Геометрія комплексного простору стосовно формування областей стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем

Размещено на http://www.allbest.ru/

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ ТА НАУКИ УКРАЇНИ

КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТБУДІВНИЦТВА І АРХІТЕКТУРИ

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук

ГЕОМЕТРІЯ КОМПЛЕКСНОГО ПРОСТОРУ СТОСОВНО ФОРМУВАННЯ ОБЛАСТЕЙ СТІЙКОСТІ ТА ОПТИМІЗАЦІЇ ПАРАМЕТРІВ РЕГУЛЬОВАНИХ СИСТЕМ

Спеціальність 05.01.01 - Прикладна геометрія, інженерна графіка

МАРТИН Євген Володимирович

Київ - 2000

Дисертацією є рукопис

Робота виконана у Державному університеті “Львівська політехніка”

Науковий консультант: доктор технічних наук, професор ГУМЕН Микола Степанович, професор кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки Національного технічного університету України “Київський політехнічний інститут”

Офіційні опоненти: Заслужений працівник народної освіти України, доктор технічних наук, професор Скидан Іван Андрійович, завідувач кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Донецького державного технічного університету

-доктор технічних наук, доцент Ковальов Юрій Миколайович, професор кафедри нарисної геометрії та інженерної графіки Київського міжнародного університету цивільної авіації

-доктор технічних наук, доцент Матвійчук Ярослав Миколайович, доцент кафедри радіофізики Львівського Національного університету імені Івана Франка

Провідна установа:

Таврійська державна агротехнічна академія Мінагропрому України

Захист відбудеться “5“ жовтня 2000 р. о 13 годині

на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06 Київського Національного університету будівництва і архітектури за адресою: 01037, Київ-37, Повітрофлотський проспект, 31, ауд. 469

З дисертацією можна ознайомитися в бібліотеці Київського Національного університету будівництва і архітектури

Автореферат розісланий “_4_” __вересня_2000 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради Д 26.056.06

кандидат технічних наук, доцент В.О.Плоский

Анотації

геометричний засіб область стійкості

Мартин Є.В. Геометрія комплексного простору стосовно формування областей стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем.- Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора технічних наук за спеціальністю 05.01.01 - прикладна геометрія, інженерна графіка.- Київський Національний університет будівництва і архітектури, Київ, 2000 р.

Розроблені та обгрунтовані геометричні засоби фазового простору функцій комплексних змінних в якості основи формування областей стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем. Запропоновані геометричні моделі n-вимірного комплексного простору Кn для формування многовидів, що являють графіки функцій комплексних змінних. Досліджені особливості графоаналітичного відображення областей параметрів многочленів для загального випадку функції комплексних змінних у фазовому просторі та його комплексних підпросторах з однаковою кількістю коренів з від'ємною дійсною частиною. Запропоновані геометричні засоби та алгоритми відображення многовидів як границь поділу n-вимірного простору параметрів многочленів.

Розроблені на основі досліджень многовидів комплексного простору геометричні засоби у вигляді моделей та алгоритмів по формуванню областей стійкості та визначенню параметрів електрообладнання. Ці результати апробовані та прийняті до використання у практиці конструювання регульованих систем електроприводів загальнопромислового устаткування.

Ключові слова: геометрична модель, фазовий простір, функція комплексної змінної, багатокритеріальна оптимізація, регульована система.

Мартын Е.В. Геометрия комплексного пространства применительно к формированию областей устойчивости и оптимизации параметров регулируемых систем .- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук по специальности 05.01.01 - прикладная геометрия, инженерная графика.- Киевский Национальный университет строительства и архитектуры, Киев, 2000 г.

Представлены основные результаты разработки геометрических моделей фазового пространства функций комплексных переменных применительно к формированию областей устойчивости и выбора оптимальных значений параметров регулируемых систем. Для исследования многообразий в качестве графиков функций комплексной переменной разработана четырехмерная модель её фазового пространства. На этой основе предложены геометрические модели n-мерного комплексного пространства Kn. Исследования особенностей их представления в фазовом пространстве использованы при разработке комплексных чертежей. Предложенные геометрическая модель и комплексный чертеж фазового пространства функции комплексной переменной положены в основу анализа графических зависимостей таких функций, используя их проекции в двух комплексных и одном действительном двухмерных подпространствах. Предложено определять многообразие каркасом линий, представляющих графики комплексных функций действительной переменной при помощи трехмерных гиперплоскостей особого положения. Показано, что в качестве секущих могут быть использованы проецирующие гиперплоскости и гиперцилиндры. При этом характер линий каркасов получаемых многообразий определяется следами-проекциями комплексных гиперплоскостей особого положения и гиперцилиндров.

Исследованы особенности графоаналитического отображения линейной аналитической функции комплексной переменной. Показано, что угол наклона отрезка как графика сложной функции комплексной переменной и нескольких комплексных переменных к комплексной плоскости аргумента определяется модулем комплексного коэффициента при соответствующем аргументе функции.

Проведен анализ операций пересечения и объединения многообразий в комплексном пространстве функции комплексных переменных. Предложен графоаналитический способ определения угла наклона отрезка и его действительной величины в комплексном пространстве. Исследованы особые положения графиков функции комплексной переменной. Рассмотрена геометрическая сущность производной функции комплексной переменной. Получены выражения для углов наклона её проекций в трёхмерных комплексных подпространствах. Предложен способ линеаризации многообразий в комплексном пространстве. Произведён анализ его геометрических образов для разных случаев задания функций комплексных переменных с учетом зависимостей между их составляющими.

