Многочлены, ортогональные на конечной системе точек

Размещено на http://www.allbest.ru/

Размещено на http://www.allbest.ru/

Содержание

Введение

1. Многочлены, ортогональные на конечной системе точек

2. Явный вид многочленов на конечной степени точек в частных случаях

Заключение

Список использованных источников

Введение

многочлен квадрат ортогональный лагранж

В данной контрольной работе рассматриваются многочлены, ортогональные на конечной системе точек. Выясняется вопрос об явных видах многочленов на конечной степени точек в частных случаях, и исследуются свойства многочленов.

1. Многочлены, ортогональные на конечной системе точек

Теорема 1. Для всякой весовой функции h(x) существует единственная последовательность многочленов , имеющих положительный старший коэффициент и удовлетворяющих условию ортонормированности

Пусть на сегменте задана система n+1 различных точек и, кроме того, определена система весов , удовлетворяющих условиям

(1)

Тогда для двух функций, заданных по крайне мере в точках , можно ввести скалярное произведение

(2)

Если сумма (2) равна нулю, то и эти две функции называются ортогональными. Норму и расстояние здесь можно определить соответственно по формулам:

(3)

(4)

Докажем, что при условиях (1) однозначно определяется система n+1 многочленов

(5)

удовлетворяющих условию ортонормированности

(6)

причём старший коэффициент у каждого многочлена положителен.

В самом деле, для нулевого многочлена, полагая из (6) находим

и, следовательно, коэффициент определен. Далее применяем индукцию. Допустим, что мы определили многочлены удовлетворяющие условиям (6). Тогда следующий многочлен ищем в виде

(7)

Умножаем это равенство на и суммируем. В результате получим

Чтобы эта сумма была равна нулю, достаточно положить Следовательно, вместо (7) имеем равенство

где многочлен определен. Далее в силу нормированности

определяется положительный коэффициент ,ибо выполняется условие

(8)

Последнее имеет место потому, что и многочлен степени m не может обращаться в нуль в n+1 точках . Таким образом, индукция проведена и существование системы (5) доказано. Индуктивный переход от n к n+1 сделать, вообще говоря, нельзя, ибо в этом случае многочлен имеет степень n+1 и условие (8) может не выполняться. Совершенно ясно, что здесь мы фактически доказали аналог теоремы 1 для случая ортогональности на конечной системе точек. Для многочленов (5) нетрудно установить и другие аналоги свойств. Так, например, для них имеют место рекуррентная формула и формула Кристоффеля-Дабу, критерии ортогональности и теоремы о расположении нулей. Справедлива также и формула , представляющая ортогональные многочлены через моменты весовой функции, которые здесь имеют вид Рассмотрим теперь аналог ряда Фурье по ортогональным многочленам.

Пусть некоторая функция f(x) задана своими значениями в узлах ортогональности. Определяем ее коэффициенты Фурье по системе (5)

(9)

и частичные суммы Фурье

(10)

Аналогично общему случаю суммы (10) приближают функцию f(x) наилучшим образом в смысле метрики (4). В самом деле, для произвольного многочлена

Используя формулы (2), (4) и (9), имеем

(11)

Как известно, в вычислительной практике очень широко применяется метод наименьших квадратов, который заключается в том, что для функции f(x), заданной таблицей в точках {x_k}, ищется многочлен, минимизирующий величину

 (12)

причем положительные весовые множители {p_k} вводятся для того, чтобы учесть тот факт, что значения функции f(x) в различных точках вычисляются с разной точностью. Неравенство (11) свидетельствует о том, что частичные суммы (10) приближают функцию f(x) наилучшим образом по методу наименьших квадратов.

Если в формуле (12) положить m=n, то в качестве Q_n(x) можно выбрать интерполяционный многочлен Лагранжа, для которого вся сумма (12) обратится в нуль. Но значение метода наименьших квадратов заключается в том, что при большом числе узлов и при m<n рациональнее применять именно суммы (10), ибо при больших n интерполяционные многочлены вычислять трудно. Если же потребуется повысить точность вычислений, то нужно увеличить число m в формуле (12).

Таким образом, для применения метода наименьших квадратов необходимо вычислить все ортогональные многочлены системы (5).

2. Явный вид многочленов на конечной степени точек в частных случаях

Рассмотрим простейший случай, когда и точки {x_k} делят сегмент [a,b] на n равных частей. Так как в этом случае , то линейное преобразование

(13)

Переводит сегмент [a,b] в сегмент [0,n], а точки {x_k} - в точки 0, 1, 2, …, n. Таким образом, достаточно найти ортогональные многочлены, удовлетворяющие условиям

(14)

а затем вместо t подставить его выражение по формуле (13).

