Методы решения задач на построение на плоскости

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Основания конструктивной геометрии

1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

1.2 Инструменты геометрических построений

1.3 Задача на построение

2. Элементарные геометрические задачи на построение

3. Метод геометрических мест точек

3.1 Понятие о геометрическом месте точек

3.2 Обзор простейших геометрических мест

3.3 Разыскание геометрических мест

3.4 Решение задач на построение методом геометрических мест точек

4. Метод геометрических преобразований

4.1 Симметрия

4.2 Вращение

4.3 Параллельное перенесение

4.4 Гомотетия

4.5 Инверсия

5. Алгебраический метод

5.1 Постановка задачи о построении отрезка, заданного формулой

5.2 Построение отрезков, заданных простейшими формулами



Введение

Геометрические задачи на построение являются настолько существенным фактором математического образования, что на преподавание этого раздела в средней школе должно быть обращено серьезное внимание.

Задачи на построение развивают изобретательность, инициативу, конструктивные способности.

Значение отдельных моментов решения задачи на построение должно быть отмечено. Так, в "анализе" учащиеся приучаются к тщательному изучению задачи, которое должно установить связи искомых элементов с данными и указать пути решения. Это первый и важнейший момент решения задачи на построение. Затем выполняется само "построение". Учащийся, имея в своем распоряжении заданные элементы и руководствуясь выводами анализа, должен произвести синтез, приводящий его к построению искомой фигуры. Следующий этап решения - "доказательство". Он может показаться излишним, обеспеченным соответствием построения данными анализа. Но это не всегда так. Надо убедиться в том, что найденные необходимые условия являются достаточными и что построенная фигура удовлетворяет всем требованиям задачи. Поэтому учащийся приучается давать себе отчет в логической строгости конструкции, её соответствии поставленной задаче.

Наконец, в последней части, завершающий процесс решения, производится "исследование", т. е. выясняется вопрос об условиях существования решения, о числе решений и т. п. В задачах более сложных "исследование" затрагивает иногда настолько тонкие вопросы и требует такой математической строгости рассуждений, что становится для учащихся как бы первым опытом, первым подходом к научному изучению математических проблем.

Уже из этого перечисления основных моментов в процессе решения конструктивной задачи видно, что мы имеем здесь весьма ценное орудие математического образования, математического развития учащихся. Они находят в задачах на построение разностороннее применение своих способностей. Кажущаяся простота проблемы только усиливает интерес к ней и желание найти решение, которое, однако, может потребовать большого умственного напряжения и изобретательности.

Ознакомление учащихся с методами геометрических построений вооружает их теоретически и практически, вносит ясность, ориентирует в разнообразных вопросах конструктивной геометрии.

Изучение методов геометрических построений должно усилить творческие возможности учащихся, увеличить выбор приемов решения, правильно организовать процесс решения задачи.



1. Основания конструктивной геометрии

1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовём основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Примерами фигур могут служить: точка; пара точек; прямая(рассматриваемая как совокупность принадлежащих ей точек); пара параллельных прямых; отрезок (фигура, состоящая из двух точек и всех точек прямой, лежащих между ними); интервал, или открытый отрезок (совокупность всех точек, лежащих между двумя точками прямой); луч (фигура, состоящая из некоторой точки прямой и всех точек этой прямой, расположенных по одну сторону от этой точки); окружность (совокупность всех точек плоскости отстоящих на данное расстояние от некоторой данной точки этой плоскости); круг (совокупность всех точек плоскости, расстояния которых от данной в этой плоскости точки не превышают длины данного отрезка) и др.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур. Соединение фигур Ц? и Ц? обозначают так: Ц?+Ц? или Ц?UЦ?.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек. Так, пересечение прямой с окружностью будет пустым множеством, если расстояние прямой до центра окружности окажется больше радиуса этой окружности. Разность между интервалом прямой и всей прямой есть пустое множество. геометрия плоскость отрезок аксиома

Ясно, что если фигура Ц? есть часть фигуры Ц?, то разность Ц?\Ц? есть пустое множество. Нетрудно показать (способом от противного) и обратное: если разность Ц?\Ц? - пустое множество, то фигура Ц? есть часть фигуры Ц?.

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Мы примем это понятие без определения. Конкретный его смысл известен из практики, где оно означает то же, что "начертить", "провести" (линию), "отметить" (точку) и т.п. В интересах логической строгости изложения необходимо чётко формулировать те основные требования, которыми характеризуется это понятие. Эти требования обычно не формулируются в условиях школьного курса элементарной геометрии, но они подразумеваются в процессе решения любой геометрической задачи на построение как нечто само собой разумеющееся. Основные требования конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертежной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой конструктивной геометрии. Перейдем к рассмотрению этих основных положений (аксиом) теории геометрических построений.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

· Каждая данная фигура построена

Заметим, что не следует смешивать понятия "данная фигура" и "фигура, заданная (или определенная) такими-то данными её элементами". В последнем случае дана не сама фигура, а лишь некоторые её элементы, которые определяют положение этой фигуры. Например, если даны две точки прямой, то существует единственная прямая, соединяющая эти точки, т.е. эта прямая определена двумя точками, но это не означает, что прямая эта построена (начерчена). Точно так же центр О и точка А на окружности определяют эту окружность по величине и положению, но если сказано только, что даны точки О и А, то ещё не следует считать (в том смысле, как это понимается в конструктивной геометрии), что дана сама окружность.

