Сопротивление материалов

Размещено на http://www.allbest.ru/

Сопротивление материалов

Машины, сооружения и их элементы в процессе эксплуатации подвергаются воздействию различных нагрузок, изменяющих их форму и размеры.

Сопротивление материалов есть наука о прочности и деформируемости материалов и элементов машин и сооружений.

Основные положения

Основные задачи сопротивления материалов

Каждая конструкция должна обладать необходимой прочностью - способностью конструкции или её элементов сопротивляться нагрузкам без разрушения.

В связи сэтим в первой задаче сопротивления материалов определяют размеры элемента конструкции при выбранном материале, заданной нагрузке.

Вторая задача сопротивления материалов - расчет на жесткость - способность конструкции сопротивляться упругим деформациям, т.е. изменение формы и размеров конструкций и их элементов не превысят допустимых норм.

Третья задача сопротивления материалов - расчет на устойчивость - способность конструкции воспринимать приложенную нагрузку без изменения формы.

Реальный объект и его расчетная схема

На практике в большинстве случаев приходится иметь дело с конструкциями сложной формы и изготовленными из различных материалов. Поэтому, приступая к расчету конструкций, приходится в допустимых пределах отступать от реальных условий их работы, отбрасывать второстепенные факторы, схематизировать форму, нагрузки.

Реальный объект, освобожденный от несущественных особенностей, принято называть расчетной схемой объекта.

При схематизации геометрической формы рассматриваемых деталей все их многообразие может быть сведено к следующим типам: брус (стержень), оболочка, массив.

Брусом, или стержнем, называют тело, одно из измерений которого (длина) превышает два других (например, такие изделия как вал, пружина). Брусья бывают прямолинейные или криволинейные, постоянного и переменного сечения. В зависимости от их назначения в конструкции, брусья называют колоннами, балками, стержнями, валами. Плоское сечение, перпендикулярное оси бруса, называется поперечным; сечение, параллельное оси бруса - продольным; остальные плоские сечения - наклонными.

Под оболочкой понимается тело, одно из измерений которого (толщина) во много раз меньше остальных (например, стенка бака, цистерны и т.д.). Если поверхность оболочки представляет собой плоскость, то объект называют пластиной.

Массивами, называют тело, у которого все три измерения одинакового порядка.

Основные гипотезы и допущения

Для упрощения расчетов элементов конструкций приходится прибегать к некоторым гипотезам и допущениям о свойствах материалов и характере деформаций.

Допущения о свойствах материалов.

1. Материал деформируемого тела является однородным, т.е. свойства всех частиц совершенно одинаковы, независимо от величины частиц.

2. Материал деформируемого тела сплошной, т.е. во всех точках тела обладает одинаковыми свойствами.

3. Материал изотропен - т.е. физико-механические свойства во всех направлениях одинаковы.

4. Материал, в определенных пределах, обладает идеальной упругостью, т.е. после снятия нагрузки деформации полностью исчезают.

Изменение линейных и угловых размеров тела называется соответственно линейной и угловой деформацией. Изменение положения точек тела, вызванное деформацией, называется перемещением.

Допущения о характере деформации.

1. Перемещение точек элемента конструкции, обусловленные его упругими деформациями, незначительны по сравнению с размерами самого тела, т.е. следует исходить из первоначальной формы тела - это принцип начальных размеров.

2. Перемещение точек упругого тела в известных пределах нагружения прямо пропорциональны силам, вызывающим эти перемещения. Элементы и конструкции, подчиняющиеся этому допущению, называют линейно деформируемыми.

3. Это допущение основано на принципе независимости действия сил из теоретической механики: результат действия нескольких сил не зависит от последовательности нагружения ими данной конструкции, равен сумме результатов действия каждой силы в отдельности (принцип суперпозиции).

4. Гипотеза плоских сечений, или гипотеза Бернулли - плоские поперечные сечения, проведенные до деформации, остаются при деформации плоскими и нормальными к оси.

5. Принцип Сен-Венана - в сечениях, достаточно удаленных от места приложения нагрузки, напряженно- деформированное состояние не зависит от способа приложения нагрузки. На основании этого принципа при расчетах распределенная нагрузка может заменяться сосредоточенными силами.

Эти допущения ограничено применимы к решению конкретных задач.

Виды сил

Силы делят на внешние и внутренние. Внешние силы характеризуют взаимодействие между телами, внутренние взаимодействие между частицами одного тела.

Внешние силы, действующие на элементы конструкций, разделяют на активные, называемые нагрузкой, и реактивные (реакции связей).

Нагрузки классифицируют по двум признакам - способу их приложения к элементу конструкции и характеру действия на него.

По способу приложения к телу нагрузки делят на объемные (силы тяжести, силы инерции) и поверхностные - которые характеризуют непосредственное контактное взаимодействие рассматриваемого элемента с соседними элементами или прилегающей к нему средой (например, пар, воздух, жидкость).

Поверхностные силы могут быть распределенными и сосредоточенными. В реальных конструкциях нагрузка всегда передается по некоторой площадке. Однако в ряде случаев вследствие малости этой площадки по сравнению с размерами элементов распределенная нагрузка заменяется равнодействующей силой, приложенной в точке. Равномерно распределенная нагрузка задается двумя параметрами - интенсивностью , т.е. числом единиц силы (или ), приходящейся на единицу длины (), и длиной .

В зависимости от характера действия нагрузки подразделяются на статические и динамические.

Статическими называют нагрузки, значение, направление и место приложения которых остаются постоянными или меняются медленно и незначительно.

Динамические нагрузки характеризуются быстрым изменением во времени их значения, либо направления, либо места приложения.

