Размещено на http://www.allbest.ru/

Оглавление

• Введение
• Глава 1. Пирамида
• 1.1 Исторические сведения о пирамиде
• 1.2 Феномен пирамидных конструкций
• 1.3 Различные трактовки определения пирамиды
• 1.3.1 Правильная пирамида
• 1.3.2 Симметрия правильной пирамиды
• 1.3.3 Усеченная пирамида
• 1.3.4 Правильная усеченная пирамида
• 1.4 Высота пирамиды
• 1.5 Площадь пирамиды
• 1.5.1 Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды
• 1.6 Объем пирамиды
• 1.6.1 Объем усеченной пирамиды
• Глава 2. Взаимосвязь пирамиды с плоскостью и сферой
• 2.1 Сечения пирамиды плоскостью
• 2.1.1 Метод следов
• 2.1.2 Метод вспомогательных сечений
• 2.1.3 Комбинированный метод
• 2.2 Вписанная и описанная сфера
• Заключение
• Список литературы

Введение

Египетские пирамиды - одно из семи чудес света.… Как загадочны эти фигуры! Сколько тайн хранят они в себе! С самого детства я задумывалась об этом. Они манили меня к себе своей таинственностью. Когда я пошла в десятый класс, мы начали изучать стереометрические фигуры и, конечно, затронули тему "Пирамида". Пирамиды представляют интерес для математиков, историков, физиков, биологов, медиков, философов. Чем больше мы узнаем о пирамидах, тем больше у нас возникает вопросов. Хотя не стоит забывать и о том, что пирамиды таят в себе ответы на огромное количество вопросов, которыми сейчас задается наука.

Пирамиды, несмотря на свою древность, могут многому нас научить. Исследованием пирамид с использованием новейших приборов занимались американцы, японцы. Пирамиды снимали со спутников. Американская станция "Маринер"' передала фотографии с Марса, на которых изображены такие же пирамиды, что наводит на мысль об их внеземном происхождении. Так что же такое пирамиды?

Глава 1. Пирамида

1.1 Исторические сведения о пирамиде

Усыпальницы египетских фараонов. Крупнейшие из них - пирамиды Хеопса, Хефрена и Микерина в Эль-Гизе в древности считались одним из Семи чудес света. Возведение пирамиды, в котором уже греки и римляне видели памятник невиданной гордыни царей и жестокости, обрекшей весь народ Египта на бессмысленное строительство, было важнейшим культовым деянием и должно было выражать, по всей видимости, мистическое тождество страны и ее правителя. Население страны работало на строительстве гробницы в свободную от сельскохозяйственных работ часть года. Ряд текстов свидетельствует о том внимании и заботе, которые сами цари (правда, более позднего времени) уделяли возведению своей гробницы и ее строителям. Известно также об особых культовых почестях, которые оказывались самой пирамиде.

Пирамиды выстроены на левом - западном берегу Нила (Запад - царство мертвых) и возвышались над всем городом мертвых - бесчисленными гробницами, пирамидами, храмами.

Самая большая из трех - пирамида Хеопса (зодчий Хемиун, 27 в. до н.э.). Ее высота была изначально 147 м, а длина стороны основания - 232 м. Для ее сооружения потребовалось 2 млн. 300 тыс. огромных каменных блоков, средний вес которых 2,5 т. Плиты не скреплялись строительным раствором, лишь чрезвычайно точная подгонка удерживает их. В древности пирамиды были облицованы отполированными плитами белого известняка, вершины их были покрыты медными листами, сверкавшими на солнце (известняковую обшивку сохранила только пирамида Хеопса, покрытие других пирамид арабы использовали при строительстве Белой мечети в Каире).

Близ пирамиды Хефрена возвышается одна из крупнейших статуй древности и нашего времени - высеченная из скалы фигура лежащего сфинкса с портретными чертами самого фараона Хефрена.

Великие пирамиды были окружены рядом небольших усыпальниц жен фараонов и их приближенных. В такие комплексы обязательно входили святилища Верхнего и Нижнего Египта, большие дворы для проведения праздника хеб-су, заупокойные храмы, служители которых должны были поддерживать культ умершего царя. Пространство вокруг пирамиды, окруженное стенами, посредством длинного крытого перехода соединялось с храмом на берегу Нила, где встречали тело фараона и начинались погребальные церемонии.

Все пирамиды точно сориентированы по сторонам света, что свидетельствует о высоком уровне астрономических знаний древних египтян, расчет углов наклона граней совершенно безукоризнен. В пирамиде Хеопса угол наклона таков, что высота пирамиды равна радиусу воображаемой окружности, в которую вписано основание пирамиды.

Замечательной инженерной находкой древних зодчих и строителей было сооружение в толще каменной кладки над погребальной камерой пяти разгрузочных камер, с помощью которых удалось снять и равномерно распределить колоссальную нагрузку на ее перекрытия. Помимо камер в пирамиде есть и другие пустоты - коридоры, проходы и галереи, входы в которые были тщательно замурованы и замаскированы. Тем не менее захоронения в пирамидах были разграблены, видимо, довольно скоро после погребения фараонов. Воры хорошо знали все ловушки, так что они, скорее всего, были связаны либо со строителями, либо со жрецами, осуществлявшими захоронения.

Приведем рассказ Геродота, этого греческого "журналиста", который черпал сведения у иностранцев, живших в Египте. Он завещал нам удивительные, бесценные документы.

