Начертательная геометрия

Рис. 79 - Пространственная иллюстрация способа вспомогательных сфер

7.4.1 СПОСОБ КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

Обоснование способа заключается в свойстве сферы пересекаться по окружностям с соосными с ней поверхностями вращения.

Рис. 80 - Обоснование способа концентрических сфер

Геометрическим местом центров (О, О, …) сфер (R, R, ….), дающих круговые сечения (m, m, …, n, n, …) одновременно с каждой из пересекающихся поверхностей вращения (Ф, , …), является точка пересечения их осей (i, j, …), рис.80.

7.4.2 АЛГОРИТМ СПОСОБА КОНЦЕНТРИЧЕСКИХ СФЕР

Сфера радиуса R_i с центром в точке О пересечения осей i и j двух поверхностей вращения Ф и будет сосна с каждой из этих поверхностей и пересечет их по окружностям m и n. Точки 1 и 2 пересечения последних общие для обеих поверхностей, а значит, принадлежат линии их пересечения.

Рис. 81 - Алгоритм применения способа концентрических сфер

Алгоритм:

1. Сфера (О = i j, R_i)

2. Ф = m - окружность

= n - окружность

3. m n = 1 2

R_min R R_max

R_min - радиус сферы вписанной в большую поверхность;

R_max - расстояние от проекции центра сферы до наиболее удаленной точки пересечения очерковых образующих.

Рассмотрим пример. Построить линию пересечения двух поверхностей вращения: конуса Ф и наклонного цилиндра .

Анализ:

1. Случай врезки.

2. Линия пересечения - замкнутая пространственная кривая 4-го порядка.

3. Применение вспомогательных секущих плоскостей не дает графически простого решения, за исключением общей плоскости симметрии ( П₂).

4. Плоскость пересекает поверхности по главным меридианам q, qи дает экстремальные точки А и В, одновременно являющиеся очерковыми на П₂(q q= А В).

5. Промежуточные точки удобно определять «способом концентрических сфер» ( О = i j ).

Алгоритм решения такого типа задачи приведен на рис. 81.



Рис. 82 - Анализ задачи на построение линии пересечения двух поверхностей

Рис. 83 - Построение линии пересечения поверхностей

Построение:

1. Плоскость : определяем точки А и В.

2. Сфера (R_min вписана в конус).

3. Ф = m = n.

4. m₂ n₂ = С₂ С₂.

5. Сфера (R_пр).

6. Ф = m m; = n.

7. m₂ n₂ = D₂ D₂.

8. m₂ n₂ = E₂ E₂.

Строим фронтальную проекцию линии пересечения (видимость по плоскости ).

9. Определяем точки смены видимости линии пересечения относительно П₁: F = d b F = d b.

10. Определяем горизонтальные проекции точек линии пересечения по принадлежности к Ф.

11. Строим горизонтальную проекцию линии пересечения с учетом видимости.

Симметричные точки линии пересечения на горизонтальной проекции не обозначены.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Что представляет собой линия пересечения двух кривых поверхностей в случае врезки и в случае проницания?

2. Как определить порядок линии пересечения двух кривых поверхностей?

3. Какой способ используется в качестве основного при построении линии пересечения двух кривых поверхностей?

4. Как должны проводиться вспомогательные секущие плоскости на комплексном чертеже при построении линии пересечения двух кривых поверхностей?

5. Какие поверхности называются соосными?

6. Что представляет собой линия пересечения двух соосных поверхностей вращения?

7. В каких случаях при решении задач на построение линии пересечения поверхностей можно применять вспомогательные сферы?

8. Что является теоретическим обоснованием способа вспомогательных концентрических сфер?

9. Как определить на комплексном чертеже центр вспомогательных концентрических сфер?

10. Как определить на комплексном чертеже вспомогательные концентрические сферы минимального и максимального радиуса?

ЛЕКЦИЯ № 8. МЕТРИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ

8.1 Общие положения

Метрическими называются задачи, решение которых связано с определением характеристик геометрических фигур, определяемых (измеряемых) линейными и угловыми величинами.

Три основные группы задач:

1. Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами:

- расстояние между двумя точками;

- расстояние от точки до прямой общего положения;

- расстояние между параллельными прямыми;

- расстояние между параллельными плоскостями;

- расстояние между скрещивающимися прямыми (кратчайшее);

- расстояние от точки до плоскости;

- расстояние от точки до поверхности.

