Групи, близькі до нерозкладних, і пов'язані з ними задачі теорії кілець

В пiдроздiлi 4.4 дослiджуються властивостi HM*-груп i побудова їх прикладів. Зокрема, показано (див. приклади 4.4.12 - 4.4.13) як, виходячи iз результатiв, отриманих в роздiлах 2 i 3, шукати HM*-групи серед груп одиниць фактор-кiлець певних кiлець скручених многочленiв. Виявляється, що будь-яка гiперцентральна HM*-група G є подiльною чернiковською p-групою, а HM*-група G, яка є p-групою, не має неодиничних редукованих гiперцентральних фактор-груп. Твердження 4.4.10. Нехай G - HM*-група. (1) якщо комутант G' не має власних нетривiальних доповнень в G (тоб- то G'H№ G для будь-якої власної пiдгрупи HЈ G), то G - p-група;(2) комутант G' не має власних G-iнварiантних пiдгруп скiнченного iндексу;(3) якщо, крiм того, G - розв'язна група з нормалiзаторною умовою, то(i) комутант G' нетривiально недоповнювальний в G (тобто G'H - власна пiдгрупа в G для кожної власної пiдгрупи H<G);(ii) G/G'@ C тодi i тiльки тодi, коли група G нерозкладна;(iii) якщо комутант G' скiнченної експоненти, то всi скiнченнi пiдгрупи субнормальнi в G;(iv) якщо комутант G' нiльпотентентний i скiнченної експоненти, то всi пiдгрупи субнормальнi в G;(4) якщо G -- нерозкладна група i всi скiнченнi пiдгрупи субнормальнi в G, то G або гiперцентральна група, або мiнiмальна негiперцентраль- на група (a отжe, G задовольняє нормалiзаторну умову).

Незалежний iнтерес представляє

Твердження 4.4.6. Якщо N - гiперцентральна (вiдповiдно розв'язна) нормальна пiдгрупа групи G i U - гiперцентральна (вiдповiдно розв'язна) субнормальна пiдгрупа iз G, то NU також гiперцентральна (вiдповiдно розв'язна) пiдгрупа.

Крiм прикладiв 4.4.12-4.4.13, приклади HM*-груп дозволяї будувати Твердження 4.4.14. Нехай R - праве i лiве нетерове кiльце характе-ристики q, яке задовольняє наступнi умови: (a) кожний лiвий iдеал кiльця R оловний; (b) множина всiх лiвих iдеалiв кiльця R лiнiйно впорядкована; (g) радикал Джекобсона J(R) T-нiльпотентний злiва (тобто будь-яке фактор-кiльце радикального кiльця J(R) має ненульовий лiвий ануля-тор); (z) фактор-кiльце R/J(R) є полем розкладу многочленiв x^p^n-1 (nО NИ {0} ) над скiнченним полем Z (p i q - рiзнi простi числа).Тодi або U(R) - гiперцентральна група, або iснуї таке додатнї цiлечисло m, що G=(1+J(R)) l H, де H iзоморфна квазiциклiчнiй p-пiдгрупi iз мультиплiкативної групи (R/J(R)), i G є єHM*-групою з гiперцентральним комутантом (1+J(R)).

Природньо HM*-групи G, комутант G' яких є p'-групою, а G/G'- подiльна чернiковська абельова p-група, в деякому розумiннi, дуже близькi до груп Чарiна; їм i присвячено пiдроздiл 4.5, основнi результати якого - наведенi нижче теорема 4.5.1 i її наслiдок 4.5.4 - показують, що розкладна неабельова HM*-група G=Al B з подiльною чернiков-ською p-пiдгрупою B i гiперцентральною нормальною p'-пiдгрупою A завжди має гомоморфний образ, який є групою Чарiна.Теорема 4.5.1. Нехай G=Al B - неабельова група, де A -- недосконала локально скiнченна нормальна q-пiдгрупа скiнченної експонентиз нетривiально недоповнювальним комутантом A' в A, а B -- абельова q'-пiдгрупа. Тодi: (i) будь-яка власна G-iнварiантна пiдгрупа iз A мiститься в максимальнiй власнiй G-iнварiантнiй пiдгрупi iз A; (ii) якщо M -- максимальна власна G-iнварiантна пiдгрупа iз A, то або [A,G]Ј M, або Z(G/M) - така q'-пiдгрупа, що (G/M)}/{Z(G/M) -- група Фробенiуса.

