Комплекс программ численного интегрирования функций методом прямоугольников
Разработка приближенных методов вычисления определенных интегралов. Классические методы численного интегрирования по квадратурным формулам - наиболее распространенные методы вычисления одномерных определенных интегралов. Сущность метода прямоугольников.
| Рубрика | Математика |
| Вид | курсовая работа |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 20.05.2013 |
| Размер файла | 91,2 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Размещено на http://www.allbest.ru/
Курсовая работа
Комплекс программ численного интегрирования функций методом прямоугольников
интеграл метод прямоугольник
1. Теория
Одномерный определенный интеграл вида (8.1) с пределами интегрирования можно трактовать как площадь фигуры, ограниченной отрезками прямых , осью абсцисс и графиком подынтегральной функции
Если известна первообразная для то интеграл легко определяется по формуле Ньютона-Лейбница .
Для некоторых подынтегральных функций интеграл можно вычислить аналитически, найти в справочниках или оценить с помощью асимптотических рядов. Однако в общем случае может быть не определена: либо первообразные не выражаются через элементарные функции, либо сами
Рис. 8.1
Подынтегральные функции не являются элементарными. Это приводит к необходимости разработки приближенных методов вычисления определенных интегралов.
Наиболее общеупотребительными приближенными методами вычисления одномерных определенных интегралов являются так называемые классические» методы численного интегрирования по квадратурным формулам: метод прямоугольников, метод трапеций, метод парабол (основанные на суммировании элементарных площадей, на которые разбивается вся площадь под функцией
Метод прямоугольников
Простейшей оценкой искомой площади слижит сумма площадей прямоугольников, заменяющих криволинейные трапеции, как показано на рисунке 8.3.а.
Рис.8.3
В обычном методе прямоугольников значение вычисляется в начале каждого отрезка и оценка интеграла дается выражением
где
Просуммировав элементарные площади фигур, построенных на сегментах получим примерное значение искомого определенного интеграла
где (8.2.а)
Погрешность приближения показана на рисунке 8.3.а закрашенной фигурой.
Одна из модификаций метода прямоугольников заключается в вычислении не в начальной, а в средней точке каждого отрезка (рис.8.3.б). В этом случае искомый интеграл оценивается выражением
где
2. Математическая модель
2. Алгоритм
4. Тестовый пример
y= xm/((x+a)*(x+a)), при а=7, m=5.
h=(x2-x1)/n h =(11-1)/5=2
x[i]=x1+i*h
x[0]=1+0*2=1
y[0]= 15/((1+7)*(1+7))*2=1/(64)*2=0,0312
x[1]=1+1*2=3
y[1]= 35/((3+7)*(3+7))*2=243/(100)*2=4,86
x[2]=1+2*2=5
y[2]= 55/((5+7)*(5+7))*2=3125/(144)*2=43,4
x[3]=1+3*2=7
y[3]= 75/((7+7)*(7+7))*2=16807/(196)*2=171,5
x[4]=1+4*2=9
y[4]= 95/((9+7)*(9+7))*2=59049/(256)*2=461,2
I=y[0]+y[1]+y[2]+y[3]+ y[4]= 0,0312+4,86+43,4+171,5+461,2=680,99
5. Программа
# include <conio.h>
# include <stdio.h>
# include <math.h>
# include <stdlib.h>
# include <iostream.h>
# define max 100
float hot(float x, float m, float a) {программа-функция вычисления заданной функции}
{
float y=pow(x,m)/((x+a)*(x+a));
return(y);
}
void main() {начало программы}
{
int n,i,x1,x2;
float h,x[100],I,b,k;
clrscr(); {очистка экрана}
printf("zadat otrezok x1, x2");
printf("\n");
scanf("%i %i",&a,&b);
printf("x1=%i ",x1);
printf("x2=%i ",x2);
printf("\n");
printf("zadat n");
printf("\n");
scanf("%i",&n);
printf("n=%i ",n);
printf("\n");
h=(x2-x1)/n; {вычисление h}
printf("h = ");
printf("%7.5f",h);
printf("\n");
printf("vvedite a, m");
printf("\n");
scanf("%f %f %f",&b,&k);
printf("a=%f ",b);
printf("m=%f ",k);
printf("\n");
for(i=0;i<=n-1;i++) {начало цикла для подсчёта всех x}
{
x[i]=x1+i*h;
{I+=hot(x[i],k,b)*h; {нахождение суммы всех интегралов и обращение к функции}
printf("RES=%f\n",I);};}; {вывод ответа, конец цикла}
getch(); {задержка экрана}
} {конец программы}
6. Информационная модель
|
№ |
название |
тип |
диапазон |
назначение |
|
|
1 |
x1 |
int |
-32765 - 35767 |
Входная константа |
|
|
2 |
x2 |
int |
-32765 - 35767 |
Входная константа |
|
|
3 |
i |
int |
-32765 - 35767 |
Счетчик цикла |
|
|
4 |
n |
int |
-32765 - 35767 |
Входная константа |
|
|
5 |
h, b,k, x[i] |
float |
(3,4 E-38; 3,4 E+38) |
Вспомогательные переменные |
|
|
6 |
I |
float |
(3,4 E-38; 3,4 E+38) |
Выходная переменная |
7. Результат программы
Вывод
Мы научились искать интегралы функций методом прямоугольников. Результаты тестового примера полностью совпали с результатом работы программы.
Список литературы
1. “Программирование и математические вычисления”, Дьяконов В. П.
2. “ Численные методы ” ,Ревизников Д.Л. Формалев В.Ф.
