Размещено на http://www.allbest.ru/

Національна академія наук України

Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова

УДК 512.64 : 517.958 : 519.6

ЗВАЖЕНА ПСЕВДОІНВЕРСІЯ І УМОВНО КОРЕКТНІ

ЕЛІПТИЧНІ КРАЙОВІ ЗАДАЧІ В МАТЕМАТИЧНОМУ МОДЕЛЮВАННІ: ТЕОРІЯ, МАТЕМАТИЧНІ МОДЕЛІ, ОБЧИСЛЮВАЛЬНІ МЕТОДИ

01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи

Автореферат дисертації на здобуття

наукового ступеня доктора фізико-математичних наук

ГАЛБА Євген Федорович

Київ 2001



Дисертацією є рукопис

Робота виконана в Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України

Науковий консультант:доктор фізико-математичних наук, професор Молчанов Ігор Миколайович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу

Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор, член-кореспондент НАН України Дейнека Василь Степанович, Інститут кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, завідувач відділу

доктор фізико-математичних наук Хлобистов Володимир Володимирович, Київський Національний університет імені Т.Г. Шевченка, факультет кібернетики, провідний науковий співробітник

доктор фізико-математичних наук Мазко Олексій Григорович, Інститут математики НАН України, провідний науковий співробітник

Провідна установа: Інститут космічних досліджень НАН України і НКА України, відділ системного аналізу та керування, м. Київ

Захист відбудеться ,, 21 '' грудня2001 р. о 11 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 26.194.02 при Інституті кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України за адресою: 03680 МСП Київ - 187, проспект Академіка Глушкова, 40.

З дисертацією можна ознайомитись у науково-технічному архіві інституту.

Автореферат розісланий ,, 10 '' листопада 2001 р.

Вчений секретар

спеціалізованої вченої ради Синявський В.Ф.



Галба Є.Ф. Зважена псевдоінверсія і умовно коректні еліптичні крайові задачі в математичному моделюванні: теорія, математичні моделі, обчислювальні методи. Рукопис.

Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора фізико-математичних наук за спеціальністю 01.05.02 математичне моделювання та обчислювальні методи. Інститут кібернетики ім. В.М. Глушкова НАН України, Київ, 2000. лінійний алгебра псевдоінверсія

Створено теоретичні основи побудови чисельних методів лінійної алгебри для розв'язування математичних задач, до яких приходять при математичному моделюванні явищ, процесів, систем в різних предметних областях, а саме, досліджено властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків як з додатно означеними, так із виродженими вагами, що є внеском в теорію зваженої псевдоінверсії і теоретичною основою побудови методів розв'язування ряда задач лінійної алгебри. Побудовано і досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Показано, що розроблені ітераційні методи можна адаптувати для розв'язування інших задач лінійної алгебри.

Побудовано нові математичні моделі для усталених процесів різної фізичної природи, класичні математичні моделі яких сформульовані у вигляді умовно коректних крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь. Нові математичні моделі сформульовані у вигляді коректно поставлених варіаційних задач. Розроблена методологія одержання методами скінченних елементів і скінченних різниць та дослідження дискретних моделей задач, що апроксимують названі вище крайові з наближено заданими вхідними даними. Запропоновано дискретні задачі двух типів, одні з яких доцільно розв'язувати прямими методами, а другі - ітераційними. Побудовані і досліджені паралельні алгоритми для ітераційних методів.

Ключові слова: математичні моделі, зважена псевдоінверсія, зважені псевдорозв'язки, ітераційні методи, паралельні обчислення, крайові задачі, варіаційні задачі, дискретні задачі, метод скінченних елементів, метод скінченних різниць.



Галба Е.Ф. Взвешенная псевдоинверсия и условно корректные эллиптические краевые задачи в математическом моделировании: теория, математические модели, вычислительные методы. Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.05.02 математическое моделирование и вычислительные методы. Институт кибернетики им. В.М. Глушкова НАН Украины, Киев, 2000.

Созданы теоретические основы построения численных методов линейной алгебры для решения математических задач, к которым приходят при математическом моделировании процессов, явлений, систем в различных предметных областях, а именно, исследовано свойства взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений как с положительно определенными, так и с вырожденными весами, что является вкладом в теорию взвешенной псевдоинверсии и теоретической основой построения методов решения ряда задач линейной алгебры: вычисления взвешенных псевдообратных матриц, ML-взвешенных псевдообратных матриц, взвешенных нормальных псевдорешений, ML-взвешенных нормальных псевдорешений, L-псевдорешений, Lg-псевдорешений, решения задач взвешенных наименьших квадратов, задач наименьших квадратов с ограничениями.