Наслiдок 4.5.4. Нехай G=Al B - неабельова HM*-група з подiльною чер-нiковською p-пiдгрупою B i гiперцентральною нормальною p'-пiдгрупою A. Якщо S - неодинична силовська q-пiдгрупа iз A, то знайдетьсятака квазiциклiчна p-пiдгрупа D iз B, що Sl D має гомоморфний образ, який є групою Чарiна. Недосконалi мiнiмальнi не майже гiперцентральнi групи (скорочено -групи) охарактеризовано в пiдроздiлi 4.6 (теорема 4.6.1).

Теорема 4.6.1. Нехай G - недосконала група. i). Якщо G - розкладна група, то наступнi умови рiвносильнi: (1) G - -група; (2) G=Ml Q, Q@C, M - p-група, p i q - рiзнi простi чис- ла, Z(M)=M'=F (M), Q дiє тривiально на пiдгрупi (3) G - -група. ii). Якщо G - нерозкладна група, то наступнi умови рiвносильнi: (1) G - -група; (2) G - злiченна p-група, яка мiстить таку нескiнченну нормальну гiперцентральну пiдгрупу N, яка нетривiально недоповнюваль- на в групi G, причому G/N@ C, N^p№ N i фактор-група G/G'' -- мiнiмальна негiперцентральна група.В пiдроздiлi 5.1 охарактеризовано розв'язнi групи з умовою мiнiмальностi для негiперцентральних (вiдповiдно ненiльпотентних) пiдгруп Min- (вiдповiдно Min-) (теорема 5.1.1), а також розв'язнi групи з умовою мiнiмальностi для пiдгруп, якi не є майже гiперцентральними Min- (вiдповiдно майже нiльпотентними Min-) (теореми 5.1.11 i 5.1.12).Теорема 5.1.1. Нехай G - розв'язна група. Тодi G задовольняє Min- (вiдповiдно Min-) в тому i тiльки в тому випадку, коли виконується одна iз умов: (1) G - гiперцентральна (вiдповiдно нiльпотентна) група; (2) G - чернiковська група; (3) G=Pl Q, де Q - гiперцентральна (вiдповiдно нiльпотентна) чернiковська p'-пiдгрупа, а P -- негiперцентральна (вiдповiдно ненiльпотентна) p-пiдгрупа одноо iз типiв: (i) P - мiнiмальна негiперцентральна (вiдповiдно мiнiмальна ненiльпотентна) група; (ii) P мiстить нормальну HM*-пiдгрупу (вiдповiдно нормальну HM*-пiдгрупу з нiльпотентним комутантом) скiнченного iндексу, яка задовольняє нормалiзаторну умову. Теоpема 5.1.11. Нехай G -- негiпеpентpальна розв'язна HM*-гpупа (вiдповiдно ненiльпотентна HM*-гpупа з нiльпотентним комутантом (1) Якщо G - p-гpупа, то G задовольняє Min- (вiдповiдно Min- ) тодi i тiльки тодi, коли G - гpупа з ноpмалiзатоpною умовою.

