Простые высказывания при этом выступают как целостные образования, внутренняя структура которых не рассматривается, а учитывается лишь то, с помощью каких союзов и в каком порядке простые высказывания сочленяются в сложные.

Среди осмысленных предложений в русском языке можно выделить повествовательные предложения, как выражения, которые утверждают некоторый факт. Аналогом повествовательных предложений в логике высказываний является высказывание, иначе говоря - формула.

Высказывание (формула) - повествовательное предложение, о котором можно сказать в данный момент, что оно истинно или ложно, но не то и другое одновременно. Истинность или ложность предложения есть истинное значение высказывания.

Рассматривая конкретно, отметим, что каждое высказывание можно однозначно классифицировать - истинно оно или ложно. Если мы введем в рассмотрение множество, состоящее из двух элементов - русских слов "истина" и "ложь" (или английских "true" и false), которые записывают сокращенно И, Л (или соответственно Т, F), - то элементы этого множества {И, Л} часто называют истинностными значениями. Вместо И и Л мы будем использовать обозначения 1 и 0 соответственно, не придавая этим символам никакого арифметического смысла.

Приведем примеры высказываний.

1) Краснодар - столица Кубани.

2) Кубань впадает в Красное море.

3) Новгород стоит на Волхове.

4) Голубь не птица.

5) Число 6 делится на 2 и на 3.

Высказывания 1), 3) и 5) истинны, а высказывания 2) и 4) ложны.

Не всякое предложение можно счесть высказыванием. Так, к высказываниям не относятся вопросительные и восклицательные предложения, поскольку говорить об их истинности или ложности нет смысла.

Не являются высказываниями и такие предложения, которые высказывают мнение, например: «Краснодар - лучший город», «Щи - вкусное блюда»; т.е. нет и не может быть единого мнения о том, истинны эти предложения или ложны.

Предложение «Существуют инопланетные цивилизации» следует считать высказыванием, так как объективно оно либо истинное, либо ложное, хотя никто пока не знает, какое именно.

Предложения «Шел снег», «Площадь комнаты равна 20 м2», а2=4 не являются высказываниями; для того чтобы имело смысл говорить об их истинности или ложности, нужны дополнительные сведения: когда и где шел снег, о какой конкретной комнате идет речь, какое число обозначено буквой а. В последнем примере а может не обозначать конкретного числа, а быть переменной, т.е. буквой, вместо которой можно подставлять элементы некоторого множества, называемые значениями переменной. Пусть например, {-2; 0; 2, 3, 4} - множество значений переменной а. Каждому значению переменной соответствует либо истинное, либо ложное высказывание; например, высказывания (-2)2=4, 22=4 истинны, а высказывания 02=4, 32=4, 42=4 ложны.

Предложение, которое содержит хотя бы одну переменную и становится высказыванием при подстановке вместо всех переменных их значений, называют высказывательной формой.

Высказывание, представляющее собой одно утверждение принято называть простым или элементарным. Примерами элементарных высказывании могут служить высказывания 1) и 3). Элементарные высказывания обозначаются буквами латинского алфавита: A,B,C… X,Y,Z или a,b,c…x,y,z. Если высказывание А истинно, то будем писать А=1; если ложно А=0.

Высказывания, которые получаются из элементарных с помощью логических связок «не», «и», «или», «если..., то...», «тогда и только тогда, когда…», «не…и не…», «не…или не…» принято называть сложными или составными. Так, высказывание 4) получается из простого высказывания «Курица - птица» с помощью отрицания «не». Высказывание 5) образовано из элементарных «число 8 делится на 2», «число 8 делится на 4», соединенных союзом «и». Аналогично сложные высказывания «Я пойду в школу или в кино» получается из простых высказываний «Я пойду в кино», «Я пойду в школу» с помощью грамматической связки «или».

