Функция и ее основные характеристики

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Определение числовой последовательности и ее предела. Свойства сходящихся последовательностей

Если каждому натуральному числу n=1,2,3,… по какому-то закону поставлено в соответствие вещественное число , то множество чисел назыв. числовой последовательн-ю.

Число A называется пределом числовой последовательности {} , если для любого числа ,сущ. такой номер числовой последовательности , зависящий от , что для всех номеров числовой последовательности выполняется условие . Последовательность, которая имеет предел, называется сходящейся. В этом случае пишут .Сходящейся назыв. последовательность, если она имеет предел. Если последовательность не имеет предела, то она назыв. расходящейся. Свойства сходящихся последовательностей

Теорема 1:Всякая сходящаяся последовательность имеет только один предел. Доказательство:Предположим, что последовательность {xn} имеет два предела (а ? b) xn > a, следовательно xn = a + ?n, где ?n элемент бесконечно малой последо-вательности; xn > b, следовательно xn = b + ?n, где ?n элемент бесконечно малой последовательности; Оценим разность данных равенств 0 = a - b + (?n - ?n), обозначим ?n - ?n = ?n, ?n - элемент бесконечно малой последователь-ности, следовательно, ?n = b - a, а это означает, что все элементы бесконечно малой последовательности равны одному и тому же числу b - a, и тогда b - a = 0 по свойству бесконечно малой последовательности, следовательно, b = a, следовательно, последовательность не может иметь двух различных пределов. Теорема 2:Если все элементы последовательности {xn} равны С (постоянной), то предел последовательности {xn}, тоже равен С.

Доказательство: Из определения предела, следует, С = С + 0.Теорема 3:

Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn + уn} также сходится и её предел равен сумме её слагаемых (пределов).

Доказательство:xn > a, след. xn = a + ?n уn > b, след. уn = b + ?n

xn + уn = а + b + (?n + ?n) обозначим ?n - ?n = ?n, следовательно xn + уn = а + b + ?n, ?n элемент бесконечно малой последовательности; след. Следствие: разность двух сходящихся после-довательностей есть последова-тельность сходящаяся, и её предел равен разности их пределов. Теорема 4:Если последовательности {xn} и {уn} сходятся, то и последовательность {xn * уn} также сходится и её предел равен произведению её множителей (пределов). Доказательство: xn > a, следовательно xn = a + ?n уn > b, следовательно уn = b + ?n

xn * уn = (а + ?n)*(b + ?n)=аb+(а ?n + b?n + ?n ?n) обозначим ?n = а ?n + b?n + ?n ?n, где ?n элемент бесконечно малой последовательности, получается xn * уn = ab+ ?n, следовательно, Теорема 5:Если последовательности {xn} и {уn} сходятся к числам а и b соответственно, и если b ? 0, предел частного { сущ., конечен и равен частному пределов.

2. Предел функции одной переменной в точке

Односторонние пределы. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ? > 0 существует ? > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x - a| < ?, x ? a, выполняется неравенство |f (x) - A| < ?. Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности {xn} такой, что xn?a, сходящейся к числу a, соответствующая последовательность значений функции {} сходится к числу A. Односторонние пределы. Число А называется левым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ? можно найти зависящее от этого ? положительное число ?, что для всех значений аргумента меньших чем х0 и отличающихся от него на величину меньшую ?, значения функции отличаются от числа А на величину, меньшую чем ?:( ? > 0 ) ( ? = ? (?) > 0 ) ( x0 - ? < x < x0) : | f (x) - A | < ?. Число B называется правым пределом функции f (x) в точке х0, если для любого как угодно малого положительного числа ? можно найти зависящее от этого ? положительное число ?, что для всех значений аргумента больших, чем х0 и отличающихся от него на величину меньшую чем ?, значения функции отличаются от числа В на величину, меньшую чем ?: ( ? > 0 ) ( ? = ? (?) > 0 ) ( x0< x < x0+ ?) : | f (x) - В | < ? Левый и правый пределы функции в данной точке условно записывают как Последовательность с бесконечным пределом назыв. бесконечно большой.

Теорема. Функция f (x) имеет в точке х0 конечный предел тогда и только тогда, когда в этой точке существуют конечные правый и левый пределы, и они равны. В этом случае предел функции равен односторонним пределам. Бесконечно большие и бесконечно малые функции. Бесконечно малые функции. Определение. Функция f(x) называется бесконечно малой при х>а, где а может быть числом или одной из величин ?, +? или -? , если . Бесконечно малой функция может быть только если указать к какому числу стремится аргумент х. При различных значениях а функция может быть бесконечно малой или нет. Теорема. Для того, чтобы функция f(x) при х>а имела предел, равный А, необходимо и достаточно, чтобы вблизи точки х = а выполнялось условие

f(x) = A + a(x)

где a(х) - бесконечно малая при х>а (a(х)>0 при х>а).

Свойства бесконечно малых функций. Сумма фиксированного чис-ла бесконечно малых функций при х>а тоже бесконечно малая функция при х>а. Произведение фиксированного числа бесконечно малых функций при х>а тоже бесконечно малая функция при х>а. Произведение бесконечно малой функции на функцию, ограниченную вблизи точки х = а является бесконечно малой функцией при х>а. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, предел которой не равен нулю есть величина бесконечно малая. Бесконечно большие функции и их связь с бесконечно малыми

Определение. Предел функции f(x) при х>а, где а- число, равен бесконечности, если для любого числа М>0 существует такое число ?>0, что неравенство |f(x)|>M выполняется при всех х, удовлетвор-х условию 0 < |x - a| <? Записывается.

