Размещено на http://www.allbest.ru/

1. Арифметика

число математика арифметичний дріб

1.1 Натуральні числа

Числа, використовувані при лічбі предметів, називають натуральними. Зображають їх символами 0, 1, 2, 3, 4, 5,…

Множину натуральних чисел, упорядкованих у строго визначеній послідовності, називають натуральним рядом чисел, або скорочено натуральним рядом.

Те з двох натуральних чисел, яке в натуральному ряді стоїть ближче до 1 (тобто яке при лічбі з'являється раніше), називається меншим, друге -- більшим. Отже, у натуральному ряді кожне число, крім 1, більше за попереднє; 1 -- найменше натуральне число, але найбільшого натурального числа не існує.

Хоч би яким великим було натуральне число, існує ще більше число, яке йде за ним. Натуральний ряд нескінченний. Позначають натуральний ряд .

Будь-яке натуральне число можна записати за допомогою десяти цифр знаків -- 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Цифри 0, 2, 4, 6, 8 називають парними, а цифри 1, 3, 5, 7, 9 -- непарними. Значення цифри в запису числа залежить від місця, яке вона займає, тобто від її позиції. Наприклад, у запису 333 перша ліворуч трійка позначає три сотні, друга -- три десятки, третя -- три одиниці. З огляду на це зазначену систему запису чисел називають десятковою системою числення.

Щоб прочитати число, записане в десятковій системі, його позначення справа наліво розбивають на групи, по три цифри в кожній. Перші три цифри праворуч (одиниці, десятки і сотні) утворюють клас одиниць, три наступні (одиниці тисяч, десятки тисяч, сотні тисяч) -- клас тисяч, далі йдуть клас мільйонів, клас мільярдів і т. ін.

Розширимо ряд натуральних чисел, приєднавши до нього число 0. Нуль вважається числом, що передує всім натуральним числам. Ряд натуральних чисел з числом 0 позначають N0.

Із натуральними числами можна виконувати арифметичні дії: додавання, віднімання, множення та ділення.

Додавання натуральних чисел підпорядковане переставному (комутативному) та сполучному (асоціативному) законам, що виражаються відповідними рівностями:

1) 2)

для будь-яких значень . Ці рівності означають таке: 1) від переставлення доданків значення суми не змінюється; 2) щоб до суми двох чисел додати третє число, достатньо до першого числа додати суму другого та третього.

Відняти від натурального числа натуральне число -- означає знайти таке натуральне число яке в сумі з числом дає . Число називають різницею чисел і Число називають зменшуваним, число -- від'ємником. Різниця є натуральним числом, коли . Іншими словами, у множині натуральних чисел віднімання можливе лише тоді, коли зменшуване більше за від'ємник. Різниця показує, на скільки одиниць число більше за число Зазначимо, що

Добутком натурального числа на натуральне число більше за 1, називають суму доданків, кожний з яких дорівнює і позначають або Числа і називаються множниками. Дія знаходження добутку чисел і називається множенням.

Добутком числа на 1 називають саме число тобто За означенням вважають, що

Множення чисел має переставну та сполучну властивості, що виражаються для будь-яких значень відповідно рівностями:

1) 2)

Ці рівності означають таке: 1) від зміни місць множників значення добутку не змінюється; 2) щоб добуток двох чисел помножити на третє число, достатньо помножити перше з них на добуток другого і третього.

Будь-яке натуральне число у десятковій системі числення можна розкласти за розрядами, тобто подати у вигляді суми розрядних доданків (одиниць, десятків, сотень, тисяч і т. д.):

де кожне з -- одне з чисел 0, 1, 2, 3, …, 9; -- цифри одиниць; -- цифри десятків і т. д.

Наприклад,

Размещено на http://www.allbest.ru/

Розкладання числа на розряди використовують для обґрунтування правил додавання, віднімання і множення багатоцифрових чисел; при цьому використовують основні властивості цих дій.

Приклад. Додамо числа 234 і 561. Кожний доданок спочатку подамо у вигляді суми розрядних доданків: Додаючи ці числа і застосовуючи переставний і сполучний закони додавання, дістаємо: Цим пояснюється правило додавання натуральних чисел «стовпчиком»:

Приклад. Помножимо число 23 на 8. Число 23 розкладемо на розряди Дали маємо: . Це можна записати так

або

Поділити натуральне число на натуральне число -- означає знайти таке натуральне число при множенні якого на число дістаємо Таким чином, якщо то або Число називається часткою чисел і , число -- діленим, число -- дільником числа З означення ділення випливає, що (оскільки).

Зауваження. Жодне число не можна ділити на нуль. Справді, поділити число на нуль -- означає знайти таке число що Якщо то ця рівність суперечлива, бо за будь якого Якщо то при будь-якому тому неможливо вказати одне визначене значення Отже, ділити число на нуль не можна! Не можна ділити і 0 на 0!

1.2 Цілі числа

Натуральні числа можна зображувати точками на прямій лінії. Щоб визначити положення точки на прямій відносно деякої фіксованої точки О (початок відліку), недостатньо знати її відстань від точки О, необхідно ще вказати, по який бік від початку відліку вона міститься. Здебільшого таку пряму розміщують горизонтально і при цьому напрям праворуч від точки О вважають додатним, а ліворуч -- від'ємним. Додатний напрям на прямій позначають стрілкою. Звичайно замість того, щоб писати слова «праворуч» і «ліворуч», записують по один бік від точки О числа 1, 2, 3, …, а по другий її бік -- числа зі знаком «мінус»: -1, -2, -3, … (див. рисунок). Числа 1, 2, 3, … називають додатними, числа -1, -2, -3 -- від'ємними. Число 0 відокремлює на прямій додатні числа від від'ємних. Його позначають як точку О -- початок відліку. Саме число 0 не є ані додатним, ані від'ємним. Усі цілі додатні числа і число 0 називаються невід'ємними числа.

Число, що задає положення точки на прямій, називають координатою цієї точки. Пряму лінію з вибраним на ній початком відліку, одиничним відрізком і додатним напрямом називають координатною прямою.