Рассмотрим это же на другом примере. Возьмем более определенное (в смысле значения истинности) высказывание "Луна - спутник Земли" - простое и истинное. А вот "Солнце - спутник Земли" будет ложным высказывание (и простым). Усложняем задачу: "Луна - спутник Земли и Солнце - спутник Земли". На этот раз наше высказывание сложное, т.к. оно состоит из двух простых, и, что самое важное, это высказывание ложное, так уж устроена логическая (пропозициональная) связка "и" (конъюнкция). Если она обьединяет истинные высказывания - сложное высказывание будет истинным, а во всех остальных случаях - ложным. А сколько всего случаев? Каждое высказывание может быть истинным или ложным, если рассматривать два высказывания, то получим 4 комбинации: оба истинные, оба ложные, одно истинное, другое ложное, и наоборот.

Рассмотрим теперь высказывание "Луна - спутник Земли или Солнце - спутник Земли" - сложное и истинное. На этот раз связующим звеном выступает "или" (дизъюнкция), которая принимает ложное значение только когда все входящие высказывания - ложные, если хотя бы одно истинное, то все дизъюнктивное высказывание - истинное.

Но мы еще можем превратить высказывание "Луна - спутник Земли" в ложное, а "Солнце - спутник Земли" в истинное, если скажем "Неверно, что Луна - спутник Земли" и "Неверно, что Солнце - спутник Земли". Так действует на высказывания связка "не" (отрицание): истинные высказывания превращает в ложные, а ложные - в истинные. Теперь высказывание "Луна - спутник Земли и неверно, что Солнце - спутник Земли" - истинное, "Неверно, что Луна - спутник Земли или Солнце - спутник Земли" - ложное.

Еще одна интересная связка "если..., то..." (импликация). Рассмотрим высказывание "Если Луна - спутник Земли, то и Солнце - спутник Земли". Здравый смысл подсказывает, что это высказывание ложное, но истинным будет "Если Луна - спутник Земли, то неверно, что Солнце - спутник Земли". Высказывание же "Если Солнце - спутник Земли, то и Луна - спутник Земли" - истинное, несмотря на кажущуюся абсурдность. И высказывание "Если Солнце - спутник Земли, то все что угодно" - тоже истинное. В таких случаях актуальным становится высказывание "Если я - балерина, то Луна - зеленая" или что-нибудь подобное.

2.2 Логические операции над высказываниями: отрицание, конъюнкция, дизъюнкция, импликация и другие

На роль союзов в русском языке, с помощью которых из простых предложений формируются сложные, в логике высказываний приходят логические связки (логические операции). Рассмотрим основные из них:

1) Отрицание

Простейшей операцией логики высказываний является операция отрицания, соответствующая в русском языке частице "не".

Эту операцию обозначают символом " " (или "")

Определение: Если А - некоторое высказывание, то (читается "не А" или "неверно, что А") - новое, сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А ложно.

Пример: А - “идет дождь”, - “не идет дождь”.

Действие этой операции можно представить в виде символической таблицы, которую будем называть таблицей истинности данной логической операции.

Таблица 1

А	А-
1	0
0	1

Именно эту таблицу (ее надо читать по строкам: "если А=1, то =0", т.е. одновременно А истинно и ложно) мы и приняли в качестве определения операции отрицания. Подобными таблицами истинности мы будем пользоваться и при определении других логических операций.

2) Конъюнкция

Следующая логическая операция - конъюнкция (логическое умножение), соответствующая союзу "и" русского языка.

Обозначается конъюнкция символом "" ("" или "&"), который ставится между высказываниями.

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ - сложное высказывание (читается "А и В"), которое истинно в том и только том случае, когда истинны оба высказывания А и В. Высказывания А и В при этом называются конъюнктивными членами или членами данной конъюнкции.

Пример. А - ''лиса - хищное животное", В - "медведь меньше лисы", С - «Лондон - столица Англии»; АВ - «лиса - хищное животное, и медведь меньше лисы» - ложное высказывание; АС - «лиса - хищное животное, и Лондон - столица Англии» - истинное высказывание.

