Начертательная геометрия

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Украины

Харьковская национальная академия городского хозяйства

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

по курсу

Начертательная геометрия

(для студентов заочной формы обучения всех специальностей академии)

Харьков - ХНАГХ - 2007

Конспект лекций по курсу начертательная геометрия (для студентов заочной формы обучения всех специальностей академии). Сост. Лусь В.И. - Харьков: ХНАГХ, 2007. - 79 с.

Составитель: В.И. Лусь

Рекомендовано кафедрой инженерной и компьютерной графики, протокол № 7 от 28 февраля 2007 г.

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Принятые обозначения и символика

Лекция № 1. Способы проецирования. Точка и прямая на комплексном чертеже

1.1 Предмет начертательной геометрии. Способы проецирования

1.2 Инварианты ортогонального проецирования

1.3 Точка на комплексном чертеже

1.4 Прямая на комплексном чертеже

1.4.1 Прямая общего положения на комплексном чертеже

1.4.2 Прямые частного положения

Вопросы для самоподготовки

Лекция №2. Прямые и плоскости на комплексном чертеже

2.1 Определение натуральной величины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций

2.2 Взаимное положение двух прямых в пространстве

2.3 Проецирование прямого угла

2.4 Плоскость на комплексном чертеже

2.4.1 Способы задания плоскости на комплексном чертеже

2.4.2 Прямая и точка в плоскости

2.4.3 Линии уровня плоскости

2.4.4 Плоскости частного положения

Вопросы для самоподготовки

Лекция № 3. Взаимное положение двух плоскостей, прямой линии и плоскости

3.1 Взаимное положение плоскостей

3.2 Взаимное положение прямой лини и плоскости

3.3 Параллельные и взаимно перпендикулярные плоскости

Вопросы для самоподготовки

Лекция № 4. Способы преобразования комплексного чертежа

4.1 Способ замены плоскостей проекций

4.2 Плоскопараллельное перемещение

Вопросы для самоподготовки

Лекция № 5. Поверхности. Точки на поверхностях. Сечение поверхностей плоскостями

5.1 Точки на поверхностях многогранников

5.2 Точки на поверхностях тел вращения

5.3 Пересечение многогранника плоскостью

5.4 Сечения поверхностей вращения

5.4.1 Сечение цилиндра плоскостью

5.4.2 Сечение конуса плоскостью

5.4.3 Сечение сферы плоскостью

5.4.4 Сечение тора плоскостью

Вопросы для самоподготовки

Лекция № 6. Построение точек пересечения прямой с поверхностью

6.1 Общие положения

6.2 Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника

6.3 Построение точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра

6.4 Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

6.5 Построение точек пересечения прямой со сферой

Вопросы для самоподготовки

Лекция № 7. Построение линии взаимного пересечения кривых поверхностей

7.1 Общие положения

7.2 Способ вспомогательных секущих плоскостей

7.3 Соосные поверхности вращения

7.3.1 Примеры соосных поверхностей вращения

7.3.2 Примеры соосных поверхностей вращения, одна из которых сфера

7.3.3 Пересечение соосных поверхностей вращения в элементах конструкций

7.4 Способ вспомогательных сфер

7.4.1 Способ концентрических сфер

7.4.2 Алгоритм способа концентрических сфер

Вопросы для самоподготовки

Лекция № 8. Метрические задачи

8.1 Общие положения

8.2 Теоретические основы для решения метрических задач

8.3 Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами

8.4 Задачи на определение действительных величин углов между плоскими геометрическими фигурами

8.5 Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур

8.6 Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам

Вопросы для самоподготовки

Лекция № 9. Аксонометрические проекции

9.1 Общие положения

9.2 Аксонометрические оси и показатели искажения

9.3 Вторичные проекции

9.4 Виды аксонометрических проекций

9.5 Прямоугольные аксонометрические проекции

9.6 Стандартные аксонометрические проекции

9.7 Построение в прямоугольной аксонометрии окружности, расположенной в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций

9.8 Пример построения стандартных аксонометрических проекций

Вопросы для самоподготовки

Литература

Введение

В число дисциплин, составляющих основу инженерного образования, входит начертательная геометрия.

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения изображений пространственных форм на плоскости.

Изображения, построенные по правилам, изучаемым в начертательной геометрии, позволяют представить мысленно форму предметов и их взаимное расположение в пространстве, определить их размеры, исследовать геометрические свойства, присущие изображаемому предмету.

Начертательная геометрия развивает пространственное воображение и передает ряд своих выводов в практику выполнения чертежей, обеспечивая их выразительность и точность, а, следовательно - и возможность изготовления по этим чертежам изделий. Овладение чертежом как средством выражения технической мысли и как производственным документом происходит на протяжении всего процесса обучения в ВУЗе при изучении общеинженерных и специальных дисциплин, а также при выполнении курсовых и дипломных проектов.

В курсе лекций рассмотрение метода проекций начинается с построения проекций точки, так как при построении изображения любой пространственной формы рассматривается ряд точек, принадлежащих этой форме.

Сегодня одним из направлений перестройки высшей школы является усиление самостоятельности, предоставляемой студентам при изучении той или иной дисциплины. Правильно построенные самостоятельные занятия по начертательной геометрии разрешат трудности в изучении этой дисциплины.

Для повторения и закрепления изучаемого материала, в целях самопроверки, к материалу каждой лекции имеется значительное число вопросов, на которые необходимо ответить.

Указана учебная литература, для желающих ознакомиться с различными вариантами изложения разделов программы и с некоторыми дополнительными вопросами начертательной геометрии.

