Актуальність теми. Дисертаційна робота відноситься до того напрямку в алгебрі, тематика і методи якого зв'язані з наступним питанням: які властивості має алгебра Лі (або асоціативна алгебра) L над асоціативно-комутативним кільцем R, яка розкладається в суму L=A+B двох своїх підалгебр A і B з деякими відомими властивостями? Такий розклад по аналогії з теорієї груп будемо називати факторизацією алгебри L (нагадаємо, що при вивченні груп з факторизацією знаходять властивості групи G=AB, знаючи властивості власних підгруп А і В з G). Напрям в теорії алгебр Лі, пов'язаний з вивченням сум алгебр Лі з тими чи іншими властивостями, виник на початку 60-х років в роботах М. Гото, Б. Кольмана, М. Флато і Д. Стернгеймера як під впливом аналогічної тематики з теорії груп, так і в зв'язку з деякими задачами з теорії груп Лі. Приблизно в цей же час в зв'язку з відомою теоремою Кегеля-Віландта про розв'язність скінченної групи, яка розкладається в добуток попарно переставних нільпотентних підгруп О. Кегель поставив питання Kegel O. H. Zur Nilpotenz gewisser assoziativer Ringe // Math. Ann. - 1963. 149. - S. 258-260 про те, чи буде розв'язною алгебра Лі L, яка розкладається в суму L=A+B своїх нільпотентних підалгебр А і В. Це питання, яке сформульоване також під номером 5.17 в відомому збірнику Коуровская тетрадь (Нерешенные вопросы теории групп), 11 изд. - Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1990. - 126с. нерозв'язаних проблем теорії груп мало великий вплив на розвиток цієї тематики. Дослідженню сум нільпотентних алгебр Лі присв'ячено велику кількість робіт, зокрема роботи М. Гото, А.І. Кострикіна, О. Кегеля, Ю.А. Бахтуріна, А.П. Петравчука, П.А. Зусмановича, В.В. Панюкова, А.Г. Гейна, Ф.Л. Толстова та інших. Негативний розв'язок проблеми О. Кегеля був отриманий А.П. Петравчуком в 1988 році, а саме була побудована нерозв'язна алгебра Лі характеристики p=2, яка розкладається в суму абелевої та нільпотентної підалгебр. Дещо пізніше П.А. Зусманович і В.В. Панюков довели розв'язність скінченновимірної алгебри Лі над полем характеристики p>2, яка розкладається в суму двох своїх нільпотентних підалгебр (для поля характеристики 0 відповідне твердження було отримано набагато раніше М. Гото Goto M. Note on a characterization of solvable Lie algebras // J. Sci. Hiroshima Univ. Ser. A1. - 1962. - 26, N1. P. 1. - 2). В зв'язку з цим основний інтерес представляють нескінченновимірні алгебри Лі, які розкладаються в суму двох своїх нільпотентних або близьких до нільпотентних підалгебр, які вивчались в роботах Б. Кольмана, К. Піллена, Ю.А. Бахтуріна і О. Кегеля, А.П. Петравчука та інших.

Вивченню сум двох нескінченновимірних алгебр Лі, які нільпотентні або близькі до нільпотентних присв'ячена значна частина розділу 2 дисертаційної роботи. Зокрема, доведена розв'язність нескінченновимірної алгебри Лі над довільним полем характеристики 2, яка розкладається в суму своєї абелевої та нільпотентної підалгебр. Комутаторне числення, яке розроблене для доведення цього результату може бути також корисним і в теорії груп, де аналогічного твердження поки що немає. Можна довести, що із розв'язності алгебри Лі над полем характеристики 2 вигляду L=A+B, де А абелева і В нільпотентна класу n випливає, що ступінь розв'язності s (L) алгебри L обмежений деякою функцією f (n) від n. Оскільки невідомо, чи буде обмеженим ступінь розв'язності скінченної р-групи G, яка розкладається в добуток G=AB абелевої підгрупи А і нільпотентної неабелевої підгрупи (навіть класу 2) підгрупи В, то відзначені вище результати з теорії алгебр Лі можуть бути корисними при одному із наступних відомих підходів: нехай G - скінченна р-група,

G=d₀ (G) d₁ (G) …d_n (G) =0

строго центральний ряд групи G з елементарними абелевими факторами, тобто

[d_i (G), d_j (G)] d_i+j (G)

і фактор-група d_i (G) / d_i+1 (G) eлементарна абелева (такий ряд існує з огляду на відомі результати з теорії р-груп). На прямій сумі

_i=0^n-1d_i (G) /d_i+1 (G)

введемо бінарну операцію множення, визначивши

[x+ d_i+1 (G), y+d_j+1 (G)] = [x,y] +d_i+j+1 (G)

для довільних елементів x+d_i+1 (G) d_i (G) /d_i+1 (G), y+d_j+1 (G) d_j (G) /d_j+1 (G) і розповсюдимо операцію далі за лінійністю. Отримаємо, як відомо, алгебру Лі над полем характеристики р і інколи результати для алгебр Лі можуть бути перенесені на групи.

Скінченність комутанту алгебри Лі є ознакою близькості алгебри Лі до абелевої алгебри і в параграфі 2 другого розділу вивчаються суми двох алгебр Лі зі скінченновимірними комутантами. Зокрема, доведена майже розв'язність (нескінченновимірної) алгебри Лі над довільним полем, яка розкладається в суму двох своїх підалгебр зі скінченновимірними комутантами. Відзначимо, що в теорії груп залишається відкритим питання про майже розв'язність добутку двох груп зі скінченними комутантами. Часткові випадки цього питання зустрічались у різних авторів, але сформульоване воно явно в монографії Amberg B., Franciosi S., de Giovanni F. Products of groups. - Oxford, Clarendon Press, 1992. (питання 14а).