Определение. Функция называется бесконечно большой при х>а, где а - число или одна из величин ?, +? или ?, если , где А - число или одна из величин ?, +? или -?.Связь бесконечно больших и бесконечно малых функций осуществляется в соответствии со следующей теоремой. Теорема. Если f(x)>0 при х>а (если х>? ) и не обращается в ноль, то

3. Основные правила вычисления пределов. Замечательные пределы

Подставить в выражение предельное значение аргумента. Определить есть или нет неопределенность. Если нет, дать ответ. Если неопределенность есть, то по ее виду выбрать одно из правил устранения этой неопределенности. Преобразовать выражение сог-ласно выбранному правилу, и к новой форме предела применить данный алгоритм, начиная с Правило 1.

В числителе и знаменателе вынести x в max степени, если это возможно. Заметим, чт

=0, а

где c - любое число.

Правило 2.

Числитель и знаменатель разделить одновременно на (x-), если это возможно.

Необходимо иметь в виду, что

,a

где c - число, отличное от нуля. Правило 3. При вычислении пределов от иррациональных выражений, не попадающих в предыдущие правила, следует избавиться от корней, входящих в неопределенность. Возможны следующие способы:3.1.замена переменной , позволяющая извлечь корни, входящие в неопределенность;3.2. дополнение до формулы, позволяющей возвести корень в соответствующую ему степень; здесь используются формулы

,

т.е. умножаем или делим на сопряженное выражение.Правило 4.

При наличии неопределенности в пределе от выражения, содержащего тригонометрические функции, следует выделить в этом выражении первый замечательный предел: . Необходимо помнить свойства логарифмов

.

Есть пределы, которыми можно пользоваться как табличными

Замечательные пределы. Первым замечательным пределом называется предел отношения синуса бесконечно малой дуги к той же дуге, выраженной в радианной мере, при условии стремления этой дуги к нулю Непосредственное вычисление предела приводит к неопределённости вида . Второй замечательный предел =. Для любого действии-тельного положительного аргумента можно указать два последовательных натуральных числа, для которых будет выполнено неравенство n < x < n + 1. В том случае имеем n > ? ? x > ?

4. Непрерывность функции в точке и на промежутке

Точки разрыва функции и их классификации.

Функция f(x) называется непрерывной в точке , если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точкет.е.

Следствие. Значение предела функ-ции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках. Если функция у = f(х) непрерывна в каждой точке интервала (а,b), то она называется непрерывной на интервале (а, b).Это определение распространяется и на случай бесконечных интервалов, т.е. промежутков вида (--,b), (a,+ ), (--,+). Например, функция у = х2 непрерывна на (-, +), а функция у = 1/х непрерывна на каждом из двух промежутков: (--, 0), (0, +) Функция у = f(х) называется непрерывной на отрезке [а,b], если она непрерывна на интервале (а, b) и непрерывна в точке а справа и в точке b слева. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва функции f(x), если f(x) не определена в точке х0 или не является непрерывной в этой точке. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 1- го рода, если в этой точке функция f(x) имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы.. Для выполнения условий этого определения не требуется, что-бы функция была определена в точке х = х0, достаточно того, что она определена слева и справа от нее. Из определения можно сделать вывод, что в точке разрыва 1 - го рода функция может иметь только конечный скачок. В некоторых частных случаях точку разрыва 1 - го рода еще иногда называют устранимой точкой разрыва, но подробнее об этом поговорим ниже. Определение. Точка х0 называется точкой разрыва 2 - го рода, если в этой точке функция f(x) не имеет хотя бы одного из односторонних пределов или хотя бы один из них бесконечен. Функция назыв. непрерывной в точке x₀, если она определена в некоторой окрестности этой точки и . Свойства функций, непрерывных в точке: 1)если функции f(x) и g(x) непрерывны в точке x₀, то их алгебраическая сумма f(x)±g(x), произведение f(x)*g(x) и частное f(x)/g(x) (при условии g(x)?0) явл. функциями, непрерывными в точке x₀;2)если функция y=f(x) непрерывна в точке x₀ и f(x)>0, то сущ.такая окрестность точки x₀, в которой f(x)>0;3)если функция y=f(u) непрерывна в точке u₀, а функция u=?(x) непрерывна в точке x_0, ?(x₀)=u₀, то сложная функция y=f(?(x)) непрерывна в очке x₀; или , т.е. под знаком непрерывной функции можно переходить к пределу.

5. Производная функции, ее геометрический и экономический смысл

Производной функции y=f(x) в точке называется предел отношения приращения функции в этой точке к приращению аргумента ?x , при ?x>0 (если этот предел существует и конечен), т.е

Обозначают: , : . Производной функции в точке справа (слева) называется (если этот предел существует и конечен).

