Третій розділ дисертаційної роботи присв'ячений вивченню сум асоціативних алгебр і кілець, які задовольняють деяким умовам, що близькі до нільпотентності чи комутативності. В першому параграфі цього розділу розглядаються асоціативні (нескінченновимірні) алгебри над довільним полем, які розкладаються в суму двох своїх майже комутативних підалгебр (тобто, підалгебр, що містять комутативний ідеал скінченної ковимірності). Майже комутативні алгебри є природнім узагальненням комутативних алгебр, задовольняють деяким поліноміальним тотожностям (тобто є РІ-алгебрами) і вивчення їх сум є наступним кроком після дослідження сум комутативних асоціативних кілець, яке було проведено за останні роки в роботах Ю.А. Бахтуріна, А. Джамбруно і О. Кегеля. Основним результатом, який отриманий в цьому напрямі в дисертаційній роботі є наступне твердження:

Теорема 3.1.1 Нехай А - асоціативна алгебра над довільним полем, яка розкладається в суму А=В+С своїх майже комутативних підалгебр В і С. Тоді алгебра А містить нільпотентний ідеал І такий, що фактор-алгебра А/І майже комутативна.

Вказані деякі прості властивості майже комутативних асоціативних алгебр, які широко використовуються для доведення основної теореми цього параграфу:

Лема 3.1.6. Нехай А - майже комутативна асоціативна алгебра і І - комутативний ідеал алгебри А з dimA/I<. Тоді:

[A, A] I міститься в деякому нільпотентному ідеалі алгебри А;

для деякого нільпотентного ідеалу J фактор-алгебра A/J містить скінченновимірний ідеал T/J, такий, фактор-алгебра A/T комутативна.

При дослідженні сум майже комутативних асоціативних алгебр були вивчені властивості асоціативних алгебр, які містять нільпотентний ідеал, фактор-алгебра за яким майже комутативна (для зручності вони називаються в дисертаційній роботі NCF-алгебрами). Виявилось, що такі алгебри мають ряд важливих властивостей, які дає наступне

Твердження 3.1.8 Справедливі наступні твердження:

кожна підалгебра і кожна фактор-алгебра NCF-алгебри є також NCF-алгебрами;

якщо А і В є NCF-алгебрами, то їх прямий добуток АВ також є NCF-алгеброю:

кожне розширення NCF-алгебри за допомогою NCF-алгебри знову є NCF-алгеброю,

головні з яких - замкненість класу NCF-алгебр відносно скінченних прямих добутків та замкненість відносно розширень дозволила звести задачу вивчення сум майже комутативних алгебр до вивчення сум майже нільпотентних асоціативних алгебр (тобто, таких алгебр, які містять нільпотентний ідеал скінченної ковимірності). Для цього детально був вивчений мінімальний контрприклад до твердження теореми, який для зручності був названий ВМ-контрприкладом:

Означення 3.1.13. Асоціативну алгебру А над довільним полем F, яка розкладається в суму А=В+С двох майже комутативних підалгебр В і С будемо називати мінімальним ВМ-контрприкладом, якщо А задовольняє наступним умовам:

А не є NCF-алгеброю;

підалгебри В і С містять комутативні ідеали В₀ і відповідно С₀ такі, що dim B/B₀+dim C/C₀< і число dimA/ (B₀+C₀) найменше;

алгебра А не містить ненулевих ідеалів, які лежать в F-підпросторі B₀+C₀ із умови 2).

Цілий ряд лем присв'ячено вивченню мінімального ВМ-контрприкладу (твердження основної теореми цього параграфу еквівалентне тому, що мінімального ВМ-контрприкладу не існує). Зокрема, з використанням властивостей NCF-алгебр встановлено таке твердження:

Лема 3.1.14. Нехай А=В+С - мінімальний ВМ-контрприклад. Тоді для кожного ненульового ідеала І алгебри А фактор-алгебра А/І є NCF-алгеброю. Крім того, алгебра А не містить ненульових NCF-ідеалів.

Оскільки на одному з кроків доведення основної теореми цього параграфу з'являються суми майже нільпотентних асоціативних алгебр (асоціативну алгебру над полем будемо називати майже нільпотентною, якщо вона містить нільпотентний ідеал скінченної ковимірності), то декілька допоміжних тверджень стосуються вивчення властивостей таких алгебр.

Лема 3.1.19. Якщо І - правий (лівий) майже нільпотентний ідеал алгебри А, то А містить деякий нільпотентний ідеал J такий, що I+J/J - скінченновимірний правий (відповідно лівий) ідеал алгебри А.

Наступні два наслідки з вищезгаданих лем показують, що майже нільпотентні асоціативні алгебри мають ті ж основні властивості, що і нільпотентні:

Наслідок 3.1.20 Нехай А - асоціативна алгебра і І - правий (лівий) майже нільпотентний ідеал алгебри А. Тоді І міститься в деякому майже нільпотентному ідеалі алгебри А.

Наслідок 3.1.21. Якщо асоціативна алгебра А містить майже нільпотентний ідеал І з майже нільпотентною фактор-алгеброю А/І, то алгебра А майже нільпотентна.

Наступний результат, при доведенні якого використовуться вищенаведені властивості майже нільпотентних алгебр, є узагальненням для асоціативних алгебр над полем відомої теореми О. Кегеля про нільпотентність асоціативного кільця, яке розкладається в суму двох своїх нільпотентних підкілець.

