Гидравлические сопротивления

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Гидравлические сопротивления

1. ВИДЫ ГИДРАВЛИЧЕСКИХ СОПРОТИВЛЕНИЙ

Как уже отмечалось ранее в гл. 3, вязкость жидкости является основной причиной возникновения сопротивления движению и тем самым вызывает потерю части механической энергии, являющейся потерянной энергией.

Гидравлическими сопротивлениями можно называть силы вязкостного трения, возникающие в реальной жидкости при ее движении [6]. Сопротивления обусловливаются вязкостными силами трения и способностью самой жидкости сопротивляться изменению и восстановлению формы потока. В случае Движения идеальной жидкости силы трения отсутствуют, поэтому гидравлические сопротивления равны нулю.

Имеются два вида сопротивлений: сопротивления по длине и сопротивления местные.

Сопротивления, возникающие по длине потока жидкости, - сопротивления по длине. Для преодоления сил гидравлического трения, вектор которых направлен в обратную сторону движения потока жидкости, необходимо затратить механическую энергию. Потери механической энергии обусловлены работой сил трения. Работа сил трения по длине потока характеризуется касательными напряжениями, которые на участке длиной распределяются равномерно или достаточно равномерно. Потери напора (удельной механической энергии) по длине потока, затрачиваемые на преодоление сопротивления трения при равномерном или плавно изменяющемся неравномерном движении, называют потерями напора по длине и обозначают через .

Местными сопротивлениями называются участки потока жидкости, в которых происходит достаточно резкая деформация и средняя скорость изменяется по значению и направлению. Например, деформация связана с изменением сечения потока конечных размеров, переменой направления движения жидкости в трубопроводе. В результате деформации на местном участке имеет место достаточно резко изменяющееся неравномерное движение жидкости с вихреобразованием. Если длина участка сопротивления является весьма малой по сравнению с длиной потока, то потери напора по длине .

Потери напора, возникающие на отдельных коротких участках потока и связанные с его деформацией, называются местными потерями, обозначаются через .

Полные гидравлические потери напора при движении жидкости в трубопроводе с участками, где происходит деформация потока, можно выразить как

, (4.1)

где - потери напора по длине; - сумма местных потерь напора.

Величина механической энергии на преодоление сопротивления движению потока жидкости, связанная с работой сил трения, безвозвратно теряется потоком, переходя в тепло, которое рассеивается со временем.

На потерю напора влияет характер движения потока жидкости. Например, характер течения воды в равнинной и горной реках существенно различается, а траектории движения частиц жидкости в них кардинально различны.

2. РЕЖИМЫ ДВИЖЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Характер (вид) движения жидкости изучался в 1840 - 1880 гг. в Германии Г. Хагеном и в России Д. Менделеевым. Состояние движения потока может иметь струйчатый или беспорядочный характер. Когда струйчатость нарушается, частички жидкости движутся по весьма сложным траекториям. При струйчатом течении траектория движения частички жидкости ориентирована параллельно стенкам потока конечных размеров.

Весьма обширные и обстоятельные исследования по течению жидкости в трубе были проведены в 1883 г. английским ученым О. Рейнольдсом. Лабораторная установка (рис. 4.1), на которой проводились эксперименты, состояла из бака 1, стеклянной горизонтальной трубы 2 диаметром , частично находящейся в баке. В начале трубы имелся мундштук 3 (патрубок) с плавным переходом с большого входного отверстия на отверстие трубы. На конце трубы за пределами бака находился кран 4, с помощью которого можно было регулировать расход воды и среднюю скорость в стеклянной трубе .

Рис. 4.1. Схема стенда Рейнольдса:

1 - бак; 2 - стеклянная труба; 3 - мундштук; 4 - кран;

5 - резервуар с раствором; 6 - трубочка; 7 - краник

Над баком был установлен небольшой резервуар 5, заполняемый раствором анилиновой краски. К резервуару была присоединена тонкая трубочка 6, конец которой входил в мундштук по оси трубы. Для регулирования пуска раствора краски через трубочку в стеклянную трубу имелся краник 7. Раствор анилиновой краски имел практически одинаковую плотность с водой, находящейся в баке.

Опыты заключались в том, что, открывая кран на трубе, устанавливались определенные расход и скорость . Одновременно пускался из резервуара 5 раствор краски, который выходил из трубочки 6 в трубу 2.

При достаточно малой скорости в трубе струйка раствора образовывала внутри потока воды устойчивую несмешивающуюся окрашенную тонкую струйку. Данный опыт демонстрировал существование струйчатого характера движения жидкости. Несколько увеличивая среднюю скорость, наблюдалось такое же движение окрашенной струйки.

Движение жидкости, которому соответствует устойчивый струйчатый характер, является ламинарным движением. Название движения произошло от латинского слова lamina - слой. Ламинарный режим соответствует относительно малым скоростям и слоистому движению жидкости. Частички жидкости не перемешиваются друг с другом, и линии тока параллельны оси движения потока.

Ламинарным называется движение жидкости, при котором ее частицы совершают упорядоченное движение и траектории частиц мало отличаются друг от друга, так что жидкость рассматривается как совокупность отдельных слоев, движущихся с разными скоростями, не перемешиваясь друг с другом.

Ламинарное движение может быть как установившимся, так и неустановившимся.

Открывая кран больше, увеличивая тем самым скорость, струйка приобретает некоторый волнистый характер, и местами струйка может иметь разрывы. Следовательно, в этот промежуток времени будет происходить нарушение струйчатого движения воды, чему соответствует некоторая средняя скорость . Скорость получила название нижней критической скорости. При скорости будет иметь место нарушение струйчатого течения, и поток в трубе будет находиться в неустойчивом состоянии. Такой режим движения является неустойчивым.

При дальнейшем увеличении скорости потока в трубе струйка раствора исчезает. Частички этой струйки начинают перемешиваться с потоком воды. Частички раствора движутся в разном произвольном направлении, и при этом не наблюдается определенной закономерности их движения. Они имеют различные перемещения по пути движения. В результате перемешивания частиц вся масса воды, движущейся в трубе, становится несколько окрашенной. Такое движение можно считать беспорядочным. Переход движения потока в такое состояние происходит, когда скорость достигнет некоторой величины . Эта скорость называется верхней критической скоростью.