Близькими до абелевих алгебр Лі можна вважати також майже абелеві алгебри Лі (тобто такі, які містять абелевий ідеал скінченної ковимірності) і вивченню сум двох таких алгебр Лі присв'ячений третій параграф другого розділу дисертаційної роботи. Зокрема, як наслідок отримана майже розв'язність суми двох алгебр Лі, скінченновимірних над своїми центрами (цей результат, який належить К. Піллену, є перенесенням на алгебри Лі теореми М.С. Чернікова Черников Н.С. О произведении почти абелевых групп // Укр. мат. журн. - 1981. - 33, N1. - С. 136-138. про майже розв'язність групи, яка розкладається в добуток двох своїх підгруп, скінченних над своїми центрами). Ще одним наслідком вищезгаданого твердження є майже розв'язність суми абелевої та майже абелевої алгебр Лі. Враховуючи глибокі зв'язки між алгебрами Лі та лінійними групами і з огляду на теорему Я.П. Сисака Сысак Я.П. О произведениях почти абелевых групп// Сб. Исследования групп с ограничениями для подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1988. - С. 81-86.. про майже двоступеневу розв'язність лінійної групи, яка розкладається в добуток двох своїх майже абелевих підгруп, було б цікаво знайти відповідь на питання: чи буде сума абелевої та майже абелевої алгебр Лі майже двоступенево розв'язною, тобто, чи буде вона містити метабелевий ідеал скінченної ковимірності? У випадку абстрактних груп питання про майже розв'язність добутку абелевої та майже абелевої груп залишається поки що відкритим, так само як і більш загальне питання М.С. Чернікова про те, чи буде майже розв'язним добуток двох майже абелевих груп (питання 7.55 зі збірника².

Крім звичайних сум алгебр Лі в дисертаційній роботі розглядаються ще й так звані потрійні суми: алгебру Лі L будемо називати потрійною сумою своїх підалгебр A, B, C, якщо

L=A+B=A+C=B+C.

Ця постановка задач походить з теорії груп, де добре відома теорема О. Кегеля про нільпотентність скінченної групи G, яка розкладається в потрійний добуток G=AB=AC=BC своїх нільпотентних підгруп A, B, C. Аналог цього результату Кегеля вже не має місця для алгебр Лі, а саме існують скінченновимірні ненільпотентні алгебри Лі, які розкладаються в потрійну суму навіть абелевих алгебр Лі. З використанням деяких підходів, близьких до тих які використовувались Я.П. Сисаком Сысак Я.П. Произведения бесконечных групп. - Киев, 1982. - 36с. - (Препринт/ АН УССР, Ин-т математики; N82. 53). при дослідженні факторизованих груп з допомогою радикальних кілець, отримано опис скінченновимірних алгебр Лі над алгебраїчно замкненими полями, які розкладаються в потрійну суму абелевих алгебр Лі.

При дослідженні суми L=A+B нільпотентних алгебр Лі A і B, так само як і в теорії груп при вивченні груп, факторизованих нільпотентними підгрупами, природно виникає питання про оцінки ступеня розв'язності алгебри Лі L в залежності від класів нільпотентності доданків A і B. Так само як і для груп існує нерозв'язана до цього часу проблема О. Кегеля²: чи обмежений ступінь розв'язності s (L) алгебри Лі L сумою c (A) +c (B) класів нільпотентності підалгебр A і B. В дисертаційній роботі показано, що в характеристиці 2 ступінь розв'язності суми абелевої алгебри Лі та алгебри Лі класу нільпотентності 2 не перевищує 10 (цей результат випливає з доведення теореми про розв'язність суми абелевої та нільпотентної алгебр Лі над полем характеристики 2). Хоча отримана оцінка досить груба, вона є цікавою хоча б тому, що в загальному випадку невідомі ніякі оцінки для добутку абелевої та нільпотентної класу 2 груп (навіть для скінченних p-груп такого роду). Відмічено також, що для алгебр Лі характеристики p=2 взагалі не існує ніяких оцінок для ступеня розв'язності s (L) в залежності від c (A) і c (B) (побудовано алгебри Лі як завгодно високого ступеня розв'язності, які розкладаються в суму абелевої та нільпотентної класу 2 підалгебр).

Ще один можливий шлях для побудови конкретних прикладів алгебр Лі з факторизаціями може вказати вінцевий добуток алгебр Лі (див. роботу А.Л. Шмелькіна Шмелькин А.Л. Сплетение алгебр Ли и их применение в теории групп // Труды Моск. Матем. об-ва. - 1973. - 29. - С. 247-260. ). Це зв'язано з тим, що вінцеві добутки груп успішно застосовуються при конструюванні груп з факторизаціями і можна сподіватись, що ця конструкція буде корисна і для алгебр Лі з факторизаціями.

Паралельно з дослідженням алгебр Лі з факторизацією розвивався аналогічний напрямок в теорії асоціативних алгебр і кілець. Одними з перших тут були результати О. Кегеля про суми нільпотентних та суми узагальнено нільпотентних асоціативних алгебр та кілець, а також результати І. Херстейна та Л. Смолла про PI-кільця, які розкладаються в суму двох ніль-кілець. За останні 10-15 років з'явилось багато робіт в цьому напрямку, зокрема роботи А. Келарева, К.І. Бейдара і А.В. Михальова, Ю.А. Бахтуріна, А. Джамбруно, О. Кегеля, М. Ферреро, Е. Пучиловського, А.П. Петравчука, А. Сальва та інших, де розглядалися суми асоціативних алгебр, близьких до нільпотентних та до ніль-алгебр.

Одне з питань О. Кегеля було таким: чи буде ніль-кільцем асоціативне кільце, яке розкладається в суму ніль-підкільця та локально нільпотентного підкільця. Херстейн і Смолл Herstein I. N., Small L. W. Nil rings satisfying certain chain conditions// Canad. J. Math. - 1964. - 16. - P. 771-776. показали, що РІ-кільце локально нільпотентне, якщо воно є сумою двох ніль-підкілець. В роботі⁹ вони поставили питанння про те, чи буде сума двох локально нільпотентних асоціативних кілець локально нільпотентним кільцем. Негативну відпловідь на це питання отримав А. Келарев, побудувавши приклад напівгрупи, яка розкладається в обєднання двох локально нільпотентних напівгруп, але не є локально скінченною напівгрупою. Напівгрупова алгебра цієї напівгрупи над полем дійсних чисел і дає приклад асоціативної алгебри, яка розкладається в суму двох локально нільпотентних підалгебр, але не є ніль-алгеброю. Елегантний приклад такого ж типу асоціативної алгебри вказав недавно А. Сальва, який побудував напівгрупу часткових відображень дійсної прямої R¹ в себе, яка розкладається в об'єднання двох своїх локально нільпотентних піднапівгруп, але містить ненільпотентні елементи. Дослідження в цій області привернули до себе велику увагу також в зв'язку з тим, що Е, Пучиловський і М. Ферреро в роботі Ferrero M., Puczylowski E. R. On rings which are sums of two subrings // Arch. Math.. - 1989. - 53. - P. 4-10. показали, що знаменита проблема Кете еквівалентна питанню про те, чи буде ніль-кільцем сума нільпотентного кільця та ніль-кільця.

