Производная функция

Ответ: 16v5R3/135 м3 при H = 2v5R/15.



Задача 9. В конус вписан цилиндр, одно из оснований которого лежит в плоскости основания конуса, а окружность другого основания принадлежит боковой поверхности конуса. Правильная четырехугольная призма расположена так, что ее нижнее основание лежит в плоскости верхнего основания цилиндра, вершины верхнего основания принадлежат боковой поверхности конуса. Отношение длины диагонали основания призмы к ее высоте равно отношению длины диаметра цилиндра к его высоте. При какой высоте цилиндра объем призмы будет наибольшим? Найти этот объем призмы, если высота конуса - H и радиус основания - R

Дано. ASO - конус;

SO = H;

AO = R;

CL/CM = BK/BN;

Найти. BN, чтобы Vпр = max

Решение. BN = x, CM = h, Vпр = Sосн CM = CL2h/2.

?CSD подобен ?ASO: CD/AO = SD/SO;

CD/R = (H - x - h)/H;

CD = R(H - x -h)/H.

?BSE подобен ?ASO: BE/AO = SE/SO;

BE/R = (H - h)/H;

BE = R(H - h)/H.

Находим отношение CD/BE = (H - x - h)/(H - x).

Исходя из условия (CL/CM = BK/BN) задачи делаем вывод,

что CD/BE = h/x, т. е. (H - x - h)/(H - x) = h/x => h = (Hx - x2)/H

Тогда CD = R(H - x - (Hx - x2)/H)/H = R(H2 - Hx - Hx +x2)/H2 = R(H - x)2/H2,

CL = 2CD = 2R(H - x)2/H2.

V = 4R2(H - x)4(H - x)x/(2H*H4) = 2R2(H - x)5x/H5;

V'(x) = 2R2((H - x)5 - 5(H - x)4 x)/H5 = 0,

(H - x) - 5x = 0, x = H/6.

V = 2HR2(5H/6)5/(6H5) = 2R2H*55/66.

Ответ: при H/6, Vmax = 2R2H*55/66.

В физике производная применяется в основном для вычисления наибольших или наименьших значений для каких-либо величин.

Задача 1.Потенциальная энергия U поля частицы, в котором находится другая, точно такая же частица имеет вид: U = a/r2 - b/r, где a и b -- положительные постоянные, r -- расстояние между частицами.

Найти:

а) значение r0 соответствующее равновесному положению частицы;

б) выяснить устойчиво ли это положение;

в) Fmax значение силы притяжения;

г) изобразить примерные графики зависимости U(r) и F(r).

U = a/r2 - b/r;

Решение:

a и b -- counts; Для определения r0 соответствующего равновесному r0 -- ? положению частицы исследуем f = U(r) на экстремум.

Fmax -- ? Используя связь между потенциальной энергией поля U и F, тогда F = -dU/dr, получим F = -dU/dr = - (-2a/r3+b/r2) = 0;

при этом r = r0; 2a/r3 = b/r2 => r0 = 2a/b;

Устойчивое или неустойчивое равновесие определим по знаку второй производной:

d2U/dr02= dF/dr0=-6a/r04 + 2b/r03 = -6a/(2a/b)4+2b/(2a/b)3=(-b4/8a3)<0;

равновесие устойчивое.

Для определения Fmax притяжения исследую на экстремумы функцию:

F = 2a/r3-- b/r2;

dF/dr = -6a/r4 + 2b/ r3 = 0;

при r = r1 = 3a/b;

подставляя, получу Fmax = 2a/r31 -- b/r31 = - b3/27a2;



U(r) = 0; при r = a/b; U(r)min при r = 2, a/b = r0;

F = 0; F(r)max при r = r1 = 3a/b;

Задача 2. Три резистора сопротивлениями R1, R2, R3 соединены параллельно. Сопротивление R1 в 9 раз больше сопротивления R2. Если все три резистора соединить последовательно, то сопротивление цепи равно R.

Определить сопротивления резисторов при которых сопротивление исходной цепи будет наибольшим.

