Групи, близькі до нерозкладних, і пов'язані з ними задачі теорії кілець

Размещено на http://www.allbest.ru/

Київський національний університет імені Тараса Шевченка

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

01.01.06 -- алгебра і теорія чисел

Групи, близькі до нерозкладних, і пов'язані з ними задачі теорії кілець

Артемович Орест Дем'янович

Київ -- 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Київському національному університеті імені Тараса Шевченка

Науковий консультант: доктор фізико-математичних наук, Сущанський Віталій Іванович, Київський національний університет імені Тараса Шевченка, завідувач кафедри алгебри і математичної логіки

Офіційні опоненти:

заслужений діяч науки і техніки України, доктор фізико-математичних наук, професор Курдаченко Леонід Андрійович, Дніпропетровський державний університет, завідувач кафедри алгебри і геометрії

доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Черніков Микола Сергійович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук, професор Шмелькін Альфред Львович Московський університет імені М.В. Ломоносова, професор кафедри вищої алгебри

Провідна установа: Ужгородський державний університет, кафедра алгебри, Міністерство освіти України, м. Ужгород

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Петравчук А.П.

Анотацiя

нільпотентність гіперцентральність модульний

Артемович О.Д. Групи, близькi до нерозкладних, i пов'язанi з ними задачi теорiї кiлець. Рукопис.

Дисертацiя на здобуття наукового ступеня доктора фiзико-математичних наук за спецiальнiстю 01.01.06 - алгебра i теорiя чисел. Київський нацiональний унiверситет iменi Тараса Шевченка, Київ, 2000.

Дисертацiя присвячена дослiдженню нерозкладних i близьких до них груп, а також пов'язаних з ними задач теорiї кiлець. Описано властивостi недосконалих груп без власної факторизацiї i, зокрема, охарактеризовано нерозкладнi метабельовi групи. Отримано розв'язок двох проблем Ф. Саса про кiльця, в яких iдеал nR видiляється кiльцевим прямим доданком для кожного цiлого числа n i вiдповiдно в яких кожний елемент є лiвим множником, а також iз застосуванням класифiкацiї скiнченних простих груп доведено аналог Z*-теореми для непарних простих чисел, що дає вiдповiдь на вiдоме запитання Дж. Глаубермана. Запроновано конструкцiю групи Фробенiуса S(M,G), асоцiйованої з простим i точним модулем M над примiтивним справа кiльцем R, а також конструкцiю групи H(I,T), асоцiйованої з модулем над асоцiативним кiльцем, i встановлено критерiй, коли H(I,T) буде групою Фробенiуса, що дало змогу отримати деякi результати про радикальнi кiльця i групи, близькi до груп Чарiна.

Дослiджено HM*-групи i, зокрема, мiнiмальнi не майже гiперцентральнi групи. Охарактеризовано диференцiально тривiальнi (тобто тiльки з нульовими диференцiюваннями) i вiдповiдно жорсткi (тобто тiльки з тривiальними ендоморфiзмами) кiльця скiнченного рангу, диференцiально тривiальнi вiдповiдно областi i лiвi нетеровi кiльця. Встановлено критерiї нiльпотентностi, гiперцентральностi, енгелевостi всiх розширень абельової групи за допомогою абельової групи операторiв;

дослiджено розв'язнi групи з умовою мiнiмальностi для негiперцентральних (вiдповiдно ненiльпотентних, не майже нiльпотентних, не майже гiперцентральних) пiдгруп; охарактеризовано перiодичнi локально нiльпотентнi групи з умовою максимальностi для ненiльпотентних (вiдповiдно негiперцентральних) пiдгруп; дослiджено розв'язнi групи, насиченi пiдгрупами, якi є розширеннями нiльпотентних груп за допомогою чернiковських груп.

Ключовi слова: нерозкладна група, нiльпотентна група, умова мiнiмальностi, умова максимальностi, групи типу Хайнекена-Мохамеда, мiнiмальна не майже гiперцентральна група, диференцiально тривiальне кiльце, жорстке кiльце.

Анотация

Артемович О.Д. Группы, близкие к неразложимым, и связанные с ними задачи теории колец. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.01.06 - алгебра и теория чисел.- Киевский национальный университет имени Тараса Шевченко, Киев, 2000.

Диссертация посвящена исследованию неразложимых и близких к ним групп, а также связанных с ними задач теории колец. Отвечая на вопрос 1 из монографии Б. Амберга, С. Франчиози и Ф. Джованни, установлено, что несовершенные неразложимые группы G всегда счетные и не имеют собственных факторизаций, а их фактор-группа G/G' квазициклическая. Отсюда, в частности, следует, что неразложимая группа с гиперцентральным коммутантом является HM*-группой.

Изучены простейшие свойства HM*-групп; доказано, что неразложимая разрешимая группа - p-группа для некоторого простого числа p, и показано, что неразложимая группа с нильпотентным коммутантом есть минимальная негиперцентральная группа. Получена характеризация неразложимых метабелевых групп, что дает ответ на вопрос 7.5 из ``Коуровской тетради".

Примерами HM*-групп также есть несовершенные минимальные не почти гиперцентральные группы, характеризация которых приведена в диссертации, что послужило толчком к изучению разложимых HM*-групп, близких к группам Чарина. При этом возникла необходимость, во-первых, исследовать связь групп Фробениуса с ассоциативными кольцами и модулями над ними, и с этой целью построена конструкция группы S(M,G), позволившая для правого R-модуля M и любой неединичной подгруппы G из группы единиц U(R) примитивного справа кольца R, состоящей из инвариантных справа элементов, получaть группу Фробениуса в том случае, когда M простой и точный; рассмотрены пары Фробениуса над ассоциативными областями;

предложена конструкция группы H(I,T), ассоциированной с левым R- модулем M над ассоциативным кольцом R, расширяющая известную конструкцию Я.П. Сысака; и установлено, когда H(I,T), где I - ненулевой подмодуль из M и T - неединичная подгруппа присоединенной группы R( кольца R, является группой Фробениуса, что позволило получить ряд интересных результатов о радикальных (в понимании Джекобсона) кольцах. Поиски примеров HM*-групп среди групп единиц фактор-колец некоторых колец косых многочленов привели к изучению дифференциально тривиальных и соответственно жестких колец, в результате чего охарактеризованы дифференциально тривиальные кольца без делителей нуля и жесткие поля характеристики 0, алгебраические над своими простыми подполями; описаны дифференциально тривиальные и соответственно жесткие кольца конечного ранга; изучены дифференциально тривиальные левые нетеровы кольца. Pешены две задачи Ф. Саса о кольцах, в которых идеал nR выделяется кольцевым прямым слагаемым для всякого целого числа n и соответственно в которых любой элемент левый множитель. С привлечением класси-фикации конечных простых групп получен аналог Z*-теоремы Глаубермана для нечетных простых чисел, что дает ответ на известный вопрос Дж. Глаубермана.

Установлены необходимые и достаточные условия для гиперцентральности и соответственно энгелевости всех расширений G абелевой группы A при помощи абелевой группы B; более подробно рассмотрен случай, когда B-абелева группа операторов абелевой группы A, и найдены критерии соответственно нильпотентности, гиперцентральности и энгелевости всех расширений, что также дает ответ на вопрос 2.77 из ``Коуровской тетради".

Получены характеризации разрешимых групп с условием минимальности соответственно для ненильпотентных (соответственно негиперцентральных, не почти нильпотентных, не почти гиперцентральных) подгрупп; периодических локально нильпотентных групп с условием максимальности для ненильпотентных (соответственно негиперцентральных) подгрупп; а также разрешимых групп с условием минимальности и соответственно максимальности для подгрупп, не являющихся расширениями нильпотентных групп при помощи черниковских групп.