2. Задачи на определение углов между плоскими геометрическими фигурами:

- угол между пересекающимися и скрещивающимися прямыми;

- угол между прямой и плоскостью;

- угол между двумя плоскостями.

3. Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур:

- действительная величина плоской фигуры.

4. Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам.

8.2 Теоретические основы для решения метрических задач

Используется инвариантное свойство ортогонального проецирования:

любая геометрическая фигура, принадлежащая плоскости, параллельной плоскости проекций, проецируется на нее в конгруэнтную ей фигуру.

Для решения задач используют:

- способы преобразования комплексного чертежа;

- положения по теме «Взаимно перпендикулярные прямые и плоскости».

Общая схема решения задач:

- одним из способов преобразования комплексного чертежа привести обе геометрические фигуры или одну из них в частное положение ( или одной из плоскостей проекций: П₁ - П₃);

- или построить проекцию искомой фигуры на одну из выбранных плоскостей;

- или решить в плоскости частного положения заданную метрическую задачу, перенеся затем решение задачи на исходные проекции обратным преобразованием;

- при выборе способа преобразования комплексного чертежа следует ориентироваться на простоту графических операций.

8.3 Задачи на определение расстояний между геометрическими фигурами

Расстояние между двумя точками равно длине отрезка прямой линии, соединяющей эти точки. Эта задача решается или способом прямоугольного треугольника или построением дополнительного изображения отрезка на новой плоскости проекций, параллельной этому отрезку.

Расстояние от точки до прямой линии равно длине перпендикуляра,. опущенного из точки на эту прямую. Чтобы опустить перпендикуляр из точки на прямую, в общем случае через эту точку проводят плоскость, перпендикулярную к этой прямой или отрезок этого перпендикуляра изображается в натуральную величину на плоскости в том случае, если он проведен к проецирующей прямой. Для этого нужно преобразовать чертеж данной прямой. Сделав ее в новой системе плоскостей проецирующей.

Рассмотрим пример: Задача 1. определить расстояние от точки М до отрезка прямой АВ, (рис. 84).

Рис. 84 - Комплексный 1. Преобразуем отрезок АВ в горизонтально чертеж проецирующий, заменой плоскостей проекций

Схема решения:

1. Расстояние от точки М до отрезка АВ изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М.

2. На плоскости П₅ отрезок МК(М₅К₅) спроецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П₄/ П₅.

Алгоритм:

2. Построим проекцию А₅В₅ отрезка АВ на плоскость П₅ АВ, а отрезок М₅К₅ - искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Новая ось проекций Х₁₄ А₁В₁.

3. Строим проекцию прямой АВ(А₄В₄) и точки М(М₄) на П₄.

4. Новая ось проекций Х₄₅ (А₄В₄).

5. Строим проекции АВ(А₅В₅) и точки М(М₅) на П₅.

6. М₅К₅ = МК- искомое расстояние.

7. Строим М₄К₄ (А₄В₄) , т.к. М₄К₄ - фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка MК(М₁К₁) на П₁ по принадлежности К АВ.

9. Строим проекцию отрезка MК(М₂К₂) на П₂ по принадлежности К АВ.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из произвольной точки одной прямой на другую.

Таким образом, задача сводится к определению расстояния между точкой и прямой линией или может быть решена способом замены плоскостей проекций, преобразовав эти прямые в проецирующие.

На рис. 85 определено расстояние между параллельными прямыми а и b путем преобразования чертежа прямых в проецирующие способом замены плоскостей проекций.

Задача 2. Определить расстояние между параллельными прямыми а и b.

Рис. 85 - Комплексный чертеж

Схема решения:

1. Расстояние меду прямыми a и b определяется отрезком перпендикуляра между ними М₅К₅ на плоскости П₅.

2. На плоскости П₅ отрезок МК(М₅К₅) проецируется в натуральную величину, т.к. он является горизонталью в системе плоскостей П₄/П₅.

Алгоритм:

1. Преобразуем прямые а и b в проецирующие в системе плоскостей П₄/ П₅.

2. Отрезок М₅К₅ = МК- искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Новая ось проекций Х₁₄ а₁ и b₁.

3. Строим проекции прямых а₄ и b₄ на П₄.

4. Новая ось проекций Х₄₅ а₄ и b₄.