Твердження 3.1.22. Якщо асоціативна алгебра над довільним полем розкладається в суму А=В+С з майже нільпотентними підалгебрами В і С, то алгебра А майже нільпотентна.

Це твердження використовується при доведенні теореми 3.1.1, а також може представляти самостійний інтерес.

Ще одним класом асоціативних алгебр (та кілець), які близькі до комутативних є лієво нільпотентні алгебри (алгебри, приєднані до яких є нільпотентними алгебрами Лі). Суми лієво нільпотентних асоціативних алгебр та кілець вивчаються в параграфі 3.2 Для асоціативних алгебр (і кілець) можна сформулювати аналог проблеми Кегеля: чи буде лієво розв'язною асоціативна алгебра, що є сумою двох лієво нільпотентних підалгебр? Зрозуміло, що в зв'язку з результатами, відзначеним в розділі 2 даної роботи, це питання є цікавим тільки для нескінченновимірних асоціативних алгебр та для кілець. Оскільки з огляду на відомі результати Дженнінгса лієво нільпотентне кільце містить нільпотентний ідеал, фактор-кільце за яким лієво нільпотентне класу 2, то в дисертаційній роботі окремо виділяється випадок суми комутативного та лієво нільпотентного класу 2 кілець.

При вивченні сум лієво нільпотентних асоціативних кілець також використовується деяке комутаторне числення, яке розвинуте в ряді лем. Наступна лема показує, що для асоціативних кілець в деяких випадках можна вказати властивості, що схожі на властивості сум алгебр та кілець Лі.

Лема 3.2.1 Нехай R - асоціативне кільце, яке розкладається в суму R=A+B комутативного підкільця А і деякого підкільця В. Тоді справедливі включення

[A, Z (B)] [A, Z (B)] [B, B]

Ця лема дає можливість будувати нільпотентні ідеали в підкільці В (це насправді буде добуток [A, Z (B)] [A, Z (B)]), а за ними лієво розв'язні підалгебри, як це показує наступна лема.

Лема 3.2.4 Нехай R - асоціативне кільце, яке розкладається в суму R=A+B, де А - комутативне підкільце із R і В - лієво нільпотетне підкільце класу нільпотентності n. Тоді J= [A, Z (B)] + [B,B] - лієво розвязне підкільце в кільці Лі R і ступінь розвязноті J не перевищує n+ [log₂ (n)], де [x] - ціла частина дійсного числа.

З використанням деяких підходів і комутаторного числення з теорії алгебр Лі досліджені асоціативні кільця, які є сумами комутативного підкільця та лієво нільпотентного класу 2 підкільця. Встановлено, що вони лієво розв'язні ступеня не більше ніж 6. Для доведення теореми 3.2.9, яка є основним результатом третього параграфу встановлено ще одну властивість суми комутативного та довільного кільця, яка подібна аналогічній властивості алгебр Лі.

Лема 3.2.8 Нехай R - асоціативне кільце, яке розкладається в суму R=A+B, де А - комутативне підкільце із R і В - довільне підкільце із R. Тоді виконується співвідношення

[A, Bⁱ] [A, B^j] [B,B] +AB^j+1+Bⁱ⁺¹A+AB^i+jА

де Bⁱ= [B,B,B…B] (тут і раз повторюється В).

В наступній теоремі, крім доведення лієвої розв'язності, важливою є також отримана оцінка ступеня лієвої розв'язності в залежності від класу лієвої нільпотентності лієво нільпотентного доданку. Для алгебр Лі такої оцінки поки що немає і підходи з теорії асоціативних кілець можуть бути корисними в теорії алгебр Лі.

Теорема 3.2.9 Нехай R - асоціативне кільце, яке розкладається в суму R=A+B комутативного підкільця А і лієво нільпотентного підкільця В класу нільпотентності n. Тоді кільце R лієво розв'язне ступеня не вищого ніж (n+1) (n+2) /2.

В четвертому розділі дисертаційної роботи вивчаються алгебри Лі, в яких доповнювані всі підалгебри та всі одновимірні підалгебри, а також групи з деякими системами доповнюваних подгруп. Тут по аналогії з теорією груп підалгебру А алгебри L будемо називати доповнюваною, якщо в L існує підалгебра В така, що L=A+B, AB=0. Вивчення скінченних груп, в яких доповнювані всі підгрупи розпочав Ф. Холл ще в тридцятих роках, а повний опис таких груп отримано в роботі¹³ Н.В. Чернікової. Наступне твердження зв'язує між собою умови доповнюваності з умовою достатньої кількості підалгебр ковимірності 1.

Лема 4.1.3 Нехай L ненульова скінченновимірна алгебра Лі над довільним полем. Тоді наступні умови еквівалентні:

в алгебрі L доповнювана кожна підалгебра;

в L доповнювана кожна одновимірна підалгебра;

перетин ₁ (L) всіх підалгебр ковимірності 1 в L дорівнює 0.

Для зручності алгебри Лі з доповнюваними підалгебрами в дисертаційній роботі називаються с-алгебрами. З леми 4.1.3 випливають наслідки, які широко використовуються в цьому параграфі:

Наслідок 4.1.4 Пряма сума двох скінченновимірних с-алгебр Лі є знову с-алгеброю Лі.

Наступний наслідок дозволяє розширяти поле коефіцієнтів алгебри Лі з доповнюваними підалгебрами.

