Системное моделирование

Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Системное моделирование. Подходы к изучению моделирования

моделирование математический имитационный алгоритм

Моделирование-это основной метод исследования во всех областях знании и научно-обоснованный метод оценок характеристик сложных систем используемых для принятия решений в различных сферах инженерной деятельности. Модель (мера ч-л) - это объект-заменитель реального объекта (оригинала) обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Гносеологическая роль в М- заключается в ее значении в процессе познания и она присуща в отношении всем моделям независимо от их природы. В процессе изучения модель выступает в роли относительно самостоятельного квазиобъекта при исследовании которого можно получить знание о самом объекте. Если результаты М-рования подтверждаются и могут служить основой для прогнозирования процессах протекающих в исследуемых объектах, то говорят, что модель адекватна объекту. Исторически сложились два основных подхода при моделировании процессов и систем.

Классический (индуктивный) рассматривает систему путем перехода от частного к общему, т.е. модель системы синтезируется путем слияния моделей ее компонент, разрабатываемых отдельно. Например, при покупке телевизора покупателя интересует только внешние его характеристики - диагональ, дизайн и т.п., но не внутренняя его часть. При системном подходе предполагается последовательный переход от общего к частному, когда в основе построения модели лежит цель исследования. Именно из нее исходят, создавая модель. Подобие процесса, протекающего в модели реальному процессу, является не целью, а лишь условием правильного функционирования модели, поэтому в качестве цели должна быть поставлена задача изучения какой-либо стороны функционального объекта. Например, при разработке телевизора разработчика интересует только его внутренняя часть, из каких деталей он будет его собирать, в какой последовательности, но не внешние характеристики телевизора.

2. Гипотеза, аналогия, теория подобия

Объектом (предмет) называется все то на что направлена человеческая деятельность. Целью М-я является получение знании, упорядочение и обработка информации об объектах которые существуют вне нашего сознания и взаимодействуют между собой и с внешней средой. Гипотеза-это определенное предсказание, которое основывается на небольшом числе опытов, наблюдений, догадок. Аналогия-это суждение о сходстве двух объектов, оно м.б. существенным и несущественным. Земной шар - мяч, космос. Аналогия связывает гипотезу с экспериментом. Свойства гипотезы и аналогии: 1. Д. обладать наглядностью, 2. Удобство сведения к логическим схемам. Модель (мера ч-л) - это объект-заменитель реального объекта (оригинала) обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Теория М-ия базируется на теории подобия. Подобие -это характеристика объекта или сравнительная характеристика показывающая степень и качество схожести объекта оригинала и модели. Т. подобия утверждает, что абсолютное подобие может иметь место лишь при замене одного объекта другим точно таким же. Абсолютного подобия в практике М-ия нет, стремятся, чтобы модель отражала существенную сторону функционирования объекта. В составе полного М-ия лежит полное подобие, к-рое проявляется как в пространстве так и во времени. Когда речь идет о приближенном М-ии, то тогда нек-рые свойства объекта не М-ются совсем.

3. Классификация моделей

Типы моделей: 1. Прагматическая модель-это средство организации практических действий и рабочего представления цепи системы для ее управления, такие модели как правило, прикладные, т.е. реальность подгоняется под нек-рую прагматическую модель. Пример, рабочие чертежи, СНиПы, кодекс законов, уставы организации. 2. Познавательная модель- это форма организации и представление знании =это средство соединения новых и старых знании. Пример, географические карты, игрушки, производственная инструкция. 3. Инструментальная модель-это средство построения исследования или использования модели 1 и 2. По «глубине» М-ия модели бывают: 1. Эмпирические (чувственный опыт)-на основе эмпирических фактов и зависимостей. 2. Теоретические - на основе математических описаний. 3. Смешанный тип (полуэмпирические) -эмпирический опыт+ математические описание.

4. Свойства модели

Целенаправленность - модель имеет цель.

Конечность - характеристики модели конечны.

Упрощенность - любая модель упрощена, выделяя основные свойства объекта.

Приблизительность - насколько модель приближена к объекту-оригиналу, грубо или приближенно.

Адекватность - модель хорошо описывает реальный объект.

Полнота - модель должна отражать исследуемые свойства в полной мере.

Устойчивость - модель должна описывать устойчивое поведение системы.

Целостность - модель реализует всю систему целиком.

Адаптивность - модель должна быть приспособлена к различным входным параметрам, также к воздействиям внешней среды.

Управляемость - модель должна иметь хотя бы один параметр, который можно варьировать.

Эволюционируемость - возможность перехода модели с одного уровня на другой.

5. Этапы и схема построения модели

Модель М, описывающая систему S(x1, x2, ..., xn; R), имеет вид:

М=(z1, z2, ..., zm; Q),

где zi Z, i=1, 2, ..., n, Q, R - множества отношений над X - множеством входных, выходных сигналов и состояний системы, Z - множество описаний, представлений элементов и подмножеств X. Схема построения модели М системы S с входными сигналами X и выходными сигналами Y изображена на рис. 1

Рис. 1 Схема построения модели

Если на вход М поступают сигналы из X и на входе появляются сигналы Y, то задан закон, правило f функционирования модели, системы.

Этапы построения математической модели

Содержательное описание моделируемого объекта. Объекты моделирования описываются с позиций системного подхода. Исходя из цели исследования устанавливаются совокупность элементов, взаимосвязи между элементами, возможные состояния каждого элемента, существенные характеристики состояний и отношения между ними.

