Доказательство. Пусть:

Тогда:

Определение. Будем говорить, что:

а _* ( Q₊) > b _* ( Q₊)

Если:

_* с _* (Q₊) : а = в + с

Это отношение симметрично, транзитивно и линейно.

Кроме того, во множестве Q₊ нет наименьшего числа и между любыми двумя числами из Q₊ заключено бесконечно много чисел того же множества.

Если:

 _* с _* (Q₊) : а = в + с

Тогда его называют разностью чисел а и в:

с = а - в

Если:

Если же:

Тогда произведением чисел а и b называется число аb, представляемое дробью.

Свойства операции умножения:

Деление определяем как операцию, обратную умножению:

3. Рациональное число как десятичная дробь

Десятичные дроби и действия над ними.

Определение. Дроби пN называются десятичными.

Таким образом, если приписать к десятичной дроби любое число нулей справа, то получится дробь, эквивалентная данной. Тогда сложение, вычитание, умножение и деление десятичных дробей сводится к выполнению этих операций на множестве натуральных чисел.

Примеры:

4,68 + 0,733 = 4,680 + 0,733 = 5,413;

1,7 _* 3=1,7 _* 3,0 = 5,1;

5,1 - 2 = 5,1 - 2,0 = 3,1.

3.1 Преобразование обыкновенных дробей в десятичные

Теорема.

Для того, чтобы несократимая дробь была эквивалентна десятичной дроби, необходимо и достаточно, чтобы в разложении ее знаменателя на простые множители входили лишь числа 2 и 5.

Доказательство. Пусть:

n = 2^r _* 5^s

Тогда:

Следовательно, дробь эквивалентна десятичной дроби.

3.2 Бесконечные периодические десятичные дроби

Каждое положительное рациональное число можно представить в виде бесконечной десятичной дроби.

Эти дроби являются периодическими. При этом, если в разложении знаменателя на простые числа отсутствуют числа 2 или 5, то дробь будет чисто периодической:

3 / 11 = 0;

1 / 3 = 0.

Если же знаменатель делится на 2 или 5, то дробь будет смешанной, причем длина предпериода равна максимальному из показателей степеней 2 и 5:

8 / 55 = 0,1;

55 = 5¹ _* 11

Легко показать и обратное: каждой бесконечной периодической дроби соответствует положительное рациональное число.

Примеры:

4. Рациональное число как конечная цепная дробь

4.1 Представление рациональных чисел конечными цепными дробями

Пусть t - рациональное число:

Число t можно представить в виде дроби особого вида. Это представление тесно связано с алгоритмом Евклида. Применим алгоритм Евклида к числам a и b; последовательно получим:

.

Из второго равенства получаем, что:

(2)

Подставляя это выражение в первое равенство (1), получим, что:

 (3)

Но из третьего равенства (1) следует, что:

Подставляя это выражение в (3), получим:

В конце концов, получаем:

(4)

Сокращенно дробь вида (4) будем обозначать:

Определение 1.

Представление (4) рационального числа называется конечной цепной или непрерывной дробью.

Числа q₀, q₁, …, q_n называются неполными частными числа, а все q_i - целые, а начиная с q₁ - натуральные.

Теорема 1. Всякое рациональное число может быть представлено в виде конечной цепной дроби.

Доказательство.

Если дробь положительная, то q₀ - натуральное при a>b.

Если дробь отрицательная, то ее можно представить в виде:

Здесь целое:

q₁, q₂, …, q_n - натуральные.

- целое, то:

Примеры:

Если допустить, что последнее неполное частное может равняться 1, то для всякого рационального числа можно получить два представления в виде конечной цепной дроби.

Пример:

Теорема 2. Представление рационального числа в виде непрерывной дроби, такой, что последнее неполное частное отлично от единицы единственно.

Доказательство (от противного). Пусть возможны два представления в виде конечной цепной дроби:

Тогда:

Рассмотрим второе слагаемое левой части равенства. Обозначим его через с:

Здесь все a_i - натуральные. Если n > 1, то 0 < c < 1.

Если n=1, а₁ >1, то и в этом случае 0<c<1. Если n=1 и а₁=1, то с=1. Поскольку этот случай исключается (по условию), то с0<c, или с<1 всегда, т. е., с - правильная дробь.

Тогда:

Где:

0 < c;

с < 1.

Аналогично:

Где:

0 < l;

1 < 1.

