Производная функция

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Производная функция

Поставим своей задачей определить скорость, с которой изменяется величина у в зависимости от изменения величины х. Так как нас интересуют всевозможные случаи, то мы не будем придавать определенного физического смысла зависимости y=f(x), т.е. будем рассматривать величины х и у как математические.

Рассмотрим функцию y=f(x), непрерывную на отрезке [а, b].

Возьмем два числа на этом отрезке: х и х+?x; первое, х, в ходе всего рассуждения считаем неизменным, ?x -- его приращением. Приращение ?x; аргумента обусловливает приращение ?у функции, причем:

?y=f(x+?x)-f(x). (I)

Найдем отношение приращения ?у функции к приращению ?x аргумента:

?у/?x=(f(x+?x)-f(x))/ ?x. (II)

По предыдущему, это отношение представляет собой среднюю скорость изменения у относительно х на отрезке

[x, x+?x].

Будем теперь неограниченно приближать ?x к нулю.

Для непрерывной функции f(x) стремление ?x к нулю вызывает стремление к нулю ?у, отношение (II) становится при этом отношением бесконечно малых, вообще величиной переменной. Пусть это переменное отношение (II) имеет вполне определенный предел(утверждать, что определенный предел отношения ?x/?у всегда существует нельзя), обозначим его символом f '(х).

lim((f(x+?x)-f(x))/ ?x)=f'(x)

?x>0 (III)

С физической точки зрения этот предел есть значение скорости изменения функции f(x) относительно ее аргумента при данном значении х этого аргумента.

В анализе этот предел называют производной данной функции в точке х.

Определение. Производной данной функции в точки х называется предел отношения приращения этой функции к приращению аргумента в точке х, когда приращение аргумента стремится к нулю.

2. Пусть каждому значению аргумента х соответствует определенное значение скорости изменения функции f(x). Тогда скорость f '(х) есть новая функция аргумента х, она называется производной функцией от данной функции f(x).

Например, производная функция от квадратной функции Q=bt+at2 есть линейная функция Q' = b + 2at.

3. Производная функция обозначается так: 1) у данной функции ставится штрих на том месте, где обычно помещается показатель степени, или 2) перед обозначением данной функции ставится символ d/dx.

Если данная функция обозначена буквой у, то ее производная может быть обозначена:

1) у', читать: «производная функции у»,

или

2) dy/dx, читать: «дэ игрек по дэ икс».

Если данная функция обозначена символом f(x), то ее производная может быть обозначена:

1) f '(х), читать: «производная функции f(x)»,

или же

2) df(x)/dx, читать: «дэ эф от икс по дэ икс».

4. Нахождение производной от данной функции называется дифференцированием данной функции.

Общее правило дифференцирования (нахождения производной) следующее:

1) найти приращение ?y функции, т. е. разность значений функции при значениях аргумента x + ?x и x;

2) найти отношение ?y/?x, для этого полученное выше равенство разделить на ?x;

3) найти предел отношения ?y/?x при ?x >0.

Пример. Найти производную функции у = х3 + 1 в любой точке x.

Решение. 1) ?y = (x + ?x)3 + 1 -- (х3 + 1).

По выполнении действий:

?y = Зx2*?x+Зx*?x 2+?x 3;

2) ?y/?x=3x2 + Зx*?x+?x 2;

3) dy/dx = lim(3x2+3x*?x+?x 2 = 3x2+3x*0+0 = 3x2.

?x>0

5. Заметим, что производная линейной функции у= =kx+b есть величина постоянная, равная k.

Действительно, для линейной функции y = kx+b

?у = k*?x;

?y/?x=k;

6. Производные часто встречаются в технике и естествознании. Примеры производных: 1) при движении тела пройденный путь s есть функция от времени t скорость движения в данный момент времени t есть производная от пути s по времени t, т. е.

х=ds/dt;

2) при вращательном движении твердого тела (например, маховика) (черт) вoкруг оси Ох, угол поворота его ц есть функция времени t:

ц=f(t);

угловая скорость (омега) в данный момент времени t есть производная от угла поворота по времени, т. е.

щ=dц/dt;

3) при охлаждении тела температура Т тела есть функция времени t,

T=f(t);

скорость охлаждения в момент времени t есть производная от температуры Т по времени с, т. е. dT/dt;

4) теплоемкость С для данной температуры t есть производная от количества теплоты Q по температуре t,

C=dQ/dt;

5) при нагревании стержня его удлинение ?l, как показывают тщательные опыты, лишь приближенно можно считать пропорциональным изменению температуры Дt. Поэтому функция l=f(t) является не линейной, а отношение ?l/?t лишь средним коэффициентом линейного расширения на отрезке [t, t+Дt]. Коэффициент линейного расширения а при данном значении температуры t есть производная от длины l по температуре t,

б=dl/dt

Касательная к кривой

1. Возьмем на прямой АВ (черт) точку С и проведем через нее прямую СМ, не совпадающую с АВ. Вообразим, что прямая СМ вращается вокруг точки С так, что угол г между прямыми стремится к нулю. Неподвижная прямая АВ называется в этом случае предельным положением подвижной прямой СМ.

2, Вообразим, что на кривой АВ (черт. 93) точка М неограниченно приближается к неподвижной точке С, секущая СМ при этом вращается вокруг точки С. Может случиться, что, независимо от того, будет ли точка М приближаться к С в направлении от A к С или от В к С (на черт точка M'), существует одна и та же прямая СТ -- предельное положение секущей СМ.

Определение. Прямая СТ, предельное положение секущей СМ, называется касательной к кривой в точке С.

Точка С называется точкой прикосновения или касания.

3. Следствие. Угол ц (черт.), образуемым касательной СТ с осью Ох, есть предел угла б, образуемого с осью Ох секущей СМ, для которой данная касательная служит предельным положением.

Действительно, угол г между касательной СТ и секущей СМ равен разности б -- ц:

б -- ц = г.

По определению касательной, угол г -- бесконечно малая величина, а поэтому

ц -- limб.(I)

4. Теорема. Если к линии y=f(x) в точке х имеется касательная, непараллельная Оу, то угловой коэффициент касательной равен значению производной f '(х), в точке х.

Доказательство. Угловой коэффициент касательной:

tgц = tg(limб),

так как, по предыдущему, ц = limб.

Исключая случай ц = р/2, в силу непрерывности тангенса имеем: tg(limб) = lim tgб.

Поэтому tgц = lim tgб.

По формуле (VI) для СМ (черт.) имеем:

tgб=(f(x+Дx) -f (x))/Дx

Переходя к пределу при Дx>0 (точка М при Д

x> 0 неограниченно приближается к С, а угол

б>ц), имеем:

lim tg б =lim((f(x+Дx)-f(x))/Дx)=f '(x).

Дx>0 Дx>0

tgц=f '(x)

Геометрический смысл производной

1. Справедлива обратная теорема, выражающая геометрический смысл производной: если функция y=f(x) имеет определенную производную в точке х, то:

1) в этой точке имеется касательная к графику функции,

2) угловой коэффициент ее равен значению производной f '(x) в точке х.