Формализация операций. На основе содержательного описания определяется исходное множество характеристик системы. После исключения несущественных характеристик выделяют управляемые и неуправляемые параметры и производят символизацию. Затем определяется система ограничений на значения управляемых параметров. Дальнейшие действия связаны с формированием целевой функции модели. В соответствии с известными положениями выбираются показатели исхода операции и определяется примерный вид функции полезности на исходах. По свертке показателей формируются

Проверка адекватности модели. Требование адекватности находится в противоречии с требованием простоты, и это нужно учитывать при проверке модели на адекватность. Исходный вариант модели предварительно проверяется по следующим основным аспектам:

Все ли существенные параметры включены в модель?

Нет ли в модели несущественных параметров?

Правильно ли отражены функциональные связи между параметрами?

Правильно ли определены ограничения на значения параметров?

По результатам проверки модели на адекватность принимается решение о возможности ее практического использования или о проведении корректировки.

Корректировка модели. При корректировке модели могут уточняться существенные параметры, ограничения на значения управляемых параметров, показатели исхода операции, связи показателей исхода операции с существенными параметрами, критерий эффективности. После внесения изменений в модель вновь выполняется оценка адекватности.

Оптимизация модели. Сущность оптимизации моделей состоит в их упрощении при заданном уровне адекватности. Основными показателями, по которым возможна оптимизация модели, выступают время и затраты средств для проведения исследований на ней. В основе оптимизации лежит возможность преобразования моделей из одной формы в другую.



6. ЖЦ моделируемой системы

Сбор информации о системе - выдвижение гипотез, предмодельный анализ.

Проектирование структуры - определение состава моделей и взаимосвязь подмоделей.

Исследование модели - выбор метода исследования и разработка алгоритма моделирования.

Исследование адекватности, устойчивости и других свойств.

Оценка затрат или оценка ресурсов моделирования.

Создание отчета и проектированных решений.

Модификация модели (добавление новых знаний или применение в другой сфере).

7. Виды моделирования

Детерминированное моделирование отображает процессы, в которых предполагается отсутствие случайных воздействий. Стохастическое моделирование учитывает вероятностные процессы и события. Статическое моделирование служит для описания состояния объекта в фиксированный момент времени, а динамическое -- для исследования объекта во времени. Мысленное моделирование применяется тогда, когда модели не реализуемы в заданном интервале времени либо отсутствуют условия для их физического создания (например, ситуация микромира). При наглядном моделировании на базе представлений человека о реальных объектах создаются наглядные модели, отображающие явления и процессы, протекающие в объекте. Примером таких моделей являются учебные плакаты, рисунки, схемы, диаграммы. В основу гипотетического моделирования закладывается гипотеза о закономерностях протекания процесса в реальном объекте, которая отражает уровень знаний исследователя об объекте и базируется на причинно-следственных связях между входом и выходом изучаемого объекта. Этот вид моделирования используется, когда знаний об объекте недостаточно для построения формальных моделей. Аналоговое моделирование основывается на применении аналогий различных уровней. Для достаточно простых объектов наивысшим уровнем является полная аналогия. Макетирование применяется, когда протекающие в реальном объекте процессы не поддаются физическому моделированию или могут предшествовать проведению других видов моделирования. Символическое моделирование представляет собой искусственный процесс создания логического объекта, который замещает реальный и выражает его основные свойства с помощью определенной системы знаков и символов. В основе языкового моделирования лежит некоторый тезаурус, который образуется из набора понятий исследуемой предметной области, причем этот набор должен быть который очищен от неоднозначности. Если ввести условное обозначение отдельных понятий, т.е. знаки, а также определенные операции между этими знаками, то можно реализовать знаковое моделирование и с помощью знаков отображать набор понятий -- составлять отдельные цепочки из слов и предложений. Математическое моделирование -- это процесс установления соответствия данному реальному объекту некоторого математического объекта, называемого математической моделью. Для аналитического моделирования характерно то, что в основном моделируется только функциональный аспект системы. При имитационном моделировании воспроизводится алгоритм функционирования системы во времени -- поведение системы, причем имитируются элементарные явления, составляющие процесс, с сохранением их логической структуры и последовательности протекания, что позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в определенные моменты времени, дающие возможность оценить характеристики системы. Комбинированное (аналитико-имитационное) моделирование позволяет объединить достоинства аналитического и имитационного моделирования. Информационное (кибернетическое) моделирование связано с исследованием моделей, в которых отсутствует непосредственное подобие физических процессов, происходящих в моделях, реальным процессам. В этом случае стремятся отобразить лишь некоторую функцию, рассматривают реальный объект как «черный ящик», имеющий ряд входов и выходов, и моделируют некоторые связи между выходами и входами. Структурное моделирование системного анализа базируется на некоторых специфических особенностях структур определенного вида, которые используются как средство исследования систем или служат для разработки на их основе специфических подходов к моделированию с применением других методов формализованного представления систем (теоретико-множественных, лингвистических, кибернетических и т.п.). Ситуационное моделирование опирается на модельную теорию мышления, в рамках которой можно описать основные механизмы регулирования процессов принятия решений. При реальном моделировании используется возможность исследования характеристик либо на реальном объекте целиком, либо на его части. Натурным моделированием называют проведение исследования на реальном объекте с последующей обработкой результатов эксперимента на основе теории подобия. Натурное моделирование подразделяется на научный эксперимент, комплексные испытания и производственный эксперимент. Научный эксперимент характеризуется широким использованием средств автоматизации, применением весьма разнообразных средств обработки информации, возможностью вмешательства человека в процесс проведения эксперимента. Одна из разновидностей эксперимента -- комплексные испытания, в процессе которых вследствие повторения испытаний объектов в целом (или больших частей системы) выявляются общие закономерности о характеристиках качества, надежности этих объектов. В этом случае моделирование осуществляется путем обработки и обобщения сведений о группе однородных явлений. Наряду со специально организованными испытаниями возможна реализация натурного моделирования путем обобщения опыта, накопленного в ходе производственного процесса, т.е. можно говорить о производственном эксперименте. Другим видом реального моделирования является физическое, отличающееся от натурного тем, что исследование проводится в установках, которые сохраняют природу явлений и обладают физическим подобием.

