Функции комплексной переменной. Условия Коши-Римана

Размещено на http:www.allbest.ru/

Окрестность точки z₀ - Совокупность точек z комплексной плоскости, удовлетворяющих неравенству |z-z₀|<е

Внутренняя точка множества - Точка z называется внутренней точкой множества на комплексной плоскости, если существует е - Окрестность этой точки, целиком принадлежащая данному множеству.

Областью - на комплексной плоскости называется множество D точек, обладающих следующими свойствами:

1)каждая точка множества D является внутренней точкой этого множества.

2)Любые две точки множества D можно соединить ломанной, состоящей из точек этого множества (связность).

Граничная точка - Всякая точка z области D, в любой е окружности которой содержаться как точки, принадлежащей области D, таи и точки, не принадлежащие области D.

Граница области - совокупность граничных точек области D. Обозначается дD. переменный многосвязный формула

Замкнутая область - Область D с присоединенной к ней границей дD и обозначается .

Односвязная область - Область D будет односвязной, если внутренность любого контура, принадлежащего D, также принадлежит D. Область, не являющуюся односвязной, назовем многосвязной.

Окрестность бесконечно удаленной точки - совокупность всех точек z, удовлетворяющих неравенству |z|>R (с присоединенной бесконечно удаленной точки), т.е. совокупность всех точек z, лежащих вне круга достаточно большого радиуса R с центром в начале координат.

Функция комплексной переменной - множество S комплексной плоскости z определенной функции w=f(z), если указано правило, по которому каждому комплексному числу z из S ставится в соответствие комплексное число w.

z=x+iy, w=u+iv

Однолистная функция - функция однолистная на множестве S, если в разных точках этого множества она принимает разные значения. Функция, не являющая однолистной, называется многолистной.

Многозначная функция - каждое значения z из S ставится в соответствие несколько комплексных чисел.

Предел функции - Пусть функция w=f(z) определена в некоторой окрестности точки z₀=x₀+iy₀ кроме, может быть, самой точки z₀. Комплексное число А называется пределом функции f(z) при z, стремящейся к z₀, если для любого положительного числа е можно указать д окрестность точки z₀ такую, что для всех точек z из этой д окрестности, исключая, точку z₀, соответствующие точки w=f(z) лежат в е окрестности точки А.

Непрерывность функции - Функция w=f(z) заданная на множестве S, непрерывная в точке z₀ЄS, если

Иными словами функция f(z) непрерывная в точке z₀, если для любого е>0 можно указать д=д(е)>0 такое, что для всех точек zЄS, удовлетворяющих условию |z-z₀|<д, выполняется неравенство |f(z)-f(z₀)|<е

Дифференцируемость функции - f(z) определена в некоторой точке z. Тогда f(z) дифференцируема в точке z, если существует предел

Этот предел называется производной функции f(z) в точке z₀



Условие Коши-Римана.

Дифференцируемость функции в точке z=x+iy

Пусть функции u(x,y) и v(x,y) дифференцируемы в точке (x,y) как функции действительных переменных и в этой точке выполнены условия Коши-Римана. Тогда функция комплексного переменного f(z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z=x+iy

Аналитичность функции

Функция w=f(z) называется аналитической в точке z, если она дифференцируема как в точке z, так и в некоторой её окрестности. Функция w=f(z), дифференцируемая в каждой точке некоторой области D, называется аналитической функцией в этой области.

Гармоническая функция

Функция ф(x,y) называется гармонической в области D, если она имеет в этой области непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет в этой области уравнению Лапласа

Конформное отображение

Для того, чтобы отображение w=f(z) было конформно в области D, необходимо и достаточно, чтобы в этой области функция f(z) было однолистной и аналитической, причем для всех z из D

Линейная функция

Линейной функцией комплексного переменного z называется функция вида w=az+b где a,b -заданные комплексные числа, причем а?0. Линейная функция определена для всех значений независимого переменного z, однозначна и т.к обратная функция z=w/a-b/a Также однозначна, однолистная во всей плоскости z.

Дробно-линейная функция

Называется функция вида

a,b,c,d- заданные комплексные числа.

Причем

Степенная функция

Где n натуральное число, аналитична во всех комплексной плоскости; ее производная при n>1 j отлична от нуля во всех точках, кроме z=0.