Ключевые слова: неразложимая группа, нильпотентная группа, условие минимальности, условие максимальности, группы типа Хайнекена-Мохамеда, минимальная не почти гиперцентральная группа, диф-ференциально тривиальное кольцо, жeсткое кольцо.

Annotation

Artemovych O.D. Groups nearly to the indecomposable groups and related ring theory problems. Manuscript.

Thesis of the dissertation for obtaining of the degree of doctor of sciences in physics and mathematics, speciality 01.01.06 - algebra and number theory. Kyiv Taras Shevchenko University, Kyiv, 2000.

The dissertation is devoted to investigating of indecomposable and nearly indecomposable groups and related problems of ring theory. We describe properties of non-perfect groups without a proper factorization and, in particular, we characterize the indecomposable metabelian groups. It is obtained the solutions of two problems of F. Sz(sz about the rings in which every ideal nR is a ring direct summand of R for every integer n and respectively in which every element is a left multiplier and we prove (by mod CFSG) an analogues of Glauberman Z*-theorem for old primes. A construction of Frobenius groups which is associated with a module over a right primitive ring is presented. We presente also the construction of a group H(I,T) which is associated with a pair (I,T), where I is a non-trivial submodule of a left R-module M, T a non-trivial subgroup of the adjoint group R( of an associative ring R. We find a criteria for H(I,T) to be a Frobenius group and obtain some results on the Jacobson radical rings and he groups related to the (arin groups. We investigate properties of HM*-groups and, in particular, the minimal non-``hypercentral-by-finite" groups. For the constructions of examples of HM*-groups we characterize the differentially trivial and respectively rigid rings. The differentially trivial domains and the differentially trivial left 33Noetherian rings also are described. We find a criteria when every extension of an abelian group A by an abelian operator group B is nilpotent and respectively hypercentral, or Engel. The solvable groups with the minimal condition on non-hypercentral (respectively non-nilpotent, nilpotent-by-finite, on hypercentral-by-finite")subgroups are described. We characterize the torsion locally nilpotent groups with the maximal condition on non-nilpotent (respectively non-hypercentral) subgroups and the solvable groups with many nilpotent-by- (ernikov subgroups.

Key words: indecomposable group, nilpotent group, minimal condition, maximal condition, Heiheken-Mohamed type group, minimal non-``hyper-central-by-finite" group, differentially trivial ring, rigid ring.

1. Загальна характеристика роботи

Актуальнiсть теми. Природнє прагнення будь-якої теорiї - класифiкацiя дослiджуваних об'єктiв - досягається разноманiтними способами. Один iз основних пiдходiв до вивчення алгебраїчних об'єктiв полягяє, з одного боку, в їх описаннi шляхом знахождення рiзних розкладiв на складовi нерозкладнi або бiльш простiше влаштованi пiдоб'єкти i, з другого боку, в дослiдженнi впливу властивостей пiдоб'єктiв можливих розкладiв на весь об'єкт. При цьому природнiй iнтерес викликає будова "цеглин" таких розкладiв (тобто нерозкладних об'єктiв). Класичнi приклади цього дають загальнi теореми про примарнi розклади в теорiї кiлець (серед них теорема Ласкера-Нетер, теорема про однозначний розклад iдеалiв в дедекiндовiй областi), теорема Веддербарна-Мальцева про розклад скiнченновимiрної сепарабельної алгебри в пряму суму нiльпотентного радикалу i напiвпростої пiдалгебри, теореми про розклад модулiв в прямi суми нерозкладних (зокрема, незвiдних) пiдмодулiв, теорема про розклад клiффордових напiвгруп в напiвграт-ку цiлком простих напiвгруп та iн.

В теорiї груп прикладом такого пiдходу є факторизацiйний напрямок, в якому на даний час, з одного боку, значну кiлькiсть робiт присвячено дослiдженню груп, розкладних в добуток деяких своїх власнихпiдгруп, тобто груп, що володiють власною факторизацiєю. Першi роботи в цьому напрямку належать Ф. Холлу, Г. Цаппа, С.А. Чунiхiну, I. Шуру; починаючи з робiт Е. Сепа, Л. Редеї, Х. Вiландта, Б. Хупперта, Н. Iто, О. Кегеля цi дослiдження ведуться систематично. В 50-х роках С.М. Чернiков з учнями започаткували вивчення груп з широкими системами доповнювальних пiдгруп. Цiй тематицi присвяченiпрацi Ю.М. Горчакова, Д.I. Зайцева, А.П. Петравчука, Я.П. Сисака, Н.В. Чернiкової, М.С. Чернiкова, автора та iнших. За останнi декiлька десятирiч отримано значнi досягнення в дослiдженнi нескiнченних груп з власною факторизацiєю в працях Б. Амберга, Дж. Вiлсона, Д.I. Зай-цева, Дж. Леннокса, Д. Робiнсона, Дж. Роузблейда, М.Ф. Сесекiна, Я.П. Сисака, В.I. Сущанського, М.С. Чернiкова та iнших.

