Геометрія комплексного простору стосовно формування областей стійкості та оптимізації параметрів регульованих систем

, (25)

де - модулі постійного коефіцієнта aj і аргумента z, - аргументи відповідних параметрів w(z). Його областю визначення слугує розширена комплексна площина аргумента, тому значень функція w(z) набуває у чотирьох тривимірних комплексних підпросторах. Уявна вісь oіу площини аргумента поділяє двовимірну поверхню як графік многочлена P(z) на дві частини, для точок яких визначені відповідно від'ємні та додатні значення складової х. Окремі різновиди аналітичних виразів дозволяють отримати графіки у вигляді одновимірних ліній з постійною складовою значення функції. Зокрема при значеннях складової aj і степенях згідно чисел n=1,5,9,13,… аналітичний вираз для границі поділу має вигляд:

(26)

Для цього випадку маємо постійну уявну складову функції w(z) у вигляді тривимірної комплексної гіперплощини рівня V0= g0.

Якщо границі замкненої області визначення задані гіперплощинами рівня xj=const, або yj=const, то проекції ліній як графіків комплексних функцій дійсної змінної формують складові виразу:

(27)

Для замкненої області з границею у вигляді сліду-проекції проекцюючого комплексного гіперциліндра її складові представимо залежними від параметра t: x=x(t); y=y(t). Значення комплексної функції дійсної змінної t визначають положення точок кривої як перетину комплексного гіперциліндра з двовимірною поверхнею.

Проаналізовано фазовий простір многочлена з усіма змінними складовими:

(28)

Фазовий простір многочлена є різновидом простору функції кількох комплексних змінних.

Приймемо тепер складові значення функції комплексних змінних постійними: w=u+iv=const, де u=u0, v=v0, що відповідає постійності значень многочлена з комплексними коефіцієнтами P(z). Значення u0 та iv0 являють вироджені сліди комплексних гіперплощин рівня, паралельних 2(n+3)- вимірним комплексним підпросторам відповідно oxiyiv a0ig0a1ig1…ajigj…anign та oxiyua0ig0a1g1…ajigj…an,ign.Такі гіперплощини виділяють на комплексній гіперповерхні розмірності l многовиди, розмірність яких складає l-2. Очевидно, утворені многовиди є перерізами комплексної гіперповерхні комплексними гіперплощинами рівня, заданих значеннями u0 та iv0. Якщо значення складових функції комплексної змінної є нульовими, то аналітичний вираз многочлена при змінних комплексних значеннях усіх його коефіцієнтів прийме вигляд:

. (29)

Фазовий простір часткового випадку многочлена P(z) являє, таким чином, комплексний підпростір усіх його комплексних коефіцієнтів aj,z.

В свою чергу, отриманий комплексний підпростір являє фазовий простір значень функції комплексних змінних, яку формуємо згідно виразу (29). Для заданої області значень аргумента z в якості, власне, функції комплексної змінної може бути прийнятий будь-який з комплексних коефіцієнтів многочлена P(z), наприклад:

. (30)

Показано, що графіком її слугує комплексний многовид, точки якого задовольняють умові (29). Для будь-якої іншої множини точок підпростору комплексних аргументів функції комплексних змінних з множиною точок одного знаку х і її значень a0,, ig0, які відрізняються від відповідних (29), отримуємо обмежені комплексним многовидом області у фазовому просторі, для яких знак многочлена може бути меншим або більшим нуля. Його проекція на комплексний підпростір коефіцієнтів aj дозволяє знаходити області многовиду, точки яких задовольняють (29).