5. Строим проекции а₅ и b₅ на П₅.

6. М₅К₅ = МК- искомое расстояние.

7. Строим М₄К₄ (а₄ и b₄) , т.к. М₄К₄ - фронтальная проекция горизонтали.

8. Строим проекцию отрезка MК(М₁К₁) на П₁; К b, M a.

9. Строим проекцию отрезка MК(М₂К₂) на П₂; К b, M a.

Расстояние от точки до плоскости равно длине перпендикуляра, опущенного из точки на плоскость.

Рис. 86 - Комплексный чертеж

Так как перпендикуляр к проецирующей плоскости есть линия уровня, то удобно иметь на чертеже «вырожденную» проекцию данной плоскости, т.е. преобразовать комплексный чертеж, например, способом замены плоскостей проекций, (рис. 86).

Задача 3. Определить расстояние от точки М до плоскости треугольника АВС, (рис. 86).

Схема решения:

1. Расстояние от точки М до плоскости АВС изображается длиной перпендикуляра МК, проведенного из точки М на плоскость.

2. . На плоскости П₄ отрезок МК(М₄К₄) проецируется в натуральную величину, т.к. он является фронталью в системе плоскостей П₄/П₅.

Алгоритм:

1. Преобразуем плоскость АВС в проецирующую в системе плоскостей П₁/П₄.

2. Отрезок М₄К₄ = МК- искомое расстояние.

Построение:

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Новая ось проекций Х₁₄ h₁.

3. Строим проекции плоскости АВС ( А₄В₄С₄) и точки М(М₄) на П₄.

4. М₄К₄ ( А₄В₄С₄) = МК- искомое расстояние.

5. Строим М₁К₁ Х₁₄, т.к. М₄К₄ - фронтальная проекция фронтали.

6. Точку К₂ строим с помощью высоты точки К, измеренной на плоскости П₄.

Расстояние между параллельными плоскостями измеряется длиной перпендикуляра. опущенного из любой точки одной плоскости на другую.

Таким образом, задача сводится к определению расстояния от точки до плоскости и может быть решена теми же способами.

Рассмотрим примеры:

Задача 1. Определить расстояние между скрещивающимися прямыми a и b.

Рис. 87 - Пространственная модель

Схема решения:

1. Расстояние между скрещивающимися прямыми a и b определяется длиной отрезка MN одновременно перпендикулярного к обоим прямым, (рис. 87).

2. На плоскость, перпендикулярную к одной из прямых, отрезок MN проецируется в истинную величину.

Алгоритм:

1. Преобразовать прямую a или b в проецирующую, например, способом замены плоскостей проекций.

2. Построить проекцию M₅N₅ отрезка MN на плоскость П₅ a. M₅N₅ - искомое расстояние.

Рис. 88 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 88):

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Новая ось проекций Х₁₄ a₁.

3. Строим проекцию прямой a на П₄.

4. Строим проекцию прямой b на П₄.

5. Новая ось проекций Х₄₅ a₄.

6. Строим проекцию прямой b на П₅.

7. Строим проекцию прямой a на П₅.

8. M₅N₅ = MN- искомый отрезок, т.к. в системе плоскостей П₄/ П₅ MN - линия уровня, поэтому M₅N₅ b₅ = 90.

9. Строим проекцию отрезка MN на П₄,

т.к. в системе плоскостей П₄/ П₅ MN - линия уровня, поэтому M₄N₄ Х₄₅.

10. Строим проекцию отрезка MN на П₁ .

11. Строим проекцию отрезка MN на П₂

Задача 2. Определить расстояние от точки А до поверхности конуса Ф, (рис. 89).

Рис. 89 - Пространственная модель

Схема решения:

1. Расстояние от точки А до поверхности вращения Ф, (независимо от ее вида), определяется длиной перпендикуляра АВ, опущенного из точки А на ближайшую к ней образующую (меридиан) поверхности d.

2. Образующая d принадлежит плоскости Г, проходящей через данную точку А и ось вращения i поверхности Ф.

Алгоритм:

1. Через точку А и ось i проводим плоскость Г.

2. Находим образующую d (d = Г Ф).

3. Преобразуем образ d в прямую уровня способом замены плоскостей проекций.

4. В новой системе плоскостей из точки А опускаем перпендикуляр АВ на образ d.