Точки з координатами 5 і -5 (див. рисунок) однаково віддалені від точки О, містяться по різні боки від неї і симетричні відносно цієї точки. Щоб потрапити з точки О в ці точки, потрібно відкласти від точки О відрізки завдовжки 5 одиниць у протилежних напрямах. Унаслідок цього числа 5 і -5 називаються протилежними. Для кожного числа існує одне протилежне йому число. Число 0 протилежне саме собі. Два протилежні числа зображуються на координатній прямій точками, симетричними відносно початку відліку.

Число, протилежне числу позначають Натуральні числа, протилежні їм числа і нуль називають цілими числами. Множину всіх цілих чисел позначають

Модулем числа називають невід'ємне число що визначається за формулою:

Введення від'ємних чисел робить виконуваною дію віднімання з цілими числами (різниця має зміст при ).

Арифметичні дії з цілими числами виконуються за правилами, наведеними далі.

1. Щоб додати два від'ємних числа, потрібно додати їхні модулі і перед здобутим числом поставити знак «мінус». Наприклад, (-17) + (-8) = -(17 + 8) = -25.

2. Щоб додати два числа з різними знаками, потрібно від більшого модуля відняти менший і поставити перед здобутим числом знак того доданка, модуль якого більший.

Наприклад,

Зауважимо, що сума двох протилежних чисел дорівнює нулю. Наприклад,

3. Щоб додати кілька чисел, серед яких є додатні і від'ємні, потрібно додати окремо додатні і окремо від'ємні, а потім до суми додатних чисел додати суму від'ємних чисел. Наприклад,

4. Щоб від одного числа відняти інше, потрібно до зменшуваного додати число, протилежне від'ємнику. Наприклад,

Будь-який вираз, що містить лише знаки додавання і віднімання, можна розглядати як суму. Наприклад, вираз можна розглядати як суму трьох доданків: і -1;

Різниця двох чисел додатна, якщо зменшуване більше за від'ємник, і від'ємна, якщо зменшуване менше за від'ємник. Різниця дорівнює нулю, якщо зменшуване і від'ємник рівні між собою.

5. Щоб перемножити два числа з різними знаками, потрібно перемножити модулі цих чисел і перед здобутим числом поставити «мінус». Наприклад,

Зі зміною знака будь-якого множника знак добутку змінюється, а модуль його залишається тим самим. Якщо ж змінюються знаки обох множників, то знак добутку і його модуль не змінюються (тут добуток змінює знак двічі):

6. Щоб перемножити два від'ємні числа, потрібно перемножити їхні модулі. Добуток двох від'ємних чисел є число додатне. Наприклад,

7. Щоб поділити від'ємне число на від'ємне, потрібно поділити модуль діленого на модуль дільника. Частка двох від'ємних чисел є число додатне. Наприклад,

8. Щоб поділити два числа з різними знаками, потрібно поділити модуль діленого на модуль дільника і перед здобутим числом поставити «мінус». Наприклад,

При діленні нуля на будь-яке число, що не дорівнює нулю, дістаємо нуль.

1.3 Ділення з остачею

Ділення одного натурального числа на інше ціле не завжди виконується. Тому розглядають більш загальну дію -- ділення з остачею.

Поділити натуральне число на натуральне число з остачею -- означає подати число у вигляді де і -- невід'ємні цілі числа, причому Число при цьому називається неповною часткою, а число -- остачею від ділення на Наприклад, при діленні числа 27 на 6 неповна частка дорівнює 4, а остача Щоб знайти ділене при діленні з остачею, потрібно неповну частку помножити на дільник і до здобутого добутку додати остачу. Очевидно, що тоді і тільки тоді, коли є дільником Ділення з остачею завжди виконується, про що свідчить наведена далі теорема (теорема про ділення з остачею).

Теорема. Для будь-яких натуральних чисел і існує єдина пара невід'ємних цілих чисел і , таких що

де

1.4 Подільність натуральних чисел

Натуральне число є дільником натурального числа , якщо

де -- натуральне число. У цьому разі кажуть, що число ділиться без остачі на число Зазначимо, що з рівності випливає, що число також ділиться без остачі і на число тобто -- дільник числа . Наприклад, 5 і 3 -- дільники числа 15.

Нагадаємо, що натуральні числа, які діляться на 2, а також число 0, називаються парними, а натуральні числа, що не діляться на 2, -- непарними. Кратним числа називають число яке ділиться без остачі на Множина чисел, кратних даному число нескінченна.

Теорема. Якщо кожний доданок ділиться на певне число, то їхня сума також ділиться на це число.

Наслідок. Якщо сума двох доданків і одне з них діляться на деяке число, то й інший доданок ділиться на це число.

Зауваження. Не слід думати, що коли кожний доданок суми не ділиться на деяке число, то й сума не ділиться на це число. Наприклад, сума 23 + 13 ділиться на 6, хоча жодний із доданків не ділиться на це число.

Теорема. Якщо зменшуване і від'ємник діляться на деяке число, то і різниця поділиться на це число.

Теорема. Якщо кожний доданок, крім одного, ділиться на деяке число, а той один на нього не ділиться, то й сума не поділиться на це число.

Теорема. Якщо хоча б один із множників ділиться на дане число, то їхній добуток також ділиться на це число.

Зауваження. Умова теореми є достатньою, але не необхідною для подільності добутку на число. Наприклад, добуток 1427 ділиться на 21, хоча ні 14, ні 27 на 21 не ділиться.

Теорема. Якщо натуральне число а ділиться на добуток двох натуральних чисел, то воно поділиться на кожне з цих чисел окремо.

Теорема. Якщо натуральне число а ділиться окремо на два натуральних числа b і с, причому b і с не мають спільних дільників, крім одиниці, то а ділиться на добуток bс.

1.5 Взаємно-прості та прості числа. НСК ТА НСД

Ознаки подільності натуральних чисел

Взаємно прості та прості числа

Означення. Натуральне число називається простим, якщо воно має рівно два натуральні дільники.

Якщо прості числа виписувати в ланцюжок за зростанням, то його початок буде такий: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, ….

Взаємно простими числами називаються числа і , у яких найбільший спільний дільник дорівнює 1.

Критерії взаємної простоти двох цілих чисел: числа та взаємно прості тоді й тільки тоді, коли існують такі цілі числа і , що .

Властивості:

Якщо кожне з чисел і взаємно просте з числом , то добуток також взаємно простий з .