Движение, при котором наблюдается беспорядочный характер движения частичек жидкости по весьма сложным траекториям, является турбулентным движением, от латинского слова turbulentus - вихревой, беспорядочный.

Турбулентным называется движение жидкости, при котором ее частицы совершают неустановившиеся и неупорядоченные движения по достаточно сложным траекториям, в результате этого происходит интенсивное перемешивание различных слоев жидкости (рис. 4.2).

Рис. 4.2. Движение жидкости в трубе:

а - ламинарное; б - неустойчивое (неупорядоченное); в - турбулентное

Турбулентное движение является неустановившимся движением.

Турбулентный режим наблюдается при больших скоростях, когда средняя скорость , при этом происходит интенсивное перемешивание частиц в потоке жидкости.

Таким образом, ламинарное движение в трубе имеет место, когда , турбулентное - .

В пределах , движение является неустойчивым ламинарным движением.

Малейшее возмущение потока приводит к переходу неустойчивого ламинарного режима в турбулентный. Возмущение может произойти в результате некоторого сотрясения трубы в виде толчка, наличия в потоке тела, находящегося в состоянии колебания, и т.д.

О. Рейнольдc на основании результатов опытов и использования размерностей физических величин установил, что величина критической скорости прямо пропорциональна динамической вязкости и обратно пропорциональна плотности жидкости и диаметру трубы :

где - кинематическая вязкость, ; - безразмерный эмпирический коэффициент, соответствующий .

Этот коэффициент получил название число Рейнольдса.

Нижней критической скорости соответствует критическое число , а верхней критической скорости - число .

Число Рейнольдса характеризует режим движения потока в трубе, движущегося со скоростью :

. (4.3)

Опыты, проведенные Рейнольдсом, подтвердили аналитические рассуждения, что ламинарный режим имеет место при , турбулентный режим, если .

На основании опытов Рейнольдса и многочисленных исследований других ученых для круглых труб критическое число Рейнольдса лежит в пределах . Для практических инженерных расчетов было принято значение . Ламинарный режим устанавливается, когда , т.е. , и числу соответствует критическая скорость . Ламинарный режим на практике наблюдается при движении по трубам вязких жидкостей: минеральных масел, глицериновых смесей, мазута.

Как было установлено опытами, вполне развитое турбулентное движение имеет место при . Это значение можно принять за , при котором средняя скорость будет соответствовать верхней критической скорости (). При будет неустойчивый (неупорядоченный) режим движения, т.е. переходная неустойчивая критическая область течения жидкости.

Число Рейнольдса, являясь безразмерной величиной, одинаково для всех жидкостей и газов, а также диаметров трубопроводов. Однако для разных жидкостей и газов будут иметь место соответствующие критические скорости. В случае одинаковых диаметров труб и разных жидкостей критические скорости пропорциональны кинематическим вязкостям

. (4.4)

Таким образом, при определении режима движения жидкости в трубопроводе необходимо знать его диаметр, вязкость жидкости и среднюю скорость. Вычислив число Рейнольдса, сравнивают его с критическими значениями и .

Экспериментами, проведенными Рейнольдсом, а также многочисленными данными, полученными разными учеными, было установлено, что гидравлические потери напора по длине трубы зависят от средней скорости , т.е. от режима движения. Опытным путем была определена зависимость . Опыты заключались в следующем. На трубе диаметром в сечениях 1-1 и 2-2 размещались пьезометры на участке длиной (рис. 4.3). Устанавливая в трубе разные расходы, находилась средняя скорость и измерялись показания пьезометров в сечениях , .

Разность показаний пьезометров - потери напора по длине

. (4.5)

На основании опытных данных был построен график (рис. 4.4), на котором нанесены значения критических скоростей и . На графике можно отметить следующие зоны. В зоне а при средней скорости (ламинарный режим) потери напора в трубе прямо пропорциональны скорости :

. (4.6)

Рис. 4.3. Определение потерь напора по длине трубы

Рис. 4.4. Зависимость потерь напора по длине от скорости

В зоне в, где (турбулентный режим движения), потери напора выражаются параболической функцией

, (4.7)

где - некоторый размерный коэффициент; - показатель степени.

В зоне в показатель степени с увеличением скорости изменялся от 1,75 до 2.

Между ламинарной и турбулентной зонами находится зона б неустойчивого движения, где . В этой области струйчатое движение нарушается, как и неустойчиво гидравлическое сопротивление.

За интервал времени может наблюдаться как упорядоченное (струйчатое) движение, так и беспорядочное, т.е. в этой области жидкость находится в промежуточном неустойчивом состоянии. В этой зоне не удалось получить функциональную зависимость .

Для турбулентного движения при больших скоростях и числах Рейнольдса показатель степени . Это область квадратичного сопротивления:

. (4.8)

Коэффициент В учитывает размеры трубы и ее внутреннюю шероховатость поверхности, вид жидкости, ее плотность и вязкость.

При показателе степени в пределах движение жидкости будет происходить в области доквадратичного сопротивления.

¦ Пример 4.1

Определить критическую скорость, отвечающую переходу от ламинарного режима движения к турбулентному, для трубопровода диаметром мм при движении в нем воды, минерального масла и воздуха при их температуре 20°.

По таблице П 1.3 приложения находим кинематическую вязкость веществ:

вода - м²/с;

минеральное масло - м²/с;

воздух - м²/с

Считаем, что переход от ламинарного режима движения к турбулентному происходит при .

, .

Для воды м/с.

Для масла м/с.

Для воздуха м/с.

3. ОСНОВНОЕ УРАВНЕНИЕ УСТАНОВИВШЕГОСЯ РАВНОМЕРНОГО ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

Рассмотрим равномерное установившееся движение потока конечных размеров, произвольной формы, наклоненного под углом к горизонту. При равномерном движении средние скорости , живые сечения по длине потока постоянны.

Выделим в потоке участок между сечениями 1-1 и 2-2 длиной (рис. 4.5).

Рис. 4.5. К выводу уравнения равномерного движения

Ось С-С, относительно которой будем рассматривать внешние силы, действующие на объем жидкости между выбранными сечениями, проходит по оси потока. При равномерном движении потока скорости в сечениях по длине постоянны, . Написав уравнение Бернулли для сечений 1-1 и 2-2 относительно плоскости сравнения 0-0, получим, что потери напора по длине на участке длиной

.