Д о к а з а т е л ь с т в о. По условию, существует предел отношения Дy/Дx. Но отношение Ду/Дx есть тангенс угла секущей СМ (черт.).

lim tgб = tg(limб)

Д x>0 Д x>0

Дy/Дx=tgx (1)

Значит, согласно условию, существует

Из равенства (1) следует:

б=arctg(Дy/Дx).

Вследствие непрерывности арктангенса, имеем:

Но, по условию, существует и равен числу f '(х). Поэтому

lim б = arctg f'(x).

Д x>0

Полагая arctg f '(x)=ц, получаем:

lim б = ц.

Д x>0

lim б = ц.

Д x>0

Следовательно, существует предел б. Значит, существует прямая, проходящая через точку С, угол которой с Ох равен Такая прямая есть касательная в данной точке С[х, f(x)] и ее угловой коэффициент tgц = f '(x).

2. Замечания. 1. Угловой коэффициент k прямой y=kx+b называется наклоном прямой к оси Ох. Наклоном кривой y=f(x) в точке (х1, у1) называется угловой коэффициент касательной к кривой, он равен значению производной в этой точке, т. е.

tgц = f '(х1).

2. Если касательная в точке (х1, y1) кривой y=f(x) образует с Ох: а) острый угол ц, то производная f '(x)>0, так как tgц >0 (черт.); б) тупой угол ц, то производная f '(х1)<0, так как tgц<0 (черт.). Если касательная параллельна оси Оx (черт.), то угол ц=0, tgц=0 и f '(х1) = 0.

Когда касательная перпендикулярна оси Ох, то стремление б к р/2 может дать один и тот же бесконечный предел как «справа», так и «слева»: tgц= + ? (черт.) пли tgц=- ? (черт.), или давать «слева» и «справа» бесконечные пределы разного знака (на черт. в точке С «слева» tgц = +?, а «справа» tgц= - ?). В первом случае, в точках А и В, функция f(x), говорят, имеет бесконечную производную; во втором случае, в точке С, не существует ни конечной, ни бесконечной производной.



Заметим, что бесконечные производные рассматриваются лишь в точках непрерывности функции f(x).

3. Функция называется дифференцируемой в точке х, если ее производная в этой точке конечна. Функция f(x) дифференцируема в промежутке а<х<b, если ее производная f '(х) конечна в каждой точке промежутка.

4. Кривая, имеющая касательную, иногда расположена по обе стороны касательной (черт.). В этом случае говорят, что касательная пересекает кривую.

4. Прямая, проходящая через точку касания перпендикулярно к касательной, называется нормалью к кривой. Согласно условию взаимной перпендикулярности прямых, угловой коэффициент нормали есть -1/f '(x1).



Зависимость между дифференцируемостью и непрерывностью функции

1. Теорема. Если функция y=f(x) имеет в точке х определенную производную, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Напишем тождество:

Дy=(Дy/Дx)*Дx

так как всегда считаем Дx ? 0. При стремлении Дx к нулю отношение Дy/Дx имеет определенный предел (по условию) и, следовательно, есть величина ограниченная, Дx; есть бесконечно малая. Поэтому произведение (Дy/Дx)*Дx есть бесконечно малая величина, предел ее равен нулю, т. е.

lim Дy = 0

Д x>0

Следовательно, данная функция y=f(x) непрерывна.

2, Обратная теорема неверна: непрерывная функция может не иметь производной. Например, функция:

y = |х|

в точке x = 0 непрерывна. В то же время в точке х = 0 определенной касательной не существует, функция не дифференцируема.

3. Следствие. В точке разрыва функция не имеет производной.

Впервые отчетливое различие между понятием непрерывности и дифференцируемости было дано гениальным русским ученым Н. И. Лобачевским.

ПРОИЗВОДНЫЕ ОТ ЭЛЕМЕНТАРНЫХ ФУНКЦИЙ

Производная постоянной

Теорема Постоянная функция имеет в любой точке x производную, равную нулю.

Дано: y=c (черт.).

Требуется доказать: с'=0.

lim (Дx/Дy)=0, т. е.

Дx>0

Доказательство: Для любого значения x и для всякого приращения Дx приращение функции Дy равно нулю, также равно нулю и отношение Дx/Дy.

Отсюда

c'=0

Таблица элементарных производных

Функция	Ее производная
xp	px p-1, pОR
c (c-const)	0
1/x	-1/x2
____ vx	____ 1/2vx
ex	ex
sin x	cos x
cos x	-sin x
tg x	1/cos2x
ctg x	-1/sin2x
y = up	pu'up-1
ln x	1/x
ax	ax lna, a>0
log a x	1/(x lna), a>0, a№0
arcsinx	___________ 1/Ц1-x2
arccosx	____________ -1/Ц1-x2
arctg x	1/(1+x2)
arcctg x	-1/(1+x2)

Правила дифференцирования

Пусть c - постоянная, f(x) и g(x) - дифференцируемые функции, тогда c = 0;

(c * f(x))' = c * (f(x))';

(f(x) + g(x))' = f `(x) + g `(x);

(f(x) * g(x))' = f `(x) * g(x) + f(x) * g `(x);

(f(x)/g(x))' = (f `(x) * g(x) - f(x) * g `(x))/g2(x);

ИЗУЧЕНИЕ ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНОЙ

Признаки постоянства, возрастания и убывания функций Будем считать, что рассматриваемая функция y=f(x) определена и дифференцируема в каждой точке отрезка a ? x ? b.

1. Известно, что постоянная функция имеет в каждой точке отрезка производную, равную нулю. В полных курсах анализа доказывается обратное, что функция f(x) постоянна на отрезке [а, b], если в каждой точке отрезка ее производная f '(х) равна нулю.

Иллюстрируем это геометрически. Если f ' (x) = 0 в каждой из точек отрезка [а, b], то касательная к графику функции y=f(x) в каждой из точек х (а ? х ? b) параллельна оси Ох. При переходе х от одного значения к его последующим значениям точка М. графика функции, являющаяся точкой прикосновения касательной, сдвигается вправо, но остается на направлении касательной, проведенной в точке М, так как касательная при этом переходе не меняет своего направления. Вследствие этого на отрезке [а, b]

график функции y=f(x) обращается в прямую MN, параллельную оси Ох, а значение функции, равное f(а), остается неизменным (черт.).

2. Если в промежутке a<x<b функция y=f(x) возрастающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее ее значение более предыдущего и потому для каждого данного значения х приращения Дx и Ду положительны, отношение Дy/Дx положительно и при стремлении Дx к нулю принимает только положительные значения. Вследствие этого его предел -- производная f '(х) -- положительна или равна нулю

f '(x) ? 0

Если в промежутке а<х<b функция y=f(x) убывающая (черт.), то при увеличении х каждое последующее значение функции менее предыдущего. Поэтому для каждого данного значения x в то время, когда приращение Дx положительно, приращение Дy отрицательно, отношение Дy/Дx принимает только отрицательные значения и при стремлении Дx к нулю имеет своим пределом отрицательное число или нуль, т. е.

f '(x) ? 0.