Якщо добуток ділиться на і при цьому взаємно просте з , то тоді на обов'язково ділиться число

Теорема. Існує безліч простих чисел.

Лема. Якщо і -- різні прості числа, то вони взаємно прості.

Теорема. (Основна теорема арифметики). Будь-яке натуральне число, крім одиниці, може бути єдиним способом подане у вигляді добутку простих чисел (якщо не враховувати порядок розміщення множників).

Нехай складене число а розкладено в добуток простих чисел, серед яких можуть бути й рівні між собою. Записуючи добуток однакових множників у вигляді степеня, дістаємо

де -- різні прості дільники числа а; -- деякі цілі додатні числа, що дорівнюють кількості повторів простих дільників у розкладі числа а. Наведену рівність називають канонічним розкладом натурального числа а на прості множники.

Розкладаючи натуральні числа на прості множники, використовують ознаки подільності. Множники звичайно записують у порядку їх зростання праворуч від вертикальної риски. Наведемо приклади таких розладів:

Таким чином, 190 = 2 5 19, 210 = 2 3 5 7, 360 = 23 32 5.

Теорема. Якщо k -- спільне кратне чисел а і b, m -- їхнє найменше спільне кратне, то k ділиться на m.

Теорема. Найменше спільне кратне двох взаємно простих чисел дорівнює їхньому добутку.

Наслідок. Для того щоб число а ділилось на кожне з взаємно простих чисел b і с, необхідно і достатньо, щоб воно ділилось на їхній добуток.

Теорема. Для того щоб числа а і b були взаємно простими, необхідно і достатньо, щоб жодний з простих множників, що входять до складу канонічного розкладу числа а, не входив у канонічний розклад числа b.

1. Виконати дії:

а) б)

в)

г)

2. Знайти значення виразу:

а)

б) якщо

3. Довести твердження:

а) одне з двох послідовних парних чисел ділиться на 4;

б) якщо а -- просте число, більше за 3, то одне з двох чисел або ділиться на 3;

в) квадрат непарного числа при діленні на 8 дає в остачі одиницю;

г) при простому натуральному число ділиться на 24;

д) якщо n -- натуральне число, то:

-- натуральне число; -- натуральне число;

е) ділиться на 10; ж) ділиться на 2.

Найменше спільне кратне та методи його знаходження

Означення. Найменшим спільним кратним (НСК) натуральних чисел і називають натуральне число з такими властивостями.

є дільником , є дільником тобто -- спільне кратне чисел і .

якщо дільник і дільник , то дільник .

Методи знаходження

найменшого спільного кратного чисел a i b

Розклад чисел на прості множники.

За формулою

,

найбільший спільник дільник чисел та , який знаходиться за алгоритмом Евкліда.

Найбільший спільний дільник та методи його знаходження

Будь-які два числа і мають спільні дільники, наприклад, 1 і - 1.

Нехай хоча б одне з чисел і відмінне від нуля. Виявляється, що в цьому випадку числа і мають такий додатний спільний дільник який ділиться на будь-який спільник дільник цих чисел. Його називають найбільшим спільним дільником чисел і . Числа і мають тільки один найбільший спільний дільник.

Оскільки протилежні числа мають однакові дільники, то задачу про знаходження найбільшого спільного дільника досить вміти розв'язувати для додатних чисел. Ще давньогрецькі математики знали, що найбільший спільний дільник двох чисел можна знайти, виконавши кілька разів ділення з остачею. Пізніше цей метод відшукування найбільшого спільного дільника почали називати алгоритмом Евкліда.

Приклад. Зайти найбільший спільний дільник чисел 4171 і 18527 за алгоритмом Евкліда.

Розв'язок.



Число на яке ділили на останньому кроці -- 97.

Це шуканий найбільший спільний дільник.

Порівняння за модулем

Лема. Останні від ділення чисел і на число однакові тоді й тільки тоді, коли є дільником .

Означення. Якщо числа і при діленні на дають однакові остачі, то вони називаються рівними за модулем і позначається: .

Теорема. Нехай

, .

Тоді: 1.

;

2. ;

3. .

Наслідок 1. Якщо , , то:

1. ;

2. ;

3. .

Наслідок 2. Знайти остачу від ділення на 7.

Розв'язок. Оскільки і , то . Далі маємо ; ; . Відповідь: остача від ділення числа на 7 дорівнює 4.

Ознаки подільності (ОП)

ОП на 3 і 9. Число ділиться на 3 (на 9) тоді й тільки тоді, коли сума його цифр ділиться на 3 (на 9). ОП на 2, 5, 10. Число ділиться на 2 (на 5, на 10) тоді й тільки тоді, коли його остання цифра ділиться на 2 (на 5, на 10). ОП на числа типа 6, 12, 15 дає теорема:

Теорема: Якщо числа і взаємно прості, -дільник і -дільник , то -дільник .

Задача. Знайти остачу від ділення на 7 таких чисел: 1) 2135; 2) 19791980.

Розв'язок:

1. ; ; .

2. ;

;

;

.

1.6 Раціональні числа

Арифметичні дії з раціональними числами

Звичайний дріб -- це число виду , де і -- натуральні числа. Число називається чисельником, -- знаменником дробу. Наприклад, , .

Серед звичайних дробів розрізняють правильні та неправильні.

Дріб називається правильним, якщо її чисельник менше знаменника, і неправильним, якщо її чисельник більше знаменника або дорівнює йому.

Будь-який неправильний дріб можна подати сумою натурального числа та правильного дробу.

Прийнято суму натурального числа та правильного дробу записувати без знаку додавання, число, записане у такому вигляді, називається мішаним.

Наприклад,

Усякий мішаний дріб або натуральне число можна записати у вигляді неправильного дробу.

; .

Два дроба і називаються рівними, якщо .

Основна властивість дробу:

Якщо чисельник і знаменник дробу помножити або поділити на одне й теж натуральне число, то дістанемо дріб, який дорівнює даному

.

Користуючись основною властивістю дробу, іноді можна замінити даний дріб, іншим дробом, рівним даному, але з меншим чисельником та меншим знаменником. Таку заміну називають скороченням.

Наприклад,

.

Скорочувати дроби можна, якщо чисельник та знаменник -- не взаємно прості числа. Якщо чисельник й знаменник -- взаємно прості числа, то дріб називається нескорочувальним.