8. Модель физической, экономической, физиологической систем

Модель - объект или описание объекта, системы для замещения (при определенных условиях предложениях, гипотезах) одной системы (т.е. оригинала) другой системой для лучшего изучения оригинала или воспроизведения каких-либо его свойств. Модель - результат отображения одной структуры (изученной) на другую (малоизученную). Отображая физическую систему (объект) на математическую систему (например, математический аппарат уравнений), получим физико-математическую модель системы или математическую модель физической системы. Любая модель строится и исследуется при определенных допущениях, гипотезах. Пример. Рассмотрим физическую систему: тело массой m скатывающееся по наклонной плоскости с ускорением a, на которое воздействует сила F. Исследуя такие системы, Ньютон получил математическое соотношение: F=ma. Это физико-математическая модель системы или математическая модель физической системы. При описании этой системы (построении этой модели) приняты следующие гипотезы: 1) поверхность идеальна (т.е. коэффициент трения равен нулю); 2) тело находится в вакууме (т.е. сопротивление воздуха равно нулю); 3) масса тела неизменна; 4) тело движется с одинаковым постоянным ускорением в любой точке. Пример. Физиологическая система - система кровообращения человека - подчиняется некоторым законам термодинамики. Описывая эту систему на физическом (термодинамическом) языке балансовых законов, получим физическую, термодинамическую модель физиологической системы. Если записать эти законы на математическом языке, например, выписать соответствующие термодинамические уравнения, то уже получим математическую модель системы кровообращения. Назовем ее физиолого-физико-математической моделью или физико-математической моделью. Пример. Совокупность предприятий функционирует на рынке, обмениваясь товарами, сырьем, услугами, информацией. Если описать экономические законы, правила их взаимодействия на рынке с помощью математических соотношений, например, системы алгебраических уравнений, где неизвестными будут величины прибыли, получаемые от взаимодействия предприятий, а коэффициентами уравнения будут значения интенсивностей таких взаимодействий, то получим математическую модель экономической системы, т.е. экономико-математическую модель системы предприятий на рынке. Пример. Если банк выработал стратегию кредитования, смог описать ее с помощью экономико-математических моделей и прогнозирует свою тактику кредитования, то он имеет большую устойчивость и жизнеспособность.

9. Классификация математических моделей

Модель называется статической, если среди параметров, участвующих в ее описании, нет временного параметра. Статическая модель в каждый момент времени дает лишь "фотографию" системы, ее срез. Пример. Закон Ньютона F=am - это статическая модель движущейся с ускорением a материальной точки массой m. Эта модель не учитывает изменение ускорения от одной точки к другой. Модель динамическая, если среди ее параметров есть временной параметр, т.е. она отображает систему (процессы в системе) во времени. Пример. Модель S=gt2/2 - динамическая модель пути при свободном падении тела. Динамическая модель типа закона Ньютона: F(t)=a(t)m(t). Модель дискретная, если она описывает поведение системы только в дискретные моменты времени. Пример. Если рассматривать только t=0, 1, 2, :, 10 (сек), то модель St=gt2/2 или числовая последовательность S0=0, S1=g/2, S2=2g, S3=9g/2, :, S10=50g может служить дискретной моделью движения свободно падающего тела. Модель непрерывная, если она описывает поведение системы для всех моментов времени из некоторого промежутка времени. Пример. Модель S=gt2/2, 0<t<100 непрерывна на промежутке времени (0;100). Модель имитационная, если она предназначена для испытания или изучения возможных путей развития и поведения объекта путем варьирования некоторых или всех параметров модели. Модель детерминированная, если каждому входному набору параметров соответствует вполне определенный и однозначно определяемый набор выходных параметров; в противном случае - модель недетерминированная, стохастическая (вероятностная). Пример. Приведенные выше физические модели - детерминированные. Если в модели S=gt2/2, 0<t<100 мы учли бы случайный параметр - порыв ветра с силой p при падении тела, например, так: S(p)=g(p)t2/2, 0<t<100, то мы получили бы стохастическую модель (уже не свободного!) падения. Модель теоретико-множественная, если она представима с помощью некоторых множеств и отношений принадлежности им и между ними. Модель логическая, если она представима предикатами, логическими функциями. Пример. Совокупность двух логических функций вида: z=x y x y, p=x y может служить математической моделью одноразрядного сумматора. Модель игровая, если она описывает, реализует некоторую игровую ситуацию между участниками игры (лицами, коалициями). Модель алгоритмическая, если она описана некоторым алгоритмом или комплексом алгоритмов, определяющим ее функционирование, развитие. Пример. Моделью вычисления суммы бесконечного убывающего ряда чисел может служить алгоритм вычисления конечной суммы ряда до некоторой заданной степени точности. Модель структурная, если она представима структурой данных или структурами данных и отношениями между ними. Пример. Структурной моделью может служить описание (табличное, графовое, функциональное или другое) трофической структуры экосистемы. Модель графовая, если она представима графом или графами и отношениями между ними. Модель иерархическая (древовидная), если представима некоторой иерархической структурой (деревом). Модель сетевая, если она представима некоторой сетевой структурой. Модель языковая, лингвистическая, если она представлена некоторым лингвистическим объектом, формализованной языковой системой или структурой. Пример. Правила дорожного движения - языковая, структурная модель движения транспорта и пешеходов на дорогах. Модель визуальная, если она позволяет визуализировать отношения и связи моделируемой системы, особенно в динамике. Пример. На экране компьютера часто пользуются визуальной моделью того или иного объекта, например, клавиатуры в программе-тренажере по обучению работе на клавиатуре. Модель натурная, если она есть материальная копия объекта моделирования. Пример. Глобус - натурная географическая модель земного шара. Модель геометрическая, графическая, если она представима геометрическими образами и объектами. Пример. Макет дома является натурной геометрической моделью строящегося дома. Модель клеточно-автоматная, если она представляет систему с помощью клеточного автомата или системы клеточных автоматов. Клеточный автомат - дискретная динамическая система, аналог физического (непрерывного) поля. Клеточно-автоматная геометрия - аналог евклидовой геометрии.