У четвертому розділі запропонований спосіб графоаналітичного відображення многовидів як графіків функції комплексної змінної трубками у комплексному просторі. Він уможливлює формування каркасів таких многовидів з урахуванням довірчих областей визначення параметрів. Це дає можливість розширити сфери застосування основних понять теорії нечітких множин, зокрема в прикладній геометрії стосовно розробки методів дослідження регульованих систем. В основу способу покладено поняття “нечіткості” (“fuzziness”) теорії математичних множин, що характеризує ступінь належності об'єкта певній множині. В термінах геометрії цьому відповідає ступінь належності точки як миттєвого стану процесу поверхні, яка його моделює. Запропонована геометрична інтерпретація довірчих областей чисел, для чого інтервали значень числа u як параметра регульованої системи визначені в довірчій області у вигляді значення довірчої функції D:

D(u)= при (31)

Нехай F є асоційованою з точкою Е областю допустимого відхилення точки Е від її дійсного положення. Тоді для двох областей F1 і F2, що відповідають точкам Е1, Е2, відстань у довірчій області визначається :

як найменша з відстаней між точками двох областей

(32)

як верхня границя найбільших відстаней між точками двох областей

(33)

Тоді відстань у довірчій області rF асоційованих областей F1,F2, що відповідають точкам Е1, Е2, визначається інтервалом

. (34)

Очевидно, що обидві складові rF (Е1, Е2) для точкових множин ідентичні. Тому введення таких асоційованих областей F1,F2, що відповідають точкам Е1, Е2, з одного боку відображає нечіткість в досліджуваних системах чи процесах, а з другого - дозволяє визначити інтервальну функцію rF (Е1, Е2) як відстань у довірчій області параметрів. На основі пропонованої лонгометрики у довірчих областях - визначення відстаней між елементами простору - можна застосувати гономерику gF(a1,a2) - визначення кутів, заданими в довірчих областях двома відрізками, кутом нахилу відрізка до осі, до площини проекцій тощо.

Лінії в довірчих областях з-поміж а11,а12 та а21,а22 , які утворюють з віссю ох максимальні та мінімальні кути, являють внутрішні опорні прямі пар F1,F2 і F1,F3, які визначають асоційовані області відповідних точок. Тоді значення кута між прямими у

довірчій області

(35)

Запропонований підхід реалізований при формуванні каркасів довірчих областей многовидів як графіків функцій комплексних змінних у вигляді дискретної множини перерізів гіперплощинами рівня yj , паралельними координатному підпростору oxuiv. Тоді каркас у довірчій області утворюють трубки у комплексному просторі j(u),j(v), для яких осями слугують залежності дійсних значень складових комплексних функцій дійсної змінної з відхиленням d від дійсного положення. Такі трубки обмежують частини комплексного простору трубчатими поверхнями yuj, yvj з осями uj(x), vj(x). Довірча належність точки Е комплексному многовидові w визначається належністю її деякій трубці jj: . (36)

На цій основі запропоновано визначати довірчу відстань між опуклими замкненими областями з урахуванням неточності визначення параметрів регульованих систем. Складений за таким способом алгоритм дозволяє визначати розміщення замкненої опуклої області параметрів відносно границі області стійкості регульованої системи.

У п'ятому розділі на базі геометричних моделей многовидів як графіків функції комплексної змінної розроблено способи графоаналітичного відображення областей стійкості регульованих систем. Показано, що характеристичний поліном являє частковий випадок многочлена P(z) з дійсними коефіцієнтами:

P(z)=a0zn+a1zn-1+…+an-1z+an. (37)

Формування областей коренів многочлена з однаковою кількістю коренів з від'ємною дійсною частиною грунтується на використанні властивості комплексних чисел, коли нульове комплексне значення многочлена P(z) має рівні нулю одночасно дійсну і уявну частину. При кількох змінних параметрах, наприклад характеристичне рівняння для границі областей коренів має вигляд:

(38)

Виділимо дійсну і уявну частину і прирівняємо їх окремо до нуля. Обидві частини містять члени з співмножником m, члени з співмножником t, члени з співмножником h і вільні члени:

(39)

де - многочлени від у.

Тоді зв'язки між змінними запишемо, наприклад у вигляді:

(40)

У комплексних тривимірних підпросторах та залежностям (40) відповідають двовимірні поверхні П2 і (рис.10). У чотиривимірному комплексному просторі поверхні П2 і слугують направляючими тривимірних гіперциліндрів П3 і , проекцюючих по відношенню до зазначених комплексних підпросторів. Твірними циліндрів є прямі, паралельні осям відповідно оm і оt. Взаємний перетин гіперциліндрів визначає двовимірний многовид К2 як графік залежності (40).