"Хеопс, - пишет он, - оставил после себя грандиозное произведение: свою пирамиду. Говорят, что Египет до эпохи правления Рампсинитов был процветающей, хорошо управляемой страной. Хеопс, наследовавший Рампсинитам, приказал всем египтянам работать на него. Одним было приказано перетаскивать к Нилу камни, выломанные в карьерах Арабских гор; другие должны были нагружать их на суда для перевозки через реку и тащить их к Ливийским горам. На стройке постоянно находились сто тысяч рабочих, которые сменялись каждые три месяца.

Они уже потратили 10 лет на прокладку дороги, по которой перетаскивали камни, но это еще было ничто по сравнению со строительством самой Пирамиды. Дорога была длиной в 5 стадий (923,5 м), 10 оргий в ширину (18,47 м) и в самом высоком месте имела подъем в 8 оргий (14,78 м). Она была выложена полированными камнями с изображениями животных. Понадобилось 10 лет, чтобы завершить дорогу и построить подземные камеры, которые должны были служить могилами. Гробницы были сооружены на плато: там возвышаются Пирамиды на острове, образованном отводным каналом. Сама пирамида потребовала 20 лет работы. Она квадратная. Каждая ее сторона равна 8 метрам (246,26 м) и такого же размера ее высота. Камни отполированы и тщательно пригнаны; каждый из них не меньше 30 ступней (9,24 м)".

После этого вступления Геродот рассказывает историю сооружения Большой Пирамиды, сообщая очень подробные детали, начиная от характеристики типового египетского стиля и кончая расходами на строительство этого уникального монумента.

"Эта пирамида, - продолжает он, - сначала была построена в виде большой лестницы, составленной из того, что одни называют зубцами, а другие ступенями. Такая форма позволяла поднимать остальные камни с помощью машины, состоящей из коротких балок. Когда камень был водружен на первую ступень, его перекладывали на другую машину, стоявшую там, откуда камень поднимался на следующую ступень, где его помещали на третью машину, так как машин было столько же, сколько и ступеней. Или это была переносная машина, которую перемещали с этажа на этаж, освободив от камня. Я описываю здесь два приема, как мне об этом рассказывали.

Таким образом, сначала заканчивали вершину, потом переходили по этажам вниз и завершали основание пирамиды. На этой пирамиде есть надписи, в которых указано, сколько средств было израсходовано на приобретение хрена, лука и головок чеснока, чтобы прокормить рабочих, и если я правильно запомнил слова переводчика, читавшего мне эту надпись, сумма расходов доходила до 6 000 талантов серебра, что составляет 41 884 кг. Если это действительно так, то сколько же талантов серебра могли они израсходовать на железные инструменты, с помощью которых работали, на пищу и одежду для рабочих? Потому что, кроме работ по сооружению храма, они потратили еще немало времени, как я думаю, на обработку и транспортировку камней и строительство подземных камер".

Четыре века спустя после Геродота историк Диодор из Сицилии (I в. до н.э.) посетил Египет и, увидев пирамиды, причислил их к одному из семи чудес света. Как и его предшественник, Диодор изумлен этим монументом. "Нужно признать, - утверждает он, - что эти монументы намного превосходят все", что можно увидеть в Египте, не только огромностью своих размеров и средств, потраченных на них, но также и красотой".

Диодор Сицилийский сообщает нам свою версию о строительстве пирамид. Он также говорит о трех пирамидах как о заупокойном ансамбле IV династии, из которых Большая Пирамида, - конечно же, самое значительное и чудесное сооружение, но которое не может рассматриваться отдельно от других.

Прибывшему в Гизу туристу открывается одна из прекраснейших картин, какую когда-либо создавала рука человека. Египетская поговорка "Всё боится времени, но время боится Пирамид" как нельзя лучше применима к этому месту.

Гиза - это современное название большого каирского некрополя, занимающего примерно 2000 кв.м. Сюда входят Сфинкс и три Большие Пирамиды: Хеопса, Хефрена и Микерина. Последняя имеет еще три малых пирамиды-спутницы. Три монумента расположены по диагонали, но таким образом, что ни один не заслоняет солнце другим. Каждая пирамида включает, в соответствии с типовым планом, заупокойный храм вверх по течению Нила и заупокойный храм вниз по течению, а также соединяющий их коридор. Ансамбль Пирамиды Хеопса почти полностью разрушен; ансамбль Пирамиды Хефрена, напротив, в большей части сохранился.

Пирамида Хефрена - единственная сохранившая на вершине полированную облицовку. Хотя ее высота меньше, чем у предыдущей, ее вершина находится на одинаковом с ней уровне, так как она стоит на более высоком месте. Первоначально ее основание было облицовано розовым гранитом. И наконец, меньшая из трех, но более пропорциональная Пирамида Микерина едва достигает 66 м в высоту. В 1500 году она еще имела гранитную облицовку, которая в наши дни полностью исчезла. Погребальная камера заключала величественный базальтовый саркофаг, украшенный под "фасад храма", что было довольно распространенным приемом декорирования в эпоху Древнего царства. К сожалению, саркофаг затонул у побережья Португалии при кораблекрушении во время перевозки его в Англию.

Перед Пирамидой Микерина возвышаются три Пирамиды-спутницы, которые еще меньше, чем спутницы Пирамиды Хеопса. Пирамида-спутница с восточной стороны, изначально облицованная розовым гранитом, была, без сомнения, предназначена для супруги фараона Хармер-Нехти II.