З другого боку, до недавнього часу небагато було вiдомо про нерозкладнi об'єкти цього пiдходу, тобто про нескiнченнi групи без власної факторизацiї. Методи дослiдження таких груп i близьких до них якраз i розвиваються в данiй дисертацiї. Коротко про ключовi iсторичнi моменти. Першим нескiнченну абельову групу без власної факторизацiї (тобто квазiциклiчну p-групу ) розглядав Г. Прюфер в своїй дисертацiї в 1921 роцi. Пiсля цього до побудови першої неабельової нескiнченної групи без власної факторизацiї минуло майже половина столiття. В 1947 роцi О.Г. Курош i С.М. Чернiков опублiкували огляд (Курош А.Г., Черников С.Н. Разрешимые и нильпотентные группы//Успехи мат. наук.- 1947.- T. 2, N 3.- С. 18-59), в якому серед iнших була сформульована проблема 22: ``чи спiвпадає клас всiх груп, в яких кожна пiдгрупа субнормальна, з класом всiх нiльпотентних груп?". Дж. Роузблейд, який першим спробував в 1965 роцi розв'язати цю проблему, значним чином стимулював всi наступнi дослiдження в цьому напрямi. Через декiлька рокiв Г. Хайнекен i I. Мохамед (Heineken H., Moha-med I.J. A group with trivial centre satisfying the normalizer condition// J. Algebra.- 1968.- Vol. 10.- P. 368-376) негативно розв'язали проблему 22, сконструювавши серiю прикладiв p-груп G з абельовим комутантом G' експоненти p, кожна власна пiдгрупа яких нiльпотентна i субнормальна, i з одиничними центрами. В їх честь ненiльпотентнi групи з нiль-потентними i субнормальними власними пiдгрупами прийнято називати групами типу Хайнекена-Мохамеда. Пiзнiше Г. Хайнекен i I. Мохамед (Heineken H., Mohamed I.J. Groups with normalizer condition// Math. Ann. - 1972.- Vol. 198.- P. 179-188), Д. Мелдрум (Meldrum J.D.P. On the Heineken-Mohamed groups//J. Algebra.- 1973.- Vol. 27.- P. 437-444) i Б. Хартлi (Hartley B. A note on the normalizer condition// Proc. Cambr. Phil. Soc. - 1973.- Vol. 74.- P. 11-15) незалежно побудували незлiченнi родини попарно неiзоморфних p-груп G типу Хайнекена-Мохамеда з абельовим комутантом G' експоненти p i одиничними центрами. В своїй наступнiй працi для кожного простого числа p i кожного додатнього цiлого числа n Б. Хартлi (Хартли Б. О нормализаторном условии и мини-транзитивных группах подстановок // Алгебра и логика.- 1974. - T. 13, N 5. - С. 589-602) сконструював нову серiю прикладiв p-груп G типу Хайнекена-Мохамеда з абельовим комутантом G' експоненти , одиничними центрами i лiнbйно впорядокованими за включенням множинами всiх G-iнварiантних пiдгруп iз G'. Проте достатньо дов-го залишалося вiдкритим запитання: ``чи iснують неметабельовi (вiд-повiдно з комутантом нескiнченної експоненти) групи типу Хайнекена-Мохамеда?". Вiдповiдаючи на нього, Б. Бруно i Р. Фiллiпс (Bruno B., Phillips R.E. On multipliers of Heineken-Mohamed type groups// Rend. Sem. Mat. Padova. - 1991. - Vol.85. - P. 133-146) для кожного непарного простого числа p вказали незлiченну родину попарно неiзоморфних неметабельових p-груп G типу Хайнекена-Мохамеда з нескiнченними центрами Z(G) i ступеня розв'язностi 3. Тiльки в 1995 роцi Ф. Менегaццо (Menegazzo F. Groups of Heineken-Mohamed// J. Algebra.- 1995.- Vol. 171.- P. 807-825) показав, що для кожного простого числа p iснує метабельова p-група G типу Хайнекена-Мохамеда з комутантом G' не скiнченної експоненти, а для кожного простого числа p i кожного цiлого числа d>1 iснує p-група типу Хайнекена-Мохамеда з комутантом G' ступеня розв'язностi d. В результатi цих дослiджень виявилось, що групи типу Хайнекена-Мохамеда важливi з багатьох точок зору. Вониє прикладами нерозкладних груп, тобто груп кожнi двi власнi пiдгрупи яких породжують власну пiдгрупу. В цьому планi в дисертацiйнiй роботi, вiдповiдаючи на запитання 1 iз монографiї Б. Амберга, С. Франчiозi i Ф. Джованнi (Amberg B., Franciosi S., de Giovanni F. Products of groups.- Oxford: Clarendon Press, 1992), автором встановлено, що недосконала група G нерозкладна тодi i тiльки тодi, коли вона не має власної факторизацiї (тобто iз G=AB, де A i B -- пiдгрупи iз G, випли-ває, що A=G або B=G), охарактеризовано недосконалi нерозкладнi групи i дослiджено нерозкладнi групи G з нiльпотентним комутантом G' скiнченної екпоненти. Заодно в дисертацiї також (iз застосування класифiкацiї скiнченних простих груп) розглянуто скiнченнi групи з власною факторизацiєю, i серед них скiнченнi групи, порядок кожної неодиничної нормальної пiдгрупи яких дiлиться на непарне просте число p i якi мiстять ізольований елемент порядку p; для цих груп вста-новлено аналог Z*-теореми Глаубермана.

Б. Хартлi звернув увагу ще на один цiкавий аспект, пов'язаний з групами типу Хайнекена-Мохамеда. Вiн ввiв до розгляду ледве транзитивнi групи, а його учень Б. Лав довiв, що ледве транзитивна локально скiнченна недосконала група є групою типу Хайнекена-Мохамеда з нiльпотентним комутантом G' скiнченної експоненти i скiнченним гiперцентром. Б. Хартлi i М. Кузуцуоглу також встановили, що кожна локально скiнченна ледве транзитивна група непроста, а В.В. Беляєв i М. Кузуцуоглу довели, що кожна група типу Хайнекена-Мохамеда має ледве транзитивне зображення.

Ще одна проблема, яка виникла в процесi описаних дослiджень: ``чи кожна група iз субнормальними пiдгрупами розв'язна?". Її дослiджували Б. Брукс, Х. Смiт i К. Касоло. Але розв'язав її В. Мерес, який в серiї своїх праць (див., наприклад, статтю: Mцhres W. Auflцsbarkeit von Gruppen, deren Untergruppen alle subnormal sind// Archiv Math.- 1990.- Bd.54.- S. 232-235) довiв, що група, всi пiдгрупи якої субнормальнi, ро-зв'язна. Отже, групи типу Хайнекена-Мохамеда завжди розв'язнi i не мають власної факторизацiї. Саме тому в дисертацiйнiй работi вивчаються розв'язнi нерозкладнi групи. Ще одним пiдтвердженням важливостi вивчення розв'язних нерозкладних груп ї та обставина, що кожна локально скiнченна проста група розкладна.