Спроекцюємо многовид К2 на підпростір параметрів регульованої системи оmth паралельно напрямку осі оіу. Довільна точка утвореної двовимірної поверхні має координати m,t,h, кожна з яких також визначена для певного значення четвертої координати у. Усі три координати m,t,h при заданому значенні координати у задовольняють умови (40). Точки обмежених цією поверхнею областей відповідають параметрам характеристичного рівняння з різною кількістю його коренів з від'ємною дійсною частиною. Точки, належні самій поверхні, задовольняючи умови (40), являють границю області коренів з однаковою кількістю коренів з від'ємною дійсною частиною. Очевидно, для виділення з-поміж областей області стійкості треба розв'язувати характеристичне рівняння n-ої степені.

Спроекцюємо многовид К2 на підпростори параметрів регульованої системи, одним з вимірів яких слугує уявна частина аргумента. Його проекції будуть відображені на двовимірні площини у вигляді графіків залежностей t=t(iy), h=h(iy), m=m(iy). Для кожного значення у=у0 з графіків визначаємо значення параметрів m0,t0,h0, при підстановці яких у характеристичне рівняння отримуємо тотожність. Проекції області стійкості на площини визначимо за знаком дійсної частини многочлена P(z) для параметрів , взятих для значення у=у0 , згідно виразу :

(41)

Розглянуті також питання графоаналітичного відображення замкнених областей коренів характеристичного рівняння, а також врахування нелінійних зв'язків окремих параметрів регульованої системи.

У шостому розділі викладені методика і алгоритм визначення областей стійкості та оптимальних значень регульованих систем з використанням геометричних засобів комплексного простору.

Приведена методика геометричної оптимізації електрообладнання. При знаходженні точок компромісного екстремуму m функцій оптимізації n аргументів запропоновано проводити дослідження на екстремум проекції многовиду у просторі з вимірами значень функцій оптимізації:

u1=u(u2,u3,…uj…,uk), (42)

де uj=u(x1,x2,…,xn).

Точки многовиду в такому підпросторі визначені одразу n аргументами, які задають кожний його вимір uj. Значення точок компромісного екстремуму визначимо, провівши дотичну до многовиду гіперплощину з вагами пріоритетності lj:

(43)

Показано, що при наявності залежності між аргументами, наприклад x1=x(x2,x3,…,xn), кожну з складових виразу (42) можна представити як функцію цього аргумента. Тоді отримаємо графік залежності між значеннями функцій оптимізації як многовид з вимірами uj, кожний з яких визначений множиною аргументів.

При відсутній залежності між аргументами xj для множини незалежних між собою аргументів х1,х2,…,xn отримуємо систему багатошарових многовидів. Нехай серед n змінних х маємо l взаємно незалежних та s залежних від них змінних x так, що l+s=n. Отже, перші l незалежних змінних можна довільно змінювати незалежно один від одного і решти, тоді як s змінних, як залежні від l змінних, визначаються щоразу прийнятим набором фіксованих значень змінних l. Тоді кожна з s залежних змінних визначається l заданими змінними і систему багатошарових многовидів задають l незалежних змінних з-поміж x1,x2,…,xl,..,xn у k- вимірному підпросторі u1,u2,…,uk параметрів.

Приведені приклади розв'язку задач по визначенню компромісного екстремуму електрообладнання та області стійкості. Показано, що вихід в n-вимірний простір формування областей стійкості дозволяє формувати на основі аналізу многовиду в комплексному просторі сукупність параметрів, які визначають умови стійкої роботи системи. Дослідженням многовиду в просторі параметрів знаходять найбільшу його площу перерізу для вибору значень параметрів стосовно оптимізації окремих ланок регульованих систем.

