Методы решения задач на построение на плоскости

Пример. Построить окружность, касательную к двум данным параллельным прямым a и b и проходящую через данную точку Р.

Анализ. Обозначим расстояние между данными прямыми через d. Тогда радиус искомой окружности должен быть равен . Задача сводится к построению центра окружности, который должен удовлетворять двум условиям: 1) он должен быть одинаково удален от прямых a и b ; 2) он должен отстоять от точки Р на расстоянии . Отсюда вытекает построение.

Построение. Из произвольной точки Б прямой a опускаем перпендикуляр БВ на прямую b. Строим середину C отрезка БВ. Строим ГМТ, равноудаленных от прямых a и b. Строим затем ГМТ, удовлетворяющих условию 2). Это будет окружность щ(Р; . Отметим точку O? пересечения окружности щ с прямой c. Строим окружность щ?(O?; O?Р).

Эта окружность искомая.

Доказательство. Окружность щ? касается прямых a и b, так как расстояния её центра O? от этих прямых одинаковы и равны . Эта окружность проходит через точку Р по построению.

Исследование. Возможны три случая.

1. Точка Р расположена между данными прямыми a и b. Указанный способ построения дает два решения: щ?(O?,O?Р) и щ?(O?, O?Р). Других решений нет, ибо если бы существовали три окружности, удовлетворяющие условиям задачи, то их центры O?, O? и O? должны были бы лежать на одной прямой c. С другой стороны, мы должны были бы иметь O?Р = O?Р = O?Р = БC, т. е. точки O?, O? и O? должны были бы лежать на одной окружности (Р, БC), так что возникает противоречие.

2. Точка Р - на одной из прямых a или b. Задача имеет одно решение.

3. Точка Р - вне полосы, ограниченной прямыми a и b. Задача не имеет решения.

4. Метод геометрических преобразований

4.1 Симметрия

Предположим, что на плоскости дана какая-нибудь прямая a. Рассмотрим такое преобразование точек плоскости, при котором каждая точка М плоскости переходит в точку Мґ, симметрично расположенную с ней относительно прямой a. Все точки самой прямой a при этом преобразуются сами в себя. Такое преобразование называется осевой симметрией (или отражением). Прямая a называется осью симметрии. Достаточно задать ось симметрии, чтобы определить преобразование. Если на плоскости дана какая-нибудь кривая, то, рассматривая её как геометрическое место точек, мы можем подвергнуть её преобразованию симметрии. Тогда данной кривой будет соответствовать новая кривая (ей симметричная), представляющая собой ГМТ, симметричных точкам данной кривой. Таким образом, всякую геометрическую фигуру на плоскости можно подвергнуть преобразованиям симметрии.

Пример. Предположим, что на плоскости даны прямая a и две какие-либо линии f и g точки, симметричные относительно оси а.

Проанализируем задачу. Пусть Р и Рґ две такие точки, лежащие соответственно на линиях f и g. Если преобразуем линию f в симметричную относительно оси а линию fґ, то при этом точка Р перейдет в точку Рґ. Таким образом, искомая точка должна быть точкой пересечения линии g и линии fґ, симметричной f относительно а. Очевидно, что подобным же образом точку

Р можно построить как т очку пересечения линии f с линией gґ, симметричной g относительно оси а. Понятно, что достаточно найти одно из точек Р и Рґ. Решение сводится к построению линии fґ (или gґ), симметричной данной, и нахождению точек пересечения линии g и fґ (или f и gґ).

4.2 Вращение

Вращение плоскости около данного центра O на данный угол (определенный по величине и направлению) можно рассматривать как такое преобразование точек плоскости, при котором каждая точка М переходит в новую точку Мґ с соблюдением двух следующих условий:

1) OМґ = OМ,

2) МOМґ = .

Свойства этого преобразования хорошо известны каждому. Каждая фигура F переходит в конгруэнтную фигуру Fґ, все точки которой удовлетворяют двум указанным выше условиям.

К понятию о вращении как точечном преобразовании плоскости можно подойти от преобразования симметрии.

Предположим, что точки плоскости подвергнуты преобразованию симметрии относительно оси Ox. Пусть например, при этом преобразовании точка М перешла в точку Мґ. Затем преобразованные точки подвергаются новому преобразованию симметрии, но уже относительно оси Oy. Обозначим точку, в которую перейдет точка Мґ при этом втором преобразовании, через Мґґ. Нетрудно убедиться в том, что эти два последовательно выполненные преобразования симметрии можно заменить одним - вращением около точки O пересечения осей Ox и Oy двух рассмотренных симметрий. При этом угол вращения равен удвоенному углу xOy.