Таблица истинности для операции конъюнкции выглядит следующим образом:

Таблица 2

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

В этой таблице каждая строка показывает, истинна или ложна конъюнкция при данном наборе истинных или ложных конъюнктивных членов.

3) Дизъюнкция

Здесь аналогом в русском языке для следующей логической операции является союз «или». В русском языке этот союз имеет несколько довольно далеких друг от друга значений, рассмотрим их:

Примеры: "Здесь близко река или ручей" - союз "или" в соединительном (неисключающем) смысле; "Или он останется, или я" - "или" в разделительном (исключающем) смысле; "Самолет, или аэроплан, есть летательный аппарат тяжелее воздуха" - "или" в пояснительном смысле и т.д.

В математике, как правило, используется неисключающее "или", что приводит к логической операции дизъюнкции (логическое сложение), обозначаемой символом "".

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ - сложное высказывание (читается "А или В"), которое ложно тогда и только тогда, когда ложны оба высказывания А и В. Высказывания А и В называют при этом дизъюнктивными членами.

Пример: А - "3<6", В - "5>1", АВ - "3<6 или 5>1" - истинное высказывание.

Таблица истинности для операции дизъюнкции выглядит следующим образом:

Таблица 3

А	В	АВ
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

4) Импликация

Из всех логических операций наиболее сложной для восприятия является, пожалуй, импликация. Ее ближайший аналог в русском языке - оборот "если..., то...". Обозначать эту операцию будем так: "АВ".

Одна из проблем, связанных с восприятием импликации - использование этого оборота в нескольких разных значениях.

Пример: а) "Если меня не обманывает зрение, то это Иван Иванович"; "Если треугольник - прямоугольный, то для него справедлива теорема Пифагора" - условное значение оборота " если... , то...";

б) "Если на севере промышляли больше охотой, то на юге основу хозяйства составляло земледелие" - противопоставительное значение;

в) "Если сэр Вальтер Скотт не написал ни одного романа, то не было гражданской войны в США" - контрфактическое условное значение и т.д.

Мы будем ориентироваться только на первое значение этого оборота - условное.

Но и в этом случае полной аналогии нет, поскольку в русском языке оборот "если..., то..." подразумевает наличие причинной связи.

В математической же логике речь может идти только об истинности или ложности всего сложного высказывания в целом. Поэтому единственным "логичным" требованием к высказыванию "если А, то В" является недопустимость ситуации, когда А истинно, а В ложно.

В результате истинными могут оказаться сложные высказывания "Если в доме пять этажей, то в квартире номер три проживает Иванов" или "Если 1+12, то Рим есть столица Франции", а то и еще более "удивительные" высказывания.

Перейдем к точному определению и его обсуждению.

Определение: Если А и В - высказывания, то АВ (читается "если А, то В", "из А следует В", "А влечет В", "А имплицирует В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

Пример: Пусть Р означает "22=4", Q - " снег бел", -"22=5", - "снег черен". Тогда высказывания PQ, и истинны, a - ложно.

Таблица 4

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

Отметим ряд моментов:

- Иногда вместо "" используют знак "".

- Два главных момента в свойствах импликации: истина не может имплицировать ложь, но из лжи следует что угодно. Такое уточнение истинностного смысла связки "если А, то В" не противоречит обычной практике, скорее даже ее расширяет.

Данные 4 логических операции являются основными, однако существует еще несколько.

1) Эквивалентность

Еще одна логическая операция - эквивалентность (или эквиваленция) - соответствует оборотам русского языка типа "тогда и только тогда, когда...", "для того, чтобы..., необходимо и достаточно..." и др. и обозначается знаками "", "~".