Висновки

В дисертаційній роботі акумульовані основні результати проведених нами досліджень стосовно визначення геометричних засобів фазового простору функцій комплексних змінних. Розроблені методи формування різновидів такого простору, графоаналітичного відображення в аксонометрії і на комплексному кресленні многовидів у якості графіків функцій комплексних змінних, методи їх конструювання комплексними функціями дійсної змінної як окремого випадку многочленів з комплексними коефіцієнтами. З їх використанням одержано прості графоаналітичні способи формування областей стійкості регульованих систем та визначення компромісного екстремуму на основі аналізу багатошарових многовидів комплексного простору.

З одержаних наукових результатів найбільш значимі являють:

1. Встановлені геометричні закономірності формування графоаналітичних залежностей геометричних систем комплексних чисел на прикладі двовимірних множин звичайних комплексних чисел. Розроблено основи теоретичного дослідження геометричних принципів відображення n-вимірних многовидів комплексного простору. Створено базову чотиривимірну модель фазового простору для графічного відображення залежностей двох комплексних змінних, узагальнену для k функцій n комплексних змінних.

2. Розроблені геометричні засоби для відображення многовидів у комплексному просторі. Здійснено геометричну інтерпретацію зв'язку між елементами множин прообразів та образів комплексних змінних параметрів. Запропоновано та обгрунтовано використання комплексних креслень комплексного простору зі змінними усіма комплексними параметрами, комплексною і дійсною змінною як узагальнення багатовимірного розширеного евклідового простору.

3. Досліджено особливості подання геометричних форм комплексного простору у вигляді дискретних каркасів ліній перетину многовидів комплексного простору та комплексних гіперплощин особливого положення. Встановлений зв'язок між відображенням аналітичних залежностей кількох комплексних та комплексних функцій дійсної змінної і на цій основі розроблені способи формування дискретних каркасів, обгрунтовані для випадку залежності двох комплексних змінних. Отримані принципово нові результати розв'язку деяких задач багатовимірної геометрії комплексних змінних стосовно вирішення прикладних проблем дослідження регульованих систем.

4. Вперше встановлено зв'язок між множиною залежностей комплексних змінних і многочленом з комплексними коефіцієнтами. Запропоновані засоби відображення многовидів як графічних залежностей многочленів з довільною кількістю змінних комплексних параметрів, для випадків розширеного двовимірного комплексного підпростору одної комплексної змінної і запропонованого способу розширення багатовимірного фазового простору аргумента функції комплексної змінної.

5. Запропоновані, обгрунтовані та розроблені засади використання довірчих областей задавання параметрів трубками у комплексному просторі при формуванні дискретних каркасів многовидів комплексного простору. Встановлено можливість і доцільність представлення многовидів комплексного простору з урахуванням довірчих областей дійсних чисел. Новизну являє прикладне застосування мотивів, понять і означень теорії нечітких множин при геометричній інтерпретації взаємозв'язків параметрів регульованих систем.

6. Розроблено геометричний апарат формування многовидів та їх проекцій у комплексних підпросторах різної розмірності з урахуванням комплексного підпростору n аргументів функцій комплексних змінних. Проаналізовано фазовий простір коефіцієнтів характеристичних рівнянь регульованих систем. Досліджені особливості взаємного положення многовидів та дотичних гіперплощин загального положення стосовно визначення компромісного екстремуму k функцій оптимізації n аргументів.

Практичним вислідом слугують запропоновані способи формування багатовимірних областей стійкості регульованих систем для кількох змінних параметрів та алгоритм розв'язку багатокритеріальних оптимізаційних задач конструювання електрообладнання. Їх достовірність і цінність підтверджена актами про впровадження, порівняннями з контрольними прикладами.

Перспективними напрямами подальшого розвитку досліджень являють розроблення геометричних принципів відображення многовидів комплексного простору з розширеними n-вимірними комплексними підпросторами аргументів функціональних залежностей комплексних змінних, формування многовидів у дійсних та уявних підпросторах комплексного простору стосовно дослідження стійкості регульованих систем з нелінійними зв'язками параметрів, створення засобів відображення складних функціональних залежностей комплексних параметрів стосовно оптимізації параметрів регульованих систем з нелінійними обмежувачами.