Для взвешенных псевдообратных матриц как с положительно определенными, так и с вырожденными весами получены их представления в терминах коэффициентов характеристических многочленов симметризуемых матриц, предельные представления этих матриц, разложения их в матричные степенные ряды, представления взвешенных псевдообратных матриц через другие псевдообратные матрицы. Для случая положительно определенных весов введено понятие взвешенного сингулярного разложения матриц и получено это разложение для произвольных прямоугольных вещественных матриц и взвешенных псевдообратных к ним.

Изучены свойства взвешенных нормальных псевдорешений и решений задач взвешенных наименьших квадратов, определены условия, при которых взвешенные псевдобратные матрицы совпадают с ML-взвешенными псевдообратными матрицами.

Показано, что полученные результаты в теории взвешенной псевдоинверсии являются теоретической основой для построения методов вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений.

На основании разложений взвешенных псевдообратных матриц в матричные степенные ряды построены и исследованы итерационные методы для вычисления взвешенных псевдообратных матриц и взвешенных нормальных псевдорешений как с положительно определенными, так и с вырожденными весами. Кроме того, для вычисления взвешенных псевдообратных матриц предложен высокостепенной итерационный процесс р-го порядка. Показано, что построенные итерационные процессы можно использовать для решения других задач линейной алгебры.

Построены новые математические модели для установившихся процессов различной физической природы, классические математические модели которых сформулированы в виде условно корректных краевых задач для линейных эллиптических уравнений. Новые математические модели сформулированы в виде корректно поставленных вариационных задач. Разработана методология получения методами конечных элементов и конечных разностей и исследования дискретных моделей задач, которые аппроксимируют вышеуказанные краевые с приближенно заданными исходными данными. Предложено дискретные задачи двух типов, одни с которых целесообразно решать итерационными методами, а другие - прямыми.

Для получения дискретных задач первого типа предложены и исследованы новые вариационные постановки вышеуказанных краевых задач, которые используют информацию о подпространствах, где эти задачи имеют единственное решение. Сформулированы вариационные задачи, которые эквивалентны классическим вариационным задачам, но разрешимые единственным образом без дополнительных условий на класс функций. Показано, что полученные на основе таких вариационных постановок дискретные задачи целесообразно решать итерационными методами, разработанными для решения сеточных уравнений с положительно определенными самосопряженными операторами.

Проблема получения дискретных задач метода конечных элементов, которые целесообразно решать прямыми методами, решается на уровне постановки вариационной задачи: в функционал классической вариационной задачи вводится штрафная функция с малым параметром. Этот подход является обощением метода упрощенной регуляризации. Рассмотрен вопрос согласования параметра штрафной функции, погрешности вычисления интегралов, параметра дискретизации с погрешностями задания исходных данных с точки зрения получения максимальной скорости сходимости дискретных задач.

Чтобы получить дискретные задачи метода конечных разностей, предназначенные для решения прямыми методами, используется упрощенная регуляризация полученных сеточных уравнений с положительно полуопределенными самосопряженными операторами. Причем, исследованы регуляризованные задачи как для совместных исходных систем, так и для несовместных.

Предложена и исследована новая разностная схема, аппроксимирующая задачу Неймана для квазилинейного эллиптического уравнения второго порядка.

Построены и исследованы параллельные алгоритмы итерационных методов для вычисления взвешенних нормальных псевдорешений и решения сеточных уравнений. Совместно исследуются параллельные компьютеры и параллельные процессы. Значительное внимание уделяется минимизации коммуникационных потерь.

Ключевые слова: математические модели, взвешенная псевдоинверсия, взвешенное псевдорешение, итерационные методы, параллельные вычисления, краевые задачи, вариационные задачи, дискретные задачи, метод конечных элементов, метод конечных разностей.



Ye.F. Galba. Weighted pseudoinverse and conditionally correct elliptical boundary-value problems in mathematical modelling: theory, mathematical models, computational methods. Manuscript.

Thesis submitted for degree of Doctor in physics and mathematics in the speciality 01.05.02 mathematical modelling and computational methods. V.M. Glushkov Institute of Cybernetics of the National Academy of Sciences of Ukraine, Kyiv, 2000.

Theoretical basis has been created for the construction of linear algebra's numerical methods designed for solving mathematical problems to which mathematical simulation of various phenomena, processes and systems from various subject areas can be reduced, namely, properties of weighted pseudo-inverse matrices and weighted normal pseudo-solutions with both positive-definite and singular weights; all this is a contribution to the weighted pseudoinverse theory and serves as a theoretical basis for the construction of methods for the solving of linear algebra's problems. Iterative methods have been constructed and investigated for the computing of weighted pseudoinverse matrices and weighted normal pseudo-solutions. The developed iterative methods can be adjusted to the solving of some other problems in linear algebra.

New mathematical models have been built for the established processes of various physical nature, classic models of which are formulated in the form of conditionally correct boundary-value problems for linear elliptic equations. New mathematical models have been formulated in the form of correctly posed variational problems. Methodology has been elaborated for the obtaining by finite elements and finite differences methods of discrete models of problems approximating the above-mentioned boundary-value problems with approximately given initial data as well as of the discrete models' investigation. Discrete models of two types have been proposed, some of them should be solved by direct methods, while others - by iterative ones. Parallel algorithms for iterative methods have been constructed and investigated.