R1 = 9 R2

Решение:

При параллельном соединении резисторов эквивалентное

R1, R2, R3 сопротивление по формуле:

1/Rэкв = 1/R1+1/R2+1/R3;

Rэкв max-- ? выражу R3 через R2:

R3 = R-- R1--R2=R--10R2;

тогда 1/Rэкв = (10R--91R2)/(9R2(R--10R2));

Задача сведена к определению наименьшего значения функции в интервале [0;R/10].

Возьмем производную от f(1/Rэкв) по R2 и преобразуем ее:

(1/Rэкв)' = -910(R2--R/7)(R2--R/13)/(9R22 (R-10R2)2);

В интересующем нас интервале только одна точка R2 = R/13 в которой эта производная меняет знак с “--” слева на ”+”справа. Поэтому в точке R2 = R/13 достигается минимум функции 1/Rэкв и максимум функции Rэкв, при этом

R1 = 9R/13; R2 = 1R/13; R3 = 3R/13;

Rэкв max = 9R/169;

Задача 4. В магнитном поле с большой высоты падает кольцо, имеющее диаметр d и сопротивление R. Плоскость кольца все время горизонтальна. Найти установившуюся скорость падения кольца, если вертикальная составляющая индукции магнитного поля изменяется с высотой H по закону B = B0(1 + бH), где б = const (черт.).

Решение. Пусть n - нормаль к плоскости кольца, тогда магнитный поток, созданный вертикальной составляющей магнитного поля.,

Ф = BS = B0(1 + бH)S,

где S = рd2/4 - площадь контура.

ЭДС индукции, возникающая в кольце,

E = - Ф'(t) = - (B0(1 + бH)S)' = - B0SбH'(t).



Производная H'(t) = н

н - это проекция скорости кольца на ось H. Таким образом,

Ei = - B0Sб( - нн).

Так как скорость кольца направлена против оси H, то нн = - н, где н - модуль скорости кольца и Ei = B0Sбн.

По кольцу протекает индукционный ток

J = Ei /R = B0Sбн/R.

В результате в кольце за промежуток времени Дt выделяется количество теплоты

Q = J2RДt.

На высоте H1 кольцо обладает механической энергией

W1 = mgH1 + mн2/2,

на высоте H2

W2 = mgH2 = mgH2 + mн2/2

(н = const, т. е. скорость кольца не меняется). По закону сохранения энергии

W1 = W2 + Q => mgH1 = mgH2

+ J2RДt => mg(H1 - H2) = (B

0Sбн/R)2RДt =>

mg(H1 - H2) = (B0Sбн)2

Дt/R (*)

Разность (H1 - H2) есть расстояние, пройденное кольцом при равномерном движении, поэтому H1 - H2 = нДt, и уравнение (*) примет вид:

mgнДt = (B0Sбн)2Дt/R => mg = (B0Sб)2н/R =>

н = mgR/(B0Sб)2 = 16mgR/(B0рd2б)2.

Ответ: н = mgR/(B0Sб)2 = 16mgR/(B0рd2б)2.

Задача 6. Цепь с внешним сопротивлением R = 0,9 Ом питается от батареи из k=36 одинаковых источников, каждый из которых имеет ЭДС E=2 В и внутреннее сопротивление r0 = 0,4 Ом. Батарея включает n групп, соединенных параллельно, а в каждой из них содержится m последовательно соединенных аккумуляторов. При каких значениях m, n будет получена максимальная J во внешнем R(см. рис.).

Решение:

При последовательном соединении аккумуляторов Eгр = m*E; rгр = r0*m; а при параллельном соединении одинаковых rбат = r0m/n; Eбат = m*E,

По закону Ома J = mE/(R+ r0m/n) = mEn/(nR + r0m)

Т.к. k - общее число аккумуляторов, то k = mn;

J = kE/(nR + r0m) = kE/(nR + kr0/n);

Для нахождения условия при котором J тока в цепи максимальная исследую функцию J = J(n) на экстремум взяв производную по n и приравняв ее к нулю.