Список опублікованих праць за темою дисертації

геометричний графоаналітичний многочлен

Основні публікації:

1. Гумен М.С., Андрейко І.І., Мартин Є.В., Анохін В.Є. Графоаналітична оптимізація мікротрансформаторів // Оптимізація виробничих процесів і технічний контроль у машинобудуванні і приладобудуванні.- Львів: ДУ “Львівська політехніка”, 1999.- Вип. 359.- С.41-44.

2. Гумен М.С., Мартин Є.В. До графічного відображення фазового простору функцій комплексних змінних // Прикладна геометрія та інженерна графіка .-К.: КДТУБА, 1998.- Вип.63 -С.41-43.

3. Гумен М.С., Мартин Є.В. До графічного моделювання многовидів комплексного простору // Прикладная геометрия и инженерная графика.- Мелитополь: ТГАТА, 1998.- Вып. 4.-Т.2.-С.58-61.

4. Гумен М.С., Мартин Є.В. Визначення кута нахилу графіка лінійної функції комплексної змінної // Прикладна геометрія та інженерна графіка .-К.: КДТУБА, 1998.- Вип.64-С.50-53.

5. Гумен М.С., Мартин Є.В. Графоаналітичний метод знаходження областей стійкості регульованих систем // Прикладна геометрія та інженерна графіка .-К.: КДТУБА, 1999.- Вип.65-С.37-41.

6. Гумен М.С., Мартин Є.В. Формування комплексного креслення перетину лінійних підпросторів як графіків функцій комплексної змінної // Прикладная геометрия и инженерная графика.- Мелитополь: ТГАТА, 1999.- Вып. 4.-Т.5. -С.44-46.

7. Гумен М.С., Мартин Є.В. Графоаналітичне відображення многовидів розширеного комплексного простору // Прикладная геометрия и инженерная графика.- Мелитополь: ТГАТА, 1999.- Вип.4.- Т.8 С.27-30.

8. Гумен М.С., Мартин Є.В. До конструювання многовидів у фазовому просторі ФКЗ // Прикладна геометрія та інженерна графіка.- К.: КНУБА, 1999.-Вип.66.-С.58-61.

9. Мартын Е.В. Устройство для моделирования пульсирующей нагрузки двигателя.-АС 1273960.-Опубл. в Б.И.,1986.-Вып.44.

10. Мартын Е.В. Асинхронный вентильный каскад.-АС 1429274.-Опубл. в Б.И., 1988.-Вып.37.

11. Мартын Е.В. Определение момента сопротивления поршневого насоса // Динамика, прочность и проектирование машин и приборов.- Львов: ЛПИ, 1989.-Вып.230.-С.71-73.

12. Мартын Е.В. Графоаналитическое моделирование поверхностей устойчивости систем автоматического регулирования // Geodezja i geometria inzynierska w budownictwie i inzynierii .- Rzeszow: Politechnika Rzeszowska, 1996.-S.51-54.

13. Мартин Є.В. Нечіткі метрики для моделювання систем і процесів з нестрого визначеними параметрами // Прикладна геометрія та інженерна графіка. - К.: КДТУБА, 1997.-Вип.62.-С.103-106.

14. Мартин Є.В. Геометрична інтерпретація лінеаризації диференціальних рівнянь елементів САР // Електроенергетичні та електромеханічні системи.- Львів : ДУ “Львівська політехніка”, 1997.- Вип.301.-С.59-60.

15. Мартин Є.В. Комплексне креслення для відображення функції комплексної змінної // Прикладная геометрия и инженерная графика.- Мелитополь: ТГАТА, 1998.- Вып. 4.-Т.3.-С.89-92.

16. Мартин Є.В. Застосування фазового простору функцій комплексних змінних для оптимізації параметрів електрообладнання // Оптимізація виробничих процесів і технічний контроль у машинобудуванні і приладобудуванні.-Львів: ДУ “Львівська політехніка”, 1998.-Вип. 321.-С.57-59.

17. Мартин Є.В. До визначення перетину двох площин у фазовому просторі функції комплексної змінної // Прикладна математика.- Львів : ДУ “Львівська політехніка”, 1998.- Вип.346.-С.10-12.