(2) Якщо G не p-гpупа, то G задовольняє Min- (вiдповiдно Min-) тодi i тiльки тодi, коли G=(Al (S_1ґ ... ґ S_l))ґ S (1Ј k), де A - гiпеpцентpальна (вiдповiдно нiльпотентна) q-гpупа, S_i - квазiциклiчна p-гpупа, p i q - piзнi пpоcтi числа, S - подiльна чеpнiковська p-гpупа, S_i дiє тривiально на пiдгpупi Фpаттiнi F(A) i незвiдно на фактоp-гpупi A/F(A), Z(A)=A'=F (тобто Al S -- -група) i, кpiм того, (Al S)/F(A) -- гpупа Чаpiна (i=1,... ,k). Теоpема 5.1.12. Нехай G - pозв'язна гpупа. Тодi G задовольняє Min- (вiдповiдно Min-) в тому i тiльки в тому випадку, коли G належить до одного iз типiв: (1) G - майже гiпеpцентpальна (вiдповiдно майже нiльпотентна) гpупа;

(2) G - мiнiмальна негiпеpцентpальна (вiдповiдно мiнiмальна не нiль-потентна) гpупа; (3) G=Ml Q, де Q - квазiциклiчна p-гpупа, M - гiпеpцентpальна (вiдповiдно нiльпотентна) q-гpупа, Q дiє тpивiально на пiдгpупi Фpаттiнi F (M) i незвiдно на фактоp-гpупi M/F (M), Z(M)= M'=F (M), i, кpiм того, G/F (M) - гpупа Чаpiна; (4) G мiстить таку ноpмальну пiдгpупу D скiнченного iндексу, що D=D_0· D_1· ...· D_t ( 1Ј t), де D_0 - гiперцентральна (вiдповiдно нiльпотентна) G-iнварiантна пiдгрупа з подiльною чернiковською фактор-групою D_0/D', D_i - G-iнварiантна HM*-пiдгpупа, яка належить до типу (1) або (2) iз теоpеми 5.1.11, пpичому D_i'=D' (i=1,... ,t), i якщо s№ k (1Ј s, kЈ t), то пеpетин p (D_k/D')З p (D_sD') порожнiй. Основний результат пiдроздiлу 5.2 - теорема 5.2.1 -- характеризує перiодичнi локально нiльпотентнi групи з умовою максимальностi для ненiльпотентних пiдгруп Max- i вiдповiдно для негiперцентральних пiдгруп Max-. Теорема 5.2.1. Нехай G - перiодична локально нiльпотентна група. 1). Тодi G задовольняє Max- в тому i тiльки в тому випадку коли G- група одного iз типiв:(i) G - нiльпотентна група; (ii) G=Pl Q, де Q - скiнченна нiльпотентна p'-пiдгрупа, P=N_0F - ненiльпотентна p-пiдгрупа, яка мiстить характеристичну пiдгрупу N_0, що є мiнiмальною ненiльпотентною групою, N_0'F - нiльпотентна пiдгрупа, а F - скiнченна пiдгрупа. 2). Тодi G задовольняє Max- в тому i тiльки в тому випадку, коливона група одного iз типiв:(i') G - гiперцентральна група;(ii') G=PlQ - прямий добуток скiнченної нiльпотентної p'-пiдгрупи Q i негiперцентральної p-пiдгрупи P=X_0F, де X_0 - її характеристична пiдгрупа, яка є мiнiмальною негiперцентральною групою, а F - скiнченна пiдгрупа. Як наслiдок, наведено характеризацiю локально нiльпотентних груп такого роду з ненiльпотентною (вiдповiдно негiперцентральною) перiодичною частиною (наслiдок 5.2.12). Основним результатом пiдроздiлу 5.3 є наступна теорема 5.3.1, яка разом iз наслiдком 5.3.16, характеризує розв'язнi групи, що задоволь-няють умову мiнiмальностi Min-i вiдповiдно умову максимальностi Max- для пiдгруп, якi не є розширеннями нiльпотентних груп за допомогою чернiковських груп. Теорема 5.3.1. 1). Группа G без неодиничних досконалих секцiй задовольняє умову Min- тодi i тiльки тодi, коли вона є розширенням нiльпотентної групи за допомогою чернiковської групи. 2). Розв'язна група G задовольняє умову Max- тодi i тiльки тодi, коли вона належить до одного iз типiв:(i) G -- скiнченно породжена група з умовою Max-;(ii) G - розширення нiльпотентної групи за допомогою чернiковської групи;(iii)G=DW - добуток нормальної подiльної абельової p-пiдгрупи D i неперiодичної полiциклiчної пiдгрупи W, причому D=З{ H | H- пiдгрупа iз G, яка не є розширенням нiльпотентної групи за допомогою чернiковської групи. В твердженнi 5.3.18 показано, що в класi груп, якi не мають нескiнченних простих гомоморфних образiв, група з майже локально полiциклiчними власними пiдгрупами сама є такою; доведено, що локально розв'язна група задовольняє умовe мiнiмальностi для не майже локально полiциклiчних пiдгрупп тодi i тiльки тодi, коли вона є майже локально полiциклiчною групою; встановлено, що розв'язна групи з умовою максимальностi для не майже локально полiциклiчних пiдгруп є майже локально полiциклiчною або скiнченно породженою групою. Вказано приклад скiнченно породженої групи, яка не є майже локально полiциклiчною групою i задовольняє умову максимальностi для не майже локально полiциклiчних пiдгруп.