1.2 Феномен пирамидных конструкций

Первым, кто установил ряд необычных явлений, связанных с пирамидой, был французский ученый Антони Бови. Исследуя пирамиду Хеопса в течение тридцатых годов, он обнаружил, что тела мелких животных, случайно попавших в царскую комнату, мумифицировались. Вернувшись во Францию, он построил деревянную модель пирамиды с длиной стороны основания около одного метра. Сориентировав ее по сторонам света и поместив в место расположения царской комнаты, т.е. приблизительно на 1/3 расстояния от основания до вершины тело мертвой кошки, он через несколько дней обнаружил ее мумифицировавшейся. Того же эффекта он достигал и с другими органическими веществами, которые, мумифицируясь, не портились и не гнили. Исследования А. Бови не вызывали никакого интереса до пятидесятых годов, пока ими не заинтересовался чешский инженер Карел Дрбан, который не только воспроизвел результаты опытов А. Бови, но и обнаружил связь между формой пространства пирамиды и биологическими и физико-химическими процессами, происходящими в этом пространстве. Оказалось, что изменяя размеры пирамиды можно воздействовать на происходящие процессы, ускоряя или замедляя их. Весьма знаменитым открытием К. Дрбана оказалось то, что энергия пирамиды, сориентированной сторонами к геомагнитным полюсам, затачивает помещенное в нее бритвенное лезвие, при условии его расположения на уровне высоты от основания пирамиды под прямым углом к геомагнитному меридиану.

Изобретение было запатентовано и выпускался пластмассовый прибор "Бритвенный затачиватель "Пирамида Хеопса"", позволявший многократно использовать одно и то же бритвенное лезвие. Начиная с пятидесятых годов, патентов становится все больше и больше. Оказалось, что энергия формы пирамиды "умеет делать" очень многое: растворимый кофе, постояв над пирамидой, приобретает вкус натурального; дешевые вина значительно улучшают свои вкусовые качества; вода приобретает свойства способствовать заживлению, тонизирует организм, уменьшает воспалительную реакцию после укусов, ожогов и действует, как естественное вспомогательное средство для улучшения пищеварения; мясо, рыба, яйца, овощи, фрукты мумифицируются, но не портятся; молоко долго не киснет; сыр не плесневеет. Если сидеть под пирамидой, то улучшается процесс медитации, уменьшается интенсивность головной и зубной боли, ускоряется заживление ран и язв. Пирамиды устраняют вокруг себя геопатогенное воздействие и гармонизируют внутреннее пространство помещений. Исследованиями, проведенными в шестидесятые годы известным каббалистом и египтологом Энелем (его настоящее имя Михаил Владимирович Сарятин, 1883 - 1963 гг.), было показано, что излучение пирамиды имеет сложную структуру и особые свойства. Им было выделено несколько лучей: луч, названный Пи, под влиянием которого происходит разрушение опухолевых клеток; луч, вызывающий мумификацию (высушивание) и уничтожение микроорганизмов и таинственный луч Омега, под влиянием которого продукты длительное время не портятся и который оказывает благотворное влияние на организм человека. Энелем впервые было высказано предположение о том, что воздействию именно этого концентрированного луча подвергались посвящаемые во время инициации в саркофаге царской комнаты. Последующими исследованиями было показано, что благодаря широкому спектру частот, часть которых идентична частотам колебаний здоровых клеточных структур биологических объектов, излучением пирамиды оказывается гармонизирующее, натраивающее на оптимальное функционирование воздействие. Французскими радиэстезистами Л. Шомери и А. де Белизалом (1976) впервые было высказано предположение о роли Великой Пирамиды как передающей станции. Они показали, что благодаря огромной массе, излучение формы пирамиды, достигало такой силы, что с очень большого расстояния с помощью модели пирамиды можно было определить это излучение, и без компаса точно сориентировать по ней маршрут корабля в море или каравана в пустыне. Особенно интриговала ученых существующая в конструкции Великой пирамиды особенность - она не была закончена до вершины. В действительности ее вершина образована не четырьмя гранями, а платформой с размерами 6х6 метров. Проведенные Д. Шомери и А. де Белизалом радиэстезические исследования позволили установить, что такой конструкцией формировалась ложная вибрационная призма, которая создавала излучение, вертикально опускающиеся к основанию пирамиды. Комната фараона, находящаяся вне области распространения этого пучка, избегала этого влияния, но оно должно было захватывать до сих пор не найденную подземную комнату, размещенную значительно ниже уровня земли. Полученные французскими исследователями данные, а также установленное Энелем (1958) предназначение загадочного сооружения из четырех элементов, создающего излучение, направленное на саркофаг царской комнаты, позволяет утверждать, что Великая Пирамида использовалась как приемо-передающее многофункциональное устройство с огромным диапазоном действия, внутри которого проявлялись иные законы, чем в окружающем ее мире. Проведенные в 1969 г. компьютерные исследования Л. Альвареса, установившего в пирамиде Хефрена счетчики космического излучения, вызвали в научном мире огромный резонанс геометрия пирамиды непонятным образом нарушала работу приборов, вынудив ученых прекратить их проведение. Эта попытка, как и многие другие, выявила еще одну особенность изучения пирамид - с каждым новым исследованием возникает больше новых вопросов, чем ответов.

1.3 Различные трактовки определения пирамиды

Пирамиду Евклид определяет как телесную фигуру, ограниченную плоскостями, которые от одной плоскости (основания) сходятся в одной точке (вершине). Это определение подвергалось критике уже в древности, например, Героном, предложившим следующее определение пирамиды: это фигура, ограниченная треугольниками, сходящимися в одной точке, и основанием которой служит многоугольник. Важнейшим недостатком этого определения является использование неопределенного понятия основания. Тейлор определил пирамиду как многогранник, у которого все грани, кроме одной, сходятся в одной точке. Лежандр в "Элементах геометрии" так определяет пирамиду: "Телесная фигура, образованная треугольниками, сходящимися в одной точке и заканчивающаяся на различных сторонах плоского основания". После этой формулировки разъясняется понятие основания. Определение Лежандра является явно избыточным, т.е. содержит признаки, которые можно вывести из других. А вот еще одно определение, которое фигурировало в учебниках XIX века: пирамида - телесный угол, пересеченный плоскостью.