3. “ Численные методы ”, Н.Н.Калиткин
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Постановка задачи вычисления значения определённых интегралов от заданных функций. Классификация методов численного интегрирования и изучение некоторых из них: методы Ньютона-Котеса (формула трапеций, формула Симпсона), квадратурные формулы Гаусса.
реферат [99,0 K], добавлен 05.09.2010Понятие определенного интеграла, его геометрический смысл. Численные методы вычисления определенных интегралов. Формулы прямоугольников и трапеций. Применение пакета Mathcad для вычисления интегралов, проверка результатов вычислений с помощью Mathcad.
курсовая работа [1,0 M], добавлен 11.03.2013Вычисление относительной и абсолютной погрешности табличных определённых интегралов. Приближенные методы вычисления определённых интегралов: метод прямоугольников, трапеций, парабол (метод Симпсона). Оценка точности вычисления "не берущихся" интегралов.
курсовая работа [187,8 K], добавлен 18.05.2019Методы интегрирования в древности. Понятие первообразной функции. Основная теорема интегрального исчисления. Свойства неопределенных и определенных интегралов и методы их вычисления, произвольные постоянные. Таблица интегралов элементарных функций.
презентация [525,7 K], добавлен 11.09.2011Исследование способа вычисления кратных интегралов методом Монте-Карло. Общая схема метода Монте-Карло, вычисление определенных и кратных интегралов. Разработка программы, выполняющей задачи вычисления значений некоторых примеров кратных интегралов.
курсовая работа [349,3 K], добавлен 12.10.2009Рассмотрение задач численного интегрирования по простейшим формулам. Понятие тройных интегралов и их применение для вычисления объема, массы, площади, моментов инерции, статистических моментов и координат центра масс тела на конкретных примерах.
курсовая работа [348,5 K], добавлен 17.12.2013Задача численного интегрирования функций. Вычисление приближенного значения определенного интеграла. Нахождение определенного интеграла методами прямоугольников, средних прямоугольников, трапеций. Погрешность формул и сравнение методов по точности.
методичка [327,4 K], добавлен 01.07.2009Особенность метода Остроградского. Процесс вычисления производных и нахождения интегралов различных функций. Алгоритм Евклида. Интегрирование биноминальных дифференциалов. Тригонометрические и гиперболические подстановки. Основные виды рациональностей.
курсовая работа [916,8 K], добавлен 06.11.2014Выбор точных методов численного интегрирования при наибольшем количестве разбиений. Вычисление интеграла аналитически, методом средних прямоугольников, трапеций, методом Симпсона. Вычисление интеграла методом Гаусса: двухточечная и трехточечная схема.
курсовая работа [366,2 K], добавлен 25.12.2012Вычисление приближенных величин и погрешностей. Решение алгебраических и трансцендентных уравнений, интерполяция функций и методы численного интегрирования. Применение метода наименьших квадратов к построению эмпирических функциональных зависимостей.
курсовая работа [378,5 K], добавлен 08.01.2013Характеристика методов численного интегрирования, квадратурные формулы, автоматический выбор шага интегрирования. Сравнительный анализ численных методов интегрирования средствами MathCAD, а также с использованием алгоритмических языков программирования.
контрольная работа [50,8 K], добавлен 06.03.2011Рассмотрение основных способов решения задач на вычисление неопределенных и определенных интегралов по формулам Ньютона-Лейбница и Симпсона. Ознакомление с примерами нахождения области, ограниченной линиями, и объема тела, ограниченного поверхностями.
контрольная работа [194,2 K], добавлен 28.03.2014Нахождение неопределенных интегралов (с проверкой дифференцированием). Разложение подынтегральных дробей на простейшие. Вычисление определенных интегралов, представление их в виде приближенного числа. Вычисление площади фигуры, ограниченной параболой.
контрольная работа [123,7 K], добавлен 14.01.2015Особенности решения алгебраических, нелинейных, трансцендентных уравнений. Метод половинного деления (дихотомия). Метод касательных (Ньютона), метод секущих. Численные методы вычисления определённых интегралов. Решение различными методами прямоугольников.
курсовая работа [473,4 K], добавлен 15.02.2010Непосредственное (элементарное) интегрирование, вычисление интегралов с помощью основных свойств неопределенного интеграла и таблицы интегралов. Метод замены переменной (метод подстановки). Интегрирование по частям, определение точности интегралов.
презентация [117,8 K], добавлен 18.09.2013Решение дифференциального уравнения методом численного интегрирования Адамса. Методы, основанные на применении производных высших порядков. Формулы, обеспечивающие более высокую степень точности, требующие вычисления третьей производной искомого решения.
курсовая работа [81,9 K], добавлен 29.08.2010Число Пи как математическая константа. Основные особенности вычисления числа Пи. Методы определения численного значения числа Пи. Влияние трудов И. Ньютона и Г. Лейбница на ускорение вычисления приближенных значений Пи. Анализ формул древних ученных.
курсовая работа [1,8 M], добавлен 26.09.2012Математическая модель: определение интеграла и его геометрический смысл. Приближённые методы вычисления. Формула прямоугольников, трапеций, парабол. Программа для вычисления значения интеграла методом трапеций в среде пакета Matlab. Цикл if и for.
контрольная работа [262,8 K], добавлен 05.01.2015Особенности применения степенных рядов для вычислений с различной степенью точности значений функций и определенных интегралов. Рассмотрение примеров решения ряда задач этим математическим методом с условием принятия значений допустимой погрешности.
презентация [68,4 K], добавлен 18.09.2013Интегралы, у которых один или оба предела интегрирования бесконечны, и у которых функция не ограничена на отрезке интегрирования. Понятие несобственных интегралов с бесконечными пределами интегрирования. Геометрический смысл несобственного интеграла.
презентация [104,1 K], добавлен 18.09.2013
