Сопротивление материалов

· при чистом прямом изгибе справедлива гипотеза плоских сечений: поперечные сечения бруса, плоские и нормальные к его оси до деформации, остаются плоскими и нормальными к его оси во время и после деформации;

· волокна бруса при его деформации не надавливают друг на друга;

· материал работает в пределах упругости.

Картина деформированного состояния при чистом изгибе, подтверждающая гипотезу плоских сечений, хорошо видна на резиновой модели бруса прямоугольного сечения с нанесенной на боковой грани сеткой из продольных и поперечных линий (рис. 3.21, а), имитирующей продольные слои и поперечные сечения бруса.

При нагружении обоих концов бруса противоположно направленными моментами продольные линии искривляются, образуя дуги окружностей, а поперечные, оставаясь прямыми, лишь поворачиваются на некоторый угол (рис. 3.21, б). Таким образом, при изгибе часть волокон бруса растягивается (на рис.3.21 - верхняя), часть - сжимается (на рис.3.21 - нижняя). В связи с этим в поперечных сечениях балки возникают нормальные напряжения растяжения и сжатия. Границей между областями растяжения и сжатия является слой, который лишь искривляется, не изменяя своей длины. Этот слой называется нейтральным (НС на рис. 3. 21, б).

Касательные напряжения в сечениях отсутствуют, так как поперечная сила равна нулю.

Определим положение нейтрального слоя по высоте сечения. Выделим двумя поперечными сечениями элемент балки длиной (см. рис. 3.21). Известно, что после приложения нагрузки нейтральный слой балки (АВ) искривляется (радиус кривизны ), а сечения элемента поворачиваются относительно нейтральной линии на угол (рис. 3.22). Длина отрезка волокон нейтрального слоя:

. (3.57)

Относительное удлинение волокна , находящегося на расстоянии от нейтрального слоя :

. (3.58)

В соответствии с принятыми допущениями используя закон Гука при осевом растяжении (сжатии), получим зависимость изменения напряжений по поперечному сечению балки:

. (3.59)

Таким образом, величина постоянная для данного сечения, поэтому напряжения изменяется по высоте сечения в зависимости от координаты . Геометрическое место точек в сечении, удовлетворяющее условию , представляет собой нейтральную линию сечения. Положение нейтральной линии определяется из условия равенства нулю нормальной силы при чистом изгибе , тогда (рис. 3.23)

,

так как , то , т.е. .

Равенство нулю статического момента площади сечения относительно оси означает, что при изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести площади поперечного сечения

Изгибающий момент для чистого прямого изгиба

,

где - момент инерции сечения относительно оси [см. формулу (3.28)].

Таким образом , откуда , (3.60)

где - кривизна изогнутой оси балки, характеризующая деформацию изгиба; - жесткость сечения балки при изгибе.

Из уравнений (3.59) и (3.60) получаем расчетную формулу для нормальных напряжений

, (3.61)

где - расстояние от нейтральной оси до точки, в которой определяется напряжение;

момент сопротивления изгибу (или осевой момент сопротивления).

Момент сопротивления изгибу есть отношение осевого момента инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси к расстоянию от этой оси до наиболее удаленного волокна.

Для прямоугольного сечения (рис. 3.11) момент сопротивления

(3.62)

Для круглого сечения (рис. 3.9)

(3.63)

Для кольцевого сечения (рис. 3.10)

(3.64)

Наиболее экономичны при изгибе такие формы сечения, при которых материал бруса расположен как можно дальше от нейтральной оси. У таких брусьев при наименьшей затрате материала получается наибольший момент сопротивления . Поэтому и возникли профили стандартного проката (швеллеры, двутавры).

Формула (3.61), получена для случая чистого изгиба, однако как показывают исследования, она может быть распространена для определения нормальных напряжений при поперечном изгибе.