Представим себе, что построена полуокружность БmВ, а также построена и полуокружность БnВ. Конечно, после этого надо считать, что построена вся окружность БmВnБ.

Точно так же, если построен луч БМ некоторой прямой, а затем луч ВН той же прямой, то, естественно, считается, что простроена прямая МН, являющаяся соединением этих лучей.

Если построены три отрезка БВ, ВC и CБ, то нет надобности строить что-либо ещё, чтобы построить треугольник БВC. Эти примеры разъясняют смысл следующего постулата (основные требования):

· Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

Представим себе, что построены два отрезка одной прямой: БВ и CD. Естественно, считается возможным ответить на вопрос, принадлежит ли отрезок CD целиком отрезку БВ

Если построена окружность и точка, то при непосредственном рассмотрении чертежа можно ответить на вопрос, лежит ли построенная точка на построенной окружности или нет. Вообще если построены две фигуры, то считается известным, является ли одна из них частью другой или нет. А так как фигура Ц? является частью фигуры Ц? в том и только в том случае, когда разность Ц?\Ц? представляет собой пустое множество, то третье основное требование теории геометрических построений можно выразить в следующей форме:

· Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

Пусть Б, В,C,D - 4 точки прямой.

Допустим, что отрезки БC и ВD построены. Тогда мы конечно, будем считать построенным как отрезок (точнее - полуинтервал) БВ, который является разностью отрезков БC и ВD, так и отрезок (полуинтервал) CD, который является разностью отрезков ВD и БC. Другой пример: если построена окружность и на ней точка, то мы считаем построенной также ту фигуру, которая останется, если из окружности удалить эту точку, т.е. считаем построенной разность между окружностью и точкой.

· Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Построив две прямые, мы всегда считаем возможным сказать, пересекаются они или нет. Точно так же, если две окружности построены, то мы считаем возможным установить (по чертежу), имеют ли они общие точки. Это же относится к любым двум построенным фигурам. Таким образом:

· Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

С точки зрения чертежной практики последнее условие отражает определенные требования к качеству выполненных чертежей. Так, например, если построены некоторая окружность и точка, то должно быть ясно, лежит ли точка на окружности или нет. Если построены две окружности, то можно сказать, имеют ли они общие точки или нет.

Обратимся ещё раз к рисунку из III основного требования. Пусть известно, что построены отрезки БC и ВD. В этом случае мы будем также считать построенным и отрезок ВC, который является пересечением этих двух отрезков. Если начерчены две пересекающиеся окружности, то мы будем считать построенной также пару точек их пересечения. Такого рода соглашения выражаются следующим образом.

· Если пересечение двух фигур не пусто, то оно построено.

В следующих трёх основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.

· Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

· Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

· Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построенной фигуре.

Если не все точки плоскости принадлежат построенной фигуре.

В дальнейшем требования I - IX мы будем называть общими аксиомами конструктивной геометрии.

1.2 Инструменты геометрических построений

Аксиомы устанавливают возможность строить точки, принадлежащие уже построенной фигуре.

Аксиома IX позволяет строить некоторые новые точки, но этим точкам не приписывается никаких определенных свойств, кроме свойства быть новыми, ранее не построенными точками. Для построения новых точек, обладающих некоторыми определёнными. Указанными свойствами, а также для построения линий пользуются различными "инструментами геометрических построений".

Для конструктивной геометрии необходимо располагать точным и для математических целей полным описанием того или иного инструмента. Такое описание дается в виде аксиом. Эти аксиомы в абстрактной математической форме выражают те свойства реальных чертёжных инструментов, которые используются для геометрических построений.

Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие.

Переходим к формулировке соответствующих аксиом.

A. Аксиома линейки. Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

a) Построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

b) Построить прямую, проходящую через две построенные точки;

c) Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

B. Аксиома циркуля. Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

a) Построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы);

b) Построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг.