Висновки

В дисертацiйнiй работi вивчаються нерозкладнi i близькi до них групи. Як випливаї iз конструктивно складних i вишуканих прикладiв, побудованих Г. Хайнекеном, I. Мохамедом, Дж. Мелдрумом, Б. Хартлi, Б. Бруно, Р. Фiллiпсом, Ф. Менегаццо, цi групи складають достатньо великий клас груп, але на вiдмiну вiд своїх "антиподiв" -- груп з власною факторизацiєю -- майже не вивченi. Саме розробцi пiдходiв до до-лiдження таких груп i їх характеризацiям, а також деяким зв'язаним з ними теоретико-кiльцевим задачам присвячена дана дисертацiя. В результатi дослiджень, вiдповiдаючи на запитання 1 iз монографiї Б. Амберга, С. Франчiозi i Ф. Джованнi, встановлено, що недосконалi нерозкладнi групи G завжди злiченнi i не мають власної факторизацiї, а їх фактор-група G/G' квазiциклiчна. Звiдси, зокрема, випливає, що нерозкладна група з гiперцентральним комутантом є єHM*-групою, долiдженню яких i присвячено роздiл 4. При цьому вивчено найпростiшi властивостi HM*-груп; доведено, що нерозкладна розв'язна група є p-групою для деякого простого числа p, i показано, що нерозкладна група з нiльпотентним комутантом є мiнiмальною негiперцентральною групою. Як наслiдок, отримано характеризацiю нерозкладних метабельових груп, що є вiдповiддю на запитання 7.5 iз ``Коурiвського зошиту". Прикладами HM*-груп також є недосконалi мiнiмальнi не майже гiперцентральнi групи; характеризацiя яких наведена в дисертацiї, що є природнiм продовженням i розвитком дослiджень, якi проводили ранiше В.С. Чарiн, В.В. Беляєв, Б. Бруно i Р. Фiллiпс. Теорема 4.6.1 спонукала до подальшого вивчення розкладних HM*-груп,близьких до груп Чарiна. При цьому виникла необхiднiсть, по-перше, дослiдити зв'язок груп Фробенiуса з асоцiативними кiльцями i модулями над ними, i з цiєю метою в роздiлi 3: побудовано конструкцiю групи S(M,G), яка дала змогу для правого R-модуля M i будь-якої неодиничної пiдгрупи G iз групи одиниць U(R) примiтивного справа кiльця R, що сладаїться iз iнварiантних справа елементiв, отримувати групу Фробенiуса в тому випадку, коли M простий i точний; розглянуто пари Фробенiуса над асоцiативними областями; запропоновано конструкцiю групи H(I,T), асоцiйованої з лiвим R- модулем M над асоцiативним кiльцем R, яка розширює вiдому кон- струкцiю Я.П. Сисака; i встановлено, коли H(I,T), де I -- ненульовий пiдмодуль iз M i T - неодинична пiдгрупа приїднаної групи R° кiльця R, є групою Фробенiуса, що активно застосовуїться в пiдроздiлi 4.5 i дозволило також отримати ряд цiкавих результатiв про радикальнi (в розумiннi Джекобсона) кiльця. По-друге, пошуки прикладiв HM*-груп серед груп одиниць фактор-кiлець певних кiлець скручених многочленiв привели до вивчення диференцiально тривiальних i