Это значит, что a₀ и b₀ - целые части одного и того же числа. Но так как целая часть определяется однозначно, то a₀=b₀.

После вычитания a₀ и b₀ из обеих частей (5) получим равные дроби с равными числителями, но тогда и знаменатели этих дробей равны, т. е.:

Рассуждая аналогично, получим последовательно: a₁=b₁, a₂=b₂, …, и т. д. Далее возможны три случая:

Тогда получим:

a₀ = b₀;

a₁ = b₁;

a₂ = b₂;

a_k = b_k.

Теорема доказана.

n < k. Тогда получим:

а_п - целое число. Правая часть этого равенства может быть целым лишь при:

k = n + 1

- но это противоречит условию.

Доказывается аналогично. Остается первый случай:

a₀ = b₀;

a₁ = b₁;

a₂ = b₂;

a_k = b_k.

Теорема доказана.

Теорема 3.

Всякая конечная цепная дробь есть рациональное число.

Доказательство. Пусть дана цепная дробь.

Если произвести указанные арифметические действия над целыми числами 1 и q₀, …, q_n, то получим рациональное число.

4.2 Подходящие дроби и их вычисления

Определение. Дроби:

И т. д., называют подходящими дробями цепной дроби.

Очевидно, что последняя подходящая дробь есть само число:

Каждая подходящая дробь есть некоторое рациональное число.

Найдем общую формулу для вычисления подходящей дроби любого порядка.

Заметим, что s-я подходящая дробь _s получается путем замены q_s-1 на:

Подходящие дроби последовательно можно представить:

Предположим:

Для s - й подходящей дроби имеет место формула:

Докажем справедливость этой формулы для подходящей дроби _s+1.

Так как _s+1 получается из _s заменой q_s.

То получим:

На основании принципа математической индукции заключаем, что формула верна для любого s.

Выпишем рекуррентные формулы для вычисления числителей P_s и Q_s знаменателей подходящих дробей:

Q₀=1;

Q₁=q₁.

Вычисления удобно проводить по схеме:

Например, для получения P_s+1 нужно стоящее над ним число q_s+1 умножить на стоящее слева от клетки для P_s+1 числоP_s и к результату прибавить стоящее слева от P_s число P_s-1.

Аналогично вычисляется и Q_s+1.

Правильность проделанных вычислений проверяется совпадением последних выражений для P_п и Q_п с числителем, если дробь несократима.

Пример: Разложим в непрерывную дробь число 105/38.

Найдем все подходящие дроби разложения.

С помощью алгоритма Евклида получаем:

Подходящие дроби найдем по схеме:

Последовательные подходящие дроби:

4.3 Основные свойства подходящих дробей

Числители и знаменатели подходящих дробей - целые числа; знаменатели, кроме того, числа натуральные и образуют возрастающую последовательность.

Доказательство. Первое утверждение очевидно, так как q_i - числа целые.

Докажем второе.

Действительно:

Q₀=1, а при s 2:

Q_s = Q_s-1 q_s + Q_s-2

Где:

q_s 1;

Q_s-1 1;

Q_s-2 1.

Числители и знаменатели двух соседних подходящих дробей связаны соотношением:

P _s-1 Qs - P_s Q_s-1 = (-1)^s

Доказательство. Используем метод математической индукции.

Пусть s=1. Тогда:

P₀=q₀;

Q₀=1;

Q₁=q₁.

Поэтому:

P₀ Q₁ - P₁ Q₀ = q₀ q₁ - (q₀ q₁ + 1) 1 = -1 = (-1)¹

Следовательно, при s=1 равенство верно.

Пусть формула верна при s=k:

P_k-1 Q _k - P _k Q _k-1 = (-1)^k

Докажем ее справедливость при:

s = k + 1

Таким образом:

P_k Q _k+1 - P _k+1 Q _k = (-1) ^k+1

Поэтому, согласно принципу математической индукции, формула (2) верна для любого натурального s.

Подходящие дроби несократимы, т. е., НОД = 1.

Доказательство. Согласно свойству 2 подходящих дробей имеем:

P_s-1 Q _s - P_s Q_s-1 = (-1)^s

Если допустить, что:

То из этого следует, что (-1)^s делится на d > 1, что невозможно.

4. Подходящие дроби четного порядка образуют возрастающую, а нечетного - убывающую последовательность.