Обозначают: - производная y=f(x) в точке справа, - производная y=f(x) в точке слева. Функция y=f(x) имеет производную в точке тогда и только тогда, когда в этой точке существуют и равны между собой производные функции справа и слева. Причем . Если функция y = f(x) имеет производную в точке , то функция f(x) в этой точке непрерывна. Геоме-трический смысл. Пусть на плоскости x0y дана непрерывная кривая y=f(x)

Рассмотрим на графике кривой точки Mo(xo;f(xo)) и M1(xo+Dx; f(xo+Dx)). Проведем секущую MoM1. Пусть - угол наклона секущей MoM1 относи-тельно оси 0х. Если сущ. предел , то прямая, проходящая через Mo и образующая с осью 0х угол , называется касательной к графику данной кривой в точке Mo. Таким образом, под касательной к кривой y=f(х) в точке Mo естественно понимать предельное положение секущей MoM1, к которому она стремится, когда Dx0. Пусть N(xo+Dx; f(xo)) - точка, дополняющая отрезок MoM1 до прямоугольного треугольника MoM1N. Так как сторона MoN парал-лельна оси 0х, то переходя к пределу в левой и правой частях этого равенства при Dx>0, получим Поэтому геометрический смысл производной состоит в том, что f'(x0) - это тангенс угла наклона (угловой коэффициент) касательной к графику y=f(х) в точке (xo; f(xo)). Найдём уравнение касательной к графику в точке Mo(xo; f(xo)) в виде y=kx+b. Так как Mo f(x), то должно выполняться равенство f(x0)=kx0+b, откуда b= f(x0) - kx0. Следовательно, касательная задаётся уравнением

y=kx+f(x0) - kx0=f(x0)+k(x - x0).

Поскольку k=f'(x0), то уравнение касательной имеет вид y=f(x0)+f'(x0)(x - x0). Экономический смысл. К предельным величинам в экономике относятся: предельные издержки, предельный доход, предельная полезность, предельная производительность, предельная склонность к потреблению и т.д. Понятие предельных величин позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания эконом. явлений, посредством которого стало возможно решать научные проблемы, прежде не решённые или решённые неудовлетворительно. Все эти величины самым тесным образом связаны с понятием производной. Предельные величины характеризуют не состояние (как суммарная или средняя величины), а процесс, изменение экономического объекта. Следовательно, производная выступает как скорость изменения некоторого экономического объекта (процесса) с течением времени или относительно другого исследуемого фактора. Предельные издержки МС (marginal costs) выражают дополнительные затраты на производство каждой дополнительной единицы продукции, где . Используя равенство MC=TC() предельные издержки есть не что иное, как первая производная от совокупных издержек, если последние предста-влены как функция от выпускаемого количества продукции. Предельная выручка MR (marginal revenue) - это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к (n+1)-ой единице продукта. Она представляет собой первую производную от выручки

.

Для хозяйствующего субъекта, который действует в условиях совершенной конкуренции

TR = P*Q

где TR - выручка (total revenue); P - цена (price).

Таким образом , ? MR= P. Это равенство верно для рынка совершенной конкуренции. Любой индивид испол. свой доход Y после уплаты налогов на потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом целиком используют его на потребление, а на сбережение средств не остается. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и больше сберегает. Как установлено экономической наукой, потребление и сбережение зависят от размера дохода:Y= C(Y) + S(Y). Использование производной позволяет определить такую категорию, как предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume), показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода

)

По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Долю прироста сбережений в приросте дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS (marginal propensity to save)

).

6. Правила дифференцирования функций

Логарифмическое дифференцирование. Производные высших порядков. К основным правилам дифференцирования относят: вынесение постоянного множителя за знак производной; производная произведения функций; , CR. Произвольный множитель можно выносить за знак предельного перехода (это известно из свойств предела), поэтому

производная суммы, производная разности; , производная произведения функций, производная частного двух функций (производная дроби).

Логарифмическим дифференцированием называется метод дифференцирования функций, при котором сначала находится логарифм функции, а затем вычисляется производная от него. Такой прием позволяет эффективно вычислять производные степенных и рациональных функций. Рассмотрим этот подход более детально. Пусть дана функция y = f(x). Возьмем натуральные логарифмы от обеих частей: . Теперь продифференцируем это выражение как сложную функцию, имея ввиду, что y - это функция от x.



Отсюда видно, что искомая производная равна. Производные высших порядков явно заданной функции

Производная у'=?'(х) функции у=?(х) есть также функция от х и называется производной первого порядка. Если функция ?'(х) дифференцируема, то ее производная называется производной второго порядка и обозначается у" . Итак, у"=(у')'.

Производная от производной второго порядка, если она существует, называется производной третьего порядка и обозначается у'" (или ?'"(х)). Итак, у'"=(y")'. Производной n-го порядка (или n-й производной) называется производная от производной (n-1) порядка:y(n)=(y(n-1))?. Производные порядка выше первого называются производными высших порядков. Начиная с производной четвертого порядка, производные обозначают римскими цифрами или числами в скобках (у? или у(5)-- производная пятого порядка).

7. Правило Лопиталя для раскрытия неопределенностей вида и .

Раскрытие неопределенностей вида ; ; ; ; . В математическом анализе правилом Лопитамля называют метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида 0 / 0 и ?/?. Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения их производных. Правило говорит, что если функции f(x) и g(x) обладают следующим набором условий

. Или ;

в некоторой окрестности точки a, тогда существует



.

При этом теорема верна и для других баз (для указанной будет приведено доказательство). Неопределенности типа 0*? и ?-? также целесообразно приводить к виду 0/0 следующими преобразованиями

Для раскрытия неопределенностей типа ; ; . Целесообразно первоначально прологарифмировать выражения, предел которых требуется найти. Другим общим методом раскрытия неопределенностей типа и и сводимых к ним является Лопиталя правило.