В численных методах часто применяются так называемые факториальные многочленов или обобщенные степени

t^[m]=t(t-1)…(t-m+1), t^[0]=1 (15)

Для этих многочленов справедливо тождество

(t+1)^[m]-t^[m]=(t+1)t(t-1)…(t-m+2)-t(t-1)…(t-m+1)=t(t-1)…

…(t-m+2)[(t+1)-(t-m+1)]=mt^[m-1]. (16)

Далее, из системы тождеств

(t+1)^[m+1]-t^[m+1]=(m+1)t^[m],

(t+2)^[m+1]-(t+1)^[m+1]=(m+1)(t+1)^[m],

(t+n+1)^[m+1]-(t+n)^[m+1]=(m+1)(t+n)^[m],

складывая их почленно, находим

(17)

Будем искать ортогональный многочлен в виде

P_m(t)=1+b₁t^[1]+b₂t^[2]+…+b_mt^[m]. (18)

Поскольку любой многочлен можно представить по формуле

то для ортогональности многочлена (18) достаточно так выбрать коэффициенты {b_k}, чтобы выполнялись равенства

(19)

Преобразуем эту систему уравнений. Так как

(k+s)^[s]k^[q]=(k+s)(k+s-1)…(k+1)k(k-1)…(k-q+1)=(k+s)^[s+q],

то для общего члена суммы (19) имеем представление

(k+s)^[s]P_m(k)=(k+s)^[s]+b₁(k+s)^[s+1]+b₂(k+s)^[s+2]+…+b_m(k+s)^[s+m],

Подставляя правую часть в сумму (19), получим

(20)

Далее в формуле (17) положим t=s и вместо m поставим s+q. В результате равенство (17) приведется к виду

Вычитаемое слева равно нулю, ибо при q?0 среди множителей правой части равенства

s^[s+q+1]=s(s-1)…(-q+1)(-q)

есть нуль. Следовательно, равенство (20) имеет вид

(21)

После сокращения на числитель первой дроби имеем

Вводя новые неизвестные a_k=b_kn^[k], получим систему уравнений

(22)

Для решения этой системы применим искусственный прием. А именно, рассмотрим вспомогательную функцию

(23)

Поскольку F_m(x) есть многочлен степени не выше m, причем в силу (22) имеем F_m(s)=0, где s=0, 1, …, m-1, то, следовательно, этот многочлен можно представить в виде

F_m(x)=cx(x-1)(x-2)…(x-m+1),

и остается определить постоянный множитель c. Для этого умножим равенство (23) почленно на (x+1) и после сокращения в первой дроби и в правой части положим в нем x=-1. В результате получим

Теперь можно вычислить числитель в правой части (23). Следовательно, равенство (23) имеет вид

(24)

Приводим левую часть к общему знаменателю и полагаем x=-(s+1). Тогда найдем равенство

a_s(m-s)(m-s-1)…2·1·(-1)(-2)…(-s)= (-1)^m(-s-1)(-s-2)…(-s-m),

из которого, наконец, имеем

Так как

(25)

То, следовательно, ортогональный многочлен (18) можно теперь представить в явной форме

(26)

Простые вычисления по этой формуле приводят к равенствам

Подсчитаем норму этих многочленов. Используя разложение

в силу равенств (19) имеем

(27)

Далее, если сумму (19) вместо s подставить m, то эта сумма будет отлична от нуля, и, рассуждая как при выводе уравнения (21) приведем эту сумму к виду левой части (21) при условии s=m. Затем выносим числитель первой дроби, а оставшуюся сумму вычисляем с помощью формулы (24), полагая в ней x=m. В результате, используя (25), из (27) находим

Таким образом, норма многочлена (26) подсчитана и можно составить ортонормированные многочлены, соответствующие точкам 0,1,2, …, n и весам p_k=1.

Те же самые ортонормированные многочлены получаются и в том случае, если вместо весов рассматривать веса для которых выполняется первое из условий (1).

Заключение

В заключение отметим, что общий случай ортогональности на конечной системе точек и частный случай многочленов подробно исследовал П.Л. Чебышёв в 1955 году, в связи, с чем эти многочлены часто называются многочленами Чебышёва для равноотстоящих точек.

Список использованных источников

1. Суетин П.К. Классические ортогональные многочлены: научное издание. / П.К. Суетин - М.: Наука, 1976. - 327 с.

Размещено на Allbest.ru