Определим все внешние силы, действующие на участок потока между сечениями 1-1 и 2-2.

1. Сила тяжести участка

, (4.10)

где - удельный вес жидкости; - площадь живого сечения.

Сила тяжести G приложена в центре тяжести участка и направлена вертикально вниз.

Проекция силы тяжести на ось С-С

, (4.11)

где - угол наклона оси С-С к горизонту.

Из рис. 4.5 видно, что разность

. (4.12)

Тогда

. (4.13)

2. Силы давления.

При равномерном плавно изменяющемся движении гидростатическое давление в разных точках плоского живого сечения постоянно. Силы давления и в сечениях 1-1 и 2-2 нормальны к этим сечениям. Сила направлена в сторону движения потока, сила - в обратную сторону:

; (4.14)

где , - давления в центре тяжести живых сечений 1-1 и 2-2.

3. Силы сопротивления движению.

Сила сопротивления - сила трения, возникающая при движении вязкой жидкости. Сила сопротивления , приложенная вдоль боковой поверхности стенок участка, направлена в сторону, противоположную движению потока, и называется силой внешнего трения. Кроме силы внешнего трения, возникающей на стенке, существуют силы внутреннего трения Т. При рассмотрении движения струек жидкости между ними возникают силы трения. Для струйки, движущейся с большой скоростью, сила трения направлена в обратную сторону ее движения, а для другой струйки с меньшей скоростью сила трения будет направлена в сторону движения. Эти силы парные и равны друг другу. В связи с этим сумму сил внутреннего трения во всех струйках потока жидкости можно считать .

На стенке участка возникают касательные напряжения в результате трения между стенками русла (потока конечных размеров) и жидкостью.

Значение силы сопротивления

, (4.15)

где - длина контура живого сечения, соприкасающегося со стенкой потока конечных размеров, - смоченный периметр; - площадь боковой поверхности участка жидкости.

Так как движение жидкости равномерное, то ускорение выделенной массы участка равно нулю. Можно считать что все внешние силы, приложенные к участку потока жидкости между сечениями 1-1 и 2-2, находятся в равновесии.

Сумма проекций всех внешних сил на ось С-С равна нулю, т.е.

. (4.16)

Подставим в (4.16) выражения (4.13), (4.14) и (4.15), тогда уравнение равновесия приобретает следующий вид:

. (4.17)

Разделим выражение (4.17) на , получим

. (4.18)

или

. (4.19)

Подставив полученное выражение (4.19) в (4.9), получим зависимость потерь напора

. (4.20)

Введем в формулу (4.20) гидравлический радиус . Тогда уравнение потерь напора по длине (4.20) примет вид

(4.21)

Разделив уравнение (4.21) на длину участка , будем иметь

. (4.22)

Отношение - гидравлический уклон.

Уравнение (4.22) представим в следующем виде:

. (4.23)

Полученное уравнение (4.23) называется основным уравнением установившегося равномерного движения. Это уравнение можно применить как для ламинарного, так и для турбулентного движения. Потери напора по длине при равномерном движении потока жидкости конечных размеров любой формы

. (4.24)

4. ПОТЕРИ НАПОРА ПО ДЛИНЕ ПРИ РАВНОМЕРНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

При равномерном установившемся движении жидкости в трубе средняя скорость и распределение скоростей по длине остаются неизменными. Следовательно, при определении потерь напора по длине можно использовать основное уравнение равномерного движения как при ламинарном, так и турбулентном движении в круглой трубе, выразив касательное напряжение на стенке формулой .

Для круглой трубы диаметром гидравлический радиус (, площадь живого сечения , смоченный периметр ). Так как гидравлический уклон , то касательные напряжения на внутренней поверхности трубы при движении вязкой жидкости будут равны

(4.25)

Опытами было установлено, что сила сопротивления при обтекании твердого тела вязкой жидкостью при установившемся движении зависит от определенных параметров и эти сопротивления можно представить в виде следующей функциональной зависимости:

, (4.26)

где V - скорость набегающего потока жидкости; - плотность жидкости; - кинематическая вязкость; - характерный линейный размер тела; - наибольшее сечение тела, которое перпендикулярно вектору скорости набегающего потока.

На основании анализов опытов и использования теории размерностей сила сопротивления может быть представлена следующей формулой:

, (4.27)

где b - некоторый безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом сопротивления; - площадь тела.

Полагаем, что касательные напряжения, возникающие на поверхности тела, равны

. (4.28)

Тогда

. (4.29)

Воспользуемся полученной зависимостью для нахождения выражения по определению потерь напора по длине круглой трубы. Считаем, что касательные напряжения на поверхности трубы можно выразить зависимостью (4.29), V - средняя скорость в трубе.

Напишем равенство, используя формулы (4.25) и (4.29):

. (4.30)

Потери напора по длине определим из равенства

. (4.31)

Умножив и разделив на 2 выражение (4.31), получим

. (4.32)

Обозначим , - безразмерный коэффициент, который получил название коэффициента гидравлического трения.

Окончательная форма потерь напора по длине имеет следующий вид:

. (4.33)

Формулу (4.33) принято называть формулой Вейсбаха-Дарси.

Учитывая уравнение равномерного движения в виде (4.24), коэффициент гидравлического трения можно выразить в виде

, (4-34)

где - динамическое давление.

Коэффициент пропорционален отношению касательных напряжений на стенке трубы к динамическому давлению, создаваемому потоком жидкости. В общем случае коэффициент гидравлического трения зависит от режима движения (ламинарного или турбулентного). На касательные напряжения на стенке трубы влияет шероховатость ее поверхности.

В случае безнапорного движения жидкости в различных руслах (каналы, канализационные и дренажные трубы) формула Вейсбаха-Дарси (4.33) не может быть применена. Для безнапорного установившегося равномерного турбулентного движения жидкости гидравлические потери по длине потока вычисляются по формуле Шези.

Для вывода формулы Шези используем зависимости (4.23) и (4.29) для. Напишем равенство

. (4.35)

Средняя скорость в русле из (4.35)

. (4.36)

Или, учитывая, что ,

(4.37)

В полученной зависимости обозначаем . Коэффициент С получил название коэффициента Шези.