10. Требования, предъявляемые к мат. моделям

Основными требованиями, предъявляемыми к математическим моделям, являются требования точности, экономичности и универсальности.

Точность ММ - свойство, отражающее степень совпадения предсказанных с помощью модели значений параметров объекта с истинными значениями этих параметров.

Экономичность ММ оценивается прежде всего затратами машинного времени Тм (его затраты определяют главную часть стоимостных затрат). Вклад математической модели в затраты Тм на решение задач можно оценивать количеством арифметических операций, выполняемых при однократной реализации уравнений модели. Показателем экономичности ММ может служить также число внутренних параметров, используемых в ней. Чем больше таких параметров, тем больше затраты машинной памяти, следовательно, тем больше усилий требуется для получения сведений о числовых значениях параметров и их разбросе.

Степень универсальности ММ определяется их применимостью к анализу более или менее многочисленной группы однотипных объектов, к их анализу в одном или многих режимах функционирования. Использование машинных методов станет неудобным, если в процессе анализа объекта при каждом изменении режима функционирования потребуется смена ММ.

11. Экономический эффект от мат. моделирования

ММ - это процесс установления соответствия реальной системе S математической модели M и исследование этой модели, позволяющая получить характеристики реальной системы.

Применение ММ позволяет исследовать объекты, реальные эксперименты над которыми затруднены или не возможны. Экономический эффект при ММ состоит в том, что затраты на проектирование систем сокращаются в среднем в 50 раз.

12. Мат. моделирование сл. Систем

Элемент s - некоторый объект, обладающий определенными свойствами, внутреннее строение которого для целей исследования не играет роли (самолет: для моделир. полета - не элемент, а для моделир. работы аэропорта -элемент). Связь l между элементами - процесс их взаимодействия, важный для целей исследования. Система S - совокупность элементов со связями и целью функционирования F. Сложная система - состоящая из разнотипных элементов с разнотипными связями.

Большая система - состоящая из большого числа однотипных элементов с однотипными связями.

Система: Автоматизированная система - сложная система с определяющей ролью элементов двух типов: технических средств (прежде всего ЭВМ) и действий человека :

здесь - остальные элементы системы. Структура системы - ее расчленение (декомпозиция) на элементы или группы элементов с указанием связей между ними, неизменное во время функционирования системы. Практически все системы рассматриваются функционирующими во времени, поэтому определим их динамические характеристики. Состояние - множество характеристик элементов системы, изменяющихся во времени и важных для целей функционирования. Процесс (динамика) - множество значений состояний системы, изменяющихся во времени. Цель функционирования - задача получения желаемого состояния системы. Достижение цели обычно влечет целенаправленное вмешательство в процесс функционирования системы, которое называется управлением.

Задачи исследования систем:

анализ - изучение свойств функционирования системы;

синтез - выбор структуры и параметров по заданным свойствам системы.



13. Проблема оценки внешней среды. Проблема черного ящика

14. Основные операции мат. моделирования

Математическая модель описывается (представляется) математическими структурами, математическим аппаратом (числа, буквы, геометрические образы, отношения, алгебраические структуры и т.д.).

Отметим основные операции (процедуры) математического моделирования.

1. Линеаризация. Пусть дана математическая модель М=М(X, Y, A), где X - множество входов, Y - множество выходов, А -множество состояний системы. Схематически можно это изобразить так: X->A->Y. Если X, Y, A - линейные пространства(множества), а - линейные операторы (т.е. любые линейные комбинации ax+by аргументов и преобразуют в соответствующие линейные комбинации и , то система (модель) называется линейной. Все другие системы (модели) - нелинейные. Они труднее поддаются исследованию, хотя и более актуальны. Нелинейные модели менее изучены, поэтому их часто линеаризуют - сводят к линейным моделям каким-то образом, какой-то корректной линеаризующей процедурой.

Пример. Применим операцию линеаризации к модели (какой физической системы, явления?) у=at2/2, 0<=t<=4, которая является нелинейной (квадратичной). Для этого заменим один из множителей t на его среднее значение для рассматриваемого промежутка, т.е. на t=2. Такая (пусть простят меня знакомые с линеаризацией читатели, - хоть и очень наглядная, но очень грубая!) процедура линеаризации дает уже линейную модель вида y=2at. Более точную линеаризацию можно провести следующим образом: заменим множитель t не на среднее, а на значение в некоторой точке (это точка - неизвестная!); тогда, как следует из теоремы о среднем из курса высшей математики, такая замена будет достаточно точна, но при этом необходимо оценить значение неизвестной точки. На практике используются достаточно точные и тонкие процедуры линеаризации.