Принятые обозначения и символика

1. Г, Дё Уё Рё Лё Шё Ф, Щ - поверхности (плоскости)

2. П₁, П₂, П₃ - основные плоскости проекций

3. П₄, П₅, …. - дополнительные плоскости проекций

4. a, b, c, …- линии в пространстве

5. А, В, С, …, 1, 2, 3, … - точки в пространстве

6. ё вё гё ц - углы

7. А₁, А₂, А₃,…, а₁, а₂, а₃, …, Г₁, Г₂, Г₃, … - проекции точек, линий, поверхностей на плоскости проекций

8. (АВ) - прямая, проходящая через точки А и В

9. [AB] - отрезок прямой

10. |AB| - Расстояние между точками А и В

11. - параллельность

12. - перпендикулярность

13. ¦ - непараллельность

14. - неперпендикулярность

15. _------ - скрещивание

16. - равенство, результат

17. - тождественность

18. принадлежность

19. - включение

20. - пересечение

21. - конгруэнтность

22. - преобразование, отображение

23. - логическое «и»

24. - логическое «или»

25. - логическое следование

26. - эквивалентность

ЛЕКЦИЯ № 1. СПОСОБЫ ПРОЕЦИРОВАНИЯ. ТОЧКА И ПРЯМАЯ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

1.1 Предмет начертательной геометрии. Способы проецирования

Начертательная геометрия является разделом одной из математических наук - геометрии.

Геометрия - это наука о фигурах, о взаимном расположении и размерах их частей, а также о преобразовании фигур. Геометрические задачи могут быть решены аналитически (посредством вычислений по соответствующим формулам, что является предметом аналитической геометрии) и графически. Так как графическое решение геометрических задач выполняют на плоском чертеже, начальным этапом является отображение пространственных геометрических объектов на плоскости, что осуществляется посредством проецирования. При проецировании совокупность точек пространства ставится в соответствие совокупности точек на плоскости.

Есть два способа проецирования: центральное и параллельное.

Схема центрального проецирования представлена на рис. 1.

Рис. 1 - Центральное проецирование

Р₁ - плоскость проекций (Р₁ - это греческая буква "ПИ"); S - центр проекций; А, В, C и D - некоторые точки пространства.

Прямые, проходящие через центр проекций S и заданные точки, пересекают плоскость проекций Р₁ в точках А₁, В₁, C₁, D^?₁, которые являются центральными проекциями точек А, В, C и D.

Схема параллельного проецирования представлена на рис. 2.

Рис. 2 - Параллельное проецирование

В этом случае проецирующие прямые, проходящие через точки А, В и С параллельно заданному направлению проецирования S пересекают плоскость Р₁ в точках А₁, В₁, C₁, которые являются параллельными проекциями точек А, В и С.

Если направление проецирования перпендикулярно плоскости проекций, то оно называется ортогональным.

Рис. 3 - Ортогональное проецирование

Предметом начертательной геометрии является изложение и обоснование способов построения пространственных форм на плоскости и способов решения задач геометрического характера по заданным изображениям этих форм.

Метод проецирования позволяет однозначно решить прямую задачу: по заданному оригиналу строить его проекционный чертеж. Обратная задача (определение оригинала по проекции) не решается однозначно. Это проиллюстрировано на рис. 4.

Рис. 4 - Однопроекционный чертеж

Рис. 5 - Двухпроекционный чертеж

Действительно, при заданном направлении проецирования точка А имеет единственную проекцию А₁. В то же время точка А является проекцией бесконечного количества точек, лежащих на проецирующей прямой, проходящей через точку А.

Для однозначности решения обратной задачи необходимо проецирование оригинала на две или более плоскостей, (рис.5), что было предложено выдающимся французским геометром Гаспаром Монжем (1746 - 1818), который и считается основоположником начертательной геометрии.

1.2 Инварианты ортогонального проецирования

Рис. 6.1 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекция точки всегда есть точка;

- проекция прямой в общем случае - прямая;

А > А₁;

MN П₁ q (MN) > q₁=M₁=N₁

Рис. 6.2 - Инварианты ортогонального проецирования

- если точка принадлежит прямой, то одноименные проекции точки принадлежат одноименным проекциям прямой;

- точка пересечения прямых проецируется в точку пересечения их проекций;

Kq K₁ q₁; (K=q ? m) (K₁=q₁? m₁

Рис. 6.3 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекция точки делит проекцию отрезка прямой в таком отношении в каком точка делит заданный отрезок;

Cd C₁ d₁

AС : СВ = A₁ C₁ : C₁ B₁

Рис. 6.4 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекции параллельных прямых есть прямые параллельные;

a b a₁ b₁

Рис.6.5 - Инварианты ортогонального проецирования

- если плоская геометрическая фигура параллельна плоскости проекций, то проекция этой фигуры на плоскость проекций соответствует самой фигуре;

Ф (ABC) П₁ Ф₁(А₁В₁С₁) Ф (ABC)

Рис.6.6 - Инварианты ортогонального проецирования

- проекция геометрической фигуры не изменяется при параллельном переносе плоскости проекций;

П₁^' П₁ Ф₂(А₁' В₁' С₁') = Ф₁(А₁В₁С₁)

1.3 Точка на комплексном чертеже

На рис. 7 представлены три взаимно перпендикулярные плоскости проекций Р₁, П₂, П₃ и точка А в пространстве.

Рис. 7 - Наглядный чертеж

Введем следующие наименования: Р₁ - горизонтальная плоскость проекций; П₂ - фронтальная плоскость проекции; П₃ - профильная плоскость проекций; X₁₂ - ось проекции;

Б₁, А₂ и А₃ - горизонтальная, фронтальная и профильная проекции точки А;

ББ₁ , АА₂ и А А₃ - проецирующие прямые.

Из построений получается, что фигура АА₁Б₁₂А₂ - прямоугольник,

AA₁ - высота точки А,

АА₂ - глубина точки А,

А А₃ - широта точки А

ББ₁ = А₂А₁₂ и АА₂ = A₁A₁₂ , ББ₁ = А₃А₁₃ и ББ₃ = А₁А₁₃.

Теперь изображения, полученные в плоскостях Р₁, П₂ и П₃ совместим в одну плоскость, совпадающую с П₂. Для этого плоскость П₁ будем вращать вокруг оси X₁₂ до совмещения с П₂, а плоскость П₃ - вокруг оси Z₂₃ и в результате получим комплексный чертеж, изображенный на рис. 8.

A₁A₂, A₂A₃ - линии проекционной связи . A₁A₂ перпендикулярна оси X₁₂; А₂А₃ перпендикулярна оси Z₂₃.