Для случая многомерного фазового пространства исследованы свойства многочлена с комплексными коэффициентами применительно к формированию областей с одинаковым количеством корней с отрицательной действительной частью. Многообразия фазового пространства функции одной комплексной переменной представляют частный случай рассматриваемого многочлена. Рассмотрены случаи выделения замкнутых и разомкнутых областей на двумерных поверхностях, представляющих его графические зависимости. Произведён анализ фазового пространства со всеми переменными составляющими многочлена. Показана возможность получения ограниченных многообразием областей в фазовом пространстве, для которых знак действительной части многочлена может быть больше или меньше нуля. Его проекция на комплексное подпространство коэффициентов позволяет определять области с множеством точек с одинаковым знаком действительной части аргумента функции комплексной переменной.

Предложено формирование каркасов многообразий в фазовом пространстве функций комплексной переменной с учетом доверительных областей задания параметров трубками, разработаны графоаналитические способы определения углов и расстояний между областями параметров, заданными в доверительных областях.

На основании анализа областей фазового пространства разработаны способы формирования областей устойчивости регулируемых систем проецированием многообразия на n-мерное подпространство параметров регулируемой системы и двухмерные координатные комплексные плоскости фазового пространства многочлена с действительными коэффициентами, иллюстрированные примерами формирования многомерных областей устойчивости различных электромеханических систем.

Разработана методика геометрической оптимизации параметров электрооборудования на основании анализа многообразий фазового пространства k функций n комплексных переменных. Формирование многообразий предложено производить выделением в каждой из функций комплексного пространства аргументов с последующим их объединением. Исследование компромиссного экстремума функций оптимизации предложено производить исследованием точек касания получаемых многослойных многообразий в k-мерном подпространстве значений функции и соответствующей гиперплоскости, положение которой определено весами приоритетности. Показано, что количество многослойных многообразий определено l независимыми переменными среди x1,x2,…,xj,…,xn переменных функций оптимизации. Использование n-мерных подпространств для определения областей устойчивости позволяет определять двухмерные сечения наибольшей площади для выбора параметров, соответствующих устойчивым режимам работы регулируемых систем, и определения среди них значений, соответствующих заданным критериям оптимизации. Разработанные на основании исследований фазового пространства функций комплексных переменных графоаналитические модели и рекомендации по формированию областей устойчивости и оптимизации параметров регулируемых систем приняты к использованию в практике конструирования и модернизации электрооборудования общепромышленных механизмов.

Ключевые слова: геометрическая модель, фазовое пространство, функция комплексной переменной, многокритериальная оптимизация, регулируемая система.

Martyn E.V. Geometry of complex space for forming areas stability and optimization of parameters regulate systems.- Manuscript.

Thesis for a doctors degree by speciality 05.01.01.- Applied geometry and engineering graphics.- The Kyiv National University of building and architecture.- Kyiv, 2000.

In the present thesis the geometry means of the phase space of functions of complex variable quantity are elaborated and grounded as a basis of forming of the region stability and optimisations parameters of the regulate systems. Geometrical models of n-measurable complex space Kn are offered to form the surfaces which are graphs of functions of the complex variable quantity. The peculiarities of the feature graph and analytics reflection of areas parameters equations there are researched for general occasion of the function of complex variable quantity of roots with the negative real part. Geometry means and the algoritms of reflection surfaces as the dividing limits of n-measure space parameters equations are suggested.

It is elaborated on the basis of research surfaces of complex space the geometry means in the form of models and algoritms forming the areas of stability and the definition of compromise extreme parameters of the electrical equipment. These results are tried and accepted for using in designing of regulate systems of an electrical bring for industrial equipment.

Key words: geometry modelling, phase space, function of complex variable quantity, multicriterial optimization, regulate system.

Загальна характеристика роботи

Суть наукової проблеми полягає у створенні, на засадах системного підходу, формалізованих геометричних засобів визначення багатовимірних областей стійкості регульованих систем та розв'язку багатокритеріальних задач оптимізації шляхом обчислення компромісних екстремумів сімейства багатошарових многовидів фазового комплексного простору n функцій k комплексних змінних.

Кінцевим результатом розв'язаної проблеми є розроблені методи та запропоновані практичні рекомендації по підвищенню ефективності функціонування існуючих регульованих електромеханічних систем.

Наявні методи визначення стійкості регульованих систем враховують одночасну зміну не більше одного…двох параметрів, тоді як тільки спільна взаємодія одночасно всіх параметрів відображає реальну картину їх впливу.

За повну геометричну модель зв'язку між всіма змінними багатопараметричної електромеханічної системи пропонується розглядати відповідний многовид багатовимірного комплексного фазового простору цих параметрів. Тоді існуючі моделі часткових залежностей розглядаються як окремі перерізи такого многовиду.

Наявність повної залежності відкриває досліднику шлях до розв'язку багатокритеріальних задач оптимізації, що формалізовано зводяться до визначення координат екстремальних точок многовиду.

Актуальність роботи визначається назрілою необхідністю створення формалізованих геометричних засобів розв'язку прикладних технічних задач електромеханіки, зокрема у дослідженнях багатопараметричних регульованих систем і процесів, що дають змогу успішно застосовувати сучасну обчислювальну техніку. Особливо актуальні результати роботи на початкових етапах проектування, коли виникає необхідність вибору оптимальних діапазонів зміни багатьох параметрів системи одночасно.