Так как значение производной f '(х) равно угловому коэффициенту касательной к графику функции y = f(x):

f '(x) = tgц,

и у возрастающей функции f '(x) = tgц ? 0, то касательная к графику возрастающей функции образует с осью Ох острый угол или параллельна оси Ох (черт. 106). У убывающей функции f '(х) = tgц ? 0, касательная к графику образует с осью Ох тупой угол или параллельна оси Ох (черт.).

В промежутке a<x<b возрастания (или убывания) функции не существует никакого отрезка а ? х ? b1 (a<a 1<b1<b), во всех точках которого производная равна нулю, так как если бы f '(x) = 0 на отрезке a1 ? х ? b1 то функция f(x) имела бы одно и то же значение во всех точках этого отрезка, т. е. не была бы возрастающей (или убывающей).

Точки графика возрастающей (или убывающей) функции, в которых касательная параллельна оси Ox, являются отдельными точками в том смысле, что абсциссы их не составляют отрезка. На черт. и черт. такими точками являются Р и Р1.

3. В полных курсах анализа доказываются следующие достаточные признаки возрастания и убывания функции:

функция f(x) возрастает (или убывает) в промежутке a<x<b, если:

1) производная f '(х) не отрицательна (или не положительна) в промежутке а<х<b,

f '(x) ? 0 (или f '(x) ? 0)

и

2) в этом промежутке не существует отрезка a1 ? x ? b

1 (а<а1<b1<b), во всех точках которого производная f '(х) = 0.

4. Пример. Определить промежутки возрастания и убывания функции:

у = х3 -- х2 -- 8х + 2.

Решение. Чтобы применить признаки возрастания и убывания функции, найдем производную данной функции и определим значения х, при которых она положительна или отрицательна:

у' = Зх2 -- 2х -- 8.

Разложим трехчлен второй степени на множители, так как гораздо легче судить о знаке произведения по знакам множителей, чем о знаке суммы по знакам слагаемых.

Корни трехчлена:

_______________

x=(1+v1+24)/3=(1+5)/3; x1= - 4/3, x2=2.

Отсюда:

у' =3(х+4/3)(х-2).

Множитель x + 4/3 отрицателен при х < - 4/3 и положителен при х > - 4/3. Множитель х - 2 отрицателен при х < 2 и положителен при х > 2. Знак произведения будет тот или иной в зависимости от расположения точки х на оси Ох относительно точек -4/3 и 2.

Точки -4/3 и 2 разделяют всю ось на три промежутка;

1) -- ? <x<-4/3, 2) -4/3<x<2, 3)2<x< + ?.

Чтобы определить знак производной в каждом из промежутков, составим таблицу:

№ про-межутка	Характеристика промежутка	Знак x+4/3	Знак x-2	Знак f '(x)	Данная функция
1	- ? < x< - 4/3	--	--	+	возрастает
2	-4/3 < x < 2	+	--	--	убывает
3	2 < х < + ?	+	+	+	возрастает

Следовательно, данная функция возрастает в промежутках - ? <x < -4/3 и 2 <x < + ? и убывает в промежутке -- 4/3 < х <2.

График данной функции представлен на черт.

5. Функция у = х3 (черт.) имеет производную у = 3х2, которая положительна при всяком значении х, отличном от нуля. При х = 0 производная у' = 0. Функция у = х3 возрастает в промежутке -- ?<x<+?; x= 0 есть отдельная единственная точка, в которой производная равна нулю, в ней функция возрастает. Действительно, при х = 0 х3 = 0, а при х < 0 х3 < 0 и при х > 0 х3 > 0.

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин

1. Требуется огородить проволочной сеткой длиной 60 м прямоугольный участок, прилегающий к стене дома ( черт.). Каковы должны быть длина и ширина участка, чтобы он имел наибольшую площадь?

Решение. Пусть ширина участка x м, а площадь у м2, тогда:

y = (60-2x)x = 60x - 2х2

Значения x и y не могут быть отрицательными, поэтому множитель

60 - 2x > 0, а 0<x<30.

Площадь y есть функция x, определим промежутки ее возрастания и убывания:

y' = 60 - 4x.

y'>0, и функция возрастает, когда x<15; y<0, и функция убывает, когда x>15.

Если ширина х =	0	5	10	15	20	25	30
то площадь y =	0	250	400	450	400	250	0

Кривая (черт.) поднимается от начала 0 до точки М(х= 15), а затем начинает падать. В точке х= 15 функция имеет наибольшее значение.



Следовательно, площадь участка наибольшая (максимум), если ширина х =15м, а длина 60 -- 2x = 60 -- 30=30 (м)

2. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты, площадь которой 36 x2, чтобы периметр ее был наименьший?

Решение. Пусть длина равна х м, тогда ширина прямоугольника 36/x м, а периметр:

Y=2(x+36/x)=2x+72/x.

Периметр у есть функция длины x, определенная для всех положительных значений x:

0<x<+?

Определим промежутки ее возрастания и убывания:

y'=2-72/x2=2(x2-36)/x2=2(x-6)(x+6)/x2.



Знак производной определяется знаком разности x-6. В промежутке 0<x<6 y'<0, а в промежутке 6<x<+? y'>0.

Периметр убывает в промежутке 0<x<6 и возрастает в промежутке 6<x<+?. График (черт.) построим по таблице:

Если х =	>0	3	4	5	6	7	8	>?
То у =	>?	30	26	24,4	24	24,3	25	>?

Следовательно, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина его 6 м и ширина 36/6 м = 6 м, т. е. когда он квадрат.

Максимум и минимум функции

Задачи на отыскание наибольших и наименьших значений величин имеют важное значение в технике и, как это ясно из примеров, сводятся к отысканию максимума и минимума функции.

Определение. 1. Функция f(x) имеет при х=с максимум, если ее значение при х=с больше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с.

2. Функция f(x) имеет при x= с минимум, если ее значение при х=с меньше, чем при любом другом значении х, взятом в некоторой окрестности точки х=с. Термины "максимум" и "минимум" объединяются в один общий для них термин "экстремум".

Значение аргумента, которое дает максимум (или минимум) функции, называется точкой максимума (минимума), или точкой экстремума.

Функция может иметь только максимум, например функция y = 60x-- 2х2 (черт. 111), или только минимум, например функция у = 2х+72/x (черт. 112), или иметь максимум и минимум, как, например, функция у = х3-- -- х2 -- 8х+2 (черт. 108). Функция может иметь несколько максимумов и минимумов (черт. 113), причем в этом случае максимумы и минимумы чередуются. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума. Например, функции у = х3, y = ctgx, y = ax не имеют ни максимума, ни минимума, так как при возрастании х от -- ? до +? первая и третья функции возрастают, а вторая только убывает.

Максимум (минимум) функции может не быть наибольшим (наименьшим) значением ее. Так, изображенная на черт. 113 функция имеет в точке с. значение, большее максимумов с1 М1 и с3М2, а в точке с0 значение, меньшее минимума c2m1, и c4 m2, минимум c4m2 больше максимума с1М1. Максимум (минимум) функции в данной точке вообще есть наибольшее (наименьшее) значение функции по сравнению с ее значениями в точках, лежащих слева и справа от точки экстремума лишь в достаточной близости к ней.