Наслідок 4.1.5 Якщо L - c-алгебра Лі над полем К і - розширення поля К, то алгебра =L_K - c-алгебра Лі над полем .

В теоремі 4.1.6 - одному з основних результатів параграфу 4.1 дано опис скінченновимірних алгебр Лі з доповнюваними підалгебрами над довільним досконалим полем характеристики 2 і над довільним полем характеристики р=2.

Теорема 4.1.6. В скінченновимірній алгебрі Лі L над довільним полем характеристики 2 тоді і тільки тоді доповнювані всі підалгебри, коли L розкладається в пряму суму L=AB ідеалів А і В, де А або дорівнює нулю, або пряма сума тривимірних простих алгебр Лі типу А₁, В=В₁В₂ - напівпрямий добуток абелевих підалгебр Лі В₁ і В₂, причому В₁ - пряма сума одновимірних ідеалів алгебри L;

в скінченновимірній алгебрі Лі L над довільним полем характеристики р=2 тоді і тільки тоді доповнювані всі підалгебри, коли L розвязна виду L=B=B₁B₂ з пункту 1 цієї теореми.

Першим кроком при доведенні цієї теореми є встановлення будови розв'язної скінченновимірної алгебри Лі з доповнюваними підалгебрами.

Лема 4.1.9 Нехай L - ненульова скінченновимірна розв'язна алгебра Лі над довільним полем. Алгебра Лі L тоді і тільки тоді є с-алгеброю, коли L=AB, де В - абелева підалгебра із L, A - абелевий ідеал ідеал із L, який розкладається в пряму суму одновимірних ідеалів алгебри L.

Наступним кроком є вивчення простих с-алгебр Лі. При дослідженні таких алгебр Лі використовуються результати А.С. Джумадільдаєва Джумадильдаев А.С. Простые алгебры Ли с подалгеброй коразмерности 1 // УМН. - 1985. - 40, N1. - С. 193-194. про будову простих алгебр Лі над досконалими полями, які мають підалгебру ковимірності 1.

Лема 4.1.11 Якщо L - скінченновимірна проста алгебра Лі над досконалим полем, в якій доповнювані всі підалгебри, то L - розщеплювана тривимірна проста (типу А₁) алгебра.

З використанням цієї леми доводиться наступне твердження, яке окремо виділяє с-алгебри Лі характеристики р=2.

Лема 4.1.13. Скінченновимірна с-алгебра Лі над довільним полем К характеристики р=2 розв'язна.

Разом лемою 4.1.9 це дає вже опис скінченновимірних алгебр Лі з доповнюваними підалгебрами над довільним полем характеристики р=2. Випадок позитивної непарної характеристики виявився важчим і основна теорема дає опис алгебр Лі з доповнюваними підалгебрами тільки над досконалими полями, хоча при умові опису простих с-алгебр Лі над довільними полями вона може бути поширена на довільні поля.

Відзначимо, що у випадку алгебр Лі нульової характеристики опис таких алгебр Лі (як алгебр Лі з нульовим перетином всіх підалгебр ковимірності 1) міститься в роботі К. Гофмана Hofmann K. H. Hyperplane subalgebras of real algebras// Geometriae Dedicata. - 1990. - 36, N2-3. - P. 207-224. , хоча в іншій формі його можна отримати з робіт Ж. Тітса або робіт з теорії алгебр Лі Штітцінгера та Д. Тауерса, присв'ячених вивченню алгебр Лі з нульовою підалгеброю Фраттіні.

Для нескінченновимірних алгебр Лі можна також розглядати питання про будову таких алгебр за умови доповнюваності в них всіх одновимірних підалгебр. Локально розв'язні алгебри Лі такого роду є просто підалгебрами декартової суми двовимірних неабелевих алгебр Лі:

Лема 4.2.3 В ненульовій локально розв'язній алгебрі Лі L над довільним полем тоді і тільки тоді доповнювані всі одновимірні підалгебри, коли L ізоморфно вкладається в декартову суму двовимірних неабелевих алгебр Лі.

В нескінченновимірному випадку умова доповнюваності всіх одновимірних підалгебр вже не є еквівалентною умові доповнюваності всіх підалгебр. Відповідний приклад, який побудовано в лемі 4.2.5 є підалгеброю декартової суми двовимірних неабелевих алгебр Лі, яка містить недоповнювані нескінченновимірні підалгебри і може вважатися аналогом відповідного прикладу Ю.М. Горчакова з теорії груп, а саме періодичної групи, в якій доповнювані всі циклічні примарні підгрупи, але яка містить недоповнювані нескінченні підгрупи. Наступна теорема є аналогом для алгебр Лі відповідної теореми Н.В. Чернікової з теорії груп про будову груп з доповнюваними підгрупами:

Теорема 4.2.4 В локально розв'язній алгебрі L0 над довільним полем тоді і тільки тоді доповнювані всі підалгебри, коли вона розкладається в в напівпрямий добуток L=AB, де A - абелевий ідеал із L, який розкладається в пряму суму одновимірних ідеалів алгебри L, B - абелева підалгебра із L.

При переході від локально розв'язних до довільних алгебр Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами виникає питання про локальну скінченність. Хоча в алгебрах Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами є "багато” підалгебр скінченної ковимірності, це на противагу аналогічній ситуації в теорії груп, не гарантує навіть непростоти алгебри Лі. Тому при вивченні нескінченновимірних алгебр Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами на алгебру Лі накладається умова локальної скінченності, а у випадку основного поля характеристики 2 ще й умови зліченності базису алгебри.