Аналіз тих та інших математичних моделей підтверджує сутність геометричного підгрунтя кінцевих результатів у дослідженнях регульованих електромеханічних систем. Грунтовному математичному числовому, а потім фізичному дослідженню регульованої системи передує вибір конструктивних параметрів. Одні з них наперед задані конструктором, а деякі можуть бути змінені в певному діапазоні і вимагають вибору їх оптимальних значень. Останній фактор потребує відповідального підходу, виходячи, насамперед, з вимоги стійкості режиму. Методи розрахунку регульованих систем, особливо стійкості та оптимізації, мають під собою геометричне підгрунтя і використовують в тій чи іншій мірі методи графічних відображень. Такий зв'язок є взаємовигідним, оскільки вимагає розвитку допоміжних геометричних засобів вирішення розмаїтих прикладних задач. Одержані методи геометричного моделювання знаходять практичне застосування у розробці та дослідженні регульованих електромеханічних систем, зокрема електрообладнання.

Під керівництвом акад. В.Є.Михайленко розроблені методи геометричного моделювання електричного поля поблизу високовольтних ліній електропередач. Візуалізація картини силових ліній сприяє полегшенню визначення полоси відчуження поблизу ЛЕП.

У процесі досліджень, проведених під керівництвом проф. М.С.Гумена, розроблений на основі аналізу многовидів багатовимірного евклідового простору метод геометричного моделювання усталених режимів роботи електричних мереж. Враховуючи необхідну кількість режимних параметрів досліджуваної регульованої системи, метод ефективний при комп'ютерних розрахунках її критичних параметрів.

Проблемі визначення надійності регульованих систем, зокрема радіоелектронної апаратури, слугують розроблені під керівництвом проф. В.М.Первікової методи на основі геометричного моделювання многовидів багатовимірного евклідового простору.

Зв'язок з науковими програмами, планами, темами. Робота виконана в рамках науково-дослідної роботи “Розроблення теоретичних засад створення високоефективних електротехнічних та електромеханічних систем і їх елементів для об'єктів з динамічним навантаженням та їх моделювання” (шифр ДВ “ВЕЕС”) згідно Координаційного плану Міносвіти України з фахового напрямку “Електроенергетика, електротехніка” розділу 69 Координаційного плану “Наукові основи удосконалення виробництва, передачі та використання електроенергії”.

Основні проблемні питання та постановка задачі дослідження. Аналіз існуючих засобів дослідження регульованих систем засвідчує їх глибоку геометричну основу. Кожний з них увібрав у себе в переважній мірі методи прикладної геометрії, які забезпечують їх математичну чіткість, послідовність і повноту перетворення інформації у контексті наперед заданих вихідних умов.

Перелічені методи, засновані на геометричній інтерпретації функції комплексної змінної, дозволяють дослідити зміну не більше одного двох параметрів. Такі обмеження спричинені, перш за все, відомою графічною моделлю функції як відображення значень множини аргумента у відповідну множину значень функції, заданих у своїх площинах. Збільшення кількості змінних параметрів дозволяє, очевидно, сформувати геометричну модель многовиду у фазовому просторі, виміри якого становлять параметри системи. Така геометрична модель слугує засобом визначення оптимальних значень параметрів, що має практичне використання, особливо у випадку дослідження компромісного екстремуму декількох функцій оптимізації. Таким чином, розробка інженерного методу формування областей стійкості, визначення належності їм сукупності параметрів системи та вибір серед них оптимальних з використанням методів функцій комплексних змінних, багатовимірної геометрії, теорії оптимізації належить до ще невирішених до нас завдань прикладної геометрії. Вивчення і аналіз особливостей многовидів комплексного простору, формування простих і практичних геометричних моделей значно розширює границі їх застосування у практиці проектування регульованих систем. Практичні вимоги удосконалення існуючих методів є підтвердженням актуальності розроблених методів розв'язку і аналізу наведених проблем.

Формування алгоритмів розв'язку таких задач вимагає розвитку геометричних аспектів функцій комплексних змінних стосовно теорії стійкості систем на базі теоретичних основ багатовимірної геометрії, теорії оптимізації для побудови моделей як основи розв'язку технічних задач формування областей стійкості та оптимізації регульованих систем.

Ступінь дослідженості тематики. Методи теорії функції комплексної змінної мають прикладне значення при розв'язанні фізичних і технічних задач, зокрема при дослідженні стійкості регульованих систем. Незаперечні досягнення теорії цих аналітичних функцій є запорукою успішного втілення її основних положень у практику, яка, втім, виявляє певні обмеження та застереження, вказуючи напрямки подальших досліджень. Огляд відомих джерел дозволяє зробити такі висновки:

1. Розроблені положення способу відображення образів та прообразів функції використані для визначення стійкості регульованих систем при зміні одного двох її параметрів.

2. Основи геометричної теорії функцій комплексних змінних передбачають вивчення плоских множин значень її аргумента і функції.

3. Відсутнє поняття графіка функції комплексної змінної, подібне до графіка функції дійсної змінної.

4. Вимагають геометричного обгрунтування способи формування фазового простору функції комплексних змінних і відповідних комплексних креслень для представлення у ньому комплексних многовидів.

5. Розроблені методи геометричної оптимізації параметрів функцій дійсної змінної засобом многовидів евклідового n-вимірного простору не уможливлюють одночасного дослідження кількох функцій оптимізації комплексних змінних.

6. Усі методи досліджень регульованих систем не враховують довірчих областей задавання параметрів з точністю їх виготовлення чи експериментального визначення.

Мета роботи полягає у розробці методів формування многовидів фазового простору функцій комплексних змінних як геометричної основи моделей з довірчими областями границь стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем.