Ще один напрям в дослідженнях асоціативних алгебр з факторизаціями пов'язаний з вивченням сум PI-алгебр. Декілька років тому Ю.А. Бахтурін та А. Джамбруно, а потім і О. Кегель почали вивчення сум асоціативних комутативних кілець. Оскільки такі суми виявились PI-кільцями, то в зв'язку з цим К.І. Бейдар і А.В. Міхальов в роботі Бейдар К.И., Михалев А.В. Обобщенные полиномиальные тождества и кольца, являющиеся суммами двух подколец // Алгебра и логика. - 1995. - 34б №1. - С. 3-11. поставили питання, чи буде PI-кільцем асоціативне кільце, яке розкладається в суму двох своїх PI-підкілець? Сумам PI-кілець присв'ячено роботи К.І. Бейдара і А.В. Міхалева, А.П. Петравчука, Е. Пучиловського і М. Кепчика, які з'явились в останні декілька років. Досить ефективним апаратом для дослідження сум асоціативних алгебр і кілець виявилась теорія радикалів (див, наприклад, книгу В.А. Андрунакієвича і Ю.М. Рябухіна Андрунакиевич В.А., Рябухин Ю.М. Радикалы алгебр и структурная теория. - М.: Наука. - 1979. - 495с. ). З використанням деяких підходів з теорії радикалів Е. Пучиловський та М. Кепчик вказали ряд важливих властивостей асоціативних кілець, які розкладаються в суму двох своїх PI-підкілець з тими чи іншими властивостями. Зокрема, недавно вони довели, що асоціативне кільце R, яке розкладається в суму R=R₁+R₂ свого ніль-підкільця обмеженого індексу нільпотентності R₁ і підкільця R₂, яке задовольняє деякій поліноміальній тотожності, є РІ-кільцем.

Дослідженню сум деяких асоціативних кілець і алгебр присв'ячений третій розділ дисертаційної роботи. Оскільки майже комутативні алгебри над полем (тобто алгебри, які містять комутативний ідеал скінченної ковимірності) є природнім узагальненням як комутативних алгебр, так і скінченновимірних алгебр, то в дисертаційній роботі детально вивчена будова сум таких асоціативних алгебр. Один з основних результатів тут - опис асоціативної алгебри над довільним полем, яка розкладається в суму двох своїх майже комутативних підалгебр. Крім того, отримано узагальнення відомої теореми О. Кегеля¹ про суму нільпотентних кілець: якщо асоціативна алгебра R над довільним полем розкладається в суму двох своїх майже нільпотентних підалгебр, то алгебра R також майже нільпотентна.

Відзначимо в зв'язку з попередніми результатами, що суми локально нільпотентних асоціативних алгебр можуть мати досить складну будову. Це показала О. Фукшанскі, яка побудувала асоціативну алгебру, що розкладається в суму двох своїх локально нільпотентних підалгебр, але містить вільну некомутативну підалгебру. В дисертаційній роботі не розглядаються асоціативні алгебри, що є сумою трьох своїх підалгебр з тими чи іншими властивостями і пов'язано це з тим, що будова їх може бути дуже складною навіть у випадку нільпотентних доданків: як показав Л.А. Бокуть будь-яка проста асоціативна алгебра може бути вкладена в суму трьох нільпотентних асоціативних алгебр.

Лієво нільпотентні кільця складають важливий підклас класу PI-кілець і вивчення їх сум важливе також з точки зору теорії алгебр Лі (переходячи до приєднаних кілець Лі, ми автоматично отримуємо твердження для кілець Лі). Для сум лієво нільпотентних кілець можна сформулювати наступне питання (ослаблений аналог питання Кегеля про суми алгебр Лі): чи буде лієво розв'язним асоціативне кільце, яке розкладається в суму двох своїх лієво нільпотентних підкілець? В дисертаційній роботі це питання позитивно розв'язано у випадку, коли один з доданків комутативний. Отриманий результат не випливає з аналогічних досліджень для алгебр Лі, хоча б тому, що він справедливий для алгебр над довільним полем, а не тільки над полями характеристики 2. З доведення вищезгаданого результату випливає також оцінка ступеня лієвої розв'язності асоціативного кільця R, яке розкладається в суму R=A+B комутативного підкільця A та лієво нільпотентного підкільця B. Хоча ця оцінка (квадратичного характеру) досить далека від тієї, яка міститься в гіпотезі О. Кегеля ², її існування цікаве з огляду на майже повну відсутність кількісних оцінок в цій тематиці.