Средняя скорость при равномерном движении жидкости в русле

. (4.38)

Расход в русле площадью живого сечения составляет

. (4.39)

Зависимости (4.38) и (4.39) называют формулами Шези.

Формулы Шези могут служить для определения средней скорости в случае установившегося равномерного движения жидкости не только в безнапорных руслах, но и в трубах.

Следует учитывать, что формула применима только в случае квадратичной области сопротивления. Значения коэффициента С определяются по эмпирическим формулам, полученным в результате опытов с открытыми руслами и трубами.

Для удобства использования формул Шези вводят следующие обозначения:

- модуль скорости, м/с;

- модуль расхода, м/с. (4.40)

С учетом выражений модулей скорости и расхода формулы Шези принимают вид:

;

. (4.41)

Гидравлические потери напора по длине трубы получим из формулы Шези, где :

; (4.42)

. (4.43)

Удобно формулу потерь напора по длине для квадратичной области сопротивлений выразить через расход:

; (4.44)

. (4.45)

Параметр А получил название «удельное сопротивление».

Формула (4.44) называется трубопроводной формулой.

Трубопроводную формулу можно получить, применив формулу Вейсбаха-Дарси (4.33), выразив скорость через расход, - :

, (4-46)

где

.

Используя зависимости (4.44), (4.45) и (4.46), можно определить связь коэффициента Шези С и коэффициента гидравлического трения , приняв полное наполнение жидкостью трубы , :

; ,

откуда

. (4.47)

5. ЛАМИНАРНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В КРУГЛЫХ ТРУБАХ

гидравлический сопротивление жидкость

Ламинарное движение является упорядоченным слоистым течением без перемешивания частиц жидкости в потоке. При этом векторы скорости частиц будут параллельны оси потока, а поперечные скорости, перпендикулярные оси движения, отсутствуют. Так как движение имеет слоистый характер, то между слоями, которые движутся относительно друг друга, будут возникать силы внутреннего (вязкостного) трения и касательные напряжения. Движение жидкости подчиняется закону трения Ньютона.

Касательные напряжения при прямолинейном ламинарном движении согласно закону Ньютона

,

где - градиент скорости.

Рассмотрим установившееся ламинарное движение вязкой жидкости в круглой цилиндрической трубе радиусом (рис. 4.6). Так как , то движение является равномерным. Будем считать, что движущаяся жидкость в трубе разделяется на бесконечно большое количество бесконечно малых по толщине концентрически располагающихся цилиндрических слоев. Скорость в цилиндрическом слое, соприкасающемся со стенками трубы, в результате его прилипания равна нулю.

Рис. 4.6. К ламинарному движению жидкости в трубе

Касательные напряжения по поверхности рассматриваемого цилиндрического слоя толщиной dr

. (4.48)

Знак минус в (4.48) обусловлен тем, что скорость при возрастании радиуса убывает. Касательные напряжения согласно основному уравнению равномерного движения в слое жидкости

, (4.49)

где - гидравлический радиус цилиндра жидкости радиусом , выделяемый в трубе:

.

Подставляя выражение (4.49) в формулу Ньютона, получаем

. (4.50)

Приращение скорости

. (4.51)

Интегрируя дифференциальное уравнение и считая , , найдем скорость

_. (4.52)

Постоянную интегрирования С определим согласно условию, что у стенки трубы скорость при , тогда

,

откуда

. (4.53)

Подставляя С по формуле (4.53) в выражение (4.52), получаем следующее уравнение:

. (4.54)

Уравнение (4.54) выражает распределение скорости в поперечном сечении трубы, которое представляет собой не что иное, как параболоид вращения относительно оси трубы. Задаваясь различными значениями, можно получить кривую распределения скоростей в сечении трубы. Кривая является параболой второй степени, ось которой - ось трубы (см. рис. 4.6).

Скорость по оси потока при - максимальная скорость определяемая как

. (4.55)

Согласно (4.49) значение касательных напряжений изменяется по сечению трубы линейно. На стенке трубы напряжения ()

. (4.56)

В центре трубы и .

Эпюра распределения касательных напряжений по сечению трубы представлена на рис. 4.6.

Расход жидкости, проходящей по трубе, определяем, используя уравнение распределения скоростей при ламинарном течении (4.54).

Элементарный расход, проходящий через площадь цилиндрического слоя толщиной dr,

.

Площадь цилиндрического слоя

. (4.57)

Тогда

. (4.58)

Интегрируем выражение (4.58) по всей поперечной площади живого сечения от до , получаем

. (4.59)

Средняя скорость () в поперечном сечении трубы

. (4.60)

Среднюю скорость выразим через диаметр и :

. (4.61)

Сравниваем среднюю скорость с максимальной скоростью в трубе :

. (462)

Средняя скорость в трубе при ламинарном движении в 2 раза меньше максимальной скорости, т.е.

. (4.63)

Потери напора по длине определим из формулы (4.61):

_. (4.64)

Динамическая вязкость .

Формула представится после замены , в виде

. (4.65)

Данная зависимость (4.65) называется формулой Пуазеля-Гагена при определении потерь напора на трение по длине трубы для ламинарного режима.

Разделим и умножим формулу (4.65) на 2V, получим

, (4.66)

где (Re - число Рейнольдса),

тогда

. (4.67)

Приведем полученное выражение к виду формулы гидравлических потерь напора по длине (формула Вейсбаха-Дарси), обозначив

, (4.68)

где - коэффициент гидравлического трения для ламинарного режима движения жидкости.

Таким образом, теоретически был определен коэффициент при ламинарном движении (4.68).

Гидравлический уклон

(4.69)

¦ Пример 4.2

При движении жидкости в горизонтальном трубопроводе диаметром мм расход Q=30 л/с. Разность пьезометрических высот на участке длиной =50 м составляет h=0,2 м. Определить кинематическую вязкость жидкости, полагая ламинарный режим движения.

Средняя скорость в трубопроводе

м/c

Потери напора по длине участка трубопровода =50 м согласно формуле Вейсбаха-Дарси

.

Находим коэффициент гидравлического трения , 0,2 м:

.

При ламинарном режиме коэффициент гидравлического трения по формуле (4.68)

, .