Основні завдання дослідження

1. Виконати аналіз геометричної структури фазового простору функції комплексних змінних стосовно формування моделей багатопараметричних регульованих систем.

2. Розробити комплексні креслення фазового простору функції комплексних змінних та її різновидів.

3. Дати в границях фазового простору графічну інтерпретацію многовидів як геометричних моделей функцій комплексних змінних із багатовимірним комплексним підпростором її аргументів.

4. Розробити алгоритми геометричного моделювання параметрів многочленів у комплексному просторі.

5. Обгрунтувати геометричні засади довірчих областей параметрів регульованих систем у комплексному просторі.

6. Дати обгрунтування трубчастих каркасів многовидів у фазовому просторі функції комплексної змінної.

7. Розробити теоретичні основи геометричного моделювання областей стійкості регульованих систем.

8. Розробити алгоритми геометричної оптимізації параметрів електрообладнання.

9. Впровадити результати дослідження у виробництво в різних галузях вітчизняної промисловості, зокрема у виробництві та модернізації електрообладнання загальнопромислових механізмів, таких як системи натягу паперового полотна, головні механізми бурових установок тощо.

Методи дослідження. Розв'язання поставлених у роботі завдань виконувалось на базі методів багатовимірної, нарисної, аналітичної, диференціальної, обчислювальної геометрії, геометричної теорії функцій комплексних змінних, основних понять теорії нечітких множин, теорії кривих ліній та поверхонь, векторного числення і математичного аналізу, методів комп'ютерного моделювання, методів дослідження і моделювання процесів у теорії автоматичного регулювання.

Теоретичною та інформаційною базою проведення досліджень стали роботи вчених:

- у галузі теорії функцій комплексних змінних: Е.М.Голузіна , А.О.Біцадзе, С.Бохнера, У.Т.Мартина, О.І.Маркушевича, Г.Е.Пухова, А.Г.Свешнікова, Б.А.Фукса, І.М.Яглома та ін.;

- у галузі багатовимірної геометрії: Х.Буке, К.І.Валькова, В.Я.Волкова, М.С.Гумена, І.С.Джапарідзе, М.С.Курнакова, С.М.Ковальова, А.В.Павлова, Ф.М.Перельман, В.І.Первікової, В.П.Радіщева, Б.А.Розенфельда, Е.С.Федорова, П.В.Філіппова, П.Шоуте, М.М.Юдицького та ін.;

- у галузі кривих ліній та поверхонь: С.М.Ковальова, Г.С.Іванова, В.Є.Михайленко , В.М.Найдиша, В.А.Надолинного, В.С.Обухової, А.В.Павлова, О.Л.Підгорного, А.М.Підкоритова, І.А.Скидана, та ін.;

- у галузі теорії нечітких множин: П.Ванга, Л.А.Заде, К.Кларка, В.М.Найдиша, К.Негоіта, С.Ханаса, В.Хьоле та ін.;

- у галузі оптимізації регульованих систем і процесів: Б.Банді, Л.М.Вивальнюка, М.С.Гумена, Ю.І.Дегтярева, Ю.М. Ковальова, В.Є.Михайленко, Т.Шупа та ін.;

у галузі аксонометрії: М.С.Гумена, В.М.Найдиша, А.В.Павлова, В.М.Первікової, Н.Ф.Четверухіна, М.М.Юдицького та ін.;

- у галузі комп'ютерного моделювання та обчислювальної техніки: Ю.І.Бадаєва , С.М.Грибова, Л.М.Куценко, В.Є.Михайленко, В.М.Найдиша, К.О.Сазонова та ін.;

- у галузі дослідження та моделювання процесів в теорії регульованих систем: В.І.Арнольда, М.С.Гумена, Н.Н.Іващенко, В.Є.Михайленко, Л.М.Тихомирова , В.І.Первікової, В.О.Плоского та ін.

Наукова новизна роботи полягає у створенні універсального методу геометричного моделювання многовидів фазового комплексного простору функцій комплексних змінних з довірчими областями параметрів і на їх основі - методів формування областей стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем.

В процесі роботи встановлено:

1. Комплексне креслення фазового простору функцій комплексних змінних та їх різновидів.

2. Введене розширення фазового простору аргументу функції комплексної змінної.

3 Досліджені геометричні закономірності формування многовидів комплексного простору.

4. Встановлений геометричний зміст основних понять теорії функцій комплексних змінних: функція, похідна, аналітичність тощо.

5. Розроблені теоретичні обгрунтування довірчих областей параметрів у комплексному просторі.

6. Запропоновані методи геометричного моделювання областей стійкості регульованих систем.

7. Розроблені алгоритми геометричної оптимізації параметрів електрообладнання.

8. Вперше сформовано геометричну модель n-вимірного фазового простору відображення функціональної залежності кількох комплексних змінних.

9. Виявлено сутність похідної двовимірного многовиду комплексного простору як дотичної до частинної графічної залежності у січній комплексній тривимірній гіперплощині рівня комплексної функції дійсної змінної.

10. Наочний графоаналітичний метод відображення многовидів як графічних залежностей функцій комплексних змінних.

11. Запропоновані трубчасті та каналові каркаси многовидів комплексного простору як довірчі області параметрів.

Достовірність результатів досліджень підтверджена достатньою для інженерних розрахунків збіжністю розрахункових і дійсних даних параметрів регульованої системи, порівнянням одержаних результатів за допомогою багатовимірних геометричних моделей і окремих класичних методів як окремих випадків таких моделей, розрахунками контрольних прикладів.