Key words: mathematical models, weighted pseudoinverse, weighted pseudo-solutions, iterative methods, parallel computations, boundary-value problems, variational problems, discrete problems, finite elements method, finite differences method.



ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. Математичне моделювання різних процесів, явищ, систем у ряді випадків приводить до задач, при розв'язуванні яких на певному етапі необхідно обчислювати зважені псевдообернені матриці і зважені нормальні псевдорозв'язки систем лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР).

Визначення зважених псевдообернених матриць вперше було введено Дж.С. Чіпманом в 1964 році. Розвитку теорії зваженої псевдоінверсії присвячені роботи Р.Д. Мілна, Дж. Ф. Варди, Т.Л. Булліона, Т.О. Левіса, Л. Ельдена, С.П. Рао, С.К. Мітра.

Інтерес до зважених псевдообернених матриць в значній мірі обумовлений їх багаточисельними застосуваннями. Зокрема, зважені псевдообернені матриці використовувались при розв'язуванні задач математичної статистики, керування, ідентифікації, нелінійного програмування, задач найменших квадратів з обмеженнями і т. ін. До необхідності розв'язування цих задач приходять при математичному моделюванні процесів і явищ в різних предметних областях. Так, наприклад, до задач найменших квадратів з обмеженнями приходять при математичному моделюванні процесів у фізиці, економіці, суспільстві. Ряд властивостей зважених псевдообернених матриць лежить в основі знаходження зважених нормальних псевдорозв'язків СЛАР. Дослідженню властивостей зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків і побудові методів розв'язування цих задач приділено значно менше уваги, ніж цим же питанням для псевдообернених матриць МураПенроуза і нормальних псевдорозв'язків. Тому дослідження з метою подальшого розвитку теорії зваженої псевдоінверсії і побудови на основі нових теоретичних результатів методів розв'язування названих вище задач є актуальними проблемами.

Залежно від предметної області і математичної моделі виникають задачі як з довільними прямокутними матрицями, так і з матрицями певної структури і відомими властивостями. Тому методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків можна умовно розділити на дві групи: методи розв'язування цих задач з довільними прямокутними матрицями і методи розв'язування зазначених задач з матрицями визначеної структури і відомими властивостями. Відповідно цій класифікації задач і методів їх розв'язування в дисертаційній роботі розглядаються задачі обох груп.

Вище відзначено актуальність дослідження і розв'язування задач першої групи. Для задач другої групи предметом досліджень вибрано дискретні задачі, що апроксимують крайові для еліптичних рівнянь з єдиним розв'язком на підпросторі. Ці задачі відносяться до умовно коректних (коректних по Тіхонову). До таких крайових задач приходять при математичному моделюванні усталених процесів різної фізичної природи. Це, наприклад, задачі теплопровідності і дифузії, коли на границях областей задано відповідно густини теплового потоку і речовини, що дифундує; задачі про електростатичні і магнітні поля, коли на границях областей задані відповідно напруженість електричного і магнітного полів; задача визначення пружно-деформованого стану тіла, на поверхні якого задано напруги і т. ін. Такі задачі, як правило, розв'язують чисельними методами, в основному методом скінченних різниць (МСР) і методом скінченних елементів (МСЕ), яким присвячені монографії В. Вазова і Дж Форсайта, В.С. Дейнеки, І.В. Сергієнка, В.В. Скопецького, О. Зенкевича, І.І. Ляшка, В.Л. Макарова, Г.І. Марчука, І.М. Молчанова, О.А. Самарського, Л.А. Оганесяна і Л.А. Руховця, Ж.-П. Обена, Г. Стренга і Дж. Фікса, М.М. Яненка та ін. При дискретизації таких крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь МСР або МСЕ одержують СЛАР з симетричними додатно напіввизначеними матрицями і правими частинами, які можуть задовільняти або ж не задовільняти умовам існування розв'язку. Ці задачі ініціювали розробку ітераційніх методів, що сходяться на підпросторі.

Ітераційні процеси на підпросторі накладають більш жорсткі умови на оператори в двухшарових ітераційних схемах. Зокрема, при реалізації цих ітераційних процесів необхідно розв'язувати питання їх стійкості. Тому доцільно для названих вище фізичних процесів розробляти нові математичні моделі, які дали б змогу будувати дискретні задачі з додатно означеними самоспряженими операторами, що дозволило б зняти проблеми, пов'язані з реалізацією ітераційних процесів на підпросторі. Крім того, необхідно запропонувати дискретні задачі, які було б доцільно розв'язувати прямими методами. Останнє зв'язане з тією обставиною, що розроблені спеціальні прямі методи розв'язування СЛАР з розрідженими матрицями.