Ще одна задача факторизаційного характеру, яка може бути поставлена одночасно як для алгебр Лі, так і для асоціативних алгебр і походження якої пов'язано в основному з теорією груп формулюється таким чином: якщо дана алгебра Лі L, в якій для кожної підалгебри A з деякої системи S підалгебр з L існує доповнення, тобто така підалгебра BL (яка залежить від підалгебри A), що L=A+B, AB=0, то що можна сказати про властивості алгебри L? Аналогічна задача з теорії груп про вивчення груп з системами доповнюваних підгруп відноситься до напряму, пов'язаному з ім'ям С.М. Чернікова. Скінченні групи, в яких доповнювані всі підгрупи (цілком факторизовані групи) вивчались ще в 30-х роках Ф. Холлом, а пізніше довільні, як скінченні, так і нескінченні, цілком факторизовані групи були описані Н.В. Черніковою Черникова Н.В. Группы с дополняемыми подгруппами // Матем. сб. - 1956. - 3. - С. 273-292. . В зв'язку з цим цікавим є питання про будову алгебр Лі, в яких доповнювані всі підалгебри. Як показано в дисертаційній роботі, алгебри Лі такого роду є якраз алгебрами Лі з нульовим перетином всіх підалгебр ковимірності 1. Алгебри Лі нульової характеристики з такою умовою вивчались багатьма авторами (Ж. Тітс, К. Гофман, Д. Погунтке та інші) в зв'язку з деякими задачами із теорії груп Лі та напівалгебр Лі. Задача опису скінченновимірних дійсних алгебр Лі з нульовим перетином всіх підалгебр ковимірності 1 еквівалентна опису дії скінченновимірної групи Лі на одновимірних гладких многовидах, яке було отримане С. Лі в ще 70-х роках минулого століття. Тому цікавим є питання про будову алгебр Лі вказаного виду над полями позитивної характеристики.

В дисертаційній роботі описані скінченновимірні алгебри Лі над досконалими полями позитивної характеристики і над довільним полем характеристики p=2, в яких доповнювані всі одновимірні підалгебри і тим самим вияснено будову алгебр Лі з нульовим перетином всіх підалгебр ковимірності 1 над вказаними полями. При деяких обмеженнях дано також опис нескінченновимірних локально скінченних алгебр Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами. Цікаво відзначити, що як і в випадку сум нільпотентних алгебр Лі, тут характеристика основного поля також суттєво впливає на структуру алгебр Лі, які вивчаються (над полями характеристики p=2 алгебри Лі з доповнюваними підалгебрами розв'язні, на противагу характеристиці 2). Отримані результати можуть бути також корисними при описі дії нескінченновимірних груп Лі на гладких многовидах. Як показано в дисертаційній роботі умова доповнюваності одновимірних підалгебр скінченновимірної алгебри еквівалентна умові доповнюваності всіх її підалгебр. Аналогічне твердження вже не має місця для нескінченновимірних алгебр Лі і тому потрібно вивчати вже два різних класи алгебр Лі (клас алгебр Лі, в яких доповнювані всі підалгебри - с-алгебр Лі і клас алгебр Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами - с₁-алгебр Лі, як вони для зручності називаються в дисертаційній роботі.).

Нескінченновимірні алгебри Лі, які вивчаються в дисертаційній роботі, вважаються скрізь локально скінченними (тобто локально скінченновимірними) і тому відповідь на питання: чи буде алгебра Лі з доповнюваними підалгебрами локально скінченною? - зняла б обмеження в формулюваннях отриманих результатів. Відповідь на аналогічне питання для алгебр Лі з доповнюваними одновимірними питаннями негативна (автор вдячний проф.К. Неебу за наступний приклад): нехай L - алгебра Лі всіх гладких векторних полів на дійсній прямій, L_x={vL v (x) =0} - підалгебра тих полів, які мають нульове значення в точці xR. Неважко переконатись, що фактор-простір L/L_x одновимірний і перетин всіх підалгебр L_x для xR нульовий. Тому, як показано в дисертаційній роботі, в алгебрі L доповнювані всі одновимірні підалгебри, хоча алгебра L і не є локально скінченновимірною.

Для алгебри Лі L з нульовим перетином всіх підалгебр ковимірності 1 підалгебра Фраттіні (L) (тобто перетин всіх максимальних підалгебр із L), очевидно, дорівнює нулю. Скінченновимірні алгебри Лі з (L) =0 (переважно нульової характеристики) досліджувались в багатьох роботах (Барнса, Тауерса, Штітцінгера та інших) і тому деяку інформацію про будову алгебр Лі характеристики 0 з доповнюваними одновимірними підалгебрами можна отримати із їх робіт.

Вивчення алгебр Лі з системами доповнюваних підалгебр, як відзначалося вище, тісно пов'язане з аналогічною, досить розвиненою тематикою в теорії груп, як в ідейному відношенні, так і використанням деяких підходів і методів. Зокрема, це підходи, які використовуються при вивченні груп, в яких доповнювані всі циклічні підгрупи, всі нециклічні підгрупи і т.д. Третій параграф четвертого розділу дисертаційної роботи присв'ячено саме вивченню груп, як скінченних, так і нескінченних з деякими умовами на систему доповнюваних підгруп. Отримано опис нескінченних груп з доповнюваними нециклічними непримарними підгрупами і охарактеризовані (при деяких обмеженнях) скінченні групи з доповнюваними надсилівськими підгрупами (тобто такими підгрупами, які містють хоча б одну неодиничну силовську підгрупу всієї групи).

Крім умов доповнюваності на систему підалгебр алгебри (або систему підгруп групи) можно накладати обмеження і іншого характеру, зв'язаного, наприклад, з розв'язністю або з нільпотентністю елементів цієї системи. Те, що цей підхід є плідним не викликає сумніву, оскільки такі важливі поняття, як локальна розв'язність, локальна нільпотентність, майже розв'язність і т.д. виникають саме на цьому шляху. На противагу теорії груп, в теорії алгебр Лі тематика, яка зв'язана з узагальненою розв'язністю та нільпотентністю розвинена досить слабо і оскільки алгебри Лі такого виду виникають природнім чином при вивченні сум нільпотентних або близьких до нільпотентних алгебр Лі, один з параграфів дисертації присвячено вивченню майже розв'язних алгебр Лі. Майже розв'язні алгебри Лі, тобто алгебри Лі, які містять розв'язний ідеал скінченної ковимірності, є природнім узагальненням розв'язних алгебр Лі і алгебр Лі скінченної вимірності. Тому природньо очікувати, що для них справедливі аналоги результатів про скінченновимірні та розв'язні алгебри Лі.