Доказательство.

Пользуясь формулами, получим:

Т. е., подходящие дроби четного порядка образуют возрастающую последовательность.

Если k - нечетное, то:

Т. е., подходящие дроби нечетного порядка образуют убывающую последовательность.

5. Каждая подходящая дробь _k четного порядка меньше подходящих дробей _k-1 и _k+1.

Доказательство.

Используя свойство 2 подходящих дробей, находим:

Заменяя k на k+1, получим:

Значит, при четном k:

Следствие. Каждая подходящая дробь _k нечетного порядка меньше подходящих дробей _{k -1} и _k+1.

6. Любая подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка.

Доказательство. На основании четвертого и пятого свойства при l k получаем:

При l<k получаем:

Следовательно, при любых соотношениях между l и k выполняется неравенство:

Которое доказывает свойство 6.

7. Если t - положительное рациональное число, то при его разложении в цепную дробь четные подходящие дроби - приближения по недостатку, а нечетные - по избытку (за исключением последней дроби, совпадающей с t).

Доказательство. Если последняя подходящая дробь, совпадающая с числом t, четного порядка, то она (по свойству 4) больше остальных подходящих дробей четного порядка, которые дают, таким образом, приближения t по недостатку. Вместе с тем, число t как подходящая дробь четного порядка меньше любой подходящей дроби нечетного порядка (по свойству 6), а потому подходящие дроби нечетного порядка дают для t приближения с избытком. Аналогично - рассматривается случай, когда t - подходящая дробь нечетного порядка.

8. Если t - положительное рациональное число и _k подходящая дробь k-го порядка в разложении t в непрерывную дробь, то:

Доказательство. Так как на основании свойства 7 число t заключено между любыми двумя своими соседними подходящими дробями, то:

Тогда из следует:

Потому:

Следовательно:

Примеры:

Оценим приближение числа подходящей дробью .

Решение. На основании неравенства получаем:

Заменим число такой подходящей дробью, чтобы полученная при этом погрешность не превышала 0,001.

Решение. Разложим данное число в цепную дробь:

Получим:

[ 2; 1, 19, 1, 3].

Найдем подходящие дроби:

Следовательно, дробь ₂ не подходит.

Ответ: искомая подходящая дробь:

5. Аксиоматический подход к построению множества рациональных чисел

5.1 Свойства множества рациональных чисел

Будем предполагать, что известно, что такое натуральное число. Далее, без определения вводим термин рациональное число и формулируем свойства рациональных чисел (т. е., аксиомы, дающие, по существу, "косвенное определение" множества рациональных чисел). Перечислим основные свойства множества рациональных чисел.

Множество Q рациональных чисел обладает следующими четырьмя группами свойств.

1⁰. Для любых двух рациональных чисел a и b определена их сумма a + b. Операция сложения коммутативна и ассоциативна, т. е., a, b, c Q справедливы следующие соотношения:

a + b = b+ a

(a + b) + с = a + (b + с)

Имеется такое число 0 (нуль), что:

a _{* *} Q _* а + 0 = а

Наконец, для любых рациональных чисел a, b найдется, и притом только одно, рациональное число, являющееся корнем уравнения:

b + х = а

Это число называется разностью чисел a и b и обозначается a - b. Операция взятия разности называется вычитанием.

Разность 0 - а обозначают через - а.

2⁰. В множестве Q рациональных чисел содержатся все натуральные числа. Рациональные числа, представляющиеся в виде разности двух натуральных чисел называются целыми.

3⁰. Для любых двух рациональных чисел a и b определено их произведение ab. Операция умножения коммутативна, ассоциативна и дистрибутивна относительно сложения, т. е., a, b, c Q справедливы следующие соотношения:

a _* b = b _* a

(a _* b) _* с = a _* (b _* с)

a _* (b + с) = ab + ас

Для любого рационального числа a Q справедливо соотношение:

а _* 1 = а

Наконец, для любых рациональных чисел a, b, из которых b отлично от нуля, найдется, и притом только одно, рациональное число, являющееся корнем уравнения:

b _* х = а

Это число называется частным чисел a и b.

Операция нахождения частного называется делением. Частное тут обозначают через а^-1.

4⁰. Любое рациональное число представляется в виде частного некоторых двух целых чисел a, b (где b0).