Расчеты на прочность при изгибе

Проверку прочности и подбор сечений изгибаемых балок обычно производят исходя из условия: наибольшие нормальные напряжения в поперечных сечениях не должны превосходить допускаемых напряжений на растяжение и сжатие .

Для балок из материалов, одинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (сталь, дерево) условие прочности по нормальным напряжениям:

. (3.65)

Максимальный изгибающий момент определяют из эпюр изгибающих моментов.

Для балок, изготовленных из материалов, неодинаково сопротивляющихся растяжению и сжатию (например, чугун) выгодны сечения, не симметричные относительно нейтральной оси:

; (3.66)

, (3.67)

где и - расстояние от нейтральной оси х до наиболее удаленных точек в растянутой и сжатой зонах сечения; и - допускаемые напряжения при растяжении и сжатии соответственно.

С помощью условия прочности по нормальным напряжениям при изгибе можно решать следующие три задачи.

1. Проектный расчет. Приняв, по изгибающему моменту в опасном сечении находят требуемое значение момента сопротивления:

. (3.68)

Затем, исходя из принятой для балки формы поперечного сечения по , находят его размеры.

2. Расчет допускаемой нагрузки. Выполняется при по формуле

.

3. Проверочный расчет. Определив максимальный изгибающий момент и момент сопротивления сечения, находят по формуле (3.65) значение и сравнивают его с допускаемым напряжением .

Аналогично выполняются расчеты балок из условия прочности (3.66) и (3.67).

Сложные виды деформированного состояния

Понятие о сложном напряженном состоянии

Сложное деформированное состояние возникает в тех случаях, когда элемент конструкции или машина подвергается одновременно нескольким простейшим видам нагружения.

Для таких случаев опытное определение величин, характеризующих прочность, невозможно, поэтому при оценке прочности детали приходится основываться на механических характеристиках данного материала, полученных из диаграммы растяжения.

При сложном деформированном состоянии в поперечных сечениях возникают нормальные и касательные напряжения, распределенные неравномерно и по разным законам. В связи с этим не ясно, какое же из этих напряжений, или какая их комбинация определяет прочность тела (бруса, вала). Ответ на этот вопрос дают так называемые теории (или гипотезы) прочности.

Примером сложного деформирования являются валы, которые работают на изгиб и кручение.

Понятие о теориях прочности

Испытания материалов, как было указано, позволяют определить опасные, или предельные, напряжения при каких-то простейших деформированных состояниях. Так что оценку прочности детали, находящейся в сложном напряженном состоянии, когда в данной точке на данной площадке одновременно действуют и , произвести на основании эксперимента затруднительно. Прочность деталей в таких случаях оценивают с помощью теорий прочности.

Гипотезы прочности - это научные предположения об основной причине достижения материалом предельного напряженного состояния при сочетании основных деформаций.

Критерии прочности устанавливаются на основании гипотез возникновения текучести материала или его разрушения. Каждому критерию прочности соответствует своя теория прочности.

Предельное напряженное состояние наиболее полно изучено экспериментально для простейшего случая - одноосного растяжения. Поэтому целесообразно сравнивать исследуемое сложное напряженное состояние с одноосным растяжением, устанавливая их эквивалентность.

Эквивалентное напряжение - напряжение, которое следует создать в одноосно растянутом образце, чтобы его наряженное состояние стало равноопасным с исследуемым.

В соответствии с условием прочности эквивалентное напряжение не должно превышать допускаемого напряжения на растяжение для материала

. (3.69)

Универсального критерия, позволяющего рассчитать предельное состояние для любого материала, нет. Разработано несколько теорий прочности и при расчетах используют наиболее подходящую для данных условий. Это позволяет избегать дорогостоящих испытаний конструкций.

Для расчета валов на совместное действие изгиба и кручения применяют третью или четвертую теорию прочности.