Признаки существования экстремума

1. Теорема (необходимый признак). Если в окрестности 2д точки х=с:

1) функция f(х) дифференцируема, 2) значение х=с есть точка экстремума функции f(x), то ее производная в точке с равна нулю, m. e. f '(c) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности х=c есть точка максимума (черт. 111). Представим значения независимого переменного х левой полуокрестности точки с в виде с -- Дx:, а правой в виде с+ Дx, где 0< Дx < д. Значение функции f(x) в точке с есть f(c), в левой полуокрестности оно равно f(с -- Дx), а в правой f(c + Дx). Значения f(x) в окрестности 2д точки с поставлены, таким образом, в зависимость от значений Дx, причем значение х = с -/+ Дx неограниченно приближается к числу с, если Дx стремится к нулю.

По определению максимума функции:

f(c- Дx)<f(c) и f(c + Дx)<f(c).

Отсюда:

f(c-Дx)-f(c)<0 и f(c + Дx)-f(с)<0.

Левые части неравенств выражают приращение функции в точке х = с при изменении аргумента соответственно на -- Дx и + Дx.

Составив отношение приращения функции к приращению аргумента, получаем:

lim ((f(c - Дx)-f(c))/(--Дx)) = f`(c) и lim ((f(c + Дx)-f(c))/(+Дx)) = f`(c).

- Дx>0 + Дx>0

(f(c --Дx)--f(с))/(-Дx))>0 (1);

(f(с + Дx)--f(с)/(+Дx))<0 (2) Оба отношения (1) и (2)

имеют один и тот же предел при Дx > 0, так как по условно

функция f(x) имеет в точке с определенную произвольную:

Из неравенства (1) следует, что f '(с) либо положительна, либо равна нулю, а неравенство (2) показывает, что f '(с) не может быть положительной. Следовательно,

f`(c) = 0,

что и требовалось доказать.

2. Теорема (достаточный признак). Если в окрестности 2д точки x = с:

1) функция f(x) непрерывна,

2) ее производная, f '(х), слева от точки х = с положительна, а справа отрицательна, то значение х = с есть точка максимума функции.

lim f(c - Дx) = f(c) и lim f(c + Дx) = f(c).

- Дx>0 + Дx>0

Доказательство. Данная функция непрерывна в точке c, поэтому число f(с) есть общий предел для f(c -- Дx) и f(c+Дx) при Дx > 0 (как и в предыдущей теореме, здесь и в последующем 0 < Дx< д):

Данная функция f(x) в левой полуокрестности точки с -- возрастающая, так как ее производная слева от точки с положительна, а в правой полуокрестности -- убывающая, так как ее производная справа от точки с отрицательна (черт.), и вследствие этого ее значения

f(c --Дx) и f(c+Дx)

возрастают при стремлении Дx к нулю (по определению убывающей функции, меньшему значению аргумента отвечает большее значение функции, т. е. при x1 >x2 f(x1)<f(x2))

Другими словами, как f(c -- Дx), так и f(c+Дx) приближаются к своему пределу f(с) так, что для каждого значения

Дx ? 0:

f(c - Дx) < f(c) и f(c + Дx) < f(c).

Но в таком случае f(c) есть максимум функции f(x) в точке х = с.

3. Так же можно доказать, что если в окрестности 2д точки х = с:

1) функция f(x) непрерывна, 2) производная f '(x) слева от точки х = с отрицательна, а справа положительна, то значение х = с есть точка минимума функции (черт.).

4. Как в точке максимума, так и в точке минимума производная равна нулю (1°). Обратное неверно. Функция может не иметь ни максимума, ни минимума в точке, в которой производная равна нулю.

Например, функция у = х3 имеет в точке x =0 производную, равную нулю. Однако в точке х = 0 нет ни максимума, ни минимума, функция у = х3 при всех значениях х, в том числе и при x = 0, возрастает. Отсюда, в точке х=с функция f(x) не имеет на максимума, ни минимума, если при х = с ее производная равна нулю и имеет один и тот же знак как слева, так и справа от точки х = с.

5. Определение. Значения аргумента х, при которых производная f '(х) равна нулю, называются стационарными точками. Касательная в стационарных точках параллельна оси Ох. В окрестности точки максимума касательная составляет с осью абсцисс острый угол, если точка лежит слева от точки максимума, и тупой угол, если справа от нее (черт.). В случае минимума, напротив, касательная составляет с осью абсцисс тупой угол, если точка находится слева от точки минимума, и острый, если справа от нее (черт.).

Правило нахождения экстремума

1. Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства) по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;

3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных стационарными точками;

4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни максимума, ни минимума, функции;

5) затенить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или минимума функции.

Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых определяется знак производной.

Нахождение экстремума при помощи второй производной

1. Лемма. Если при х = с производная положительна (или отрицательна), то в достаточно малой окрестности точки х = с приращение функции и приращение аргумента в точке с имеют одинаковые (или разные) знаки.

функция производная экстремум дифференцируемость

lim (?y/?x)>0.

?x>0

Доказательство от противного. Пусть для определенности f '(c)>0, т. е. Предположим, что при стремлении ?x к нулю приращения ?y и ?x имеют разные знаки. Тогда отношение ?y/?x отрицательно и его предел

f '(c) ? 0,

что противоречит условию.

Так же доказывается и вторая часть леммы.

2. Теорема. Если при х = с первая производная функции f(x) равна нулю, f '(c)=0, а вторая производная положительна, f "(c)>0, то в точке х = с функция f(x) имеет минимум; если же вторая производная отрицательна, f "(с) < 0, то в точке х = с функция f(x) имеет максимум.

f ''(c) = lim ((f'(c + ?x)-f '(c))/?x)>0.

?x>0

Доказательство. Вторая производная по отношению к первой производной является тем же, чем первая производная по отношению к данной функции, т. е.

Согласно лемме, если при х = с производная (в данном случае вторая) положительна, то в достаточно малой окрестности 2д точки с приращение функции (в данном случае первой производной) имеет тот же знак, что и приращение аргумента. Слева от точки с приращение аргумента отрицательно, значит, и приращение функции отрицательно, т.е.

f '(c -- ?x)--f(c)<0, (0 < ?x < д).

Отсюда:

f '(c-?x)<f '(c) = 0. (1).

Справа от точки с приращение аргумента положительно, т. е.

f '(c +?x)-f '(c)>0.

Отсюда:

f '(c + ?x)>f '(c) = 0. (2)

Получили: первая производная функции f(x) слева от точки с отрицательна (1), а справа положительна (2). Значит, в точке х = с функция f(x) имеет минимум, как это и требовалось доказать.

Так же доказывается теорема и в случае f "(с)<0.

3. Доказанная теорема определяет второй способ нахождения экстремума. Он отличается от первого тем, что третья и четвертая операции первого способа заменяются: а) нахождением второй производной и б) определением ее знака в стационарной точке. Результат исследования можно выразить так:

Если знак числа f "(с),	то при х = с f(x) имеет
плюс минус	минимум максимум

Если f '(с) = 0, то исследование функции на максимум и минимум надо провести первым способом.

4. Пример 1. Исследовать вторым способом на максимум и минимум функцию:

у = 5 -- х2 -- х3 -- x4/4.