Встановлено деякі важливі властивості майже розв'язних алгебр Лі, які аналогічні властивостям майже розв'язних груп (алгебра Лі з розв'язною підалгеброю скінченної ковимірності майже розв'язна, розширення майже майже розв'язної алгебри Лі за допомогою майже розв'язної алгебри Лі є майже розв'язною і т.д.) При цьому вказані приклади, коли такої аналогії вже немає: наприклад, абелева підалгебра скінченої ковимірності в нескінченновимірній алгебрі Лі може не містити ненулевих ідеалів всієї алгебри. Добре відомо, що розв'язний радикал скінченновимірної алгебри Лі нульової характеристики є характеристичним ідеалом цієї алгебри і що це вже невірно для алгебр Лі позитивної характеристики. Тому цікавою є та обставина, що ця різниця вже зникає при переході до майже розв'язних алгебр Лі. Зауважимо, що доведення більшості результатів про майже розв'язні алгебри Лі грунтуються на підходах, які принципово відрізняються від підходів при вивченні майже розв'язних груп.

Крім алгебр Лі з обмеженнями на системи розв'язних підалгебр розглядаються також періодичні локально розв'язні групи з обмеженнями на силовські -підгрупи. Для їх вивчення встановлено деякі залежності в скінченних -розв'язних групах ( - деяка скінченна множина простих чисел) між довжинами '--рядів і параметрами холловських -підгруп. Зокрема доведено, що в періодичній локально розв'язній групі G всі силовські підгрупи мають скінченні експоненти тоді і тільки тоді, коли вона має скінченний ряд характеристичних підгруп, кожний фактор якого є або р-групою для деякого р або '-групою. Звідси, зокрема, випливає, що локально розв'язна група скінченної експоненти має скінченний ряд характеристичних підгруп з примарними факторами. Вказані також деякі властивості таких груп, які пов'язані з наявністю в них рядів з нільпотентними або локально нільпотентними -факторами.

Мета роботи. Метою роботи є дослідження алгебр Лі, як скінченновимірних так і нескінченновимірних, які розкладаються в суму двох своїх нільпотентних або близьких до нільпотентних підалгебр, вивчення асоціативних алгебр і кілець, які розкладаються в суму двох підалгебр (підкілець) з умовами, близькими до комутативності або нільпотентності, отримання оцінок для ступеня розв'язності алгебри L=A+B в залежності від класів нільпотентності доданків А і В, дослідження алгебр Лі, з доповнюваними підалгебрами а також з доповнюваними одновимірними підалгебрами, встановлення властивостей майже розв'язних алгебр Лі (тобто алгебр Лі, які містять розв'язний ідеал скінченної ковимірності), а також деяких класів груп, переважно нескінченних з деякими системами доповнюваних підгруп і властивостями силовських -підгруп.

Наукова новизна. В дисертаційній роботі автором отримані нові теоретичні результати, зокрема:

дано негативний розв'язок проблеми О. Кегеля про те, чи буде розв'язною алгебра Лі, яка розкладається в суму двох своїх нільпотентних підалгебр;

алгебра лі асоціативна абелева

доведено розв'язність (нескінченновимірної) алгебри Лі над полем характеристики 2, яка розкладається в суму абелевої та нільпотентної підалгебр,

встановлено майже розв'язність алгебри Лі над довільним полем, яка розкладається в суму двох своїх підалгебр зі скінченновимірними комутантами;

доведена майже розв'язність суми майже абелевої алгебри Лі та алгебри Лі, яка скінченновимірна над своїм центром, і як наслідок отримано майже розв'язність суми абелевої та майже абелевої алгебр Лі.

встановлено основні властивості майже розв'язних алгебр Лі: показано, що така алгебра Лі містить характеристичний розв'язний ідеал скінченної ковимірності, доведено, що алгебра Лі з розв'язною підалгеброю скінченної ковимірності майже розв'язна;

досліджено будову асоціативних алгебр над довільним полем, які розкладаються в суму двох своїх майже комутативних підалгебр, доведено лієву розв'язність суми комутативного та лієво нільпотентного асоціативних кілець;

дано опис скінченновимірних алгебр Лі над досконалим полем, в якій доповнювана кожна підалгебра та охарактеризовані деякі класи нескінченновимірних алгебр Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами;

досліджено нескінченні групи з доповнюваними нециклічними непримарними підгрупами і (при деяких обмеженнях) скінченні групи з доповнюваними надсилівськими підгрупами та охарактеризовані періодичні локально розв'язні групи з скінченноекспонентними силівськими -підгрупами;

Всі ці результати отримано вперше.

Теоретична та практична цінність дисертації. Робота має теоретичний характер. Результати можуть бути використані в подальших дослідженнях з теорії нескінченновимірних алгебр Лі з факторизаціями, при вивченні сум асоціативних алгебр і кілець.

Апробація результатів дисертації. Результати дисертаційної роботи в різний час доповідались доповідались:

на 10-ому Всесоюзному симпозіумі з теорії груп (Гомель 1986р),

на XIX Всесоюзній алгебраїчній конференції (м. Львів, 1987р.),

на Міжнародній алгебраїчній конференції пам'яті А.І. Мальцева (Новосибірськ, 1989р.),

на Міжнародній алгебраїчній конференції пам'яті А.І. Ширшова (Барнаул, 1991 р.),

на Міжнародних математичних конференціях пам'яті М.П. Кравчука (Київ, 1992, 1996),

на Всеукраїнській математичній конференції памяті пам'яті П. Казимірського (Львів, 1995),

на 5-й Міжнародній конференції "Групи і групові кільця” (Львів, 1996),

на Міжнародній алгебраїчній конференції пам'яті Д.К. Фаддеева (С. - Петербург, 1997),

на Міжнародній алгебраїчній конференції пам'яті Л.М. Глускіна (Словянськ, 1997).

Крім того, результати дисертаційної роботи доповідались на семінарі кафедри алгебри Московського державного університету (1987 р.), на семінарі з теорії груп Новосибірського університету (1989 р.), на алгебраїчному семінарі Інституту математики університету м. Фрайбург (ФРН, 1996), на семінарі з алгебри університету м. Кольмар (Франція, 1996), на алгебраїчному семінарі Київського університету імені Тараса Шевченка (1998 р.), на алгебраїчному семінарі Інституту математики НАН України (1999 р.).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковані в 15 наукових статтях, а також в 12 тезах доповідей наукових конференцій (це публікації [1] - [15] та відповідно [16] - [27] із списку робіт, який наведено в кінці автореферату).