Рис. 90 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 90):

1. Плоскость Г(А, i); Г П₁ .

2. Образующая d(1 - S)= Г Ф.

3. Проводим ось Х₁₂.

4. Новая ось проекций Х₁₄ Г₁.

5. Строим проекцию образующей d на П₄, в системе плоскостей П₁/ П₄ d(d₄) - линия уровня (фронталь).

6. А₄В₄ d₄, в системе плоскостей П₁/ П₄, А₄В₄ = АВ - искомый отрезок.

7. Строим проекцию отрезка АВ на П₁ .

8. Строим проекцию отрезка АВ на П₂.

8.4 Задачи на определение действительных величин углов между геометрическими фигурами

Угол между двумя пересекающимися прямыми проецируется без искажения на плоскости, параллельной плоскости угла.

Угол между двумя скрещивающимися прямыми линиями измеряется углом между двумя пересекающимися прямыми, параллельными данным скрещивающимся прямым.

Рассмотрим примеры: Задача 1. Определить угол между прямой d и плоскостью (m n).

Рис. 91 - Пространственная модель

Угол наклона прямой d к плоскости измеряется величиной линейного угла между прямой d и ее прямоугольной проекцией d на данную плоскость , (рис. 91).

Схема решения:

1. Из произвольной точки А d опускаем перпендикуляр t на плоскость .

2. Определяем точку N встречи перпендикуляра t с плоскостью .

3. Определяем точку К пересечения прямой d с плоскостью .

4. Строим прямоугольную проекцию d(КN) прямой d(АК) на плоскость .

5. Угол AKN - искомый.

Решение задачи значительно упрощается, если вместо угла определять дополнительный до 90є угол . В этом случае не требуется находить точку N и проекцию прямой d. Зная величину угла , вычисляем угол : =90 - .

Рис. 92 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 92):

1. h ( m n), f ( m n).

2. Выбираем произвольную точку Аd.

3. Аt .

4. = d t.

5. Строим отрезок ВС = f.

6. ВАС = d ^t= .

7. Определяем величину угла способом вращения его вокруг fдо положения П₂.

8. В₂АС₂ = .

9. Искомый = 90 - .

Задача 2. Определить величину угла между плоскостями Г(аb) и (cd), (рис. 93).

Рис.93 - Пространственная острый; если угол - тупой, то искомый угол модель = 180є -

Схема решения:

1. Угол между плоскостями Г и измеряется одним из линейных углов, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей (), перпендикулярной к ним.

2. В общем случае удобно определять угол , заключенный между перпендикулярами опущенными из произвольной точки N на заданные плоскости Г и .

3. Найденный угол является искомым, если он

Алгоритм:

1. Из точки N проводим прямые n Г и m .

2. Определяем величину угла , преобразовав плоскость (m n) способом вращения в плоскость уровня.

Рис. 94 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 94):

1. h f Г(ab/

2. h f (c d)/

3. Берем произвольную точку N.

4. N n Г.

5. N m .

6. m n = .

7. Отрезок AB = f.

8. ANB = n ^ m = .

9. Способом вращения вокруг f преобразуем плоскость (ANB) в плоскость уровня П₂.

10. Треугольник A₂NB₂ = ANB A₂NB₂ - искомый.

Задача 3. Определить величину двугранного угла между плоскостями Г и , (рис. 95).

Схема решения:

1. Угол между плоскостями Г и измеряется линейным углом, обычно острым, полученным при пересечении этих плоскостей третьей плоскостью (), перпендикулярной к ним.

2. Т.к. линия пересечения плоскостей Г и известна - ребро MN, то решение задачи упрощается - угол спроецируется в конгруэнтный ему на плоскость, перпендикулярную ребру MN.

Рис. 95 - Пространственная модель

Алгоритм:

1. Преобразуем ребро MN способом замены плоскостей проекций в прямую уровня M₄N₄.

2. Преобразуем ребро M₄N₄ способом замены плоскостей проекций в проецирующую прямую M₅N₅.

Рис. 96 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 96):

1. Проводим ось проекций Х₁₂.

2. Проводим ось проекций Х₁₄ M₁N₁ .

3. Строим проекцию ребра MN на П₄, в системе плоскостей П₁/ П₄

4. MN(M₄N₄ ) - линия уровня.

5. Строим проекцию плоскости Г(Г₄) на П₄.