Метод сечений. Виды деформаций

Прочность тела зависит от внутренних сил сцепления между частицами тела. Чтобы произвести расчет на прочность, нужно определить величину внутренних сил по заданным внешним. Для решения этой задачи применяют метод сечений, с помощью которого внутренние силы переводят в разряд внешних.

Тело, находящееся в равновесии (рис. 3.1, а), разделим поперечным сечением на две части I и II (рис. 3.1, б) и отбросим одну из них, например часть II. Чтобы сохранить равновесие оставшейся части бруса (рис. 3.1, в), заменим действие отброшенной части системой сил, которые являются внутренними для целого бруса и, внешними по отношению к отсеченной части.

Из статики известно, что произвольная пространственная система сил может быть приведена к главному вектору и главному моменту. Главный вектор можно заменить тремя составляющими , а главный момент - соответственно тремя

Рис. 3.1

моментами , возникающими в плоскостях перпендикулярных этим осям. Система этих сил и моментов эквивалентна внутренним силам, возникающим в рассматриваемом сечении. Эти силы и моменты называют внутренними силовыми факторами.

 (3.1)

Внутренние силовые факторы, возникающие в поперечном сечении стержня, определяют вид деформации бруса. Рассмотрим частные случаи:

1. - сила, перпендикулярная плоскости поперечного сечения - продольная сила.

Если в поперечных сечениях бруса возникает только продольная сила , то брус растянут или сжат. Брус, работающий на растяжение или сжатие, называют стержнем.

2. Составляющие главного вектора , внутренние силы, лежащие в плоскости поперечного сечения, называют поперечными силами.

В этом случае имеет место деформация сдвига.

3. Составляющую главного момента называют крутящим моментом и обозначают. В этом случае имеет место деформация кручения, например у валов.

4. Составляющие главного момента - изгибающие моменты.

При наличии только изгибающего момента или , брус работает на чистый изгиб.

5. Если в сечении одновременно возникает несколько внутренних силовых факторов (например, изгибающий момент и поперечная сила ), то в этих случаях имеет место сочетание основных деформаций, т.е., в данном случае, это - поперечный изгиб.

Понятие о напряжении

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение.

Внутренние силы действуют непрерывно по всему сечению (см. рис. 3.1, б). Значение внутренних сил, приходящихся на единицу площади сечения abcd в какой-либо его точке , называется напряжением в этой точке. Поскольку напряжение представляет собой отношение внутренних сил к некоторой площади, оно измеряется в единицах силы, отнесенных к единице площади.

Напряжение в СИ измеряется в паскалях (). Так как эта единица очень мала, пользоваться ею очень неудобно, поэтому применяют кратные и внесистемные единицы (). Наиболее удобна для практического использования .

Пусть в точке какого-либо сечения тела (рис. 3.2, а) на некоторой малой площадке действует сила под некоторым углом к площадке.

Поделив эту силу на площадь , найдем возникающее в точке среднее напряжение (рис. 3.2, б).

. (3.2)

Величина, характеризующая интенсивность распределения внутренних сил по перечному сечению, в данной точке, называется напряжением и определяется как

.(3.3)

Полное напряжение в точке сечения можно разложить на две составляющие: и (рис. 3.2, в). Составляющая , направленная перпендикулярно сечению, называется нормальным напряжением. Составляющую , лежащую в плоскости сечения, называют касательным напряжением. Таким образом, зависимость между числовыми значениями напряжений , , и выражается

. (3.4)

Наличие нормального напряжения в любой точке поперечного сечения обусловлено возникновением в этом сечении нормальной силы или изгибающих моментов и . Наличие касательного напряжения (или составляющих в направлении осей и ) обусловлено внутренними силовыми факторами, возникающими в плоскости сечения, т.е. поперечными силами , или крутящим моментом .

Растяжение и сжатие

Продольные силы. Эпюры

Напомним, что, растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса обнаруживается только один внутренний силовой фактор - нормальная (продольная) сила . Её вектор перпендикулярен к поперечному сечению и направлен вдоль продольной оси бруса (стержня).

Согласно методу сечений, если разрезать растянутый брус (рис.3.3) и отбросить, например, его левую часть, то для уравновешивания внешней силы достаточно в сечении приложить только один внутренний силовой фактор - нормальную (продольную) силу , направив ее по оси от сечения, которая определяется из уравнения равновесия, составленного для отсеченной части бруса:

. (3.5)

Рис. 3.3

Итак, продольная сила в произвольном сечении бруса численно равна алгебраической сумме проекций на продольную ось всех внешних сил, приложенных к отсеченной части.

Поэтому, есть равнодействующая внутренних сил в данном сечении.

В случае действия нескольких сил и в разные стороны, необходимо говорить о правиле знаков: проекции, внешних сил, направленных от сечения (растяжение) - положительны и, наоборот, проекции внешних сил, направленных к сечению (сжатие) - отрицательны.

Для наглядного изображения распределения вдоль оси бруса продольных сил, нормальных напряжений и перемещений строят графики, называемые эпюрами соответственно нормальных (продольных) сил, напряжений и перемещений. Построение эпюр будет рассмотрено далее на конкретном примере.

Напряжения в поперечных сечениях

При растяжении (сжатии) бруса в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения.

Определение напряжений в поперечных сечениях бруса решается на основе гипотезы плоских сечений, предложенной Я. Бернулли (1654 - 1705), которую можно сформулировать так: перпендикулярное к оси недеформированного бруса плоское сечение остается таким же (плоским и перпендикулярным к оси) и при растяжении (сжатии) бруса.