К эквивалентности в той же мере, что и к импликации, относится замечание о том, что ее использование в логике высказываний не учитывает смысловое содержание высказываний. И здесь наши интуитивные представления об эквивалентности относятся лишь к случаю, когда высказывание АВ является абсолютно истинным (т.е. истинным во всех возможных ситуациях). В логике же эквивалентность принимается истинной, когда А и В получают одинаковые истинностные значения. Определение: Если А и В - высказывания, то АВ (читается: "А эквивалентно В") это истинно тогда и только тогда, когда одновременно А и В истинны либо оба ложны. Приведем таблицу истинности:

Таблица 5

А	В	АВ
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Пример: Пусть А - "Хлеба уцелеют", В - "вырыты оросительные канавы" Тогда высказывание или "Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты оросительные канавы".

2) Штрих Шеффера

Следующая логическая операция называется штрих Шеффера и обозначается символом». «Аналогом в русском языке служит оборот «не …или не …»

Определение: Если А и В - высказывания, то А|B (читается: "А штрих Шеффера В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А и В истинны одновременно.

Таблица 6

А	В	А|B
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	1

Пример: Пусть А - "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны", В - " Противоположные стороны трапеции не параллельны" Тогда высказывание A|B или "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны или не параллельны" - истинное.

3) Стрелка Пирса

В качестве последнего примера логической операции рассмотрим связку, называемую стрелка Пирса, аналогом в русском языке служит оборот «не …и не …». Обозначается эта операция символом "v".

Определение: Если А и В - высказывания, то АvВ (читается: "А стрелка Пирса В") - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В ложны одновременно.

Таблица 7

А	В
1	1	0
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Пример: Пусть А - "Петр не едет на Урал", В - "Николай не едет в Сибирь" Тогда высказывание или " Петр не едет на Урал и Николай не едет в Сибирь " - истинное.

2.3 Формулы логики высказываний, их свойства

Если переходить к сравнениям, то элементарные высказывания в логике высказывания рассматриваются как не расчленяемые "атомы", а составные высказывания - как "молекулы'', образованные из "атомов" применением к ним логических операций. Логика высказываний интересуется единственным свойством элементарных высказываний их значением истинности, составные же высказывания изучаются ею со стороны их структуры, отражающей способ, которым они образованы. Структура составных высказываний определяет зависимость их значений истинности от значений истинности составляющих элементарных высказываний.

Базовыми понятиями логики высказываний являются пропозициональная переменная - переменная, значением которой может быть логическое высказывание, - и (пропозициональная) формула.

Существуют правила построения формул логики высказываний /5/:

1. Элементарное высказывание (буква) является формулой нулевого уровня. Если элементарное высказывание всегда верно, мы будем его обозначать буквой И, а если оно всегда неверно, -- буквой Л. Тогда формулы первого уровня -- это элементарные высказывания, к которым применена только одна логическая связка.

2. Пусть Ф1 и Ф2 -- формулы ненулевого уровня. Тогда записи (¬(Ф1)), ((Ф1)(Ф2)), ((Ф1)(Ф2)), ((Ф1)>(Ф2)) также являются формулами. Если же одна из формул Ф1 и Ф2 , к которым применяется логическая связка, имеет нулевой уровень, то она в скобки не заключается.

Пусть А, В, С и т.д. - переменные, вместо которых можно подставлять любые элементарные высказывания с помощью этих переменных и символов логики любое высказывание можно формализовать, то есть заменить формулой выражающей ее логическую структуру.

Например, высказывание: "Если 20 делится на 2 и на 5, то 20 делится на 10", формализуется в виде (А ^ B) > C. Такая же формула соответствует предложению: "если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм "

Уточним понятие формулы логики высказываний. Для этого сначала зададим алфавит, то есть набор символов, которые можно употреблять в логике высказываний.

1) А,В,С и т.д. - символы для обозначения высказываний;

2) 1 и 0 - символы, обозначающие логические константы "истина", «ложь»;

3) - символы, логические операции;

4) ( , ) - скобки, вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения операций.

