Размещено на http://www.allbest.ru/

Приднестровский государственный университет им. Т.Г.Шевченко

Рыбницкий филиал

Кафедра физики, математики и информатики

Курсовая работа

по дисциплине «Вычислительная математика»

на тему «Интерполяционная формула Стирлинга»

Выполнил

Cтудент II курс

Специальности

«ПОВТ и АC»

Лученецкий Роман

Проверил

Ст. преподаватель

Балан Л.А.

Рыбница 2012 г.

Введение

Интерполяция функций является одним из фундаментальных разделов вычислительной математики. До появления компьютеров для многих практических вычислений применялись таблицы элементарных функций (синусов, логарифмов и т. п.). Для получения достаточно точных результатов при значениях аргументов, расположенных между узловыми точками, для которых даны табличные значения функции, решалась задача интерполяции (в переводе - «между полюсами»). В наиболее простом случае соседние точки графика этой функции соединялись отрезком прямой (линейная интерполяция). Собственно, густота точек таблицы и выбиралась в расчете на интерполяцию. Например, выражение «четырехзначные таблицы» означает, что для любого значения аргумента, а не только для указанных в таблице в качестве узловых, путем интерполяции, (как правило, линейной) можно получить значение табулированной функции с точностью до четырех значащих цифр.

Основополагающее значение задачи интерполяции объясняется также тем, что многие методы решения задач численного дифференцирования, интегрирования, решения дифференциальных и интегральных уравнений сводятся к дифференцированию и интегрированию интерполяционного многочлена.

После появления компьютеров значение задачи интерполяции функций, заданных таблично, не потеряло актуальности, поскольку в результате численного решения сложных задач получается ряд значений искомой функции при разных значениях входного параметра. Получение большого числа таких значений сопряжено с большими затратами машинного времени. Применение интерполяции в этом случае позволяет существенно уменьшить эти затраты. Однако, в отличие от задачи интерполяции известной функции, в этом случае информация об искомой функции ограничивается таблицей ее значений. Эта задача является некорректной, поскольку существует бесконечное множество функций, имеющих заданное конечное число известных значений.

С подобными же проблемами приходится сталкиваться и при решении дифференциальных и интегральных уравнений. Поэтому можно сформулировать такой тезис: в вычислительной математике не существует корректных задач. Существуют только корректно поставленные задачи, т.е. искусственно придуманные условия, которые на практике, как правило, не выполняются в связи с недостатком информации о том, что является искомым.

В связи с этим задача интерполяции в реальных условиях есть важнейшая проблема вычислительной математики, решение которой позволяет найти ключ к решению многих других задач, необходимых для практики.

Многим из тех, кто сталкивается с научными и инженерными расчётами часто приходится оперировать наборами значений, полученных экспериментальным путём или методом случайной выборки. Как правило, на основании этих наборов требуется построить функцию, на которую могли бы с высокой точностью попадать другие получаемые значения. Такая задача называется аппроксимацией. Интерполяцией называют такую разновидность аппроксимации, при которой кривая построенной функции проходит точно через имеющиеся точки данных.

Существует также близкая к интерполяции задача, которая заключается в аппроксимации какой-либо сложной функции другой, более простой функцией. Если некоторая функция слишком сложна для производительных вычислений, можно попытаться вычислить её значение в нескольких точках, а по ним построить, то есть интерполировать, более простую функцию. Разумеется, использование упрощенной функции не позволяет получить такие же точные результаты, какие давала бы первоначальная функция. Но в некоторых классах задач достигнутый выигрыш в простоте и скорости вычислений может перевесить получаемую погрешность в результатах.

I. Теоретический раздел

На практике при компьютерных вычислениях в экспериментальных исследованиях часто формируются сеточные (табличные функции вида ).

Сам x принадлежит [a,b]. Всевозможные значения x называются сеткой аппроксимации . Такие формулы малоформативны, они определены лишь в узлах сетки , а значение функции в промежуточных точках неизвестны, кроме того неизвестны значения производных в узлах сетки, интегралы от таких функций нельзя вычислить классическими методами.

Каждая сетка называется шагом разбиения при этом говорят, что сетка является равномерной если шаг , то сетка называется равномерной и не равномерная сетка .

Однако значение функции должны быть извстны при любом значении аргумента оличного от узла, а в самих узлах необходимо знать также первую и вторую производные, поэтому такие функции необходимо восполнять. Эта задача решается с помощью теории приближений (апроксимации).

Для восполнения исходных (аппроксимирующих функций) искомыми (аппроксимирующими функциями), часто используют алгеброический многочлен степени

m

m - степень многочлена n

Классификация методов приближения

Методы приближения сеточной функции различаются в зависимости от условий согласования между исходной сеточной функцией и искомой аппроксимирующей функцией

Условия согласования:

1. Точечные (дискретные)

2. Интегральные

Точечные приминительно к некоторой сетке значений

Дискретные условия согласования записываются в виде нулевых невязок между производными соответствующего порядка исходной и искомой функции в узлах сетки

При p=0 можно получить условие функциональной интерполяции

Рассмотрим кусочный способ интеполирования.

