутствии затухания становится неограниченным. Возможен так называемый параметрический резонанс. Из простых физических соображений нетрудно установить, когда он наиболее всего вероятен.

Положим, что по какой-то причине, например от случайного внешнего толчка, система,показанная на рис 51.б, пришла в колебательное движение Чтобы горизонтальная сила Р производила наибольшую работу, нужно,очевидно, чтобы сила Р возрастала при отклонении массы в одну сторону и снова возрастала при отклонении массы в другую сторону, т е. надо, чтобы сила Р за полный период движения массы успела пройти два периода колебаний

Таким образом, получается, что частота изменения силы Р при параметрическом резонансе должна быть вдвое больше частоты собственных колебаний.

Вместе с тем раскачка системы возможна и в том случае, когда внешняя сила будет достигать максимума не в такт каждому отклонению, а через один, два, три такта. Следовательно, в параметрических колебаниях существует не одно резонансное состояние, а целый ряд состояний Более детальное исследование вопроса показывает, что резонансное состояние наступает не только при точном выполнении указанных соотношений частот Существуют целые области резонансных состояний. Ширина этих областей зависит от амплитуды параметрического воздействия (в рассматриваемом примере от величины Р0). Наиболее существенным является резонанс при отношении частот близком к 2. При других резонансных состояниях передача энергии в систему будет существенно меньшей и при наличии рассеивания раскачка будет либо слабой, либо вовсе незаметной.

Рассмотренная система с параметрическим возбуждением не является единственной в своем роде. Можно указать на целый ряд простых и сложных систем, в которых возможно возникновение параметрического резонанса. На рис. 52 показано три таких примера.

В обычном маятнике (рис. 52.а) наступает первый параметрический резонанс при изменении длины нити с частотой, равной удвоенной частоте поперечных колебаний.

Стержень, нагруженный пульсирующей силой (рис. 52.б), входит в параметрический резонанс также при частоте , равной удвоенной частоте поперечных

колебаний . При этом последняя должна определяться для стержня с учетом постоянной сжимающей силы P1. Условие возникновения параметрического резонанса в случае сжатого стержня часто называют условием динамической устойчивости стержня.

В третьем примере (рис. 52.в) цилиндрический сосуд находится под действием пульсирующего давления, меняющегося по закону

Здесь необходимо знать частоту изгибных колебаний оболочки при наличии давления p1. Низшая зона резонанса наступает при значении , близком к 2.

Рис 52.

Колебания в механической системе могут возникать не только под действием внешних периодических возмущающих сил, но и под влиянием постоянно действующих факторов, не обладающих свойством периодичности. Колебания, возникающие в этих условиях, носят название автоколебаний.

Рис 53. Рис 54.



В качестве простейшего примера, иллюстрирующего явление автоколебаний, может быть рассмотрено колебательное движение скрипичной струны, которая в отличие от струн других музыкальных инструментов возбуждается не ударом, а равномерным движением смычка.

Между смычком и струной при игре возникает сила трения. Коэффициент трения зависит от скорости движения смычка относительно струны. При скорости, равной нулю, трение (трение покоя) будет наибольшим и уменьшается с увеличением относительной скорости. На рис. 53 показана примерная зависимость коэффициента трения f от относительной скорости .

Положим, смычок движется по струне. Сила трения увлекает струну за смычком до тех пор, пока это допускают силы натяжения струны. В некоторый момент (в гочке А рис. 54) начинается скольжение струны по смычку. Но это связано с уменьшением силы трения. Струна начинает двигаться влево, а смычок продолжает перемещаться вправо. Относительная скорость увеличивается, а сила трения уменьшается. Струна проходит по инерции через исходное положение равновесия, скорость ее падает, доходит до нуля, и струна снова начинает двигаться вправо.

В какой то момент скорости струны и смычка выравниваются. Сила трения снова увлекает струну до точки срыва А, и процесс повторяется. Если бы характеристика трения (рис. 53) не была бы падающей, автоколебания в струне не возникали бы Для получения необходимой характеристики трения смычок перед игрой натирают канифолью.

Как видим, в рассмотренном примере система является «внутренне» колебательной. Внешнее воздействие является непериодическим. Энергия, необходимая для поддержания колебаний, черпается от руки скрипача через смычок.