В самом деле, по свойству преобразования симметрии будем иметь:

1) OМ = OМґ = OМґґ;

2) ?МOМґґ=?МOМґ+?МґOМґґ=2?xOМґ+2?МґOy=2(?xOМґ+ +?МґOy) = 2 ?xOy.

Таким образом, преобразование вращения можно рассматривать как "произведение" двух осевых симметрий (отражений).

4.3 Параллельное перенесение

Под названием "параллельное перенесение" известно такое преобразование плоскости, при котором все её точки смещаются на одинаковые расстояния по параллельным направлениям. Поэтому для определения параллельного перенесения, как преобразования плоскости, необходимо знать направление и интервал перенесения.

Так, на рисунке произведено параллельное перенесение плоскости, в котором точки Б, В и C (треугольника БВC) переходят в точки Бґ, Вґ и Cґ (треугольника БґВґCґ). Направление перенесения определяется каждой из направленных прямых ББґ ? ВВґ ? CCґ.

Интервал перенесения - каждым из отрезков ББґ = ВВґ = CCґ. Вместо этого достаточно задать вектор d, определяющий одновременно направление и интервал данного перенесения.

Как видно на рисунке, при параллельном перенесении каждая фигура переходит в фигуру, конгруэнтную и одинаково расположенную с первоначальной.

4.4 Гомотетия

Рассмотрим следующее преобразование точек плоскости. Некоторую точку S выберем в качестве центра гомотетии. Тогда какой-нибудь точке М

плоскости соответствует точка Мґ,

удовлетворяющая следующим двум условиям:

1) Мґ лежит на прямой SМ,

2) отношение

= = const.

Таким образом, гомотетия определяется точкой S (центр гомотетии) и числом (коэффициент гомотетии). Преобразование это взаимно-однозначное, так как каждой точке М соответствует вполне определенная точка Мґ и наоборот. Точка S является двойной точкой преобразования, так как она сама себе соответствует.

В самом деле, из написанного выше условия имеем:

SМґ = ·SМ.

Если М совпадает с S, то SМ = 0, но тогда и SМґ = ·0 = 0.

Отсюда видим, что точка S - двойная.

Других двойных точек в преобразовании гомотетии плоскость иметь не может, так как, если предположить, что точка X - двойная, то так как

= = 1,

в этом случае вообще имеем SМґ=SМ, т.е. все точки двойные и гомотетия обращается в тождественное преобразование.

Далее не трудно видеть, что гомотетия преобразует прямую линию в прямую же. Так, если все точки прямой t преобразованы посредством гомотетии с центром S и коэффициентом , то получим геометрическое место соответственных точек, удовлетворяющих условию

= .

Пусть точке Б данной прямой t соответствует точка Бґ. Проведем через Бґ прямую tґ, параллельную t. Тогда для любой прямой, проходящей через S и пересекающей прямые t и tґ соответственно в точках В и Вґ, будем иметь:

 = = .

Отсюда видно, что прямая tґ представляет собою геометрическое место точек, соответственных точкам прямой t в гомотетии. Следовательно, произвольная прямая переходит в параллельную ей прямую. Исключение составляют прямые, проходящие через центр S. Так как в силу условия 1) точки каждой прямой, проходящей через центр S, переходят при гомотетии в точки той же прямой, то такая прямая переходит в себя.

4.5 Инверсия

Предположим, что имеем окружность с центром в точке O и радиусом r.

Пусть М - какая-нибудь точка плоскости. Точка Мґ, соответствующая точке М по инверсии относительно окружности (O), определяется следующими условиями:

1) Мґ лежит на прямой OМ,

2) произведение

OМ·OМґ = = const.

Окружность (О) называется основной окружностью инверсии, а константа , равная квадрата радиуса окружности инверсии, - степенью инверсии. Таким образом, инверсия преобразует каждую точку плоскости в точку т ой же плоскости. Исключительной точкой является центр О основной окружности инверсии, так как не существует точки Оґ, соответствующей в инверсии точке О, ибо при любом радиусе r основной окружности будем иметь:

OМ·OМґ = ОО·ООґ = О·ООґ = О ,

т.е. ни для какой точки Оґ не выполняется второе условие инверсии. Тогда имеем:

ОА·ОА = .

