Функция и ее основные характеристики
Определение числовой последовательности и ее предела. Свойства сходящихся последовательностей. Предел функции одной переменной. Основные правила вычисления пределов. Непрерывность функции в точке и на промежутке. Точки разрыва функции и их классификации.
| Рубрика | Математика |
| Вид | шпаргалка |
| Язык | русский |
| Дата добавления | 07.09.2013 |
| Размер файла | 740,6 K |
Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже
Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.
Второй признак сравнения. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если , то из сходимости ряда следует сходимость .Если , то из расходимости числового ряда следует расходимость . Третий признак сравнения. Пусть и - знакоположительные числовые ряды. Если с некоторого номера N выполняется условие , то из сходимости ряда следует сходимость , а из расходимости ряда следует расходимость .
28. Знакочередующиеся ряды
Абсолютная и условная сходимость. Достаточный признак Лейбница. Ряд называется знакочередующимся, если любые два его соседних члена суть числа разных знаков
называется абсолютно сходящимся, если сходится.
Ряд называется условно сходящимся, если он сходится, но не является абсолютно сходящимся. Достаточный признак Лейбница. Пусть для знакочередующегося ряда
выполняются следующие условия: (монотонное невозрастание {an} по абсолютной величине) Тогда этот ряд сходится.
29. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда.
Определение.
Степенным рядом называется ряд вида
a(/0)+a(/1)x+a(/2)x(\2)+...+a(/n)*x(\n)+...=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) (1).
Постоянные a0, a1,a2, ... называются коэффициентами степенного ряда. Множество тех значений x при которых ряд (1) сходится, называется областью его сходимости.
Это множество всегда не пусто, так как любой ряд сходится при x=0.частичная суммма степенного ряда Sn(x)=a0+a(/1)x+...+a(/n)*x(\n). Явл. функцией переменной x. Поэтому и сумма ряда S также является некоторой функцией переменной x, определенной в области сходимости ряда.
S=S(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n) или f(x)=SUM(/n=0)(\inf)a(/n)x(\n)
Теорема Абеля. Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+…(*) сходится в точке x0<>0 , то он абсолютно сходится в интервале (-|x0|,|x0|) , т.е. при всяком х, удовлетворяющем условию|x|<|x0|
Если степенной ряд a0+ a1x+ a2x(\2)+…+ anx(\n)+… (*) расходится при x=x1, то он расходится для всякого х, удовлетворяющем условию|x|>|x1|. Доказательство вследствие сходимости ряда SUM(/n=1)(\inf)a(/n)x0(\n) его общий член стремится к нулю: a(/n)x(/0)(\n)->0; поэтому все члены этого ряда ограничены в своей совокупности, т.е. существует такое постоянное положительное число М, что при всяком n имеет место неравенство |a(/n)x(/0)(\n)|<M.
Запишем ряд (*) так
a0+a1*x0(x/x0)+a2*x0(\2)*(x/x0)(\2)+..+an*x0(\n)*(x/x0)(\n)+..,
и составим ряд из абсолютных величин членов этого ряда:
|a0|+|a1*x0|*|x/x0|+|a2*x0(\2)|*|x/x0|(\2)+..+|an*x0(\n)|*|x/x0|(\n)+..,
В силу установленного неравенства каждый член здесь меньше соответствующего члена геометрической прогрессии со знаменателем |x/x0|:
M+M*|x/x0|+M*|x/x0|(\2)+..+M*
|x/x0|(\2)+.., Если |x|<|x0|, то |x/x0|<1
и прогрессия сходится; поэтому сходится и ряд абсолютных величин, а значит, абсолютно сходится сам ряд (*). Теорема доказана. Несмотря на то, что |an*x(\n)|<|an*x0(\n)|, мы не можем сразу воспользоваться признаком сравнения, поскольку в условии теоремы не сказано, что ряд в самой точке x0 сходится абсолютно. Следствие. Если степенной ряд (*) расходится при x=x0, то он расходится и при всяком х, большем по абсолютной величине, чем x0, т.е. при |x|>|x0|. Перейдем к установлению области сходимости степенного ряда (*). Здесь возможны три слу-чая:1)Область сходимости состоит только из одной точки х = 0, другими словами, ряд расходится для всех значений х, кроме одного.