C. Аксиома двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет:

a) Выполнить любое из построений, перечисленных в аксиоме A;

b) В каждой из полуплоскостей, определяемых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h- фиксированный для данной линейки отрезок (ширина линейки);

Если построены две точки Б и В, то установить, будет ли БВ больше некоторого фиксированного отрезка h (ширина линейки), и если БВ>h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки Б и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

D. Аксиома прямого угла. Прямой угол позволяет:

a) Выполнить построения, перечисленные в аксиоме линейки;

b) Через данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой;

c) Если построены отрезок БВ и некоторая фигура Ц, то установить, содержит ли фигура Ц точку, из которой этот отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Помимо перечисленных инструментов, для геометрических построений можно пользоваться и другими инструментами: произвольным углом, угольником, линейкой с отметками, парой прямых углов, различными приспособлениями для вычерчивания специальных кривых и др. Геометрические построения производятся каждый раз с определенными, наперед указанными инструментами, причём каждый набор инструментов характеризуется определённой системой аксиом.

Построения, о возможности которых сказано в аксиомах VII-IX (а), вместе с построениями, перечисленными в аксиомах тех инструментов, которые избраны для построения, мы в дальнейшем будем называть основными построениями (для данного набора инструментов).

В частности, циркуль и линейка позволяют выполнить следующие основные построения:

1. Построить отрезок, соединяющий две построенные точки.

2. Построить прямую, проходящую через две построенные точки.

3. Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

4. Построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы).

5. Построить любую из двух дополнительных дуг окружности, если построены центр окружности и концы этих дуг.

6. Построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

7. Построить точку, принадлежащую какой-либо построенной фигуре.

8. Построить точку, заведомо не принадлежащую какой-либо построенной фигуре.

Подобным же образом можно составить список основных построений для любого указанного набора инструментов.

1.3 Задача на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд указанными инструментами некоторую фигуру, если она дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение - значит свести её к конечному числу основных построений, т. е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений, а следовательно и ход решения задачи, существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

В качестве примера рассмотрим следующую

задачу: построить середину отрезка, заданного своими концами Б и В.

Найдем решение этой задачи с помощью различных инструментов.

1. Циркулем и линейкой.

Строим последовательно:

1) прямую БВ (основное построение 2, п. b);

2) окружность щ? (Б, БВ) (осн. постр. 4);

3) окружность щ? (В, ВБ);

4) общие точки М и Н окружностей

щ? и щ? (осн. постр. 6);

5) прямую МН (осн. постр. 2);

6) общую точку О прямых БВ и МН

(осн. постр. 6).

Легко убедиться, что БО = ВО, т.е. точка О искомая.

2.Циркулем.

Смотрим последовательно:

1) окружность щ (В, ВБ) (акс. B, a, п. b);

2) окружность щ? (Б, БВ);

3) общую точку С окружностей щ? и щ (акс. VII, п. а);

4) окружность щ? (С, СА);

5) общую точку D окружностей щ и щ?, отличную от точки А;

6) окружность щ? (D, DB);

7) общую точку Е окружностей щ и щ?, отличную от С;

Заметим, что точки A,B и E расположены на одной прямой, причем AE=2AB. Строим далее:

8) окружность щ? (Е, ЕА);

9) общие точки M и N окружностей щ? и щ?;

10) окружность щ? (М, МА);

11) окружность щ? (N, NA);

12) общую точку X окружностей щ? и щ?, отличную от А.

Нетрудно усмотреть, что точка Х расположена на прямой АВ.

Кроме того, треугольник AMX подобен треугольнику AEM, так как они равнобедренные и имеют общий угол MAE при основаниях. Поэтому AX : AM = AM : AE или AX : AB = AB : 2AB, так что AX = ЅAB и, значит, точка Х искомая.

1. Двусторонней линейкой.

Строим последовательно:

1) прямую АВ;

2) прямую а, параллельную АВ и проходящую на расстоянии h от неё (h- ширина линейки);

3) прямую b, параллельную a, отстоящую от неё на расстоянии h и отличную от прямой АВ;

4) точку С на прямой b;

5) прямые АС и ВС;

6) точки Dа АС и Е а ВС;

(точки пересечения прямых)

7) прямые АЕ и ВD;

8) точку Р АЕ BD;

9) прямую СР;

10) точку Х СР АВ.

Так как DE- средняя линия треугольника АСВ, то АЕ и BD- его медианы, а следовательно, и СР- медиана, так что точка Х искомая.

2. Прямым углом.

1) строим прямую АВ;

2) проводим прямые ББ' и ВВ', перпендикулярные прямой БВ;

3) выбираем на ББ' произвольную точку C, отличную от Б;

4) через точку C проводим + CC' БC.

Далее строим последовательно:

5) точку D О CC' Ч ВВ';

6) прямые БD и ВC;

7) точку P О БD Ч ВC;

8) прямую PP' + БВ;

9) Точку X О PP' Ч БВ.

Точка X искомая.

Может оказаться, что какая-либо задача на построение имеет несколько различных решений, т.е. существует несколько различных фигур, удовлетворяющих всем условиям задачи. Так, например, к двум данным внешне расположенным окружностям можно провести, как известно, четыре различные общие касательные.

Решить задачу на построение - значит найти все её решения.