Особистий внесок автора. В статті "Характеризация периодических локально разрешимых групп с разрешимыми и с конечноэкспонентными силовскими -подгруппами" автору особисто належить теорема 1 в частині про силовські підгрупи скінченної експоненти та теорема 2. В іншій спільній роботі "О -длине конечных -разрешимых групп" автору особисто належить частина 2 теореми 2, яка пов'язана з випадком абелевих 2-підгруп групи. Дві інші спільні роботи є тезами конференцій, де були анонсовані результати двох вищезгаданих спільних робіт.

Структура та об'єм дисертації. Робота складається з вступу, розділу "Огляд літератури. Попередні дані”, розділу "Суми нільпотентних чи близьких до нільпотентних алгебр Лі” (містить 4 підрозділи), розділу "Суми асоціативних алгебр” (містить 2 підрозділи), розділу "Алгебри Лі і групи з системами доповнюваних підалгебр і підгруп" (містить 3 підрозділи), розділу "Алгебри Лі і групи з деякими системами розв'язних підалгебр і підгруп" (містить 2 підрозділи), загальних висновків, списка літератури, що складається з 145 найменувань, загальний обсяг роботи 274 сторінки

Зміст роботи

У вступі дається огляд напрямків в теорії алгебр Лі і асоціативних алгебр, пов'язаних з поняттям факторизації. В першому розділі дано огляд літератури за темою дисертації та викладені методи дослідження алгебр Лі та асоціативних алгебр з факторизаціями. Наводяться також основні результати, які використовуються в дисертаційній роботі. Даються означення деяких математичних об'єктів і понять, які використовуються в роботі, але не є легкодоступними в літературі.

В другому розділі вивчаються суми алгебр Лі, які або нільпотентні або близькі до нільпотентних. В першому параграфі дається розв'язок (негативний) відомої проблеми О. Кегеля про розв'язність алгебри Лі, яка розкладається в суму двох своїх нільпотентних підалгебр:

Теорема 2.1.1 Над довільним полем К характеристики р=2 існує нерозв'язна скінченновимірна алгебра Лі L, яка розкладається в суму L=A+B абелевої підалгебри А і нільпотентної (класу 2) підалгебри В.

Цей результат є основним в параграфі 1 другого розділу. Тут також розвинено деяке комутаторне числення, яке широко використовується в подальших розділах дисертації. Прикладом твердження про добутки елементів в алгебрах Лі, що розкладаються в суму двох своїх підалгебр може слугувати наступна

Лема 2.1.3 Нехай L - алгебра Лі над асоціативно-комутативним кільцем з одиницею, яка розкладається в суму L=A+B абелевої підалгебри А і деякої підалгебри В. Тоді для будь-яких натуральних чисел i, j иконуються співвідношення:

[[A, Bⁱ], [A, B^j]] [A, Bⁱ⁺¹] + [A, B^j+1] + [A, B^i+j,L] +B²

[A, B^i+j,L] [A, Bⁱ] + B²

З цих співвідношень легко отримати також розв'язність суми двох абелевих алгебр Лі (аналог теореми Н. Іто з теорії груп), яка була встановлена Б. Кольманом.

З використанням вищезгаданого комутаторного числення встановлено також таке твердження про суму абелевої та нільпотентної алгебр Лі:

Теорема 2.1.4 Нехай L - ненулева алгебра Лі над асоціативно - комутативним кільцем R з одиницею, яка розкладається в суму L=A+B абелевої підалгебри А і нільпотентної підалгебри В. Тоді алгебра L не співпадає зі своїм комутантом.

Ця теорема, зокрема, показує, чому контрприклад до гіпотези О. Кегеля з теореми 2.1.1 є непростою алгеброю Лі. З теореми 2.1.1 можна, використовуючи конструкцію тензорного добутку алгебри Лі та асоціативно комутативної алгебри над тим же полем, отримати такий наслідок, який має самостійне значення і ще раз підкреслює специфіку характеристики р=2 при вивченні сум алгебр Лі.

Твердження 2.1.6. Над довільним полем К характеристики р=2 існує скінченновимірна алгебра Лі L довільного наперед заданого ступеня розв'язності n, яка розкладається в суму L=A+B абелевої підалгебри А та нільпотентної класу 2 підалгебри В.

Ще одним важливим результатом параграфу 1 розділу 2 є наступна теорема:

Теорема 2.1.10 Нехай L - (нескінченновимірна) алгебра Лі над полем К характеристики 2, яка розкладається в суму L=A+B абелевої підалгебри А та нільпотентної підалгебри В. Тоді алгебра L розв'язна.

Для доведення цієї теореми в алгебрі Лі L=A+B будується підалгебра виду L₁=N+B, де К-підпростір N має властивості [N, N] B², [N, B] N, NB=0, тобто L₁ є Z₂-градуйованою алгеброю Лі. Використовуючи деякі співвідношення симетрії в цій підалгебрі оцінюється ступінь розв'язності її ідеалу з розв'язною фактор-алгеброю. На жаль, цей підхід не дає загальних оцінок для ступеня розв'язності алгебри Лі L в залежності від класу нільпотентності підалгебри В. Але все ж таки, з використанням загальної схеми доведення теореми 2.1.10, отримано таке твердження (цікавою тут є друга частина твердження):

Твердження 2.1.12 Якщо алгебра Лі L над полем K характеристики 2 розкладається в суму L=A+B абелевої підалгебри А та нільпотентної класу n підалгебри В, то L розв'язна і ступінь її розв'язності s (L) f (n) для деякої функції f (n). Якщо підалгебра В нільпотентна класу 2, то s (L) 10.

Обмеження на характеристику поля в цьому наслідку суттєве і не тільки тому, що в характеристиці р=2 існують нерозв'язні алгебри Лі, які розкладаються в суму абелевої та нільпотентної підалгебр, але також з огляду на вищенаведене твердження 2.1.6.