Всезростаючий iнтерес дослiдникiв до груп типу Хайнекена-Мохамеда, якi також є мiнiмальними ненiльпотентними групами, багато в чому стимулював вивчення мiнiмальних не X-груп, де X - деякий клас груп. Необхiднiсть у вивченнi таких груп природньо виникає i при дослiдженнi груп з рiзними умовами мiнiмальностi i максимальностi. Iсторично перший результат в цьому напрямку належить Г. Мiллеру i Х. Морено, якi ще в 1903 роцi вивчали скiнченнi мiнiмальнi неабельовi групи. Скiнченнi мiнiмальнi ненiльпотентнi i вiдповiдно скiнченнi мiнiмальнi ненадрозв'язнi групи вивчали О.Ю. Шмiдт, Л. Редеї i вiдповiдно Б. Хупперт. Л.А. Шеметков з учнями дослiджували скiнченнi мiнiмальнi групи, якi не належать до даної формацiї. Нескiнченнi мiнiмальнi ненiльпотентнi групи почали вивчати Н. Нюмен i Дж. Bайголд (Newman M.F., Wiegold J. Groups with many nilpotent subgroups // Archiv Math. - 1964. - Vol.15. - P. 241-250). Великий вплив на дослiдження нескiнченних мiнiмальних не X-груп мали працi В.В. Беляєва. Вiн дослiджував мiнiмальнi не FC-групи. Iз його результатiв i працi М. Кузуцуоглу i Р. Фiллiпса, зокрема, випливає, що локально скiнченна мiнiмальна не FC-група є p-групою. Мiнiмальнi не FC-групи також вивчали А. Азар, Ф. Ляйнен та iншi. Вивчаючи локально скiнченнi групи з майже абельовими власними пiдгрупами, В.В. Беляєв (Беляев В.В. Локально конечные группы с почти абелевыми собственными подгруппами//Сиб. мат. ж.- 1983.- T.24, N 1.- С. 11-17) встановив, що локально скiнченна мiнiмальна не майже aбельова група є групою Чарiна або нерозкладною метабельовою групою. Незалежно мiнiмальнi не майже абельовi групи вивчала також Б. Бруно. Вiдповiдаючи на запитання 7.5, записане В.В. Беляєвим в ``Коурiвський зошит" (Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп/ / Сост. В.Д. Мазуров, Е.И. Хухро. - 12-ое изд., перераб. и доп. - Новосибирск: Ин-т матема-тики СО АН СССР, 1992. - 144 с.), автор встановив в дисертацiйнiй роботi, що нерозкладнi метабельовi групи в деякому розумiннi дуже близькi до груп типу Хайнекена-Мохамеда, i що розв'язнi нерозкладнiгрупи є p-групами. Б. Бруно i Р. Фiллiпс також дослiджували недоско-налi мiнiмальнi не майже нiльпотентнi групи (скорочено -групи), а Х. Отал, Х. Пена, Б. Хартлi i А. Азар вивчали мiнiмальнi не CC-групи. М. Ху охарактеризував групи, всi власнi пiдгрупи яких є групами Бера, з максимальною пiдгрупою; i показав, що мiнiмальнi неберовськi групи не мiстяться в класi груп типу Хайнекена-Мохамеда. Пiзнiше М. Ху i незалежно М. Дiксон, М. Еванс i Х. Смiт вивчали групи, всi власнi пiдгрупи яких є нiльпотентними розширеннями скiнченних груп і вiдповiдно груп скiнченного рангу. Близьким до цих дослiджень є цикл робiт А. Азара з учнями. Задачi про мiнiмальнi не X-групи залишаються актуальними i публiкацiї, присвяченi їм, продовжують виходити з друку. Так, вiдносно недавно опублiкованi результати дослiджень Є.I. Хухро, Х. Смiта, Дж. Баклi, Дж. Леннокса, Дж. Неймана, Дж. Bайголда та iнших. Х. Отал i Х. Пена, Ф. Наполiтанi i Е. Пегораро (Napolitani F., Pegoraro E., On groups with nilpotent- by-Cernikov proper subgroups // Archiv Math. - 1997. - Vol.69. - P. 89-94) шукали мiнiмальнi групи, якi не є розширеннями нiльпотентних груп за допомогою чернiковських груп. Розвиваючи цей пiдхiд, в дисертацiї розглядаються розв'язнi групи, насиченi пiдгрупами, якi є розширеннями нiльпотентних груп за допомогою чернiковських груп. В дисертацiйнiй рoботi також охарактеризовано недосконалi мiнiмальнi не майже гiперцентральнi групи. Цi групи, як i мiнiмальнi не майже абельовi групи, групи Чарiна, недосконалi мiнiмальнi не майже нiльпотентнi групи, є прикладами HM*-груп, тобто груп G з гiперцентральним комутантом G' i фактор-групою G/G', яка є подiльною чернiковською p-групою. Зокрема, кожна нерозкладна метабельова група є HM*-групою. Саме тому значна частина четвертого роздiлу дисертацiї присвячена дослiдженню HM*-груп, вивчення яких в багатьох випадках зводиться до розглядунерозкладних груп i розкладних груп, близьких до груп Чарiна. Прицьому ефективною виявилась розглянута автором конструкцiя групи, пiдказана вiдомою конструкцiєю Я.П. Сисака (Сысак Я.П. Произведения бесконечных групп: Препр./ АН УССР. Ин-т математики; N 82.53.- К.: 1982.- 36 с.) i прикладом В.С. Чарiна (Чарин В.С. Замечание об условии минимальности для подгрупп/ / ДАН СССР. - 1949. - T.66. - С. 575-576), що дало змогу не тiльки будувати приклади розкладних HM*-груп, але також дослiджувати розкладнi групи, близькi до груп Чарiна, i отримати деякi твердження про радикальнi кiльця. Пошуки автором прикладiв HM*-груп серед груп одиниць фактор-кiлець певних кiлець скручених многочленiв привели до необхiдностi дослiджувати групи Фробенiуса, асоцiйованi з асоцiативними кiльцями i модулями над ними, чому якраз присвячено третiй роздiл; а також до бiльш детального вивчення деяких задач про асоцiативнi кiльця i, зокрема, до розгляду диференцiально тривiальних (тобто тiльки з нульовими диференцiюваннями) i вiдповiдно жорстких (тобто тiльки з тривiальними ендо- морфiзмами) кiлець.

Мiнiмальнi не X-групи -- це також групи в деякому розумiннi з ``малою" множиною не X-пiдгруп. Напевно, не можна повнiстю охопити всi дослiдження, що ведуться в цьому напрямку, до якого, до речi, вiдносяться i групи з умовами мiнiмальностi Min-X i максимальностi Max-X для не X-пiдгруп, вивчення яких активно проводиться вже достатньо довгий час. Так, С.М. Чернiков i В.П. Шунков вивчали групи з умовою мiнiмальностi для неабельових пiдгруп, а Д.I. Зайцев i Л.А. Курдаченко -- групи з умовою максимальностi для неабельових пiдгруп. Зрозумiло, що кожна мiнiмальна не X-група задовольняє одночасно умову мiнiмальностi i умову максимальностi для не X-пiдгруп. В цьому напрямку Л.А. Курдаченко i Г. Кутоло вивчали групи з умовою максимальностi для ненормальних пiдгруп, а Л.А. Курдаченко i Х. Смiт - групи з умовою максимальностi для несубнормальних пiдгруп. С. Франчiозi, Ф. Джованнi i Я.П. Сисак охарактеризували деякi класи груп з умовою мiнiмальностi для не FC-пiдгруп. Групам з рiзними умовами мiнiмальностi i максимальностi присвяченi працi Р. Бера, Д.I. Зайцева, Л.А. Курдаченка, А.I. Мальцева, Д. Робiнсона, М.С. Чернiкова, С.М. Чернiкова, В.П. Шункова та iнших. Все вищесказане ще раз пiдтверджує, що мiнiмальнi не X-групи тiсно переплiтаються з групами, якi задовольняють Max- i Min-. Це спостереження i та особлива роль, яку вiдiграє поняття ``нiльпотентнiсть" (i такi його можливi узагальнення як ``майже нiльпотентнiсть", ``гiперцентральнiсть", ``майже гiперцентральнiсть") в теорiї груп, а також (на прикладi груп Хайнекена-Мохамеда) зв'язок наявностi ``малої" множини власних ненiльпотентних пiдгруп з вiдсутнiстю власних факторизацiй i привело автора до вивчення достатньо мало дослiджених груп, близьких до нерозкладних, тобто груп з ``малими" множинами ненiльпотентних (вiдповiдно негiперцентральних) пiдгруп. На цьому шляху виникає багато перспективних, цiкавих i важливих задач, розв'язки яких потребують нових пiдходiв i пошуку нових методiв. З одного боку, при дослiдженнi таких груп часто виникають HM*-групи (i, зокрема, нерозкладнi групи з нiльпотентним комутантом). При цьому, в значнiй мiрi, застосовуються методи теорiї кiлець i модулiв, демонструючи глибокi взаємозв'язки теорiї груп i теорiї кiлець. З другого боку, воснову методiв дослiдження нерозкладних груп i груп з умовою максимальностi для ненiльпотентних пiдгруп лягли отриманi в дисертацiї критерiї вiдповiдно нiльпотентностi, гiперцентральностi i енгелевостi всiх розширень абельової групи за допомогою абельової групи операторiв, а також класичнi модульно-кiльцевi результати.

Розробцi методiв дослiдження груп, близьких до нерозкладних, дослiдженню їх властивостей i їх характеризацiям, а також деяким теоретико-кiльцевим задачам, якi при цьому виникають, i присвячено дану дисертацiйну роботу.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Тема дисертацiйної рoботи пов'язана з тематикою наукових дослiджень кафедри алгебри i математичної логiки Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка i кафедри алгебри i топологiї Львiвського нацiонального унiверситету iменi Iвана Франка ``Алгебро-топологiчнi конструкцiї i їх застосування" (номер державної реєстрацiї 0195V009660).