Рис. 8 - Комплексный чертеж точки А

1.4 Прямая на комплексном чертеже

1.4.1 Прямая общего положения на комплексном чертеже

Прямая, не параллельная ни одной из плоскостей проекций, называется прямой общего положения.

Рис. 9 - Наглядное изображение и комплексный чертеж прямой общего положения

AB - оригинал (отрезок прямой d); А₁- горизонтальная проекция отрезка;

А₂В₂ - фронтальная проекция отрезка; d₁ и d₂ - проекции прямой d.

1.4.2 Прямые частного положения

Прямая, параллельная одной плоскости проекций, называется прямой уровня.

Прямая, параллельная плоскости П₁ называется горизонтальной прямой и обозначается h.

На рис. 10а и 10б представлены наглядный и комплексный чертеж горизонтальной прямой.

а) наглядный чертеж прямой б) комплексный чертеж прямой

Рис. 10 - Горизонтальная прямая

Основное свойство горизонтальной прямой: h₂ оси X₁₂.

Прямая, параллельная плоскости П₂, называется фронтальной прямой и обозначается f.

На рис. 11а и 11б представлены наглядный и комплексный чертеж фронтальной прямой.

а) б)

Рис. 11 - Фронтальная прямая

Основное свойство фронтальной прямой: f₁ II оси X₁₂.

Прямая, параллельная плоскости П₃, называется профильной прямой и обозначается р.

На рис. 12а и 12б представлены наглядный и комплексный чертеж профильной прямой.

а) б)

Рис. 12 - Профильная прямая

Прямая, параллельная двум плоскостям проекций (перпендикулярная третьей), называется проецирующей прямой.

На рис.13а и 13б представлены наглядный и комплексный чертеж горизонтально-проецирующей прямой.

а) б)

Рис. 13 - Горизонтально-проецирующая прямая

На рис.14а и 14б представлены наглядный и комплексный чертеж фронтально-проецирующей прямой.

а) б)

Рис. 14 - Фронтально-проецирующая прямая

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Что называется проекцией, проецированием и каковы основные виды проецирования?

2. В чем заключается метод построения комплексного чертежа точки?

3. Каковы законы построения третьей проекции точки по двум заданным ее проекциям?

4. Определяет ли одна проекция точки ее положение в пространстве?

5. Как определить высоту и глубину точки по ее комплексному чертежу?

6. Какие точки называются конкурирующими?

7. Как определить видимость точек по комплексному чертежу?

8. Какие Вы знаете инварианты ортогонального проецирования?

9. Как располагаются на комплексном чертеже проекции прямой общего положения?

10. Какое положение по отношению к плоскостям проекций может занимать прямая? Какие прямые частного положения Вы знаете?

ЛЕКЦИЯ № 2. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ НА КОМПЛЕКСНОМ ЧЕРТЕЖЕ

2.1 Определение натуральной величины отрезка прямой и углов ее наклона к плоскостям проекций

На рис.15 представлено наглядное изображение отрезка АВ и его проекции на плоскости П₁ и П₂.

Рис. 15 - Наглядное изображение отрезка АВ прямой

Из геометрических соотношений на рис.15 понятно:

Д БВС прямоугольный, причем ВС = В₂С₂ =?z;

Отсюда вытекает следующее правило:

Натуральная величина отрезка прямой равна гипотенузе прямоугольного треугольника, у которого одним катетом является проекция отрезка на какую-либо из плоскостей проекций, а вторым катетом - разность расстояний концов отрезка от этой же плоскости проекций.

В отмеченном треугольнике б - угол наклона прямой к П₁ .

Используем сформулированное правило для решения задачи на комплексном чертеже.

Определим натуральную величину отрезка АВ, а также б, в по заданным проекциям (рис. 16).

а) в пространстве б) в проекциях

Рис. 16 - Определение натуральной величины отрезка АВ способом прямоугольного треугольника

Проверка правильности построений: Б₁В₀₁ = А₀₂В₂= АВ.

2.2 Взаимное положение двух прямых в пространстве

Прямые в пространстве могут быть:

а) параллельные - ;

б)пересекающиеся - ?;

в) скрещивающиеся - ·_;

Если прямые параллельны, то их одноименные проекции параллельны (рис. 17).

Рис. 17 - Параллельные прямые

Если прямые пересекаются, то точки пересечения их одноименных проекций лежат на линии проекционной связи, (рис. 18).

Рис. 18 - Пересекающиеся прямые

Точки пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых не лежат на общей линии проекционной связи, (рис. 19).

Рис. 19 - Скрещивающиеся прямые

Точки, лежащие на проецирующей прямой, называются конкурирующими. Конкурирующие точки удобно использовать при определении видимости элементов фигур.

Из двух конкурирующих точек относительно П₁ видимой на П₁ является

та, высота которой больше.

Из двух конкурирующих точек относительно П₂ видимой на П₂ является та, глубина которой больше.

Из анализа проекций конкурирующих точек A, B и C, D, (рис. 19), можно сделать вывод, что прямая a проходит перед b и b над прямой a.

2.3 Проецирование прямого угла

Общее положение:

Если две стороны любого угла параллельны плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость в натуральную величину.

Для прямого угла достаточно параллельности лишь одной стороны, то есть:

Если одна сторона прямого угла параллельна плоскости проекций, а вторая ей не перпендикулярна, то он проецируется на эту плоскость в натуральную величину, то есть в виде прямого угла, (рис. 20).

Рис. 20 - Проецирование прямого угла

2.4 Плоскость на комплексном чертеже

2.4.1 Способы задания плоскости на чертеже

Плоскость может быть задана:

-проекциями трех точек, не лежащих на одной прямой, (рис.21), или проекциями треугольника;

-проекциями прямой и точки, взятой вне прямой, (рис. 22);

-проекциями двух пересекающихся прямых, (рис. 23);

-проекциями двух параллельных прямых, (рис. 24);

-проекциями любой плоской геометрической фигуры, (рис.25).

Рис. 21

Рис. 22

Рис. 23

Рис. 24



Рис. 25

2.4.2 Прямая и точка в плоскости

Два признака принадлежности прямой плоскости:

1. Прямая принадлежит плоскости, если она проходит через две точки, принадлежащие данной плоскости, (рис. 26).