Решение. 1. Находим первую производную:

y ' = - 2х - Зx2 -- x3

2. Приравниваем первую производную нулю и решаем полученное уравнение:

-- 2x -- Зx2 -- x3 = 0, или x(x2+3х+2) = 0,

отсюда x = 0 или x2+ 3х + 2 = 0.

Решая квадратное уравнение x2 + 3х + 2 = 0, получаем:



x = (-3 + 1)/2.

Стационарных точек три: x1 = -- 2, x2 = -- 1 и х3 = 0.

3. Находим вторую производную:

у" = -- 2 - бx -- Зx2.

4. Определяем знак второй производной, заменяя х его значением сначала в первой, затем во второй и потом в третьей стационарной точке:

при х = -- 2 у'' = -- 2 -- 6(-- 2) -- 3(-- 2)2 = -- 2, при х = --

1 у" = -- 2 -- 6(-- 1) -- 3(-- l)2 = + 1, при x = 0 у" = -- 2

Следовательно, данная функция имеет минимум при х = --1 и максимум при х = -- 2 и при х =0,

Пример 2, Исследовать на максимум и минимум функцию: у = х4.

Решение:

1) y' = 4x3;

2) 4х3 = 0; х = 0;

3) y" = 12x2;

4) при х = 0 y" = 0.

Так как оказалось, что вторая производная равна нулю, то исследование ведем первым способом: при х < 0 у' = 4x3 < 0, а при х > 0 у' = 4x3 > 0. Следовательно, функция у = х

4 имеет минимум в точке x = 0.

5. Второй способ нахождения экстремума имеет смысл применять в том случае, когда вторая производная отыскивается просто; если же дифференцирование сопровождается трудными преобразованиями и не упрощает выражение первой производной, то первый способ может быстрее привести к цели.

Направление вогнутости кривой

Пусть две точки M1 и M2 имеют одну и ту же абсциссу. Если при этом ордината точки M1 более (менее) ординаты точки M2, то говорят, что точка M1 лежит выше (ниже) точки M2. Говорят также, что в промежутке а<х<b линия y = f(x) лежит выше (ниже) линии у=ц(х), если в этом промежутке каждая точка первой линии лежит выше (ниже) соответствующей ей точки второй линии, т. е. если

f(x)> ц(x) [или f(x)< ц(x)].

Определение. В промежутке а < х < b кривая-- график дифференцируемой функции y=f(x) -- называется вогнутой вверх (вниз), если она лежит выше (ниже) касательной в любой точке данного промежутка.

Кривая, изображенная на черт., является вогнутой, вверх в промежутке а < х < b и вогнутой вниз в промежутке b < х < с.



2. В более подробных курсах анализа доказывается, что если производная f '(х) -- возрастающая (убывающая) функция в промежутке а < х < b, то кривая y=f(х) является вогнутой вверх (вниз) в этом промежутке.

Чтобы уяснить эту теорему, наметим на оси Ох (черт.) произвольно ряд точек и проведем через каждую из них прямую так, чтоб и угловом коэффициент прямой возрастал с возрастанием абсциссы намеченных точек; затем, приняв эти прямые за касательные к некоторой кривой линии [tgц = f '(x)], построим эту кривую линию. Мы видим, что она может лежать только выше каждой из проведенных касательных.

3. Достаточный признак вогнутости вверх (вниз). Если в промежутке а<х<b вторая производная f ''(x) положительна (отрицательна), за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то кривая у=f(х) в этом промежутке вогнута вверх (вниз).

Действительно, если в промежутке а<х<b вторая производная f "(x), например, положительна, за исключением отдельных точек, в которых она равна нулю, то первая производная f '(х)--возрастающая функция, а кривая y = f(x), согласно предыдущему, является вогнутой вверх.

Если f "(x) = 0 не в отдельных точках, а в некотором промежутке, то в этом промежутке f '(x) -- постоянная функция, a f(x) -- линейная функция, график ее -- прямая линия, и говорить о вогнутости не имеет смысла.

Точки перегиба

1. Определение, Если в некоторой окрестности точки х = с кривая --график дифференцируемой функции y = f(x) -- имеет слева и справа от точки х = с вогнутости противоположного направления, то значение х = с называется точкой перегиба.



Точку М кривой (черт.), абсцисса которой х = с, называют также точкой перегиба, она отделяет дугу кривой, вогнутую вверх, от дуги, вогнутой вниз. Точкой перегиба может быть только та точка, в которой к кривой имеется касательная. В окрестности точки перегиба кривая лежит по обе стороны от касательной: выше и ниже ее. Заметим, что она расположена также по обе стороны от нормали. Но такая точка, как Р (черт.), в которой единственной касательной не имеется, точкой перегиба не является.

2. Так как слева и справа от точки перегиба х = с вогнутости кривой y=f(x) разного направления, то вторая производная f "(x) имеет слева и справа от точки х = с разные знаки или равна нулю. Полагая вторую производную непрерывной и окрестности точки х = с, заключаем, что в точке перегиба она равна нулю, т. е.

f(c) = 0.

3. Отсюда следует правило нахождения точек перегиба:

1) найти вторую производную данной функции;

2) приравнять ее нулю и решить полученное уравнение (или найти те значения х, при которых производная теряет числовой смысл), из полученных корней отобрать действительные и расположить их no величине от меньшего к большему;

3) определить знак второй производной в каждом, из промежутков, отграниченных полученными корнями;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

4. Примеры. Найти точки перегиба и определить промежутки вогнутости вверх и вниз кривых:

1) у = lп х.

Р е ш е н и е. Находим вторую производную:

y '=1/x; y ''= -1/x2.

При всяком значении x = (0 < х <+?) у" отрицательна. Значит, логарифмика точек перегиба не имеет и обращена вогнутостью вниз.

2) у = sin x.

Решение. Находим вторую производную:

y' =cos x, y'' = -sin x.

Полагая - sin x = 0, находим, что x = kр, где k - целое число.

Если 0 < x< р, то sin x положителен и y '' отрицательна, если же р < x< 2р, то sin x отрицателен и y'' положительна и т. д. Значит, синусоида имеет точки перегиба 0, р, 2р,...

В первом промежутке 0 < x< р она обращена вогнутостью вниз, во втором - вогнутостью вверх и т. д.

Механическое значение второй производной

Предположим, что точка движется прямолинейно и пройденный ею путь определяется уравнением s = f(t), где t время. Скорость v в момент времени t есть производная от пути по времени, т. е.

v=ds/dt.

Скорость изменения скорости в момент времени t есть ускорение а,

a=(v)' = (ds/dt)' = (d2s/dt2).

Вторая производная от пути по времени есть ускорение прямолинейного движения в данный момент времени.

Пример. Прямолинейное движение точки совершается по закону:

s = (t3 -- 2) м.

Определить ускорение в момент t = 10 сек.

Решение. Ускорение а = d2s/dt2.

Дифференцируя функцию s=t3 -- 2, находим d2s/dt2 =6t

Следовательно,

a = 6t = 6*10 = 60; a = 60 м\сек2.