Практичне значення роботи:

Розроблені методи моделювання багатопараметричних залежностей функцій комплексних змінних у вигляді многовидів є наочними і простими у використанні. Геометрична формалізація технічних задач спрощує їх розв'язання за допомогою сучасної комп'ютерної техніки. Принциповою перевагою є також універсальність алгоритмів та програмного забезпечення багатокритеріальної оптимізації, що задає передумови для створення більш досконалих конструкцій приладів та пристроїв, більш економних технологій.

Результати роботи реалізовані у таких напрямках:

Розроблені способи формування областей стійкості регульованих систем апробовані при модернізації електроприводу натягу паперового полотна на Жидачівському целюлозно-паперевому комбінаті, регульованого приводу бурового насоса установки “Уралмаш-4Э”. Запропонований спосіб спряження труб за допомогою дуги узагальненої лемніскати Гумена прийнятий для використання в УМТ “Львівтрансгаз”. Спосіб оптимізації параметрів використаний при знаходженні компромісного екстремуму параметрів малопотужного трансформатора системи керування тиристорного перетворювача у Бориславському УБР.

Основні з отриманих результатів роботи використані у програмі курсу "Теорія автоматичного регулювання" для студентів спеціальності 7.0922.03.

На захист виносяться положення, що становлять наукову новизну роботи.

Особистий внесок здобувача. У даній роботі особистий внесок здобувача полягає в розробленні наукових положень щодо геометричних засобів фазового простору функцій комплексних змінних стосовно формування в них многовидів як графіків цих функцій для розв'язку прикладних задач дослідження регульованих систем.

У виконаних у співавторстві працях особисто автором запропонований спосіб графоаналітичної оптимізації параметрів електрообладнання, а також визначено вплив форми траєкторії на стійкість руху матеріалу, розроблена математична модель параметрів пружної електромеханічної системи з заданою формою геометричної характеристики навантаження, наведені особливості моделювання її реальних параметрів, визначення стійкості робочого режиму, конструювання та вибору геометричних параметрів промислового устаткування.

Апробація роботи. Основний зміст роботи доповідався на:

науково-технічних конференціях професорсько-викладацького складу Державного університету "Львівська політехніка" (1987...1999р.р.); республіканській науково-технічній конференції "Розробка прогресивних способів сушки різних матеріалів та виробів на основі досягнень теорії тепло- і масообміну" (м.Київ,1987р.); семінарі “САПР виробів і технологічних процесів у машинобудуванні” (м. Волгоград, 1988 р.); VII республіканській конференції "Підвищення ефективності, удосконалення процесів і апаратів хімічних виробництв" (м.Львів,1988р.); конференції “Комп'ютерна геометрія і графіка в інженерній освіті” (м. Н.Новгород, 1991 р.); науково-технічній конференції “Проблеми графічної технології” (м. Севастополь, 1991 р.); науково-методичній конференції “Перспективи розвитку машинної графіки у викладанні графічних дисциплін” (м. Одеса, 1992 р.); міжнародній науково-методичній конференції "Геометричне моделювання. Інженерна та комп'ютерна графіка" (м.Львів,1994р.); міжнародному симпозіумі "Geodesja i geometria inzynierska w budownictwie i inzynierii" (м.Жешув,1996р.); міжнародних науково-практичних конференціях "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Мелітополь,1995-1999 р.р.); міжнародному науковому симпозіумі “Нарисна геометрія. Інженерна та комп'ютерна графіка” (м.Львів, 1996 р.); науковому семінарі при кафедрі нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки НТУУ “КПІ” під керівництвом акад. Павлова А.В. (м.Київ, 1997р.); науковому семінарі при кафедрі нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки і кафедрі архітектурних конструкцій КНУБА під керівництвом акад. Михайленка В.Є. (м.Київ, 1997-1999р.р.); міжнародній науково-методичній конференції "Інженерна графіка та геометричне моделювання із застосуванням комп'ютерних технологій" (м.Рівне,1997р.); міжнародній науково-практичній конференції "Сучасні проблеми геометричного моделювання" (м.Харків, 1998р.); Міжвузівському семінарі “Прикладна геометрія, інженерна і комп'ютерна графіка” Загальнотехнічного відділення АН вищої школи України (м. Київ, 1997-1999р.р.); засіданні кафедри нарисної геометрії, інженерної та комп'ютерної графіки НТУУ “КПІ” (м.Київ, 1999 р.); засіданні кафедри нарисної геометрії, інженерної та машинної графіки КНУБА (м.Київ, 1999 р.)

Публікації. Результати досліджень викладені в 49 роботах.

Структура та обсяг роботи. Дисертація складається з вступу, шести розділів, загальних висновків, списку використаних джерел, додатків, має повний обсяг 390 сторінок, містить 278 найменувань бібліографії на 25 сторінках, 150 рисунків на 97 сторінках; з них основної частини 267 сторінок друкованого тексту, в тому числі чотири таблиці.

Основний зміст дисертації

У вступі приведені результати аналізу досліджень структури комплексного простору, обгрунтована актуальність розроблення його геометричних засобів стосовно формування областей стійкості та оптимізації регульованих систем, сформульовані мета і задачі роботи.

У першому розділі обгрунтовано введення фазового простору для дослідження многовидів як графіків функції комплексних змінних на основі її аналітичного виразу:

w=w(z)=w(x+iy)=u+iv=u(x,y)+iv(x,y), (1)

де z=x+iy, w=u+iv -комплексні значення прообразів і образів складових функції комплексної змінної; i2 - уявна одиниця, що задовольняє умові: i2=-1.