Теорема 4.2.6 В локально скінченновимірній алгебрі Лі L зі зліченним базисом над досконалим полем характеристики 2 тоді і тільки тоді доповнювані всі одновимірні підалгебри, коли L ізоморфно вкладається в декартову суму тривимірних простих алгебр Лі типу А₁.

Так само як і для скінченновимірних алгебр Лі особливим є випадок поля характеристики р=2. Локально скінченні алгебри Лі з доповнюваними підалгебрами в цьому випадку локально розв'язні і тому їх будова зводиться до розглянутого раніше випадку.

Теорема 4.2.7 В локально скінченновимірній алгебрі Лі L довільним полем характеристики р=2 тоді і тільки тоді доповнювані всі одновимірні підалгебри, коли L ізоморфно вкладається в декартову суму двовимірних неабелевих алгебр (зокрема, L розв'язна ступеня 2).

При доведенні цієї теореми суттєво використовувася опис скінченновимірних алгебр Лі характеристики р=2, в яких доповнювані всі підалгебри, отриманий в попередньому параграфі.

В наступному третьому параграфі цього розділу вивчаються вже групи з різними системами доповнюваних підгруп. В ідейному відношенні є багато спільних рис як в підходах, що використовуються при вивченні алгебр Лі з різними системами доповнюваних підалгебр, так і груп з тими чи іншими системами доповнюваних підгруп. В цьому параграфі встановлено будову нескінченних непримарних локально ступінчастих груп з доповнюванми непримарними нециклічними підгрупами і охарактеризовано скінченні групи з доповнюваними надсилівськими підгрупами (при деяких обмеженнях). Зокрема, виявилось, що локально ступінчасті групи з доповнюваними непримарними нециклічними підгрупами належить одному з класів груп, які були вивчені раніше іншими авторами (групи з доповнюваними підгрупами - цілком факторизовані групи - описані Н.В. Черніковою, з доповнюваними нециклічними підгрупами - О.М. Зуб).

Теорема 4.3.5 В нескінченній локально ступінчастій групі G тоді і тільки тоді доповнювані всі непримарні нециклічні підгрупи, коли виконується одна з умов:

G - локально скінченна і в ній доповнювані всі її підгрупи;

G - локально скінченна і в ній доповнювані всі її нециклічні підгрупи;

G - нескінченна циклічна група.

При доведенні цієї теореми використовувались результати О.М. Зуб про будову груп з доповнюваними нециклічними підгрупами і після ряду кроків доведення зводиться до перевірки на доповнюваність деяких систем підгруп в адитивній групі раціональних чисел Q⁺.

Питання про структуру скінченних груп з доповнюваними надсилівськими підгрупами (тобто підгрупами які містять хоча б одну неодиничну силовську підгрупу всієї групи) виникло в зв'язку з відомою теоремою Ф. Холла про те, що в скінченній групі тоді і тільки тоді доповнювані всі силовські підгрупи, коли вона розв'язна. Розширивши систему доповнюваних підгруп, ми звужуємо клас груп, що підлягають вивченню. Будову скінченних груп ступеня розв'язності 3 з доповнюваними надсилівськими підгрупами дає наступна теорема (двоступенево розв'язні групи такого роду були вивчені раніше Черников Н.С., Петравчук А.П. Об одном условии дополняемости// Сб. Строение групп и свойства их подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1978. - С. 131-146. Групи з доповнюваними надсилівськими підгрупами називаються для зручності UH-групами.

Теорема 4.3.12. Нехай G - скінченна триступенево розв'язна група, порядок якої ділиться не менше ніж на три різних простих числа. Група G тоді і тільки тоді є UH-групою, коли вона представляється напівпрямим добутком G=AB підгруп А і В, які задовільняють наступним умовам:

підгрупа А розкладається в прямий добуток деяких нециклічних мінімальних нормальних підгруп А₁, …, А_k (k1) $

підгрупа В неабелева цілком факторизована;

для кожного і (1ik) централізатор C_G (A_i) не містить жодної силовської підгрупи групи G, порядок якої взаємно простий з порядком групи A_i;

для кожного і (1ik) група A_iD_i, де D_i - доповнення до централізатора C_B (A_i) в B, є або групою типу 1),

2) або 3) з твердження 4.3.7 або з групою з леми 4.3.11.

хоча б одна з підгруп D_i (1ik) неабелева.

В твердженні 4.3.7 вказано фактично "локальну” будову вищезгаданих груп

Твердження 4.3.7 Нехай G - скінченна непримарна група з абелевими силовськими підгрупами, підгрупа Фіттінга F якої є мінімальною нормальною підгрупою групи G. Група G тоді і тільки тоді є UH-групою, коли вона належить одному із наступних класів груп (скрізь F - силовська елементарна абелева р-підгрупа групи G):

G=Fb, де b - цілком факторизована група, кожна підгрупа якої діє незвідно на F;

G=F (QR), де Q і R - силовські підгрупи групи G, примарні відповідно за деякими простими числами q і r, підгрупа FQ цілком факторизована, підгрупа FR або цілком факторизована, або p²-1 ділиться на r і для будь-якої нормальної підгрупи F₁ групи FQ існує нормальна підгрупа F₂ групи FR така, що F=F₁F₂, підгрупа QR неабелева цілком факторизована;

G=F (Qa) R₁), де Q - силовська q-підгрупа із G, R=aR₁ - силовська r-підгрупа групи G, QR - неабелева цілком факторизована група, підгрупа F розкладається в прямий добуток F=F₁…F_k мінімальних нормальних підгруп групи F (Qa) з k=|R₁|, які підгрупа R₁ переставляє між собою (за допомогою спряження), кожна підгрупа групи Qa або централізує F_i, або діє незвідно на F_i і=1, …,k.