функция предел разрыв точка

8. Дифференциал функции

Связь дифференциала и производной. Испол. дифференциала в приближенных вычислениях. Дифференциалом функции у=?(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или d?(х)): dy=?'(х)*?х. Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х. Так как у'=х'=1, то, согласно формуле имеем dy=dx=?x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=?х. Поэтому формулу можно записать так: dy=?'(х)dх, иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной. Из формулы следует равенство dy/dx=?'(х). Теперь обозначение

Производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх. Связь дифференциала и производной. Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции ?f в этой точке к приращению аргумента ?х, когда последнее стремится к нулю (бесконечно мало). Записывается так.

Lim?x>0 (?f(x0)/?x)=lim?x>0 ((f(x+?x)-f(x0))/?x)=f`(x0).

Нахождение производной называется дифференцированием. Вводится определение дифференцируемой функции: Функция f, имеющая производную в каждой точке некоторого промежутка, называется дифференцируемой на данном промежутке. Применение дифференциала к приближенным вычислениям.

Использование дифференциала в приближенных вычислениях, как уже известно, приращение ?у функции у=?(х) в точке х можно представить в виде

?у=?'(х)*?х+?*?х,

где ?>0 при ?х>0, или ?у=dy+?*?х. Отбрасывая бесконечно малую ?*?х более высокого порядка, чем ?х, получаем приближенное равенство

?у?dy, причем это равенство тем точнее, чем меньше ?х. Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.

9. Исследование на монотонность функции одной переменной

Точки экстремума. Необходимые и недостаточные условия сущ. экстремума. Монотомнная фумнкция -- это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда неотрицательное, либо всегда неположительное. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стромго монотомнной. Монотонная функция -- это функция, меняющаяся в одном и том же направлении. Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то она называется монотонной на этом промежутке. Если f - монотонная функция на промежутке D (f (x)), то уравнение f (x) = const не может иметь более одного корня на этом промежутке.

Свойства монотонных функций. Сумма нескольких возрастающих функций является возрастающей функцией. Произведение неотрицательных возрастающих функций есть возрастающая функция. Если функция f возрастает, то функции cf (c > 0) и f + c также возрастают, а функция cf (c < 0) убывает. Здесь c - некоторая константа. Если функция f возрастает и сохраняет знак, то функция 1/f убывает. Если функция f возрастает и неотрицательна, то fn где n ? N, также возрастает. Если функция f возрастает и n - нечетное число, то fn также возрастает. Композиция g (f (x)) возрастающих функций f и g также возрастает. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Промежутки возрастания и убывания. Функция f(x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Функция f(x) называется убывающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2). Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет max, в противном случае - min.

Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет. Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0, >0 ( <0), то точка xо является точкой локального минимума (максимума) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные.

На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b]

10. Исследование функции на выпуклость и вогнутость.

Точки перегиба. Дифференцируемая функция называется выпуклой вниз на интервале Х, если ее график расположен не ниже касательной к нему в любой точке интервала Х. Дифференцируемая функция называется выпуклой вверх на интервале Х, если ее график расположен не выше касательной к нему в любой точке интервала Х. Выпуклую вверх функцию часто называют выпуклой, а выпуклую вниз - вогнутой. Точка называется точкой перегиба графика функции y = f(x), если в данной точке существует касательная к графику функции (она может быть параллельна оси Оу) и существует такая окрестность точки , в пределах которой слева и справа от точки М график функции имеет разные направления выпуклости. Другими словами, точка М называется точкой перегиба графика функции, если в этой точке существует касательная и график функции меняет направление выпуклости, проходя через нее. Необходимое условие сущ. точки перегиба: если функция f(x), дважды дифференцируемая в некоторой окрестности точки , имеет в точку перегиба, то =0 . Первое достаточное условие существования точки перегиба: если функция f(x) в некоторой окрестности точки x k-раз непрерывно дифференцируема, причем k нечётно и k?3 , и при n=2,3,…,k-1 а , то функция f(x) имеет в точку перегиба. Второе достаточное условие существования точки перегиба: Если в некоторой точке вторая производная функции равна нулю, а третья не равна нулю, то эта точка является точкой перегиба.

11. Асимптомы графика функции

Асиммптомта - кривой с бесконечной ветвью - прямая, обладающая тем свойством, что расстояние от точки кривой до этой прямой стремится к нулю при удалении точки вдоль ветви в бесконечность. Вертикальная асимптота -- прямая вида x=a при условии существования предела .

Как правило, при определении вертикальной асимптоты ищут не один предел, а два односторонних (левый и правый). Это делается с целью определить, как функция ведёт себя по мере приближения к вертикальной асимптоте с разных сторон.

.

Горизонтальная асимптота -- прямая вида y=a при условии существования предела . Наклонная асимптота -- прямая вида y=kx+b при условии существования пределов

; =b

Замечание: Если хотя бы один из двух упомянутых выше пределов не существует (или равен ? ), то наклонной асимптоты при x>+? (или )x>-? не существует!