Рис. 26

2. Точка принадлежит плоскости, если она лежит на прямой, принадлежащей плоскости, (рис. 27).

Рис. 27 - Принадлежность точки плоскости

2.4.3 Линии уровня плоскости

Горизонтали - прямые, лежащие в данной плоскости и параллельные горизонтальной плоскости проекций П₁. Фронтальная проекция горизонтали как линии, параллельной плоскости П_1, - горизонтальна.

Рис. 28 - Линии уровня в плоскости

Фронтали - прямые, расположенные в плоскости и параллельные плоскости проекций П₂, (рис. 28). Горизонтальная проекция фронтали как линии, параллельной плоскости П_2, - горизонтальна.

2.4.4 Плоскости частного положения

Плоскость, не перпендикулярная ни к одной из плоскостей проекций, называется плоскостью общего положения.

Плоскость, перпендикулярная одной из плоскостей проекций, называется проецирующей.

Проекцией проецирующей плоскости является прямая линия, поэтому такую плоскость удобно задавать проекцией (рис. 29 а,б,в).



а) б) в)

Рис. 29 - Проецирующие плоскости

Плоскости, перпендикулярные двум плоскостям проекций, то есть параллельные третьей, называются плоскостями уровня, (рис. 30 а, б, в).

Г Р₁ - горизонтальная плоскость уровня. Ш П₂ - фронтальная плоскость уровня, Р₃ - профильная плоскость уровня.

а) горизонтальная б) фронтальная в) профильная

Рис. 30 - Плоскости уровня

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Как определяется натуральная величина отрезка и углы его наклона к плоскостям проекций?

2. Какое положение могут занимать прямые в пространстве?

3. Что на комплексном чертеже служит признаком пересечения прямых в пространстве?

4. Какие способы задания плоскости на комплексном чертеже Вы знаете?

5. Как построить на комплексном чертеже точку, принадлежащую плоскости?

6. Какие линии уровня плоскости Вы знаете?

7. Какое условие принадлежности прямой плоскости?

8. Какая плоскость называется плоскостью уровня и какие они бывают?

9. Какая плоскость называется проецирующей и какие они бывают?

10. Сформулируйте теорему о проецировании прямого угла?

ЛЕКЦИЯ № 3. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ДВУХ ПЛОСКОСТЕЙ, ПРЯМОЙ ЛИНИИ И ПЛОСКОСТИ

3.1 Взаимное положение двух плоскостей

Две плоскости могут пересекаться или быть параллельными между собой.

Рассмотрим определение проекций линии пересечения плоскости общего положения и проецирующей плоскости (рис. 31).

Рис. 31 - Частный случай пересечения плоскостей

Р₁; T(a ? b = A);

q ; ? Т.

Найти q₁ и q₂. Так как qT, то q₂ Т₂; Ф ?a =>1, Ф ? b =>2.

Рассмотрим определение проекций линии пересечения двух плоскостей общего положения.

Рис. 32 - Общий случай построения линии пересечения плоскостей

На рис. 32 заданы плоскости (a ? b = A) и ? (c d). Следует построить проекции линии пересечения MN двух плоскостей, то есть найти:

MN (a ? b) ? ? (c d).

При решении этой задачи используем широко применяемый в начертательной геометрии способ вспомогательных секущих плоскостей. В качестве вспомогательной плоскости применяют плоскости, перпендикулярные плоскостям проекций: проецирующие и плоскости уровня.

Суть его заключается в следующем:

1. Проводим секущую плоскость П₂. В данном случае Г П₁ поэтому Г₂ X.

2. Находим 1,2 => (a ? b) ? Г.

3. Находим 3,4 => Д (c d) ? Г.

4. Находим М => 1,2 ? 3,4. Точка М принадлежит искомой линии пересечения. Для определения линии пересечения нужно найти еще одну точку.

5. Проводим еще одну секущую плоскость Г' Р₁.

6. Находим 5,6 (a ? b) ? Г'. Проверка правильности построений: если Г^' Г₂, то 5₁6₁ 1₁2₁.

7. Находим 7,8 => Д (c d) ? Г'. Проверка правильности построений: если Г^' Г₂, то 7₁8₁ 3₁4₁.

8. Находим Н => 5₁6₁ ? 6₁7₁.

9. Окончательно: MN => (a ? b) ? Д (c d).

Построение линии пересечения двух плоскостей, заданных многоугольниками можно значительно упростить, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить через прямые, задающие плоскость.

Рис. 33 - Построение линии пересечения плоскостей, заданных многоугольниками

3.2 Взаимное положение прямой линии и плоскости

Прямая может принадлежать плоскости, пересекаться с ней и быть ей параллельной. Вопрос принадлежности прямой рассмотрен нами в п. 2.4.2. Рассмотрим нахождение точки пересечения прямой с плоскостью.

Сначала определим точку пересечения прямой общего положения / с горизонтально - проецирующей плоскостью , (рис. 34).

Рис. 34 - Пересечение прямой с горизонтально-проецирующей плоскостью

На этом же чертеже показано определение видимости участков прямой m, если считать плоскость У непрозрачной.

Определим теперь точку пересечения прямой общего положения q с плоскостью общего положения Г ( АВС), (рис. 35).

Рис. 35 - Пересечение прямой общего положения с плоскостью общего положения

Эта задача решается с помощью вспомогательной проецирующей плоскости.

Проводим через q фронтально-проецирующую плоскость У₂ = q₂.

Находим проекции линии пересечения У и Г: 1₂2₂ - фронтальная проекция; 1₁2₁ - горизонтальная проекция; К=> q ? Г ( АВС).

Видимость участков прямой q определяем с помощью конкурирующих точек 1,3 и 4,5.

Прямая параллельна плоскости, если она параллельна одной из прямых, лежащих в этой плоскости.

Рис. 36 - Параллельность прямой и плоскости

Если прямая перпендикулярна плоскости, то горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна горизонтальной проекции горизонтали, а фронтальная проекция - фронтальной проекции фронтали той же плоскости.

Рис. 37 - Прямая линия, перпендикулярная плоскости

Рис. 38 - Перпендикулярность прямой к плоскости на комплексном чертеже

3.3 Параллельные и взаимно перпендикулярные плоскости

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то эти плоскости параллельны.