2. Если движение неравномерное, то сила F, производящая его, непостоянна, каждому моменту времени t соответствует определенное значение действующей силы F, и сила, таким образом, есть функция времени t, F=f(t).

По закону Ньютона, в каждый момент времени действующая сила F равна произведению массы т на ускорение а, т. е.

F=ma, или f(t) = ma.

При прямолинейном движении a =d2s/dt2, поэтому

f(t) = m*d2s/dt2.

Зная уравнение прямолинейного движения, можно дифференцированием найти значение действующей силы в каждый момент времени.

Пример. Определить силу, под действием которой материальная точка совершает прямолинейные колебания по закону

s = А*sin(щt + щ0).

Решение. f(f) = m*d2s/dt2, поэтому находим вторую производную функции:

s = А*sin(щt + щ0), ds/dt = А*cos(щt+щ0)* щ,

d2s/dt2=-- А*sin (щt + щ0)* щ

2 = -- s*щ2 = -- щ2s; f(t) = -- mщ2

s,

т. е. рассматриваемые колебания совершаются под действием силы, пропорциональной перемещению s и направленной в противоположную сторону.

ДИФФЕРЕНЦИАЛ

Сравнение бесконечно малых

1. Составим отношение бесконечно малых, приближающихся к нулю по различным законам, так что каждому рассматриваемому моменту приближения к нулю одной из бесконечно малых отвечает определенное значение каждой из рассматриваемых бесконечно малых. Например, пусть в те моменты приближения к нулю, когда

значения б = 10;1; 0.1; 0,01 и т.д.;

значения в =1000; 1; 0,001; 0,000001 и т.д.

Отношение в/б =100; 1; 0, 01; 0, 0001 и т.д., т.е.

значение отношения бесконечно малых не остается неизменным в процессе приближения их к нулю. Отношение бесконечно малых, таким образом,-- величина переменная, и у нее может существовать предел, конечный (равный нулю, как в примере, или отличный от нуля) или бесконечный, а может предела и не существовать.

2. Определения: 1) в называется бесконечно малой высшего порядка малости, чем б, если предел отношения в/б равен нулю, т. е. если

limв/б =0;

2) в называется бесконечно малой низшего порядка малости, чем б, если

limв/б = ?;

3) в и б называются бесконечно малыми одинакового порядка малости, если предел их отношения есть число k, отличное от нуля, т. е. если

limв/б = k, где k ? 0 и k ? ?

4) в и б называются несравнимыми бесконечно малыми, если предела их отношения не существует.

3. Примеры. 1. В рассмотренном выше примере limв/б = 0, в высшего порядка малости, чем б, a limб/в = ? и б низшего порядка, чем в

lim (в/б) = lim (1+x) =2.

х>1

2. б =1--х и в=1-- x2 --бесконечно малые, если

х>1. Отношение в/б=(1- x2)/(1-x) = 1+x.

Значит, 1--х и 1--x2 --бесконечно малые одинакового порядка малости при х>1.

3. Сравним 1 --cosx с х при x> 0.

lim((1-cosx)/x) = lim((2sin2(x/2))/x) = lim((sin(x/2))*sin(x/2)/(x/2))=

x>0 x>0 x/2>0

=lim((sin(x/2))/(x/2))*lim(sin(x/2)) = 1*0 = 0

x/2>0 x/2>0

т. е. 1--cos x при х > 0 есть бесконечно малая высшего

порядка малости, чем х.

Дифференциал функции

1. Определение. Дифференциалом (dy) функции y=f(x) называется произведение значения производной f '(х) на произвольное приращение ?x аргумента х, т. е.



dy=f '(x)*?x (I)

2. Для получения значения дифференциала функции необходимо знать два числа: начальное значение аргумента, х, и его приращение, ?x

Пример. Вычислить дифференциал функции у = x2 при изменении значения аргумента х от 3 до 3,1.

Решение. dy=f '(х)* ?х. Найдем dy сначала для произвольных значений х и ?x.

f '(x) = (x2)' =2x.

Поэтому

dy=2x*?x.

Начальное значение аргумента х=3, приращение его ?x = 3,1 -- 3 = 0,1. Подставляя эти значения в выражение dy находим:

dy =2*3*0,1=0,6.

Для данного значения независимого переменного х дифференциал функции f(x) есть линейная функция приращения независимого переменного ?х.

3. Рассмотрим геометрический смысл дифференциала функции. На черт. В точке х проведена касательная к графику функции y=f(x). Из ?MPT следует, что

PT = MP*tgц = ?x*f '(x).

Но по определению f '(х) *?x = dy, поэтому PT = dy.

Дифференциал функции f(x) при данном значении х геометрически выражается приращением ординаты касательной к графику функции y=f(x) в точке х.

4. Дифференциал dy и приращение ?у вообще не равны между собой. На черт. dy = PT менее ?y=PQ.

Очевидно, dy может быть и более ?y. Это будет, например, если поднимающаяся кривая MN будет вогнута вниз.

5. Пример. Для функции у=x2 при изменении х от 3 до 3,1 приращение ?y = 2x*?x + + ? x2 = 2*3*0,1 + 0, 12 = 0, 61 Дифференциал dy = 2х *?x = 2*3 * 0, 1 = 0,6. Принимая dy за приближенное значение ?у, имеем: абсолютная погрешность приближения равна разности ?у--dy=0,01, а относительная погрешность приближения есть отношение:

(?y--dy)/dy=00,1/0,60=1,7%

6. Разность между приращением и дифференциалом функции, ?у--dy, высшего порядка малости, чем приращение аргумента, ?x.

Действительно, отношение ?y/?x отличается от своего предела f '(x) на бесконечно малую б, причем б > 0 при стремлении ?x к нулю,

?y/?x -- f '(x)= б.



Производя вычитание в левой части равенства, получаем:

(?y-f '(x)*?x)/?x = б, или (?у - dy) ?x= б,

lim((?y-dy)/ ?x) = lim б = 0.

?x > 0 ?x > 0

7. Из сказанного следует: дифференциал функции есть приближенное значение ее приращения с относительной погрешностью, стремящейся к нулю вместе с приращением аргумента.

8. Из изложенного следует, что дифференциал dy функции y=f(x) обладает двумя свойствами:

1) dy пропорционален ?x (dy = k?x, где k=y');

2) отношение (?y--dy)/?x стремится к нулю при стремлении ?x к нулю.

Обратно. Если величина z обладает двумя свойствами:

1) z=k?x и 2) то z есть дифференциал функции у.

Доказательство. Внося из (1) значение z во (2), имеем:

т. е. k = y',

а следовательно,

z = k?x = y'?x,

т. е. z есть дифференциал функции у.

Таким образом, эти два условия полностью определяют дифференциал.

Дифференциал аргумента. Производная как отношение дифференциалов

1. Определение. Дифференциалом (dx) аргумента х называется, его приращение, ?x:

dx = ?х (II)

Может быть, некоторым основанием к этому служит то, что дифференциал функции у=х и приращение ее аргумента совпадают. Действительно,

dy = (x)' ?x, или dy = ?x.

Но так как

dy = dx, то dx = ?x,

т.е. дифференциал функции у =х и приращение ее аргумента совпадают.