Дробно-рациональная функция

Функция вида

Где P,Q многочлены комплексного переменного z, Дробно-рациональная функция аналитична во всей плоскости, кроме тех точек, в которых знаменатель Q обращается в нуль

Функция Жуковского

Показательная функция

Показательную функцию e^z определим для любого комплексного числа z=x+iy следующим соотношением:

При x=0 получаем формулу Эйлера:

Свойства показательной функции

1. Для действительных z данное определение совпадает с обычным.

2. Функция e^z аналитична на всей комплексной плоскости, и для нее сохраняется обычная формула дифференцирования

3. Для функции e^z сохраняется теорема сложения: e^z1*e^z2=e^z1+z2

4. Функция e^z периодическая с мнимым основным периодом 2рi

Логарифмическая функция

z=e^w

Отсюда w=e^z

w=ln|z|+iArgz=ln|z|+i(argz+2рk) -логарифмическая

Lnz=ln|z|+iArgz

Lnz=lnz+i2рk

Тригонометрические и гиперболические функции

e^iy=cosy+isiny, e^-iy=cosy-isiny

Откуда

Определения интеграла комплексной функции

Если при

Существует предел суммы

Не зависящий от способа разбиения кривой на частичные дуги и от выбора точек на них, то этот предел называется интегралом от функции f(z) по кривой л

Вычисление интеграла от функции комплексного переменного

z=z(t)=x(t)+iy(t)

Теорема Коши

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D, л произвольная замкнутая спрямляемая кривая, лежащая в области D. Тогда

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D, точки z₀ и z принадлежат D. Тогда функция

Аналитична в области D, и

Первообразная

Функция Ф(z) Называется первообразной функцией f(z) в области D, если в каждой точке этой области выполняется неравенство

Теорема Коши для многосвязной области

Пусть функция f(z) аналитична в односвязной области D и непрерывна в замкнутой области . Тогда интеграл от функции f(z), взятый вдоль границы дD этой области, равен нулю:

Интегральная форма Коши

Пусть функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в замкнутой области , Тогда для любой внутренней точки z области D имеет место формула

Где Г-граница области D, проходимая в положительном направлении.

Формула среднего значения

Пусть функция f(z) непрерывна в замкнутом круге и аналитична внутри этого круга. Значение функции f(z) в центре круга равно среднему её граничных значений на ограничивающей его окружности.

Существование производных всех порядков у аналитической функции

Пусть функция f(z) аналитична в области D и непрерывна в замкнутой области . Тогда в каждой внутренней точке z области D у функции f(z) существует производные всех порядков и имеют место формулы

где Г граница области D, n=1,2

Ряды

Имеет конечный предел Этот предел называется суммой ряда.

Ряд сходится когда одновременно сходятся ряды

Ряд сходится абсолютно если сходится ряд из модулей.

Функциональный ряд

Функции определены на некотором множестве S комплексной плоскости, называется сходящийся в точке z этого множества, если для любого е>0 номер N такой, что для всех n?N выполняется неравенство.

|R_n(z)|<е

Где R_n(z)=

Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве S, если 1) он сходится в каждой точке множества S и для всякого е>0 найдется номер N=N(е), не зависящий от z и такой, что для всех n?N и для всех z из S остатки этого ряда удовлетворяются неравенству

Степенные ряды

Степенным рядом называется ряд вида

Где z-независимая комплексная переменная, коэффициенты c_n - заданные комплексные числа, z₀ фиксированно.

Свойства степенных рядов

1. Пусть степенной ряд расходится в некоторой точке z₁. Тогда этот ряд расходится в каждой точке z, удовлетворяющей неравенству |z-z₀|>|z₁-z₀|

2. Для любого степенного ряда найдется число R такое, что в круге |z-z₀|<R ряд сходится, а вне этого круга, при |z-z₀|>R расходится.

Круг сходимости

Если R>0, то наибольшей областью сходимости данного ряда является круг |z-z₀|<R В точках границы |z-z₀|=R ряд может как сходится, так и расходится. Область |z-z₀|<R, R>0 называется кругом сходимости степенного ряда; число R, называется радиусом сходимости

Радиус сходимости степенного ряда



Радиус сходимости в общем случае по формуле Кощи-Адамара

Теорема Тейлора

Пусть функция f(z) аналитична в круге |z-z₀|<R. Тогда в этом круге функция f(z) может быть представлена в виде суммы сходящегося степенного ряда

z- произвольная точка круга |z-z₀|<R, то из формулы вытекает, что построенный степенной ряд сходится к f(z) внутри этого круга.