В лемі 4.3.11 вказано локальну будову скінченних триступенево розв'язних UH-груп, порядок яких ділиться не менш ніж на три різних простих числа, і хоча б одна з силовських підгруп яких неабелева. Оскільки її повне формулюваня досить громіздке і містить посилання на деякі типи груп, які раніше вивчав Н.М. Сучков, то воно тут не наводиться.

Наступне твердження показує, що обмеження в теоремі 4.3.12 на ступінь розв'язності не є занадто обтяжливим.

Твердження 4.3.14. Якщо порядок скінченної UH-групи ділиться не менше ніж на чотири різних простих числа, то її ступінь розв'язності не перевищує трьох.

Останній п'ятий розділ дисертаційної роботи присв'ячеий вивченню алгебр Лі та груп (абстрактних) з деякими системами розв'язних підалгебр або підгруп. Хоча в ідейному відношенні ці поняття тісно пов'язані між собою, методи вивчення алгебр Лі з тими чи іншими системами розв'язних підалгебр істотно відрізняються від методів, що застосовуються при дослідженні груп з аналогічними властивостями.

Перший параграф п'ятого розділу містить основні властивості майже розв'язних алгебр Лі, які є аналогами відповідних властивостей майже розв'язних груп (нагадаємо, що алгебра Лі над полем називається в дисертаційній роботі майже розв'язною, якщо вона містить розв'язний ідеал скінченної ковимірності). Зрозуміло, що вивчати клас майже розв'язних алгебр Лі, який містить всі скінченновимірні і всі розв'язні алгебри Лі, можна з точністю до властивостей скінченновимірних і розв'язних алгебр Лі. Важливою властивістю скінченновимірних алгебр Лі нульової характеристики є характеристичність її (розв'язного) радикалу). Цієї властивості вже не мають алгебри Лі над полями позитивної характеристики (відповідний приклад міститься в книзі Джекобсон Н. Алгебры Ли. - М.: Наука, 1964, стор.88). При переході до майже розв'язних алгебр Лі ця відмінність в поведінці алгебр різної характеристики вже зникає, як показує наступна теорема, що є одним із основних результатів цього параграфу:

Теорема 5.1.7 Якщо L - нескінченновимірна майже розв'язна алгебра Лі, то L містить характеристичний розв'язний ідеал скінченної ковимірності.

При доведенні цієї теореми основним було наступне твердження, доведення якого отримане з використанням деяких фільтрацій нескінченновимірних алгебр Лі за підалгебрами скінченної ковимірності:

Лема 5.1.6. Нехай L - алгебра Лі, І - майже розв'язний ідеал із L. Тоді алгебра L містить розв'язний ідеал І₀ такий, що І₀І і dimI/I₀<.

Показано, що аналог теореми 5.1.7 вже не має місця для майже локально нільпотентних алгебр Лі над полями додатньої характеристики, а саме, показано, що існують нескінченновимірні характеристично прості алгебри Лі, що містять локально нільпотентний ідеал скінченної ковимірності. Встановлено також наступні критерії майже розв'язності алгебри Лі:

Теорема 5.1.10 Якщо алгебра Лі L містить майже розв'язний ідеал I і фактор-алгебра L/I майже розв'язна, то алгебра L майже розв'язна.

Теорема 5.1.11 Нехай L - алгебра Лі, яка містить розв'язну підалгебру скінченної ковимірності. Тоді L містить розв'язний ідеал скінченної ковимірності (тобто, L майже розв'язна).

Відзначимо, що в теоремі 5.1.11 розв'язна підалгебра скінченної ковимірності може не містити ненулевих ідеалів алгебри L (тобто аналог теореми Пуанкаре з теорії груп не має місця для майже розв'язних алгебр Лі). Твердження теореми 5.1.11 можна посилити для алгебр Лі, які містять абелеву підалгебру скінченної ковимірності, а саме: якщо алгебра Лі L містить абелеву підалгебру скінченної ковимірності, то вона містить абелевий ідеал скінченної ковимірності (тобто L майже абелева).

В останньому параграфі дисертаційної роботи вивчаються властивості періодичних локально розв'язних груп в залежності від властивостей їх силовських -підгруп (під силовською -підгрупою групи G ми розуміємо максимальну -підгрупу групи G). Розглядаються силовські -підгрупи для скінченної множини . Основним результатом цього параграфу є наступна теорема:

Теорема 5.2.17. В періодичній локально розв'язній групі G всі силовські -підгрупи мають скінченні експоненти тоді і тільки тоді, коли вона має скінченний ряд характеристичних підгруп, кожний фактор якого є або р-групою для р скінченної експоненти, або '-групою.

З цієї теореми отримаємо цікавий наслідок, який має самостійне значення.

Теорема 5.2.19. Локально розв'язна група скінченної експоненти має скінченний ряд характеристичних підгруп з примарними факторами.