На основании сказанного можно заключить, что все точки какого-либо поперечного сечения бруса находятся в одинаковых условиях (см. рис. 3.1) и, следовательно, напряжения распределяются по сечению равномерно. Эти напряжения перпендикулярны поперечному сечению, а значит, являются нормальными напряжениями. Тогда их значение найдем, разделив продольную силу на площадь :

, (3.6)

Нормальное напряжение направлено так же, как и нормальная сила: при растяжении бруса - от сечения (знак плюс), при сжатии - к сечению (знак минус).

В местах резкого изменения формы бруса (отверстие, изменение поперечного сечения и т.п.) наблюдается локальное увеличение величины напряжений, которое называют концентрацией напряжений.

Перемещения и деформации. Закон Гука

При нагружении стержня растягивающей силой его первоначальная длина увеличивается на = - , а первоначальный поперечный размер уменьшается на (рис. 3.4). Величина называется абсолютным удлинением бруса, а величина - абсолютным поперечным сужением.

Рис. 3.4

При сжатии бруса его длина уменьшается на , а поперечный размер увеличивается на . Рассматривая любую из этих величин как разность между начальным (до нагружения) и конечным (после нагружения) размерами, им следует приписывать противоположные знаки: при растяжении бруса , при сжатии .

О степени деформирования бруса нельзя судить по значениям или , так как последние зависят не только от внешних сил, но и от начальных размеров бруса. Деформирование бруса при растяжении (сжатии) характеризуют величины

(3.7)

и (3.8)

где - относительная продольная деформация; - относительная поперечная деформация бруса. Из формул (3.7) и (3.8) видно, что и - величины безразмерные.

Экспериментально доказано, что продольная и поперечная деформации для данного материала пропорциональны друг другу, но имеют разные знаки, так как при растяжении размеры поперечного сечении уменьшаются, т.е.

, (3.9)

где коэффициент пропорциональности , зависящий от материала, называется коэффициентом Пуассона.

Опытным путем установлено, что между нормальным напряжением и продольной деформацией существует прямо пропорциональная зависимость, которая называется законом Гука, по имени установившего этот закон английского физика Роберта Гука (1635 - 1703).

Закон Гука формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению:

или . (3.10)

Коэффициент пропорциональности характеризует упругие свойства материала и называется модулем продольной упругости (модуль упругости первого рода или модуль Юнга).

Если в равенстве (3.10) заменить выражением из формулы (3.7), а заменить его выражением из (3.6), то получим

. (3.11)

Произведение , стоящее в знаменателе, называется жесткостью сечения при растяжении и сжатии; оно характеризует одновременно физико-механические свойства материала и геометрические размеры поперечного сечения бруса.

Для бруса, имеющего несколько участков (), отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной продольной силы, изменение длины всего бруса равно алгебраической сумме продольных деформаций отдельных участков:

. (3.12)

Механические свойства материалов

Физико-механические свойства материалов, т.е. величины, характеризующие прочность, пластичность, упругость, твердость определяются в лабораториях механических испытаний на разрывных машинах по образцам, изготовленным из исследуемого материала. Графическое представление зависимости между действующей силой и абсолютным удлинением называется диаграммой растяжения или сжатия образца.

Для изучения механических свойств материала независимо от размеров образца применяется диаграмма в координатах «напряжение - относительное удлинение» (, ).

Пример такой диаграммы растяжения для низкоуглеродистой стали показан на рисунке 3.5, на ней выделяют следующие характерные точки.

Точка соответствует пределу пропорциональности - т.е. то наибольшее напряжение, до которого деформации растут пропорционально нагрузке, т.е. справедлив закон Гука.

До точки материал деформируется упруго, и напряжение соответствующее ей, называется пределом упругости .

Рис. 3.5

Точка соответствует пределу текучести , т.е. напряжению, при котором в образце появляется заметное удлинение без увеличения нагрузки. Наличие площадки текучести (участок СD) определяет группу пластичных материалов, в отличие от группы хрупких, не имеющих на диаграмме такого участка.

Предел текучести является основной механической характеристикой при оценке прочности пластичных материалов.

Точка соответствует временному сопротивлению или пределу прочности , т.е. это отношение максимальной силы, которую выдерживает образец, к первоначальной площади поперечного сечения. При достижении временного сопротивления на растягиваемом образце образуется местное сужение - шейка, т.е. начинается разрушение образца.

Предел прочности является основной механической характеристикой при оценке прочности хрупких материалов.

Точка соответствует напряжению в момент разрушения образца.

В результате проведения механических испытаний устанавливают предельные напряжения, при которых происходит нарушение работы или разрушение деталей конструкций.

Запас прочности. Допускаемые напряжения

Напряжения, при которых образец из данного материала разрушается или при которых развиваются значительные пластические деформации, называются предельными . Эти напряжения зависят от свойств материала и вида деформации. Как уже указано, предельным напряжением при статической нагрузке для пластичных материалов является предел текучести, а для хрупких - предел прочности.

Напряжения, величина которого регламентируется техническими условиями, называются допускаемыми.

Допускаемые напряжения [у] при статических нагрузках, т. е. при постоянных напряжениях и отсутствии концентрации напряжений, или в случаях, когда концентрация не влияет на прочность деталей (пластичные материалы), определяют по формуле

. (3.13)

Допускаемый коэффициент запаса прочности

(3.14)

где - коэффициент, учитывающий точность методов (методик, формул) определения действующих на деталь нагрузок и возникающих в ней напряжений (при применении достаточно точных методов расчета) - коэффициент, учитывающий однородность материала детали (для пластичного материала) для хрупкого - коэффициент, учитывающий специфические требования безопасности рассчитываемой детали .