18.Мартин Є.В. Геометричні моделі функцій комплексної змінної у дослідженні регульованих систем // Оптимізація виробничих процесів і технічний контроль у машинобудуванні і приладобудуванні.-Львів: ДУ “Львівська політехніка”, 1999.-Вип. 371.-С.34-38.

19.Мартин Є.В. Спосіб з'єднання труб, МПК F16L25/00// Промислова власність.- 1998.-№5.-С.2.393.

20.Мартин Є.В. Визначення віддалі між довірчими областями комплексних параметрів // Прикладна математика.-Львів: ДУ “Львівська політехніка”, 1999.-Вип.364.- С. 94-97.

21.Мартын Е.В., Голубейко Г.Д., Босак О.М. Моделирование режимных параметров механизмов с учетом геометрической характеристики нагрузки // Динамическая прочность машин и приборов.- Львов : ЛПИ, 1988.- Вып.220.-С.24-26.

22.Мартын Е.В., Леськив М.В. О повышении устойчивости моделей электомеханических систем // Электроэнергетические и электромеханические системы.- Львов.: ЛПИ, 1987.-Вып.213.-С. 60-61.

23.Мартын Е.В., Нагирна Г.Р. О выборе графического метода оптимизации работы асинхронной машины // Автоматизация производственных процессов в машиностроении и приборостроении.-Львов: ЛПИ, 1988.- Вып.27.- С. 31-32.

24. Мартин Є.В., Сичило С.Й., Нагірна Г.Р. Вибір геометричних параметрів віброприводу сушарки // Динаміка, міцність та проектування машин та приладів.-Львів:ЛПІ, 1991.-Вип.259.- С. 94-95.

25.Мартын Е.В., Шуминский Я.Е., Босак О.М. Выбор конструкции упаковочного агрегата // Динамика, прочность и проектирование машин и приборов.- Львов: ЛПИ, 1990.-Вып.240.-С.127-128.

Додаткові публікації:

26.Гумен М.С., Лещій Н.П., Мартин Є.В. Оптимізація експлуатаційних характеристик криволінійних ділянок трубопроводів // Оптимізація виробничих процесів і технічний контроль у машинобудуванні і приладобудуванні.- Львів: ДУ “Львівська політехніка”, 1999.- Вип. 359.- С.44-47.

27.Мартин Є.В. Формування меж областей стійкості у проекціях поверхні // Електроенергетичні та електромеханічні системи.- Львів : ДУ “Львівська політехніка”, 1997.- Вип.301.-С.85-87.

28.Мартин Є.В. Геометричні моделі в дослідженнях стійкості регульованих систем // Прикладна геометрія та інженерна графіка.- К.: КДТУБА, 1998.-Вип.63.-С.178-180.

29.Мартин Є.В. Формування областей коренів многочленів // Прикладна геометрія та інженерна графіка.- К.: КДТУБА, 1999.-Вип.65.-С.159-162.

30. Мартин Є.В. Визначення деяких метричних характеристик лінійної аналітичної функції комплексних змінних // Прикладна геометрія та інженерна графіка.-К.: КДТУБА, 1998.-Вип. 64.-С.112-115.

31.Мартин Є.В. Про геометричне визначення похідної функції комплексної змінної // Прикладная геометрия и инженерная графика.- Мелитополь: ТГАТА, 1999.- Вип.4.-Т.5.- С.72-74.

32. Гумен М.С., Мартин Є.В. Комплексний багатовимірний простір як узагальнення комплексної площини // Сб. трудов IV Международной научно-практ. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. - Мелитополь: ТГАТА, 1997.-Ч.1.-С. 54-56.

33.Гумен М.С., Мартин Є.В. Застосування функцій комплексної змінної у формуванні границь областей стійкості регульованих систем // Сб. трудов IV Международной научно-практ. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. - Мелитополь: ТГАТА, 1997.-Ч.2.-С.25-27.