Наприклад,

і т.п.

Зведення дробів

до найменшого спільного знаменника

Для зведення дробів до найменшого спільного знаменника, треба:

знайти найменший спільний кратний знаменник дробів;

обчислити додаткові множники, ділячи найменше спільне кратне на кожний знаменник;

помножити чисельник й знаменник кожного дробу на відповідний додатковий множник.

Приклад. Звести до найменшого спільного знаменника дроби і .

1. Знаходимо НСК (24, 30).

, ; отже

.

2. Знаходимо додаткові множники

, .

3. Множимо дроби на відповідні додаткові множники.

;

.

Арифметичні дії над звичайними дробами

.

.

.

.

.

.

.

1.7 Відношення та пропорції

Рівність двох відношень називають пропорцією.

Пропорцію можна записати так:

або (1)

Вважатимемо, що всі члени пропорції відмінні від нуля.

У пропорції числа і називають крайніми членами, а числа і -- середніми членами пропорції; відношення називають першим відношенням пропорції, відношення -- другим відношення, числа і називають попередніми членами цих відношень, а і -- наступними членами.

Основна властивість пропорції: якщо добуток крайніх членів дорівнює добутку середніх членів, то пропорція правильна.

(2)

(3)

Пропорції (2) і (3) називають похідними пропорціями.

Розглянемо пропорцію де -- невідома величина, -- задані числа. За основною властивістю пропорції звідки тобто невідомий середній член пропорції дорівнює добутку крайніх членів, поділеному на відомий середній член. Аналогічно невідомий крайній член пропорції дорівнює добутку її середніх членів, поділеному на відомий крайній член.

Приклад. Знайти з пропорції

Складемо похідну пропорцію виду (3) і знайдемо :

Примітка. Можна використовувати і властивість (1):

звідки

Розглянемо ряд рівних відношень:

Позначимо спільне значення всіх цих відношень .

Тоді

Додаючи почленно ці рівності, дістаємо:

Отже, якщо кілька відношень рівні між собою, то відношення суми їхніх попередніх членів до суми послідовних дорівнює кожному з цих відношень.

1.8 Десяткові дроби

Основні поняття. Десятковим дробом називають дріб, знаменник якого -- число, що виражене одиницею з одним або кількома нулями, тобто дріб виду ( -- ціле, -- натуральне число). Десяткові дроби домовились записувати без знаменників: спочатку записують цілу частину, а далі чисельник дробової частини. Цілу частину відокремлюють комою від чисельника дробової частини. При цьому чисельник дробової частини записують так, щоб у ньому було стільки цифр, скільки нулів у знаменнику. Якщо в чисельнику менше цифр, ніж нулів у знаменнику, то перед чисельником дописують відповідну кількість нулів. Наприклад,

Якщо до десяткового дробу приписати праворуч нуль, то дістанемо дріб, що дорівнює початковому. Наприклад, Якщо десятковий дріб закінчується нулем, то цей нуль можна відкинути, діставши дріб, що дорівнює початковому. Наприклад,

З двох десяткових дробів із різними цілими частинами менший той, в якого ціла частина менша: Щоб порівняти два дроби з однаковими цілими частинами, потрібно, приписавши праворуч нулі, зрівняти кількість десяткових знаків після коми в обох дробах і порівняти їхні дробові частини

Як і в цілій частині, значення цифр після коми в десятковому дробу залежать від їхнього місця (позиції). Наприклад, дріб можна подати так:

Таким чином, перша цифра 7 означає число десятих, друга -- число сотих, а третя -- число тисячних. Згідно з цим перший розряд після коми називають розрядом десятих, другий -- розрядом сотих, третій -- розрядом тисячних і т. д. Запис називають розкладом дробу 435,072 у вигляді суми розрядних доданків.

Дії з десятковими дробами. Додавання і віднімання десяткових дробів, як і натуральних чисел, зручно записувати «стовпчиком»:

Щоб додати два десяткових дроби, необхідно: 1) у доданках зрівняти кількість знаків після коми; 2) доданки записати один під одним так, щоб кома опинилася під комою; 3) додати здобуті дроби за правилом додавання натуральних чисел; 4) у знайденій сумі поставити кому під комами в доданках.

Аналогічно формулюється правило для віднімання десяткових дробів.

Щоб помножити один десятковий дріб на інший, потрібно виконати множення, не звертаючи уваги на коми, а потім у добутку відокремити справа наліво комою стільки цифр, скільки їх після коми в обох множниках разом. Якщо в добутку дістанемо менше цифр, ніж їх потрібно відокремити комою, то попереду записуємо відповідну кількість нулів. За цим самим правилом множать натуральне число на десятковий дріб і десятковий дріб на натуральне число.

Приклади множення:

Розглянемо частинні випадки множення десяткових дробів. Щоб помножити десятковий дріб на 10, 100, 1000 і т. д., необхідно в цьому дробові перенести кому праворуч відповідно на 1, 3, 4 і т. д. цифри. Наприклад, ;

Щоб помножити десятковий дріб на 0,1, на 0,01, на 0,001 і

т. д., потрібно в цьому дробові перенести кому ліворуч відповідно на 1, 2, 3 і т. д. цифри. Наприклад

При діленні десяткового дробу на натуральне число кома в частці ставиться тоді, коли закінчується ділення цілої частини. Якщо ціла частина менша за дільник, то у відповіді дістаємо нуль цілих. Щоб поділити число на десятковий дріб, потрібно в діленому і дільнику перенести кому праворуч на стільки цифр, скільки їх після коми в дільнику, а потім виконати ділення на натуральне число. Якщо в діленому після коми менше цифр, ніж у дільнику, то праворуч до нього потрібно дописати стільки нулів, щоб зрівняти кількість цифр після коми в діленому і дільнику.

Наприклад, поділимо на 1,1 на 0,02. Оскільки в діленому тільки одна цифра після коми, допишемо до нього праворуч один нуль і перенесемо в діленому і дільнику кому на дві цифри праворуч. У результаті дістанемо:

Приклади ділення чисел:

1.9 Відсотки

Часто доводиться розглядати соті частини різних величин: грошових сум, маси продуктів, об'єму товарів і т. ін. (соту частину гривні називають копійкою, соту частину метра -- сантиметром).