Расчеты на прочность

Отношение предельного напряжения к расчетному называется коэффициентом запаса прочности :

. (3.15)

Прочность элемента конструкции обеспечивается, если действительный коэффициент запаса прочности не ниже требуемого (допускаемого), т.е.

. (3.16)

Неравенство (3.16) выражает условие прочности элемента конструкции.

Разделив предельное напряжение на нормативный коэффициент запаса, получим допускаемое напряжение :

. (3.17)

Тогда условие прочности можно выразить неравенством

, (3.18)

т.е. прочность элемента конструкции обеспечивается, если наибольшее напряжение, возникающее в нем, не превышает допускаемого.

Для пластичных материалов, как при растяжении, так и при сжатии допускаемое напряжение получают исходя из предела текучести :

, (3.19)

в этом случае .

Условие прочности (3.18) применительно к расчетам на прочность при растяжении (сжатии) записывается в таком виде:

. (3.20)

При расчете конструкций на прочность встречаются три вида задач, различающихся формой использования этой расчетной формулы.

1. Проектировочный расчет, при котором по заданным нагрузкам и известным характеристикам материала - определяются размеры опасного сечения детали

. (3.21)

Размеры поперечного сечения, обеспечивающие требуемую площадь, определяют в зависимости от формы (круг, квадрат и др.).

2. Расчет допускаемой нагрузки. В этом случае известны размеры бруса и его материал, а требуется определить максимально допустимую нагрузку. Для этого приняв , из условия (3.20) находим

. (3.22)

3. Проверочный расчет, который используется для оценки прочности реальной конструкции, когда при известных размерах и заданных нагрузках определяется рабочее напряжение и сравнивается с допускаемым , т.е. проверяется выполнение условия (3.20).

Наибольшее расчетное напряжение не должно быть больше допускаемого, расчетное напряжение считают неопасным, если оно превышает допускаемое не более чем на 5 %. Поперечное сечение бруса, в котором возникает наибольшее расчетное напряжение при растяжении (сжатии), называется опасным.

Пример 3.1

Защемленный в сечении B брус, изготовленный из стали марки Ст3 (), нагружен в сечениях C, K и M осевыми силами: , - как показано на рис. 3.6, а. Длина участков бруса , площадь поперечного сечения . Допускаемое напряжение для материала бруса . Пренебрегая силой тяжести бруса, построить эпюры продольных сил, напряжений, перемещений по длине бруса.

Решение

1. Выбираем начало отсчета на свободном конце бруса (точка ); положительное направление оси направим по оси бруса вверх.

Рис 3.6

2. Разобьем сечениями брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Положения сечений определяются точками приложения внешних сил и местами изменения размеров поперечного сечения. Всего по длине бруса будет четыре участка. Проводя сечения и отбрасывая верхние части бруса, можно определить продольные силы в его поперечных сечениях без вычисления опорных реакций в заделке.

3. Построим эпюру внутренних сил . Проводим сечение в пределах первого участка (рис.3.7, а), из условия равновесия выражаем продольную силу через внешние силы, приложенные к оставленной части.

.

На этом участке в брусе возникает растяжение, так как N₁ направлена от сечения.

Теперь выберем второй участок бруса и рассмотрим равновесие верхней части (рис. 3.7, б):

здесь так же возникает растяжение, так как N₂ направлена от сечения.

В пределах третьего участка нет внешних продольных сил, следовательно, N₃ равна 50 кН.

Рассмотрим четвертый участок , из условия равновесия

Поскольку направлена к сечению, то брус под действием сил сжимается.

После того, как определили все внутренние нормальные силы, переходим к построению эпюры нормальных сил (рис. 3.6, б). Вправо будем откладывать положительные значения, а влево - отрицательные значения нормальных сил.

Анализируя построенную эпюру , заметим, что внутренние силы не зависят от размеров поперечного сечения, а зависят только от приложенных сил. Поэтому на длине бруса можно выделить только три сечения, в которых приложены продольные силы.

При проверке правильности построения эпюры следует обратить внимание на то, что на эпюре внутренних сил в тех сечениях, где были приложены внешние силы, должны быть скачки, равные приложенной внешней силе.

4. Построим эпюру напряжений . Брус следует разбить на участки. Поскольку , то участков на эпюре будет столько, сколько раз меняется поперечное сечение; при этом следует обращать внимание, чтобы при постоянной площади поперечного сечения нормальная сила на эпюре оставалась неизменной. С учетом этого, на эпюре будут четыре различных значения (рис. 3.6, в):

;

;

;

.

5. Строим эпюру перемещений . Начинать следует от неподвижного сечения, т.е. от сечения (см. рис. 3.6, а), в котором перемещение . Выразим перемещение сечения, находящегося от неподвижного на расстоянии используя формулу (3.12).

Перемещение сечения C равно удлинению бруса на участке BC

Перемещения последующих сечений определяется как сумма перемещения предыдущего сечения и удлинения на участке между этими сечениями.



Определив перемещения сечений, строим эпюру перемещений. Для этого от базовой линии параллельной оси бруса откладываем перемещения сечений, изображая их перпендикулярными к оси отрезками, взятыми в определенном масштабе. Соединив концы отрезков прямыми, получим эпюру перемещений по всей длине бруса (рис. 3.6, г).

Геометрические характеристики плоских сечений

При некоторых деформациях прочность деталей зависит не только от величины площади поперечного сечения, но и от его формы. Так при расчете стержней на растяжение (сжатие) используют геометрическую характеристику сечения такую как площадь. Но при решении задач, связанных с изгибом и кручением, требуется знание некоторых других характеристик сечений, к которым относятся статические моменты, моменты инерции и моменты сопротивления сечения.