Чаще всего учащиеся сталкиваются со следующим определением, которое я считаю самым объективным:

Пирамидой называется многогранник, который состоит из плоского многоугольника, - основания пирамиды, точки, не лежащей в плоскости основания, - вершины пирамиды и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания.

Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Каждая боковая грань - треугольник. Одной из его вершин является вершина пирамиды, а противолежащей стороной - сторона основания пирамиды.

1.3.1 Правильная пирамида

Определение: Пирамида называется правильной, если ее основанием является правильный многоугольник и вершина пирамиды проектируется в центр основания.

Очевидно, у правильной пирамиды боковые ребра равны; следовательно, боковые грани - равные равнобедренные треугольники. Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой.

Пусть SABCDE - правильная пятиугольная пирамида (рис. 3). Тогда по определению ее основание ABCDE - правильный плоский пятиугольник; центр основания пирамиды O- основание высоты пирамиды SO.



Рис. 3

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из вершины пирамиды, называется апофемой.

Например, SK - апофема правильной пирамиды.

При повороте вокруг прямой OS на 360?/5 правильный многоугольник ABCDE каждый раз совместится с собой, тогда совместится с собой и пирамида. Значит, прямая, на которой лежит высота правильной n-угольной пирамиды, есть ее ось симметрии n-го порядка.

Отсюда следует, что у правильной пирамиды:

1. боковые ребра равны

2. боковые грани равны

3. апофемы равны

4. двугранные углы при основании равны

5. двугранные углы при боковых ребрах равны

6. каждая точка высоты равноудалена от всех вершин основания

7. каждая точка высоты равноудалена от всех боковых граней.

1.3.2 Симметрия правильной пирамиды

1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания - плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 4).



Рис. 4

2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания - ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 4 а)).

Рис. 4 а)

1.3.3 Усеченная пирамида

Теорема 1: Плоскость, пересекающая пирамиду и параллельная ее основанию отсекает подобную пирамиду.

Рис. 5

Доказательство:

Пусть S - вершина пирамиды, A - вершина основания и A1 - точка пересечения секущей плоскости с боковым ребром SA (рис. 5). Подвергнем пирамиду преобразованию гомотетии (фр. homothetie греч. homos равный, одинаковый, общий + thetos расположенный) относительно вершины S с коэффициентом гомотетии:

k = SA1/SA

При этой гомотетии плоскость основания переходит в параллельную плоскость, а следовательно, вся пирамида - в отсекаемую этой плоскостью часть. Так как гомотетия есть преобразование подобия, то отсекаемая часть пирамиды является пирамидой подобной данной. Теорема доказана.

По теореме плоскость, параллельная плоскости основания пирамиды и пересекающая ее боковые ребра, отсекает от нее подобную пирамиду. Другая часть представляет собой многогранник, который называется усеченной пирамидой. Грани усеченной пирамиды, лежащие в параллельных плоскостях, называются основаниями; остальные грани называются боковыми гранями. Основания усеченной пирамиды подобные многоугольники, их стороны попарно параллельны, поэтому боковые грани - трапеции. пирамида геометрия теорема объем

1.3.4 Правильная усеченная пирамида

Усеченная пирамида называется правильной, если она составляет часть правильной пирамиды (рис. 6).



Рис. 6

Высота боковой грани правильной усеченной пирамиды называется апофемой.

Например, KK1 - апофема правильной усеченной пирамиды. Прямая OO1 называется осью правильной усеченной пирамиды.

1.4 Высота пирамиды

Высотой пирамиды называется перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды на ее основание. Длина этого перпендикуляра обозначается буквой H.

Теорема 2: Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее высота проходит через центр круга, описанного вокруг основания.

Доказательство: Пусть SO - высота пирамиды. Поскольку все боковые ребра равны, то равны их проекции на плоскость основания, то есть

OA = OB = OC = ....

Итак, O - центр круга, описанного вокруг основания.



Рис. 7

Теорема 3: Если все боковые грани пирамиды одинаково наклонены к плоскости основания, а высота проходит внутри пирамиды, то высота проходит через центр вписанного в основание пирамиды круга.

Доказательство: Пусть SO - высота пирамиды. Проведем перпендикуляры из точки O на стороны основания. Пусть ON и OM - два таких перпендикуляра; SMO и SNO - линейные углы двугранных углов при ребрах AB и BC основания пирамиды. По условию,

SMO = SNO,

следовательно

ДSMO = ДSNO и OM = ON.

Аналогично доказывается, что точка O одинаково удалена от всех сторон основания. Следовательно, она является центром вписанного в основание круга.



Рис. 8

Если в основании пирамиды лежит тупоугольный треугольник, то высота этой пирамиды лежит во внешней области, т.к. центр описанной окружности вокруг тупоугольного треугольника лежит вне треугольника.

Если в основании пирамиды лежит остроугольный треугольник, то высота находится во внутренней области пирамиды.

1.5 Площадь пирамиды

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна произведению полупериметра основания на апофему.

Если сторона основания а, число сторон n, то боковая поверхность пирамиды равна:

a•l•n/2 =a•n•l/2=pl/2

где l - апофема, а p - периметр основания пирамиды. Теорема доказана.

Sбок = pl/2

Площадь полной поверхности пирамиды вычисляется по формуле:

Sполн = Sбок + Sосн

Если пирамида неправильная, то ее боковая поверхность будет равна сумме площадей ее боковых граней.