Відсотком (процентом) називають одну соту частину числа. Якщо слово «відсоток» («процент») стоїть після числа, записаного цифрами, то замість нього ставлять знак %. Задачі на відсотки можна розв'язувати, наприклад, за допомогою пропорцій.

Задача. У школі 800 учнів. Серед них 408 хлопчиків. Скільки відсотків учнів цієї школи становлять хлопчики?

Спочатку дізнаємось, скільки учнів припадає на 1 %. Оскільки всіх учнів 800, то на 1 % припадає 800: 100 = 8 учнів. Далі дістаємо, що хлопчики становлять 51 %, оскільки 408: 8 = 51 %.

Задача. Учень прочитав 138 сторінок, що становить 23 % кількості всіх сторінок у книжці. Скільки сторінок у книзі?

Якщо 138 поділити на 23, то дістанемо, що 6 сторінок припадає на 1 %. Оскільки всі сторінки в книзі становлять 100 %, то це означає в ній було 6 100 = 600 (сторінок).

Задача. У магазині за два дні продано 1280 кг яблук. Першого дня продали 55 % всіх яблук. Скільки кілограмів яблук продали за другий день?

Першого дня продали 55 % всіх яблук, а отже, другого дня продали 45 % яблук, що становить 1280 0,45 = 576 (кг).

Задача. За планом робітник мав виготовити 60 деталей. Проте він виготовив на 18 деталей більше, ніж передбачалося планом. На скільки відсотків робітник виконав план?

Один відсоток плану становить 60: 100 = 0,6 деталі. Робітник виготовив 60 + 18 = 78 (деталей). Отже, він виконав план на 78 0,6 = 130 (%).

Округлення десяткових дробів. У деяких випадках доводиться округляти десяткові дроби до якогось розряду. Порівнюючи число і його наближення, використовують знак «» (наближено дорівнює).

При округленні десяткових дробів до якогось розряду всі наступні за цим розрядом цифри замінюють нулями, а якщо вони стоять після коми, то їх відкидають. Якщо перша з цифр (ліворуч), що відкидаються, менша за 5, то останню залишену цифру не змінюють (округлення з недостачею), а якщо перша цифра, що відкидається, більша за 5 або дорівнює 5, то останню залишену цифру збільшують на одиницю (округлення з надлишком). Якщо цифра, що відкидається, стояла до коми, то на її місці записують нуль.

Приклад. Округлити до одиниць 76,2358.

Відкинемо всі цифри, що стоять після коми. Оскільки першою з відкинутих цифр була цифра 2, то цифру одиниць не змінюємо: 76,2358 76.

Приклад. Округлити до сотих 123,4579.

Відкинемо всі цифри, що йдуть за сотими. Оскільки наступна за цифрою сотих (5) стоїть цифра 7, то цифру сотих збільшуємо на одиницю: 123,4579 123,46.

Приклад. Округлити до сотень число 3542,7.

Замінюємо всі цифри, що йдуть за сотнями, нулями, а цифру 7 після коми відкидаємо. Першою із замінених нулями цифр була цифра 4, тому цифру в розряді сотень не змінюємо: 3542,7 3500.

1. Знайти значення виразів:

а) б)

в) г)

д)

е)

2. Розв'язати рівняння:

а)

б) в)

Відповіді

1. в) 1; г) 16; д) е) 4,1.

2. а) б) 5; в) 1,12.

1.10 Нескінченні десяткові дроби

Періодичні десяткові дроби

За допомогою ділення чисельника на знаменник будь-яке дробове невід'ємне число ( -- цілі числа, ) можна перетворити на скінченний або нескінченний десятковий дріб. Наприклад, Для однаковості запису скінченні десяткові дроби і цілі числа будемо доповнювати нескінченною послідовністю нулів, наприклад Таким чином, будь-яке невід'ємне раціональне число можна подати у вигляді нескінченного десяткового дробу

- де -- ціла частина числа ; -- його дробова частина. Таке подання можливе і для від'ємних раціональних чисел.

Нескінченний десятковий дріб називають періодичним, якщо в нього, починаючи з деякого місця, одна цифра або група цифр повторюється, безпосередньо йдучи одна за одною. Групу цифр, що повторюються, називають періодом і записують у дужках. Так, замість 5,666… записують 5,(6) і читають: «п'ять цілих і шість у періоді».

Подання раціонального числа у вигляді десяткового дробу дістають за допомогою ділення. Запишемо, наприклад, число у вигляді десяткового дробу. Будемо ділити 7 на 12:

В остачі знову дістали 40, далі ділення можна не виконувати: як остачі, так і цифри в частці будуть повторюватися. Так, .

Читачам пропонується переконатися в тому, що .

Розглянемо теореми, що задають умови, за яких нескоротний дріб перетворюється на скінченний десятковий дріб або на нескінченний періодичний десятковий дріб.

Теорема. Нескоротний дріб можна перетворити на скінченний десятковий дріб тоді і тільки тоді, коли в розкладі знаменника даного дробу на прості множники містяться лише двійки і п'ятірки або

Теорема. Якщо де і -- цілі невід'ємні числа, то, перетворюючи нескоротний дріб на десятковий, дістають нескінченний періодичний десятковий дріб.

Теорема. Будь-який періодичний дріб являє собою подання деякого раціонального числа.

На прикладах покажемо, як знаходити відповідні числа.

Приклад. Записати періодичний дріб 0,(45) у вигляді звичайного дробу.

Позначимо шуканий дріб через . Помноживши цю рівність на 100, дістанемо . Віднявши першу рівність від останньої, запишемо: ,,

звідки

Приклад. Записати періодичний дріб 2,3(41) у вигляді звичайного дробу.

Позначимо шуканий дріб через . Помноживши цю рівність послідовно на 10 і на 1000, дістанемо відповідно Віднявши від останньої рівності першу, запишемо:

звідки

Приклад. Записати періодичний дріб у вигляді звичайного дробу.

Позначимо шуканий дріб через Помноживши цю рівність послідовно на 100 і на 1000, дістанемо відповідно Віднявши від з останньої рівності першу, запишемо:

Перетворення періодичного дробу на звичайний виконують за таким правилом.