Отсюда, зная , d, V, находим кинематическую вязкость жидкости:

м²/с.

Согласно табл. П1.3 такой вязкостью обладает одна из разновидностей минерального масла, например индустриальное.

6. ТУРБУЛЕНТНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ

Турбулентное движение жидкости наиболее часто встречается как в трубах, так и в различных открытых руслах. В связи со сложностью турбулентного движения механизм турбулентности потока до настоящего времени все еще недостаточно полно изучен.

Для турбулентного движения характерно неупорядоченное перемещение частиц жидкости. Происходит движение частиц в продольном, вертикальном и поперечном направлениях, в результате этого наблюдается интенсивное перемешивание их в потоке. Частицы жидкости описывают весьма сложные траектории движения. При соприкосновении турбулентного потока с шероховатой поверхностью русла частицы приходят во вращательное движение, т.е. возникают местные вихри различного размера.

Скорость в точке турбулентного потока жидкости получила название местной (актуальной) мгновенной скорости . Мгновенная скорость по координатным осям х, у, z - , , :

- продольная составляющая скорости по направлению движения потока;

- окружная составляющая;

- поперечная составляющая скорости.

.

Все составляющие мгновенной скорости (, , ) меняются во времени. Изменения составляющих мгновенной скорости во времени называются пульсацией скорости по координатным осям. Следовательно, турбулентное движение в действительности является неустановившимся (нестационарным).

Скорости в определенной точке турбулентного потока жидкости можно измерить, например, с помощью лазерного прибора (ЛДИС). В результате измерений зафиксируется пульсация скоростей по направлениям х, у, z.

На рис. 4.7 изображен график пульсации продольной мгновенной скорости во времени при условии установившегося движения жидкости. Продольные скорости непрерывно изменяются, колебания их происходят около некоторой постоянной скорости. Выделим на графике два достаточно больших отрезка времени и Определим за время и среднюю по времени скорость .

Рис. 4.7. График пульсации продольной мгновенной скорости

Осредненная (средняя по времени) скорость может быть найдена так:

и . (4.70)

Величина будет одинаковой на отрезках времени и . На рис. 4.7 площадь прямоугольников высотой и шириной или будет равновелика площади, заключенной между пульсационной линией и значениями времени (отрезок и ), что и следует из зависимостей (4.70).

Разность между фактической мгновенной скоростью и осредненным значением - пульсационная составляющая в продольном направлении движения :

. (4.71)

Сумма пульсационных скоростей за принятые отрезки времени в рассматриваемой точке потока будет равна нулю.

На рис. 4.8 показан график пульсации поперечной мгновенной скорости . Для рассматриваемых отрезков времени

и . (4.72)

Рис. 4.8. График пульсации поперечной мгновенной скорости

Сумма положительных площадей на графике, ограниченном пульсационной кривой, равна сумме отрицательных площадей. Пульсационная скорость в поперечном направлении равна поперечной скорости , .

В результате пульсации между соседними слоями жидкости возникает интенсивный обмен частицами, что приводит к непрерывному перемешиванию. Обмен частицами и, соответственно, массами жидкости в потоке в поперечном направлении приводит к обмену количеством движения ().

В связи с введением понятия осредненной скорости турбулентный поток заменяется моделью потока, частицы которого движутся со скоростями, равными определенным продольным скоростям , и гидростатические давления в разных точках потока жидкости будут равны осредненным давлениям р. Согласно рассматриваемой модели поперечные мгновенные скорости , т.е. будет отсутствовать поперечный массообмен частицами между горизонтальными слоями движущейся жидкости. Модель такого потока называется осредненным потоком. Такую модель турбулентного потока предложили Рейнольдс и Буссинеск (1895-1897). Приняв такую модель, можно рассматривать турбулентное движение как движение установившееся. Если в турбулентном потоке осредненная продольная скорость является постоянной, тогда условно можно принять струйчатую модель движения жидкости. На практике при решении инженерных практических задач рассматриваются только осредненные скорости, а также распределение этих скоростей в живом сечении, которые характеризуются эпюрой скоростей. Средняя скорость в турбулентном потоке V - средняя скорость из осредненных местных скоростей в разных точках.

7. КАСАТЕЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ В ТУРБУЛЕНТНОМ ПОТОКЕ

Касательные напряжения, возникающие в турбулентном потоке, по своей физической природе существенно отличаются от касательных напряжений в ламинарном потоке. В результате интенсивного перемешивания частиц происходит массообмен частицами в поперечном направлении между отдельными слоями, что приводит к обмену количеством движения.

Определим касательные напряжения, возникающие в турбулентном потоке вдоль оси х, в котором имеются пульсации скоростей, приняв струйчатую модель движения (рис. 4.9). Выделим в потоке жидкости два слоя: первый слой - движения со скоростью , второй - с большей скоростью на величину , т.е. .

Рис. 4.9. К определению касательных турбулентных напряжений

За счет поперечной пульсационной скорости происходит обмен массами между слоями через некоторую площадь . За время dt через площадь от слоя 1 к слою 2 пройдет следующая малая масса жидкости:

. (4.73)

Эта масса жидкости за счет продольной пульсации передаст слою 2 следующее количество движения:

. (4.74)

В результате передачи количества движения в слое 2 возникает импульс силы

, (4.75)

где - воображаемая сила трения, вектор которой параллелен направлению движения слоев.

Используя теорему количества движения (изменение количества движения равно импульсу движущих сил), получим

(4.76)

или

(4.77)

где - касательные напряжения в турбулентном потоке.

Уравнение выражает мгновенное значение касательных напряжений, обусловленных пульсацией скорости при турбулентном движении.

Осредненные касательные напряжения турбулентного трения представляются в виде

, (4.78)

где , - осредненные пульсационные составляющие.

В турбулентном потоке имеют место вязкостные напряжения, связанные с силами внутреннего трения в результате сцепления частиц в потоке, а также со стенками русла. Полные касательные напряжения в результате турбулентного перемешивания и вязкостного трения

(4.79)

или

, (4.80)

где - динамическая вязкость.

Согласно теории Прандтля пульсационные скорости и достаточно близки (), а пульсационная осредненная составляющая

,

где l - значение перемещения частиц или длина пути смешивания.