Таким чином, є актуальною проблема розробки теоретичних основ одержання і дослідження двух типів дискретних задач, що апроксимують крайові для лінійних еліптичних рівнянь з єдиним розв'язком на підпросторі, одні з яких доцільно розв'язувати ітераційними методами, а другі прямими.

Для крайових задач для квазілінійних еліптичних рівнянь з єдиним розв'язком на підпросторі, доцільно будувати дискретні моделі з сильно монотонними операторами, що дало б змогу використати ітераційні процеси, розроблені для розв'язування таких задач.

За нашого часу паралельні комп'ютери широко використовуються при математичному моделюванні складних процесів і явищ в різних предметних областях. Для успішного використання цих комп'ютерів необхідно розробляти алгоритми, які враховують їх архітектуру і функціональні особливості. Тому розробка і дослідження алгоритмів паралельних обчислень для нових методів розв'язування різних класів задач є актуальною задачею.

Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась у відповідності з планами наукових досліджень відділу №150 Інституту кібернетики ім. В.М. Глушкова НАНУ в рамках науково-дослідницьких тем 01.9.10013621 ,,Розробка алгоритмів розв'язування базових задач обчислювальної математики для ЕОМ з трансп'ютерними елементами'', 0195U011940 ,,Розробка бази знань для дослідження і чисельного розв'язування звичайних диференціальних рівнянь'', у виконанні яких автор брав участь як відповідальний виконавець, та в рамках TRANSFORM-програми науково-технічного співробітництва з ФРН при виконанні науково-дослідницьких тем ,,Інтелектуальне середовище для дослідження і розв'язування науково-технічних задач на паралельних комп'ютерах'' (ISPAR), ,,Інтелектуальне програмне середовище для дослідження і розв'язування задач аналізу міцності конструкцій'' (ISKON) для Німецького центру по авіакосмічним польотам з відповідними регістраційними номерами у Федеральному міністерстві освіти, науки, досліджень та технологій ФРН 01 IR 601/8 та 01 IR 9053.

Мета і задачі дослідження. Мета досліджень створити теоретичні основи розробки методів розв'язування рівнянь математичних моделей явищ, процесів, систем, які приводять до обчислення зважених псевдообернених матриць, зважених псевдорозв'язків і розв'язування умовно коректних еліптичних крайових задач, та побудувати методи розв'язування зазначених вище задач.

Для досягнення поставленої мети необхідно розв'язати наступні задачі:

створити теоретичні основи дослідження і дослідити властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків;

одержати нові теоретичні результати, на основі яких можна будувати методи розв'язування задач знаходження зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків;

побудувати і дослідити ітераційні методи для розв'язування названих вище задач та адаптувати побудовані ітераційні методи для розв'язування інших задач лінійної алгебри;

- побудувати нові математичні моделі, що описують процеси різної фізичної природи, класичні математичні моделі яких сформульовані у вигляді умовно коректних крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь;

розробити теоретичні основи одержання та дослідження дискретних моделей зазначених вище задач з наближено заданими вхідними даними;

розробити та дослідити паралельні алгоритми для побудованих в роботі методів розв'язування розглянутих задач.

При дослідженні властивостей зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків, а також ітераційних процесів використовувались методи теорії матриць, лінійної алгебри, теорії лінійних операторів в скінченновимірних просторах, функціонального аналізу. При дослідженні варіаційних задач та дискретних МСЕ для крайових з єдиним розв'язком на підпросторі використовувались теорія варіаційних методів для задач математичної фізики, методи математичного і функціонального аналізів, теорія МСЕ. Дослідження різницевих схем для крайових задач з єдиним розв'язком на підпросторі основано на теорії МСР, методі енергетичних нерівностей та узагальненої сіткової функції Гріна, методах функціонального аналізу.

Наукова новизна одержаних результатів. Створені теоретичні основи розробки чисельних методів розв'язування задач лінійної алгебри і умовно коректних еліптичних крайових задач, що виникають при математичному моделюванні процесів, явищ, систем в різних предметних областях.

Одержано нові результати в теорії зваженого псевдообернення і зваженого псевдорозв'язку, які є вкладом в розвиток теорії зваженої псевдоінверсії і теоретичною основою побудови чисельних методів лінійної алгебри для розв'язування задач математичного моделювання. Зокрема, для випадків як додатно означених, так і вироджених вагів одержано:

зображення зважених псевдообернених матриць в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, що симетризуються;

граничні зображення зважених псевдообернених матриць;

розвинення зважених псевдообернених матриць в матричні степеневі ряди;

зображення зважених псевдообернених матриць через інші псевдообернені матриці.

Для випадку додатно означених вагів запроваджено поняття зваженого сингулярного розвинення і одержано це розвинення для довільних прямокутних дійсних матриць і зважених псевдообернених до них.

