Алгоритм Дэвидона–Флетчера–Пауэлла

Размещено на http://www.allbest.ru/

Алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла

Рассмотрим алгоритм Дэвидона - Флетчера - Пауэлла минимизации дифференцируемой функции нескольких переменных. В частности, если функция квадратичная, то, как будет показано позднее, метод вырабатывает сопряженные направления и останавливается после выполнения одной итерации, т.е. после поиска вдоль каждого из сопряженных направлений.

Начальный этап.

Пусть 0 - константа для остановки. Выбрать точку х₁ и начальную симметрическую положительно определенную матрицу D₁. Положить y₁ = x₁, k = j = 1 и перейти к основному этапу.

Основной этап.

Шаг 1. Если f(y_j) , то остановиться; в противном случае положить d_j = - D_jf(y_j) и взять в качестве _j оптимальное решение задачи минимизации f(y_j + d_j) при 0. Положить y_j+1 = y_j + _jd_j. Если j n, то перейти к шагу 2. Если j = n, то положить y₁ = x_k+1 = y_n+1, заменить k на k+1, положить j=1 и повторить шаг 1.

Шаг 2. Построить D_j+1 следующим образом:

, (1)

где

p_j = _jd_j, (2)

q_j = f(y_j+1) - f(y_j). (3)

Заменить j на j + 1 и перейти к шагу 1.

Пример.

Рассмотрим следующую задачу:

минимизировать (x₁ - 2)⁴ + (x₁ - 2x₂)².

Результаты вычислений методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла приведены в таблице 1.

Таблица 1. Результаты вычислений по методу Дэвидона - Флетчера - Пауэлла

На каждой итерации вектор d_j для j = 1, 2 определяется в виде - D_jf(y_j), где D₁ - единичная матрица, а D₂ вычисляется по формулам (1) - (3). При k = 1 имеем p₁ = (2.7, -1.49)^T, q₁ = (44.73, -22,72)^T. На второй итерации p₁ = (-0.1, 0.05)^T, q₁ = (-0.7, 0.8)^T и, наконец, на третьей итерации p₁ = (-0.02, 0.02)^T, q₁ = (-0.14, 0.24)^T. Точка y_j+1 вычисляется оптимизацией вдоль направления d_j при начальной точке y_j для j = 1, 2. Процедура остановлена в точке y₂ = (2.115, 1.058)^T на четвертой итерации, так как норма f(y₂) = 0.006 достаточно мала. Траектория движения, полученная методом, показана на рисунке 1.

Рисунок 1. Метод Дэвидона - Флетчера - Пауэлла

Лемма 1 показывает, что каждая матрица D_j положительно определена и d_j является направлением спуска.

Для доказательства леммы нам понадобится:

Теорема 1. Пусть S - непустое множество в Е_n, точка x cl S. Конусом возможных направлений в точке x называется множество D = {d: d 0, x + d S при всех (0, ) для некоторого > 0}.

Определение. Пусть x и y - векторы из Е_n и x^Ty - абсолютное значение скалярного произведения x^Ty. Тогда выполняется следующее неравенство, называемое неравенством Шварца: x^Ty x y.

Лемма 1.

Пусть y₁ Е_n, а D₁ - начальная положительно определенная симметрическая матрица. Для j = 1,…, n положим y_j+1 = y_j + _jd_j, где d_j = - D_jf(y_j), а _j является оптимальным решением задачи минимизации f(y_j + d_j) при 0. Пусть, кроме того, для j = 1,…, n - 1 матрица D_j+1 определяется по формулам (1) - (3). Если f(y_j) 0 для j = 1,…, n, то матрицы D₁,…, D_n симметрические и положительно определенные, так что d₁,…, d_n - направления спуска.

Доказательство.