Щоб записати даний періодичний дріб у вигляді звичайного дробу, потрібно від числа, що стоїть до другого періоду, відняти число, що стоїть до першого періоду, і зробити цю різницю чисельником, а у знаменнику записати цифру 9 стільки разів, скільки цифр у періоді, і після дев'ятки дописати стільки нулів, скільки цифр між комою і першим періодом.

Якщо до здобутого звичайного дробу застосувати правило ділення чисел, то дістанемо, що цей дріб дорівнює даному періодичному дробу.

Зауваження. Легко побачити, що

Таким чином,

Аналогічно можна показати, що

Отже, періодичні дроби з періодом 9 завжди можна замінити відповідними скінченними десятковими дробами. Це потрібно брати до уваги при порівнянні нескінченних десяткових дробів.

При порівнянні двох нескінченних десяткових дробів, що не мають періоду (9), користуються таким правилом:

якщо і при всіх ).

Таким чином, якщо цілі частини двох десяткових дробів різні, то той дріб більший, в якого ціла частина більша. Якщо цілі частини однакові, то потрібно звернутися до найменшого розряду, для якого цифри дробів різні: той з дробів більший, в якого цифра цього розряду більша. Наприклад, 2,753282 < 3,145698; 4,58365 < 4,58371; 2,3500 < 2,35010; 7,128364 < 7,128375.

1.11 Поняття про ірраціональні числа

Дійсні числа

Арифметичним квадратним коренем з невід'ємного числа а називають невід'ємне число, квадрат якого дорівнює а. Арифметичний квадратний корінь із числа а позначають

Теорема. Серед раціональних чисел немає такого, яке дорівнювало б значенню

Припустимо протилежне. Нехай існує таке раціональне число, квадрат якого дорівнює 2. Це число можна подати у вигляді нескорочуваного дробу де -- натуральні числа. Тоді Оскільки число -- парне, то й число , що йому дорівнює також парне, а тому число -- також парне (адже квадрат непарного числа є непарне число), тобто де -- натуральне число. Підставивши цей вираз у рівність дістанемо Оскільки -- парне число, то -- також парне, тому і -- парне число. Отже, і -- парні числа, а це суперечить припущенню, що дріб нескоротний. Звідси випливає, що не існує раціонального числа, квадрат якого дорівнює 2. Таким чином, не є раціональним числом.

Це число називають ірраціональним. Ірраціональними числами є і т. ін.

Зауважимо, що до ірраціональних чисел належить число яке виражає відношення довжини кола до його діаметра.

У теоремі 1.10 доведено, що кожне раціональне число є нескінченним періодичним десятковим дробом. Було зазначено також, що будь-який періодичний десятковий дріб є поданням деякого раціонального числа.

Крім періодичних нескінченних десяткових дробів, існують неперіодичні дроби: такий, наприклад, дріб в якого після першої двійки одна одиниця, після другої -- дві одиниці і т. д. Кожний неперіодичний нескінченний десятковий дріб де -- ціла частина числа х; -- десяткові знаки, є поданням деякого нового (не раціонального) числа, що називається ірраціональним. Множину всіх таких чисел називають множиною ірраціональних чисел.

Множиною дійсних чисел називають множину всіх раціональних і всіх ірраціональних чисел. Таким чином, з'ясовується, що будь-яке дійсне число подається нескінченним десятковим дробом. Множина всіх дійсних чисел позначається R.

Дійсні числа впорядковано за величиною, тобто для будь-яких двох дійсних чисел і справджується лише одне і лише одне із співвідношень: Сенс нерівності між дійсними числами визначається правилом порівняння нескінченних десяткових дробів.

Для дійсного числа наближення з точністю до з недостачею і з надлишком визначаються так:

Додавання до десяткового дробу числа рівносильне збільшенню останньої цифри дробу на одиницю. Зауважимо, що кожне з десяткових наближень і дійсного числа є раціональним числом.

Приклад. Випишемо перші п'ять наближень (з недостачею та надлишком) для числа

Для дійсних чисел можна визначити арифметичні операції додавання і множення. Віднімання визначається як дія, обернена до додавання, а ділення -- як дія, обернена до множення. Основні властивості арифметичних дій із цілими числами справджуються і для дійсних чисел.

Визначимо суму і добуток двох дійсних чисел і Для їхніх наближень з недостачею та надлишком із точністю до справджуються такі нерівності

Сумою дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід'ємному задовольняє нерівності

Можна довести, що таке число існує і єдине.

Добутком невід'ємних дійсних чисел і називають таке дійсне число яке при будь-якому цілому невід'ємному задовольняє нерівності Можна довести, що таке число існує і єдине.

Дійсні числа можна зображати точками координатної осі.

Множину всіх дійсних чисел називають числовою віссю; вона зображається всією координатною прямою, її позначають (читається: «проміжок від мінус нескінченності до плюс нескінченності»).

Множина всіх чисел, що задовольняють подвійну нерівність називають числовим проміжком (або проміжком) і позначають (читається: «проміжок від до ».

Множину всіх чисел, що задовольняють нерівності і позначають відповідно (читається: «проміжок від до включаючи та »), [a; b) і (a; b].

Проміжок називають інтервалом, проміжок -- відрізком або сегментом, а проміжки [a; b) і (a; b] -- напівінтервалами.

1.12 Модуль дійсного числа, його властивості

Модулем (абсолютною величиною) дійсного числа називають невід'ємне дійсне число, що визначається формулою:



Наприклад,

З означення модуля випливає, що для будь-якого дійсного числа виконуються співвідношення:

1) 2) 3)

Ці співвідношення означають таке: 1) модуль дійсного числа є число невід'ємне; 2) протилежні числа і мають рівні між собою модулі; 3) будь-яке дійсне число не більше за свій

модуль.

Наведемо деякі властивості модуля дійсного числа.

1. Модуль суми двох дійсних чисел не більший за суму модулів доданків:

Ця властивість справджується для будь-якої кількості доданків:

2. Модуль різниці двох дійсних чисел не менший за різницю модулів зменшуваного та від'ємника:

3. Модуль добутку двох дійсних чисел дорівнює добутку модулів множників:



4. Модуль частки двох дійсних чисел дорівнює частці модулів діленого і дільника:

2. Алгебраїчні вирази та їх перетворення

2.1 Основні поняття та формули

В алгебрі вивчаються дії з числовими та буквеними величинами, а також розв'язання рівнянь, пов'язаних із цими діями. При цьому буквеним величинам можуть надаватися конкретні числові значення.