Фазовий простір функції одної комплексної змінної запропоновано формувати, використовуючи геометричну модель звичайного комплексного числа z=x+iy розширеної комплексної площини з прямокутною системою координат. Прообрази і образи функції комплексної змінної розміщені у двох комплексних площинах, відповідно z і w. Запропонована модель фазового простору функції комплексної змінної, заснована на твердженні про взаємну перпендикулярність кількох попарно перпендикулярних прямих, має чотири координатних осі, виміри яких являють складові значень комплексних аргументу і функції (рис. 1).

Положення довільної точки графіка функції комплексної змінної отримаємо, здійснивши додавання векторів значень аргументу z і функції w (рис. 2).Такий принцип узагальнений на випадок функції кількох комплексних змінних на прикладі функції двох комплексних змінних w=w(z1,z2).Проекції точки А чотиривимірного фазового простору являють: Axyu, Axyv, Ayuv, Axuv на комплексні тривимірні підпростори oxiyu, oxiyiv, oiyuiv, oxuiv; Axy, Axv, Ayv, Aux, Ayu, Auv на комплексні двовимірні підпростори oxiy, oxiv, oiyiv, oхu, oiyu, ouiv; Ax, Ay, Au, Av - на осі ox, oiy, ou, oiv.

Координати j-тої точки такого простору визначають комплексні числа як основа геометричних моделей многовидів. Тому для функції n комплексних змінних її фазовий n-вимірний простір є комплексним Kn , окремим випадком якого слугує евклідовий n-вимірний простір En.

Грані чотирьох комплексних тривимірних підпросторів формують шість двовимірних площин, чотири з яких являють розширені комплексні площини oxiy, oiyu, oxiv, ouiv, одна площина oxu дійсних змінних і одна площина oiyiv уявних змінних. Комплексне креслення чотиривимірного фазового простору отримаємо, сумістивши перелічені площини з площиною креслення. Однозначне завдавання проекцій многовиду як графіка функції комплексної змінної забезпечує комплексне креслення, яке містить три з шести комплексних площин. Особливістю його є визначення осі, навколо якої необхідно здійснювати оберт. При побудові образу функції комплексної змінної задають насамперед значення х-незалежної змінної її аргумента. Решту складових визначаємо як функції дійсної змінної x: y=y(x); u=u(x,y(x)); v=v(x,y(x)). Сумістимо площину oxu з площиною креслення. Площини oxiy та oxiv повернемо до суміщення з площиною oxu. Отримаємо комплексне креслення фазового простору (рис.3,а). Крім наведеного, можливі інші варіанти побудови комплексних креслень фазового простору функції комплексної змінної, засновані на способі моделювання комплексного числа та розгортки комплексних підпросторів (рис.3, б).

Многовиди у чотиривимірному комплексному просторі запропоновано формувати, використовуючи їх проекції у двох з чотирьох комплексних підпросторах oxiyu та oxiyiv (рис. 4). Область визначення функції комплексної змінної розташована у розширеній комплексній площині z. Розглядаючи проекції многовиду у вказаних комплексних підпросторах маємо, що у кожному з них проекція являє двовимірну поверхню, визначену згідно аналітичних виразів як складових (1). У кожному комплексному підпросторі поверхні являють направляючі тривимірних комплексних гіперциліндрів, твірними для яких слугують прямі, паралельні осям ou, oiv комплексної площини значень функції w. Взаємний перетин обох комплексних гіперциліндрів у чотиривимірному комплексному просторі визначає двовимірний комплексний многовид w=w(z) як графік функції комплексної змінної.

Проведемо гіперплощину рівня, наприклад y=yj, паралельну координатній гіперплощині нульового рівня oxuiv. Така гіперплощина у комплексному просторі виділить одновимірну лінію. Її аналітичний вираз одержимо на основі аналітичного виразу функції комплексної змінної при значенні y=yj:

w=u+iv=u(x,yj)+iv(x,yj)=u(x)+iv(x), (2)

який являє аналітичний вираз комплексної функції дійсної змінної х. Множина ліній як графіків комплексної функції дійсної змінної складає каркас многовиду як графіка функції комплексної змінної. Каркас можна отримати також за допомогою гіперплощин рівня x=xj, u=uj, v=vj, паралельних координатним гіперплощинам нульового рівня, відповідно oiyuiv, oxiyiv, oxiyu. Їм відповідають лінії - графіки комплексних функцій дійсної змінної:

та (3)

Крім наведених, можливе використання проекцюючих гіперплощин. Тоді графік j-тої комплексної функції дійсної змінної залежить від обраної системи осей координатного простору. Наприклад, при використанні системи проекцюючих гіперплощин yj=ajx+dj=y(x) отримаємо каркас многовиду згідно аналітичного виразу:

або (4)

В якості січних можуть бути використані проекцюючі гіперциліндри. При цьому характер ліній каркасів многовидів визначається слідами-проекціями комплексних гіперплощин особливого положення та гіперциліндрів : незалежно від вигляду аналітичного виразу функції комплексної змінної при використанні в якості січних комплексних гіперплощин особливого положення такі лінії розімкнуті, якщо вироджені сліди-проекції комплексних гіперциліндрів замкнені, то їм відповідають замкнені лінії графіків комплексних функцій дійсної змінної. На рис.5 приведені зображення ліній як графіків комплексних функцій дійсної змінної, що складають каркас двозначної функції комплексної змінної

w2+z2=R2, (5)

де R- дійсне число.