Проведем доказательство по индукции. При j = 1 матрица D₁ симметрическая и положительно определенная по условию леммы. Кроме того, f(y₁)^Td₁ = -f(y₁)^TD₁f(y₁) 0, так как D₁ положительно определена. Тогда по теореме 1 вектор d₁ определяет направление спуска. Предположим, что утверждение леммы справедливо для некоторого j n - 1, и покажем, что оно справедливо для j+1. Пусть x - ненулевой вектор из E_n, тогда из (1) имеем

(4)

Так как D_j - симметрическая положительно определенная матрица, то существует положительно определенная матрица D_j^1/2, такая, что D_j = D_j^1/2D_j^1/2. Пусть a = D_j^1/2x и b = D_j^1/2q_j. Тогда x^TD_jx = a^Ta, q_j^TD_jq_j = b^Tb и x^TD_jq_j = a^Tb. Подставляя эти выражения в (4), получаем:

(5)

По неравенству Шварца имеем (a^Ta) (b^Tb) (a^Tb)². Таким образом, чтобы доказать, что x^TD_j+1x 0, достаточно показать, что p_j^Tq_j 0 и b^Tb 0. Из (2) и (3) следует, что

p_j^Tq_j = _jd_j^T[f(y_j+1) - f(y_j)]. (6)

По предположениюf(y_j) 0, и D_j положительно определена, так что f(y_j)^TD_jf(y_j) 0. Кроме того, d_j - направление спуска, и, следовательно, _j 0. Тогда из (6) следует, что p_j^Tq_j 0. Кроме того, q_j 0, и, следовательно, b^Tb= q_j^TD_jq_j 0.

Покажем теперь, что x^TD_j+1x 0. Предположим, что x^TD_j+1x = 0. Это возможно только в том случае, если (a^Ta) (b^Tb) = (a^Tb)² и p_j^Tx = 0. Прежде всего заметим, что (a^Ta) (b^Tb) = (a^Tb)² только при a = b, т.е. D_j^1/2x = D_j^1/2q_j. Таким образом, x = q_j. Так как x 0, то 0. Далее, 0 = p_j^Tx = p_j^Tq_j противоречит тому, что p_j^Tq_j 0 и 0. Следовательно, x^TD_j+1x > 0, т.е. матрица D_j+1 положительно определена.

Поскольку f(y_j+1) 0 и D_j+1 положительно определена, имеем f(y_j+1)^Td_j+1 = -f(y_j+1)^T D_j+1f(y_j+1) < 0. Отсюда по теореме 1 следует, что d_j+1 - направление спуска.

Лемма доказана.

Квадратичный случай.

В дальнейшем нам понадобиться:

Теорема 2. Пусть f(x) = c^Tx + x^THx, где Н - симметрическая матрица порядка n x n. Рассмотрим Н - сопряженные векторы d₁, …, d_n и произвольную точку x₁. Пусть _k для k = 1, …, n - оптимальное решение задачи минимизации f(x_k + d_k) при Е₁ и x_k+1 = x_k + d_k. Тогда для k = 1, …, n справедливы следующие утверждения:

f(x_k+1)^Td_j = 0, j = 1, …, k;

f(x₁)^Td_k = f(x_k)^Td_k;

дифференцируемый переменная итерация флетчер

x_k+1 является оптимальным решением задачи минимизации f(x) при условии x - x₁ L(d₁, …, d_k), где L(d₁, …, d_k) - линейное подпространство, натянутое на векторы d₁, …, d_k, то есть В частности, x_n+1 - точка минимума функции f на Е_n.

Если целевая функция f квадратичная, то в соответствии со сформулированной ниже теоремой 3 направления d₁, …, d_n, генерируемые методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла, являются сопряженными. Следовательно, в соответствии с утверждением 3 теоремы 2 метод останавливается после завершения одной итерации в оптимальной точке. Кроме того, матрица D_n+1, полученная в конце итерации, совпадает с обратной к матрице Гессе Н.