Рис. 39 - Взаимопараллельные плоскости

Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Рис. 40 - Перпендикулярность плоскостей в пространстве

Рис. 41 - Перпендикулярность плоскостей на комплексном чертеже

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Какое положение в пространстве могу занимать две плоскости?

2. По какому алгоритму строится линия пересечения плоскостей общего положения?

3. Как строится линия пересечения плоскостей, заданных многоугольниками?

4. По какому алгоритму строится точка пересечения плоскости общего положения с прямой общего положения?

5. Какое условие параллельности прямой и плоскости?

6. Какое условие перпендикулярности прямой и плоскости?

7. Какое условие параллельности двух плоскостей?

8. Какое условие перпендикулярности двух плоскостей?

9. Как определяется видимость участков прямой при пересечении ее с плоскостью?

10. Как определяется взаимная видимость пересекающихся плоскостей?

ЛЕКЦИЯ № 4. СПОСОБЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КОМПЛЕКСНОГО ЧЕРТЕЖА

Решение многих задач начертательной геометрии упрощается, если геометрические объекты занимают относительно плоскостей проекций некоторое частное положение. Например, если геометрический объект (прямая, плоская фигура) расположен в плоскости, параллельной плоскости проекций, то на эту плоскость он проецируется в натуральную величину, что позволяет очень просто решать метрические задачи, связанные с определением натуральных размеров геометрических объектов. А вот при определении расстояния от точки до плоскости удобно, чтобы плоскость была проецирующей.

В связи с этим возникает следующая идея решения метрических и позиционных задач начертательной геометрии: посредством изменения взаимного положения геометрических объектов и плоскостей проекций добиться удобного для данного конкретного случая относительного положения.

Этого можно добиться двумя способами:

положение оригинала в пространстве остается неизменным, а заменяют одну или обе плоскости проекций (способ замены плоскостей проекций);

неизменной остается система плоскостей проекций, а меняют положение оригинала в пространстве (способы плоскопараллельного перемещения и

вращения).

4.1 Способ замены плоскостей проекций

Этот способ заключается в том, что одна из основных плоскостей проекций Р₁ или П₂ заменяется новой плоскостью проекций П₄, подходящим образом расположенной относительно оригинала, но перпендикулярной незаменяемой плоскости проекций.

Рассмотрим преобразование комплексного чертежа точки при замене плоскости проекций. П₄Р₁; А₄А₁₄= A₂A₁₂.

Рис. 42 - Способ замены плоскостей проекций (в пространстве)

На рисунке 42 представлен наглядный чертеж. Здесь вводится новая плоскость П ₄ П₁.

Построения на комплексном чертеже показаны на рис. 43.

Рис. 43 - Способ замены плоскостей проекций (на комплексном чертеже)

Алгоритм преобразования комплексного чертежа точки:

1. проводим новую ось проекций Х₁₄;

2. через незаменяемую проекцию точки проводим линию проекционной связи, перпендикулярную новой оси проекций;

3. на новой линии связи откладываем отрезок, равный расстоянию от заменяемой проекции точки до старой оси проекций.

Четыре основные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций:

-1-я задача: прямую общего положения a преобразовать в прямую уровня, (рис. 44);

Рис. 44 - Преобразование прямой общего положения в прямую уровня

-2-я задача: прямую уровня преобразовать в проецирующую, (рис. 45);

Рис. 45 - Преобразование прямой уровня в проецирующую прямую

-3-я задача: плоскость общего положения преобразовать в проецирующую, (рис. 46);

Рис. 46 - Преобразование плоскости общего положения в проецирующую

-4-я задача: проецирующую плоскость преобразовать в плоскость уровня (рис. 47).

Рис. 47 - Преобразование проецирующей плоскости в плоскость уровня

При решении некоторых задач приходится последовательно осуществлять несколько (чаще всего 2) замен плоскостей проекций.

Рис. 48 - Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня

4.2 Плоскопараллельное перемещение

Плоскопараллельным перемещением геометрического объекта называется такое перемещение, когда точки этого объекта перемещаются в плоскостях, каждая из которых параллельна какой-либо плоскости проекций.

При этом проекция этого объекта на плоскость параллелизма изменяет свое положение без изменения формы и размеров.

Этим способом могут быть решены все 4 основные задачи, сформулированные в п. 4.1.

1-я и 2-я задачи, (рис. 49):

Рис. 49 - Преобразование способом плоскопараллельного перемещения отрезка прямой общего положения в проецирующую

В этом случае отрезок прямой АВ перемещаем так, что все его точки остаются в плоскостях, параллельных плоскости П₁. При этом А^'₁В^'₁=А₁В₁, а фронтальные проекции траекторий точек А и В-прямые, параллельные оси X, вторым плоскопараллельным перемещением ставим отрезок в горизонтально-проецирующее положение, при этом А^'₂В^'₂=А''₂В''₂ , а горизонтальные проекции точек А и В-прямые, параллельные оси X.

3-я и 4-я задачи, (рис.50)

Рис.50 - Преобразование плоскости общего положения в плоскость уровня способом плоскопараллельного перемещения

Выполнено последовательно два плоскопараллельных перемещения треугольника АВС: сначала относительно оси, перпендикулярной к плоскости проекций П₂ , потом относительно оси, перпендикулярной к плоскости П₁. При первом плоскопараллельном перемещении плоскость треугольника преобразована в горизонтально-проецирующую, при этом фронталь AD треугольника переведена в горизонтально-проецирующее положение (A'₂D'₂ X).

Другим плоскопараллельным перемещением треугольник А'В'С' преобразован в треугольник А''В''С'', при этом фронтальная проекция А''₂ В''₂ С''₂ определяет действительный размер треугольника АВС.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Какие способы преобразования комплексного чертежа Вы знаете?

2. В чем сущность способа замены плоскостей проекций?

3. В чем сущность способа плоско-параллельного перемещения?

4. Зачем осуществляют преобразование комплексного чертежа?

5. Чем отличаются способы преобразования комплексного чертежа?

6. Назовите четыре исходные задачи, решаемые способом замены плоскостей проекций?