2. Идентификация. Пусть М=М(X, Y, A), A={ai}, ai=(ai1, ai2, ..., aik) - вектор состояния объекта (системы). Есливектор ai зависит от некоторых неизвестных параметров, то задача идентификации (модели, параметров модели) состоит в определении по некоторым дополнительным условиям, например, экспериментальным данным, характеризующим состояние, системы в некоторых случаях. Идентификация - задача построения по результатам наблюдений математических моделей некоторого типа, адекватно описывающих поведение системы. Если S={s1, s2, ..., sn} - некоторая последовательность сообщений, получаемых от источника информации о системе, М={m1, m2, ..., mz} - последовательность моделей, описывающих S, среди которых, возможно, содержится оптимальная (в каком-то смысле) модель, то идентификация модели Мозначает, что последовательность S позволяет различать (по рассматриваемому критерию адекватности) две разные модели вМ. Последовательность сообщений (данных) S назовем информативной, если она позволяет различать разные модели в М. Цель идентификации - построение надежной, адекватной, эффективно функционирующей гибкой модели на основе минимального объема информативной последовательности сообщений. Наиболее часто используемые методы идентификации систем (параметров систем): метод наименьших квадратов, метод максимального правдоподобия, метод байесовских оценок, метод марковских цепных оценок, метод эвристик, экспертное оценивание и другие.

Пример. Применим операцию идентификации параметра a в модели предыдущего примера. Для этого необходимо задать дополнительно значение y для некоторого t, например, y=6 при t=3. Тогда из модели получаем: 6=9a/2, a=12/9=4/3. Идентифицированный параметр а определяет следующую модель y=2t2/3. Методы идентификации моделей могут быть несоизмеримо сложнее, чем приведенный прием.

3. Оценка адекватности (точности) модели.

Пример. Оценим адекватность (точность) модели у=at2/2, 0<=t<=4, полученной в результате линеаризации выше. В качестве меры (критерия) адекватности рассмотрим привычную меру - абсолютное значение разности между точным (если оно известно) значением и значением, полученным по модели (почему берется по модулю?). Отклонение точной модели от линеаризованной будет в рамках этого критерия равно |at2/2-2at|, 0<=t<=4. Если a>0, то, как несложно оценить с помощью производной, эта погрешность будет экстремальна при t=2a. Например, если a=1, то эта величина не превосходит 2. Это достаточно большое отклонение, и можно заключить, что наша линеаризованная модель в данном случае не является адекватной (как исходной системе, так и нелинеаризованной модели).

4. Оценка чувствительности модели (чувствительности к изменениям входных параметров).

Пример. Из предыдущего примера следует, что чувствительность модели у=at2/2, 0<=t<=4 такова, что изменение входного параметра t на 1% приводит к изменению выходного параметра y на более, чем 2%, т.е. эта модель является чувствительной.

5. Вычислительный эксперимент по модели. Это эксперимент, осуществляемый с помощью модели на ЭВМ с целью определения, прогноза тех или иных состояний системы, реакции на те или иные входные сигналы.

15. Компьютерное моделирование. Этапы

Компьютерное моделирование формулировка в виде алгоритма процесса моделирования что позволяет проводить над полученной моделью вычислит. Эксперимент(программа на эвм)

Этапы:

1 постановка задачи включает в себя стадии: описание задачи, определение цели моделирования, анализ объекта.

2 формализация задачи связан с созданием формализованной модели, то есть модели, записанной на каком-либо формальном языке. Например, данные переписи населения, представленные в виде таблицы или диаграммы -- это формализованная модель.

3 разработка компьютерной модели начинается с выбора инструмента моделирования, другими словами, программной среды, в которой будет создаваться и исследоваться модель.

4 компьютерный эксперимент включает две стадии: тестирование модели и проведение исследования.

5 анализ результатов является ключевым для процесса моделирования. Именно по итогам этого этапа принимается решение: продолжать исследование или закончить.

16. Имитационное моделирование

Имитационное моделирование -- это метод исследования, при котором изучаемая система заменяется моделью, с достаточной точностью описывающей реальную систему, с которой проводятся эксперименты с целью получения информации об этой системе. Экспериментирование с моделью называют имитацией (имитация -- это постижение сути явления, не прибегая к экспериментам на реальном объекте).

Имитационное моделирование -- это частный случай математического моделирования. Существует класс объектов, для которых по различным причинам не разработаны аналитические модели, либо не разработаны методы решения полученной модели. В этом случае аналитическая модель заменяется имитатором или имитационной моделью.

К имитационному моделированию прибегают, когда:

дорого или невозможно экспериментировать на реальном объекте;

невозможно построить аналитическую модель: в системе есть время, причинные связи, последствие, нелинейности, стохастические (случайные) переменные;

необходимо сымитировать поведение системы во времени.

Цель имитационного моделирования состоит в воспроизведении поведения исследуемой системы на основе результатов анализа наиболее существенных взаимосвязей между её элементами или другими словами -- разработке симулятора исследуемой предметной области для проведения различных экспериментов.

Имитационное моделирование позволяет имитировать поведение системы во времени. Причём плюсом является то, что временем в модели можно управлять: замедлять в случае с быстропротекающими процессами и ускорять для моделирования систем с медленной изменчивостью. Можно имитировать поведение тех объектов, реальные эксперименты с которыми дороги, невозможны или опасны.



17. Задачи исследования систем

Анализ - изучение свойств функционирования системы.

Синтез - выбор структуры и параметров по заданным свойствам системы.

Пусть Т = [t0, t1] - это временной интервал моделирования системы S. Построение модели начинается с определения параметров и переменных, определяющих процесс функционирования системы. Параметры системы Q1, Q2, . . ., Qm - характеристики системы, остающиеся постоянными на всем интервале Т. Например, параметры диаметра колеса редуктора. Переменные бывают зависимые и независимые. Независимые переменные - это входные воздействия, в т.ч. и управляющие + воздействия внешней среды. Последовательность изменения x(t) при t1t2…tN называется фазовой траекторией системы, где хХ, где X - пространство состояний или фазовое пространство. Зависимые переменные есть выходные характеристики (сигналы). Общая схема математической модели (ММ) функционирования системы может быть представлена в виде: Множество переменных {U,V,X,Y} вместе с законами функционирования X(t), Y(t), V(t), U(t) называется математической моделью системы. Если t непрерывно, то модель называется непрерывной. Если модель не содержит случайных элементов, то она называется детерминированной, в противном случае - стохастической. Если математическое описание модели слишком сложное и частично или полностью неопределенно, то в этом случае используются агрегативные модели. Сущность агрегативной модели заключается в разбиении системы на конечное число взаимосвязанных частей (подсистем), каждая из которых допускает стандартное математическое описание. Эти подсистемы называются агрегатами.