Досліджено властивості зважених нормальних псевдорозв'язків і розв'язків задач зважених найменших квадратів. Визначено умови, за яких зважені псевдообернені матриці співпадають з ML-зваженими псевдооберненими матрицями.

Побудовано та досліджено нові ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків як з додатно означеними, так і з виродженими вагами. Показано, що розроблені ітераційні методи можна використовувати для обчислення ML-зважених псевдообернених матриць, ML-зважених нормальних псевдорозв'язків, L-псевдорозв'язків, Lg-псевдорозв'язків, розв'язків задач зважених найменших квадратів, задач найменших квадратів з обмеженнями.

Побудовані і досліджені нові математичні моделі для усталених процесів різної фізичної природи, класичні математичні моделі яких сформульовані у вигляді умовно коректних крайових задач для еліптичних рівнянь. Розроблені теоретичні основи одержання і дослідження нових дискретних моделей задач, що апроксимують зазначені вище крайові для лінійних еліптичних рівнянь, а саме:

для крайових задач математичної фізики з єдиним розв'язком на підпросторі сформульовані нові варіаційні задачі, які мають єдиний розв'язок без додаткових умов на клас функцій;

на основі сформульованих варіаційних постановок задач МСЕ одержані та досліджені нові дискретні моделі задач, що апроксимують крайові з єдиним розв'язком на підпросторі;

для зазначених вище крайових задач досліджені дискретні задачі МСР, що регуляризовані методом спрощеної регуляризації та одержані на основі нових варіаційних постановок;

у результаті досліджень запропоновано дискретні задачі МСЕ і МСР двох типів, одні із яких доцільно розв'язувати ітераційними методами, а другі прямими.

Досліджено ефективність розроблених паралельних процесів для ітераційних методів обчислення зважених нормальних псевдорозв'язків і розв'язування сіткових рівнянь.

Для задачі Неймана для квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку сформульована та досліджена задача визначення узагальненого розв'язку з єдиним розв'язком без додаткових умов на клас функцій. Показано доцільність використання нової постановки задачі для одержання її різницевих моделей.

Вірогідність одержаних теоретичних результатів забезпечується тим, що вони сформульовані у вигляді теорем і лем, які повністю доведені.

Практичне значення одержаних результатів. Одержані результати в теорії зваженої псевдоінверсії можуть бути теоретичною основою подальшого дослідження різних аспектів проблеми та розробки методів обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Вони можуть бути використані в учбовому процесі при читанні спеціальних курсів по цьому розділу теорії матриць. Розроблені ітераційні методи обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків дають можливість розв'язувати ці та інші задачі лінійної алгебри і демонструють одну із можливостей використання одержаних теоретичних результатів. Зважені псевдообернені матриці і зважені нормальні псевдорозв'язки використовуються на проміжному або заключному етапі при розв'язуванні прикладних задач, до яких приходять при математичному моделюванні процесів, явищ, систем в різних предметних областях.

Побудовані нові математичні моделі (неперервні і дискретні) фізичних процесів можуть бути використані при розв'язуванні стаціонарних задач теплопровідності, дифузії, електростатики, магнітостатики, задач теорії пружності в переміщеннях із заданими на границі області відповідно густинами потоків, напруженостями, напругами. Розроблену методологію можна використати для одержання і дослідження дискретних задач для інших крайових задач з єдиним розв'язком на підпросторі.

Розроблені алгоритми паралельних обчислень можуть бути використані при розв'язуванні задач на MIMD-комп'ютерах, а методика дослідження ефективності паралельних процесів при дослідженні інших паралельних алгоритмів.

Особистий внесок здобувача. Всі результати дисертаційної роботи одержані особисто або при особистій участі автора. В роботах, що написані у співавторстві, автору дисертації належить: [1] розробка алгоритму методу матричної декомпозиції для розв'язування різницевої задачі Неймана; [2] ідея використання сіткової матриці Гріна при доведенні збіжності різницевої схеми та її реалізація; [5, 6, 8] доведення збіжності різницевих схем; [7] зображення зваженої псевдооберненої матриці в термінах коефіцієнтів характеристичного многочлену матриці, що симетризується; [9] паралельні алгоритми ітераційних методів розв'язування СЛАР; [10, 12, 13, 15, 18] дослідження варіаційних постановок крайових задач з єдиним розв'язком на підпросторі; [16] обгрунтування формул граничного зображення зважених псевдообернених матриць; [19, 30] алгоритми паралельних обчислень для явного чебишевського методу; [28] дослідження ітераційних методів для обчислення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами; [29, 33] ідея реалізації принципу прихованого паралелізму; [31] паралельні алгоритми для методу верхньої релаксації.