6. Строим проекцию плоскости (₄) на П₄.

7. Проводим ось проекций Х₄₅ M₄N₄ .

8. Строим проекцию ребра MN на П₅, в системе плоскостей П₄/ П₅ MN(M₅N₅ ) - проецирующая прямая.

9. Строим проекцию плоскости Г(Г₅) на П₅.

10. Строим проекцию плоскости (₅) на П₅.

11. Плоскости Г и П₅ A₅M₅B₅ - искомый.

8.5 Задачи на определение действительных величин плоских геометрических фигур

Построение плоской фигуры, обладающей определенными метрическими свойствами, требует изображения на чертеже ее натурального вида.

Рассмотрим пример: Задача 1. Определить действительную величину треугольника АВС, (рис.97).

Рис. 97 - Пространственная модель

Схема решения:

Преобразовать заданную плоскую фигуру Г( АВС) в плоскость уровня.

Алгоритм:

Если Г является плоскостью общего положения, то необходимо:

1. Преобразовать плоскость общего положения Г( АВС) в проецирующую плоскость (Г₄), например способом замены плоскостей проекций.

2. Преобразовать, полученную проецирующую плоскость (Г₄), в плоскость уровня (Г₅), например, способом замены плоскостей проекций.



Рис. 98 - Комплексный чертеж

Построение, (рис. 98):

1. Строим горизонталь плоскости h.

2. Проводим ось проекций Х₁₂.

3. Проводим новую ось проекций Х₁₄ h₁.

4. Строим проекцию Г( АВС) на П₄, Г(Г₁, Г₄) - проецирующая плоскость.

5. Проводим новую ось проекций Х₄₅ Г₄.

6. Строим проекцию Г( АВС) на П₅, Г(Г₄, Г₅) - плоскость уровня.

7. Г₅ ( А₅В₅С₅) = ( АВС - действительная (натуральная) величина плоскости Г( АВС).

8.6 Задачи на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам

Рассмотрим пример: Задача 1. В плоскости Г(а b) построить равносторонний треугольник АВС, вписанный в окружность радиуса R, (рис. 99).

Схема решения:

1. Преобразуем плоскость Г в плоскость уровня Г₅ двукратной заменой плоскостей проекций.

2. Треугольник АВС Г₅ .

3. Обратными преобразованиями строим А₁В₁С₁ и А₂В₂С₂.

Построение:

1. Строим горизонталь плоскости h.

2. Проводим ось проекций Х₁₂.

3. Проводим новую ось проекций Х₁₄ h₁.

4. Строим проецирующую плоскость Г₄.

5. Проводим новую ось проекций Х₄₅ Г₄.

6. Строим плоскость уровня Г₅.

7. Строим окружность R Г.

8. Строим треугольник А₅В₅С₅ Г₅.

Рис. 99 - Комплексный чертеж

9. Обратным преобразованием строим горизонтальную проекцию треугольника АВС на плоскости П₁, А₁В₁С₁.

10. Затем строим на плоскости П₂, фронтальную проекцию треугольника АВС, А₂В₂С₂.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Какие задачи называются метрическими?

2. На какие основные группы делятся метрические задачи?

3. Какое из свойств ортогонального проецирования является теоретической основой для решения метрических задач?

4. Какие способы преобразования комплексного чертежа используют при решении метрических задач?

5. Какова общая схема решения задач на определение расстояний между геометрическими фигурами?

6. Какова общая схема решения задач на определение действительных величин углов между геометрическими фигурами?

7. Какова общая схема решения задач на определение действительных величин плоских геометрических фигур?

8. Какова общая схема решения задач на построение в плоскости общего положения геометрических фигур по заданным размерам?

ЛЕКЦИЯ № 9. АКСОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ПРОЕКЦИИ

чертёж точка поверхность плоскость

9.1 Общие положения

При построении чертежа предмета, его обычно располагают так, чтобы направление трех главных измерений были параллельны плоскостям проекций, (рис. 100).

Рис. 100 - Трехпроекционный чертеж предмета

Направление длины - параллельно оси Х, ширины - оси У, высоты - оси Z. Тогда длина и высота проецируются в натуральную величину на фронтальную плоскость проекций, длина и ширина не искажаются на горизонтальной проекции, а ширина и высота - на профильной. Такой чертеж нетрудно строить, по нему просто производить измерения, судить о размерах изображенного предмета. Однако он недостаточно нагляден. На каждой из проекций отсутствует одно из трех измерений. Чтобы воспроизвести форму предмета, надо мысленно воссоздать ее по двум, трем, а иногда и большему числу проекций.