7. Как преобразовать прямую общего положения в проецирующую?

8. Как способом замены плоскостей проекций определить углы наклона плоскости общего положения к плоскостям проекций?

9. Сколько раз необходимо произвести замену плоскостей проекций для преобразования плоскости общего положения в плоскость уровня?

10. Запишите алгоритм способа замены плоскостей проекций?

ЛЕКЦИЯ № 5. ПОВЕРХНОСТИ. ТОЧКИ НА ПОВЕРХНОСТЯХ. СЕЧЕНИЯ ПОВЕРХНОСТЕЙ ПЛОСКОСТЯМИ

Поверхность можно представить как общую часть нескольких смежных областей пространства.

Рассмотрим определение проекции точек, расположенных на различных поверхностях.

5.1 Точки на поверхностях многогранников

Геометрическое тело, ограниченное плоскими многоугольниками, называется многогранником.

Определим недостающие проекции точек на поверхности пирамиды.

Точка принадлежит поверхности многогранника, если она принадлежит линии, принадлежащей поверхности многогранника.

Рис. 51 - Построение точек, принадлежащих поверхности пирамиды

5.2 Точки на поверхностях тел вращения

Поверхностью вращения называется поверхность, которая описывается какой-либо кривой или прямой, называемой образующей, при ее вращении вокруг неподвижной оси.

Поверхности вращения получили очень широкое распространение на практике. Например, это детали, обрабатываемые на токарных станках.

Определим недостающие проекции точек на поверхностях вращения. Образующей цилиндра является прямая, параллельная оси вращения.

Образующей конуса является прямая, пересекающая ось вращения.

Образующей сферы является окружность, центр которой лежит на оси вращения.

Образующей кольца (тора) является окружность, центр которой не лежит на оси вращения.

Точка принадлежит кривой поверхности, если она принадлежит линии, принадлежащей этой поверхности.

Рис. 52 - Построение точек, принадлежащих поверхности цилиндра

Рис. 53 - Построение точек, принадлежащих поверхности конуса

Рис. 54 - Построение точек, принадлежащих поверхности сферы

Рис. 55 - Построение точек, принадлежащих поверхности тора

Построение точек на поверхностях сферы или тора выполняют при помощи параллели или меридиана, проходящих через эту точку.

5.3 Пересечение многогранника плоскостью

При пересечении многогранника плоскостью получается плоский многоугольник. Вершинами этого многоугольника являются точки пересечения ребер с секущей плоскостью, а сторонами - линии пересечения граней с секущей плоскостью.

В связи с этим возможны два метода решения поставленной задачи:

определение точек пересечения ребер с секущей плоскостью;

определение линий пересечения граней с секущей плоскостью.



Рис. 56 - Пересечение многогранника плоскостью

Задача. Построить линию пересечения пирамиды SABC с фронтально-проецирующей плоскостью .

Рис. 57 - Построение линии пересечения пирамиды с фронтально-проецирующей плоскостью

5.4 Сечения поверхностей вращения

5.4.1 Сечение цилиндра плоскостью

При пересечении цилиндра вращения с плоскостью могут быть получены: окружность (Г i), эллипс (Д?i под ), две параллельные прямые (i).

Рис. 58 - Пересечение цилиндра плоскостью

При пересечении конуса вращения с плоскостью могут быть получены все кривые 2-го порядка: окружность, эллипс, парабола, гипербола, а в случае прохождения секущей плоскости через вершину - точка, прямая, две прямые образующие.

5.4.2 Сечение конуса плоскостью

Рис. 59 - Пересечение конуса плоскостью

5.4.3 Сечение сферы плоскостью

Любая плоскость всегда пересекает сферу по окружности.

Рис. 60 - Пересечение сферы плоскостью

5.4.4 Сечение тора плоскостью

В общем случае тор пересекается с плоскостью по кривой 4-го порядка.

Рис. 61 - Пересечение тора плоскостью

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Что называется многогранником?

2. Условие принадлежности точки многограннику?

3. Из каких элементов состоит гранная поверхность?

4. Приведите примеры кривых поверхностей.

5. Как образуется цилиндрическая поверхность?

6. Как образуется коническая поверхность?

7. Как образуется сферическая поверхность?

8. Что такое поверхность вращения?

9. Назовите цилиндрические сечения.

10. Назовите конические сечения.

ЛЕКЦИЯ № 6. ПОСТРОЕНИЕ ТОЧЕК ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ПРЯМОЙ С ПОВЕРХНОСТЬЮ

6.1 Общие положения

1. Число точек пересечения соответствует порядку заданной поверхности Ф.

2. В основу построения положен способ вспомогательных поверхностей

3. В качестве вспомогательных поверхностей обычно выбирают плоскости , проходящие через заданную прямую n.

4. Плоскость должна пересекать Ф по линии d, проекции которой были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

5. Видимость проекций прямой n по видимости проекций поверхности.

Рис. 62 - Пересечение прямой с поверхностью

Алгоритм построения: - n; - d; - 1, 2 = d n.

6.2 Построение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника

Поверхность многогранника представляет собой совокупность пересекающихся плоскостей. Поэтому решение данной задачи, по существу, является двукратным определением точки пересечения прямой линии с плоскостью (см. раздел 3.2, рис.35).

Схема решения выглядит так:

- плоскость , проходящая через прямую n, пересечет многогранник по плоской замкнутой ломаной линии 1-2-3-1;

- искомые точки M и N есть результат пересечения линии 1-2-3-1 с прямой n.

Алгоритм решения задачи:

1. n, - проецирующая плоскость.

2. = ( 1-2-3-1).

3. М =(1-2-3-1) n = n,

N = ( 1-2-3-1) n = n.

Рис.63 - Определение точек пересечения прямой с поверхностью многогранника (пространственный пример)

Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью Ф пирамиды SABC.



Рис.64 - Определение точек пересечения прямой n с поверхностью пирамиды

Построение:

1. Через прямую n проводим горизонтально проецирующую плоскость .

2. Определяем горизонтальную проекцию ломаной: ₁ Ф₁ = (1₁ - 2₁ - 3₁- 1₁).