1.5.1 Площадь боковой и полной поверхности усеченной пирамиды

Теорема 4: Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.

Дано: n-угольная правильная усеченная пирамида, l - апофема, p и p1 - периметры оснований.

Доказать:

Sбок = Ѕ(p+p1) •l

Доказательство: В правильной усеченной пирамиде все боковые грани - равные между собой трапеции. Пусть основания трапеции a и a1, ее высота k, тогда

Sгр. = Ѕ(a + a1)•l,

таких граней n, следовательно,

Sбок = n Ѕ (a + a1) l = Ѕ (na + na1)•l,

т.е. Sбок = Ѕ (p+p1)•l

Теорема доказана.

1.6 Объем пирамиды

Пусть SABC - треугольная пирамида с вершиной S и основанием ABC. Дополним эту пирамиду до треугольной призмы с тем же основанием и высотой (рис. 9). Эта призма составлена из трех пирамид: данной пирамиды SABCD еще двух треугольных пирамид SCC1B1 и SCBB1.

Рис. 9

У второй и третьей пирамид равные основания - ?CC1B1 и ?B1BC и общая высота, проведенная из вершины S. Поэтому у них равные объемы.

У первой и третьей пирамид тоже равные основания - ?SAB и ?BB1C и совпадающие высоты, проведенные из вершины C. Поэтому у них тоже равные объемы.

Значит, все три пирамиды имеют один и тот же объем. Так как сумма этих объемов равна объему призмы, то объемы пирамид равны SH/3.

Итак, объем любой треугольной пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:

V = 1/3•SH

Пусть теперь имеем любую, не обязательно треугольную пирамиду. Разобьем ее основание на треугольники ?1, ?2, …?n . Пирамиды, у которых основаниями являются эти треугольники, а вершинами - вершина данной пирамиды, составляют данную пирамиду. Объем данной пирамиды равен сумме объемов составляющих ее пирамид. Т.к. все они имеют ту же высоту H, что и данная пирамида, то объем ее равен:

V = 1/3•H • (S1 + S2 + …Sn) = 1/3•SH

Итак, объем любой пирамиды равен одной трети произведения площади ее основания на высоту.

V = 1/3•SH

1.6.1 Объем усеченной пирамиды

Теорема 5: Объем усеченной пирамиды равен

V = h/3•(S+S1+vSS1)

Дано: ABCDA1B1C1D1 - усеченная пирамида (рис. 10), S и S1 - площади оснований, h - высота.

Доказать:

V = h/3•(S+S1+vSS1)

Рис. 10

Доказательство: В усеченной пирамиде площадь сечения плоскостью, параллельной основанию, есть квадратная функция от расстояния сечения до этого основания. Значит, применима формула Симпсона:

(1) V = h/6•(Sн + 4Sc+ Sв)

Sн = S, Sв = S1.Найдем Sc.

Пусть A2B2C2D2 - среднее сечение. Примем AB = a, A1B1 = a1, A2B2 = x. Основания и среднее сечение - подобные многоугольники, и потому

S : Sc : S1 = a2 : x2 : a12

отсюда

(2) a : x : a1 = vS : vSc : vS1

AA1B1B - трапеция, x - ее средняя линия, значит,

(3) = (a + a1)/2

Из (2) следует, что

a = mvS, x = mvSc, a1 = mvS1,

где m - общая мера. Подставим эти значения в (3):

mvSc = (mvS + mvS1)/2,

значит,

vSc = (vS + vS1)/2

Sc = (vS + vS1)2/4.

Подставим значения Sн, Sв и Sc в (1):

V = h/6•[S + (vS + vS1)2 + S1] = h/6[S + S + 2vSS1 + S1 + S1],

т.е. V = h/3•(S+S1+vSS1)

Глава 2. Взаимосвязь пирамиды с плоскостью и сферой

2.1 Сечения пирамиды плоскостью

Наиболее доступными и эффективными в практике преподавания геометрии в средней школе являются следующие три метода построения сечений многогранников:

1. Метод следов.

2. Метод вспомогательных сечений.

3. Комбинированный метод.

2.1.1 Метод следов

В общем случае секущая плоскость пересекает плоскость каждой грани многогранника и каждую из прямых, на которых лежат ребра многогранника. Прямую, по которой секущая плоскость пересекает плоскость какой-либо грани многогранника, называют следом секущей плоскости на плоскости этой грани, а точку, в которой секущая плоскость пересекает прямую, содержащую какое-нибудь ребро, называют следом секущей плоскости на этой прямой. Если секущая плоскость пересекает непосредственно грань многогранника, то можно также говорить о следе секущей плоскости на грани и аналогично говорить о следе на ребре.

След секущей плоскости на плоскости нижнего основания условимся ради краткости речи называть просто следом секущей плоскости. С построения именно этого следа чаще всего начинают построение сечения многогранника.

Способы задания сечения весьма разнообразны. Наиболее распространенным из них является способ задания секущей плоскости тремя точками, не лежащими на одной прямой.

В тех случаях, когда сечение строится с помощью следа на плоскости нижнего основания, задавая три точки, принадлежащие непосредственно секущей плоскости, следует указать их таким образом, чтобы проекции этих точек на плоскость нижнего основания (вторичные проекции) строились однозначно. Сделать это можно, например, если указать, на каком ребре лежит заданная точка или в какой грани и т. д.

При этом, если многогранником, сечение которого строится, является призма, то проектирование (внутреннее) на плоскость нижнего основания выполняется параллельное. Его направление определяется боковым ребром призмы. Если же многогранником является пирамида, то выполняется центральное (внутреннее) проектирование на плоскость основания. Центром проектирования является вершина пирамиды, в которой сходятся все боковые ребра.