12. Наибольшее и наименьшее значение функции на отрезке

Общая схема исследования фун-и и построения графика. Наибольшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого , справедливо неравенство f(x)?f(. Наименьшим значением функции y = f(x) на промежутке X называют такое значение , что для любого справедливо неравенство f(x)?f(. Общая схема исследования функции и построения графика. Найти область определения функции. Под областью определения понимается множество всех значений аргумента, при которых функция определена, то есть может быть вычислена. Исследуем общие свойства функции: чётность; нечётность; периодичность. Функция f(x) называется чётной, если f(-x)=f(x). График чётной функции симметричен относительно оси ординат. Функция называется нечётной, если f(-x)=-f(x). График функции симметричен относительно начала координат. Если функция ни чётная, ни нечётная, то говорят, что функция имеет график общего положения. Если существует T такое, что для любого x выполняется условие f(x+T)=f(x), то функция f(x) называется периодической. Находим точки пересечения графика функции с осями координат.

Абсцисса пересечение с осью Ox ищется исходя из уравнения y=f(x)=0. Ордината пересечение с осью Oy ищется подстановкой значения x=0 в выражение функции y=f(x) Если пересечение с осью Ox найти не удаётся, то обходятся без него. Обычно поиск пересечения с осью Oy не представляет труда. Исследуется непрерывность функции, находятся точки разрыва. Функция f(x) называется непрерывной в точке , если она определена в этой точке и существует предел , который равен значению функции. То есть

).



Функция называется непрерывной на промежутке (отрезке), если она непрерывна в каждой точке этого промежутка (отрезка) Точка является точкой разрыва функции, если функция определена и непрерывна в окрестности точки , а в самой точке не явл. непрерывной (хотя может быть определённой). В этом случае говорят, что функция терпит разрыв в точке . Выделяют три типа точек разрыва: устранимый разрыв; конечный разрыв (разрыв первого рода); бесконечный разрыв (разрыв второго рода). Ищутся асимптоты графика функции. Прямая называется асимптотой графика функции, если расстояние от точек графи-ка до этой прямой стремится к нулю при бесконечном удалении от начала координат вдоль графика функции. Образно выражаясь, график как бы прилипает к асимптоте. Асимптоты бывают вертикальные, наклонные и горизонтальные. Вертикальные асимптоты ищутся по точкам разрыва второго рода. Если в точке функция терпит бесконечный разрыв, то вертикальная прямая x=, явл. вертикальной асимптотой Если хотя бы один из двух пределов не существует (или бесконечен), то соответствующей наклонной асимптоты нет. Находятся критические точки и интервалы монотонности. Функция y=f(x) имеет максимум в точке , если её значение в этой точке больше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку Функция y=f(x) имеет минимум в точке , если её значение в этой точке меньше, чем её значения во всех точках некоторой окрестности, содержащей точку . Ищутся точки перегиба и интервалы выпуклости. Для определения точек перегиба находят вторую производную. В точке перегиба вторая производная равна нулю или не существует. По знаку второй производной в интервалах между точками перегиба определяют направление выпуклости графика функции. Если вторая производная положительна, то график функции выпуклый вниз. Если вторая производная отрицательная, то график функции выпуклый вверх. На основании проведённого исследования строим график. Если необходимо вычисляем значение функции в некоторых промежуточных точках.

13. Понятие функции нескольких независимых переменных

Предел функции двух переменных, непрерывность. Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией 2 независимых переменных х,у в множестве М, если каждой паре (х,у) из множества М по некоторому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z.

Множество М, в котором заданы переменные х,у, называется областью определения функции, а сами х,у - ее аргументами. z = f(x,y), z = z(x,y).

Переменная z (с областью изменения Z) называется функцией нескольких независимых переменных в множестве М, если каждому набору чисел из множества М по некото-рому правилу или закону ставится в соответствие одно определенное значение z из Z. Понятия аргументов и области определения вводятся так же, как для функции двух переменных. Обозначения

z =f(, z = z.

Предел функции двух переменных .непрерывность. Введем понятие ?-окрестности точки М0 (х0 , у0) на плоскости Оху как круга радиуса ? с центром в данной точке. Аналогично можно определить ?-окрестность в трехмерном прост-ранстве как шар радиуса ? с центром в точке М0 (х0 , у0 , z0). Для n-мерного пространства будем называть ?-окрестностью точки М0 . множество точек М с координатами , удовлетворяющими условию

p(M

где - координаты точки М0. Иногда это множество называют «шаром» в n-мерном пространстве.

Число А называется пределом функ-ции нескольких переменных f. в точке М0, если такое, что | f(M) - A| < ? для любой точки М из ?-окрестности М0. Обозначения

A=

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М0, условно говоря, по любой траектории внутри ?-окрестности точки М0.

Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов, получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.

Функция f. называется непрерывной в точке

М0,

если

14. Частные производные функции двух независимых переменных. Полный дифференциал. Частные производные высших порядков

Частной производной функции нескольких переменных по какой-нибудь переменной в рассматри-ваемой точке называется обычная производная по этой переменной, считая другие переменные фиксиро-ванными (постоянными). Например, для функции двух переменных z= f(x,y) в точке частные про-изводные определяются так:

;



Величина называется частным

-

приращением функции z в точке по аргументу x(y). Полный дифференциал. Левые части дифф-ренциальных уравнений вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 иногда представляют собой полные дифференциалы некоторых функций. Если восстановить функцию по ее полному дифференциалу, то будет найден общий интеграл дифференциального уравнения.