3. Определяем фронтальные проекции вершин ломаной: 1₂ А₂ В₂, 2₂ S₂B₂, 3₂ B₂C₂.

4. Строим фронтальную проекцию ломаной: 1₂ - 2₂ - 3₂- 1₂.

5. Определяем фронтальные проекции искомых точек: (1₂ - 2₂ - 3₂- 1₂) n₂ = М₂ N₂.

6. Определяем горизонтальные проекции точек: М₁ n₁ N₁ n₁.

7. Определяем видимость проекций прямой n по dидимости проекций граней пирамиды.

6.3 Построение точек пересечения прямой с поверхностью цилиндра

На рис. 65 и 66 построены точки пересечения поверхности эллиптического цилиндра с прямой линией m.

Через прямую m проведена плоскость , пересекающая цилиндрическую поверхность по образующим. Для этого, как известно, плоскость должна быть параллельна образующим (или оси) цилиндра. На рисунках она определена прямой m и прямой а, проходящей через некоторую точку А прямой m и параллельно оси цилиндра:

Рис. 65 - Пространственная модель

( m a = А ).

Другие плоскости, в частности проецирующие, проходящие через прямую m, дадут в сечении цилиндра более сложные кривые линии.

Рис. 66 - Комплексный чертеж

Для построения линии пересечения плоскости и цилиндрической поверхности, т.е. двух образующих цилиндра, должна быть проведена вспомогательная секущая плоскость. В качестве нее выбрана плоскость основания цилиндра, что позволяет не строить линию пересечения этой плоскости с цилиндрической поверхностью, так как она уже начерчена - это кривая линия основания .

Плоскость пересекается с плоскостью по прямой 1 - 2. На рис. 66 эта линия очевидна, так как плоскость

- проецирующая. В случае, если прямая m пересекается с плоскостью за пределами чертежа, точку (1) находят с помощью какой-либо дополнительной прямой, например (b), взятой в плоскости , (рис. 65). Точки L₁ и L₂ пересечения линий и (1 - 2) принадлежат образующим l₁ и l₂ сечения цилиндра плоскостью :

(l₁ , l₂).

Точки М₁ и М₂ пересечения этих образующих с прямой m являются искомыми:

М₁ = l₁ m, М₂ = l₂ m.

Отрезок М₁ - М₂ прямой линии m находится внутри цилиндра и изображен поэтому линией невидимого контура. На рис. 65 слева от точки М₁ прямая m видна, так как эта точка лежит на видимой стороне поверхности цилиндра. Часть линии m справа от точки М₂ остается невидимой, так как точка М₂ лежит на невидимой стороне поверхности . Аналогично решается вопрос видимости на каждой проекции, рис. 66. Для уточнения видимости плохо различимого участка прямой m элемент этого чертежа показан в более крупном масштабе.

6.4 Построение точек пересечения прямой с поверхностью конуса

Рис. 67 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

1. Плоскость , проходящая через прямую n, пересечет конус по линии d.

2. Искомые точки M и N - результат пересечения линии d с прямой n.

Алгоритм решения:

1. n

2. = d

3. М N = d n

Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то используют плоскость общего положения, проходящую через прямую и вершину конуса, и пересекающую поверхность конуса по образующим.

Рассмотрим пример. Определить точки М и N пересечения прямой общего положения n с поверхностью конуса вращения, (рис. 68).

Построение:

1. Через прямую n и вершину S конуса проводим плоскость общего положения : ( n m); m S.

2. Г = (2 - 3), (плоскость основания ).

3. (2 - 3) р = (4, 5).

4. Ф = (4 - S - 5).

5. (4 - S - 5) n = М, N.

6. Определяем видимость прямой n по видимости проекций поверхности конуса.

Рис. 68 - Определение точки пересечения прямой с поверхностью конуса

6.5 Построение точек пересечения прямой со сферой

Рис. 69 - Пространственная модель

Схема решения задачи:

1. Построение осуществляют по алгоритму 1-ой позиционной задачи.

2. Плоскость , проходящая через прямую n , пересечет сферу по окружности d.

Искомые точки М и N - результат пересечения окружности d с прямой n.

Если заключение прямой в проецирующую плоскость не приводит к простому решению, то применяют один из способов преобразования чертежа, чтобы проекции линии пересечения сферы с введенной плоскостью были бы графически простыми (дуга окружности или прямая).

Рис. 70 - Комплексный чертеж

Рассмотрим пример: Определить точки М и N пересечения фронтали f(AB) со сферой Ф, (рис. 70).

Анализ решения:

- окружность d(R) сечения сферы Ф плоскостью П₂ , проходящей через f, спроецируется на П₂ без искажения.

Построение:

1. Через прямую f проводим фронтальную плоскость уровня : П₂ .

Определяем фронтальную проекцию окружности: f = d(R) .

2. Определяем фронтальные проекции искомых точек: М₂ N₂ = d₂ f₂(А₂ В₂).

3. Определяем горизонтальные проекции точек: М₁ N₁ f₁(А₁ В₁).

4. Определяем видимость проекций фронтали f(AB) по видимости проекций сферы Ф.

Решим задачу: Определить точки М и N пересечения прямой общего положения d(AB) со сферой Ф, (рис. 71).

Построение:

Рис. 71. Комплексный чертеж

1. Способом замены плоскостей проекций преобразуем прямую a в линию уровня:

- на П₄ линия сечения сферы плоскостью(а П₄ ) спроецируется в окружность;

- в системе плоскостей П₁/ П₄ эта задача эквивалентна предыдущему примеру, рис.70.

2. Находим проекции точек:

d₄ а₄= М₄, N₄.

3. Обратным преобразованием определяем проекции точек М₁ и N₁, а затем - М₂ и N₂.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. В чем заключается способ нахождения точек пересечения многогранной поверхности с прямой линией?

2. В чем заключается способ нахождения точек пересечения кривой поверхности с прямой линией?

3. В чем заключается общий прием построения точек пересечения прямой с поверхностью?

4. В каком случае при решении задач на построение точек пересечения прямой с поверхностью не используются проецирующие плоскости?

5. Как определить видимость проекций прямой?