Рассмотрим пример.

Пример. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка Р, в грани SAB - точка Q, а внутри пирамиды, в плоскости SBD, задана точка R (рис.11). Построить след секущей плоскости PQR.

Рис. 11

Решение. Выполним проектирование точек Р, Q и R на плоскость ABC, приняв вершину S за центр проектирования. Получим точку Р', совпадающую с точкой С, точку Q'-- на ребре ЛВ и точкуR' - на диагонали BD.

Так как прямые РР' и QQ' пересекаются, то они лежат в одной плоскости. Тогда в одной плоскости лежат также прямые PQ и P'Q'. Найдем точку S₁ - точку пересечения этих прямых. Точка S₁ по построению лежит на прямой PQ, т. е. лежит и в секущей плоскости. Вместе с тем точка S₁ лежит и на прямой P'Q', т. е. лежит в плоскости основания. Таким образом, точка S₁ лежит на линии пересечения секущей плоскости с плоскостью основания, т. е. на следе секущей плоскости.

Аналогично строится точка S₂ - точка пересечения прямых PR и Р'R'. Точка S₂ также лежит на следе секущей плоскости.

Итак, следом секущей плоскости является прямая S₁ S₂.

2.1.2 Метод вспомогательных сечений

Этот метод в достаточной мере является универсальным и имеет определённые преимущества по сравнению с методом следов в тех случаях, когда нужный след секущей плоскости оказывается за пределами чертежа. Вместе с тем построения при использовании этого метода получаются "скученными", так как все они выполняются внутри многогранника.

Рассмотрим пример.

Пример. На ребре SC пирамиды SABCD задана точка Р, а в гранях SAB иSAD,заданы соответственно точки R и Q (рис. 12). Построить сечение пирамиды плоскостью PQR.

Решение (рис.12). 1. Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку S и какие-нибудь две из трех заданных прямых, например через прямые РР' и QQ'т. е. плоскостью SCQ'.

2. Будем искать теперь след плоскости PQR на прямой SD.

Для этого построим второе вспомогательное сечение пирамиды. А именно ее сечение плоскостью, проходящей через третью заданную прямую RR' и боковое ребро SD, на котором мы хотим найти след плоскости PQR.



Рис. 12

3. Строим прямую SF, по которой пересекаются плоскости вспомогательных сечений SCQ' и SDR', и затем точку F₁, в которой пересекаются прямые PQ и SF.

4. Так как точка F₁ лежит на прямой PQ, то она лежит и в секущей плоскости PQR. Тогда и прямая RF₁ лежит в секущей плоскости. Это значит, что точка V, в которой пересекаются прямые RF₁ и SD, также лежит в плоскости PQR, т. е. точка V - след плоскости PQR на ребре SD.

5. Осталось построить след плоскости PQR на прямой SB. Это можно сделать, не обращаясь ни к методу следов, ни к методу вспомогательных сечений. Следом секущей плоскости на плоскости SAD является прямая VQ. Проведя ее, получим точку U - след плоскости PQR на ребре SA, затем прямую UR - след плоскости PQR на плоскости SAB, затем точку Т - след секущей плоскости на ребре SB. Получим PVUT- искомое сечение.

2.1.3 Комбинированный метод

Суть этого метода состоит в применении теорем о параллельности прямых и плоскостей в сочетании с, методом следов, или с методом вспомогательных сечений, или с обоими этими методами. Прежде чем привести примеры применения комбинированного метода при построении сечений многогранников, рассмотрим решение вспомогательной задачи.

Пример. На ребрах SB и SC пирамиды SABCD заданы соответственно точки K и Р (рис.13). Построим прямую, проходящую через точку K, параллельно прямой АР.

Решение. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку К и прямую АР, т. е. плоскостью, заданной тремя точками K, А и Р.

Рис.13

Для этого, как обычно, строим след секущей плоскости. В рассматриваемом примере это прямая S₁A. Строим далее сечение AKPS₂ и в плоскости этого сечения через точку K проводим прямую KF, параллельную прямой АР.

Прямая KF - искомая прямая.

Пример. На ребрах AВ, SC и SA пирамиды SABC заданы соответственно точки Р,Q и R.Построить сечения пирамиды следующими плоскостями:

а) плоскостью, проходящей через прямую PQ, параллельно прямой СR;

б) плоскостью, проходящей через прямую СR, параллельно прямой PQ.

Решение а) (рис.14, а). В плоскости SAC, проходящей через прямую CR и точку Q, проведем прямую QVCR, а затем построим сечение пирамиды плоскостью PQV (следом этой плоскости является прямая S₁P). Плоскость PQV проходит через прямую PQ и параллельна прямой CR, поэтому, многоугольник PVQS₂ - искомое сечение.

Решение б) (рис.14, б). Построим вспомогательное сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую, PQ и точку R (прямая S₁P - след этой плоскости, многоугольник RQS₂P- сечение), а затем в плоскости этого сечения через точку R проведем прямую RS₃¦PQ. Прямыми CR и RS₃ определится тогда искомая секущая плоскость. Следом искомой секущей плоскости является прямая S₃C, а треугольник СRS₄ - искомое сечение.

Рис.14

Пример. На ребре CD правильной четырехугольной пирамиды SABCD взята точка Е - середина этого ребра - и через точки S, В и Е проведена секущая плоскость а. Высота пирамиды равна половине диагонали ее основания. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через прямую BD, перпендикулярно плоскости .