2. Внеся в формулу (I) значение ?x=dx, получаем:

dy = f '(x)*dx, (III)

т. е. дифференциал функции есть произведение ее производной на дифференциал аргумента.

3. Формула (III) обладает замечательным свойством, именно: формула dy = f '(x)dx справедлива и в том случае, если x не является независимой переменной величиной, а является функцией другого аргумента, например и.

Действительно, если х есть функция от и, то f(x) есть сложная функция от u приращение dx обусловлено приращением ?u, и dy надо вычислять по формуле;

dy = f 'u (x)* ?u.

Но

f 'u (x)= f'x (x)* x'u

Значит,

dy = f'(x)--x'u * ?u.

Но так как, по определению,

x'u ?u = dx,

то, следовательно,

dy = f '(x)dx.

4. Пример. Найти дифференциал функции:

у = v (e2x--1).

Решение. По формуле (III)

dy = у'*dx.

Находим у':

y' = e2x*2/( 2v (e2x--1)) = e2x/ v (e2x--1).

Значит

dy = e2x*dx/ v (e2x--1)

5. Из формулы (III) следует;

f'(x)=dy/dx,

т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу аргумента. Это иллюстрирует черт., где

dy/dx = PT/MP = tgц=f '(x)

для произвольного значения dx = MP.

Приложения понятия дифференциала к приближенным вычислениям

1. Разность ?y--dy--бесконечно малая высшего порядка малости, чем ?x, поэтому при достаточно малом ?x

?y ? dy =f '(х)?x (IV)

Это означает, что при малых изменениях аргумента (от начального значения х) величину изменения функции y=f(x) можно приближенно считать пропорциональной величине изменения аргумента с коэффициентом пропорциональности, равным значению производной f '(x); кривую y=f (x) при этом можно приближенно заменить касательной к ней в точке х.

Так как ?у = f(х + ?x)--f (x), то, заменяя в формуле (IV) ?у его выражением, имеем: f(x+?x) - f(x) ? f '(x)* ?x

f(x+?x) ? f(x) + f '(x)* ?x (V)

В математике производную применяют для:

1. Исследования функции на монотонность, экстремумы.

2. Нахождения касательной к графику.

3. Нахождения наибольших, наименьших значений функций.

4. Нахождения дифференциала для приближенных вычислений.

5. Для доказательства неравенств.

Рассмотрю некоторые примеры применения производной в алгебре, геометрии и физике.

Задача 1. Найти сумму 1+2*1/3+3(1/3)2+.+100(1/3)99;

Решение.

Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+.+100x99 и подставлю в нее x=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+.+x100.

Ясно, что f '(x)=g(x).

f(x) -- сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f(x)=(x--x101)/(1--x). Значит,

g(x) = f '(x) = ((1--101x100)(1--x)--(x--x100)(-1))/(1--x)

2=(1--102x100+101x101)(1--x)2.

Подставлю x = 1/3.

Ответ: 0,25(9--205*3-99)

Задача 2. Найти сумму 1+2*3+3*32+.+100*399;

Решение.

Найду сумму g(x)=1+2x+3x2+.+100x99 и подставлю в нее x=1/3.

Для этого потребуется вспомогательная функция f(x)=x+x2+.+x100.

Ясно, что f '(x)=g(x).

f(x) -- сумма геометрической прогрессии.

Легко подсчитать, что f(x)=(x--x101)/(1--x). Значит,

g(x) = f '(x) = ((1--101x100)(1--x)--(x--x100)(-1))/(1--x)

2=(1--102x100+101x101)(1--x)2.

Подставлю x = 3.

Ответ: ? 2,078176333426855507665737416578*1050.

Задача 3. Найдите площадь треугольника AMB, если A и

B -- точки пересечения с осью OX касательных, проведенных к графику

y = (9--x2)/6 из точки M(4;3).

Решение.

т. A = укас1?OX Решение:

т. B = укас2?OX укас =y(x0)+у'(x0)(x--x0);

y = (9--x2)/6 y'(x0) = -2x*1/6 = -x/3;

M(4;3)________ т.к. укас проходит через M(4;3), то

SAMB --? 3 = (9--x02) -- (4--x0)* x0/3 | *3

18 = 9--x02--2x0(4--x0);

x02--8 x0--9 = 0;

Д/4 = 16 + 9;

x0 = 4+5 = 9;

x0 = 4--5 = -1

укас1 = -12 -- (x--9)*9/3 = -3x+15;

укас1 = 4/3 + (x+1)*1/3 = x/3+5/3;

A(5;0); B(-5;0);

AM = v10 (ед.);

AB = 10 (ед.);

BM = 3v10 (ед.);

p -- полупериметр; __

p = (4v10 + 10)/2 = 2v10 + 5;

__ __ __ __ __ __

S = v(2v10 + 5) (2v10 + 5--v10

) (2v10 + 5--3v10) (2v10 + 5--10) =

= v(2v10 + 5)(v10 + 5)(5--3v10)(2v10--5) =

= v(40--25)(25--10) = 15 (ед2);

Ответ: 15 (ед2).

Задача 4. Какая наименьшая плоскость может быть у треугольника OAB, если его стороны OA и OB лежат на графике функции y = (|x|--x)/2, а прямая AB проходит через точку M(0;1).

Решение:

-x, x<0

y =

0, x>0

A(a;-a); B(b;0);_

AO = |a|v2 = -av2 (т.к. a<0);

BO = b;

Для т. B:

у1 = kx +z;

т.к. у1--график линейной пропорциональности, проходящий через

т M(0;1), то z = 1.

0=kx+1;

k=-1/b;

Для т. A:

у1=kx+1;

-a=kx+1;

k=(-1-1a)/a;

у1A= у1B

(-a--a)/a = -1/b;

b+ab=a;

a(1--b)=b;

a = b/(1-b);

S?AOB=0,5*AO*OB*sin/_AOB

РAOB =180o--45o = 135o

S?AOB=0,5*(v2/2)* (-a)bv2 = -ab/2;

S?AOB = -b2/(2(1--b)) = b2/(2(1--b))

; D(y): b>1(т.к. при b<1 не образует

?AOB.);

т.к. функция непрерывна и дифференцируема на b>1, то найду ее производную:

S' = (4b(b--1)--b2)/(4(b--1)2) = (4b2--4b--2b2)/(4(b--1)2) = 2b(b--2)/(4(b--1)2) = b(b--2)/(2(b--1)2);

S' = 0;

точки экстремума:

b=0;

b=1;

b=2;

но b>1, значит

Sнаим =S(2) = 4/(2(2--1))=2(ед2);

Ответ: 2 ед2.

Задача 5. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA1B1 C1D1 с ребрами CD = 24, AD= 6 и DD 1 =4 проведена плоскость через центр симметрии грани A1B1C1D1 , вершину А и точку Р, лежащую на ребре DC. Какую наименьшую площадь может иметь сечение параллелепипеда этой плоскостью? На какие части делит точка P ребро DC в этом случае?

Решение. Проведем плоскость и построим сечение (рис.). АО О АA1 C1С - линия, принадлежащая данной плоскости. Продолжим АО до пересечения с CC1 в точке S. Тогда SP - линия пересечения грани DD1C1C и данной плоскости, а сечение ANMP - параллелограмм. Sсеч = SAMNP = SK*AP/2 , потому что SK/2-- высота параллелограмма ANMP.

