Решение квадратных уравнений

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Из истории квадратных уравнений

1.1 Квадратные уравнения в Древнем Вавилоне

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения умели решать около 2000 лет до н.э. вавилоняне.

Применяя современную алгебраическую запись, можно сказать, что в их клинописных текстах встречаются, кроме неполных, и такие, например, полные квадратные уравнения:

X² + X = ѕ; X² - X = 14, 5

Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены.

Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

1.2 Как составлял и решал Диофант квадратные уравнения

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные.

Вот, к примеру, одна из его задач.

«Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10-х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:

(10 + х) (10-х) = 96 или же:

100 - х² = 96

х² - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у (20 - у) = 96,

у² - 20у + 96 = 0. (2)

Ясно, что, выбирая в качестве неизвестного полуразность искомых чисел, Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

1.3 Квадратные уравнения в Индии

Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом тракте «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученный, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

ах² + bх = с, а > 0. (1)

В уравнении (1) коэффициенты, кроме а, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.

В Древней Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу другого в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

«Обезьянок резвых стая А двенадцать по лианам…

Власть поевши, развлекалась. Стали прыгать, повисая…

Их в квадрате часть восьмая Сколько ж было обезьянок,

На поляне забавлялась. Ты скажи мне, в этой стае?»

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что он знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее уравнение: (x/8)² + 12 = x Бхаскара пишет под видом:

х² - 64х = -768 и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 32², получая затем:

х² - 64х + 32² = -768 + 1024,

(х - 32)² = 256,

х - 32 = ± 16,

х₁ = 16, х₂ = 48.

1.4 Квадратные уравнения у ал - Хорезми

В алгебраическом трактате ал - Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1) «Квадраты равны корнями», т.е. ах² + с = bх.

2) «Квадраты равны числу», т.е. ах² = с.

3) «Корни равны числу», т.е. ах = с.

4) «Квадраты и числа равны корням», т.е. ах² + с = bх.

5) «Квадраты и корни равны числу», т.е. ах² + bx = с.

6) «Корни и числа равны квадратам», т.е. bx + с = ах².

Для ал - Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого их этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал - джабр и ал - мукабала. Его решения, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида ал - Хорезми, как и все математики до XVII в., е учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений ал - Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем и геометрические доказательства.

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения х² + 21 = 10х).

Решение автора гласит примерно так: раздели пополам число корней, получишь 5, умножишь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Трактат ал - Хорезми является первой, дошедшей до нас книгой, в которой систематически изложена классификация квадратных уравнений и даны формулы их решения.

1.5 Квадратные уравнения в Европе XIII-XVII вв.

Формулы решения квадратных уравнений по образцу ал - Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202 г. итальянским математиком Леонардо Фибоначчи. Этот объемистый труд, в котором отражено влияние математики, как стран ислама, так и Древней Греции, отличается и полнотой, и ясностью изложения. Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел. Его книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из «Книги абака» переходили почти во все европейские учебники XVI-XVII вв. и частично XVIII.

Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду:

х² + bx = с,

при всевозможных комбинациях знаков коэффициентов b, с было сформулировано в Европе лишь в 1544 г. М. Штифелем.

Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья, Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. Учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. Благодаря труда Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.

2. Квадратные уравнения

Квадратным уравнением называют уравнение вида ахІ+bх+с=0, где коэффициенты а, b, с - любые действительные числа, причём а?0. Коэффициенты а, b, с, различают по названиям: а - первый или старший коэффициент; b - второй или коэффициент при х; с - свободный член, свободен от переменной х. Квадратное уравнение также называют уравнением второй степени, так как его левая часть есть многочлен второй степени. Квадратное уравнение называют приведенным, если старший коэффициент равен 1; квадратное уравнение называют неприведенным, если старший коэффициент отличен от 1.

хІ+рх+q=0 - стандартный вид приведенного квадратного уравненияКроме приведенных и неприведенных квадратных уравнений различают также полные и неполные уравнения. Полное квадратное уравнение - это квадратное уравнение, в котором присутствуют все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого коэффициенты b и с отличны от нуля. Неполное квадратное уравнение - это уравнение, в котором присутствуют не все три слагаемых; иными словами, это уравнение, у которого хотя бы один из коэффициентов b и с равен нулю.

Обратите внимание: об ахІ речи нет, этот член всегда присутствует в квадратном уравнении.

Корнем квадратного уравнения ахІ+вх+с=0 называют всякое значение переменной х, при котором квадратный трехчлен ахІ+bх+с обращается в нуль; такое значение переменной х называют также корнем квадратного трехчлена.