Ще один результат цього параграфу відноситься до існування в локально скінченних локально -розв'язних групах інваріантних рядів з '-факторами і локально нільпотентними факторами:

Теорема 5.2.33. Нехай G - локально скінченна локально -розв'язна група з розвязними -підгрупами і n - максимум їх ступенів розв'язності. Тоді якщо всі 2-підгрупи групи G абелеві, то G має скінченний інваріантний ряд з '-факторами і розв'язними ступеня n локально нільпотентними -факторами, число останніх в якому не більше ніж n.

Висновки

В дисертаційній роботі вивчаються алгебри Лі (переважно нескінченновимірні), які розкладаються в суму двох своїх підалгебр, що є нільпотентними або близькими до нільпотентних, а також асоціативні алгебри, що є сумами двох своїх підалгебр, які задовольняють умовам, близьким до комутативності чи нільпотентності. Одним із основних результатів дисертації є побудова прикладу нерозв'язної скінченновимірної алгебри Лі, яка сумою двох своїх нільпотентних підалгебр і цим самим розв'язанння (негативно) відомої проблеми О. Кегеля про розвязність суми двох нільпотентних алгебр Лі, поставленої на початку 60-років. Доведено розв'язність алгебри Лі (не обов'язково скінченновимірної) над довільним полем характеристики 2, яка є сумою абелевої та нільпотентної підалгебр. Досліджено нескінченновимірні алгебри Лі над довільним полем, які є сумою двох підалгебр зі скінченновимірними комутантами. Зокрема доведено майже розв'язність таких алгебр, вивчено деякі властивості FC-алгебр Лі. Розглянуто двоїсту задачу про суму двох майже абелевих алгебр Лі (тобто таких алгебр, які містять абелевий ідеал скінченної ковимірності), доведено майже розв'язність таких алгебр Лі при умові, що один з доданків містить абелевий ідеал в своєму центрі. Як наслідок звідси отримано, що алгебра Лі, яка є сумою абелевої та майже абелевої підалгебр майже розв'язна.

Крім звичайних сум нільпотентних алгебр Лі в дисертаційній роботі розглянуто і потрійні суми, для них отримано опис у випадку, коли всі доданки скінченновимірні абелеві і один з них є ідеалом.

Вивчено асоціативні алгебри над довільним полем, які розкладаються в суму двох своїх майже комутативних підалгебр, зокрема доведено, що така алгебра містить нільпотентний ідеал, фактор-алгебра за яким майже абелева.

Цей результат є узагальненням на асоціативні алгебри результатів, отриманих Ю.А. Бахтуріним, А. Джамбруно, О. Кегелем для сум комутативних кілець. Отримано також узагальнення теореми О. Кегеля про нільпотентність асоціативного кільця, яке є сумою двох своїх нільпотентних підкілець, а саме доведено, що асоціативна алгебра над довільним полем, яка є сумою двох своїх майже нільпотентних підалгебр сама є майже нільпотентною. Доведено лієву розв'язність асоціативного кільця, що розкладається в суму комутативного та лієво нільпотентного підкілець. Отримано оцінку для ступеня лієвої розв'язності такого кільця в залежності від класу лієвої нільпотентності лієво нільпотентного доданку.

Розглянуто ще одну задачу факторизаційного характеру, а саме про будову алгебр Лі, в яких доповнювані всі підалгебри або тільки одновимірні підалгебри (для скінченновимірних алгебр Лі ці умови співпадають). Ця задача, яка походить з теорії груп, виявилась також тісно пов'язаною з дією груп Лі на гладких одновимірних многовидах (або з описом однорідних просторів). В цьому формулюванні вона розглядалася багатьма авторами над полем характеристики 0, в дисертаційній роботі отримано опис алгебр Лі з доповнюваними підалгебрами над досконалими полями позитивної характеристики. При цьому виявилися принципова різниця між такими алгебрами Лі характеристики 2 і характеристики р=2.

Для дослідження як сум алгебр Лі, так і вивчення алгебр Лі з системами доповнюваних підалгебр виявилось необхідним дослідити нескінченновимірні алгебри Лі з тими чи іншими системами розв'язних підалгебр. Доведено, що алгебра Лі над довільним полем, яка містить розв'язну підалгебру скінченної ковимірності буде майже розв'язною, тобто буде містити розв'язний ідеал скінченної ковимірності, показано також, що майже розв'язна алгебра Лі містить характеристичний розв'язний ідеал скінченної ковимiрності.

Вивчено нескінченні групи, в яких доповнювані непримарні нециклічні підгрупи, а також при деяких умовах скінченні групи, в яких доповнювані всі надсилівські підгрупи. Отримано характеризацію періодичних локально розв'язних груп зі скінченноекспонентними силовськими -підгрупами.

Роботи автора за темою дисертації

Петравчук А.П. Бесконечные группы с дополняемыми нециклическими непримарными подгруппами // Сб. Группы и системы их подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1983. - С.73-79.

Петравчук А.П. Конечные группы, в которых дополняемы все надсиловские подгруппы // Сб. Строение групп и свойства их подгрупп. - Киев: Ин-т математики АН УССР. - 1986. - С.74-82.

Петравчук А.П. Алгебры Ли, разложимые в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр // Укр. матем. журн. - 1988. - 40, № 3. - С.385-388.

Петравчук А.П. О разрешимости алгебры Ли, разложимой в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр // Укр. матем. журн. - 1991. - 43, № 7-8. - С.986-991.