Автоколебания имеют большое значение для многих практических задач и ставят в ряде случаев серьезные проблемы перед конструкторами при создании новых машин. Примером таких сравнительно сложных задач, связанных с автоколебаниями, является, в частности, флаттер, представляющий собой изгибно- крутильные автоколебания крыла самолета в аэродинамическом потоке. В качестве другой весьма ответственной задачи может быть названа проблема автоколебаний управляемых колес автомобиля на большой скорости движения.

Ударное нагружение упругих систем

Под ударом понимается, вообще говоря, всякое внезапное изменение скорости тела, сопровождающееся быстрым изменением сил.

Задача о расчете конструкций на ударную нагрузку содержит в себе много трудностей, которые далеко не всегда могут быть преодолены простейшими средствами. Сюда относится в первую очередь анализ напряженного состояния в зоне контакта соударяющихся тел и процесса изменения контактных сил во времени. Большие сложности вызывает необходимость учета при резких ударах дополнительных степеней свободы упругого тела, влиянием которых при других видах нагружения можно было бы пренебречь. Существенную роль в процессе удара играет трудно поддающийся анализу фактор рассеяния энергии.

Ниже мы ограничимся простейшими приемами расчета, которые не дают высокой точности, но в то же время позволяют правильно оценить порядок перемещений, напряжений и деформаций при ударе.

Рассмотрим, как воспринимается ударная нагрузка в системе с одной степенью свободы (рис. 55).

Масса т движется в горизонтальном направлении со скоростью 0 и останавливается упругим элементом, изображенным на рис. 55 в виде пружины. Массу пружины будем считать пренебрежимо малой по сравнению с массой груза.

После того как груз коснулся пружины, скорость его начнет уменьшаться. Когда вся кинетическая энергия груза перейдет в потенциальную энергию сжатой пружины, груз остановится, а сила, сжимающая пружину, достигнет максимума. Далее начнется движение в обратном направлении Сила взаимодействия между пружиной и грузом будет уменьшаться. Когда пружина полностью рас-

прямится, груз при отсутствии сил трения получит прежнюю скорость у0, но в обратном направлении.

Процесс совместного движения груза и пружины может быть описан при помощи уже знакомого нам уравнения гармонических колебаний

где -- частота собственных колебаний груза, присоединенного к пружине,

.

За начало отсчета времени t примем момент соприкосновения груза с пружиной.

Рис 55. Рис 56.

Тогда получим следующие начальные условия:

при t = 0, = 0, и = 0.

Это дает возможность определить постоянные С1 и С2:



, .

Закон изменения перемещения груза в зависимости от времени показан на рис. 56. Максимальное смещение .

Оно имеет место по истечении времени после момента соприкосновения груза с пружиной.

Наибольшая величина силы, сжимающей пружину, так называемая динамическая нагрузка, равна .

Величина силы Pmax может быть определена также и из условия энергетического баланса. Приравнивая кинетическую энергию движущегося груза потенциальной энергии сжатой пружины, получим:

Рис 57.



что совпадает с выражением:

.

Энергетический подход является более предпочтительным в тех случаях, когда нужно получить только максимальные значения динамических сил и динамических прогибов и не ставится задача определения законов движения масс. В практических расчетах это как раз и имеет место.

Рассмотрим теперь случай вертикального движения ударяющего груза (рис. 57).

При составлении энергетического баланса здесь необходимо учесть изменение потенциальной энергии груза на динамическом прогибе fд , который получает пружина:

,

где К0 - кинетическая энергия груза в момент соприкосновения с пружиной,

П - изменение потенциальной энергии груза на перемещении fд , a

U - упругая энергия сжатой пружины.

Очевидно, что



.

Тогда .

Произведение представляет собой прогиб fст, который получила бы пружина под действием статически приложенной силы, равной весу падающего груза. Поэтому:

,

откуда: .

Величина, стоящая в квадратных скобках, называется коэффициентом динамичности.

Обозначим его через :

,

тогда: .