Одночленом називається добуток кількох співмножників, що є числами або буквами.

Окремі числа і букви також вважаються одночленами. Наприклад, 2bху, -3х2z5, 6, у -- одночлени.

Многочленом називається сума одночленів. Наприклад, 2bху + + 7х2 + 3 -- многочлен.

Основу всіх алгебраїчних дій становлять такі закони додавання і множення:

Переставний закон:

а + b = b + а, аb = bа.

Сполучний закон:

(а + b) + c = а + (b + с), (аb)c = а(bс).

Розподільний закон:

(а + b)c = аc + bс.

При виконанні перетворень алгебраїчних виразів використовуються такі підходи:

1. Зведення подібних членів. Якщо кілька доданків мають однакові буквені частини, то їхні числові коефіцієнти додаються, а буквена частина зберігається. Наприклад, 9а2b - 3а2b - 4а2b = (9 - - 3 - 4)a2b = 2a2b.

2. Винесення множника за дужки здійснюється на основі розподільного закону і правил дій зі степенями. Наприклад, 4ax2y + + 3а2bху2 - 2abx2 = ax(4xy + 3aby2 - 2bx2).

3. Розкриття дужок також здійснюється за допомогою розподільного закону. Необхідно пам'ятати, якщо множник перед дужками має від'ємний знак, то при їхньому розкритті змінюються знаки всіх доданків. Приклади:

2mn2(mx - 3уn3 + 5) = 2m2n2x - 6mn5у + 10mn2;

-ab(3a - 2b + 4) = -3a2b + 2ab2 - 4ab.

4. Формули скороченого множення:

(а + b)2 = а2 + 2аb + b2,

(а - b)2 = а2 - 2аb + b2,

(а - b)(а + b) = а2 - b2,

(а + b)3 = а3 + 3a2b + 3аb2 + b3,

(а - b)3 = а3 - 3а2b + 3аb2 - b3,

(а + b)(а2 - ab + b2) = а3 + b3,

(а - b)(а2 + ab + b2) = а3 - b3.

2.2 Ділення многочленів

Однією із важливих вій в алгебрі є дія ділення многочленів.

Розглянемо ділення многочлена

де -- натуральні числа. Ділення можливе, якщо степінь многочлена-діленого не менший за степінь многочлена-дільника тобто коли і -- не нуль-многочлен.

Поділити многочлен на многочлен -- означає знайти два таких многочлени і щоб

(1)

При цьому многочлен степеня називають многочленом-часткою, -- многочленом-остачею.

Якщо дільник -- не нуль-многочлен, то ділення на завжди виконуване, а частка і остача визначаються остаточно.

У тому разі, коли при всіх тобто кажуть, що многочлен ділиться (або націло ділиться) на многочлен

Для ділення многочлена, що залежить від однієї змінної х, на многочлен меншого степеня використовують такий алгоритм ділення стовпчиком:

1. Розмістити доданки в многочленах у порядку спадання степеня змінної.

2. Поділити перший доданок діленого многочлена на перший доданок дільника і результат написати в частку.

3. Помножити результат на дільник і відняти його від діленого.

4. Виконати зі здобутим після віднімання многочленом дії згідно з п. 2 і 3.

Повторювати зазначені операції доти, доки після віднімання не дістанемо або нуль, або многочлен степеня, меншого, ніж у дільника. Цей многочлен називається остачею.

Приклад. Виконати ділення многочленів:

(12х2 - 5х - 7х3 + 3 + 3х4): (3 + х2 - 2х).

1. Розмістимо доданки в многочленах у порядку спадання степенів змінної х:

12х2 - 5х - 7х3 + 3 + 3х4 = 3х4 - 7х3 + 12х2 - 5х + 3 -- ділене;

3 + х2 - 2х = х2 - 2х + 3 -- дільник.

2. Поділимо перший член діленого 3х4 на перший член дільника х2. У результаті знайдемо перший член частки 3x2.

3. Помножимо 3х2 на дільник і здобутий результат 3x4 - 6х3 +

+ 9х2 віднімемо від діленого. Дістанемо -х3 + 3x2 - 5х + 3.

4. Поділимо перший член результату -х3 на перший член дільника х2 і знайдемо -х -- другий член частки.

5. Помножимо другий член частки на дільник і знайдений добуток -х3 + 2х2 - 3х віднімемо від результату п. 3. Дістанемо х2 -

- 2х + 3.

6. Поділимо результат х2 - 2х + 3 на дільник х2 - 2х + 3. Дістанемо 1 -- третій член частки. Остача від ділення дорівнює 0.

Запишемо ділення у вигляді:

Отже, дістали відповідь: 3x2 - х + 1.

Приклад. Алгоритм ділення многочленів:

Отже, згідно з (1) можемо записати:

Розглянемо ділення з остачею многочлена

де …,

Задані числа, на двочлен

Згідно з (1) дістаємо:

(2)

частка; -- остача. Оскільки степінь многочлена-остачі має бути меншим за степінь многочлена-дільника тобто менший від одиниці, то остача -- деяке число. Знайдемо коефіцієнти …, частки Рівність (2) запишемо у вигляді

і виконаємо множення у правій частині:

Сума здобутого многочлена і остачі має тотожно дорівнювати многочлену

Два многочлени, одного й того самого степеня відносно змінної задані у стандартному вигляді, вважають рівними між собою, коли тотожно рівні коефіцієнти їх подібних членів.

Порівнюючи коефіцієнти при однакових степеня х змінної здобутого многочлена і многочлена маємо:

…,

Звідси послідовно знаходимо коефіцієнти многочлена

…,

Щоб знайти коефіцієнти многочлена-частки зручно скористатися методом, який називають схемою Горнера. Цей метод полягає ось у чому.