Последнее определение требует некоторых разъяснений. Фигуры, удовлетворяющие условиям задачи, могут различаться как формой или размерами, так и положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определенное расположение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. Поясним это примерами.

Рассмотрим следующую простейшую задачу: построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура (треугольник) связана с данными фигурами (два отрезка и угол) только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично. В этом случае легко построить треугольник БВC, удовлетворяющий условиям задачи. Все треугольники, равные треугольнику БВC, также удовлетворяют условиям задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого только положением на плоскости, о чем в условии задачи ни чего не сказано. Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение.

Итак, если условие задачи не предусматривает определенного расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все не равные между собой фигуры, удовлетворяющие условиям задачи. Можно сказать, что задачи этого рода решаются "с точностью до равенства". Это означает, что задача считается решенной, если: 1)построено некоторое число неравных между собой фигур Ц?, Ц?, …., Ц_n, удовлетворяющих условиям задачи, и 2)доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна оной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет n различных решений.

Рассмотрим теперь задачу несколько иного содержания: построить треугольник так, чтобы одной его стороной служил данный отрезок ВC, другая сторона была равна другому отрезку p, а угол между ними был равен данному углу б.

В этом случае условие задачи предусматривает определённое расположение искомого треугольника

относительно одной из данных фигур(именно относительно отрезка ВC). В связи с этим мы иначе смотрим на вопрос о построении всех решений этой задачи. Как видно из рисунка, может существовать до четырёх треугольников, удовлетворяющих условию этой задачи. Они равны между собой, но по-разному расположены относительно данной фигуры ВC. В этом случае полное решение задачи предусматривает построение всех этих треугольников. Считается, что задача имеет до четырёх различных решений, различающихся своим расположением относительно данной фигуры.

Итак, если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе). При этом даже равные фигуры, но различно расположенные относительно данных фигур, рассматриваются как различные решения данной задачи.

Встречаются задачи, имеющие бесконечно много решений. Таковы, например, задачи: построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой; построить прямую, касательную к данной окружности; построить окружность, проходящую через две данные точки. Такого рода задачи называют неопределенными. Конечно, не может идти речь о построении всех решений неопределенной задачи. Когда же считать неопределенную задачу решенной?

Решение неопределенной геометрической задачи на построение проводится в известном смысле аналогично тому, как решаются в алгебре неопределенные уравнения или неопределенные системы уравнений. Решение неопределенного алгебраического уравнения или неопределенной системы уравнений состоит в том, что искомые величины выражаются через один или несколько параметров, принимающих произвольные значения из некоторой определенной области. Например, решение системы

представляется в виде:

z = t, y = 5 + 3t, x = -7 - 5t,

где параметр t может принимать произвольные значения из области, которая определяется условием задачи. Точно так же решение неопределенной геометрической задачи ищется в своего рода параметрической форме. Указывается прием построения фигур, удовлетворяющих условиям задачи, причем эти фигуры определяются выбором положения одной или нескольких произвольных точек на некоторых данных или построенных фигурах. Эти точки играют роль " геометрических параметров". Задача считается решенной, если при всевозможных допустимых положениях произвольных точек возникают все фигуры, удовлетворяющие условиям задачи.

Поясним эти соображения примерами.

1. Построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой. Изберем на данной прямой произвольную точку Р. Строим окружности, имеющие данный радиус и касающиеся данной прямой в точке Р. Таких окружностей две. При всевозможных положениях точки Р на данной прямой мы при том же приёме построения получим все окружности, удовлетворяющие условиям задачи.

Задача считается решённой.

2. Построить окружность, проходящую через две данные точки Б и В.

Проведем прямую p перпендикулярно отрезку БВ через середину этого отрезка. Изберем на прямой p произвольную точку P и укажем приём построения окружности с центром P, проходящей через данные точки Б и В. Замечаем, что при всевозможных положениях точки P на прямой p возникают все решения данной задачи.

После чего считаем, что задача решена.

Условие задачи часто дает известный простор в выборе данных. Так, например, если требуется построить треугольник по трем сторонам, то данными являются три отрезка, которые могут быть произвольными как по величине, так и по положению. Или если требуется провести касательную к данной окружности из данной точки, то данная окружность может быть любой окружностью на плоскости, причем данная точка может оказаться внутри. Вне или на данной окружности. Задача в такой формулировке может считаться полностью решенной лишь в том случае, если она решена для всех возможных предположений выбора данных. Может оказаться, что при одном выборе данных задача решается совершенно иначе, чем при другом их выборе, так что приходится рассматривать ряд отдельных случаев и давать решение задачи для каждого из них.

В следующих разделах излагается теория геометрических построений, производимых циркулем и линейкой, которая особенно важна для учителя средней школы. Изучение построений с этими инструментами дает представление об основных идеях и методах конструктивной геометрии вообще.