Мета i задачi работи. Метою роботи є дослiдження груп, близьких до нерозкладних. При цьому виникає необхiднiсть дослiджувати HM*-групи i, зокрема, нерозкладнi групи i групи без власної факторизацiї; розглядати групи Фробенiуса, асоцiйованi з асоцiативними кiльцями i модулями над ними; розробити модульно-кiльцевий пiдхiд до дослiдження HM*-груп i побудови їх прикладiв; отримати критерiї вiдповiдно нiльпотентностi i гiперцентральностi всiх розширень абельової групи з допомогою абельової групи операторiв; вивчати розв'язнi групи вiдповiдно з умовами мiнiмальностi i максимальностi для рiзних систем ненiльпотентних пiдгруп. Методи дослiдження. В дисертацiйнiй рoботi використовуються сучаснi методи теорiї груп, диференцальної алгебри, комутативної алгебри, а також модульно-кiльцевi методи дослiдження нескiнченних груп.

Наукова новизна. В дисертацiї вперше отримано наступнi новi теоретичнi результати:

* охарактеризовано диференцiально тривiальнi кiльця без дiльникiвнуля i жорсткi поля характеристики 0, алгебраїчнi над своїми простими пiдполями;

* описано диференцiально тривiальнi i вiдповiдно жорсткi кiльця скiнченного рангу;

* вивчено диференцiально тривiальнi лiвi нетеровi кiльця;

* розв'язано двi старi задачi Ф. Саса про кiльця, в яких iдеал nR видiляється кiльцевим прямим доданком для кожного цiлого числа n i вiдповiдно в яких кожний елемент є лiвим множником;

* описано властивостi недосконалих груп без власної факторизацiї i, зокрема, отримано характеризацiю нерозкладних метабельових груп;

* отримано аналог Z*-теореми Глаубермана (iз застосуванням класифiкацiї скiнченних простих груп) для непарних простих чисел;

* запроновано конструкцiю групи, асоцiйованої з модулем над асоцiативним кiльцем, i встановлено критерiй, коли вона є групою Фробенiуса, що дало змогу отримати деякi рзультати про радикальнi кiльця i групи, близькi до груп Чарiна;

* охарактеризовано мiнiмальнi не майже гiперцентральнi групи;

* встановлено критерiї гiперцентральностi i енгелевостi всiх розши-рень абельової групи за допомогою абельової групи i, зокрема, критерiї нiльпотентностi, гiперцентральностi, енгелевостi всiх розширень абельової групи за допомогою абельової групи операторiв;

* дослiджено розв'язнi групи з умовою мiнiмальностi для негiперцентальних (вiдповiдно ненiльпотентних, не майже нiльпотентних, не майже гiперцентральних) пiдгруп;

* охарактеризовано перiодичнi локально нiльпотентнi групи з умовою максимальностi для ненiльпотентних (вiдповiдно негiперцентральних) пiдгруп;

* дослiджено розв'язнi групи, насиченi пiдгрупами, якi є розширеннями нiльпотентних груп за допомогою чернiковських груп. Теоретична i практична цiннiсть роботи. Дисертацiя носить теоретичний характер. Результати i методи можуть бути використанi в подальших дослiдженнях з теорiй груп i асоцiативних кiлець. Апробацiя результатiв роботи. Результати дисертацiї доповiдались на:

* V Всесоюзному симпозiумi з теорiї кiлець, алгебр i модулiв (Новосибiрськ, 1982);

* XVII Всесоюзнiй алгебраїчнiй конференцiї (Мiнськ, 1983);

* X Всесоюзному симпозiумi з теорiї груп (Мiнськ, 1986);

* Школi ``Топологiчна алгебра" (Тирасполь, 1988);

* Мiжнароднiй алгебраїчiй конференцiї, присвяченiй памятi А.I. Маль цева (Новосибiрськ, 1989);

* NATO Advanced Study Institute of Finite and Locally Finite Groups (Istanbul, Turkey, 1994);

* Ring Theory Conference (Miscolc, Hungary, 1996);

* Groups and Group Rings IV (Львiв, 1996);

* Мiжнароднiй алгебраїчiй конференцiї, присвяченiй памятi Д.К. Фаддєєва (Санкт-Петербург, 1997);

* Groups and Group Rings V (Bialystok, Poland, 1997);

* Мiжнароднiй алгебраїчнiй конференцiї, присвяченiй памятi професора Л.М. Глускiна (Слов'янськ, 1997);

* Groups and Group Rings VI (Wisla, Poland, 1998);

* Другiй Мiжнароднiй алгебра·чнiй конференцiї, присвяченiй памятi професора Л.А. Калужнiна (Київ-Вiнниця, 1999);

* Groups and Group Rings VII (Suprasl, Poland, 1999).

Крiм того, результати дисертацiйної роботи доповiдались на алгебраїчних семiнарах Iнституту математики НАН України (Київ, 1986, 1987); Київського нацiонального унiверситету iменi Тараса Шевченка (Київ, 1993-1999); Львiвського нацiонального унiверситету iменi

Iвана Франка (Львiв, 1982-1999); Унiверситету Йоганеса Гутенберга (Майнц, ФРН, 1996); Iнституту математики Варшавського унiверси-тету (Варшава, Польща, 1996); Iнституту математики Бялостоцького унiверситету (Бялосток, Польща, 1996); Iнституту математики Сiлезького технiчного унiверситету (Глiвiце, Польща, 1996).

Публiкацiї. Основнi результати дисертацiї опублiкованi без спiвавторiв в 24 наукових статтях [1-24], в препринтi [25], а також в 14 тезах доповiдей наукових конференцiй [26-39].

Структура i об'єм дисертацiї. Дисертацiя складається iз списку умовних позначень, вступу, п'яти роздiлiв (якi мiстять 20 пiдроздiлiв), висновкiв, списку використаних джерел; список використаних джерел складається iз 291 найменування. Загальний обcяг дисертацiї - 300сторiнок.

Автор щиро вдячний свому науковому консультанту професору Су-щанському Вiталiю Iвановичу за постiйну увагу i пiдтримку в роботi.

2. Змiст роботи

У вступi обгрунтовано актуальнiсть теми роботи.

В роздiлi 1 дається огляд лiтератури за темою дисертацiї, вказано основнi необхiднi факти i означення, описано короткий змiст результатiв работи.

Роздiл 2 має допомiжний характер; в ньому вивчаються диферен-цiально тривiальнi кiльця, жорсткi кiльця, деякi факти про якi використовуються для вивчення HM*-груп, а також дослiджуються двi старiпроблеми Ф. Саса.

Теорема 2.1.2 (основна в пiдроздiлi 2.1) характеризує диференцiально тривiальнi кiльця без дiльникiв нуля. Теорема 2.1.2. Нехай A - комутативна область.(i). Якщо char(R)=0, то A - диференцiально тривiальне кiльце тодi i тiльки тодi, коли Q(A) - алгебраїчне розширення поля Q(P), де P - перетин A з простим пiдполем iз Q(A). (ii). Якщо char(R)=p, то A - диференцiально тривiальне кiльце тодi i тiльки тодi, коли A=A, де A={ x| xО A}.

К. Мексон (Maxson C.J. Rigid rings// Proc. Edinburgh Math. Soc.-1979.- Vol.21, N 1.- P. 95-101) довiв, що жорстке поле характеристики p iзоморфне скiнченному полю Z iз p елементiв. Подiбного опису жорстких полiв характеристики 0 до цих пiр нема. Але, як зауважили K. Єнсен i X. Ленцiг, iз однiїї статтi X. Гайфмена випливає, що iснують жорсткi поля Пеано будь-якої нескiнченної потужностi. Теорема 2.1.3 характеризує жорсткi поля характеристики 0, якi є алгебраїчними над своїми простими пiдполями.

Продуктивним виявилось накладання умови скiнченностi на ранг Прюфера адитивної групи R диференцiально тривiального кiльця R. Це дозволило отримати опис диференцiально тривiальних кiлець скiнченного рангу (теорема 2.2.1) i, зокрема, диференцiально тривiальнихлiвих артiнових кiлець (наслiдок 2.2.14).