В параграфі 2.2 вивчаються алгебри Лі (нескінченновимірні), які розкладаються в суму двох підалгебр зі скінченновимірними комутантами. Алгебри Лі L з dim [L, L] < близькі до абелевих, оскільки величина комутанту [L, L] є мірою неабелевості алгебри Лі L. Тому питання про структуру алгебри Лі L, яка є сумою двох своїх підалгебр А і В з dim [A, A] +dim [B, B] < є природнім. Основним результатом цього параграфу є

Теорема 2.2.20. Нехай L - алгебра Лі над довільним полем, яка розкладається в суму L=A+B своїх підалгебр А і В зі скінченновимірними комутантами. Тоді алгебра L майже розв'язна.

При доведенні цієї теореми широко використовувалися властивості FC-алгебр Лі (алгебр Лі, в яких кожен елемент має централізатор скінченної ковимірності), оскільки в алгебрі Лі зі скінченновимірним комутантом, як неважко переконатись, централізатор кожного елементу має скінченну ковимірність. Деякі з цих властивостей отримані в дисертаційній роботі, деякі були встановлені раніше іншими авторами для так званих ідеально скінченних алгебр Лі (в яких кожен елемент міститься в скінченновимірному ідеалі), які, насправді, є FC-алгебрами Лі. Наступна лема вказує деякі важливі властивості алгебр Лі зі скінченновимірними комутантами, які часто використовуються при вивченні сум алгебр Лі.

Лема 2.2.7 Нехай L - алгебра Лі зі скінченновимірним комутантом [L, L].

Тоді справедливі твердження:

(а) L є FC-алгеброю Лі;

(б) якщо [L, L] Z (L) =0, то L=AB, де А - деякий абелевий ідеал і В - деякий скінченновимірний ідеал алгебри L;

(в) алгебра L містить характеристичний нільпотентний (класу нільпотентності 2) ідеал скінченної ковимірності.

Наступна властивість FC-алгебр Лі є повним аналогом відповідної властивості груп і дозволяє знаходити необхідні ідеали в нескінченновимірних алгебрах Лі, які сумами алгебр Лі зі скінченновимірними комутантами.

Лема 2.2.12. Якщо FC-алгебра Лі містить підалгебру А скінченної ковимірності, то L містить ідеал скінченної ковимірності, який лежить в підалгебрі А.

Зокрема з останньої леми, з врахуванням результатів про розв'язність скінченновимірних алгебр Лі характеристики 2, що розкладаються в суму двох своїх нільпотентних підалгебр, випливає таке

Твердження 2.2.14. Нехай L - алгебра Лі над довільним полем К, яка розкладається в суму L=A+B нільпотентних підалгебр А і В. Якщо хоча б одна із підалгебр А або В скінченновимірна, то алгебра L майже розв'язна, а при charK2 - розв'язна.

Доведення основної теореми цього параграфу ведеться фактично індукцією за сумою розмірностей комутантів доданків і п. а) наступної леми дозволяє вважати в подальших міркуваннях, що перетин доданків є тривіальним.

Лема 2.2.16. Нехай алгебра Лі L розкладається в суму L=A+B підалгебр А і В зі скінченновимірними комутантами. Тоді

(а) АВ міститься в FC-центрі FC (L) алгебри L;

(б) FC (L) - майже розв'язний ідеал алгебри L;

(в) якщо A²B²=0, то будь-який ідеал алгебри L, який має нульовий перетин з підпростором A²+B² розв'язний.

Ключовим результатом для пошуку нетривіальних FC-ідеалів в алгебрі Лі, яка розкладається в суму двох своїх підалгебр зі скінченновимірними комутантами є наступна

Лема 2.2.17. Нехай L - алгебра Лі, що є сумою L=A+B своїх підалгебр А і В зі скінченновимірними комутантами, яка задовольняє наступним умовам:

(а) FC (L) =0;

(б) алгебра L містить такий FC-ідеал N, що

L=N+A=N+B.

Тоді для будь-якого елемента n₀ із N виду n₀=a₀+b₀ з a₀Z (A), b₀Z (B) справедлива рівність [n₀, N²] =0

з використанням якої отримано останній необхідний результат для доведення теореми 2.2.20

Лема 2.2.19. Нехай L - алгебра Лі, яка розкладається в суму L=A+B підалгебр А і В зі скінченновимірними комутантами. Якщо L містить такий FC-ідеал N, що L=A+N=B+N, то L майже розв'язна.

Як наслідок з теореми 2.2.20 з урахуванням розв'язності суми двох скінченновимірних алгебр Лі характеристики 2, отримаємо такий результат

Теорема 2.2.22. Нехай алгебра Лі над довільним полем характеристики 2 розкладається в суму L=A+B своїх нільпотентних підалгебр А і В зі скінченновимірними комутантами. Тоді алгебра Лі розв'язна.

Двоїстими (в деякому сенсі) до алгебр Лі зі скінченновимірними комутантами є майже абелеві алгебри Лі, які також є близькими до абелевих алгебр Лі (алгебру Лі над полем будемо називати майже абелевою, якщо вона містить абелевий ідеал скінченної ковимірності). Майже абелеві алгебри Лі вже не обов'язково є FС-алгебрами Лі і для їх вивчення використовується інші підходи. Наступна теорема є основним результатом третього параграфу другого розділу:

Теорема 2.3.1 Нехай L - алгебра Лі над довільним полем, яка розкладається в суму L=A+B скінченновимірної над своїм центром підалгебри А і майже абелевої підалгебри В. Тоді алгебра L майже розв'язна (тобто містить розв'язний ідеал скінченної ковимірності).

Зокрема, звідси випливає таке твердження, яке має самостійне значення

Наслідок 2.3.2 Сума абелевої та майже абелевої алгебр Лі майже розв'язна.

Оскільки доведення теореми зводиться в кінці кінців до суми двох абелевих алгебр Лі, то при цьому корисним є наступний результат, що узагальнює твердження про метабелевість суми двох абелевих алгебр Лі.