2. Элементарные геометрические задачи на построение

Рассмотренные ранее примеры геометрических построений показывают, что непосредственное расчленение решения на основные построения даже в простейших задачах приводит к большому числу логических "шагов". В случае сколько-нибудь сложных задач это может привести к тому, что за общей логической структурой решения уследить будет трудно. Поэтому в практике решения геометрических задач на построение поступают несколько иначе.

Если найдено решение какой - либо задачи, то в дальнейшем разрешается пользоваться этим решением "в целом", т.е. не расчленяя его на основные построения.

Существует ряд простейших геометрических задач на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных задач. Задачи такого рода рассматриваются преимущественно в первых главах школьного курса геометрии. Будем называть их элементарными геометрическими задачами на построение. Список элементарных задач является, конечно, условным. К числу элементарных задач относят обычно следующие:

1. Деление данного отрезка пополам.

2. Деление данного угла пополам.

3. Построение на данной прямой отрезка, равного данному.

4. Построение угла, равного данному.

5. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

6. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.

7. Деление отрезка в данном отношении.

8. Построение треугольника по трем данным сторонам.

9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

11. Построение прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности.

12. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

При решении каждой сколько-нибудь сложной задачи на построение возникает вопрос о том, как нужно рассуждать, чтобы разыскать способ решения задачи, чтобы получить все решения задачи, чтобы выяснить условия возможности решения задачи и т.п. Поэтому при решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих четырех этапов:

1) анализ;

2) построение;

3) доказательство;

4) исследование.

Конечно эта схема не является безусловно необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные её этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Но по большей части указанная схема серьёзно помогает при решении конструктивных задач. Рассмотрим каждый этап этой схемы.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, так как именно он дает ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью построения чертежа- наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять "от руки". Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: "предположим, что задача уже решена".

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведенным из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем проводить в нем указанные в задаче линии.

Если вспомогательный чертеж не подсказывает непосредственного способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую - либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры. В более общем случае рассуждение ведется следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ц сводится к построению другой фигуры Ц?. Затем подмечают, что построение фигуры Ц? сводится к построению фигуры Ц? и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре , построение которой уже известно.

Пусть, например, требуется построить треугольник по основанию и по медиане и высоте, проведенным к этому основанию. Рассматривая вспомогательный чертеж, замечаем, что треугольник БВC можно легко построить, если будет построен треугольник ВDE: тогда останется только отложить по обе стороны от точки E на прямой DE отрезки, равные половине основания. Но треугольник ВDE прямоугольный и строится по гипотенузе m и катету h.

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

Пусть, например, требуется построить прямую, проходящую через данную точку Б и равноудаленную от двух данных точек В и C. Построение чертежа -наброска удобно начать с искомой фигуры: строим сначала прямую a, на ней выбираем точку Б и на равных расстояниях от прямой a выбираем (по разные стороны от прямой) точки В и C. После этого еще не возникают на чертеже такие связи, которые позволили бы решить задачу. Проведем к прямой a перпендикуляры ВВ? и CC?, построим отрезок ВC и отметим точку M пересечения отрезка ВC с прямой a. Легко заметить, что M - середина отрезка ВC, а отсюда уже ясен способ построения.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их еще нет на нем.

Пусть, например, требуется построить прямоугольный треугольник по острому углу и сумме катетов. Изобразим какой - либо прямоугольный треугольник БВC. По условию даны: б и отрезок m. Искомый треугольник БВC должен удовлетворять условиям: Б= б, БC + CВ = m, C = 90. Чтобы ввести в чертеж данный отрезок m, откладываем на продолжении стороны БC отрезок CD = ВC; тогда БD = m. Легко построить треугольник БDВ, так как в нем известны: сторона БD = m и два угла: Б= б и D = 45.

После построения треугольника БDВ построение искомого треугольника сводится к элементарной задаче 6.

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходные с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа - наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Так, в примере, иллюстрирующем пункт 1), мы избрали точки В и C по разные стороны от прямой a, в то время как можно было избрать их и по одну сторону от этой прямой. Тот способ решения, к которому мы приходили на основании анализа, может поэтому оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде. Например, искомый треугольник, если в условии задачи нет специального указания о его форме, надо изображать как разносторонний, четырехугольник - как неправильный и т. п. Чем более общий случай мы разберем при анализе, тем проще будет провести в дальнейшем полное решение задачи.

