2) расстояние от точки О до боковой грани пирамиды;

3) радиус вписанного в пирамиду шара.

Решение.

Рис.19

Пусть АВСD- основание пирамиды, S- её вершина, К и Е- середины соответственно DC и АС, О 1- центр вписанного в пирамиду шара, r- его радиус, М и N- основания перпендикуляров, опущенных из точки О на SK и SC, P принадлежит SK и О 1Р+ SK, SЕ=h. Тогда ОМ= ОЕ= r, ОS= ОС= 12, ОN= =4v2, SN= NC, SN= vOS2- ON2= v144- 32= 4v7, SC=8v7.

Обозначим <ESK=б, <ESC=в. Тогда

cos в=SN:SO=?7:3, sin в=?2:3.

H= SE=SC*cos в=56/3, ЕС=SC sinв= 8?14/3.

ЕК= ЕС/v2=8v7/3, tgб=EK/SE=1/v7.

сos б=?7/8, sin б=?2/4.

Расстояние от точки О до боковой грани пирамиды равно ОМ, где ОМ= SО sin б= 3?2.

Из ? SОМ находим

r/(h- r)=sin б,

откуда

r=hsinб:(1+ sinб)=8/3(2?2-1).

Ответ: 1) 56/3; 2) 3v2; 3) 8/3(2v2-1).

Задача. Найти радиус сферы, описанной около правильного тетраэдра с ребром а.



Центр шара, описанного вокруг правильной пирамиды лежит на высоте, т.е. причем М - центр описанной окружности вокруг правильного треугольника АВС, следовательно

,

где m - медиана треугольника АВС.

I способ решения. Рассмотрим ? АОМ - прямоугольный:

.

По теореме Пифагора имеем

.

.

. (1)

Из треугольника AMD найдем высоту h:

.

Подставив в равенство (1), получим:

.

Ответ:

II способ решения. Радиус описанного шара можно найти из треугольника АОD, воспользовавшись теоремой косинусов.

(из ). .

По теореме косинусов имеем:

.

III способ решения. Радиус описанной сферы можно найти по теореме синусов, с этой целью необходимо найти такой треугольник, в котором искомый радиус является радиусом описанной окружности. В нашей задаче придется построить для точки А точку, симметричную относительно точки М. Эту точку обозначим .

- равнобедренный, т.к. - радиус описанной окружности. Тогда по теореме синусов имеем:

. .

Работая с треугольником , радиус описанной окружности можно найти из формул площади треугольника:

или .

IV способ решения. Для нахождения радиуса описанной окружности можно воспользоваться теоремой о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике. Продолжим высоту DM до пересечения со средой,

.

Треугольник AND является прямоугольным, т.к. вписанный угол DAN опирается на диаметр, AM - перпендикуляр, проведенный из вершины прямого угла на гипотенузу, следовательно

(2).

Обозначим MN = x, тогда

DM + MN = 2R;

H + x = 2R.

Воспользуемся равенством (2) и выразим MN:

; ; .

Рис.22

Ответ: .

Задача. В треугольной пирамиде SАВС ребро ВС равно а, АВ=АС, ребро SА перпендикулярно к основанию АВС пирамиды, двугранный угол при ребре SА равен 2б, а при ребре ВС равен в (рис. 23). Найти радиус описанного шара.

Рис.23

Решение. Рассмотрим пирамиду SАВС. Поскольку ребро SA перпендикулярно к плоскости основания, то ВАS=CAS= 90°, а потому угол ВАС является линейным углом двугранного угла при ребре SA. Таким образом, в основании пирамиды лежит равнобедренный треугольник с углом 2b при вершине, а высота пирамиды совпадает с ребром SА.

Так как проекции боковых ребер SB и SС на плоскость основания равны, то и сами эти ребра равны. Поэтому грань ВSС - равнобедренный треугольник, и его высота, опущенная из вершины S, попадает в середину К ребра ВС. По теореме о трех перпендикулярах АК - высота треугольника ВАС. Отсюда ясно, что угол SКА - линейный угол двугранного угла при ребре ВС, т. е. SКА = в.

Центр описанного шара лежит на пересечении прямой l, перпендикулярной к плоскости ВSСи проходящей через центр окружности, описанной около треугольника ВSС, с плоскостью, проходящей через середину ребра АSперпендикулярно к нему. Прямая lлежит в плоскости АSК: в самом деле, плоскость ВSС проходит через прямую ВС, перпендикулярную к плоскости АSК, т. е. плоскости ВSС и АSК перпендикулярны; в то же время прямая l перпендикулярна к плоскости ВSС и проходит через линию пересечения этих плоскостей, так что она лежит в плоскости АSК.

Итак, центр шара лежит в плоскости АSК. Вынесем эту плоскость на специальный чертеж. Центр шара О будет тогда лежать на пересечении прямой l и прямой m, перпендикулярной к АS и проходящей через его середину. Но, вообще говоря, могут представиться три возможности: прямые l и т пересекаются внутри, или вне треугольника АSК или на его стороне, и нам придется рассмотреть все эти возможности (см. рис. 24, 25, 26). Ниже, в ходе выкладок, мы покажем, что две из них на самом деле не осуществляются. Нас интересует радиус R описанного шара, т.е. расстояние от точки О - точки пересечения перпендикуляров т и l к сторонам угла КSА - до точки S, вершины этого угла. Прежде всего отыщем SL - проекцию искомого расстояния на сторону SK треугольника KAS. Так как в треугольнике АКB(рис. 23) нам известен катет ВК=a и угол КАВ = b, то

АК=а ctgb.

Рис.24



Рис.25

Рис.26

Далее, из треугольника КАS имеем

SK= .