Статический момент площади

Статическим моментом площади ( или ) плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на расстояния их до этой оси (рис. 3.8).



Таким образом, статический момент площади интеграл вида:

(3.23)

где - координаты элементарной площадки.

При известных статических моментах и площади сечения координаты его центра тяжести можно определить по формулам:

. (3.24)

Статический момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Статический момент сечения относительно его центральной оси (проходящей через центр тяжести фигуры), в том числе относительно оси симметрии, равен нулю.

Статический момент площади выражается единицами длины в третьей степени (мм³, м³).

Полярный момент инерции

Полярным моментом инерции плоской фигуры относительно полюса лежащего в той же плоскости, называется взятая

по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до полюса (рис. 3.9).

Полярный момент инерции будем обозначать :

, (3.25)

и измеряется он в единицах длины в четвертой степени (мм⁴, м⁴).

Полярный момент инерции - величина всегда положительная и не равная нулю.

Так как понятие полярного момента инерции понадобится нам при изучении деформаций кручения круглых валов, то выведем формулы для определения полярных моментов инерции круглого сплошного и кольцевого сечений, принимая за полюс центры этих фигур.

Рис. 3.9 Рис. 3.10 Рис. 3.11

Определим полярный момент для круга диаметром (рис. 3.9).

Выделим в нем бесконечно малую площадку в виде кольца шириной , находящегося на переменном расстоянии от полюса; тогда . Вычислим полярный момент инерции по формуле (3.25):

. (3.26)

Полярный момент для кольцевого сечения (рис. 3.10), определяем аналогично:

. (3.27)

Полярный момент инерции кольцевого сечения можно вычислить как разность полярных моментов инерции большого и малого кругов.

Осевой момент инерции

Осевым моментом инерции плоской фигуры относительно оси, лежащей в той же плоскости, называется взятая по всей площади сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси (рис. 3.11).

Осевой момент инерции будем обозначать с индексом соответствующим оси:

(3.28)

Осевой момент инерции -- величина всегда положительная и не равная нулю.

Вычислим осевые моменты инерции некоторых простых фигур.

Прямоугольник b x h (рис. 3.11). Бесконечно малую площадку выделим в виде полоски шириной и высотой , тогда :



(3.30)

Аналогично определяется момент инерции относительно оси y :

. (3.31)

Для квадрата со стороной момент инерции

Для круга или кольца (рис. 3.9 и рис. 3.10) моменты инерции относительно осей и равны между собой в силу симметрии . Поэтому из равенства (3.29)

то .

Для круглого сечения из формулы (3.26) получим

. (3.32)

Для кольцевого сечения из формулы (3.27) получим

. (3.33)

Сложим моменты инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей и (рис. 3.11):



. (3.29)

Сумма осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции относительно начала координат.

Так как интеграл суммы равен сумме интегралов, то момент инерции сложной фигуры можно вычислять как сумму моментов инерции простых фигур, на которые разбивают сложную фигуру. Понятие об осевых моментах инерции понадобится нам в дальнейшем при изучении теории изгиба.

Полярный момент сопротивления

Полярный момент сопротивления (или момент сопротивления кручению) равен отношению полярного момента инерции к радиусу сечения и он измеряется в единицах длины в третьей степени (мм³, м³).

Полярный момент сопротивления для круглого сечения (рис. 3.8) вычислим, разделив на радиус ,

(3.34)

Аналогично для кольцевого сечения (рис. 3.9)

(3.35)

Кручение

Чистый сдвиг. Закон Гука при сдвиге

Чистым сдвигом называется нагружение, при котором возникают только касательные напряжения. Экспериментально чистый сдвиг может быть осуществлен при кручении тонкостенной трубы (рис. 3.12, а).

Элемент (рис. 3.12, б) вырезан из тонкостенной трубы. При возникновении касательных напряжений элемент перекашивается. Если считать грань закрепленной, то грань сдвинется в положение .

Угол представляет собой изменение первоначально прямого угла между гранями элементарного параллелепипеда и

называется углом сдвига или относительным сдвигом.

Касательное напряжение и угол сдвига связаны прямо пропорциональной зависимостью, которая называется законом Гука при сдвиге

(3.36)

где - модуль сдвига, характеризующий упругие свойства материала при деформации сдвига.

Для одного и того же материала между модулем упругости , модулем сдвига и коэффициентом Пуассона существует следующая зависимость:

. (3.37)

Крутящий момент. Построение эпюр

Кручение - это такой вид нагружения бруса, при котором, в его поперечных сечениях возникает только один внутренний силовой фактор - крутящий момент . Брус, работающий на кручение, называется валом.

Деформации кручения возникают, если к прямому брусу в плоскостях, перпендикулярных оси, приложить пары сил. Моменты этих пар будем называть вращающими (или внешними скручивающими моментами) и обозначать (согласно ГОСТ).

Крутящий момент в сечениях бруса определяется методом сечений. Так как равномерно вращающийся вал, как и неподвижный брус, находится в равновесии, то очевидно, что внутренние силы, возникающие в поперечном сечении, должны уравновешивать внешние моменты, действующие на рассматриваемую часть бруса.

Брус (рис. 3.13) нагружен двумя парами сил и , действующими в противоположных направлениях в плоскостях перпендикулярно к оси бруса. Брус находится в равновесии.