Апробація результатів дисертації. Основні концепції, ідеї, положення і результати досліджень були подані на наукових семінарах, конференціях, нарадах, школах: Республіканському семінарі ''Чисельний аналіз'' Наукової ради з проблеми ''Кібернетика'' НАН України (Київ, 1975, 1978, 1980, 1983, 1984, 1987, 1991, 1994, 1999), 7-му Всесоюзному семінарі по комплексам програм математичної фізики (Горький, 1981), науковому семінарі Ін-ту математики НАН України ''Чисельні методи в теорії диференціальних рівнянь'' (Київ, 1982), Всесоюзній конференції ''Високопродуктивні обчислювальні системи для комплексних центрів математичного моделювання'' (Новосибірськ, 1989),10-му Всесоюзному семінарі ''Паралельне програмування і високопродуктивні системи: методи подання знань в інформаційних технологіях'' (Уфа, 1990), 5-й Всесоюзній науково-технічній конференції ''Однорідні обчислювальні системи, структури та середовища'' (Москва, 1991), Міжнародній конференції ''Питання оптимизації обчислень'' (Київ, 1997), 1-й Міжнародній науково-практичній конференції з програмування УкрПРОГ'98 (Київ, 1998), Міжнародному симпозіумі ''Питання оптимизації обчислень'' (Київ, 1999), 2-й Міжнародній науково-практичній конференції з програмування УкрПРОГ'2000 (Київ, 2000).

Публікації. Основні результати дисертації опубліковано в 33 наукових роботах. З них 29 у наукових фахових виданнях, 4 статті у збірниках праць наукових конференцій.

Структура та обсяг роботи. Дисертаційна робота складається із вступу, шести розділів, висновку та списку використаної літератури, що містить 297 найменувань. Загальний обсяг роботи складає 311 сторінок тексту без урахування сторінок, зайнятих списком використаних джерел.

ЗМІСТ РОБОТИ

У вступі аналізується стан проблеми, обгрунтовується актуальність, теоретична і практична цінність досліджуваної тематики, виділяється коло основних задач і мета дослідження.

Перший розділ присвячено огляду літератури за темою дисертаційної роботи і вибору напрямків досліджень. Визначено основні результати, що одержані в теорії псевдоінверсії та методах обчислення псевдообернених матриць і псевдорозв'язків. Викладено етапи розробки чисельних методів розв'язування умовно коректних крайових задач для еліптичних рівнянь. Вказано зв'язок роботи з іншими дослідженнями. В результаті огляду літератури визначено проблеми, які необхідно розв'язувати.

У другому розділі викладено методи одержання основних теоретичних результатів дисертаційної роботи. Описано використаний і створений в дисертації математичний апарат для одержання цих результатів. Обгрунтовано вибір напрямків досліджень.

Третій розділ присвячено розвитку теорії зваженої псевдоінверсії та створенню теоретичних основ побудови чисельних методів лінійної алгебри для розв'язування математичних задач, до яких приходять при математичному моделюванні явищ, процесів, систем в різних предметних областях, а саме, методів обчислення зважених псевдообернених матриць, ML-зважених псевдообернених матриць, зважених нормальних псевдорозв'язків, ML-зважених нормальних псевдорозв'язків, L-псевдорозв'язків, Lg-псевдорозв'язків, розв'язування задач зважених найменших квадратів, задач найменших квадратів з обмеженнями.

Третій розділ складається із двох підрозділів.

У підрозділі 3.1 вивчаються властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків з додатно означеними вагами. Наведемо визначення цих псевдообернених матриць і псевдорозв'язків. Нехай А є mn-матриця, X є nm-матриця, В і С квадратні симетричні додатно означені матриці порядків m і n відповідно. Тоді зважена псевдообернена матриця з додатно означеними вагами до матриці А визначається як єдина матриця що задовільняє чотирьом умовам:

AXA = A,XAX = X,,

а псевдообернена матриця МураПенроуза умовами (3) при B = C = E.

Нехай

система лінійних алгебраїчних рівнянь. Тоді вектор назвемо зваженим нормальним псевдорозв'язком з додатно означеними вагами системи (4).

Для матриці одержано її зображення в термінах коефіцієнтів характеристичного многочлену матриці, що симетризується:

Теорема 3.2. Матриця, що визначена умовами (3), існує і єдина. Вона зображається у вигляді

(5)

p=1,...,n коефіцієнти характеристичного многочлену

останній, відмінний від нуля коефіцієнт цього многочлену.

Як наслідок із теореми 3.2, крім зображення матриці формулою (5), одержано ще два зображення цієї матриці в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів матриць, що симетризуються, і два в термінах коефіцієнтів характеристичних многочленів симетричних матриць. На основі (5) запропоновано просту формулу для обчислення зваженої псевдооберненої матриці до матриці з рангом одиниця.

Граничні зображення матриці визначає теорема 3.4. Показано, що граничні зображення матриць можна використовувати для регуляризації задач обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків СЛАР (теореми 3.5 і 3.6). Oбгрунтовано два типи розвинень зважених псевдообернених матриць з додатно означеними вагами в матричні степеневі ряди (теореми 3.7 і 3.8). Одержано зображення зважених псевдообернених матриць через інші псевдообернені матриці як зважені, так і через псевдообернені матриці МураПенроуза (теорема 3.10). Показано, що на основі теореми 3.10 можна одержати матричне рівняння для обчислення зважених псевдообернених матриць.