18. Методы имитации случайных величин. Метод Монте-Карло

Имитационное моделирование позволяет воспроизводить процесс функционирования системы во времени с сохранением элементарных явлений, их логической структуры и последовательности протекания во времени. Это позволяет по исходным данным получить сведения о состояниях процесса в будущем в определенные моменты времени. Метод Монте-Карло - общее название группы численных методов, основанных на получении большого числа реализаций стохастического (случайного) процесса, который формируется таким образом, чтобы его вероятностные характеристики совпадали с аналогичными величинами решаемой задачи.

Сущность метода Монте-Карло состоит в следующем: требуется найти значение в некоторой изучаемой величины. Для этого выбирают такую случайную величину Х, математическое ожидание которой равно а: М(Х)=а. Численный метод решающий задачу генерирования последовательности случайных чисел с заданными законами распределения получил название метод статических испытании - метод Монте-Карло. Н: через какое время выйдет фрезерный станок из строя. Алгоритм метода Монте-Карло: 1. Формирование равномерно распределенных случайных величин. 2. Преобразование равномерно распределенных величин в последовательность с заданным законом. 3. Вычисление реакции объекта процесса или системы на случайные воздействия с помощью соответствующих методов. 4. Статическая обработка. Случайной называют величину, которая в результате испытания примет одно и только одно возможное значение заранее неизвестное и зависящее от случайных величин которые заранее не могут быть учтены. Случайные величины м.б.: дискретные и непрерывные. x, y, z - случайные величины, xi, yi, zi- возможные значения СВ. Дискретной (непрерывной) называют случайную величину. Которая принимает отдельные возможные значения xi, i=1, n i=1,? с определенными вероятностями. Непрерывной называют случайную величину, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка, причем величина этого промежутка может принимать бесконечные значения. Законом распределения дискретной СВ называют соответствие между ее возможными значениями и вероятностями их появления. З-н распределения можно создать таблично, аналитически (виде ф-лы), графически (виде многоугольника распределения). X1, X2,…Xn-возможные значения СВ. P1, P2…Pn-вероятности появления СВ. Биномиальное распределение определяемое законом Бернули. Pn(k)=-закон распределения по Бернули. k- количество возможных появлении событии. q=1-p-вероятность не появления события. Распределение Пуассона определяется асимптотической формулой Пуассона. Pn(k)=(лk*e-л)/k!, где л - интенсивность потока событий, показывает с каким интервалом идут СВ. Графический способ. Более универсальной является интегральная функция распределения. Она позволяет задать как дискретную, так и непрерывную СВ. Интегр. Ф-ция распределения - это ф-ция F(x)определяющая для каждого возможного значения x вероятность того, что СВ x примет значение меньше, чем xi-1. Свойство ИФР: 1. Значение ИФ принадлежит отрезку 0?F(x)?1. 2. Вероятность того, что случайная величина x примет значение из интервала [a, b] равна приращению интегральной ф-ции распределения на этом интервале P(a?F(x)?b)=F(b)-F(a). 3. Если все возможные значения x СВ принадлежат интервалу [a,b], то F(x)=0, если x?a, и F(x)=1, если x?b. Геометрический смысл интеграла нахождение площади криволинейной трапеции. Математическое ожидание случайной величины -это неслучайная, постоянная величина она характеризует среднее значение случайной величины. Св-ва матем. Ожидания: 1. М(С)=С-мат. Ожидание константы= самой константе.2. М(СХ)=С*М(Х) 3. М(СУ)=М(Х)*М(У) 4. М(Х+У)=М(Х)+М(У). Двойственный симплекс-метод- использование идей двойственности сочетание с общей идеей симплекс-метод позволил разработать еще один метод решения задач линейного программирования -двойственности систем. Придумал Лемке 1954 году. Решение этим методом сводится к отысканию оптимального плана прямой задачи последовательным переходом от одного базиса к другому. Задачи линейного программирования в канонической форме максимизировать при граничных условиях. Max{(x)}=.

19. Базовый датчик. Требования к БД

Базовый датчик - некоторый генератор, выдающий случайные величины. БД выдает независимые равномерно распределенные случайные величины: непрерывные (0;1) и дискретные [0,2k]. Типы БД: физические (практически не используются ввиду того, что характеристики нестабильны и реализацию повторить нельзя - запись голоса на диктофон) и псевдослучайные датчики на основе детерминированного алгоритма (полученные данные неотличимы от случайных). Требования к БД: отрезок апериодичности, равномерность и некоррелированность.

20. Эволюционное моделир-ие. Основные атрибуты ЭМ

Потребность в прогнозе и адекватной оценки последствии осуществляемых человеком мероприятии приводит к необходимости М-ия динамики изменения основных параметров системы динамики взаимодействия открытой системы с ее окружением с которыми осуществляется обмен ресурсами в условиях враждебных, конкурентных, кооперативных иди же безразличных взаимоотношении. Здесь необходим системный подход, эффективные методы и критерии оценки адекватности моделей, которые направлены не только на максимизацию критериев (прибыль, рентабельность), но и на оптимизацию отношении с окружающей средой.