Эти четыре группы свойств полностью характеризуют поле рациональных чисел, поэтому выполнение этих свойств можно принять в качестве определения множества Q всех рациональных чисел (если свойства натуральных чисел считать известными).

Все рациональные числа распадаются на три типа чисел: положительные, отрицательные и число 0. Положительным называется рациональное число, которое можно представить в виде отношения двух натуральных чисел. Число 0 не является положительным. Все остальные числа, т. е., отличные от 0 и не являющиеся положительными, называются отрицательными. Часто встречаются также термины неположительное число и неотрицательное число.

Число а называется неотрицательным, если оно либо равно нулю, либо положительно.

Неположительным число а будет в том случае, если оно либо равно нулю, либо отрицательно.

5.2 Примеры применения свойств рациональных чисел

С помощью указанных четырех групп аксиом докажем дальнейшие свойства рациональных чисел.

Теорема 1:

_* а _{* *} Q _* а _* 0 = 0

Доказательство. Используя аксиомы сложения и умножения, имеем:

а = 1 _* а = (1 + 0) _* а = 1 _* а + 0 _* а = а + 0 _* а

Таким образом, число 0 а является решением уравнения:

а = а + х

Но число 0 также является решением этого уравнения. Так как это уравнение имеет единственное решение (аксиомы 1⁰), то:

0 _* а = а

Теорема 2.

Если произведение двух рациональных чисел равно нулю, то хотя бы одно из них равно нулю.

Доказательство. Пусть ab=0. Если а0, то существует число, удовлетворяющее уравнению:

а _* х = 1

Так как ab=0, то по теореме 1:

Следовательно, b=0.

Теорема 3:

a _* Q _* a + (-a) = 0

Доказательство:

a + (-a) = 0

Заключение

В процессе развития культуры люди лишь постепенно приходили к понятию числа той или иной природы и использованию вводимых чисел в науке и практической деятельности.

Потребность в счете предметов, в количественном сравнении различных групп отдельных предметов возникла столь рано, что невозможно указать время появления представлений о первых натуральных числах.

Введение новых видов чисел, их изучение и использование в практической деятельности происходило постепенно. Лишь к началу девятнадцатого века математики подошли к созданию наиболее обширной из числовых систем - системе комплексных чисел.

Числа - целые, рациональные, действительные и комплексные - образуют тот фундамент, на котором строятся сложные конструкции различных областей математики.

Поэтому учителю начальной школы необходимо тщательно изучить известные числовые системы, в частности поле рациональных чисел. Этому вопросу и была посвящена данная дипломная работа.

Литература

Александров В.А., Горшенин С.М. «Задачник-практикум по теории чисел», «Просвещение», Москва, 1972 г.

Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. лекции и задачи по элементарной математике. М., "Наука", 1998 г.

Бухштаб А.А. «Теория чисел», «Просвещение», Москва, 1966 г.

Глейзер Г.И. История математики в школе. М., "Просвещение", 1983 г.

Завало С.Т. и др. «Алгебра и теория чисел. Часть II», Головное изд-во издательского объединения «Вища школа», Киев, 1980 г.

Кудреватов Г.А. «Сборник задач», «Просвещение», Москва, 1970 г.

Ляпин Е.С., Евсеев А.Е. «Алгебра и теория чисел. Часть I. Числа», «Просвещение», Москва, 1974 г.

Математика. Учебное пособие для педагогических институтов по специальности №2121 (под ред. Н.Я. Виленкина), - М., "Просвещение" 77 г.

Михелович Ш.Х. «Теория чисел», «Высшая школа», Москва, 1962 г.

Моро М.И., Бантова М.А. Математика. Учебник для 2 класса четырехлетней начальной школы. - М. «Просвещение», 1999 г.

Моро М.И., Бантова М.А. Математика. Учебник для 3 класса четырехлетней начальной школы. - М. «Просвещение», 1999 г.

Моро М.И., Бантова М.А. Математика. Учебник для 4 класса четырехлетней начальной школы. - М. «Просвещение», 2000 г.

Оре О. «Приглашение в теорию чисел» (перевод с английского Л. А. Савиной и А. П. Савина), «Наука», 1980 г.

Тихомиров В.М. Великие математики прошлого и их великие теоремы. Москва, издательство Московского центра непрерывного математического образования, 1999 г. математический число дробь

Энциклопедический словарь юного математика, «Педагогика», 1985 г.

Размещено на Allbest.ru