вiдповiдно жорстких колець, в результатi чого в роздiлi 2: охарактеризовано диференцiально тривiальнi кiльця без дiльникiв нуля i жорсткi поля характеристики 0, алгебраїчнi над своїми про- стими пiдполями; описано диференцiально тривiальнi i жoрсткi кiльця скiнченного рангу, диференцiально тривiальнi правi спадковi кiльця; вивчено диференцiально тривiальнi лiвi нетеровi кiльця. Крiм того, дослiдження груп одиниць U(R) асоцiативних кiлець Rтак и iнакше спонукаї до розгляду адитивних груп R, що заодно привело автора до розгляду i розв'язання двох старих задач Ф. Саса в пiдроздiлi 2.5. Групи Фробенiуса зустрiчаються i серед груп, насичених власними факторизацiями, що пiдтверджується твердженням 4.1.7, в якому розглянуто cкiнченнi метабельовi групи с абельовими силовськими пiдрупами i доповнювальними неабельовими нормальними пiдгрупами. В цьому ж пiдроздiлi 4.1 iз застосуванням класифiкацiї скiнченних простих груп отримано аналог Z*-теореми Глаубермана для непарних про-стих чисел, що є вiдповiддю на вiдоме запитання Дж. Глаубермана. Дослiдження груп, близьких до нерозкладних, приводять до пошукукритерiїв вiдповiдно нiльпотентностi, гiперцентральностi i енгелевостi всiх розширень G абельової групи A за допомогою абельової групи B. В цьому напрямку частковi вiдповiдi на запитання 2.77 Д.А. Супруненка iз "Коурiвського зошиту" отримали Г. Баумслаг, Дж. Баклi i Дж. Вайголд. Необхiдню i достатню умову для нiльпотентностi знайшов А.В. Ягжев; а необхiднi i достатнi умови для гiперцентральностi i вiдповiдно енгелевостi встановлено в дисертацiї. Зазначимо, оскiльки на практицi в багатьох застосуваннях A i B -- це, як правило, пiдгрупи однiїї бiльшої групи G, де AС G i G/A@B (тобто A -- B-модуль), то в дисертацiйнiй работi бiльш детально розглянуто розширення абе-льової групи A за допомогою абельової групи операторiв B i знайдено критерiї вiдповiдно нiльпотентностi, гiперцентральностi i енгелевостi таких розширень, що також дає вiдповiдь на запитання 2.77 iз ``Коурiвського зошиту". Мiнiмальнi не майже гiперцентральнi групи - це приклади груп, якi задовольняють умови мiнiмальностi i максимальностi для рiзних систем ненiльпотентних пiдгруп, що дослiджуються в роздiлi 5, в якому отримано характеризацiї розв'язних груп з умовою мiнiмальностi вiдповiдно для ненiльпотентних пiдгруп, для негiперцентральних пiдгруп, для не майже нiльпотентних пiдгруп, для не майже гiперцентральних пiдгруп; перiодичних локально нiльпотентних груп з умовою максимальностi для ненiльпотентних (вiдповiдно негiперцентральних) пiдгруп; а також розв'язних груп з умовою мiнiмальностi i вiдповiдно максимальностi для пiдгруп, якi не є розширеннями нiльпотентних груп за допомогою чернiковських груп.