Более наглядный чертеж можно получить, проецируя предмет на одну плоскость проекций и располагая его так, чтобы ни одно из направлений главных измерений не проецировалось точкой.

На рис.101 изображен такой же параллелепипед, как и на рис.102, однако длина, ширина и высота его воспринимаются по одной проекции, так как взгляд «охватывает» сразу три стороны предмета.

Рис. 101 Рис. 102

По такому чертежу легко представить себе его форму. Но он обладает двумя существенными недостатками: во-первых он необратим, так как представлена только одна проекция предмета; во-вторых, по такому чертежу нельзя произвести измерения предмета.

Чтобы ликвидировать первый недостаток, чертеж дополняют второй проекцией, называемой вторичной. Чтобы чертеж стал измеримым, на нем строят изображение системы координат Oxyz, оси которой параллельны соответственно направлениям длины, ширины и высоты изображаемого предмета, (рис. 102).

Если известно, как искажаются размеры по осям x, y и z, то по чертежу можно судить о размерах предмета. Построенный таким образом чертеж называют аксонометрическим или аксонометрией.

9.2 Аксонометрические оси и показатели искажения

Для построения аксонометрических чертежей необходимо знать, как проецируются оси системы координат xyzO и единичные отрезки, взятые на них.

Рассмотрим рис. 100. Координатные оси системы Oxyz и отрезки на них Х - О,Y - O, Z - O, равные натуральной единице ?, спроецированы по направлению s на плоскость проекций . В результате получены аксонометрические оси Х , Y, Z, О.

Рис. 103

А также аксонометрические единицы ?_Х, ?_Y, ?_Z.

Отношения ?_Х/? = u, ?_Y/? = v, ?_Z/? = щ называют показателями искажения соответственно по осям Х , Y, Z аксонометрии. Показатели искажения связаны соотношением:

u ² + v² + щ² = 2 + ctg²ц.

9.3 Вторичные проекции

Для получения второй проекции на плоскости изображаемый объект предварительно проецируют на одну из координатных плоскостей. Затем полученную проекцию (вместе с осями координат) проецируют на плоскость . Сказанное поясняет рис. 104.

Рис. 104

Точка А (объект) спроецирована сначала на плоскость ХОУ. Полученную проекцию А' проецируют затем на плоскость . В конечном результате на аксонометрическом чертеже получаются два изображения точки А: А и А' (вторичная), которые вполне определяют ее положение относительно системы координат Oxyz.

9.4 Виды аксонометрических проекций

Аксонометрическая проекция называется косоугольной , если направление проецирования s не перпендикулярно к плоскости проекций (ц ? 90є).

Аксонометрическая проекция называется прямоугольной, если направление проецирования s перпендикулярно к плоскости проекций (ц = 90є).

Кроме того, различают:

1. Триметрические проекции. Все показатели искажения здесь различны:

u ? v ? щ ? u

2. Диметрические проекции. Два показателя искажения равны, третий - не равен им. При этом возможны три случая:

u = v ? щ; u ? v = щ; u ? v ? щ = u.

3. Изометрические проекции. Все показатели искажения равны меду собой:

u = v = щ = u.

9.5 Прямоугольные аксонометрические проекции

Прямоугольные аксонометрические проекции обладают большой наглядностью, в связи с чем ряд их видов рекомендует применять ЕСКД.

В прямоугольной аксонометрии все показатели искажения меньше единицы и связаны соотношением:

u ² + v² + щ² = 2

Чаще других используют два вида аксонометрических проекций: изометрическую, показатели искажения для которой u = v = щ = 0,82 и диметрическую, имеющую показатели искажения u = 0,94, v = 0,47, щ = 0,94.

При построении осей изометрической проекции проводят оси Х и У с уклоном 4 : 7 к горизонтальной линии чертежа, (рис. 105).

При построении осей стандартной диметрии пользуются уклонами оси Х (1:8) и осиУ (7:8) к горизонтальной прямой чертежа, (рис. 106).