Это видно из следующего рассуждения.



В ДASC ОC1 - средняя линия (значит SC1 =

4), в ДPSC также средняя линия МC1, а плоскость A1B1C1D1 делит пополам любую линию между S и плоскостью ABCD, а значит и SK.

Пусть PC = x; ДCLP подобен ДDAP,

LC/AD = x/(24--x), LC = 6x/(24--x);

Из ДCLP: KC = (6x*x/(24--x))/(?(36x2/(24--x)2

)+x2) = 6x/(v(36+ (24--x)2);

Из ДSCK: SK = ?SC2+ KC2 =

v64+36x2/(36+(24--x)2) = 2v16+9x2

/(36+(24--x)2) ;

Из ДADP: AP = ?36+(24--x)2;

Sсеч = AP*SK/2 = 0,5*(v36+(24--x)2) 2v16+9x

2/(36+(24--x)2) = v16(36+(24--x)2)+9x2

Если S'(x) = 0, то 18x+16*2(24--x)(-1) = 0;

50x--32*24 = 0, x = 32*24/50 = 32*12/25 = 384/25 (это точка min);

Sсеч = 312;

DP = 24--16*24/25 = 216/25;

Ответ: 312 кв. ед.; DC: 384/25; 216/25.

Задача 6. Высота пирамиды TABC с основанием ABC проходит через середину ребра AC. Выберите на AC точку М так, чтобы площадь сечения пирамиды плоскостью, проходящей через точку M, середину ребра TC и вершину B, была наименьшей, если

AB=BC=AC=TC=2.

Решение. HF=FC=1/2;

S?BME = BM*EK*1/2;

Из ?TCH => TH = v4--1=v3;

EF = TH/2=v3/2;

Пусть MC = x.

Из ?BMC по теореме косинусов



MB2= x2+4--2*2*x*1/2;

MB = vx2--2x+4; _ _

S?BMC = 0,5*MC*BC*sinC=(x/2)*2v3 /2 = xv3/2;

S?BMC = 0,5*BM*PC,

PC = (2S?BMC)/BM, PC = xv3/vx2--2x+4 ;

?KMF подобен ?PMC(по двум углам):

KF/PC = MF/MC(рис 2),

KF = xv3(x--1/2)/(xvx2--2x+4) = v3(x--1/2)/(vx2--2x+4);

Из ?KEF => KE = v KF2+

EF2 = v3(x--1/2)2/(

x2--2x+4)+3/4;

S?BME = 0,5vx2--2x+4

*v3(x--1/2)2/(x2--2x+4)+3/4 = 0,5v3(x--1/2)

2+(x2--2x+4)*3/4;

Если S'(x) = 0, то

6(x--1/2)+(2x--2)*3/4 = 0;

15x--9 = 0;

x = 3/5; __

S(3/5) = v15/5 кв.ед.

Ответ: v15/5 кв.ед.

Задача 7. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, у которой боковое ребро образует с высотой пирамиды угол 60o. Какую наименьшую площадь может иметь треугольник MBK, если точка M лежит на апофеме пирамиды, а BK -- высота основания пирамиды, не пересекающая апофему?

Решение. TP = 2R, РATO = 60o.

Пусть AB = BC = CA = a(рис.)

Тогда AO = av3/3,

AD = BK = av3/2, _ _

TO = AO*ctg60o= av3/3*1/v3 = a/3,

OD = av3 /6,

AO2 = TO*OP = TO(2R - TO),

a2/3 = a(2R - a/3)/3, a = 3R/2.

S?MBK = BK*LM*1/2, BK = const,

S?MBK = f(LM),__

LM = vMN2+NL2

Пусть MD = x, тогда MN = x cos / NMD; _

cos Р NMD = TO/TD = a/(3va2/9+a2/12 = 2/v7, MN = 2x/v7 .

Из ?ONL: LN = ON cos30o (РONL = 30o);

ON = OD - ND,

ND = x sin РNMD = x v3/v7, ON = av3/6 - xv3/v7,

LN = (av3/6 - xv3/7)v3/2 = (a/4 - 3x/(2v7)),

LM = v4x2/7+(a/4 - 3x/(2v7))2.

Если LM'(x) = 0, то 8x/7+2(a/4 - 3x/(2v7))(-3/2v7) = 0,

8x/7 - 3a/4v7 + 9x/14 = 0,

25x/14 = 3a/4v7,

x = 21a/50v7.

MN = (21a/50v7)*(2/v7) = 3a/25,

LN = a/4 - (3/2v7)*(21a/50v7) = 4a/25,

LM = va2/625 + 9a2/625 = av10/25. _

S?MBK = av3/2*a/5*1/2 = av3/20 = 9v3 R2/80.

Ответ: 9v3 R2/80.

Задача 8. В сферу радиусом R вписана правильная треугольная пирамида, высота которой в 1,5 раза меньше высоты основания. Между боковой гранью пирамиды и сферой расположена правильная четырехугольная призма, одно из оснований которой (ближнее к центру сферы) лежит в плоскости боковой грани пирамиды, а вершины другого основания принадлежат сфере. Какой должна быть высота призмы, чтобы ее объем был наибольшим? Найти этот объем.

Решение. SABC - правильная треугольная пирамида (рис), вписанная в сферу радиусом R,

SO*1,5 = AD,

LMN - правильная четырехугольная призма.

Найти. Vпр = f(LM).

Пусть SO = H, тогда AD = 1,5H;

SO1 = R - радиус сферы; LM = x -высота призмы.

?SKO1 подобен ?SOD => O1K/OD = SO1/SD => OK1 = OD*SO1/SD.

Из ?AO1O: R2 = AO2 + O1O2 = (2AD/3)2 + (AD*2/3 - R)2,

R2 = 4AD2/9 + 4AD2/9 -AD*R*4/3,

8AD2/9 = AD*R*4/3 => AD = 3R/2.

Отсюда OD = R/2;

AO1 = R и SO1 = R; _

SD = vR2 + R2/4 = Rv5/2, _

OK1 = 2*R*R/(2Rv5) = Rv5/5;

O1K = Rv5/5.

Из ?O1FN => R2 = (O1K + x)2 + NF2,

NF = vR2 - R2/5 - 2x(v5)2/5 - x2 ,

Sосн = 2NF2. _

Vпр = Sосн*x = 2(R2 - R2/5 - 2xv5 R/5 - x2)*x;

Vпр = 2(4R2x/5 - 2x2v5 R/5 - x3);

V'пр(x) = 2(4R2/5 - 2xv5 R/5 - 3x2) = 0; _

x 1,2 = (2Rv5/5 + v4R2

/5 + 12R2/5)/(-3) = (2Rv5/5 + 4R/v5

)/(-3);

x = 2v5 R/15

Vпр.max = 2(4R2*2v5R/(5*15)

- 2v5R*4R2/(45*5) - _ 40v5R3/(225

*15)) = 16R3v5(1 - 1/3 - 5/45)/75 = 16v5R

3/135.

...