Рис. 3.13

Разрежем брус по сечению на части I и II (рис. 3.13, а) и, отбросив часть I, рассмотрим равновесие оставленной части II (рис. 3.13, б). Равновесие обеспечивается возникновением только крутящего момента ; алгебраические суммы проекций внешних сил, образующих пару, на каждую из осей равны нулю, равны нулю и моменты пар сил относительно осей z и y.

Следовательно, из равенства (3.1) получим

Если отбросить часть II, то в сечении крутящий момент (рис. 3.13, в) ни численно, ни по знаку не изменился, так как при равновесии бруса вращающий момент .

Крутящий момент в каком-либо сечении вала численно равен алгебраической сумме моментов внешних пар, действующих на вал в плоскостях перпендикулярно оси вала, и приложенных по одну сторону от рассматриваемого сечения.

Знак крутящего момента в поперечном сечении вала определяется исходя из направления внешних моментов. Крутящий момент положителен, когда внешние моменты вращают отсеченную часть по часовой стрелке, если смотреть со стороны проведенного сечения, и наоборот.

Для получения наглядной картины изменения крутящих моментов в различных сечениях строят их эпюру по всей длине бруса. Порядок построения эпюры крутящих моментов рассмотрим на примере.

Пример 3.2

Построить эпюру крутящих моментов для бруса (вала), изображенного на рис. 3.14, а.

Вращающие моменты равны: , , , .

Решение.

1.Сечениями, в которых приложены вращающие моменты, брус разделен на пять участков I, II, III, IV, V .

2. Рассечем брус на участке I, отбросив часть бруса правее сечения (рис. 3.14, б) устанавливаем, что левая часть не нагружена, значит

.

3. Рассечем брус на участке II, отбросим правую часть бруса и рассмотрим левую часть со стороны сечения (рис. 3.14, в), тогда

(если смотреть со стороны сечения, то момент действует по ходу часовой стрелки).

4. Рассечем брус на участке III, отбросим правую часть бруса и рассмотрим левую часть со стороны сечения (рис. 3.14, г), тогда

.

Рис. 3.14

5. Рассечем брус на участке IV, отбросим правую часть бруса и рассмотрим левую часть со стороны сечения (рис. 3.14, д), тогда

.

6. Рассечем брус на участке V, отбросим правую часть бруса и рассмотрим левую часть со стороны сечения (рис. 3.14, е), тогда

7. Строим эпюру крутящих моментов (рис. 3.14, ж). Положительные ординаты откладываем вверх от базовой линии (параллельной оси бруса), отрицательные ординаты - вниз.

На первом участке крутящий момент равен нулю, так как вращающий момент на этом участке отсутствует.

Проводим горизонтальную прямую по базовой линии до окончания первого участка, где эпюра делает «скачок», равный величине вращающего момента . Затем проводим горизонтальную прямую до окончания второго участка, где эпюра вновь делает «скачок», равный величине вращающего момента Аналогично строится эпюра крутящих моментов и на других участках.

На любом участке между сечениями бруса, нагруженными вращающими моментами, крутящие моменты остаются постоянными. При переходе от одного участка к другому на эпюре возникают «скачки», численно равные приложенным вращающим моментам.

Напряжения и деформации

В поперечных сечениях бруса круглого сечения (вала) при его кручении возникают только касательные напряжения, действующие в плоскости сечения.

Крутящий момент, найденный из условия равновесия вала, представляет собой результирующий момент внутренних сил , действующих на бесконечно малых площадках поперечного сечения (рис. 3.15), относительно оси вала

, (3.38)

где - полное касательное напряжение в точке сечения; - плечо элементарной касательной силы .

Для выяснения закона изменения деформации по сечению вырежем из вала двумя поперечными сечениями элемент длиной , условно защемив один из его торцев (рис. 3.16). Для наиболее часто встречающихся валов круглого или кольцевого сечения при кручении поперечные сечения сохраняют плоскую форму и радиусы этих сечений не искривляются.

В результате действия сечение повернется относительно условно закрепленного сечения на угол - относительный угол сдвига. Точка C переместится в положение .

Мерой деформации при кручении является относительный угол закручивания , где - абсолютный угол закручивания, т.е. поворот одного сечения относительно другого; - расстояние между этими сечениями.

Из рис. 3.16 следует , откуда .

Согласно закону Гука при сдвиге (3.36) получаем зависимость, отражающую закон распределения касательных напряжений при кручении

. (3.39)

Равенство (3.39) выражает линейный закон распределения касательных напряжений по поперечному сечению при кручении. В центре сечения касательные напряжения равны нулю.

Определим крутящий момент относительно оси кручения, подставляя (3.39) в (3.38),

, (3.40)

где - полярный момент инерции сечения.

Тогда

. (3.41)

Из выражения (3.40) относительный угол закручивания

. (3.42)

Угол закручивания элемента длиной согласно формуле (3.40)

,

откуда полный угол закручивания

. (3.43)

Для цилиндрического бруса, имеющего несколько участков, отличающихся материалом, размерами поперечного сечения, величиной крутящего момента, полный угол закручивания равен алгебраической сумме углов закручивания отдельных участков:

.

Произведение называется жесткостью вала при кручении.

Подставляя выражение (3.42) в уравнение (3.39), получаем формулу для определения напряжений при кручении вала:

(3.44)

Касательные напряжения равны нулю в центре сечения и достигают максимального значения на его контуре (при ).

Максимальное касательное напряжение

, (3.45)

где - полярный момент сопротивления кручению круглого сечения:

.

Расчет на прочность и жесткость при кручении

Условие прочности при кручении бруса заключается в том, что наибольшее возникающее в нем касательное напряжение не должно превышать допускаемого. Расчетная формула на прочность при кручении имеет вид:

. (3.46)

Допускаемое напряжение при кручении назначают по допускаемому напряжению при растяжении, например, для сталей: . Таким образом, для валов из сталей марок сталь 40 и сталь 45, напряжение принимают в пределах МПа.