Коэффициент динамичности показывает, во сколько раз прогиб при ударе больше прогиба, возникающего при статическом приложении нагрузки. В том же отношении изменяются и внутренние силы и напряжения



Величина зависит в первую очередь от жесткости системы и от кинетической энергии падающего груза. В частности, если груз опускается на упругую систему мгновенно, но без начальной скорости, кинетическая энергия К0 = 0, и тогда = 2. В этом случае максимальный прогиб вдвое превышает тот, который возникал бы при статическом нагружении. Соответственно вдвое большими оказываются и напряжения.

Все сказанное до сих пор относилось к случаю, когда груз непосредственно ударяется об упругий элемент, имеющий весьма малую массу. Обычно, однако, между ударяющим грузом и упругой системой существует промежуточная деталь (буфер), имеющая массу т (рис. 58).

Рис. 58.

При анализе механизма удара в этих условиях следует различать два вида деформаций: местные деформации грузов, возникающие в зоне контакта, и общие деформации пружины.

Местные деформации подчиняются сложным законам и не могут быть определены средствами сопротивления материалов. Что же касается общих деформаций пружины, то их легко можно определить на основе энергетических соотношений, считая, что соударение груза с массой буфера является неупругим и что обе массы после удара движутся с общей скоростью V1.

Тогда из условия сохранения количества движения можно написать:



или .

Последующий процесс сжатия пружины протекает так же, как и в рассмотренных выше случаях. Разница заключается только в том, что теперь вместо массы т по пружине ударяет масса т + т1, со скоростью V1, вместо V0 .

Соответствующая кинетическая энергия будет:

,

где К0 - по-прежнему кинетическая энергия ударяющего груза.

Следовательно, при наличии промежуточной массы буфера и, можно пользоваться выведенными выше формулами, вводя указанную поправку в величину кинетической энергии.

Формула принимает в этом случае вид:

.

В величину т1 можно включить и массу пружины тП, приведенную к точке удара (см. примеры 11 и 12). Тогда в формулу для вместо т1, следует подставлять величину т1+ kт0, где k - коэффициент приведения массы пружины.

Надо, однако, иметь в виду, что такой способ учета массы упругого звена может дать уточнение только в части определения перемещений, но не напряжений.

Пример 15

Клеть весом Р = 2т опускается вниз со скоростью V0 = 1м/сек. Требуется произвести поверочный расчет на прочность в аварийном случае внезапного заедания троса. Длина троса l в момент заедания предполагается равной 10 м.

Приведенный модуль упругости *) троса E = 0,7106кГ/см2, A =4 см2.

Допускаемая нагрузка на трос 12 т.

В рассматриваемом случае пользоваться формулой

для определения коэффициента динамичности нельзя, поскольку к моменту удара трос имеет статическую нагрузку, равную весу клети. При остановке кинетическая энергия клети и потенциальная энергия перемещения клети на пути fД - fст переходят в добавочную потенциальную энергию троса, равную .

Таким образом, получаем уравнение энергетического баланса в виде:

.

Но так как Р11 = fст, то .

*) Модуль упругости для троса при растяжении вследствие распрямления закрученных прядей существенно ниже модуля упругости материала нитей.

и тогда: .

В данном случае, очевидно, что

.

и тогда коэффициент динамичности принимает вид:

.

Следовательно: ,

и трос, условию прочности, в этом расчетном случае удовлетворяет.

Маховик, имеющий момент инерции Jт, вращается с числом оборотов п. Электромотор установлен на раме, состоящей из двух балок (рис. 59).

Рис. 59.



Момент инерции статора электромотора и оснований подшипников относительно оси маховика - Jт1. Требуется определить динамический момент, действующий на раму при внезапной остановке маховика.

Приравниваем кинетическую энергию маховика потенциальной энергии изгиба рамы. При этом вводим поправку на неупругий удар о присоединенную массу

или .

Величину 11 находим, перемножая единичную эпюру (рис. 59) саму на себя:

.

где J -- суммарный момент поперечных сечений балок. Таким образом, в итоге:

.

 

Тело	Ось вращения	Момент инерции
Полый тонкостенный цилиндр радиуса R	Ось симметрии	mR2
Сплошной цилиндр радиуса R	Ось симметрии
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его середину
Прямой тонкий стержень длиной l	Ось перпендикулярна стержню и проходит через его конец
Шар радиусом R	Ось проходит через центр шара

Размещено на Allbest.ru

...