Этот случай может быть иллюстрирован рядом1+x+2(\2)*x(\2)+..+n(\n)*x(\n)+..; действительно, если х фиксировано и x<>0, то, начиная с достаточно большого n, будет |nx|>1, откуда вытекает неравенство |n(\n)*x(\n)|>1 , означающее, что общий член ряда не стремится к нулю;2)Область сходимости состоит из всех точек оси Ох, другими словами, ряд сходится при всех х.
Рассмотрим ряд 1+x+(x(\2))/(2(\2))+..
+(x(\n))/(n(\n))+.. Для любого х, начиная с достаточно большого n, будет |x/n|<1. Так как |x/(n+1)|(\n+1)<|x/n|(\n+1), |x/(n+2)|(\n+2)<|x/n|(\n+2) и т.д., то, начиная с номера n, члены ряда по абсолютной величине будут меньше членов сходящейся геометрической прогрессии. Следовательно, при любом х ряд сходится;3)Область сходимости состоит больше, чем из одной точки оси Ох, причем есть точки оси, не принадлежащие области сходимости. В этом случае на числовой оси наряду с точками сходимости ряда имеются и точки его расходимости. Из теоремы Абеля и ее следствия вытекает, что все точки сходимости расположены от начала координат не дальше, чем любая из точек расходимости. Совершенно ясно, что точки сходимости будут целиком заполнять некоторый интервал с центром в начале координат. Радиус, интервал и область сходимости степенного ряда.
Областью определения является множество тех значений x, при которых ряд сходится. Область определения такой функции называется интервалом сходимости. Если интервал сходимости представляется в виде
(
где R > 0, то величина R называется радиусом сходимости. Сходимость ряда в конечных точках интервала проверяется отдельно.
Радиус сходимости можно вычислить, воспользовавшись радикальным признаком Коши, по формуле
или на основе признака Даламбера:
3
30. Ряды Тейлора и Маклорена
Если функция f (x) имеет непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то ее можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
,
где Rn - остаточный член в форме Лагранжа определяется выражением
Если приведенное разложение сходится в некотором интервале x, т.е. ,то оно называется рядом Тейлора, представляющим разложение функции f(x) в точке a.
Если a = 0, то такое разложение называется рядом Маклорена
Размещено на Allbest.ru
...Подобные документы
Определение второго замечательного предела. Понятие бесконечно малых функций. Математическое описание непрерывности зависимости одной переменной величины от другой в точке. Точки разрыва функции. Свойства и непрерывность ее в интервале и на отрезке.
презентация [314,4 K], добавлен 14.11.2014Определение предела функции в точке. Понятие односторонних пределов. Геометрический смысл предела функции при х, стремящемся в бесконечности. Основные теоремы о пределах. Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей. Первый замечательный предел.
презентация [292,4 K], добавлен 14.11.2014Вычисление математических последовательностей и определение числа, которое называется пределом последовательности. Методы расчетов предела функции. Произведение бесконечно малой функции и ограниченной функции. Определение предела последовательности.
контрольная работа [114,0 K], добавлен 17.12.2010Применение второго замечательного предела для раскрытия неопределенности. Точки разрыва непрерывной функции 1-го и 2-го рода. Условия ее непрерывности в точке, интервале и на отрезке. Теоремы Вейерштрасса и Больцано-Коши. Обращение функции в ноль.
презентация [222,8 K], добавлен 20.03.2014Предел последовательности, его графическое изображение. Основные свойства сходящихся последовательностей. Бесконечно большие и бесконечно малые функции, связь между функций, ее приделом и бесконечно малой функцией. Первый и второй замечательный предел.
контрольная работа [152,0 K], добавлен 14.05.2009Определение пределов функции с помощью Mathcad. Доказать, что предел данной функции в указанной точке не существует. Построение ее графика в окрестности указанной точки. Вычисление производных функции по определению в произвольной или фиксированной точке.