Разложения в ряд Тейлора

Сумма степенного ряда

Аналитична в круге его сходимости, причем производная может быть получена путем почленного дифференцирования



Элементарные разложения функций

Нули аналитической функции

Пусть f(z)- аналитическая функция в области D. Тогда z₀ из D называется нулем функции f(z), если f(z₀)=0. Разложим функцию f(z) в окрестности её нуля z₀ в степенной ряд имеет вид

Т.е. с₀=0. Если наряду с с₀ равны нулю и коэффициенты c₁,c₂,…,c_k-1, а коэффициент c_k Отличен от нуля, то точка z₀ называется нулем k-го порядка. Из формулы вытекает, что нуль k-го порядка характеризуется соотношениями

В окрестности нуля k-Го порядка разложение функции f(z) в степенной ряд имеет вид

Ряды Лорана

Ряд Тейлора , понимаемый как сумма двух рядов

называется ряд Лорана

Областью сходимости ряда Тейлора является общая часть областей сходимости каждого ряда Лорана.

Область сходимости является круг |z-z₀|<R радиус которого определяется по формуле Коши-Адамара. Внутри круга сходимость ряд Тейлора сходится к аналитической функции, причем в любом круге меньшего радиуса |z-z₀|<R^/, R^/<R. Он сходится абсолютно и равномерно.

степенной ряд сходится внутри своего круга сходимости к аналитической функции комплексного переменного

причем в любом круче меньшего радиуса он сходится абсолютно и равномерно. Это означает, что областью сходимости ряда Лорана является внешность круга - Если r<R то существует общая часть области сходимости рядов Тейлора и Лорана - круговое кольцо в котором ряд Тейлора сходится к аналитической функции. При этом в любом кольце где он сходится абсолютно и равномерно.

Изолированные особые точки

Точка z₀ называется изолированной особой точкой функции f(z) если существует кольцевая окрестность точки z₀ - 0<|z-z₀|<е

(это множество иногда называют проколотой окрестностью точки z₀) в которой функция f(z) однозначна и аналитична. В самой точке z₀ функция либо не определена, либо не является однозначной и аналитичной. В зависимости от поведения функции f(z) при приближении к точке z₀ различаются три типа особых точек.

Изолированная особая точка называется устранимой

1.Устранимой, если существует конечный

2.Полюсом, если

3. Существенно особой точкой, если функция f(z) не имеет предела при Тип изолированной особой точки тесно связан с характером лорановского разложения функции f(z) в круге 0<|z-z₀|<е с выколотым центром z₀

Устранимая особая точка

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) является устранимой особой точкой в том и только в том случае, когда лорановское разложение функции f(z) в окрестности точки z₀ не содержит главной части, т.е. имеет вид

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) является устранимой тогда и только тогда, когда функция f(z) ограничена в некоторой проколотой окрестности точки z₀,

0<|z-z₀|<е

Полюс

Изолированная особая точка z₀ функции f(z) является полюсом в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения функции f(z) в окрестности точки содержит конечное (и положительное) число отличных от нуля членов, т.е. имеет вид

Существенно особая точка

Изолированная особая точка является существенно особой в том и только в том случае, когда главная часть лорановского разложения в проколотой окрестности этой точки содержит бесконечно много отличных от нуля членов.

Вычеты

Вычетом функции f(z) в изолированной особой точке z₀ называется число



Вычисление вычета в полюсе первого порядка

Умножим обе части этого равенства на z-z₀ переходя к пределу при z>z₀ получим

Вычисление вычета в полюсе n порядка

Вычет функции в бесконечности

Если z=? является устранимой особой точкой функции f(z), то лорановское разложение f(z) в окрестности этой точки не содержит положительных степеней z; z=? - полюс, то это разложение содержит конечное число положительных степеней z, в случае существенной особенности - бесконечное число положительных степеней z.

Если функция f(z) имеет в расширенной комплексной плоскости конечное число особых точек, то сумма её вычетов, включая и вычет в бесконечности, равна нулю.

Вычисление интегралов с помощью вычетов

Размещено на Allbest.ru

...