Теорема 2.2.1. Нехай R -- кiльце скiнченного рангу. Тодi R -- дифе-ренцiально тривiальне кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно належить до одного iз наступних типiв:

(ii)R -- кiльце без скруту з подiльною оболонкою D(R), iзоморфноюскiнченнiй кiльцевiй прямiй сумi полiв алгебраїчних чисел;(iii)R@ FЕ S - кiльцева пряма сума, де F - кiльце типу (i) i S - кiльце типу (ii).

Наслiдок 2.2.14. Наступнi умови еквiвалентнi:(i) R - диференцiально тривiальне лiве артiнове кiльце;(ii) R=RЕ ... ЕR - кiльцева пряма сума кiлець R, ..., R, причому кожне R є диференцiально тривiальним полем або iзоморфне деякому Z.

Охарактеризовано також жорсткi кiльця скiнченного рангу (теорема 2.2.2), що значно розширює старi результати K. Мексона, K. Маклiна (McLean K.R. Rigid Artinin Rings// Proc. Edinburgh Math. Soc.-1982.- Vol.25, N 1.- P. 97-99), отриманi ними для артiнових кiлець. Доведене при цьому твердження 2.2.18 пiдказуї, як будувати некомутативнi жорсткi кiльця скiнченного рангу. Теорема 2.2.1 разом з наступною теоремою основнi в пiдроздiлi 2.2.

Теорема 2.2.2. Нехай R - кiльце скiнченного рангу. Тодi R - жорстке кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно належить до одного iз типiв:(ii) R - кiльце без скруту, подiльна оболонка D(R) якого є узагальненим тiлом кватернiонiв над полем рацiональних чисел Q, i Nor(R)={gО D(R) | gR=Rg} =Z(D(R)); (iii)R - кiльце без скруту, подiльна оболонка якого D(R)@ Q(x) є полем алгебраїчних чисел, R@ Z[x]Н B Н Q(x) i мiнiмальний многочлен елемента x над полем Q має точно один корiнь в B; (iv) R - кiльце без скруту, подiльна оболонка якого D(R) @ Q(x) є полем алгебраїчних чисел, R @ B, Z[x]Н B Н Q(x), i якщо hО B - який-небудь корiнь мiнiмального многочлена p (x) елемента x над Q i h№x, то знайдеться многочлен f(x)О Q[x] такий, що f(x)О B i f(h)ПB.

Результати, отриманi в цьому роздiлi, застосовуються в роздiлi 4 для побудови прикладiв HM*-груп. В пiдроздiлi 2.3 цiлком описано диференцiально тривiальнi лiвi нетеровi кiльця (теорема 2.3.1), звiдки випливає, що в загальному випадку нетеровi кiльця мають достатньо багато ненульових диференцiювань.

Теорема 2.3.1. Нехай R - лiве нетерове кiльце. Тодi R - диференцiально тривiальне кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно належить до одного iз типiв:

(1) R - диференцiально тривiальна нетерова область;

(2) R - пiдпрямий добуток скiнченної кiлькостi диференцiально тривiальних нетерових областей характеристики 0;

В пiдродiлi 2.3 отримано також деякi результати про жорсткi кiльця (твердження 2.3.11, 2.3.12), охарактеризовано диференцiально тривiальнi правi спадковi кiльця (твердження 2.3.13).

Пiдроздiл 2.4 присвячено двом старим задачам, вивчати якi почала М. Суппа (Suppa M.A. Sugli anelli I-rigidi // Boll. Unione mat. Ital.-1985.- Vol. D4.- P. 145-152; Sugli anelli q-rigidi// Riv. mat. Univ. Parma.-1986. - Vol. 12.- P. 121-125) в 1985 роцi i якi також ранiше розглядалися М.Д. Фрiгером. При цьому охарактеризовано q-жорсткi кiльця з оди-ницею, якi не мають простих некомутативних гомоморфних образiв(теорема 2.4.1) i непростi I-жорсткi кiльця з одиницею (теорема 2.4.7). Основнi результати цього пiдроздiлу -- теореми 2.4.1 i 2.4.7 - розвивають пiдхiд, застосований в пiдроздiлi 2.2, i характеризують вiдповiдно I-жорсткi i q-жорсткi кiльця, введенi в розгляд М. Суппою, тобто кiльця, всi власнi iдеали i вiдповiдно всi власнi фактор-кiльця яких є жорсткими.

Будь-яке просте кiльце I-жорстке. Оскiльки I-жорстке кiльце, яке має ненульовий несуттєвий iдеал, є кiльцевою прямою сумою двох жорстких полiв, то нижче ми обмежуємося розглядом непростих кiлець, всi ненульовi iдеали яких суттєвi. Комутативнi I-жорсткi неподiльнi кiльця R без скруту з адитивною групою R скiнченного рангу (Прюфера) розглядались М.Д. Фрiгером (Friger M.D. Strongly rigid and I-rigid rings // Comm. Algebra.- 1994.- Vol.22.- P. 1833-1842).

Теорема 2.4.7. Нехай R - непросте кiльце з одиницею. Тодi R -- I-жорстке кiльце в тому i тiльки в тому випадку, коли воно належить до Теореми 2.5.1 i 2.5.6 (основнi в пiдрoздiлi 2.5) дають вiдповiдь на два старi запитання Ф. Саса, а саме, охарактеризовано (теорема 2.5.1) асоцiативнi кiльця R, в яких iдеал nR видiляється кiльцевим прямим доданком для кожного цiлого числа n. Це є вiдповiддю на запитання 79 Ф. Саса iз його монографi] (Szбsz F. Radikale der Ringe.- Budapest: Akadбmiai Kiadу, 1975). Тут також описано структуру (теорема 2.5.6) кiлець, в яких кожний елемент є лiвим множником (див. запитання 82 iз книги Ф.Саса). В доведеннях двох наступних теорем суттєво використовуються факти про адитивнi групи кiлець.

Теорема 2.5.1. Нехай R - асоцiативне кiльце. Тодi iдеал nR видiляється кiльцевим прямим доданком для будь-якого цiлого числа n в тому i тiльки в тому випадку, коли R належить до одного iз типiв:

Нагадаємо, що елемент a кiльця R називається лiвим множником, якщо iснує таке цiле число n, що (a+n)R=(0).

Теорема 2.5.6. Нехай R - асоцiативне кiльце. Тодi кожний елемент iз R є лiвим множником в тому i тiльки в тому випадку, коли R - кiльце одного iз типiв:

анулятор кiльця R, ex=mx для всiх елементiв x iз R i R/A@ m Z (m - невiд'ємне цiле число);

(e) iснує елемент eО R такий, що R=A+e· Z, де A - лiвий анулятор кiльця R i ex=x для всiх елементiв x iз R;

(z ) R= -- кiльцева пряма сума, де - p_i-компонента групи R, exp()=,-- лiвий анулятор пiдкiльця R, для всiх елементiв.

В роздiлi 3 дослiджуються групи Фробенiуса, пов'язанi з асоцiатив-ими кiльцями i модулями над ними, необхiднiсть у вивченнi яких виникає при розглядi HM*-груп.