Для долгосрочного прогноза необходимо выделить и изучить полную и информативную систему параметров исследуемой системы и ее окружение, разработать методику введения мер информативности и близости состояния системы. При этом некоторые критерии и меры могут часто конфликтовать друг с другом. Многие такие социально-экономические системы можно описывать с единых позиции средствами и методами единой теории -Эволюционной. При ЭМ процесс М-ия сложной системы сводится к созданию модели его эволюции или к поиску допустимых состоянии системы, или к процедуре (алгоритму) отслеживания множества допустимых состоянии (траектории). Атрибуты логической эволюционной динамики: 1. Сообщество (корпорация, корпоративные объекты, субъекты, окружение). 2. Видовое разнообразие и распределение в экологической низше (типы распределения ресурсов, структура связи в данной корпорации). 3. Экологическая низша (сфера влияния и функционирования эволюции на рынке и в бизнесе). 4. Рождаемость и смертность (производство и разрушение).5. Изменчивость (в экономической обстановке, ресурсов).6. Конкурентные взаимоотношения (рыночные отношения).7. Память (способность к циклам воспроизводства - архив, база данных). 8. Естественный отбор (штрафные и поощрительные меры). 9. Наследственность (производственные циклы и их предыстория). 10. Регуляция (инвестиции). 11. Самоорганизация и стремление системы максимизировать контакт с окружением, в целях самоорганизации, возврата на траекторию устойчивого развития. Н.: человек.

21. Основные направления исследования эволюц-ых систем

При исследовании эволюции системы необходима ее декомпозиция (разбиение) на подсистемы, с целью обеспечения эффективного взаимодействия с окружением; оптимального обмена определяющими материальными, энергетическими, информационными, организационными ресурсами с подсистемами; эволюция системы в условиях динамической смены и переупорядочивание целей, структурной активности и сложности системы; управляемости системы обратной связи. Активность м.б. структурная и деловая. Пусть существует нек-рая система S с N подсистемами, для каждой i подсистемы определим вектор =(x1, x2, x3…xn)- вектор основных параметров без к-рых нельзя описать и изучить функционирование подсистемы в соответствии с целями и доступными ресурсами системы. Введем нек-рую ф-цию S=S(x)к-рую назовем ф-цей активности системы. Для всей системы определены вектор состоянии системы X, активность системы S(x), а также понятие общего потенциала системы. Потенциал активности м.б. определен с помощью интеграла от активности на задаваемом временном промежутке М-ия. Эти функции отражают интенсивность процессов, как в подсистемах max и в системе в целом. Важными для задач М-ия являются три значения активности i подсистемы: Smax, Smin, Sopt. Если дана открытая экономическая система, а Н0 и Н1 (это энтропия системы в начальном и конечном состояниях то меры информации определяется как разность вида: ДН=Н0-Н1. Энтропия -уменьшение неопределенностей. Уменьшение ДН свидетельствует о приближении системы к состоянию статического равновесия, при доступных ресурсах, а увеличение- об удалении от состоянии статического равновесия. Величина ДН - количество информации необходимой для перехода от одного уровня организации системы к другой при ДН>0 к более высокой, при ДН<0 к более низкой организации. Рассмотрим подход с использованием меры по Моиссеиву. Пусть дана нек-рая управляемая система о состояниях к-рой известно лишь нек-рые оценки: нижняя Smin, верхняя Smax, известна целевая функция управления F (2 параметра: S(t)-состояние системы в момент времени t; U(t)-управление из нек-рого множества допустимых управлении, причем t0<t<T. Smin ?S? Smax. Мера успешности принятия решения м.б. выражена математически: Н=¦(Fmax-Fmin)/( Fmax-Fmin)¦ где Fmax=max F(Uopt, Smax), Fmin=min F (Uopt, Smin), t0<t<T. Увеличение Н свидетельствует об успешности управления системой. Функции должны отражать эволюцию системы, в частности, удовлетворять условиям: 1. Периодичности (цикличности)- все процессы д. повторятся и состояние системы исследования через t условия. 2. Затихание при снижении активности S(x)>0. 3. Стационарности - выбор или определение функции состоянии системы, осуществляется таким образом, чтобы система имела точки равновесного состояния, а Sopt достигалась бы в стационарных точках Xopt для малых промежутков времени, в больших промежутках времени система может вести себя хаотично, самопроизвольно порождая регулярные, циклические, упорядоченные взаимодействия (Детерминированный хаус). Взаимные активности подсистем не учитываются в качестве функции состоянии, эффективно использовать функции типа Кобба-Дугласа. В таких функциях важен параметр бi отражающий степень саморегуляции, адаптации системы, как правило его нужно идентифицировать. Принцип ЭМ предполагает необходимость и эффективность использования методов и тпехнологии искусственного интеллекта, в частности, экспертных систем. Адекватным средством реализации процедур ЭМ является генетические алгоритмы.

22. Генетические алгоритмы. Основные процедуры

Генетический алгоритм- это алгоритм основанный на имитации генетических процедур развития популяции в соответствии с принципами эволюционной динамики. Применяют для решения задач оптимизации, для задач поиска и управления, данные алгоритмы адаптивны, они развивают решения и развиваются сами. Особенность: успешное использование при решении сложных проблем.