Рассмотрим еще один пример анализа. Требуется вписать окружность в данный треугольник. Пусть БВC - данный треугольник. Чтобы вписать в него окружность, надо определить положение её центра и найти величину радиуса. Представим себе, что O - центр вписанной окружности, а OM - радиус, проведенный в какую - либо из точек касания окружности к сторонам треугольника (например, в точку касания окружности к стороне БВ). Тогда отрезок OM перпендикулярен к прямой БВ. Поэтому OM - расстояние центра вписанной окружности от стороны треугольника БВ. Так как все радиусы окружности равны, то центр окружности одинаково удален от всех сторон треугольника и, следовательно, прямые OБ, OВ и OC служат биссектрисами (внутренних) углов треугольника БВC. Этих соображений, очевидно, достаточно для построения центра и определения радиуса искомой окружности.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решенных задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

В качестве примера обратимся опять к задаче о построении окружности, вписанной в данный треугольник БВC. Как показывает проведенный выше анализ этой задачи, для построения искомой окружности нужно последовательно построить:

1) биссектрисы каких - либо внутренних углов данного треугольника (2-я элементарная задача);

2) точку их пересечения O;

3) прямую, проходящую через точку O перпендикулярно прямой БВ (6-я элементарная задача);

4) основание M проведенного перпендикуляра;

5) окружность (O, OM).

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

Так, чтобы провести доказательство правильности приведенного выше построения окружности, вписанной в данный треугольник, надо установить, что построенная нами окружность (O, OM) действительно коснется всех сторон треугольника БВC. Для этого прежде всего заметим, что прямая БВ касается проведенной окружности, так как эта прямая перпендикулярна к радиусу OM. Вместе с этим ясно, что радиус окружности равен расстоянию ее центра от стороны БВ данного треугольника БВC. Далее замечаем, что центр окружности O одинаково удален от всех сторон треугольника, так как лежит на пересечении биссектрис углов треугольника. Следовательно, расстояние центра окружности от стороны БC или от стороны ВC также равно радиусу построенной окружности, так что если провести через O перпендикуляры к сторонам треугольника БC и ВC, то основания этих перпендикуляров (точки N и P) расположатся на той же окружности. Таким образом, каждая из прямых БC и ВC перпендикулярна к соответствующему радиусу в конце его, лежащем на окружности, и поэтому каждая из этих прямых касается построенной окружности.

Доказательство обычно проводится в предположении, что каждый шаг построения действительно может быть выполнен.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных. Рассмотрение всех этих вопросов и составляет исследование. Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений.

Иногда ставится также задача: Выяснить, при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Например, может быть поставлен вопрос: при каких условиях искомый треугольник будет прямоугольным или равнобедренным? Или такой вопрос: при каких условиях искомый четырехугольник окажется параллелограммом или ромбом?



3. Метод геометрических мест точек

3.1 Понятие о геометрическом месте точек

Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путём указания определяющего её свойства, путем указания свойства, которым обладает каждая её точка, и т. п. Так, например, один и тот же отрезок БВ можно задать:

· как пересечение лучей БM и ВN;

· как диаметр одной окружности щ, перпендикулярный к данной прямой ;

· как совокупность середин всех хорд окружности щ, параллельных прямой и другими способами.

Если фигура задана путем указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством.

Таким образом, геометрическим местом точек (ГМТ) плоскости, обладающих указанным свойством, называется фигура, состоящая из всех тех точек плоскости, которые обладают этим свойством.

В нашем примере отрезок БВ является геометрическим местом середин хорд окружности щ, параллельных прямой .

Свойство, при помощи которого характеризуется то или иное ГМТ, называется характеристическим свойством точек этого места.

Часто новые фигуры вводятся в геометрию именно как геометрические места, например окружность - в школьном курсе геометрии, эллипс, гипербола и парабола - в курсе аналитической геометрии. При составлении уравнений линий в аналитической геометрии их рассматривают именно как геометрические места точек.

ГМТ может быть не только линией или совокупностью нескольких линий, но также конечной совокупностью точек, областью плоскости и др. Может оказаться также, что ГМТ, обладающих некоторым указанным свойством, вовсе не существует.

Чтобы доказать, что фигура Ц есть ГМТ, обладающих указанным свойством, надо доказать следующие два взаимообратные предложения:

1) каждая точка фигуры Ц обладает этим свойством;

2) каждая точка, обладающая указанным свойством, принадлежит фигуре Ц.

Рассмотрим некоторые примеры.

Пример 1. Пусть даны две параллельные прямые a и b и перпендикулярная к ним прямая c. Найдём ГМТ плоскости, равноудаленных от этих трех прямых. Пусть Б a c, В c.

Проведя через середину отрезка БВ прямую , параллельную прямым a и b, и взяв на этой прямой точки P и Q, расположенные по разные стороны от прямой c на расстоянии Ѕ БВ от неё, легко заметить, что каждая из этих точек P и Q одинаково удалена от всех трёх данных прямых a, b и c. Других точек плоскости, обладающих таким свойством, не существует: если точка M не принадлежит прямой , то она не одинаково удалена от прямых a и b; если же точка N расположена на прямой ,и не совпадает ни с P,ни с Q, то не трудно понять, что она неодинаково удалена от прямых a и c. Таким образом, пара точек P и Q является ГМТ, расстояния которых от прямых a, b и c одинаковы.