В цьому підрозділі розглянуто питання про приведення дійсної прямокутної матриці до ''діагональної'' з допомогою зваженого ортогонального перетворення. Запроваджено поняття зважених сингулярних чисел і одержано розвинення матриці через зважені сингулярні числа:

Теорема 3.11. Для дійсної матриці A розміру mn існують дві зважені ортогональні матриці U і V порядків m і n з вагами B і С відповідно, такі, що

де B і C довільні симетричні додатно означені матриці порядків m і n відповідно. Стовпці матриць U і V ортонормовані власні вектори в і матриць і відповідно, а квадратні корні із власних значень матриць , якщо , і , якщо , нульова матриця розміру kl.

Результати теореми 3.11 використовуються для зображення зваженої псевдооберненої матриці:

У підрозділі 3.2 вивчаються властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків з виродженими вагами. Наведемо їх визначення.

Нехай А є mn-матриця, X є nm-матриця, В і С квадратні симетричні додатно напіввизначені матриці порядків m і n відповідно. Тоді зважена псевдообернена матриця з виродженими вагами до матриці А визначається як єдина матриця що задовільняє умовам

AXA = A,XAX = X,,(XAC)^T = XAC

rank(BA) = rank(A), rank(AC) = rank(A).

Вектор зветься зваженим нормальним псевдорозв'язком з виродженими вагами системи (4).

Для зваженої псевдооберненої матриці з виродженими вагами одержано її зображення в термінах коефіцієнтів характеристичного многочлену матриці, що симетризується з допомогою виродженої матриці симетризації (теорема 3.13). Властивості зваженого нормального псевдорозв'язку з виродженими вагами системи (4) визначає теорема 3.14. Граничні зображення матриці з виродженими вагами визначає теорема 3.15. Показано, що граничні зображення матриць можна використовувати для регуляризації задач обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків СЛАР з виродженими вагами (теореми 3.16 і 3.17). Oбгрунтовано два типи розвинень зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами в матричні степеневі ряди (теореми 3.18 і 3.19). Одержано зображення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами через інші псевдообернені матриці як зважені, так і через псевдообернені матриці МураПенроуза (теорема 3.20). Показано, що на основі теореми 3.20 можна одержати матричне рівняння для обчислення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами.

В цьому підрозділі введено поняття розв'язків задач зважених найменших квадратів з виродженими вагами і встановлено деякі властивості цих розв'язків, а також визначено умови, при яких зважена псевдообернена матриця з виродженими вагами співпадає з ML-зваженою псевдооберненою матрицею.

В четвертому розділі побудовано і досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків як з додатно означеними, так і з виродженими вагами. Він складається із двох підрозділів.

B 4.1 побудовані і досліджені ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків з додатно означеними вагами. На основі розвинення (7) пропонується ітераційний процес для обчислення зважених псевдообернених матриць

Теорема 4.1. Ітераційний процесс (14) при , що задовільняє умові (6) і, збігається, причому має місце оцінка

C симетрична додатно означена матриця порядку n, яка входить у визначення зваженої псевдооберненої матриці відповідно (3), V довільна симетрична додатно означена матриця.

Крім ітераційного процесу (14) запропоновано ще два ітераційні процеси для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозвязків з додатно означеними вагами. Збіжність та оцінки збіжності цих ітераційних процесів установлюють відповідно теореми 4.2 - 4.5.

В цьому підрозділі побудовано і досліджено паралельні алгоритми ітераційних методів для обчислення зважених нормальних псевдорозв'язків. Методика побудови алгоритмів паралельних обчислень базується на поперемінно паралельно-послідовних процесах. Спільно вивчаються паралельні методи і паралельні комп'ютери.

У підрозділі 4.2 побудовані і досліджені ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків з виродженими вагами.

На основі розвинення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами в матричні степеневі ряди запропоновано два ітераційні процеси. Збіжність цих ітераційних процесів і оцінки збіжності установлюють теореми 4.6, 4.7.

Також запропоновано високостепеневий p-го порядку ітераційний процес для обчислення зважених псевдообернених матриць з виродженими вагами

.

Теорема 4.8. Ітераційний процес (21) при , що задовільняє умові (12), і збігється, причому має місце оцінка

B цьому підрозділі побудовано два ітераційних процеси для обчислення зважених нормальних псевдорозв'язків з виродженими вагами. Збіжність та оцінки збіжності цих ітераційних процесів установлюють теореми 4.9, 4.10.

Для ітераційних процесів зроблено вибір оптимальних ітераційних параметрів. Запропоновано інші формули для знаходження ітераційних параметрів, які дають змогу їх обчислити за допомогою меншого числа арифметичних операцій.