Лема 2.3.3 Нехай L - алгебра Лі, M, N, - її абелеві підалгебри, m₁, m₂M, n₁, n₂N - довільні елементи. Тоді:

якщо [m₁, n₂] і [m₂, n₁] належать сумі M+N, то [[m₁, n₁], [m₂, n₂]] =0;

якщо T - ідеал алгебри L, який міститься в К-підпросторі M+N, то ідеал T розв'язний і ступінь його розв'язності не перевищує двох.

Так само, як і в попередньому параграфі, важливу роль при вивченні сум двох майже абелевих алгебр Лі відіграють FC-алгебри Лі. Це показує наступне твердження:

Лема 2.3.5 Нехай L - алгебра Лі, яка розкладається в суму L=A+B своїх майже абелевих підалгебр А і В. Тоді FC-центр I=FC (L) алгебри L є майже розв'язним ідеалом алгебри L.

та наслідок з нього:

Наслідок 2.3.7 Нехай L - алгебра Лі, яка розкладається в суму L=A+B своїх майже абелевих підалгебр А і В. Тоді сума всіх майже розв'язних ідеалів алгебри L є майже розв'язним ідеалом із L.

Для доведення основної теореми третього параграфу детально вивчені властивості мінімального контрприкладу до цієї теореми, який введено в розгляд наступним означенням:

Означення 2.3.11. Нехай L - алгебра Лі над довільним полем, яка розкладається в суму L=A+B своїх підалгебр А і В, де А - скінченновимірна над своїм центром алгебра і В майже абелева. Алгебру L будемо називати мінімальним SF-контрприкладом, якщо вона задовольняє наступні умови:

L не містить ненулевих майже розв'язних ідеалів, зокрема L не є майже розв'язною алгеброю Лі;

підалгебра В не міститься в більшій майже абелевій підалгебрі із L.

Основні властивості мінімальних SF-контрприкладів даються двома наступними лемами:

Лема 2.3.14. Нехай L=A+B - мінімальний SF-контрприклад, де А - скінченновимірна над своїм центром підалгебра із L і В майже абелева підалгебра із L. Якщо N - абелевий ідеал із В з dim B/N<, то для будь-якого елемента aA, aB підпростір [a, N] нескінченновимірний над N.

(для зручності підпростір U векторного простору V називається скінченновимірним над підпростором W, якщо dimU+W/W<).

Лема 2.3.16. Нехай L=A+B - мінімальний SF-контрприклад з dimA/Z (A) <, dimB/N< для деякого абелевого ідеала N із В і нехай

N₀={nN| [A, n] скінченновимірний над N}.

Тоді ([A, N] N) N₀, N₀ - ідеал підалгебри В і [A, N₀] B.

При доведенні основної теореми цього параграфу ключову роль зіграв той факт, що як було доведено, перетин [A, N] N ненульовий і тому за лемою 2.3.16 ненульовим буде ідеал N₀ підалгебри В, який дає змогу показати, що мінімальний SF-контрприклад не існує.

Останній 4-й параграф 2-го розділу дисертації містить ряд результатів, що відносяться до так званих потрійних сум алгебр Лі (по аналогії з теорією груп алгебру Лі L будемо називати потрійною сумою своїх підалгебр А, В, С якщо

L=A+B=A+C=B+C.

Потрійні суми алгебр Лі з'являються природнім чином при вивченні ідеалів алгебри Лі, яка розкладається в суму двох своїх підалгебр: якщо І - ідеал алгебри Лі L, яка розкладається в суму L=A+B своїх підалгебр А і В, то перетини

А_І=А (І+В) і В_І=В (І+А)

є підалгебрами із А і В відповідно, такими, що

А_І+ В_І= А_І+І= В_І+І -

є підалгеброю із L, яка містить ідеал І (це аналог леми Сесекіна з теорії груп).

Для вивчення потрійних сум алгебр Лі в дисертаційній роботі використовується підхід, ідейно близький до того, який був запропонований Я.П. Сисаком для вивчення факторизованих груп, а саме - зведення початкової факторизаційної задачі з теорії груп до деякої задачі з теорії асоціативних кілець, розв'язання якої методами теорії кілець дає змогу отримати відповідні твердження про початкову задачу.

Наступна лема стверджує фактично, що за даною потрійною сумою L абелевих алгебр Лі можна побудувати асоціативну скінченновимірну алгебру (обгортуючу), приєднана до якої була б ізоморфна L.

Лема 2.4.1 Нехай L - алгебра Лі над довільним полем К, яка розкладається в потрійну суму

L=A+B=A+N=B+N,

де А, В - підалгебри із L і N - абелевий ідеал алгебри L.

Якщо AB= AN= BN=0,то добуток () на векторному просторі В може бути визначений таким чином, що В₀=В () - лінійна алгебра, яка задовольняє тотожність (x,y,z) = (x,z,y), приєднана алгебра В₀ ^(-) є алгеброю Лі, яка ізоморфна алгебрі Лі В, а приєднана алгебра В^{* (-)} ізоморфна алгебрі Лі.

(тут (x,y,z) - асоціатор елементів x,y,z, а В^* - напівпрямий добуток лінійних алгебр А і А⁺, в останній множення нульове). З використанням цієї леми, наступного твердження

Лема 2.4.3 Нехай R - лінійна алгебра, яка задовольняє тотожності (x,y,z) = (x,z,y). Якщо алгебра R комутативна, то R також асоціативна

і теореми Мальцева-Веддербарна із теорії асоціативних алгебр встановлюється будова потрійних сум абелевих алгебр Лі:

Теорема 2.4.5 Нехай L - ненільпотентна скінченновимірна алгебра Лі над алгебраїчно замкненим полем, яка розкладається в потрійну суму

L=A+B=A+N=B+N

абелевих підалгебр А, В і абелевого ідеалу N, таких, що AB=AN=BN=0. Тоді алгебра L містить нільпотентний ідеал I (можливо, I=0), який розкладається в потрійну суму I=A_I+B_I= A_I+N_I= B_I+N_I деяких підалгебр A_IA, B_IB і ідеалу N_IN і деяку підалгебру D, яка розкладається в прямий добуток неабелевих двовимірних алгебр Лі і при цьому L=D+I, DI=0.