Пример 2. Рассмотрим ГМТ плоскости, для которых сумма расстояний от двух данных параллельных прямых равна данному отрезку.

Пусть a и b - данные параллельные прямые, h - расстояние между ними, s - данный отрезок. Заметим прежде всего, что для каждой точки M, лежащей на любой из данных прямых, а также для всякой точки N, лежащей в полосе между этими прямыми, сумма расстояний от заданных прямых равна h. Для остальных же точек плоскости (например, для т очки P) эта сумма больше h.

Отсюда ясно: 1) Если s h, то искомое ГМТ не существует.

2) Если s h, то искомое ГМТ представляет совокупность всех точек, расположенных на заданных прямых и в полосе между ними.

3) Остается рассмотреть случай s h.

Пусть a? и b? - пара прямых, параллельных данным прямым a и b, причём каждая из прямых a? и b? расположена вне полосы, ограниченной прямыми a и b, и отстоит от одной из этих прямых на расстоянии .

Докажем, что искомое ГМТ есть эта пара прямых. В самом деле, пусть точка P принадлежит прямой a? или b?. Пусть для определенности P a?. Тогда сумма расстояний точки P от прямых a и b равна

PP? + PP? = = s.

Пусть точка Q не принадлежит ни прямой a?, ни прямой b? . Докажем, что сумма расстояний такой точки от прямых a и b не равна s. Если точка Q лежит в полосе между данными прямыми a и b или на одной из них, то сумма её расстояний от данных прямых равна h и, следовательно, меньше s. Пусть теперь точка Q - вне этой полосы и пусть для определенности она расположена с той стороны от полосы, где лежит прямая a?. Обозначим расстояние точки Q от прямой a через m, тогда

m

Следовательно, сумма расстояний точки Q от данных прямых a и b равна

m + (m + h) = 2m + h 2 + h,



т.е. эта сумма не равна s. так, доказано, что совокупность двух прямых a? и b? является искомым геометрическим местом точек.

Разнообразные примеры ГМТ возникают в связи с употреблением метода координат. Если на плоскости выбрана какая - либо система координат, то каждое уравнение между координатами точек определяет некоторую совокупность точек, а именно ГМТ, координаты которых удовлетворяют этому уравнению.

3.2 Обзор простейших геометрических мест

Простейшие ГМТ на плоскости рассматриваются в школьном курсе геометрии. Перечислим важнейшие из них.

1. ГМТ (плоскости), находящихся на данном расстоянии r от некоторой данной точки O (этой плоскости), есть по определению окружность радиуса r с центром в точке O.

2. ГМТ (плоскости), равноудаленных от двух данных (в этой плоскости) точек, есть прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и перпендикулярная к этому отрезку.

Это ГМТ иногда называют симметралью или медиатрисой данных точек.

3. ГМТ (плоскости), находящихся на данном расстоянии h от данной (в этой плоскости) прямой, есть пара прямых, параллельных данной прямой. Для построения этого ГМТ надо в любой точке Б данной прямой a провести к ней перпендикуляр p, отложить на нём по обе стороны от этой прямой данный отрезок h и провести через концы отложенных отрезков прямые l? и l?, параллельные данной прямой.

4. ГМТ (плоскости), равноудаленных от двух данных параллельных прямых (этой плоскости), есть прямая, параллельная данным прямым.

Для построения этого ГМТ проводят какую - либо прямую c, пересекающую данные прямые a и b, делят отрезок этой секущей, заключенный между данными прямыми, пополам и проводя искомую прямую через середину этого отрезка параллельно данным прямым.

Полученную прямую называют иногда средней линией данных параллельных прямых.

5. ГМТ (плоскости), равноудалённых от двух данных пересекающихся прямых (этой плос - кости), представляет собой две взаимно перпендикулярные прямые, являющиеся биссектрисами углов, образованных данными прямыми.

Построение этого ГМТ сводится к элементарной задаче о делении данного угла пополам.

3.3 Разыскание геометрических мест

Часто встречается задача: найти ГМТ, обладающих таким-то свойством. Постановка этой задачи предполагает, что выделена некоторая совокупность "простейших" или "элементарных" фигур. Задача состоит в том, чтобы указать, какая из фигур этой совокупности представляет собой искомое геометрическое место.

Таким образом, для решения поставленной задачи необходимо располагать перечнем всех фигур, которые считаются уже известными, простейшими, элементарными. Этот перечень является условным. В условиях элементарной планиметрии естественно отнести к числу элементарных фигур прежде всего следующие фигуры: всю плоскость, точки, прямые, отрезки прямых, лучи, окружности, дуги окружностей.

Если какая - либо фигура является пересечением, соединением или разностью двух элементарных фигур, то мы также отнесём её к числу элементарных фигур. Если какая - либо элементарная фигура разбивает плоскость на конечное число частей, то каждую такую часть мы также считаем элементарной фигурой.