В этой статье опишем метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, теоретический материал снабдим примерами и задачами с подробным описанием решения. Левая часть дифференциального уравнения P(x,y)dx+Q(x,y) dy=0 является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0, если выполняется условие . Так как полный дифференциал функции U(x, y) = 0 есть dU=, то при выполнении условия можно утверждать, что P(x,y)dx+Q(x,y)dy=. Следовательно, Частные производные высших порядков. Пусть частные производные и функции z = f (x, y ), определенной в окрестности точки М, существуют в каждой точке этой окрестности. В этом случае частные производные представляют собой функции двух переменных х и у, определенные в указанной окрестности точки М. Назовем их частными производными первого порядка. В свою очередь, частные производные по переменным х и у от функций и в точке М, если они существуют, называются частными производными второго порядка от функции f (М) в этой точке.



15. Экстремумы функции двух независимых переменных

Необходимые и достаточные условия сущ. экстремуму. Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в этих точках - ее экстремумами. Промежутки возрастания и убывания. Функция f(x) называется возрастающей на промежутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) < f(x2). Функция f(x) называется убывающей на проме-жутке D, если для любых чисел x1 и x2 из промежутка D таких, что x1 < x2, выполняется неравенство f(x1) > f(x2). Необходимые условия экстремума. Если точка xо является точкой экстремума функции f(x), то либо f '(xо) = 0, либо f (xо) не существует. Такие точки называют критическими, причем сама функция в критической точке определена. Экстремумы функции следует искать среди ее критических точек. Первое достаточное условие. Пусть xо - критическая точка. Если f ' (x) при переходе через точку xо меняет знак плюс на минус, то в точке xо функция имеет max, в противном случае - min. Если при переходе через критическую точку производная не меняет знак, то в точке xо экстремума нет. Второе достаточное условие. Пусть функция f(x) имеет производную f ' (x) в окрестности точки xо и вторую производную в самой точке xо. Если f ' (xо) = 0, >0 ( <0), то точка xо является точкой локального min(max) функции f(x). Если же=0, то нужно либо пользоваться первым достаточным условием, либо привлекать высшие производные. На отрезке [a,b] функция y = f(x) может достигать наименьшего или наибольшего значения либо в критических точках, либо на концах отрезка [a,b].

16. Неопределенный интеграл и его свойства. Таблица основных неопределенных интегралов. Определение неопределенного интеграла

Все множество первообразных функции f(x) называется неопределенным интегралом этой функции и обозначается . Выражение называют подинтегральным выражением, а f(x) - подынтегральной функцией. Подинтегральное выражение представляет собой дифференциал функции f(x). Действие нахождения неизвестной функции по заданному ее дифференциалу называется неопределенным интегрированием, потому что результатом интегрирования является не одна функция F(x), а множество ее первообразных F(x)+C. На основании свойств производной можно сформулировать и доказать свойства неопределенного интеграла (свойства первообразной)

.

Производная результата интегрирования равна подинтег-ральной функции.

.

Неопределенный интеграл дифференциала функции равен сумме самой функции и произвольной константы.

где k - произвольная константа. Коэффициент можно выносить за знак неопределенного интеграла

.

Неопределенный интеграл суммы/ разности функций равен сумме/ разности неопределенных интегралов функций. Таблица основных неопределенных интегралов

; ;

17. Замена переменной в неопределенном интеграле

Интегрирование по частям. Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка.

Соответственно, обратная функция u = g ?1(x) описывает зависимость новой переменной от старой. Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du. Для определенного интеграла, кроме этого, необходимо также изменить пределы интегрирования. Метод интегрирования по частям позволяет свести исходный неопределенный интеграл к более простому виду либо к табличному интегралу. Этот метод наиболее часто применяется, если подынтегральная функция содержит логарифмические, показательные, обратные тригонометрические, тригонометрические функции, а также их комбинации. Формула интегрирования по частям следующая

.

То есть, подинтегральное выражение f(x)dx представляем в виде произведения функции u(x) на d(v(x)) - дифференциал функции v(x). Далее находим функцию v(x) (чаще всего методом непосредственного интегрирования) и d(u(x)) - дифференциал функции u(x). Подставляем найденные выражения в формулу интегрирования по частям и исход-ный неопределенный интеграл сводится к разности .

Последний неопреде-ленный интеграл может быть взят с использованием любого метода интегрирования, в том числе и метода интегрирования по частям.

18. Интегрирование простейших рациональных дробей

Для интегрирования рациональной функции

где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов: если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выра-жение; разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выраже-ний; разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициен-тов; вычислить интегралы от прос-тейших дробей. Шаг 1. Преобразо-вание неправильной рациональной дроби, если дробь неправильная (т.е. степень числителя P(x) больше степени знаменателя Q(x)), разделим многочлен P(x) на Q(x). Получим следующее выражение:

,

где - правильная рациональная дробь.

Шаг 2. Разложение знаменателя на простейшие дроби. Запишем многочлен знаменателя Q(x) в виде

Q(X)=,

где квадратичные функции являются несократимыми, то есть не имеющими действительных корней. Шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей. Запишем рациональную функцию в следующем виде: Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x). Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.

Шаг 4. Интегрирование простейших рациональных дробей. Простейшие дроби, полученные при разложении произвольной правильной рациональной дроби, интегрируются с помощью следующих шести формул.

19. Определенный интеграл и его свойства

Геометрический смысл определенного интеграла. Если сущ. конечный предел I интегральной суммы при ? > 0, и он не зависит от способа выбора точек ? i, способа разбиения отрезка, то этот предел называется определенным интегралом от функции f (x)по отрезку [a, b] и обозначается следующим образом

I=.

В этом случае функция f (x) называется интегрируемой на [a, b].

Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, f (x) - подинтегральной функцией, х - переменной интегрирования. Следует заметить, что не имеет значения, какой буквой обозначена переменная интегрирования определенного интеграла

Геометрический смысл определенного интеграла.

Равенство означает, что определенный интеграл для непрерывной и неотрицательной функции y = f(x) представляет собой в геометрическом смысле площадь соответствующей криволинейной трапеции. То есть, вычислив интеграл , мы найдем площадь фигуры, ограниченной линиями y = f(x), y = 0, x = a и x = b.

20. Формула Ньютона-Лейбница

Замена переменной в определенном интеграле. Пусть функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b] и F(x) - одна из первообразных функции на этом отрезке, тогда справедливо равенство

Эту формулу называют основной формулой интегрального исчисления.

Для доказательства нам потребуется понятие интеграла с переменным верхним пределом. Если функция y = f(x) непрерывна на отрезке [a; b], то для аргумента интеграл вида является функцией верхнего предела. Замена переменной в определенном интеграле. При вычислении определенных интегралов с использованием формулы Ньютона-Лейбница предпочтительно жестко не разграничивать этапы решения задачи (нахождение первообразной подинтегральной функции, нахождение приращения первообразной). Такой подход, использующий, в частности, формулы замены переменной и интегрирования по частям для определенного интеграла, обычно позволяет упростить запись решения.

ТЕОРЕМА. Пусть функция ?(t) имеет непрерывную производную на отрезке [?,?], а=?(?), в=?(?) и функция f(х) непрерывна в каждой точке х вида х=?(t), где t[?,?]. Тогда справедливо следующее равенство

.

21. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Интегрирование по частям является методом преобразования интеграла спец.вида.

По правилу дифференцирования произведения имеем

Интегрируя обе части этого соотношения на интервале [a, b], имеем

d(uv)=udv+vdu;

или

Учитывая связь дифференциала с производной, окончательно получим

Эта формула называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.



22. Приложение определенного интеграла для вычисления площадей плоских фигур, длин дуг плоских кривых

Вычисление площади плоской фигуры:1.1.Пусть функция f(x) непрерывна и неотрицательна на отрезке [a, b]. Тогда площадь фигуры, ограниченной осью ОХ, отрезками прямых x = a, x = b и графиком функции , может быть вычислена по формуле

1.2. Если на отрезке [a, b], - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми х = а, x = b, графиками функций вычисляется по формуле

S=;

1.3 Если функция f(x) на отрезке [a, b] принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой y=f(x) и осью OX , равна s=. Вычисление площади криволинейного сектора. Пусть кривая AB задана в полярных координатах уравнением , , причем - непрерывная и неотрицательная на отрезке [a, b] функция. Фигуру, ограниченную кривой AB и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы a,b, будем называть криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора может быть вычислена по формул

s=

Вычисление длины дуги плоской кривой. Если функция y = f(x) непрерывна вместе с её производной f'(x) на отрезке [a, b], то длина дуги AB, где A(a,f(a)), B(b, f(b)), выражается формулой

(x)dx.

23. Обыкновенные дифференциальные уравнения

Общее и частное решение. Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Обыкновенным дифференциальным уравнением называется уравнение, связывающее между собой значения независимой переменной x, неизвестной функции y = f(x) и её производных (или дифференциалов) :f( ;(1) (все три переменные x, y, F - действительны).

Опр. Порядком уравнения называется максимальный порядок n входящей в него производной (или дифференциала).

Пример: y(4) - y + x = 0 - уравнение четвёртого порядка. Опр. Частным решением уравнения (1) на интервале (a, b) (конечном или бесконечном) называется любая n раз дифференцируемая функция , удовлетворяющая этому уравнению, т.е. обращающая уравнение на этом интервале в тождество. Так, функция y(x) = + x обращает уравнение : y(4) - y + x = 0 в тождество на всей числовой оси (y(4)(x) = ; -( +x) + x = 0), т.е. является частным решением этого уравнения. Любое уравнение порядка имеет множество частных решений (частным решением приведённого уравнения является и функция y(x) = sin(x) + x). Процедуру решения дифференциального уравнения часто называют интегрированием уравнения, при этом интегрировать приходится в общем случае ровно n раз, и при каждом интегрировании в решение входит очередная произвольная постоянная.

Опр. Общим решением (общим интегралом) уравнения (1) называется такое соотношение ;(2)1.Любое решение (2) y= относительно y (для набора постоянных C1, C2, …, Cn из некоторой области n-мерного пространства) - частное решение уравнения (1);2.Любое частное решение уравнения (1) может быть получено из (2) при некотором наборе постоянных C1, C2, …, Cn. Мы будем в основном рассматривать дифференциальные уравнения в форме, разрешённой относительно старшей производной: ; (3) и получать общее решение в форме ; y= (4) решённой относительно неизвестной функции. Если в уравнении yn=f(x,y,y',…yn-1) функция f и ее частные производные y, y', y''… непрерывны в некоторой области содержащей значения x=x0, y=y0, y'=y'0, …, то существует и при том единственное решение y=y(x) уравнения удовлетворяющего условию y(x0)=y0, y'(x0)=y'0… , которые называются начальными условиями.Общим решением ДУ n-ого порядка называется функция y=?(x, C1, C2…), зависящая от n- произвольных постоянных и такая, что она удовлетворяет ДУ при любом значении постоянных с, с1, с2… , а при заданных начальных условиях y(x0)=y0, y'(x0)=y'0… Всякая функ-ция, полученная из общего решения при конкретном значении С1, С2… называется частным решением. Задача нахождения называется задачей Коши. Теорема Коши (существования и решения задачи Коши). Если в области D функция f(x, y) непрерывна и имеет непрерывную частную производную , то для любой точки в окрестности точки x0 сущ. единственное решение задачи. Мы примем эту теорему без доказательства. На самом деле для сущ. решения в окрестности точки x0 достаточно только непрерывности функции f(x, y); условие непрерывности обеспечивает единственность этого решения.