У верхньому рядку записують послідовно всі коефіцієнти многочлена-діленого. У нижньому рядку на одну позицію ліворуч від an записують число с. Заповнюючи нижній рядок, ураховують, що старший коефіцієнт многочлена-частки дорівнює старшому коефіцієнту многочлена-діленого, а тому під старшим коефіцієнтом многочлена-діленого записують цей самий коефіцієнт. Кожне наступне число нижнього рядка знаходять додаванням до відповідного коефіцієнта верхнього рядка добутку попереднього числа нижнього рядка і числа с. В останній позиції нижнього рядка під вільним членом многочлена-діленого дістаємо остачу. Усі числа нижнього рядка, крім числа с, є коефіцієнтами многочлена-частки.

У розглядуваному випадку ділення многочлена на схема Горнера матиме такий вигляд:

	an	an - 1	an - 2	…	a1	a0
с	bn - 1 = an	bn - 2 = an - 1 +cbn - 1	bn - 3 = an - 2 + cbn - 2	…	b0 = a1 + cb1	R = a0 + cb0

Приклад. Знайти частку і остачу при діленні многочлена на двочлен

Складемо схему Горнера (тут ):

	6	- 16	- 12	3
-2	6	-16 + 6 (-2) = - 28	-12 + (-28) (-2) = 44	3 +44 (-2) = -85

Маємо, числа 6, -28 і 44 -- шукані коефіцієнти частки. Отже, частка подається у вигляді а остача дорівнює -85.

Розглянемо теорему, яка дає змогу знаходити остачу від ділення многочлена на двочлен не виконуючи самого ділення.

Теорема (Безу). Остача від ділення многочлена

на двочлен дорівнює значенню многочлена при тобто

Справді виконавши ділення многочлена на двочлен дістанемо (згідно з (2))

(2)

де остача -- деяке число.

Вважаючи маємо

Таким чином,

Приклад. Знайти остачу від ділення многочлена на двочлен

Для знаходження остачі обчислимо значення многочлена при

Шукана остача

Зауваження. Остача від ділення многочлена на двочлен дорівнює .

Наслідок. Для подільності многочлена на двочлен необхідно і достатньо, щоб число с було коренем многочлена

Покажемо, що коли многочлен ділиться на то -- корінь многочлена тобто що умова необхідна.

Справді, якщо ділиться на то остача Водночас (за теоремою Безу), Отже, а це означає (за означенням), що -- корінь многочлена

Умова достатня, оскільки якщо -- корінь многочлена то (за означенням) Водночас (за теоремою Безу), Отже, тобто ділиться на

З теореми Безу випливають і інші наслідки. Сформулюємо їх без доведення.

1. Якщо -- різні корені многочлена то многочлен ділиться на добуток

2. Якщо то кількість різних коренів многочлена не перевищує його ступеня.

3. Якщо -- усі корені многочлена

.

4. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому натуральному

5. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому парному

6. Многочлен ділиться на двочлен при будь-якому непарному

Многочлен зі старшим коефіцієнтом, що дорівнює одиниці, називають зведеним многочленом.

Для відшукання коренів многочленів можна скористатися такими теоремами.

Теорема (про дробові корені). Зведений многочлен із цілими коефіцієнтами не може мати дробових раціональних коренів.

Теорема (про цілі корені). Кожний цілий корінь многочлена з цілими коефіцієнтами є дільником вільного члена.

Приклад. Знайти корені многочлена

Спочатку спробуємо знайти цілі корені цього многочлена. Згідно з теоремою про цілі корені такими коренями можуть бути лише дільники вільного члена, тобто числа 1 і -1. Дослідимо число Таким чином, число -1 не є коренем многочлена. Дослідивши число 1, дістанемо а отже, число 1 -- цілий корінь многочлена.

Згідно з наслідком із теореми Безу даний многочлен ділиться на двочлен Визначимо частку від ділення даного многочлена на Коефіцієнти частки знайдемо за схемою Горнера:

	6	-11	6	-1
1	6	-5	1	0

Отже,

Оскільки числа і -- корені тричлена то даний многочлен має три корені: 1, і .

2.3 Корінь n-го степеня з дійсного числа

Арифметичний корінь n-го степеня.

Правила дій із коренями

Коренем n-го степеня (n -- натуральне число) з дійсного числа а називають дійсне число b, n-й степінь якого дорівнює а. Корінь n-го степеня із числа а позначають: (читають: «корінь n-го степеня з числа а»). Згідно з визначенню кореня n-го степеня маємо

якщо (1)

Розглянемо приклади.

1. Запис означає корінь третього степеня (або кубічний корінь) з числа 343. Оскільки то

2. Запис означає корінь п'ятого степеня з числа -243, оскільки

3. Числа 3 і -3 -- корені четвертого степеня з числа 81, оскільки і

4. Запис не має смислу, оскільки не існує такого дійсного числа, четвертий степінь якого дорівнював би -625.

Якщо n -- непарне число, то вираз має сенс при будь-якому а; якщо n -- парне число, то вираз має сенс при і не має сенсу при (парний степінь будь-якого дійсного числа невід'ємний).

Знаходження кореня n-го степеня з даного числа а називають добуванням кореня n-го степеня з числа а. Число а, з якого добувають корінь n-го степеня, називають підкореневим виразом, а число n -- показником кореня.

Очевидно, що при всіх значеннях а, якщо має сенс вираз то згідно з (1) виконується рівність .

При відшуканні кореня n-го степеня з дійсного числа слід брати до уваги таке.

1. Корінь непарного степеня з числа а завжди існує, причому лише один; якщо а -- додатне число, то існує додатне число, яке є коренем непарного степеня з числа а, якщо а -- від'ємне число, то існує від'ємне число, яке є коренем непарного степеня з числа а.

2. Існують два протилежні числа, що є коренями парного степеня з додатного числа а; додатний корінь n-го степеня позначають в цьому разі Тоді протилежне йому число буде

Наприклад, корені рівняння які є протилежними числами, записують так: (додатний корінь) і (від'ємний корінь).

3. Корінь будь-якого натурального степеня n з числа нуль дорівнює нулю: оскільки

4. Корінь парного степеня з від'ємного числа в множині дійсних чисел не існує.

Для будь-якого невід'ємного дійсного числа і будь-якого натурального n (як парного, так і непарного) вираз завжди має сенс і позначає невід'ємне число, n-й степінь якого дорівнює а. Невід'ємний корінь n-го степеня з невід'ємного числа а називають арифметичним коренем n-го степеня.

...