Роботи автора за темою дисертацiї

1. Артемович О.Д. Идеально дифференциальные и совершенные жесткие кольца// ДАН УCСР.- 1985.- N 4.- С. 3-5.

2. Артемович О.Д. О группах с дополняемыми нормальными делителями// Строение групп и свойства их подгрупп.- Киев: Ин-т математики АН УCCP, 1986.- С. 50-55.

3. Артемович О.Д. Об изолированных элементах простого порядка в конечных группах//Укр. мат. ж.- 1988.- T.40, N 3.- С. 397-400.

4. Артемович О.Д. Неразложимые метабелевы группы// Укр. мат. ж.- 1990.- T.42, N 9.- С. 1252-1254.

5. Артемович О.Д. Про групи з майже гiперцентральними власними пiдгрупами// Доповiдi НАН України.- 1997.- N 5.- С. 7-9.

6. Артемович О.Д. Примiтивнi кiльця i групи Фробенiуса// Доповiдi НАН України.- 1998.- N 9.- С. 11-12.

7. Artemovych O.D. On groups associated with Frobenius groups// Demonstratio Math.- 1998.- Vol.31, N 4.- P. 875-878.

8. Артемович О.Д. Розв'язнi групи з умовою мiнiмальностi для негiперцентральних пiдгруп// Доповiдi НАН України.- 1998.- N 11.- С. 7-9.

9. Artemovych O.D. On hereditary radicals in torsion-free groups// Вiсник Львiвського державного унiверситету, сер. мех.-мат.- 1998.- Вип. 49.- С. 57-60.

10. Artemovych O.D. On indecomposable groups and groups with hypercentral-by-finite proper subgroups//Publicationes Mathematicae (Debrecen). - 1998.- Vol. 53, N 1-2.- P. 163-175.

11. Артемович О.Д. О I-жестких и q-жестких кольцах//Укр. мат. ж.- 1998.- T. 50, N 7.- С. 989-994.

12. Artemovych O.D. On some open problems concerning the rigid right Goldie rings// Matematychni Studii.- 1999.- Vol.9, N 2.- P. 221-222.

13. Артемович О.Д. О локально ступенчатых группах с условием минимальности для некоторой системы негиперцентральных подгрупп// Укр. мат. ж.- 1999.- T.51, N 10.- С. 1425-1430.

14. Artemovych O.D. Differentially trivial and rigid rings of finite rank// Periodica Mathematica Hungarica.- 1998.- Vol.36, N 1.- P. 1-16.

15. Артемович О.Д. Про нерозкладнi групи// Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз.-мат.- 1999.- Вип. 4.- С. 28-32.

16. Artemovych O.D. Differentially trivial left Noetherian rings// Commentationes Mathematicae Universitatis Carolinae.- 1999.- Vol.40, N 2.- P. 201-208.

17. Артемович О.Д. Про розв'язнi перiодичнi групи з умовою максимальностi для пiдгруп, якi не ї гiперцентральними// Вiсник Київського унiверситету, сер. фiз.-мат.- 1999.- Вип. 4.- С. 9-11.

18. Artemovych O.D. On groups related to the (arin groups// Matematychni Studii.- 1999.- Vol.11, N 2.- P. 141-148.

19. Artemovych O.D. Rigid differentially trivial hereditary rings// Вiсник Львiвського державного унiверситету, сер. мех.-мат.- 1999.- Вип. 54.- C. 10-14.

20. Артемович О.Д. Про двi проблеми Ф. Саса// Вiсник Ки]вського унiверситету, сер. мех.-мат.- 1999.- Вип. 3.- C. 4-6.

21. Artemovych O.D. Solvable groups with the maximal and minimal conditions for non-``locally polycyclic-by-finite" subgroups//Вiсник Львiвського державного унiверситету, сер. мех.-мат.- 1999.- Вип. 53.- С. 27-31.