В пiдроздiлi 3.1 для кожного правого R-модуля M наступним чином побудована група S(M,G). Нехай G - пiдгрупа групи одиниць U(R) асоцiативного кiльця R з одиницею. Через S(M,G) позначимо множину пар елементiв {(m,g)| mО M,gО G}, на якiй алгебраїчна операцiя визначена за правилом (m,g)(n,h)=(mh+n,gh). Ця конструкцiя дозволяї для правого R-модуля M i неодиничних пiдгруп G iз групи одиниць U(R) примiтивного справа кiльця R, якi сладаються iз iнварiантних справа елементiв, будувати групи Фробенiуса у випадку, коли модуль M простий i точний.

Теорема 3.1.3. Нехай M - простий точний правий модуль над примiтивним справа кiльцем R. Якщо G - така неодинична пiдгрупа групи одиниць U(R) кiльця R, що множина {1-g|gО G} складається тiльки iз iнварiантних справа елементiв, то S(M,G)=Al B - група Фробенiуса з ядром A@ M i доповненням B@ G.

Пари Фробенiуса над асоцiативними кiльцями без дiльникiв нуля розглянуто в пiдроздiлi 3.2; тут побудовано деякi приклади груп Фробенiуса (над полями), якi є HM*-групами.В пiдроздiлi 3.3 запропоновано наступну конструкцiю групи H(I,T), асоцiйованої з модулем над асоцiативним кiльцем R, яка розширює конструкцiю Я.П. Сисака, що з успiхом застосовується при вивченнi радикальних кiлець i в пов'язаних з ними факторизацiйних задачах теорiї груп. Для лiвого R-модуля M, пiдгрупи $T$ приєднаної групи R° кiльця R i пiдмодуля I iз M множина H(I,T) пар елементiв{(x,y)| xО I, yО T} сладає групу стосовно алгебраїчної операцiї, визначеної за правилом (x,y)(u,v)=(yu+u+x,y o v). Встановлено критерiй, коли H(I,T), де I - ненульовий пiдмодуль лiвого R-модуля M, а T - неодинична пiдгрупа приїднаної групи R° асоцiативного кiльця R, є группою Фробенiуса, а саме, доведена основна в цьому пiдрoздiлi.

Теорема 3.3.3. Нехай M - лiвий R-модуль, I - його ненульовий пiдмодуль, T - неодинична пiдгрупа приєднаної групи R° асоцiативного кiльця R. Тодi G=H(I,T)=Al B є групою Фробенiуса з ядром A, iзоморфним адитивнiй групi пiдмодуля I, i доповненням B, яке iзоморфне пiдгрупi T, тодi i тiльки тодi, коли виконуються наступнi двi умови: (i) ann_T(i)={ tО T| ti=0} ={ 0} для кожного ненульового елемента i iз I; (ii) I=aI для кожного неодиничного елемента a iз T. Отримано деякi наслiдки. Так, зокрема, показано, що для ненульо-вого iдемпотентного радикального кiльця R асоцiйована з ним група H(R,R°) нiколи не буде групою Фробенiуса (лема 3.3.7); встановлено, що центр будь-якого однобiчного iдеалу простої радикальної областi завжди нульовий (наслiдок 3.3.8), а також доведено, що радикальна PI-область непроста (наслiдок 3.3.9). Проблема 22 О.Г. Куроша i С.М. Чернiкова дала поштовх для пошукуГ. Хайнекеном i I. Мохамедом, Дж. Мелдрумом, Б. Хартлi, Б. Бруно, Р. Фiллiпсом, Ф. Менегаццо серiй прикладiв ненiльпотентних груп з нiльпотентними i субнормальними власними пiдгрупами (тобто груп типу Хайнекена-Мохамеда); вона також стала вiдправною точкою ба-гатьох дослiджень з широкими системами субнормальних пiдгруп, зв'язаних в першу чергу з роботами Б. Брукса, Х. Смiта, К. Касоло, В. Мереса. Цi результати в свою чергу привернули увагу багатьох дослiдникiв до вивчення мiнiмальних не X-груп. Серед робiт в цьому напрямку зазначимо статтi Н. Нюмена i Дж. Bайголда, Х. Смiта, В.В. Беляєва, Б. Бруно, М. Кузуцуоглу, Р. Фiллiпса, А. Aзара, М. Ху, М. Дiксона, М. Еванса, Х. Смiта, Ф. Наполiтанi, Е. Пегораро, автора та iнших. Як вже зазначалось, з одного боку, групам з власними факторизацiями i, зокрема, групам з достатньо широкими системами доповнювальних пiдгруп присвячено багато робiт. Результати цих дослiджень викладено в монографiях С.М. Чернiкова, М.С. Чернiкова, Б. Амберга, С. Франчiозi i Ф. Джованнi, оглядах Л.С. Казарiна i Л.А. Курдаченка, Б. Амберга i Я.П. Сисака та iнших. З другого боку, майже зовсiм не вивченими виявились групи без власної факторизацiї. Ця обставина привернула увагу автора i cпонукала до дослiдження груп без власної факторизацiї i близьких до них груп. Доведена автором теорема 4.1.1 iз пiдроздiлу 4.1 дає вiдповiдь на запитання 1 iз монографiї Б. Амберга, С. Франчiозi i Ф. Джованнi.

Теорема 4.1.1. Нехай G - недосконала неабельова нескiнченна група. Тодi наступнi умови рiвносильнi:

(1) G - нерозкладна група;

(2) G - група без власної факторизації;

(3) G - злiченна група, G/G' - квазiциклiчна p-група для деякого простого числа p i G'H№ G для кожної власної пiдгрупи HЈ G.

Таким чином, недосконала група не має власної факторизацiї тодi i тiльки тодi, коли вона нерозкладна. Але нерозкладнi також всi групи типу Хайнекена-Мохамеда, а, як вiдомо, iснує незлiченна родина попарно неiзоморфних груп типу Хайнекена-Мохамеда. Отже, виявилось, що достатньо великий клас нерозкладних груп не вивчено. Цьому i присвячено роздiл 4.

Саме цей останнiй результат i визначив iнтерес до подальшого вивчення груп з гiперцентральним комутантом G' i подiльною чернiковською фактор-групою G/G'. В пiдроздiлi 4.1 також дослiджено елементарнi властивостi груп без власної факторизацiї, наведено одну характеризацiю скiнченних метабельових груп з абельовими силовськими пiдгрупами i доповнювальними неабельовими нормальними пiдгрупами (твердження 4.1.7.), яка ще раз пiдтверджує той факт, що групи Фробенiуса (див. роздiл 3) ``всюдисущi". В пiдроздiлi 4.1 отримано ще один цiкавий результат - iз застосуванням класифiкацiї скiнченних простих груп доведено аналог Z*-теореми Глаубермана для непарних простых чисел p (теорема 4.1.9), яка дає вiдповiдь на вiдоме запитання Дж. Глаубермана (Glauberman G. Central elements in core-free groups// J. Algebra.- 1966.- Vol.4.- P. 403-420) i С.А. Сискiна (див. запитання 7.46 iз ``Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп.- 7-ое изд., перераб. и доп.- Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1980.- 117 с."). Для скiнченних розв'язних груп ствердну вiдповiдь на е запитання ранiше отримав Е. Шульт.

Теорема 4.1.9. Нехай G - скiнченна K-група (тобто група, композицiйнi фактори якої знаходяться серед вiдомих простих груп), причому порядок кожної її неодиничної нормальної пiдгрупи дiлиться на просте число p. Якщо x - iзольований елемент порядку p (p>2), то xО Z(G$.