24. Дифференциальные уравнения с разделенными и разделяющимися переменными

Общее решение. Пусть y(x) -- некоторая функция, -- ее производная. Для удобства будем записывать производную виде , имеющем смысл отноше-ния бесконечно малых приращений -- дифференциалов. Дифференциал dx -- приращение значения переменной в окрестности x, стремящееся к нулю. Дифференциал функции dy -- малое приращение функции,dy=f(x+dx)-f(x)= . Пусть f(x) и g(y) -- некоторые функции от x и y . Рассмотрим ур-е

;

Уравнение такого вида называется обыкновенным дифференциальным уравнением с разделяющимися переменными. Умножим его на : Последнее равенство означает, что малые приращения левой и правой частей равны. Поэтому их суммы также равны. Предположим что при , и возьмем интегралы от левой и правой частей. Пределы интегрирования -- от до для левой части и от для x для правой части уравнения:

Решая получившееся в результате интегрирования алгебраическое уравнение, мы можем выразить. Значения и называются начальными условиями. В случае других начальных условий решение уравнения будет отличаться на постоянную. Поэтому, если началь-ные условия не даны, можно взять первообразные левой и правой частей и прибавить к ним константу. Испол-я неопределенный интеграл --

обозначение множества первообразных -- , где f(x) -- первообразная f(x), C -- произвольная постоянная, запишем это в виде

Следует отметить, что у дифференциального уравнения с разделяющимися переменными могут сущ. так называемые нулевые решения постоянные y, удовлетворяющие уравнению g(y)=0. При них равны нулю как правая, так и левая части дифференциального уравнения (поскольку производная константы равна нулю).

25. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Общее решение. Определение линейного уравнения первого порядка. Дифференциальное уравнение вида где a(x) и b(x) ? непрерывные функции x, называется линейным неоднородным дифференциальным уравнением первого порядка. Мы рассмотрим два метода решения указанных уравнений: Исползование интегрирующего множителя;

Метод вариации постоянной. Использование интегрирующего множителя

Если линейное дифференциальное уравнение записано в стандартной форме:

то интегрирующий множитель определяется формулой

Умножение левой части уравнения на интегрирующий множитель u(x) преобразует ее в производную произведения y(x) u (x). Общее решение дифференциального уравнения выражается в виде:

;

где C ? произвольная постоянная.

Метод вариации постоянной. Данный метод аналогичен предыдущему подходу. Сначала необходимо найти общее решение однородного уравнения:

Общее решение однородного уравнения содержит постоянную интегрирования C. Далее мы заменяем константу C на некоторую (пока еще неизвестную) функцию C(x). Подставляя это решение в неоднородное дифференциальное ур-е, можно определить функцию C(x). Описанный алгоритм называется методом вариации постоянной. Разумеется, оба метода приводят к одинаковому результату.

26. Числовые ряды. Сходимость. Необходимый признак сходимости числового ряда

Числовой ряд - это сумма членов числовой последовательности вида

называют общим членом числового ряда или k-ым членом ряда. Частичная сумма числового ряда - это сумма вида



где n - некоторое натуральное число. Называют также n-ой частичной суммой числового ряда. Числовой ряд называется сходящимся, если существует конечный предел последовательности частичных сумм . Если предел последовательности частичных сумм числового ряда не существует или бесконечен, то ряд называется расходящимся. Суммой сходящегося числового ряда называется предел последовательности его частичных сумм, то есть

Если сходится числовой ряд , то сходящимся будет и ряд . Другими словами, сходящимся будет и ряд без первых m членов. Если к сходящемуся числовому ряду добавить несколько членов (от первого до m-ого), то полученный ряд также будет сходящимся.

Если сходится числовой ряд и его сумма равна S, то сходящимся будет и ряд , причем

где A - произвольная постоянная. Если сходятся числовые ряды и , их суммы равны A и B соответственно, то сходящимися будут ряды

и

причем их суммы будут равны A + B и A - B соответственно.



27.Достаточные признаки сходимости для положительных числовых рядов

Для сходимости знакоположительного числового ряда Необходимо и достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограничена.

Начнем с признаков сравнения рядов. Их суть заключается в сравнении исследуемого числового ряда с рядом, сходимость или расходимость которого известна. Первый, второй и третий признаки сравнения. Первый признак сравнения используется очень часто и представляет собой очень мощный инструмент исследования числовых рядов на сходимость. Основную проблему представляет подбор подходящего ряда для сравнения. Ряд для сравнения обычно (но не всегда) выбирается так, что показатель степени его k-ого члена равен разности показателей степени числителя и знаменателя k-ого члена исследуемого числового ряда. К примеру, пусть разность показателей сте-пени числителя и знаменателя равна 2 - 3 = -1, поэтому, для сравнения выбираем ряд с k-ым членом , то есть, гармонический ряд.

...