лабораторная работа [718,5 K], добавлен 25.12.2011Общее понятие числовой последовательности. Предел функции в точке. Бесконечно большая и малая функция. Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией. Признаки существования пределов. Основные теоремы о пределах: краткая характеристика.
презентация [137,0 K], добавлен 25.01.2013Члены последовательности и их изображение на числовой оси. Виды последовательностей (ограниченная, возрастающая, убывающая, сходящаяся, расходящаяся), их практические примеры. Определение и геометрический смысл предела числовой последовательности.
презентация [78,9 K], добавлен 21.09.2013История развития теории пределов. Сущность и виды числовой последовательности, методика вычисления и определение свойств ее предела. Доказательство теоремы Штольца. Практическое применение предела последовательности в экономике, геометрии и физике.
курсовая работа [407,2 K], добавлен 16.12.2013Функциональные ряды. Неопределенный интеграл и его свойства. Асимптоты. Экстремум функции (для одной переменной). Производная: ее геометрический и физический смысл. Замечательные пределы. Точки разрыва функции, классификация. Предел функции по Гейне.
шпаргалка [74,1 K], добавлен 05.01.2008Нахождение пределов, не используя правило Лопиталя. Исследование функции на непрерывность, построение ее графика. Определение типа точки разрыва. Поиск производной функции. Поиск наибольшего и наименьшего значения функции на указанном ее отрезке.
контрольная работа [1,1 M], добавлен 26.03.2014Непрерывность функции: определение, практические примеры, график, приращение. Точка разрыва первого и второго рода функции, примеры. Бесконечность односторонних пределов функции. Практический пример отложения точки разрыва второго рода на графике.
презентация [270,1 K], добавлен 21.09.2013Область определения и свойства функции (четность, нечетность, периодичность). Точки пересечения функции с осями координат. Непрерывность функции. Характер точек разрыва. Асимптоты. Экстремумы функции. Исследование функции на монотонность. Точки перегиба.
презентация [298,3 K], добавлен 11.09.2011Задания на установление заданных пределов без использования правила Лопиталя. Определение точек разрыва функции и построение ее графика. Правило вычисления производной, заданной неявно. Исследование функции методами дифференциального исчисления.
контрольная работа [570,8 K], добавлен 10.10.2011Понятие предела функции и основные требования, предъявляемые к нему, геометрический смысл. Методика определения данной геометрической категории в заданной точке при различных условиях. Вычисление ординат графиков. Возрастание по абсолютной величине.
презентация [902,2 K], добавлен 21.09.2013Условия существования предела в точке. Расчет производных функции, заданной параметрически. Нахождение точки экстремума, промежутков возрастания и убывания функций, выпуклости вверх и вниз. Уравнение наклонной асимптоты. Точка локального максимума.
курсовая работа [836,0 K], добавлен 09.12.2013Дифференциальное исчисление функции одной переменной: определение предела, асимптот функций и глобальных экстремумов функций. Нахождение промежутков выпуклости и точек перегиба функции. Примеры вычисления неопределенного интеграла, площади плоской фигуры.
задача [484,3 K], добавлен 02.10.2009Элементы аналитической геометрии и линейной алгебры. Методы построения графика функции. Предел и непрерывность функции. Дифференциальное исчисление функции одной переменной. Определители и системы уравнений. Построение прямой и плоскости в пространстве.
методичка [1,0 M], добавлен 24.08.2009Функция одной независимой переменной. Свойства пределов. Производная и дифференциал функции, их приложение к решению задач. Понятие первообразной. Формула Ньютона-Лейбница. Приближенные методы вычисления определенного интеграла. Теорема о среднем.
конспект урока [147,7 K], добавлен 23.10.2013Множество как ключевой объект математики, теории множеств и логики. Операции над множествами, числовые последовательности. Множества действительных чисел. Бесконечно малые и большие функции. Непрерывность функции в точке. Свойства непрерывных функций.
лекция [540,0 K], добавлен 25.03.2012