Так как L-- центр описанной около треугольника ВSС окружности, то LS=LВ, aпотому из треугольника ВКLнаходим, что

(SК-SL)2+КВ 2=ВL2, т. е.

SL=.

Отметив, что проведенные вычисления отрезка SLникак не зависели от местоположения центра О описанного шара, вернемся к рис. 24, 25, 26. Обозначим через N точку пересечения прямой m со стороной SК. Ясно, что прямые l и т пересекаются вне треугольника КАS, если SN<SL (рис. 24); если же SN >SL, то точка О лежит внутри этого треугольника (рис. 25); наконец, если SN = SL, то точка О лежит на стороне SК этого треугольника (рис. 26). Выясним, какое из этих положений имеет место на самом деле.

Так как МN-- средняя линия треугольника КАS, то SN = SК. Сравнивая длины отрезков SN и SL, без труда докажем, что при любых а, bвыполняется неравенство:

(из геометрических соображений следует, чтоа > 0, 0° <<90° и 0° <в< 90°). Следовательно, каковы бы ни были размеры а, б и в пирамиды SАВС, центрОописанного шара всегда лежит вне пирамиды. Это в свою очередь означает, что вынесенная нами плоская конфигурация в плоскости КАSможет иметь лишь вид, указанный на рис 25; расположения, изображенные на рис. 24 и 26, в действительности иметь места не могут. Рассматривая рис. 25, легко покажем, что = b, а потому

LO = NLtgb = (SL--SN)tgb.

Подставляя сюда полученные выше выражения для SL и SN, получаем после очевидных вычислений:

LО = аtgbsinb.

Наконец, из прямоугольного треугольника ОLSнаходим: R

Kак видим, выкладки в задаче оказались простыми - главная трудность решения лежит в рассуждениях, устанавливающих положение центра описанного шара.

Ответ:

R= .

Задача. В шар радиуса R вписана правильная треугольная пирамида с плоским углом б при вершине. Найти объем пирамиды, а также боковую поверхность конуса, описанного около указанной пирамиды.

Рис.27

Решение. Пусть сторона основания пирамиды равна a, радиус основания конуса, описанного около этой пирамиды равен r, тогда

(рис. 10). Грани пирамиды - равнобедренные треугольники. Тогда DK - высота, медиана и биссектриса DABD. Из прямоугольного треугольника ADK имеем

.

Высоту пирамиды найдем из прямоугольного треугольникаAOD:

,

.

DM - диаметр шара. Тогда в сечении шара, проходящем через диаметр DM и точкуА, получим прямоугольный треугольник AMD. Из метрических соотношений в прямоугольном треугольнике имеем

,

Тогда площадь основания найдем по формуле:

.

И из формулы находим объем пирамиды:

.

Ребро AD по определению описанного конуса является его образующей. Тогда найдем боковую поверхность описанного конуса по формуле

Sбок = prl:

.

Ответ:

; .

Задача. В правильную четырехугольную пирамиду вписан шар. Расстояние от центра шара до вершины пирамиды равно в, угол наклона боковой грани к плоскости основания равен б. Найти объем пирамиды.

Решение.

Vп=? Sосн*h,

где Sосн=АВ 2, т.к. пирамида правильная, h=РН (высота пирамиды). Проведем апофему пирамиды РК, тогда угол РКН будет равен двугранному углу при основании пирамиды РСДА и равен б. (рис.2)

Проведем отрезок ОЕ перпендикулярный РК, треугольники РОЕ и РНК будут подобными по двум углам, следовательно, <РОЕ= б.

1. ?РОЕ- прямоугольный, тогда

ОЕ= в cosб; РЕ= в sinб,

но ОЕ=R=ОН

- радиус вписанного шара, следовательно,

РН= в+ в cosб= в(1+cosб)=2в cos2б/2.

2. ?РНК- прямоугольный:

НК=РН*ctg б= 2в cos2б/2* ctg б.

Отсюда сторона квадрата АВСД равна

4в cos2б/2* ctg б= 2в cosб* ctg б/2.

3. Sосн=4 в 2cos2б* ctg2 б/2

4. Vп=?*4 в 2cos2б* ctg2 б/2*2в cos2б/2= 4/3 в 3sinб cos2б ctg3 б/2.

Ответ:

Vп=4/3 в 3sinб cos2б ctg3 б/2.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Рис.28

Заключение

При выполнении выпускной квалификационной работы была изучена литература по указанной теме. Опираясь на источники, мною проанализированы и рассмотрены задачи, связанные с пирамидой, а так же её взаимосвязь с плоскостью и сферой. Даны различные трактовки определения пирамиды со времён Евклида до наших дней, а так же выделены её основные свойства и характеристики.

Список литературы

1. А.Г. Цыпкин, Г.Г. Цыпкин "Математические формулы". Москва."Наука".1985

2. Я.П. Понарин. Элементарная геометрия. Том 2. Стереометрия, преобразования пространств

3. Прасолов В.В. Шарыгин И.Ф. - Задачи по стереометрии

4. В.Н. Литвиненко Сборник задач по стереометрии с методами решений

5. В.А. Гусев, В.Н. Литвиненко, А. Г Мордкович Практикум по элементарной математике: Геометрия: Учеб.пособие для студентов физ.-мат. спец. пед. ин-тов и учителей.-- 2-е изд., перераб. и доп.-- М.: Просвещение, 1992.-- 352 с.

6. Климович Г.Ф., "Секреты пирамид", журнал "Мир непознанного", N16, 1997.

7. Стереометрия 10, А. Калинин, Д. Терешин, М.,1996

8. Геометрия 10 - 11, Л. Атанасян, М., 1994

9. И.Ефимова, "Раскрытые тайны пирамид", журнал "Наука и религия", N4, 1997

Размещено на Allbest.ru

...