Можно сказать и так: корень квадратного уравнения ахІ+bх+с=0 - это такое значение х, подстановка которого в уравнение обращает уравнение в верное числовое равенство. 0=0.

Решить квадратное уравнение - это значит найти все его корни или установить, что их нет.

Решение неполных квадратных уравнений.

Сначала математики научились решать неполные квадратные уравнения, поскольку для этого не пришлось, как говорится, ничего изобретать.

Если b=0, то ахІ+ с=0	Если с=0, то ахІ+bх=0	Если b=0, с=0, то ахІ=0
ахІ+ с=0, ахІ= - с, хІ = - с/а, ы Если - с/а ? 0, то уравнение имеет 2 корня х=±v-с/а ы Если - с/а < 0, то уравнение корней не имеет.	ахІ+bх=0, х (ах+b)=0, <=> х=0, ах+b=0; х=0, х=-b/а.	ахІ=0, хІ=0, х=0.

Неполное квадратное уравнение может иметь два корня, один корень и ни одного корня.

Квадратное уравнение ахІ+bх+с=0 может иметь либо два корня, либо один корень, либо вообще не иметь корней.

Формулы корней квадратного уравнения.

ахІ+bх+с=0

Графиком функции, стоящей в левой части является парабола. Для вывода формул координат вершин параболы применим выделение полного квадрата.

Выделив полный квадрат, получим уравнение: ахІ+bх+с=а (х+b/2а)І - bІ-4 ас/4а=0.

Обычно выражение bІ-4 ас обозначают буквой D и называют дискриминантом квадратного уравнения ахІ+bх+с=0 (или дискриминантом квадратного трехчлена ахІ+bх+с) («дискриминант» по-латыни - различитель).

Пример: 3аІ+5а-3=0 (а=3, b=5, с=-3.)

D= bІ-4 ас

D=25-4·3·(-3)=25+36=61

Таким образом: ахІ+bх+с=а (х+b/2а)І - D/4а.

Значит, квадратное уравнение ахІ+bх+с=0 можно переписать в виде

а (х+b/2а)І=D/4а и далее (х+b/2а)І=D/4аІ

Теорема 1: Если D<0, то квадратное уравнение ахІ+bх+с=0 не имеет корней.

Доказательство:

Если D<0, то D/4аІ - отрицательное число. (х+b/2а)І - при любых значениях х принимает неотрицательные значения. Значит нет ни одного значения х, которое удовлетворяло бы уравнению (х+b/2а)І=D/4аІ, а поэтому это уравнение не имеет корней.

Теорема 2: Если D=0, то квадратное уравнение ахІ+вх+с=0 имеет один корень, который находится по формуле: х=-b/2а

Доказательство:

Если D=0, то уравнение (х+b/2а)І=D/4аІ принимает вид: (х+b/2а)І=0

Значит, х+b/2а=0, таким образом х=-b/2а - единственный корень уравнения.

Теорема 3: Если D>0, то квадратное уравнение ахІ+вх+с=0 имеет два корня, которые находятся по формулам: 1) х₁=-b-vD/2а 2) х₂=-b+vD/2а

Доказательство:

Перепишем квадратное уравнение ахІ+вх+с=0 в виде: (х+b/2а)І=D/4аІ

По условию D>0, значит D/4аІ>0

х+b/2а=±vD/4аІ;

х=-b/2а±vD/2а;

х=-b±vD/2a;

=> х₁=-b-vD/2а х₂=-b+vD/2а

Алгоритм решения квадратных уравнений.

1) Вычислить Д квадратного уравнения по формуле: D=bІ-4 ас

2) Сделать вывод о знаке D и о количестве корней.

ь Если D<0, то корней нет.

ь Если D=0, то один корень х=-b/2а

ь Если D>0 то, два корня х₁=-b-vD/2а х₂=-b+vD/2а

Решение квадратных уравнений с четным вторым коэффициентом.

Математики никогда не пройдут мимо возможности облегчить себе вычисления. Они обнаружили, что формулу: х_1,2=-b±vD/2а можно упростить в случае, когда коэффициент в имеет вид b=2к, если в-четное число.

Подставим в формулу х_1,2=-b±vD/2а число 2к вместо в, тогда:

х_1,2=-2к±v(2к)І-4 ас/2а=-2к±v4кІ-4 ас/2а=-2к±v4 (кІ-ас)/2а=-2к±2vкІ-ас/2а=2 (-к±vкІ-ас)/2а=-к±vкІ-ас/а

Итак, корни квадратного уравнения ахІ+2 кх+с=0 можно вычислить по формуле: х_1,2=-к±vкІ-ас/а Дискриминант обозначают в таких случаях: D1 и находят по формуле: D₁=кІ-ас

ь D₁<0 - корней нет.