Это равенство показывает, что каждая точка основной окружности инверсии переходит сама в себя. Следовательно, и вся основная окружность инверсии переходит в себя, причем каждая её точка сама себе соответствует. Таким образом, все точки основной окружности инверсии двойные. Других двойных точек, очевидно, не имеется. В самом деле, если точка М лежит вне основной окружности инверсии, то будем иметь ОМ r; но тогда ОМґ , ибо

ОМ·ОМґ = .

Аналогично и для точки, лежащей внутри основной окружности инверсии. Вообще можно сказать, что из двух соответственных (в инверсии) точек М и Мґ одна лежит вне, а другая внутри основной окружности инверсии. Только точки самой окружности инверсии преобразуются в себя.

5. Алгебраический метод

5.1 Постановка задачи о построении отрезка, заданного формулой

В целом ряде случаев приходится решать следующую задачу.

Даны отрезки в, b?, с?, . . .,?; a, b, c,. . . ., - их длины при некоторой избранной единице измерения. Требуется построить с помощью данных инструментов отрезок y?, длина которого y при той же единице измерения выражается через длины a, b, c, . . ., данных отрезков заданной формулой: y = f(a, b, c, . . .,).

Мы говорим в этих случаях кратко, что строим выражение f(a, b, c, . . .,). В качестве данных инструментов будем принимать циркуль и линейку. Всюду в дальнейшем мы предполагаем, что функция f(a, b, c, . . .,), задающая длину искомого отрезка через длины данных отрезков, рассматривается для таких значений положительных аргументов, при которых она имеет смысл и положительна.

Чтобы различить отрезок и его длину, мы будем обозначать отрезки строчными буквами с чертой сверху (a?, b?, c?, . . .,, x?, y?, . . .), а их длины - теми же буквами без черты (a, b, c, . . .,.

Пример. Дан отрезок, принимаемый за единичный. Требуется построить отрезок, длина которого была бы равна числу y = . Может показаться, что для построения искомого отрезка необходимо представить y в виде десятичной дроби (а его лишь приближенно можно представить в виде конечной десятичной дроби) и затем отложить на прямой соответствующее число раз единичный отрезок, его десятые, сотые и т.д. доли. Однако существует совершенно иной способ, позволяющий построить искомый отрезок с помощью циркуля и линейки без всяких вычислений, притом не приближенно, а точно. Такой способ построения будет установлен ниже.

5.2 Построение отрезков, заданных простейшими формулами

В школьном курсе геометрии в разделе "Приложение алгебры к геометрии" на основании метрических соотношений в треугольнике и круге даются способы для построения циркулем и линейкой отрезков, заданных простейшими формулами. Напомним построение отрезков по основным формулам.

x = a + b.

x = a - b.

x = na, где n- натуральное число.

x = .

Строим луч, выходящий из какого-либо конца О данного отрезка a? под произвольным углом к нему. Откладываем на этом луче n раз произвольный отрезок b?, так что ОВ = nb. Соединяем точку В со вторым концом А отрезка а?. Через точку В?, определяемую условием ОВ? = b, проводим прямую, параллельную АВ, и отмечаем точку А?, в которой она пересечет отрезок а?. x = ОА?.

x = a (n и m - данные натуральные числа).

Первый способ. Разделим отрезок a? на m равных частей и увеличим полученный отрезок в n раз.

Второй способ. Пусть ОА = а. На произвольном луче, исходящем из точки О, откладываем отрезок ОВ? = mb и отрезок ОВ = nb. Через точку В? проводим отрезок В?А?, параллельный ВА. Тогда

ОА? = a.

x =

(построение отрезка, четвертого пропорционального трём данным отрезкам).

Запишем условие в виде пропорции: c:

а = b:x.

Пусть ОА = а, ОС = с, так что члены одного из отношений отложены на одном луче, исходящем из точки О. На другом луче, исходящем из той же точки, откладываем известный член другого отношения ОВ = b.

Через точку А проводим прямую, параллельную ВС, и отмечаем точку Х её пересечения с прямой ОВ. Отрезок ОХ искомый, т.е. ОХ = х.

x = .

Первый способ. Воспользоваться построением 6, полагая b = а.

Второй способ (применимый, если а ). Строим полуокружность с диаметром АВ = с, хорду АС = а, перпендикуляр CD к АВ. Тогда AD = x.

Размещено на Allbest.ru