Формула алгебры высказываний принимает одно из двух значений (0 или 1) в зависимости от простых высказываний и от связи между ними.

Истинность или ложность высказывания мы будем задавать таблицей истинности.

Составление истинностных таблиц происходит по следующему правилу:

Сначала необходимо записать всевозможные наборы высказываний, при этом каждое из высказываний может войти в одном из двух состояний (0 или 1). Далее, последовательно, в соответствии с порядком выполнения логических операций, под каждой логической операцией следует записывать истинные значения. Обратите внимание, если формула содержит п высказываний, то таблица истинности будет содержать строк.

При составлении таблиц необходимо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий. Заполняя таблицу, следует двигаться "изнутри наружу", то есть от элементарных формул к более и более сложным. Столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы.

Порядок выполнения операций определяется с помощью скобок. В отсутствии скобок первой выполняется операция отрицание, затем конъюнкция, после этого дизъюнкция, далее в порядке следования импликация, эквиваленция и т.д.

Пример 1:

А	В
0	0	1	1	0	0
0	1	1	1	1	1
1	0	0	0	0	1
1	1	0	1	0	0

Пример 2: Вычислить значение функции:

при

1)

2)

3)

4)

5)

Две формулы А и В будем называть равносильными (А=В или ), если они имеют одинаковые таблицы истинности. Будем считать две таблицы истинности одинаковыми, если у них одинаковые последние (результирующие) столбцы.

Пример:

x	y
0	0	1	1
0	1	1	1
1	0	0	0
1	1	1	1

В логике высказываний будем считать, что равносильные формулы задают одно и то же высказывание. Может оказаться, что в последнем столбце таблицы истинности стоят одни единицы или нули. Будем называть такое высказывание тождественно-истинным (тавтологией) соответственно тождественно-ложным (противоречием) и обозначать 1 и 0. Из определения следует, что для проверки равносильности формул нужно построить их таблицы истинности и сравнить

Пример:

Формулы и являются тождественно-истинными:

х	у
1	1	1	1
1	0	1	1
0	1	0	1
0	0	1	1

3. Разработка и реализация обучающего ресурса

3.1 Создание обучающего ресурса «Логика для лингвистов»

Ресурс «Логика для лингвистов» разработан с помощью программы TurboSite. На рисунке 4 - главная страница ресурса.

Данная программа позволяет создавать HTML-сайт или электронный учебник с поддержкой комментариев, формы обратной связи, вставки видео- файлов и JavaScript- тестов.

Контактная форма и комментарии работают на страницах, созданных при помощи TurboSite, как на любом бесплатном хостинге без поддержки PHP или MySQL, так и на локальных компьютерах, при условии наличия подключения к сети Интернет.

Рисунок 4 Главная страница ресурса

Учебно-методический ресурс включает в себя следующие блоки:

1. Теория

Теория представлена в виде 6 параграфов, сгруппированных в 2 главы: Алгебра высказываний и Логика предикатов. Оба параграфа разбиты на тематические пункты (без нумерации). В каждом пункте приводятся сведения теоретического характера, в которых описывается система понятий и обозначений, используемых в параграфе.

На рисунке 5 - блок теории.

Рисунок 5 Блок теории

2. Задачи

Задачи расположены в порядке возрастания их сложности (Рисунок 6- блок задач). Каждый пункт начинается с достаточно стандартных задач, предназначенных для отработки на конкретных примерах положений теории, в частности для реального уяснения сути тех или иных введенных понятий, реальной отработки тех или иных теоретически обоснованных методов.

Далее следуют задачи, решение которых возможно лишь при условии, что необходимые понятия и методы уяснены. В конце некоторых пунктов приводятся задачи, решение которых требует в определенной мере нестандартного подхода или необычного хода рассуждений.