Теорема 3. Пусть Н - симметричная положительно определенная матрица порядка n x n. Рассмотрим задачу минимизации f(x) = c^Tx + x^THx при условии x E_n. Предположим, что задача решена методом Дэвидона - Флетчера - Пауэлла при начальной точке y₁ и начальной положительно определенной матрице D₁. В частности, пусть _j, j = 1, …, n, - оптимальное решение задачи минимизации f(y_j + d_j) при 0 и y_j+1 = y_j + _jd_j, где d_j = - D_jf(y_j), а D_j определяется по формулам (1) - (3). Если f(y_j) 0 для всех j, то направления d₁, …, d_n являются Н - сопряженными и D_n+1 = H^-1. Кроме того, y_n+1 является оптимальным решением задачи.

Доказательство.

Прежде всего покажем, что для j, такого, что 1 j n, справедливы следующие утверждения:

d₁, …, d_j линейно независимы.

d_j^THd_k = 0 для i k; i, k j.

D_j+1Hp_k, или, что эквивалентно, D_j+1Hd_k = d_k для 1 k j, p_k = _kd_k.

Проведем доказательство по индукции. Для j = 1 утверждения 1 и 2 очевидны. Чтобы доказать утверждение 3, заметим прежде всего, что для любого k справедливы равенства

Hp_k = H(_kd_k) = H(y_k+1 - y_k) = f(y_k+1) -f(y_k) = q_k. (7)

В частности, Hp₁ = q₁. Таким образом, полагая j = 1 в (1), получаем

,

т.е. утверждение 3 справедливо при j = 1.

Теперь предположим, что утверждения 1, 2 и 3 справедливы для j n - 1. Покажем, что они также справедливы и для j + 1. Напомним, что по утверждению 1 теоремы 2 d_i^Tf(y_j+1) = 0 для i j. По индуктивному предположению d_i = D_j+1Hd_i, i j. Таким образом, для i j имеем

0 = d_i^Tf(y_j+1) = d_i^THD_j+1f(y_j+1) = - d_i^THd_j+1.

Ввиду предположения индукции это равенство показывает, что утверждение 2 также справедливо для j+1.

Теперь покажем, что утверждение 3 справедливо для j+1.

Полагая k j+1, имеем

. (8)

Учитывая (7) и полагая k = j + 1 в (8), получим, что D_j+2Hp_j+1 = p_j+1. Теперь пусть k j. Так как утверждение 2 справедливо для j + 1, то

p_j+1^THp_k = _kj+1d_j+1^THd_k = 0. (9)

По предположению индукции из (7) и вследствие того, что утверждение 2 справедливо для j + 1, получаем

. (10)

Подставляя (9) и (10) в (8) и учитывая предположение индукции, получаем

.

Таким образом, утверждение 3 справедливо для j+1.

Осталось показать, что утверждение 1 справедливо для j+1. Предположим, что . Умножая это равенство на и учитывая, что утверждение 2 справедливо для j+1, получаем, что . По условию теоремы , а по лемме 1 матрица положительно определена, так что . Так как H положительно определена, то и, следовательно, . Отсюда следует, что , и так как d₁, …, d_j линейно независимы по предположению индукции, то для i = 1, …, j. Таким образом, d₁, …, d_j+1 линейно независимы и утверждение 1 справедливо для j+1. Следовательно, утверждения 1, 2 и 3 выполняются. В частности сопряжённость d₁, …, d_n следует из утверждений 1 и 2, если положить j = n.

Пусть теперь j = n в утверждении 3. Тогда для k = 1, …, n. Если в качестве D взять матрицу, столбцами которой являются векторы d₁, …, d_n, то . Так как D имеет обратную, то , что возможно только в том случае, если . Наконец, является оптимальным решением по теореме 2.

Теорема доказана.

Список литературы

Базара М., Шетти К. «Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы». М., 1982.

Химмельблау Д. «Прикладное нелинейное программирование». М., 1975.

Размещено на Allbest.ru