Решение (рис.15, а). Если из какой-нибудь точки прямой BD опустить перпендикуляр на плоскость SBE, то плоскость, проходящая через этот перпендикуляр и прямую BD, будет искомой плоскостью. Проще всего опустить перпендикуляр на плоскость SBE из точки О прямой BD. Построение этого перпендикуляра выполним с помощью выносных чертежей (рис.15, б, в).

Построим квадрат A₀B₀D₀ (рис. 15, б). Построим точку O₀, в которой пересекаются диагонали квадрата, и проведем прямую B₀E₀, где точка E₀ - середина стороны C₀D₀. Через точку O₀, проведем (точно) прямую O₀F₀, перпендикулярную прямой B₀E₀.

С помощью луча l₁, на котором построены отрезки BF' = B₀F₀ и ВЕ' = B₀E₀, найдем на прямой BE точку F и проведем прямую OF. Прямая OF является изображением прямой, перпендикулярной прямой BE, или, как обычно, будем говорить короче: OF+BE. Соединим затем точку S с точкой F.

Перейдем теперь к построению треугольника, имеющего форму оригинала треугольника SOF (рис.15, в). В качестве оригинала стороны OF примем отрезок O₀F₀, полученный на рисунке, б.

Так как по условию

SO=AC/2,

то оригиналом стороны SOтреугольника SOF является отрезок A₀O₀, полученный также на рисунке, б. Итак, построим прямоугольный треугольник S₀O₀F₀ по двум катетам. Затем из точки O₀ опустим перпендикуляр O₀X₀, на гипотенузу S₀F₀.

Точка разделит гипотенузу S₀F₀ в некотором отношении S₀Х₀: S₀F₀.

С помощью луча l₂, на котором построим отрезки SX' = S₀Х₀ и SF" = S₀F₀ найдем на прямой SF точку X, которую соединим с точкой О.



Рис.15

Ясно, что так как SO+АВС, то S0+BE. Но и OF+BE. Таким образом, прямая BE перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости SOF, и в частности BE+ОХ. Или, наоборот, ОХ+ВЕ. И по построению OX+SF. Значит, прямая ОХ перпендикулярна плоскости SBE. Поэтому плоскость, проходящая через прямые ОХ и BD, будет искомой.

Находим точку L, в которой прямая ВХ пересекает прямую SE, и в плоскости SCD проводим прямую DL. Получаем на прямой SC точку М, которую соединим с точкой В.

Треугольник BMD - искомое сечение.

Пример. В основании пирамиды SABC лежит прямоугольный треугольник ABC, ребро SC перпендикулярно плоскости основания и отношение ребер CA:CB:CS=v2:v2:1. На ребрах АВ и ВС взяты соответственно точки D и Е - середины этих ребер. Построить сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку E, перпендикулярно прямой SD.

Рис.16

Решение. Геометрический способ (рис. 16, а) . Построим сначала сечение пирамиды плоскостью, проходящей через вершину С, перпендикулярно прямой SD. С этой целью соединим точку С с точкой D и определим вид треугольника SCD. Его сторона CD является медианой прямоугольного треугольникаABC, т. е.

CD= 1/2AB.

Но AB=,

где по условию

CA=CB=.

Таким образом,

АВ==2CS.

Значит,

CD = CS.

Тогда медиана СМ равнобедренного треугольника SCD перпендикулярна его стороне SD.

Проведем в плоскости SAВ через точку М прямую PQ¦AB. Ясно, что в треугольнике SABSA = SB, т. е. его медиана SD перпендикулярна стороне АВ. Значит, SD+PQ.

Таким образом, по построению SD+CM и по доказанному SD+PQ. Поэтому прямая SD перпендикулярна секущей плоскости CPQ, т. е. и плоскость CPQ перпендикулярна прямой SD.

Теперь построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку E, параллельно плоскости CPQ. Ясно, что эта плоскость будет пересекать плоскости граней SBC, SAB и SACпо прямым, параллельным соответственно прямым CP, PQ и QC. Итак, в плоскости SBC через точкуЕ проведем EF¦CP, затем в плоскости SAB через точку F проведем FK¦PQ и в плоскости SAC через точкуК - прямую KL¦CQ. Точку L соединим с точкой Е.

Четырехугольник EFKL - искомое сечение.

Векторно-координатный способ. Воспользовавшись тем, что прямые СA, СВ и CS попарно перпендикулярны, и приняв CS=1, введем в пространстве прямоугольную систему координат C_XYZ, как показано на рисунке 16, б. Найдем затем координаты точек А, В, D, Е и вектора SD. Получаем А(v2; 0; 0), В (0; v2; 0), D(v2;v;20), E(0; v2;0), SD(v2;v2;-1).

Вектор SD является нормальным вектором плоскости искомого сечения. Таким образом, уравнение секущей плоскости будет следующим:

(x - 0) + (y-) +(z - 0)(- 1) = 0,

или v2x + v2y - 2z - 1 =0. (*)

Для построения плоскости (*) найдем точки пересечения ее с осями C_X и C_Y. Если плоскость (*) пересекает ось C_X в точке L, то L(x; 0; 0). Подставляя координаты точки L в уравнение (*), находим что

x = .

Значит L (v2;0;0) т. е. точка L - середина ребра СА.

Если далее плоскость (*) пересекает ось C_Z в точке N,то N(0; 0;1). Из уравнения (*) находим, что z= -1. Значит, N (0; 0; 1). Построим теперь искомое сечение. В плоскостиSBC проведем прямую NE и найдем точку F, в которой прямая NE пересекает прямую SB. Аналогично в плоскости SAC проведем прямую NL и найдем точку К. Затем точку F соединим с точкой K, а точку L - с точкой E.

Четырехугольник EFKL - искомое сечение.