Этот перечень определяет класс элементарных фигур. К числу таких фигур относится, в частности, любая конечная совокупность точек, всякий многоугольник, круг, круговой сегмент, сектор, полоса между двумя параллельными прямыми, полуплоскость.

Точный смысл задачи о нахождении ГМТ, обладающих данным свойством, состоит в том, чтобы указать, какую именно элементарную фигуру представляет собой искомое геометрическое место точек.

Остановимся на методике решения этой задачи.

Решение задачи на нахождение ГМТ складывается обычно из анализа, доказательства и исследования, подобно тому, как это делается при решении геометрической задачи на построение.

Не следует, однако, смешивать нахождение ГМТ с его построением: первое само по себе не предполагает второго; иногда найденное ГМТ и не может быть построено с данным набором инструментов.

Цель анализа - прийти к некоторой гипотезе относительно того, чем является искомое ГМТ.

Анализ обычно начинают с того, что на чертеже изображают данную фигуру и рассматривают какую-либо точку, принадлежащую по предположению искомому ГМТ. Устанавливают некоторые связи этой точки с данными элементами, вытекающие из определения ГМТ и помогающие определить его форму и положение. Иногда анализу способствует рассмотрение какого - либо частного случая или же непосредственное построение нескольких точек, принадлежащих искомому геометрическому месту. В результате анализа мы приходим лишь к предположительному решению задачи. Которое требует еще обоснования, т.е. доказательства.

В ходе доказательства устанавливается справедливость двух взаимно обратных предложений: 1) что всякая точка найденной (в анализе) фигуры обладает характеристическим свойством точек искомого ГМТ и 2) что каждая точка, обладающая указанным характеристическим свойством, принадлежит найденной при анализе фигуре. Полезно иметь в виду, что доказательство предложения 2) может быть заменено доказательством следующего предложения 2?): если какая - либо точка не принадлежит найденной фигуре, то она не обладает указанным характеристическим свойством.

Заметим, что одно из этих предложений часто устанавливается уже в ходе анализа.

Исследование заключается в рассмотрении различных случаев, которые могут представится при решении задачи в зависимости от того или иного выбора данных.

Например, найти ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом.

Анализ. Пусть БВ - данный отрезок, б - данный угол.

Если М - точка искомого ГМТ, то БМВ = б по условию. В связи с этим условием естественно вспомнить теорему о равенстве вписанных углов, опирающихся на одну и ту же дугу. Проведём окружность через три точки Б, М и В. Которые не л ежат на одной прямой, если 0° б 180°. Тогда для всякой точки М? дуги БМВ этой окружности (кроме точек Б и В) ? БМ?В также равен б, т. е. каждая точка этой дуги также принадлежит искомому ГМТ.

Кроме того, очевидно, все точки (кроме Б и В) дуги БNВ, симметричной с дугой БМВ относительно прямой БВ, обладают тем же свойством и поэтому принадлежат тому же ГМТ.

Доказательство. Чтобы доказать, что фигура Ф, составленная из двух симметричных дуг окружностей, проходящих через точки Б и В, действительно представляет искомое ГМТ, осталось рассмотреть точки, не принадлежащие этой фигуре. Если точка Р лежит в области, ограниченной фигурой Ф, то, проведя луч БР (или ВР) до встречи с фигурой Ф в точке Q, заметим, что ? БРВ ? БQВ = б. Если же избрать точку Р вне указанной области, то получим противоположный результат: ? БРВ б.

Итак, ГМТ, из которых данный отрезок виден под данным углом, представляет собой соединение двух дуг окружностей, проходящих через концы данного отрезка и расположенных симметрично по отношению к этому отрезку. Точки Б и В не следует причислять к этому геометрическому месту, так как при совпадении точки М с каким - либо концом отрезка БВ угол БМВ становится неопределенным.

Исследование. Если угол б прямой, то фигура Ф обращается в окружность с диаметром БВ (без концов этого диаметра). Если угол б = 0, то искомый ГМТ является разность между прямой БВ и отрезком БВ. Если угол б = 180°, то искомое ГМТ - интервал БВ.

3.4 Решение задач на построение методом геометрических мест точек

Сущность метода геометрических мест заключается в следующем. Решение задачи на построение сводят к разысканию некоторой точки, подчиненной двум независимым условиям. Отбрасываем одно из этих условий и ищем ГМТ, удовлетворяющих второму условию. Пусть это будет фигура Ф?. Отбрасываем затем второе условие и ищем ГМТ, удовлетворяющих первому условию. Пусть это будет фигура Ф?. Ясно, что обоим условиям удовлетворяет каждая точка пересечения фигур Ф? и Ф?, а всякая точка, не принадлежащая пересечению этих фигур, не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий. Каждая точка фигуры Ф? ? Ф? дает возможность найти некоторое решение задачи.

...