Рисунок 6 Блок задач

Почти всегда для одной из задач (а иногда и для нескольких) каждой серии приводится подробное решение, которое студент может разобрать самостоятельно или под руководством преподавателя.

3. Тест

Третий раздел электронного ресурса- тест (Рисунок 7- блок тест ). Он состоит из десяти вопросов, на который возможен только один вариант ответа. Вопросы расположены в порядке возрастания их сложности.



Рисунок 7 Блок тест

После того как студент прошел тест, узнать результат он может, нажав кнопку «Завершить тест». Правильные ответы будут выделены «зеленым», неправильные «красным» цветами (Рисунок 8- Результаты теста). Итог автоматически выводится на экран. Повторить тестирование можно неограниченное количество раз.

Рисунок 8 Результат теста

3.2 Педагогический эксперимент

Апробация теста разработанного ресурса проводилась в ходе эксперимента, которым было охвачено 10 студентов гуманитарных специальностей Кубанского государственного университета.

Эксперимент показал, что необходимый уровень сформированности знаний и умений достигнут. На основе результатов тестирования для каждого студента были вычислены средние баллы самооценки знаний. Полученные данные представлены на графике.



Рисунок 9 Результат теста

Заключение

Данная работа посвящена содержательной линии «логика» для лингвистов.

Основной целью математического образования студентов гуманитарных направлений является развитие умения математически, а значит, логически и осознанно исследовать явления реального мира и решать профессиональные задачи. Реализации этой цели может способствовать изучение курса математической логики.

Термин лингвистика происходит от латинского слова lingua, что означает «язык. Лингвистика изучает не только существующие (существовавшие или возможные в будущем) языки, но и человеческий язык вообще. В широком смысле слова лингвистика подразделяется на научную (то есть предполагающую построение лингвистических теорий) и практическую. Чаще всего под лингвистикой подразумевается именно научная лингвистика. Было рассмотрено становление структурной лингвистики в 19-20 вв. и применение в ней математических методов.

Был проведен анализ содержания разделов «логика высказываний» и «логика предикатов». Рассмотрены основные понятия и операции логики высказываний и логики предикатов, а также способы решения логических задач. Первым было рассмотрено понятие «высказывание», его виды и обозначение. Затем, описали все семь логических операций. Проанализировали алгоритмические и эвристические способы решения логических задач. Первые представлены нормальными и совершенными нормальными формами записи логики высказываний, а также описан алгоритм решения логических задач.

Разработан электронный ресурс, который должен помочь студентам в изучении и отработке основных понятий математической логики.

Список используемых источников

1. Бажанов В.А. История логики в России и СССР. -- М.: Канон+, 2007. -- 336 с.

2. Бочаров В.А., Маркин В.И. Основы логики: Учебник. -- М.: ИНФРА-М, 2007. -- 296 с.

3. Маковельский А.О. История логики. -- М.: Кучково поле. 1967. -- 504 с.

4. Мечковская Н.Б. Игровое начало в современной лингвистике // Логический анализ языка. Концептуальные поля игры. -- М.: Индрик, 2006. -- 41с.

5. Савченко В.В. Математика и информатика для лингвистов, краткий конспект лекций / В.В. Савченко, В.В. Ретивина, - Н. Новгород: НГЛУ, 2006.- 230с.

6. Стяжкин Н.И. Формирование математической логики. -- М., Индрик, 2007. - 295 с.

7. Тихонравов Ю.В. Философия: Учебное пособие.. -- М.: Инфра-М, 2000. -- 269 с.

8. Челпанов Г.И. Учебник логики. -- М.: Инфра-М, 2004. -296с.

9. Шайкевич A.Я. Введение в лингвистику. М.: Academia, 2005. - 400 с.

10. Шайкевич А.Я. Дистрибутивно-статистический анализ в семантике Принципы и методы семантических исследований. М., 2006. - 345с.

Размещено на Allbest.ru

...