Рис. 105 - Оси стандартной изометрии Рис. 106 - Оси стандартной диметрии

9.6 Стандартные аксонометрические проекции

ГОСТ 2.317-69 рекомендует к применению на чертежах пять видов аксонометрии: два прямоугольных (изометрию и диметрию) и три косоугольных.

Рассмотрим прямоугольные аксонометрии.

Использование дробных коэффициентов искажения затрудняет построение, поэтому на практике применяют приведенные коэффициенты искажения. Для изометрии: u = v = щ = 1.

Применение этих коэффициентов приводит к удлинению отрезков на чертеже в 1/0.82= 1,22 раза.

Для диметрии: u = щ = 1 и v = 0,5.

Это приводит к удлинению отрезков в 1/0.94 = 1,06 раза.

9.7 Построение в прямоугольной аксонометрии окружности, расположенной в плоскости, параллельной одной из плоскостей проекций

Аксонометрической проекцией окружности является эллипс. При определении положения большой и малой осей эллипса следует руководствоваться следующим правилом:

Малая ось эллипса, являющаяся аксонометрической проекцией окружности, лежащей в плоскости, параллельной какой-либо плоскости проекций, параллельна аксонометрической оси, перпендикулярной этой плоскости проекций.

Большая же ось перпендикулярна малой.

Размеры большой (БОЭ) и малой оси эллипса (МОЭ) для стандартных аксонометрий следующие.

Изометрия: БОЭ = 1,22 d; МОЭ = 0,7 d, где d - диаметр окружности.

Построение эллипсов показано на рис. 104. Во всех трех плоскостях эллипсы одинаковы.

Построение эллипса начинают с определения его центра, затем находят его вершины и четыре точки, принадлежащие диаметрам, параллельным осям аксонометрии. В изометрической проекции рекомендуется вычерчивать эллипс только по восьми указанным точкам.

Рис. 107. Построение окружности в прямоугольной изометрии

Диметрия:

- при положении окружности в плоскости, параллельной XOZ:

БОЭ = 1,06 d, МОЭ = 0,94 d;

- при положении окружности в плоскости, параллельной ХОУ или ZOY:

БОЭ = 1,06 d, МОЭ = 0,35 d.

Построение эллипсов показано на рис. 108.

Рис. 108. Построение окружности в прямоугольной диметрии

Как и в изометрической проекции, эллипсы диметрической проекции рекомендуется вычерчивать по точкам, определяемым на их осях и диаметрах, параллельных осям проекций.

9.8 Пример построения стандартных аксонометрических проекций

Обычно аксонометрические проекции оригиналов строятся по их комплексным чертежам. Рассмотрим несколько примеров построения стандартных аксонометрических проекций оригиналов, заданных своими комплексными чертежами.

Пример 1. Построить ортогональную изометрию шестигранной пирамиды.



Рис. 109. Построение прямоугольной изометрии шестигранной пирамиды

Построение выполняем в следующей последовательности. Свяжем с пирамидой натуральную систему координат Oxyz. За начало координат выбираем точку О - центр основания пирамиды. Ось х направим влево (параллельно фронтальной плоскости), ось у - в сторону наблюдателя, ось z - вертикально вверх.

На свободном месте чертежа вычерчиваем аксонометрическую систему координат O'x'y'z', продлевая оси х и у в отрицательную сторону от точки О.

Для построения аксонометрии точек 1 и 4, лежащих на оси х, измеряем их абсциссы (координату х) и откладываем эти величины вдоль оси х' (с учетом отклонения относительно точки О). Напомним, что в приведенной изометрии показатели искажения по всем осям равны единице (т.е. размеры, измеренные на комплексном чертеже, непосредственно откладываются вдоль аксонометрических осей).

Точки 2,3,5 и 6 лежат на прямых, параллельных оси х. Поэтому удобно сначала построить эти вспомогательные прямые, расположенные на равных расстояниях от оси х (отмечены одним штрихом). Измерив на комплексном чертеже абсциссы указанных точек, откладываем полученную величину (отмечена двумя штрихами) на вспомогательных прямых от пересечения последних с осью у. Таким образом, построены все шесть точек основания пирамиды. Соединив точки основания, получаем изометрию шестиугольника.

Отложив на оси z от точки О высоту пирамиды, получим изометрию вершины S. Соединяя вершину пирамиды с шестью точками основания, получаем изометрию пирамиды. В заключении определяем видимость ребер пирамиды.