ЛЕКЦИЯ № 7. ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ВЗАИМНОГО ПЕРЕСЕЧЕНИЯ КРИВЫХ ПОВЕРХНОСТЕЙ

7.1 Общие положения

Для построения линии взаимного пересечения двух кривых поверхностей пользуются методом вспомогательных секущих плоскостей.

В качестве этих поверхностей используются не только плоскости, но в некоторых случаях сферы и другие поверхности.

Вспомогательные поверхности выбирают таким образом, чтобы с данными поверхностями они пересекались по линиям, легко определяемыми на чертеже. Желательно, с этой точки зрения, чтобы эти линии получались прямыми или окружностями, что позволяет строить их только с помощью линейки и циркуля.

При изображении линии взаимного пересечения кривых поверхностей необходимо определять видимые и невидимые ее части, а также исследовать вопрос о видимости очерковых и других линий контуров данных поверхностей.

В общем случае, случае врезки, линия пересечения представляет собой плавную кривую, которая может распадаться на две части или более(случай проницания).

Порядок линии пересечения равен произведению порядков двух кривых поверхностей, участвующих в пересечении.

Точки опорные и промежуточные определяются при помощи способа вспомогательных поверхностей.

7.2 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СЕКУЩИХ ПЛОСКОСТЕЙ

Используется в качестве основного способа при построении линии пересечения двух кривых поверхностей Ф и .

Рис. 72 - Пространственная модель

Алгоритм:

1. Ф .

2. Ф = m = n.

3. m n = 1 m n = 2.

Требования к выбору секущих плоскостей:

- любая секущая плоскость должна пересекать каждую из поверхностей по линиям, проекции которых были бы графически простыми (отрезками прямых или дугами окружностей).

Рассмотрим пример. Построить линию пересечения двух кривых поверхностей вращения: конуса Ф и полусферы , (рис. 73).

Рис. 73 - Комплексный чертеж

Анализ:

1. Случай врезки.

2. линия пересечения - пространственная кривая 4-го порядка.

3. Используем способ вспомогательных секущих плоскостей.

Алгоритм решения:

1. Алгоритм способа решения приведен на рис. 72.

2. Плоскость П₂ пересекает поверхности по главным меридианам q, q и дает экстремальную точку А (она же очерковая на П₂).

Плоскость Г П₁ пересекает поверхности по горизонтальным очеркам и дает очерковые на П₁ точки В и В.

3. Плоскости ГП₁ и ГП₁ пересекают поверхности по окружностям и дают соответственно экстремальные и промежуточные точки.

Рис. 74 - Построение линии пересечения

Построение:

1. Плоскость П₂: Ф = q; = q

2. На П₂ q₂ q₂= А₂

3. На П₁ А_{1 1}

4. Плоскость Г П₁: Г Ф = m Г = n

5. На П₁ m₁ n₁ = В₁, В₁

6. Аналогично определяем горизонтальные проекции точек С и С при помощи плоскости Г

7. Аналогично определяем горизонтальные проекции точек D и D при помощи плоскости Г

8. Аналогично определяем горизонтальные проекции точек Е и Е при помощи плоскости Г

9. Определяем фронтальные проекции точек по принадлежности плоскостям Г, Г, Г, Г

10. Строим горизонтальную и фронтальную проекции линии пересечения

11. Определяем видимость проекций линии пересечения: на П₁ по плоскости Г, на П₂ - по плоскости .

Симметричные точки линии пересечения на рис. 74 не показаны.

7.3 СООСНЫЕ ПОВЕРХНОСТИ ВРАЩЕНИЯ

Соосными называются поверхности вращения, имеющие общую ось.

Рис. 75 - Пространственная модель

Теоретические положения:

1. У соосных поверхностей вращения Ф и Ф меридианы m и n , расположенные в одной осевой плоскости ( i) пересекаются в некоторых точках, например, в точке А.

2. Так как m и n вращаются вокруг оси i, то точка А описывает окружность р радиуса R = OA в плоскости Г(Г i).

3. 3. Так как р Ф р Ф, то окружность р

4. является линией пересечения поверхностей Ф и Ф.

Вывод: соосные поверхности вращения всегда пересекаются по окружности.

7.3.1 Примеры соосных поверхностей вращения

Рис. 76 - Примеры пересечения

1. Меридианы m и n поверхностей, расположенные в одной осевой плоскости (), пересекаются в некоторых точках А и С.

2. Точки пересечения меридианов при их вращении описывают окружности, принадлежащие обеим поверхностям и являющиеся линиями их пересечения.

3. Число окружностей при пересечении поверхностей равно числу точек пересечения их меридианов m и n, расположенных по одну сторону от оси вращения i. соосных поверхностей вращения

7.3.2 Примеры соосных поверхностей вращения, одна из которых сфера

Особое место при пересечении соосных поверхностей вращения отводится сферам, свойства которых используются в дальнейшем при построении линии пересечения кривых поверхностей.

Рис. 77 - Примеры пересечения соосных поверхностей вращения, одна из которых сфера

1. Сфера имеет бесчисленное множество осей вращения

2. Все оси вращения сферы проходят через ее центр

3. Если одной из двух соосных поверхностей вращения является сфера, то ее центр располагается на оси другой поверхности.

7.3.3 Пересечение соосных поверхностей вращения в элементах конструкций

Рис. 78 - Пересечение соосных поверхностей вращения в элементах конструкций

7.4 СПОСОБ ВСПОМОГАТЕЛЬНЫХ СФЕР

Для построения линии пересечения поверхностей вращения, имеющих круговые сечения, в ряде случаев в качестве вспомогательных поверхностей целесообразно использовать сферы.

Разновидности способа включают в себя: способ концентрических сфер и способ эксцентрических сфер.

Способ концентрических сфер применяется, если:

- оси поверхностей пересекаются;

- есть общая плоскость симметрии;

- если способ вспомогательных секущих плоскостей не дает простого решения.

Способ эксцентрических сфер применяется, если:

- оси поверхностей скрещиваются;

- есть общая плоскость симметрии;

- каждая из поверхностей имеет семейство круговых сечений;

- если способ вспомогательных секущих плоскостей не дает простого решения.

В данном курсе лекций мы рассмотрим только способ концентрических сфер.

...