Лінії відповідають складовим w згідно виразу:

(6)

де

для випадку проекцюючої гіперплощини y=y(x) та проекцюючого гіперциліндра із виродженим слідом-проекцією x2+y2=R2.

У другому розділі розглянуті питання стосовно графоаналітичного відображення елементів фазового простору функції комплексних змінних. Запропоновані комплексні креслення та аксонометричні зображення фазового простору функції одної та кількох комплексних змінних уможливлюють графоаналітичне відображення многовидів згідно аналітичного виразу функції. Розглянуті особливості відображення лінійної аналітичної функції w=az+b, якщо усі її параметри являють комплексні числа

w=u+in; z=x+iy ; a=a1+ia2; b=b1+ib2. (7)



Для випадку перетину многовиду як графіка функції комплексної змінної січною проекцюючою гіперплощиною, вироджений слід якої має вигляд:

y=kx+d, (8)

де k і d - дійсні числа, отримуємо одновимірну лінію як результат перетину цієї гіперплощини і функції комплексної змінної, що слугує графічною залежністю комплексної функції дійсної змінної згідно аналітичного виразу:

w=u+in=x(a1-ka2)+b1-da2+і(x(ka1+a2)+da1+b2); (9)

де u=x(a1-ka2)+b1-da2;

n=x(ka1+a2)+da1+b2.

Похідна комплексної функції дійсної змінної складає:

(10)

і відповідає кутам та нахилу до осі x її проекцій у площинах відповідно та (рис.6). Кут нахилу перетину графіка функції комплексної змінної та гіперплощини (8), вироджений слід-проекція якої являє відрізок ABy, до розширеної комплексної площини значень аргумента z, є кутом, утвореним відрізком AB та його проекцією ABy. З чотирьох комплексних тривимірних підпросторів oxiyu,oxiyiv,oiyuiv,oxuiv площина аргумента z є спільною тільки для двох таких підпросторів. Тому проекції відрізка у тривимірних підпросторах треба розглядати у тих, які містять зазначену площину.

Показано, що відношення кутів нахилу проекцій відрізка прямої як графіка лінійної функції комплексної змінної з лінійно залежними складовими аргумента, розташованих у комплексних відповідно три- і двовимірних підпросторах, до площини комплексного аргумента є функцією кутового коефіцієнта аналітичного виразу її аргумента.

Величина кута нахилу відрізка прямої - графіка лінійної функції комплексної змінної пропорційна модулю комплексного коефіцієнта при її аргументі:

. (11)

Запропоновано спосіб визначення дійсної величини кута d нахилу відрізка і його дійсної величини на комплексному кресленні функції комплексної змінної (рис. 7), поширений на випадок функції кількох комплексних змінних.

Проаналізовано положення особливих точок функції комплексної змінної на прикладі лінійної. Зокрема для випадку перетину її графіка проекцюючою гіперплощиною сліди прямої знаходяться у тривимірних комплексних підпросторах. Так, при значенні х=0 маємо слід прямої у комплексному тривимірному підпросторі oiyuiv з координатами:

.(12)

Таким слідом є, наприклад точка В перетину прямої з координатною гіперплощиною oiyuiv (див. рис. 6).

Геометричний зміст вільного члена b полягає у визначенні положення точки - значення функції у комплексній площині ouiv. Значення коефіцієнта d переносять положення цієї точки із зазначеної площини в один із координатних кутів комплексних підпросторів фазового простору. Розглянуті випадки паралельності прямої та площини у фазовому просторі, паралельність площин.

Визначено геометричний образ - точку перетину M двох площин у фазовому просторі:

(13)

координати якої складають:

(14)

Запропоновано алгоритм його визначення на комплексному кресленні з використанням комплексних гіперплощин рівня (рис.8).

З комплексного креслення визначаємо також взаємну ортогональність обох прямих: на комплексну площину аргументу z кут перетину прямих m і n проекцюється у дійсну величину і є прямим для прийнятої ортогональної координатної системи фазового простору.

Розглянуто геометричну сутність похідної функції комплексної змінної (рис. 9).

Прийнято, що наближення до точки B(x,y,u,v) згідно границі

(15)

відбувається у січних комплексних гіперплощинах рівня x=x0, у=у0, u=u0, v=v0. Кожна гіперплощина рівня виділяє на двомірній поверхні w=w(z) одновимірну лінію-графік комплексної функції дійсної змінної. Отримані вирази визначення похідної функції комплексної змінної з урахуванням визначеної геометричної суті її частинних похідних по ортогональних напрямках як кутів нахилу проекцій функцій комплексної змінної у тривимірних комплексних підпросторах:

. (16)

Проведений аналіз геометричних моделей многовидів функції комплексних змінних. Показано, що для такої функції, зокрема двох комплексних змінних

(17)

формування комплексного многовиду здійснюється за допомогою двох розширених комплексних площин z1 та z2, взаємне положення яких утворює комплексний підпростір аргументів. Такий підпростір має чотири виміри. Тому для однозначного завдавання геометричного образу аргументу необхідно формувати три його зображення на трьох двовимірних площинах, в якості яких можуть виступати, наприклад комплексні площини обох аргументів та одна з площин їх комплексного підпростору. Незалежно від вимірності функції комплексних змінних комплексне креслення містить також дві площини складових значень функції.