Пример. Боковые грани правильной пирамиды SABCD - равносторонние треугольники. Построим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точку F - середину медианы DE боковой грани SCD, перпендикулярно этой медиане.

Решение (рис.17). Так как прямая DE перпендикулярна секущей плоскости б, то прямая DE перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости б, и в частности прямой S₁N, по которой пересекаются плоскость б и плоскость грани SCD.

HoDE+SC, так как DE - медиана равностороннего треугольника. Таким образом, ясно, что S₁N |C.

Рис.17

Попытки найти геометрическим способом линии пересечения секущей плоскости с плоскостями других граней пирамиды наталкиваются на значительные затруднения. Обратимся к какому-нибудь другому способу решения, например к векторно-координатному.

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат O_XYZ, как показано на рисунке. Вектор ОС примем за единичный вектор оси O_X. Тогда вектор OD можно принять за единичный вектор оси O_X.

В равнобедренном прямоугольном треугольнике OCDCD = . Это значит, что и SC=, а в прямоугольном треугольнике

SOCOS== 1.

Таким образом, вектор OS можно принять за единичный вектор оси O_Z. Находим затем координаты точек С, S, D,Е и F: С(1; 0; 0); S (0; 0; 1), D(0; 1; 0), E (; 0; ),F ().

Принимая вектор DE(; - 1; )) за нормальный векторсекущей плоскости, а точку Т(x, y, z) - за ее текущую точку и записывая условие в координатной форме, получаем уравнение плоскости б:

,

или .

Построим теперь сечение пирамиды плоскостью б. Полагая в уравнении плоскости бx = 0 и z = 0, найдем, что. Таким образом, плоскость б пересекает осьO_X в точке .

Это значит, что основание пирамиды плоскость б пересекает по прямой. Находя далее точку, в которой прямаяпересекает сторону АВ, и точку, в которой прямаяпересекает сторону AD, строим искомое сечение - четырехугольник.

2.2 Вписанная и описанная сфера

Рис.18

Теорема 6:Около пирамиды можно описать сферу, если и только если около ее основания можно описать окружность.

Доказательство. Пусть около основания пирамиды описывается окружность. Тогда эта окружность и точка вне плоскости этой окружности - вершина пирамиды - определяют единственную сферу, которая и будет описанной около пирамиды. И обратно. Если около пирамиды описана сфера, то сечение сферы плоскостью основания пирамиды есть окружность, описанная около основания.

Следствие 1. Около всякого тетраэдра можно описать сферу.

Следствие 2. Около всякой правильной пирамиды можно описать сферу, центр которой лежит на высоте пирамиды или ее продолжении.

Центр сферы, описанной около пирамиды, может находиться:

· с вершиной пирамиды по одну сторону от плоскости ее основания - внутри пирамиды, в плоскости боковой грани (в центре описанной около этой грани окружности), вне пирамиды;

· в плоскости основания - в центре описанной около основания окружности;

· с вершиной пирамиды по разные стороны от плоскости ее основания.

Теорема 7: Если боковые рёбра пирамиды равнонаклонены к плоскости её основания, то около пирамиды можно описать сферу.

Доказательство. Поскольку боковые ребра равнонаклонены к плоскости основания пирамиды, то около основания пирамиды можно описать окружность, а тогда около пирамиды можно описать сферу.

Эту теорему можно сформулировать иначе: если пирамида имеет равные боковые ребра, то около пирамиды можно описать сферу.

Обратная теорема не верна

Теорема 8: Если около пирамиды описан шар, то его центр является точкой пересечений всех плоскостей, проведенных через середины ребер пирамиды перпендикулярно к этим ребрам.

Доказательство. В самом деле, любая точка, равноудаленная от двух вершин пирамиды, прилежащих к одному ребру, лежит в плоскости, проведенной перпендикулярно к этому ребру пирамиды через его середину. Поэтому центр описанного шара, будучи равноудаленным от всех вершин пирамиды, должен находиться в каждой из таких плоскостей, т.е. он является точкой пересечения всех этих плоскостей. При выполнении чертежа школьники часто помещают центр описанного шара наугад, не представив себе достаточно хорошо данной пространственной конфигурации и тем более не проводя никаких рассуждений о положении этого центра. При этом, как правило, центр ставится внутри пирамиды. Между тем центр описанного шара может лежать и внутри, и вне, и на поверхности пирамиды (в зависимости от конкретного вида пирамиды).

Теорема 9: Около усеченной пирамиды можно описать сферу, если и только если выполняется любое из условий:

a) около оснований пирамиды описываются окружности, линия центров которых перпендикулярна их плоскостям;

b) все боковые ребра пирамиды равнонаклонены к плоскости одного из оснований;

c) все боковые ребра пирамиды равны между собой;

d) все боковые грани пирамиды - равнобочные трапеции.

Доказательство. Пусть около оснований данной усеченной пирамиды можно описать окружности, и плоскости этих окружностей перпендикулярны линии их центров. Тогда, как известно, такие две окружности определяют единственную сферу, которая и будет описанной около данной пирамиды.

Пусть, наоборот, около данной усеченной пирамиды описана сфера. Тогда сечения сферы плоскостями оснований пирамиды будут окружности, описанные около оснований. Далее. Прямая, перпендикулярная плоскостям оснований пирамиды и проходящая через центр сферы, пройдет через центры окружностей, описанных около оснований.

Условие a) равносильно условиям b), c),d).

Следствие. Около всякой правильной усеченной пирамиды можно описать сферу.

Задача. Расстояние от центра О шара радиуса 12, описанного около правильной четырехугольной пирамиды, до бокового ребра равно 4v2. Найти:

1) высоту пирамиды;

...