ь D₁=0 - 1 корень х=-к/а

ь D₁>0 - 2 корня х1,2=-к±vкІ-ас/а

3. Способы решения квадратных уравнений

В школьном курсе математики изучаются формулы корней квадратных уравнений, с помощью которых можно решать любые квадратные уравнения. Однако имеются и другие способы решения квадратных уравнений, которые позволяют очень быстро и рационально решать многие уравнения.

1. СПОСОБ: Разложение левой части уравнения на множители.

Решим уравнение

х² -6х -7 = 0.

Разложим левую часть на множители:

х² -6х -7 = х² -6х - 6 - 1= (х² - 1) - (6х +6) = (х + 1) (х -1) - 6 (х + 1)=

=(х + 1) (х-1-6)=(х + 1) (х-7)

Следовательно, уравнение можно переписать так:

(х + 1) (х-7)= 0

Так как произведение равно нулю, то, по крайней мере, один из его множителей равен нулю. Поэтому левая часть уравнения обращается нуль при х = 1, а также при х = - 7. Это означает, что число 1 и - 7 являются корнями уравнения х² -6х -7 = 0.

2. СПОСОБ: Метод выделения полного квадрата.

Решим уравнение х² + 6х - 7 = 0.

Выделим в левой части полный квадрат.

Для этого запишем выражение х² + 6х в следующем виде:

х² + 6х = х² + 2* х * 3.

В полученном выражении первое слагаемое - квадрат числа х, а второе - удвоенное произведение х на 3. По этому чтобы получить полный квадрат, нужно прибавить 3², так как

х² + 2* х * 3 + 3² = (х + 3)².

Преобразуем теперь левую часть уравнения

х² + 6х - 7 = 0,

прибавляя к ней и вычитая 3². Имеем:

х² + 6х - 7 = х² + 2* х * 3 + 3² - 3² - 7 = (х + 3)² - 9 - 7 = (х + 3)² - 16.

Таким образом, данное уравнение можно записать так: (х + 3)² - 16 =0, (х + 3)² = 16.

Следовательно, х + 3 - 4 = 0, х₁ = 1, или х + 3 = -4, х₂ = -7.

3. СПОСОБ: Решение квадратных уравнений по формуле.

Примеры.

а) 4х²+ 7х + 3 = 0.

а = 4, b = 7, с = 3, D = b² - 4 ас = 7² - 4· 4 ·3 = 49 - 48 = 1, D >два разных корня;

х = , х = ; х = , х₁ = , х = , х₂ = -1

Таким образом, в случае положительного дискриминанта,

т.е. при b² - 4 ас?0 уравнение ах² + bх + с = 0 имеет два различных корня.

б) 4х² - 4х + 1 = 0,

а =4, b= - 4, с = 1. D = b² - 4 ас= 16 - 4•4•1 = 0, D = 0, один корень;

х=

Итак, если дискриминант равен нулю, т.е. = b² - 4 ас= 0, то уравнение ах² + bх + с = 0 имеет единственный корень, х =

в) 2х² +3х + 4 = 0, а =2, b= 3, с = 4, D = b² - 4 ас= 9 - 4•2•4 =9 - 32 = - 13,

D < 0. Уравнение не имеет корней.

Итак, если дискриминант отрицателен, т.е. = b² - 4 ас< 0, то уравнение

ах²+ bх + с = 0 не имеет корней.

Формула (1) корней квадратного уравнения ах² + bх + с = 0 позволяет найти корни любого квадратного уравнения (если они есть), в том числе приведенного и неполного. Словесно формула (1) выражается так: корни квадратного уравнения равны дроби, числитель которой равен второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, плюс минус корень квадратный из квадрата этого коэффициента без учетверенного произведения первого коэффициента на свободный член, а знаменатель есть удвоенный первый коэффициент.

Решим уравнение 3х² - 14х + 16 = 0.

Решение. Имеем: а = 3, b = - 14, c = 16, k = - 7;

D = k² - ac = (- 7)² - 3 · 16 = 49 - 48 = 1, D>0, два различных корня;

х =

квадратный корень уравнение множитель

Ответ: 2; .

Приведенное уравнение x² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, p и c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула корней

х_1,2 =

принимает вид:

х_1,2 = или х_1,2 = - (3).

Формулу (3) особенно удобно использовать, когда p - четное число.

1. Решим уравнение х² - 14х - 15 = 0.

Решение. Имеем: х_1,2 = 7±= 7±= 7±8.

Ответ: х₁ = 15, х₂ = - 1.

Размещено на Allbest.ru

...