По третьей теории прочности эквивалентное напряжение вычисляют по формуле

. (3.70)

По четвертой теории прочности формула для эквивалентного напряжения имеет несколько иной вид

. (3.71)

В этих формулах и - нормальное и касательное напряжение в опасной точке поперечного сечения бруса.

При расчете валов учитывается только крутящий и изгибающий моменты, действующие в опасном поперечном сечении, и не принимаются во внимание поперечные силы, так как соответствующие им касательные напряжения невелики.

Максимальные нормальные и касательные напряжения для круглых валов вычисляют по формулам

, ,

причем для круглых валов .

При сочетании изгиба и кручения опасными будут точки опасного поперечного сечения вала, наиболее удаленные от нейтральной оси.

Применив третью теорию прочности

(3.72)

Выражение, стоящее в числителе носит название эквивалентного момента

, (3.73)

тогда расчетная формула для круглых валов принимает вид

. (3.74)

По четвертой теории прочности эквивалентное напряжение вычисляют по формуле:

тогда

. (3.75)

Расчетным, или опасным, сечением является то, в котором возникает максимальный эквивалентный момент. Иногда приходится проводить расчет для нескольких сечений, в которых возникают значительные эквивалентные моменты.

Пример 3.4

На вал, изображенный на рис. 3.24, а насажены три зубчатых колеса. Зубчатые колеса нагружены силами: , причем силы и направлены горизонтально, а сила - вертикально. Диаметры колес соответственно: .

Построить эпюру крутящих моментов и эпюры изгибающих моментов в вертикальной и горизонтальной плоскостях, пренебрегая массой колес и самого вала. Определить требуемый диаметр вала по третьей теории прочности. Допускаемое напряжение .

Решение.

Вычисляем вращающие моменты от сил , и , скручивающие вал:

.

На рисунке 3.24, а показано нагружение вала этими моментами. На участке II проводим сечение а-а ; рассматриваем левую отсеченную часть

.

Знак минус показывает, что внешний момент, приложенный к левой части, вращает ее против часовой стрелки, если смотреть со стороны сечения.

На участке III проводим сечение b-b и рассматриваем правую отсеченную часть

,

или, если рассматривать левую часть, то получится тот же результат

.

На участках I и IV крутящие моменты равны нулю (трением в подшипниках пренебрегаем). Эпюра крутящих моментов построена на рис. 3.24, б.

Сила вызывает изгиб в вертикальной плоскости. Изгибающая вертикальная нагрузка показана на рис. 3.24, в.

Определим вертикальные составляющие опорных реакций в точках и :

,

откуда

.

Определяем величины изгибающих моментов в вертикальной плоскости:

в сечении А

в сечении С

в сечении D

в сечении E

(в сечении Е рассматриваем равновесие правой части балки);

в сечении В .

Эпюра изгибающих моментов в вертикальной плоскости построена на рис. 3.24, г.

Определяем горизонтальные составляющие опорных реакций от нагружения вала горизонтальными силами и (рис. 3.24, д):

,

откуда

Определяем ординаты эпюры изгибающих моментов в горизонтальной плоскости:

в сечении А

в сечении С

в сечении D

в сечении E

(в сечении Е рассматриваем равновесие правой части балки);

в сечении В .

Эпюра моментов в горизонтальной плоскости построена на рис. 3.24, е.

Так как изгибающие моменты и возникают во взаимно перпендикулярных плоскостях, то суммарный изгибающий момент, определится их геометрической суммой по формуле

.

Наибольший суммарный изгибающий момент в сечении D

/

сопротивление сила деформация сечение

Во всех сечениях II и III возникают крутящие моменты, равные по абсолютному значению ; слева от сечения D - отрицательные, справа - положительные. Очевидно, что сечение D является опасным.

Подставляем значение расчетных моментов в формулу (3.68) и определяем требуемый момент сопротивления сечения вала по третьей теории прочности

.

Вычисляем диаметр вала, полагая ,

.

Принимаем диаметр вала .

Размещено на Allbest.ru