Для этого из всего отрезка [ ], выбираем окно интерполяции . Рассматривая последовательно шаблоны (),(), ( ) , введём следующее определение разделённых и конечных разностей.

() - первый порядок

() - второй порядок

Разделённая разность:

первого порядка

второго порядка

k-го порядка

Конечные разности:

первого порядка

второго порядка

k-го порядка

Оценка погрешности метода

интерполяция дифференциальный погрешность приближение

Теоретическая оценка погрешности интерполяции.

Для непосредственного применения этой формулы необходимо иметь верхнюю оценку модуля nй производной функции . Если речь идет об интерполяции известной функции по ее табличным значениям, то такая оценка может быть получена аналитически. Например, производная любого порядка от функций sinx и cosx по модулю не превышает единицы.

Необходимо отметить, что значения между узлами xj вблизи концов интервала интерполяции существенно больше (по модулю), чем в середине. Кроме того, при увеличении n значения быстро растут. Отсюда следует, что повышение степени многочлена может привести к увеличению погрешности интерполяции, если с увеличением порядка производной достаточно быстро увеличивается ее величина.

Практическая оценка погрешности интерполяции по результатам численного эксперимента. В случае, когда интерполируемая функция является результатом численного решения некоторой задачи, вся информация об искомой функции исчерпывается ее значениями в узловых точках. Задача интерполяции при этом является некорректной, поскольку может существовать сколько угодно функций, графики которых проходят через данные точки (рис 1.2а). То есть, решение задачи может быть получено только с точностью до произвольной аддитивной составляющей, имеющей нулевые значения во всех заданных узловых точках.

В оправдание этого можно сказать, что если сетка выбирается произвольно, то существование функции, равной нулю именно в узловых точках этой сетки, маловероятно. Можно также указать разные способы использования нескольких сеток для повышения надежности получаемых результатов.

Рисунок 1

В случае, рассмотренном на рис 1, функция имеет резкий всплеск на одном из частичных отрезков. При этом интерполяционная формула может просто «не заметить» этого всплеска, так как в узловых точках его влияние может быть очень малым. «Почувствовать» такой всплеск можно только при уточнении результата (например, путем повышения степени интерполяционного многочлена, сгущением сетки).

Таким образом, хотя полностью исключить возможность ошибки (указания неправильной оценки погрешности результата), связанной с некорректностью задачи нельзя, но есть пути уменьшения такой возможности.

Рассмотрим способ оценки погрешности интерполяции, не требующий использования никакой другой информации, кроме значений функции в узловых точках.

Формировать разные сетки можно различными способами (например, уменьшением шага в 2 раза, выбором закона распределения узлов). В том числе для оценки интерполяции можно использовать значения функции в других узлах той же самой сетки. Последнее может оказаться более удобным с практической точки зрения. Способ выбора узлов также может быть различным.

Таким образом, данный способ оценки погрешности интерполяции сводится к построению интерполяционного многочлена и сравнению проверяемых значений с как с более точными.

Оценка погрешностей исходных данных и округления

Кроме погрешности интерполяции необходимо учитывать погрешность, которая обусловлена ошибками самих используемых значений функции. При применении рекуррентной формулы происходит попарное сложение и накопление частичных сумм по схеме бинарного дерева.

Если при каждом суммировании слагаемые примерно равны друг другу, то накопления погрешности округления, связанной с выравниванием порядков существенно отличающихся между собой слагаемых, не происходит.

Отметим, что в практических расчетах степень интерполяционного многочлена, как правило не превышает 10, поэтому погрешность округления не превосходит намного погрешность исходных данных. Однако существует возможность того, что слагаемые суммы имеют большие по модулю величины и разные знаки, так что сумма имеет существенно меньшее значение. Тогда относительная погрешность округления может оказаться очень большой.

Критерий качества оценки погрешности

Поскольку оценки выведены при допущении, что величины di(x) малы, то необходима проверка справедливости этого допущения. Это можно сделать следующим образом.

Оценка погрешности сводится к сравнению значения Pn(x) со значением, полученным при интерполировании многочленом (n+1)-й степени Pn+1(x). Поэтому процесс увеличения степени можно продолжить и получить значение Pn+2(x). Разность Dn=Pn(x)-Pn+1(x) представляет собой оценку погрешности интерполяции значения Pn(x).

Разность DDn=Pn+1(x)-Pn+2(x) является оценкой погрешности оценки погрешности. Отношение имеет смысл относительной размытости оценки погрешности.

Если dn<<1, то это означает, что относительная размытость оценки мала, и такой оценке можно доверять. Если же dn >0.3-0.4, то ширина области размытости сравнима с и такую оценку следует отвергнуть.

Размещено на Allbest.ru