22. Артемович О.Д. Групи з умовою максимальностi для негiперцентральних пiдгруп// Вiсник Ки'вського унiверситету, сер. фiз.-мат.- 2000.- Вип. 1.- С.

23. Artemovych O.D. On two question of F. Sz(sz// Annales Univ. Sci. Budapest Sect. Math.- 1999.- Vol.42.- P. 35-43.

24. Artemovych O.D. Solvable groups with many conditions on nilpotentby-(ernikov subgroups// Matematychni Studii.- 2000.- Vol.13, N 1.- P. 23-32.

25. Артемович О.Д. Групи, близькi до груп Хайнекена-Мохамеда: Препринт / Львiвський нацiональний унiверситет iменi Iвана Франка.- Львiв: 2000.- 52 с.

26. Артемович О.Д. О связях жестких и АДТ-колец//XVII Всесоюзная алгебраическая конференция. Тезисы докладов.- Минск: ИМ АН БССР, 1983.- С. 6.

27. Артемович О.Д. Двуступенные А-группы с дополняемыми неабелевыми нормальными делителями // X Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов.- Минск: ИМ АН БССР, 1986.- С. 6.

28. Артемович О.Д. К Z*-теореме // X Всесоюзный симпозиум по теории групп. Тезисы докладов.- Минск: ИМ АН БССР, 1986.- С. 6.

29. Артемович О.Д.О жестких полных локальных кольцах// Топологическая алгебра.- Тезисы научных сообщений.- Кишинев: Штиинца, 1988.- С. 4-5.

30. Артемович О.Д. Два вопроса связанные с нильпотентностью// Международная конференция по алгебре, посвященная памяти А.И. Мальцева. Тезисы докладов по теории колец, алгебр и модулей.- Новосибирск: ИМ СО АН СССР, 1989.- С. 11.

31. Artemovych O.D. Differentially trivial and rigid rings of finite rank// Rings Theory Conference (Miscolc, Hungary, July 15-20). Abstracts, 1996.- P. 3-5.

32. Artemovych O.D. On groups with hypercentral-by-finite proper subgroups and groups without proper factorization// Group Theory: Finite to Infinite (conference center ``II Giocco" castelvecchio Pascoli, near Pisa, Italy, 13-18 July 1996). Abstracts, 1996.- P. 35-36.

33. Artemovych O.D. Groups with minimal condition for non-hypercentral subgroups// International Algebraic conference dedicated to memory of D.K. Faddeev (St. Petersburg, Russia, June 24-30 1997). Abstracts, 1997.- P. 11-12.

34. Artemovych O.D. Weakly Heineken-Mohamed groups and groups with minimal condition for non-hypercentral subgroups// Groups and Group Rings. Abstracts.- Bialystok, 1997.- P. 5-6.

35. Artemovych O.D. HM*-groups and groups with minimal condition for non-hypercentral subgroups// Мiжнародна конференцiя, присвячена пам'ятi професора Л.М. Глускiна (Слов'янськ, 25-29 серпня 1997).- Ки'в: Iн-т математики НАНУ, 1997.- С. 67-68.

36. Артемович О.Д. О I-жестких и q-жестких кольцах// Мiжнародна конференцiя, присвячена пам'ятi професора Л.М. Глускiна (Слов'янськ, 25-29 серпня 1997).- Ки'в: Iн-т математики НАНУ, 1997.- С. 4-5.

37. Artemovych O.D. On groups related to the (arin groups// Groups and Group Rings VI. Abstracts.- Wisla, 1998.- P. 4-5.

38. Artemovych O.D. Two question of F. Sz(sz// Second international algebraic conference in Ukraine dedicated to the memory of professor L.A. Kaloujnine (Kyiv-Vinnytsia).- Kyiv: Institute of Maths, 1999.- P. 6-7.

39. Artemovych O.D. Nilpotent extensions of abelian groups and ndecomposable groups// The Seventh International Conference ``Groups and Group Rings".- Supra(l, 1999.- P. 1-2.

Размещено на Allbest.ru