По условию прочности при кручении (3.46) выполняют три вида расчетов.

Проектировочный расчет. Определив крутящий момент в сечении и приняв , находим требуемое значение полярного момента сопротивления из (3.46)

, (3.47)

и требуемый диаметр вала из формулы 3.34

.

Расчет допускаемой нагрузки. При известных размерах сечения и приняв , находим допускаемое значение крутящего момента

. (3.48)

Проверочный расчет. Определив наибольший крутящий момент и размеры поперечного сечения, находят и сравнивают его с допускаемым напряжением:

.

Кроме соблюдения условия прочности при проектировании, требуется проверить условие жесткости, чтобы относительный угол закручивания не превосходил некоторого заданного значения , т.е.

. (3.49)

В Международной системе единиц (СИ) допускаемый относительный угол закручивания выражается в рад/м, но в практике часто задают в град/м. При этом

. (3.50)

В зависимости от назначения вала принимают или .

По условию жесткости (3.49) выполняются тоже три вида расчетов.

Проектировочный расчет. Из условия жесткости (3.49) полярный момент инерции

. (3.51)

Далее, в зависимости от формы сечения по найденному значению из формулы 3.26 определяют диаметр сечения

.

Расчет допускаемой нагрузки выполняется по формуле

. (3.52)

Проверочный расчет выполняется по формуле (3.49).

Изгиб

Основные понятия

Изгибом называется такой вид деформации, при котором искривляется продольная ось бруса (балки). В общем случае при изгибе в поперечных сечениях балки имеют место два внутренних силовых фактора: перерезывающая сила и изгибающий момент (). Если в поперечных сечениях балки возникает только один внутренний силовой фактор - изгибающий момент , а , то изгиб называется чистым. Если же, кроме изгибающего момента, в сечениях балки возникает и поперечная сила, то изгиб называется поперечным.

Далее рассматриваем только прямой изгиб. В этом случае внешние силы и моменты действуют в главной плоскости, и силы направлены перпендикулярно к оси бруса (рис. 3.17).

Главная плоскость - плоскость, проходящая через ось балки (бруса), и совпадающая с одной из плоскостей симметрии.

На расчетной схеме балку принято заменять её осью независимо от формы поперечного сечения. При этом все силы должны быть приведены к оси балки, а силовая плоскость (главная плоскость) - совпадать с плоскостью чертежа.

Внутренние силовые факторы при изгибе

На рис. 3.17 изображена консольная балка и заменяющая её расчетная схема (3.17, а). Необходимо определить внутренние силовые факторы в её поперечных сечениях. Начало координат примем на свободном - левом конце балки, а ось направим вправо (в этом случае можно не определять опорные реакции).

В соответствии с местом приложения нагрузок - пары сил с моментом , сосредоточенной силы и равномерно распределенной нагрузки интенсивностью разделим балку на три участка: I, II, III. Рассечем балку на участке I сечением, расположенным на расстоянии от места приложения момента и отбросим правую часть балки (рис. 3.17, б), а её действие на оставшуюся часть заменим внутренними силовыми факторами (поперечной силой и изгибающим моментом ).

Тогда на основании уравнений равновесия (3.1)

.

Следовательно, участок I балки находится в состоянии чистого изгиба.

Рассечем балку на участке II сечением, расположенном на расстоянии для данного случая от левого конца балки, отбросив правую часть (рис.3.17, в), найдем, что поперечная сила равна здесь проекции внешней силы на ось : , а изгибающий момент

.

Рис. 3.17

Действие момента противоположно действию момента , поэтому он взят со знаком минус. Балка в данном сечении II находится в состоянии поперечного изгиба. Заметим. что в данном случае значение поперечной силы на участке II не зависит от , т.е. в любом сечении . Числовое значение изгибающего момента - зависит от линейно, т.е. изменяется при переходе от одного сечения к другому.

Рассечем балку на участке III на расстоянии от левого её конца и, отбросив правую часть, находим поперечную силу (рис. 3.17, г)

(3.53)

и изгибающий момент

или . (3.54)

На этом участке возникает также поперечный изгиб. Причем из-за наличия здесь равномерно распределенной нагрузки поперечная сила зависит от места сечения на участке: по мере передвижения сечения вправо (при возрастании ) увеличивается абсолютное значение ; изгибающий момент изменяется в зависимости от по параболическому закону.

Дифференциальные зависимости при изгибе

Между изгибающим моментом , поперечной силой и интенсивностью равномерно распределенной нагрузки существуют дифференциальные зависимости. Производная от изгибающего момента по длине балки равна поперечной силе

^. (3.55)

Производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности равномерно распределенной нагрузки, взятой с обратным знаком

^. (3.56)

Справедливость этих зависимостей можно проверить для значений и Q, найденных для III участка балки (рис. 3.17, г). Приведем выражение (3.54) к виду

.

Дифференцируем по , помня, что , , a, b и q - величины постоянные.

^.

Приведем выражение (3.53) к виду

и продифференцировав его, получим

^.

Обобщая полученные результаты, из зависимостей (3.55) и (3.56) следует:

1. Если , то .

2. Если , то , изменяется по линейному закону, причем при , возрастает, а при , убывает.

3. Если изменяется по линейному закону, т.е. функция первой степени от , то изменяется по параболическому закону (т.е. - квадратичная функция от ).