Пример 2. Построить стандартную ортогональную диметрию шестиугольной призмы с цилиндрическим отверстием, (рис. 110).

Рис. 110. Построение прямоугольной диметрии шестиугольной призмы

«Свяжем» с призмой натуральную систему координат Oxyz, расположив оси, как показано на рисунке 110а. Построим диметрические оси координат.В нашем примере деталь имеет две параллельные горизонтально расположенные плоскости. Сначала построим диметрические изображения окружности и шестиугольника, лежащих в нижней плоскости (xOy). Затем, отмерив высоту призмы вдоль оси z, вновь проведем диметрические оси и на этом уровне. Построим снова диметрические изображения окружности и шестиугольника, теперь уже лежащих в верхней плоскости детали. Соединим вертикальными отрезками полученные изображения - это и будет диметрия данной детали.

Часто для увеличения наглядности выполняют вырез части детали как это показано на рисунке 110б. В нашем примере секущие плоскости совпадают с координатными аксонометрическими плоскостями x'O'z' и y'O'z'.

ВОПРОСЫ ДЛЯ САМОПОДГОТОВКИ

1. Для чего нужны наглядные изображения предметов?

2. Назовите способы построения наглядных изображений?

3. Как получают аксонометрический чертеж?

4. Что такое коэффициент искажения в аксонометрии?

5. Какие виды аксонометрии вы знаете?

6. Чем характеризуется прямоугольная изометрия?

7. Чем характеризуется прямоугольная диметрия?

8. Какие правила вы знаете по определению направления большой оси эллипса в изометрии и диметрии?

9. Чему равна большая и малая оси эллипса в изометрии и диметрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов. - 3-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1985 - 288с. . ил.

2. Бубенников А.В. Начертательная геометрия: Задачи для упражнений: Учебн. пособие. - М.: Высш. шк., 1981 - 296с. ил.

3. Виницкий И.Г. Начертательная геометрия. Учебник для вузов. М.: Высш. шк., 1975.- 280 с.

4. Гордон В.О., Семенцов-Огиевский М.А. Курс начертательной геометрии: Учеб. пособие для втузов /Под ред. В.О. Гордона и Ю.Б. Иванова. - 24-е изд., стер. -М.: Высш. Шк., 2000. - 272 с.

5. Королев Ю.И. Начертательная геометрия: Учеб. для вузов.- М.: Стройиздат, 1987.- 319 с.: ил.

6. Климухин А.Г. Начертательная геометрия: Учебник для вузов. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Стойиздат, 1978 - 334с.

7. Лагерь А.И., Колесникова Э.А. Инженерная графика / Учеб. для инж.-техн. спец. Вузов.- М.: Высш. шк., 1985 - 176 с.

8. Михайленко В.Е., Пономарев А.М. Инженерная графика: Учебник. - 3-е изд., перераб. и доп. -К.: Выща шк., 1990. - 303 с.

9. Нарисна геометрія: Підручник / В.С. Михайленко, М.Ф. Свстіфесв,

С.М. Ковальов, О.В. Кащенко; За ред. В.С. Михайленка. -2-ге вид.,

переробл. -К.: Вища шк., 2004. -303 с.

10. Начертательная геометрия: Учеб. Для вузов/ Н.Н. Крылов, Г.С. Иконникова, В.Л. Николаев, Н.М. Лаврухина; Под ред. Н.Н. Крылова.- 6 изд., пепераб. И доп.- М.: Высш. шк.,1990.-240 с.:ил.

11. Павлова А.А. Начертательная геометрия: Учебник для студентов педагогических институтов по специальности №03.02 (2120) «Труд» («Общетехнические дисциплины и труд»).- М.: Прометей 1993. 280с.: ил.

12.Стандарты Единой системы конструкторской документации.

13. Фролов С.А. Начертательная геометрия: Учебник для втузов. - М.: Машиностроение, 1978 - 240 с.

14. Чекмарев А.А. Начертательная геометрия и черчение: Учеб пособие для студентов пед. ин-тов по спец. №2120 «Общетехн. дисциплины и труд». - М.: Просвещение 1987. - 400 с.: ил.

15. Чекмарев А.А. Инженерная графика: Учеб для немаш. спец. вузов.- 2-е изд., испр. - М.: Высш. шк. 1998. - 365 с.

Размещено на Allbest.ru

...