Петравчук А.П. О сумме двух алгебр Ли с конечномерными коммутантами // Укр. матем. журн. - 1995. - 47, № 8. - С.1089-1096.

Петравчук А.П. О бесконечномерных алгебрах Ли с разрешимыми идеалами конечной коразмерности // Сб. Алгебраические исследования. - Киев: Ин-т математики НАН Украины. - 1996. - С.158-167.

Петравчук А.П. Про суму комутативного та лієво нільпотентного асоціативних кілець // Вісник Київського університету, "Математика і механіка”. - 1998. - вип.1. - С.33-35.

Петравчук А.П. О сумме почти абелевой алгебры Ли и алгебры Ли, конечномерной над своим центром // Укр. матем. журн. - 1999. - 51, № 5. - С.636-644.

Петравчук А.П. Алгебри Лі з доповнюваними одновимірними підалгебрами // Вісник Київського університету, "Математика і механіка”. - 1999. - вип.3. - С.32-37.

Петравчук А.П. О лиевой разрешимости суммы коммутативного и лиево нильпотентного ассоциативных колец // Вісник Київського ун-ту, Сер. Фіз. - мат. - 1999. - № 1. - С.78-81.

Черников Н.С., Петравчук А.П. Характеризация периодических локально разрешимых групп с разрешимыми и с конечноэкспонентными силовскими -подгруппами // Укр. матем. журн. - 1987. - 39, № 6. - С.761-767.

Черников Н.С., Петравчук А.П. О -длине конечных -разрешимых групп // Сб. Бесконечные группы и примыкающие алгебраические структуры. - Киев: Ин-т математики НАН Украины. - 1993. - С.393-404.

Petravchuk A. P. On triple sums of abelian Lie algebras // Математичні студії. - 1997. - 8, № 1. - Р.11-14.

Petravchuk A. P. On associative algebras which are sum of two almost commutative subalgebras // Publicationes Mathematicae (Debrecen) - 1998. - 53, № 1-2. - P. 191-206.

Petravchuk A. P. Locally finite Lie algebras with complemented subalgebras // Математичні студії. - 1999. - 11, № 2. - Р.135-140.

Петравчук А.П. Конечномерные алгебры Ли, разложимые в сумму абелевой и нильпотентной подалгебр // XIX Всесоюз. Алгебр. Конф. (Тез. Докл.) - Львов. - 1987. - Ч.1. - С.216.

Петравчук А.П. Конечномерные алгебры Ли, разложимые в сумму двух нильпотентных подалгебр // Международная алгебр. Конф. Памяти А.И. Мальцева (Тез. Докл.) - Новосибирск, 1989. - С.103.

Петравчук А.П. О сумме абелевой и нильпотентной (класса 2) алгебр Ли // Международная алгебр. Конф. Памяти А.И. Ширшова (Тез. Докл.) - Барнаул, 1991, - С.91.

Петравчук А.П. Алгебри Лі з розв'язними ідеалами скінченної ковимїрності // Всеукраїнська математична конференція пам'яті П. Казимірського (Тез. Допов.) - Львів, 1995. - Ч.1. - С.40.

Петравчук А.П. Про суму абелевої та майже абелевої алгебр Лі // Всеукраїнська математична конференція пам'яті П. Казимірського (Тез. Допов.) - Львів, 1995. - Ч.1. - С.40.

Петравчук А.П. Про потрійні суми абелевих алгебр Лі // 5-та Міжнародна математична конференція пам'яті акад. М.П. Кравчука (Тез. Допов.). - Київ, 1996. - С.329.

Петравчук А.П. О сумме коммутативных и лиево нильпотентных ассоциативных колец // Международная конференция по теории групп, посвященная памяти С.Н. Черникова. (Тез. Докл.). - Пермь. - 1997. - С.52.

Черников Н.С., Петравчук А.П. Некоторые критерии разрешимости и радикальности периодических локально разрешимых групп // Х Всесоюз. Симпозиум по теории групп (Тез. Докл.). - Гомель, 1986. - С.255.

Черніков М.С., Петравчук А.П. До теореми Ф. Холла і Г. Хігмена // Мїжнародна математична конф. Памяті акад. М.П. Кравчука (Тез. Допов.) - Київ, 1993. - С.234.

Petravchuk A. P. On sum of two associative commutative algebras // International algebraic Conference dedicated to the memory of D. K. Faddeev, (Absracts). - St. Petеrsburg, 1997. - Р.95-96.

Petravchuk A. P. On sum of two Lie algebras which are near to abelian // Intranational algebraic conference dedicated to the memory of L. M. Gluskin, (Abstracts). - Slovyansk, 1997. - P.109.

Petravchuk A. P. On sum of abelian and nilpotent Lie algebras // The Fifth International Conference "Groups and Group Rings" (Abstracts). - 1997. - P. 19.

Петравчук А.П. Факторизація і доповнюваність в алгебрах Лі і асоціативних алгебрах. - Рукопис.

Анотоція

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.06 - алгебра і теорія чисел. - Київський університет імені Тараса Шевченка, Київ, 1999.

Дисертація присв'ячена дослідженню сум нільпотентних або близьких до нільпотентних алгебр Лі, а також вивченню сум асоціативних алгебр і кілець, які близькі до нільпотентних або комутативних. Отримано негативний розв'язок відомої проблеми О. Кегеля про те, чи буде розв'язною алгебра Лі, яка розкладається в суму двох своїх нільпотентних підалгебр.