34.Гумен М.С., Мартин Є.В. Геометрична інтерпретація моделі комплексного простору // Зб. праць Міжнародної науково-практичної конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”.- Харків: ХІПБ МВС України, 1998.-Ч.1.-С. 139-143.

35.Мартын Е.В. Автоматизация проектирования электрических схем // Тезисы докл. семинара “ САПР изделий и технологических процессов в машиностроении”.-Волгоград.:Дом техники НТО, 1988.-С.29.

36.Мартын Е.В. О моделировании развертки угла поворота вала вибропривода сушилки // Повышение эффективности совершенствования процессов и аппаратов химических производств.Ч.3.-Тезисы докладов VII республ. конф.-Львов.:ЛПИ,1988.-С. 80.

37.Мартин Є.В. Визначення областей стійкості систем автоматичного регулювання // Сб. трудов ІІІ Международной научно-практ. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. -Мелитополь: ТГАТА, 1996.-С.115.

38.Мартин Є.В. Розбиття простору параметрів систем автоматичного регулювання // Сб. трудов ІІІ Международной научно-практ. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. -Мелитополь: ТГАТА, 1996.-С.114.

39.Мартин Є.В. Відображення меж областей стійкості в однопараметричну множину конік // М-ли міжнародного наукового симпозіуму “Нарисна геометрія. Інженерна та комп'ютерна графіка”.-Львів: ДУ “Львівська політехніка”

40.Мартин Є.В. Фазове представлення багатопараметричних процесів систем автоматичного регулювання // М-ли міжнародного наукового симпозіуму “Нарисна геометрія. Інженерна та комп'ютерна графіка”.-Львів: ДУ “Львівська політехніка”, 1996.-С. 31.

41.Мартин Є.В. Рівняння площини, дотичної до поверхні параметрів САР// М-ли міжнародного наукового симпозіуму “Нарисна геометрія. Інженерна та комп'ютерна графіка”.-Львів: ДУ “Львівська політехніка”, 1996.-С. 32.

42.Мартин Є.В. Нечіткі каркаси моделей n-параметричних регульованих систем і процесів // Сб. трудов ІV Международной научно-практ. конференции “Современные проблемы геометрического моделирования”. -Мелитополь: ТГАТА, 1997.-Ч.2.-С.123-125.

43.Мартин Є.В. Моделювання областей параметрів многочленів у комплексному просторі // Інженерна графіка та геометричне моделювання із застосуванням комп'ютерної технології.- Рівне: УДАВГ, 1997.-С. 69-72.

44.Мартин Є.В. Формування комплексного простору коренів многочленів // Зб. праць Міжнародної науково-практичної конференції “Сучасні проблеми геометричного моделювання”.-Харків: ХІПБ МВС України, 1998.-Ч.1.-С. 144-147.

45.Мартин Є.В., Волошкевич П.П. Створення технологічних схем засобами системи Автокад // Тезисы докладов Международной научн.-практ. конф. "Современные проблемы геометрического моделирования".-Мелитополь: ТГАТА, 1995.-С. 219.

46.Мартын Е.В., Голубейко Г.Д., Босак О.М., Сычило С.И. Применение ППП Графор для построения графиков // Тезисы докладов семинара "САПР изделий и технологических процессов в машиностроении".-Волгоград: Дом техники НТО, 1988.-С.26-27.

47.Мартын Е.В., Нагирна Г.Р., Сычило С.И. Моделирование динамики вибросушилки // Повышение эффективности совершенствования процессов и аппаратов химических производств. Ч.3.-Тезисы докладов VII республ. конф. -Львов: ЛПИ, 1988.-С. 108.

48.Мартын Е.В., Рыхлинская С.И. Прикладные программы машинной графики в курсе графических дисциплин // Проблемы графической технологии. Тезисы докл. научн.-техн. конф.-Севастополь: СВВМИУ, 1991.- С. 95-96.

49.Мартын Е.В., Сычило С.И. О разработке математической модели вибросушилки // Разработка прогрессивных способов сушки материалов и изделий на основе достижений теории тепло- и массообмена.-К.: УКРНИИНТИ, 1987.-Вып.1.-С.46.

Размещено на Allbest.ru