J'n-(kE(R--kr0/n2))/ (nR + kr0/n)2 = 0;

n2 = kr/R; .

n = vkr/R = v3,6*0,4/0,9 = 4;

m = k/n = 36/4 = 9;

при этом Jmax = kE/(nR + mr0) = 36*2/(4*0,9 + 9*0,4) = 10 А;

Ответ: n = 4, m = 9.

Задача 7. Платформа массой М начинает двигаться вправо под действием постоянной силы F. Из неподвижного бункера на нее высыпается песок. Скорость погрузки постоянна и равна m кг/с. Пренебрегая трением, найти зависимость от времени ускорения а платформы в процессе погрузки.

Определить ускорение а1 платформы в случае, если песок не насыпается на платформу, а из наполненной высыпается через отверстие в ее дне с постоянной скоростью m кг/с.

Решение.

Рассмотрим сначала случай, когда песок насыпается на платформу

Движение системы платформа-песок можно описать с помощью второго закона Ньютона:

dP/dt = FS

P - импульс системы платформа-песок, FS - сила, действующая на систему платформа-песок.

Если через p обозначить импульс платформы, то можно написать:

dp/dt = F

Найдем изменение импульса платформы за бесконечно малый промежуток времени Dt:

Dp = (M+m(t+Dt))(u+Du) - (M+mt)u =FDt

где u - скорость платформы

Раскрыв скобки и, проведя сокращения получаем:

Dp = muDt + MDu+mDut+ mDuDt =FDt

Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0

Mdu/dt+mtdu/dt+mu=F

или

d[(M+mt)u]/dt = F

Это уравнение можно проинтегрировать, считая начальную скорость платформы равной нулю:

(M+mt)u = Ft

Следовательно:

u = Ft/(M+mt)

Тогда, ускорение платформы:

a = du/dt = (F(M+mt)-Ftm)/(M+mt)2 = FM / (M+mt)2

Рассмотрим случай, когда песок высыпается из наполненной платформы.

Изменение импульса за малый промежуток времени:

Dp = (M-m(t+Dt))(u+Du) +mDtu - (M-mt)u = FDt

Слагаемое mDtu есть импульс количества песка, которое высыпалось из платформы за время Dt

Тогда:

Dp = MDu - mtDu - mDtDu = FDt

Разделим на Dt и перейдем к пределу Dt ®0

(M-mt)du/dt = F

или

a1=du/dt= F/(M-mt)

Ответ: a = FM / (M+mt)2 , a1= F/(M-mt)

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. М64 И. Ф. Суворов “Курс высшей математики для техникумов”. М.: Просвещение, 1964.

2. М 71 В. В. Ткачук “Математика--абитуриенту”. М.: Просвещение, 1980.

3. P60 Д. Е. Родионов, Е. М. Родионов “Стереометрия в задачах”. М.: Учебный центр “Ориентир” - “Светоч”, 1998.

4. P60 В. А. Колесников. “Физика. Теория и методы решения конкурсных задач. Часть II”. М.: Учебный центр “Ориентир” - “Светоч”, 2000.

5. Л77 Л. М. Лоповок “1000 проблемных задач по математике”. М.: Просвещение, 1995.

6. М89 Д. Т. Письменный “Математика для старшеклассников. Теория\задачи”. М.: “Айрис”, “Рольф”, 1996.

7. С 82 М. Я. Выгодский “Справочник по элементарной математике”. Спб.: Союз, 1997.

8. В20 В. И. Васюков, И. С. Григорьян, А. Б. Зимин, В. П. Карасева “Три подсказки - и любая задача решена! Часть III”. М.: Учебный центр “Ориентир” при МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2000.

9. Э 61 В. А. Чуянов “Энциклопедический словарь юного физика”. М.: Педагогическа-Пресс, 1999.

10. Б 27 А. Б. Басков, О. Б. Баскова, Н. В. Мирошин “Математика. Часть 2. Алгебра и начала анализа”. М.: МИФИ, 1997.

Размещено на Allbest.ru

...