Тогда, подставив (4.81) в (4.78), получим формулу турбулентных касательных напряжений:

. (4.82)

Согласно гипотезе Прандтля величина принимается пропорциональной расстоянию в рассматриваемой точке z от стенки русла потока, т.е.

, (4.83)

где a - некоторое постоянное число.

По Прандтлю следует, что по мере удаления от стенки значение перемещений частиц жидкости в поперечном направлении увеличивается. Число а обычно называют универсальной постоянной Прандтля.

В результате исследований турбулентного потока в трубах, связанных с распределением скоростей, Никурадзе получил a=0,4.

По предложению Буссинеска турбулентные касательные напряжения по аналогии с законом Ньютона можно представить в виде

, (4.84)

где А - коэффициент турбулентного перемешивания, связанный с переносом количества движения в результате интенсивности турбулентного перемешивания.

Учитывая равенства для (4.82) и (4.84),

, (4.85)

получим

. (4.86)

По аналогии с законом трения Ньютона обозначим , где - динамическая виртуальная (турбулентная) вязкость.

Выражение (4.82) может быть представлено в следующем виде:

.

При сильно турбулизированном потоке вязкостные напряжения пренебрежительно малы, и тогда касательные напряжения

.

8. ТУРБУЛЕНТНОЕ РАВНОМЕРНОЕ ДВИЖЕНИЕ ЖИДКОСТИ В ТРУБАХ

В турбулентном потоке скорость движения частиц жидкости непосредственно у стенки трубы равна нулю. За счет вязкости жидкости на стенке трубы образуется тонкий заторможенный слой, который называется пограничным слоем, скорость на границе которого составляет 98-99% от скорости потока.

Пограничный слой состоит из вязкого подслоя и переходного слоя, находящегося между турбулентным ядром потока и подслоем (рис. 4.10).

Рис. 4.10. Пограничный слой: 1 - вязкостный подслой; 2 - переходный слой; 3 - ядро

Внутри пограничного слоя может существовать как турбулентное, так и ламинарное движение в зависимости от числа Рейнольдса

, (4.88)

где - скорость на внешней границе пограничного слоя.

В турбулентном ядре в результате интенсивного перемешивания и пульсаций скоростей частиц жидкости распределение скоростей по живому сечению потока более ровное по сравнению с ламинарным режимом движения. Движение в ядре практически не зависит от вязкости, градиент скорости близок к нулю, и можно полагать, что оно практически соответствует движению идеальной жидкости. Как показали опыты, отношение средней скорости V к максимальной по центру трубы находится в пределах . Отношение скоростей возрастает с увеличением числа Рейнольдса (), при этом на отношение влияет шероховатость стенок трубы (рис. 4.11).

Теоретически и подверждено результатами опытов в трубах, что местная скорость соответствует средней скорости V в точке, находящейся на расстоянии от стенки трубы.

Рис. 4.11. Распределение скоростей в круглой трубе:

1 - эпюра скоростей при турбулентном движении;

2 - эпюра скоростей при ламинарном движении

Следует отметить, что коэффициент неравномерности распределения скоростей в трубе при турбулентном движении , тогда как при ламинарном движении . При решении различных гидравлических задач в случае турбулентного режима движения принимается .

Толщина подслоя, полученная теоретическим путем,

.

Таким образом, толщина вязкостного подслоя зависит от диаметра, числа Рейнольдса и коэффициента гидравлического сопротивления .

Проведенные исследования показали, что шероховатость внутренней поверхности труб влияет на распределение скоростей в живом сечении потока жидкости и на потери напора по длине.

Трубы изготавливаются из различных материалов (сталь, чугун, бетон, стекло, полимеры и т.д.). Способ изготовления и вид материала влияют на шероховатость трубы. Шероховатость определяется высотой выступов и неровностей на поверхности стенок труб. С течением времени на поверхности труб появляются ржавчина, коррозия, отложение солей и осадков, что также будет влиять на шероховатость.

Характеристикой, выражающей шероховатость, служит средняя высота выступов и неровностей. Такая средняя высота, выраженная в единицах длины, называется абсолютной шероховатостью и обозначается буквой . Фактически шероховатость поверхности неоднородна по длине труб. На распределение скоростей и потери напора влияет диаметр трубы при одинаковой абсолютной шероховатости. Поэтому для определения этого влияния шероховатости и диаметра d введено понятие относительной шероховатости трубы (рис. 4.12).

Как показали опыты с трубами, на потери напора влияет не только средняя высота выступов , но и степень, форма, густота и характер их расположения. Для упрощения влияния этих обстоятельств было введено представление об эквивалентной шероховатости . Эквивалентной шероховатостью называется высота выступов песчинок одинакового размера, при которой коэффициент гидравлического трения соответствует действительной естественной шероховатости трубы. Относительная эквивалентная шероховатость - .

На основании вышеизложенного можно считать, что при турбулентном движении потери напора по длине могут зависеть как от числа Рейнольдса Re, так и от относительной эквивалентной шероховатости .

Коэффициент гидравлического трения можно выразить в функциональном виде:

. (4.90)

В зависимости от толщины вязкостного подслоя и пограничного слоя трубы можно разделить на гидравлически гладкие и шероховатые. В случае когда вязкостный подслой больше шероховатости , т.е. все впадины и выступы погружены в подслой , такая поверхность стенки называется гидравлически гладкой.

Потери напора не будут зависеть от шероховатости: .

Рис. 4.12. Шероховатость стенки трубы:

а - абсолютная шероховатость ; б - гидравлически гладкая поверхность стенки трубы; в - шероховатая поверхность трубы

При условии выступы выходят за пределы вязкостного подслоя и поверхность стенки является шероховатой.

Выступы, выходящие за подслой, способствуют активизации перемешивания частиц, возникновению вихреобразования в подслое и пограничном слое. Потери напора будут зависеть от относительной шероховатости трубы : .

При турбулентном движении коэффициент определяется по эмпирическим формулам.