Д.А. Супруненко в ``Коурiвському зошитi" (Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп//Сост. В.Д. Мазуров, Е.И. Хухро.- 12-ое изд., перераб. и доп.- Новосибирск: Ин-т математики СО АН СССР, 1992.- 144 с.) записав запитання 2.77: ``для яких пар абельових груп A i B кожне розширення G групи A за допомогою групи B буде нiльпотентним?". Ранiше Г. Баумслаг (Baumslag G. Wreath products and p-groups// Proc. Cambridge Phil. Soc.- 1959.- Vol.5.- P. 224-231) довiв, що всi розширення нiльпотентної p-групи скiнченної експоненти за допомогою скiнченної нiльпотентної p-групи будуть нiльпотентними. В деяких випадках часткову вiдповiдь отримали Дж. Баклi i Дж. Bайголд (Buckley J., Wiegold J. Nilpotent extensions of abelian groups// Can. J. Math. -1986. - Vol.38.- P. 1025-1052). А.В. Ягжев (Ягжев А.В. Нильпотентные расширения абелевой группы при помощи абелевой группы// Мат. заметки.- 1988.- 43.- С. 425-427) встановив необхiдню i достатню умову, при якiй кожне розширення G абельовоїгрупи A за допомогою абельової групи B буде нiльпотентним. Розробцi критерiїв вiдповiдно нiльпотентностi, гiперцентральностi i енгелевостi всiх розширень абельової групи за допомогою абельової групи операторiв, а саме з цими ситуацiями приходиться найчастiше зустрiчатисяв рiзних задачах, i присвячено пiдроздiл 4.2. Теорема 4.2.3. Нехай A i B - абельовi групи, s: B ® Aut (A) - гомо-морфiзм групи B в групу автоморфiзмiв Aut(A) групи A, i всеможливiрiзницi s(b)- s(v) елементiв iз s (B) породжують в кiльцi ендоморфiзмiв End(A) групи A пiдкiльце R. Тодi всi розширення G групи A за допомогою групи B будуть гiперцентральними (вiдповiдно енгелеви-ми) групами в тому i тiльки в тому випадку, коли R - T-нiльпотентнезлiва (вiдповiдно нiль) пiдкiльце для всiх s.

Наведена нижче теорема 4.2.4 (основна в пiдроздiлi 4.2) встановлює необхiдню i достатню умову вiдповiдно для нiльпотентностi, гiперцентральностi i енгелевостi всiх розширень абельової групи A за допомогою абельової групи операторiв B.Теорема 4.2.4. Нехай A - лiвий RB-модуль. (1) Якщо B - нiльпотентна група i (a) умова (1) виконується для деякого цiлого числа m; (b) всi розширення групи A за допомогою групи операторiв B нiльпотентнi; (c) iснує такий ненульовий 2-коцикл f_0ґ B® A, що E_f_0(A,B) - нiльпотентна група.

(3) Якщо B -- нiльпотентна група i для будь-якої послiдовностi елементiв {a_n | nО N} iз фундаментального iдеалу D_R(B) знайдеться таке цiле число k, що

a··· aA={ 0}, (2)

то розширення E_f(A,B) групи A за допомогою групи операторiв B буде гiперцентральною групою для всiх 2-коциклiв f:B ґ B® A.

(4) Якщо B - нiльпотентна група i для кожного елемента gОD_{R}(B) знайдеться таке цiле число k, що

g^k{0}, (3)

то E_f (A,B) -- енгелева група для всiх 2-коциклiв f:B ґ B ® A.Якщо, крiм того, кiльце RB комутативне, то: (5) всi розширення групи A за допомогою групи операторiв B гiпер-центральнi тодi i тiльки тодi, коли для кожної послiдовностi {a_n | nОN} елементiв фундаментального iдеалу D_R (B) iснує таке цiле число k, для якого виконується умова (2); (6) всi розширення групи A за допомогою групи операторiв B енгелевi тодi i тiльки тодi, коли для кожної послiдовностi {a_n | nО} елементiв фундаментального iдеалуD_R (B) iснує таке цiле число k, для якого виконується умова (3).В пiдроздiлi 4.3 доведено, що нерозкладна розв'язна група є p-групою (теорема 4.3.2), i встановлено ряд властивостей нерозкладних груп. Теорема 4.3.18 показує, що нерозкладна група G з нiль-потентним комутантом G' є мiнiмальною негiперцентральною групою. Частину цього пiдроздiлу присвячено нерозкладним метабельовим групам, задача 7.5 про описання яких записана В.В. Беляєвим в ``Коурiвський зошит".

Зазначимо, якщо G - метабельова група типу Хайнекена-Мохамеда, побудована в статтях Г. Хайнекена, I. Мохамеда i Б. Хартлi (Heineken H., Mohamed I.J. A group with trivial centre satisfying the normalizer condition // J. Algebra.- 1968.- Vol.10.- P. 368-376; Hartley B. A note on the normali-zer condition// Proc. Cambr. Phil. Soc.- 1973.- Vol.74.- P. 11-15) i вiдповiдно в статтi Б. Хартлi (Хартли Б. О нормализаторном условии имини-транзитивных группах подстановок//Алгебра и логика.- 1974.- T.13, N 5.- С. 589-602), то її комутант G' - ланцюговий Z C-модуль (i вiдповiдно ланцюговий Z C-модуль) (nО N). Цi факти узагальнює

Твердження 4.3.13. Нехай G - нерозкладна неабельова метабельова p-група, W={gО G' | g^p^n (nО N). Тодi:(1) Z [G/G']-модуль W/ W, де дiя iндукуїться спряженням на G', є прямою сумою ланцюгових пiдмодулiв;(2) зокрема, якщо G' - група експоненти p, то Z [G/G']-модуль G' є прямою сумою ланцюгових пiдмодулiв;(3) якщо G' - ланцюговий Z C-модуль, то G - p-група типу Хайнекена-Мохамеда з комутантом G' скiнченної експоненти. Встановлено, якщо комутант G' неабельової нерозкладної p-групи G абельовий (вiдповiдно нiльпотентений скiнченної експоненти), то G задовольняє нормалiзаторну умову (твердження 4.3.14). В зв'язку з цим наведемо ряд важливих, на нашу думку, тверджень.

Твердження 4.3.15. Нехай G - розв'язна група з гiперцентральним комутантом G' i квазiциклiчною фактор-групою G/G'. Якщо G задовольняє нормалiзаторну умову, то G - нерозкладна p-група.Теорема 4.3.18. Нехай G -- неабельова нерозкладна розв'язна група. Якщо G' - нiльпотентна пiдгрупа, то G -- мiнiмальна негiперцентральна група (зокрема, якщо G' -- пiдгрупа скiнченної експоненти, то G - група типу Хайнекена-Мохамеда). Наслiдок 4.3.19. Нехай G - неабельова нерозкладна метабельова група. Тодi (i) Z[G/G']-модуль G', де дiя iндукована спряженням на G', не має простих гомоморфних образiв;(ii) пiдгрупа G' неподiльна;(iii) G має власну фактор-групу типу Хайнекена-Мохамеда з комутантом простої експоненти. Разом з твердженням 4.3.13 i наслiдком 4.3.19 наступний наслiдокдає вiдповiдь на запитання 7.5 B.B. Беляєва iз ``Коурiвського зошиту".Наслiдок 4.3.20. Нехай G - метабельова група. Тодi G нерозкладна в тому i тiльки в тому випадку, коли вона злiченна p-група одного iз наступних типiв:(1) G - циклiчна p-група;(2) G - квазiциклiчна p-група;(3) G - метабельова група типу Хайнекена-Мохамеда з комутантом G' скiнченної експоненти;(4) G мiстить таку нетривiально недоповнювальну в G нескiнченну нормальну абельову пiдгрупу N нескiнченної експоненти, що G/N@ C i G/N^p група типу (3).