Построение эпюр поперечных сил и изгибающих моментов

При расчете балок на прочность необходимо иметь представление о характере изменения изгибающего момента и поперечной силы, знать положение опасного сечения. С этой целью строят эпюры изгибающих моментов и поперечных сил, представляющие собой графическое изображение изменения этих внутренних силовых факторов по длине балки.



Рис. 3.18

Поперечная сила в произвольном поперечном сечении балки численно равна алгебраической сумме значений всех внешних сил (в том числе и реакций опор), приложенных по одну сторону от сечения, при этом силам, поворачивающим относительно центра тяжести сечения оставленную часть балки по ходу часовой стрелки, приписывается знак плюс (рис. 3.18, а), а силам, поворачивающим относительно сечения оставленную часть балки против хода часовой стрелки, приписывается знак минус (рис. 3.18, б)

Рис. 3.19

Изгибающий момент в произвольном поперечном сечении балки численно равен алгебраической сумме моментов внешних сил, действующих по одну сторону от сечения, относительно центра тяжести сечения балки, при этом внешним моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вниз, приписывается знак плюс (рис. 3.19, а), а моментам, изгибающим ось балки выпуклостью вверх, - знак минус (рис. 3.19, б). Таким образом для положительных моментов нижние волокна балки будут растянуты, а верхние - сжаты.

Правило знаков для изгибающих моментов иногда называют «правилом дождя» (имея в виду, что в случае выпуклости вниз образуется воронка, в которой задержится дождевая вода, и наоборот).

Для построения эпюр определяют значения и для ряда сечений и по ним строят графики. Наиболее распространены два способа построения эпюр:

· по аналитическим выражениям с использованием метода сечений;

· по характерным сечениям.

При первом методе записывают аналитические выражения внутренних силовых факторов в пределах некоторого участка балки. Границы участков определяются точками приложения внешних сил, в которых изменяется математическое выражение внутреннего силового фактора.

Второй способ заключается в построении эпюр по характерным точками и значениям поперечных сил и изгибающих моментов на границах участков. Применяя этот способ, в большинстве случаев можно обойтись без составления уравнений поперечных сил и изгибающих моментов.

Основные правила построения эпюр по характерным точкам

При построении эпюр по характерным точкам значения внутренних силовых факторов вычисляют по методу сечений для границ участков (характерных точек).

1. На участке балки без равномерно распределенной нагрузки, т.е. поперечная сила постоянна и ее эпюра изображается отрезком прямой параллельной базовой линии, а изгибающий момент изменяется по линейному закону, и эпюра изображается наклонным к базовой линии отрезком прямой.

2. На участках, нагруженных равномерно распределенной нагрузкой, т.е. , поперечная сила изменяется по линейному закону, и ее эпюра изображается наклонной прямой; а изгибающий момент изменяется по квадратичному закону, и его эпюру изображают дугой параболы, выпуклость которой направлена навстречу нагрузке.

3. Если на участках, указанных в п. 1 и 2, , то изгибающий момент возрастает; если , то изгибающий момент убывает; если , то изгибающий момент постоянен .

4. Если поперечная сила изменяется по линейному закону, проходит через нулевое значение, то в соответствующем этому значению сечении балки изгибающий момент достигает экстремального значения: максимального - при переходе слева направо от , к и минимального - при переходе также слева направо от , к .

5. Если границей участка балки служит точка приложения сосредоточенной пары сил, то на эпюре это не отражается, а на эпюре возникает скачок, численно равный значению момента пары.

6. Если границей участка балки служит точка приложения сосредоточенной силы , то эпюра в этом месте изменяется скачкообразно на величину, численно равную , а на эпюре возникает излом, т.е. изменение угла наклона прямой или дуги параболы.

7. Если границей участка служит начало или окончание действия равномерно распределенной нагрузки , то на эпюре возникает излом (т.е. переход от параллельного к базовой линии отрезка к наклонному или, наоборот, от наклонного к параллельному). На эпюре прямолинейная и параболическая части сопрягаются плавно (т.е. прямолинейная часть есть касательная к дуге параболы в их общей точке).

8. В сечении на свободном или шарнирно опертом конце балки изгибающий момент , если в этом сечении не приложен сосредоточенный момент. Поперечная сила в этом сечении равна внешней сосредоточенной силе (нагрузке или реакции связи).

9. В сечении, совпадающем с заделкой и , получившиеся на эпюрах равны собственной опорной реакции и реактивному моменту.

Пример 3.3

Построить эпюры поперечных сил и изгибающих моментов для балки, расчетная схема которой изображена на рис. 3.17, при следующих исходных параметрах: ; ; ; ; ; .

Решение.

1. Определяем опорные реакции и , составив уравнения равновесия

Проверим правильность определения опорных реакций, составив уравнение моментов относительно точки

Полученное тождество говорит о том, что опорные реакции вычислены верно.

2. Построение эпюр внутренних силовых факторов.

Тогда уравнения равновесия в первом сечении (см. п. 3.5.2 и рис. 3.17, б) для :

.

Второе сечение (см. п. 3.5.2 и рис. 3.17, в) для :

кН.

;

при ;

при.

Третье сечение (см. п. 3.5.2 и рис. 3.17, г) для

;

при ;

при ;

.

;

при

при

По найденным значениям и строим эпюры, показанные на рис. 3.20.

Из построенных эпюр видно, что опасным будет сечение балки в опоре , в котором действуют наибольшие силовые факторы.

Нормальные напряжения в балке при изгибе

Рассмотрим случай чистого изгиба балки, когда поперечная сила во всех сечениях равна нулю, а изгибающий момент постоянен.

Для выяснения закона распределения нормальных напряжений по поперечному сечению балки примем следующие допущения:

...