9. ПОТЕРИ НАПОРА ПО ДЛИНЕ ПРИ ТУРБУЛЕНТНОМ УСТАНОВИВШЕМСЯ РАВНОМЕРНОМ ДВИЖЕНИИ ЖИДКОСТИ

И.Никурадзе были проведены опыты по исследованию влияния шероховатости поверхности труб и числа Рейнольдса на потери напора по длине и на коэффициент гидравлического трения, т.е. . Опыты осуществлялись на гидравлическом стенде с круглыми трубами с искусственной однородной шероховатостью. Искусственная шероховатость создавалась путем наклеивания на внутреннюю поверхность труб песчинок одинакового размера. Относительные шероховатости в опытах были в пределах . Эксперименты проводились как при ламинарном, так и при турбулентном режиме движения жидкости. Число Рейнольдса в экспериментах находилось в диапазоне . В трубах с разной относительной шероховатостью определялись потери напора по длине , при различных расходах. Коэффициенты гидравлического трения вычислялись по формуле .

По средней скорости V находилось число Рейнольдса . Результаты опытов были представлены в виде графиков, которые имели функциональную зависимость с учетом относительной шероховатости в виде (рис. 4.13). Величины и Re - безразмерные.

Рис. 4.13. График Никурадзе

На графике по оси ординат были отложены значения , а по оси абсцисс - величины . График позволил весьма наглядно показать влияние шероховатости трубы и числа Рейнольдса на коэффициент гидравлического трения и, соответственно, на потери напора по длине трубы.

На графике Никурадзе (см. рис. 4.13) можно выделить следующие характерные зоны ламинарного, неустойчивого и турбулентного режимов движения.

Ламинарная зона. В этой зоне полученные экспериментально величины при разных относительных шероховатостях легли на прямую I-I в левой стороне графика при значениях Re<2300 (=3,36), что соответствует ламинарному режиму движения. Таким образом, в данной зоне не зависит от шероховатости труб, а зависит только от числа Re. Прямая линия I-I соответствует функции , полученной теоретическим путем (см. п. 4.5, формула (4.68)).

Переходная (неустойчивая) зона. Эта зона соответствует переходу ламинарного движения в турбулентное и наоборот. На графике зона находится между линиями I-I и II-II при значениях числа Рейнольдса (). Значение коэффициента в этой зоне не зависит от шероховатости, .

Турбулентная зона. В турбулентной зоне имеется семейство кривых в зависимости от относительной шероховатости в виде . Начало кривых находится по линии II-II. Турбулентная зона разбивается на три области: гладкого сопротивления (гидравлически гладкие трубы), доквадратичного и квадратичного сопротивления (гидравлически шероховатые трубы).

Область гладкого сопротивления представляется на графике линией II-II при разных значениях и числах Re. В этой области не зависит от шероховатости а зависит только от числа Re, . Шероховатость внутренней поверхности труб не оказывает сопротивления движению жидкости при турбулентном режиме. Такие трубы называют гидравлически гладкими. В пределах этой области потери напора можно выразить зависимостью

. (4.91)

Область доквадратичного сопротивления находится между линиями II-II и III-III. В этой области имеется ряд кривых, отражающих разную степень шероховатости. Коэффициент зависит одновременно от двух параметров - числа Re и : . Потери напора в этой области

. (4.92)

Область квадратичного сопротивления располагается правее линии III-III. Линии, соответствующие определенным значениям , практически параллельны друг другу. Потери напора по длине в этом случае

. (4.93)

В этой области на не влияет число Рейнольдса. а только : .

Так как потери напора зависят от квадрата скорости, то эту область называют областью квадратичного сопротивления, а трубы являются гидравлически шероховатыми.

Особенности сопротивлений при турбулентном движении объясняются образованием пограничного слоя с вязкостным подслоем. При достаточно малых числах Re толщина вязкостного подслоя больше высоты выступов (бугорков) шероховатости: , тогда шероховатость будет находиться внутри пограничного слоя. Сопротивление в этом случае не зависит от шероховатости - сопротивление гладкое. При увеличении числа Рейнольдса, т.е. при повышении скорости в трубе, толщина уменьшается в результате пульсации скоростей в пограничном слое и вне его. Вязкостный подслой будет находиться в пределах выступов шероховатости . Сопротивления, имеющиеся в данном случае, - переходные сопротивления.

В случае больших скоростей и, соответственно, чисел Re вязкостный подслой практически исчезает, а в пограничном слое возникают малые вихри в результате отрыва частичек жидкости от выступов (бугорков). Шероховатость поверхности труб влияет на сопротивление движению, и такое сопротивление является квадратичным сопротивлением.

Следует отметить, что Никурадзе проводил исследования с трубами с однородной искусственной шероховатостью. На практике трубы, используемые в обычных производственных условиях, имеют естественную шероховатость. Для выяснения влияния естественной шероховатости были проведены многочисленные экспериментальные исследования как отечественными, так и зарубежными учеными.

Наиболее обстоятельные исследования с техническими трубами были проведены Колбруком (1938) и Г. Муриным (1948).

На рис. 4.14 приведен график Колбрука, показывающий функциональную зависимость от относительной эквивалентной шероховатости . Используя график, для турбулентного движения можно определить коэффициент . На основании результатов исследования были получены различные формулы для вычисления в областях турбулентного движения жидкости.

Рис. 4.14. График Колбрука

10. ЗАВИСИМОСТИ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ КОЭФФИЦИЕНТА И КОЭФФИЦИЕНТА ШЕЗИ С

При ламинарном движении жидкости в трубах определяют по теоретической формуле .

Для турбулентного режима движения было предложено достаточно большое число формул для нахождения . Предлагаемые формулы были чисто эмпирическими, основанными на результатах экспериментов, а также полученными в результате анализа размерности и теории подобия при исследовании турбулентного режима. В формулах при определении коэффициента обычно использовалась эквивалентная шероховатость . В табл. 4.1 приведены значения для труб, изготовленных из различных материалов.