Досліджено алгебри Лі, які є сумами двох підалгебр зі скінченновимірними комутантами та вивчено суми майже абелевих алгебр Лі. Вивчено деякі класи алгебр Лі, в яких доповнювані всі одновимірні підалгебри, встановлено основні властивості алгебр Лі з розвязними підалгебрами скінченної ковимірності. Досліджено асоціативні алгебри, що розкладаються в суму двох своїх майже комутативних підалгебр. Описано локально ступінчасті групи з доповнюваними непримарними нециклічними підгрупами, деякі класи груп з доповнюваними надсилівськими підгрупами та охарактеризовано періодичні локально розв'язні групи зі скінченноекспонентними силовськими -підгрупами.

Ключові слова: сума алгебр Лі, сума асоціативних алгебр, нільпотентна алгебра Лі, розв'язний ідеал, ступінь розв'язності алгебри Лі, лієво нільпотентне асоціативне кільце, доповнювана підалгебра, локально скінченновимірна алгебра Лі, локально розв'язна періодична група, доповнювана підгрупа.

Петравчук А.П. Факторизация и дополняемость в алгебрах Ли и ассоциативных алгебрах. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел. - Киевский университет им.Т. Шевченко, Киев, 1999.

Диссертация посвящена исследованию сумм нильпотентных или близких к нильпотентным алгебр Ли, а также изучению сумм ассоциативных алгебр и колец, которые близки к нильпотентным или коммутативным. Получено отрицательное решение известной проблемы О. Кегеля о том будет ли разрешимой алгебра Ли, разложимая в сумму двух своих нильпотентных подалгебр.

Исследованы алгебры Ли, являющиеся суммами двух подалгебр с конечномерными коммутантами и изучены суммы почти абелевых алгебр Ли. Изучены некоторые классы алгебр Ли, в которых дополняемы все одномерные подалгебры, установлены основные свойства алгебр Ли с разрешимыми подалгебрами конечной коразмерности. Исследованы ассоциативные алгебры, разложимые в сумму двух своих почти коммутативных подалгебр. Описаны локально ступенчатые группы с дополняемыми непримарными нециклическими подгруппами, некоторые классы групп с дополняемыми надсиловскими подгруппами и охарактеризованы периодические локально разрешимые группы с конечноэкспонентными силовскими -подгруппами.

Ключевые слова: сумма алгебр Ли, сумма ассоциативных алгебр, нильпотентная алгебра Ли, разрешимый идеал, ступень разрешимости алгебры Ли, лиево нильпотентное ассоциативное кольцо, дополняемая подалгебра, локально конечномерная алгебра Ли, локально разрешимая периодическая группа, дополняемая подгруппа.

Petravchuk A. P. Factorization and complementation in Lie algebras and associative algebras. Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of doctor of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 1999.

The dissertation is devoted to investigating sums of nilpotent or near to nilpotent Lie algebras and sums of two associative algebras which are near to commutative or nilpotent. The negative solution of the known problem of O. Kegel about solubility of sum of two nilpotent Lie algebras is obtained. The solubility of a Lie algebra over every field of characteristic 2 which is a sum of an abelian subalgebra and a nilpotent subalgebra is proved. It is also proved that every Lie algebra over an arbitrary field which can be decomposed in a sum of two subalgebras with finite dimensional commutants (derived algebras) is almost soluble (i. e. it contains a soluble ideal of finite codimension). Every Lie algebra with an abelian ideal of finite codimension (almost abelian Lie algebra) is also near to abelian, and for sums of such algebras the following assertion is obtained: if a Lie algebra L over an arbitrary field is a sum of an almost abelian subalgebra A and a subalgebra B which is finite over its centre, then L is almost soluble. In particular, every sum of an abelian and an almost abelian Lie algebras is almost soluble.

It is shown that every associative algebra over an arbitrary field which is a sum of two almost commutative subalgebras contains a nilpotent ideal with almost commutative quotient algebra (particularly, this sum is a PI-algebra). The Lie solubility of an associative ring which is a sum of a commutative subring and a Lie nilpotent subring is obtained. Some estimations of the derived length of these sums that depend on Lie nilpotency class of the Lie nilpotent summand are pointed out.

Finite dimensional Lie algebras with complemented subalgebras over perfect fields are described. Locally finite dimensional Lie algebras with complemented one-dimensional subalgebras over perfect fields are characterized. The main properties of almost soluble Lie algebras are stated:

every almost soluble Lie algebra has a characteristic soluble ideal of finite codimension;

every extension of an almost soluble Lie algebra by other almost soluble Lie algebra is also almost soluble;

every Lie algebra with an soluble subalgebra of finite codimension is almost soluble.

Infinite groups with complemented non-primar non-cyclic subgroups are described. Finite groups with complemented over-Sylow subgroups (i. e. subgroups which contain a non-identity Sylow-subgroup) are characterized. It is proved that in a periodic locally soluble group G all -subgroups ( is a finite set of primes) are of finite exponent iff G has a finite series of characteristic subgroups, whose all factors are either p-groups for p of finite exponent, or '-groups.

Key words: sum of Lie algebras, sum of associative algebras, nilpotent Lie algebra, soluble ideal, derived length of a Lie algebra, Lie nilpotent associative ring, complemented subalgebra, locally finite-dimensional Lie algebra, locally soluble periodic group, complemented subgroup.

Размещено на Allbest.ru

...