Проведено аналіз геометричних образів як графіків функцій комплексних змінних. Показано, що функція комплексної змінної являє просту функцію. Накладання додаткової умови між складовими її аргумента спричинює утворення складної функції як комплексної функції дійсної змінної. Її графіком слугує одномірна лінія як результат перетину двовимірної поверхні як графіка функції комплексної змінної і тривимірної комплексної гіперплощини. Остання може бути гіперплощиною рівня або проекцюючою. Виродженим слідом-проекцією її у площині z аргумента слугує залежність між його складовими y=y(x). Розглянуті інші варіанти

накладання зв'язків між змінними, відповідні дослідженням проф. М.С.Гумена многовидів евклідового n-вимірного простору:

а) w=w(z1);

б) w=w(z1);

в) w=w(z1); (18)

w=w(z2); z2=z(z1); z1=z(z2).

У кожній з наведених складних функцій можливі також зв'язки між складовими їх аргументів у вигляді залежностей:

y1=y(x1) та y2=y(x2). (19)

Зокрема кожній з двох функцій комплексних змінних (18,а) у комплексних підпросторах ox1iy1uiv та ox2iy2uiv відповідає двовимірний комплексний многовид у вигляді поверхні (або площини у випадку лінійних аналітичних виразів). У шестивимірному комплексному просторі ox1iy1x2iy2uiv такі поверхні чи площини складають основи комплексних гіперциліндрів у відповідних координатних комплексних підпросторах ox1iy1uiv та ox2iy2uiv. Одночасно вказані основи складають направляючі зазначених чотиривимірних гіперциліндрів, твірними для яких являються прямі, паралельні координатним осям комплексних площин z1 та z2 відповідно. З іншого боку такі поверхні складають сліди-проекції гіперциліндрів на координатні комплексні підпростори ox1iy1uiv та ox2iy2uiv відповідно. Взаємний перетин двох чотиривимірних гіперциліндрів у шестивимірному комплексному просторі складає двовимірна множина точок цього комплексного простору, спільна для обох гіперциліндрів. Очевидно, така множина являє поверхню, кожна точка якої належить одночасно обом гіперциліндрам і задовольняє (18,а).

У випадку, якщо накладена одна з додаткових умов (19), наприклад залежність y1=y(x1) між складовими аргумента z1, то першій функції (18,а) відповідає комплексна функція дійсної змінної x1:

w=u+iv=w(x1) (20)

Проекція (20) у комплексному підпросторі ox1iy1uiv являє одновимірна крива як основа комплексного гіперциліндра у цьому ж комплексному підпросторі. Такий комплексний гіперциліндр є тривимірним із слідом-проекцією у комплексному підпросторі у вигляді кривої лінії. Взаємний перетин тривимірного та чотиривимірного гіперциліндра у шестивимірному комплексному просторі ox1iy1x2iy2uiv складає одновимірну лінію, кожна точка якої належить одночасно обом гіперциліндрам і задовольняє (18,а) та одну з умов (19).

На основі аналізу много видів явної функції комплексної змінної w1= w(w2), яку отримуємо з двох однопараметричних функцій комплексної змінної w1=w(z), w2=w(z) запропонований спосіб формування фазового простору і многовидів як графіків k функцій n комплексних змінних:

w1=w(z1,z2,z3,...,zn);

w2=w(z1,z2,z3,...zn); (21)

w3=w(z1,z2,z3,...,zn);

wk=w(z1,z2,z3,...,zn).

Многовид кожної з функцій wk комплексних змінних формується на основі її аналітичного виразу у просторі, розмірність якого визначимо за формулою: Cp=2(n+1). Проведемо з'єднання фазових просторів k функцій n комплексних змінних таким чином, щоб координатні площини їх аргументів співпали. В утвореному фазовому просторі ox1iy1x2iy2...xniynu1iv1u2iv2...ukivk складові являють комплексні підпростори, зокрема ox1iy1x2iy2...xniynu1iv1, ox1iy1x2iy2...xniynu2iv2,...,ox1iy1x2iy2...xniynukivk, а також 2k-вимірний комплексний підпростір ou1iv1u2iv2...ukivk . Кожна гіперповерхня являє направляючу 2n-вимірну поверхню комплексного гіперциліндра у комплексному підпросторі , наприклад ox1iy1x2iy2...xniynu1iv1 , твірною для якого є прямі , паралельні, наприклад осям оu2,оiv2,...,оuk,ivk .

Перетин k гіперциліндрів у комплексному 2(n+k) -вимірному просторі утворює комплексний многовид, розмірність якого знахoдимо за формулою для комплексного простору:

, (22)

де d - кількість гіперциліндрів; mi - розмірність гіперциліндрa.

Такий многовид складає направляючу (n+r)-вимірного комплексного гіперциліндра.

Для графічного представлення утвореного многовиду як геометричного образу явної функції комплексної змінної, записаної у вигляді, наприклад :

w1=w(w2,w3,...,wk), (23)

використовуємо спосіб виділення ліній каркасу у вигляді комплексних функцій дійсної змінної згідно виразу (20). В результаті отримаємо каркас многовиду розмірності rm , кожна точка якого визначена координатами u1,iv1,u2,iv2,...,uk,ivk , значення яких визначені сукупністю z1,z2,z3,...,zn аргументів функцій комплексних змінних .

У третьому розділі показано, що розглянуті в попередніх главах многовиди простору являють частковий випадок отриманого на основі характеристичного рівняння регульованої системи

anzn + an-1zn-1 +… + a1z +a0 = 0 (24)

многовиду як графіка многочлена P(z) з комплексними коефіцієнтами aj=aj+igj. При постійних значеннях aj такий многочлен є функцією комплексної змінної

...