Таблица 4.1 - Значения эквивалентной шероховатости

и коэффициента шероховатости n для напорных труб и водоводов

Характеристика поверхности труб	, мм	n
1. Цельнотянутые трубы:
технические гладкие из латуни, меди и свинца	0,0020,01	-
пластмассовые (полиэтилен, винипласт)	0,00150,005	-
новые стальные	0,020,05	-
стальные, после нескольких лет эксплуатации, битумизированные, умеренно корродированные	0,150,3	0,013
стальные водопроводные, находящиеся в эксплуатации	1,01,2	0,014
2. Сварные стальные трубы:
новые и в хорошем состоянии	0,040,1	0,01
после нескольких лет эксплуатации	0,10,2	0,012
новые битумизированные	0,05	-
находящиеся в продолжительной эксплуатации	0,11,5	-
3. Чугунные трубы:
новые	0,20,5	0,0130,014
новые битумизированные	0,10,15	0,0110,012
асфальтированные	0,120,3	-
водопроводные, бывшие в эксплуатации	11,4	-
со значительными отложениями	2,04,0	-
сильно корродированные	До 3,0	-
4. Асбоцементные трубы	0,6	0,0086
5. Керамические трубы	1,35	0,013

Для всех областей турбулентного движения известны универсальные формулы Колбрука и А. Альтшуля для определения .

. (4.94)

Формула А. Альтшуля:

. (4.95)

В области гладкого сопротивления (гидравлически гладкие трубы) и . В этой области сопротивления числа Рейнольдса лежат в следующих пределах:

. (4.96)

Формулы (4.94) и (4.95) преобразуются следующим образом:

(4.97)

(4.98)

Для гладких труб применяется формула Блазиуса

. (4.99)

Следует отметить что зависимости (4.98) и (4.99) практически совпадают.

При определении нашла широкое применение формула П. Конакова

. (4.l00)

В области доквадратичного (переходного сопротивления) . Эта область находится в пределах

. (4.101)

Коэффициент гидравлического трения находится, как правило, по универсальным формулам (4.94) и (4.95).

Область квадратичного сопротивления, когда и , лежит в следующих пределах:

. (4.102)

Формулы (4.97) и (4.98) для определения коэффициента гидравлического трения имеют следующий вид:

; (4.103)

. (4.104)

Формула (4.103) соответствует формуле Шифринсона (4.104).

Для стальных и чугунных труб, находящихся в эксплуатации, коэффициент , может быть вычислен по формуле Ф. Шевелева при :

(4.105)

Следует отметить, что в результате эксплуатации шероховатость стенок труб увеличивается со временем.

Для полиэтиленовых труб коэффициент , может быть вычислен по формуле

. (4.106)

В случае применения асбоцементных труб

. (4.107)

Как уже отмечалось ранее, коэффициент Шези связан с коэффициентом гидравлического трения (4.47):

, или .

Коэффициент Шези зависит от относительной шероховатости стенок трубы или открытых русел в квадратичной области, а в переходной области сопротивления на С влияет скорость движения жидкости, а следовательно, число Re. Поэтому формула Шези применяется, как правило, в случае квадратичного сопротивления. Коэффициент Шези является размерной величиной (м^1/2/с). В результате исследований, проведенных многими учеными, были получены достаточно простые зависимости для определения коэффициента С Шези.

В случае круглых и прямоугольных труб С можно находить по формуле (4.47), зная коэффициент гидравлического трения .

Приводим некоторые формулы для вычисления коэффициента С.

Формула Н. Павловского

, (4.108)

где - коэффициент шероховатости стенок русла; у - показатель степени при м;

. (4.109)

Более простые зависимости:

при м; (4.110)

при м.

Известны частные случаи формулы Н. Павловского:

формула Маннинга

; (4.111)

формула Форгеймера

. (4.112)

Значения коэффициента шероховатости труб представлены в табл. 4.1.

11. МЕСТНЫЕ ГИДРАВЛИЧЕСКИЕ СОПРОТИВЛЕНИЯ

К местным гидравлическим сопротивлениям относятся различные устройства и элементы, устанавливаемые на трубопроводах, в которых происходит нарушение нормального движения потока в результате его деформации с изменением направления и значения средней скорости и возникновением вихреобразования. В результате деформации турбулентного потока происходит интенсивное перемешивание частиц и обмен количеством движения между частицами жидкости.

К элементам и устройствам относятся фасонная и трубопроводная арматура: отводы (колена), переходники, тройники, крестовины, диафрагмы, сетки, запорные регулирующие вентили (краны), задвижки, затворы, предохранительные и регулирующие клапаны, всасывающие наконечники, устанавливаемые на входе в трубу насосов, и т.д.

Самые простые местные гидравлические сопротивления можно разделить по направлению вектора средней скорости.

1. Скорость переменна при неизменном направлении движения потока жидкости.

Например, расширение трубы (русла) может быть плавное или внезапное; сужение трубы (русла) - плавное или внезапное.

2. Скорость постоянна при изменении направления движения потока.

Например, поворот трубы (русла) в виде плавного или резкого (рис. 4.15).



Рис. 4.15. Простейшие местные сопротивления

К более сложным местным сопротивлениям относятся сопротивления, в которых вектор скорости изменяется по значению и направлению, а также при слиянии или разделении потоков. Например, задвижки, клапаны, вентили и т.д., а также тройники, крестовины (рис. 4.16).

Рис. 4.16. Сложные местные сопротивления

В таких сопротивлениях в результате резких изменений направления и скорости происходит весьма значительная деформация потока с возникновением интенсивного вихреобразования.

Наибольшие вихреобразования возникают в сопротивлениях, имеющих какую-либо преграду. В результате обтекания преграды, находящейся в трубе, потоком жидкости происходит отрыв части потока от стенки трубы с возникновением вихревой зоны, которую называют водоворотной областью. Между водоворотной областью и основным потоком благодаря поперечным пульсационным скоростям происходит интенсивный обмен частицами жидкости на участке длиной в данной области. В результате массообмена частицами в районе поверхности русла имеет место увеличение пульсации и возникновение вихрей, перемещающихся непрерывно. По мере удаления от местного сопротивления эпюра скоростей выравнивается. Выравнивание эпюры скоростей в зависимости от формы и размеров преграды происходит на расстоянии (d - диаметр трубы).

Местные потери напора связаны непосредственно с типом местного сопротивления.

Местными потерями напора называют затраты удельной механической энергии, обусловленные работой сил трения и вихреобразованием на преодоление потоком жидкости местного сопротивления. На поддержание вихрей в определенной зоне затрачивается энергия потока.

Потери напора оцениваются через значение скоростного напора и обозначаются как . Вейсбах предложил местные потери напора определять по формуле

,

где - безразмерный коэффициент, называемый коэффициентом местного сопротивления; V - средняя скорость в живом сечении, как правило, непосредственно за местным сопротивлением.

...