Генетический алгоритм может быть построен на основе следующей укрупненной процедуры:

Генерируем начальную популяцию (набор допустимых решений задачи) - I0 = (i1, i2, :, in), ij {0,1} и определяем некоторый критерий достижения "хорошего" решения, критерий остановки , процедуру СЕЛЕКЦИЯ, процедуру СКРЕЩИВАНИЕ, процедуру МУТАЦИЯ и процедуру обновления популяции ОБНОВИТЬ;

k = 0, f0 = max{f(i), i I0};

выполнять пока не() :

с помощью вероятностного оператора (селекции) выбираем два допустимых решения (родителей) i1, i2 из выбранной популяции (вызов процедуры СЕЛЕКЦИЯ);

по этим родителям строим новое решение (вызов процедуры СКРЕЩИВАНИЕ) и получаем новое решение i;

модифицируем это решение (вызов процедуры МУТАЦИЯ);

если f0 < f(i) то f0 = f(i);

обновляем популяцию (вызов процедуры ОБНОВИТЬ);

k = k + 1

Подобные процедуры определяются с использованием аналогичных процедур живой природы (на том уровне знаний о них, что мы имеем). Процедура СЕЛЕКЦИЯ может из случайных элементов популяции выбирать элемент с наибольшим значением f(i). Процедура СКРЕЩИВАНИЕ (кроссовер) может по векторам i1, i2 строить вектор i, присваивая с вероятностью 0.5 соответствующую координату каждого из этих векторов - родителей. Это самая простая процедура. Используют и более сложные процедуры, реализующие более полные аналоги генетических механизмов. Процедура МУТАЦИЯ также может быть простой или сложной. Например, простая процедура с задаваемой вероятностью для каждого вектора меняет его координаты на противоположные (0 на 1, и наоборот). Процедура ОБНОВИТЬ заключается в обновлении всех элементов популяции в соответствии с указанными процедурами.

Хотя генетические алгоритмы и могут быть использованы для решения задач, которые, нельзя решить другими методами, они не гарантируют нахождение оптимального решения, по крайней мере, за приемлемое время. Здесь более уместны критерии типа "достаточно хорошо и достаточно быстро".

Главное же преимущество заключается в том, что они позволяют решать сложные задачи, для которых не разработаны пока устойчивые и приемлемые методы, особенно на этапе формализации и структурирования системы.

23. Основные правила и операторы языка GPSS

Для описания имитационной модели на языке GPSS полезно представить ее в виде схемы, на которой отображаются элементы систем массового обслуживания - устройства, накопители, узлы и источники. Описание на языке GPSS есть совокупность операторов (блоков), характеризующих процессы обработки заявок. Имеются операторы и для отображения возникновения заявок, задержки их в обслуживающих аппаратов, занятия памяти, выхода из систем массового обслуживания, изменения параметров заявок (например, приоритетов), вывода на печать накопленной информации, характеризующей загрузку устройств, заполненность очередей и т.п. Каждый транзакт, присутствующий в модели, может иметь до 12 параметров. Существуют операторы, с помощью которых можно изменять значения любых параметров транзактов, и операторы, характер исполнения которых зависит от значений того или иного параметра обслуживаемого транзакта. Пути продвижения заявок между обслуживающими аппаратами отображаются последовательностью операторов в описании модели на языке GPSS специальными операторами передачи управления (перехода). Для моделирования используется событийный метод. Соблюдение правильной временной последовательности имитации событий в системе массового обслуживания.

Основные операторы:

ADVANCE - задержка транзакта, ASSIGN - присвоить значение параметру транзакта, CLEAR - очистка модели, переход в начальное состояние, COUNT - подсчитать число элементов в группе, DELETE - удалить строку (строки) модели, DEPART - выход транзакта из очереди, END - выход из GPSS\PC, ENTER - выход транзакта из памяти,GATHER - синхронизация движения транзактов, GENERATE - генерация транзактов,

LEAVE - выход транзакта из памяти, LOOP - повторить цикл, PLOT- выдавать график СЧА в окне данных во время моделирования,QUEUE - вход транзакта в очередь, RELEASE - освобождение занятого устройства,

SEIZE - занятие транзактом устройства, SIMULATE - объявления режима исполнения модели (рудимент от GPSS-360), STORAGE - описание емкости памяти, TERMINATE - уничтожение транзакта, TRANSFER - пересылка транзакта,

24. Интерполирование функций

Интерполяция, интерполирование -- в вычислительной математике способ нахождения промежуточных значений величины по имеющемуся дискретному набору известных значений.

Дана табличная функция

(1.1)

Точки с координатами (xi, yi) называются узловыми точками или узлами.

Количество узлов в табличной функции равно N = n+1.

Длина участка [x0, xn] равна (xn - x0).

В расчетной практике инженера часто возникают задачи найти значение функции для аргументов, которые отсутствуют в таблице. Такие задачи называются задачами интерполирования или экстраполирования.

Задача интерполирования функции (или задача интерполяции) состоит в том, чтобы найти значения yk табличной функции в любой промежуточной точке хк, расположенной внутри интервала [x0, xn], т.е.

и

Задача экстраполирования функции (или задача экстраполяции) состоит в том, чтобы найти значения yl табличной функции в точке хl, которая не входит в интервал [x0, xn], т.е.

Такую задачу часто называют задачей прогноза.

Обе эти задачи решаются при помощи нахождения аналитического выражения некоторой вспомогательной функции F(x), которая приближала бы заданную табличную функцию, т.е. в узловых точках принимала бы значение табличных функций

Для определенности задачи искомую функцию F(x) будем искать из класса алгебраических многочленов:

(1.2)



Этот многочлен должен пройти через все узловые точки, т.е.

(1.3)

Поэтому степень многочлена n зависит от количества узловых точек N и равна количеству узловых точек минус один, т.е. n=N-1.

Многочлен вида (1.2), который проходит через все узловые точки табличной функции называется интерполяционным многочленом.

Интерполирование с помощью алгебраических многочленов называется параболическим интерполированием.

Таким образом, для решения задачи интерполирования прежде всего необходимо решить задачу, которую можно сформулировать следующим образом:

Для функции , заданной таблично, построить интерполяционный многочлен степени n, который проходит через все узловые точки таблицы:

где n-степень многочлена, равная количеству узловых точек N минус один, т.е. n=N-1.

В результате, в любой другой промежуточной точке хk, расположенной внутри отрезка [x0,xn] выполняется приближенное равенство Pn(xk) = f(xk) yk.

25. Интерполяция по Лагранжу. Интерполяция по Ньютону

...