Ітераційні процеси обчислення зважених нормальних псевдорозвязків адаптовано для розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями і для знаходження L-псевдорозв'язків. Розглянуто задачі найменших квадратів з лінійними і квадратичними обмеженнями.

Розділ 5 присвячено побудові методом скінченних елементів і дослідженню дискретних моделей задач для умовно коректних еліптичних крайових задач. Розглянуто задачу Неймана для самоспряженого рівняння другого порядку, крайову задачу для рівнянь теорії пружності в переміщеннях при заданих на границі області напругах, задачу прогину тонкої вільної пластинки.

Мета досліджень цього розділу: для названих вище крайових задач запропонувати і дослідити дискретні задачі з єдиним розв'язком двух типів, одні з яких доцільно розв'язувати прямими методами, а другі ітераційними. Для цього запропоновано і досліджено нові варіаційні задачі з єдиним розв'язком без додаткових умов на клас функцій. Одні із варіаційних задач основані на методі штрафу: в класичні функціонали варіаційних задач, що мають єдиний розв'язок на підпросторі, вводиться штрафна функція з малим параметром, в результаті чого одержуємо варіаційну задачу з єдиним розв'язком, який залежить від параметра. Другі варіаційні постановки використовують інформацію про підпростори, де визначені єдині розв'язки задач. В результаті запропоновано варіаційні постановки задач, які еквівалентні класичним, але мають єдиний розв'язок без додаткових умов на клас функцій. Показано, що системи МСЕ, одержані на основі перших варіаційних постановок, доцільно розв'язувати прямими методами, а на основі других ітераційними.

В 5.1 розглядалась задача Неймана для самоспряженого рівняння другого порядку еліптичного типу. При виконанні умов, що забезпечують існування розв'язку цієї крайової задачі, її розв'язок не буде єдиним на всьому просторі функцій, де він існує, і визначається з точністю до сталої.

В цьому підрозділі розглянуто питання узгодження параметра штрафної функції, параметра тріангуляції області, точності обчислення інтегралів з похибками вхідних даних з метою одержання можливої максимальної швидкості збіжності дискретних задач до розв'язків диференціальних із визначеного функціонального простору.

Розглянyто задачу про мінімум функціоналу (25) на підмножині функцій, які належать і задовільняють умові існування єдиного розвязку і функціоналу (29) на класі функцій без додаткових умов на клас функцій.

Теорема 5.4. Задача про мінімум функціоналу (25) на підмножині функцій і задача про мінімум функціоналу (29) в просторі еквівалентні.

В 5.2 розглядались рівняння пружної рівноваги тіл в переміщеннях при заданих на поверхні тіла напругах. При виконанні умов, що забезпечують існування розв'язку цієї крайової задачі, її розв'язок не буде єдиним на всьому просторі вектор-функцій, де він існує.

Запропоновано дві варіаційні задачі з єдиним розв'язком на всьому просторі. Розглянуто питання дискретизації цих варіаційних задач. Дано рекомендації відносно методів їх розв'язування.

Розглянуто варіаційну задачу про мінімум функціоналу в просторі вектор-функцій , одержаного методом штрафу.

Близькість розв'язків класичної варіаційної задачі (30) з єдиним розв'язком на підпросторі і нової варіаційної задачі (31) з єдиним розв'язком на всьому просторі установлює

Теорема 5.6. Нехай надає мінімум функціоналу (30) в підпросторі , а мінімізує функціонал (31) в просторі . Тоді має місце оцінка

де стала, що не залежить від .

Також розглянуто задачу про мінімум функціоналу (32) в просторі вектор-функцій , що використовує інформацію про підпростір, в якому існує єдиний розв'язок класичної варіаційної задачі.

Співвідношення між розв'язками задач (30) і (32) установлює

Теорема 5.7. Задача про мінімум функціоналу (30) в підпросторі і задача про мінімум функціоналу (32) в просторі еквівалентні.

В 5.3 розглядається задача прогину тонкої ізотропної вільної пластинки. При виконанні умов, що забезпечують існування розв'язку цієї крайової задачі, її розв'язок не буде єдиним на всьому просторі функцій, де він існує, і визначається з точністю до полінома першого степеня.

Запропоновано дві варіаційні задачі з єдиним розв'язком на всьому просторі. Розглянуто питання дискретизації цих варіаційних задач. Проведено порівняння запропонованих способів одержання дискретних задач. Дано рекомендації відносно методів їх розв'язування.

Досліджено властивості матриць СЛАР, що одержуються МСЕ на основі варіаційних задач (26), (29), (31), (32), (34), (35). Зроблено висновки, що СЛАР, одержані на основі варіаційних задач (26), (31), (34) доцільно розв'язувати прямими методами, а на основі (29), (32), (35) ітераційними.

В рoзділі 6 запропонована методологія одержання та дослідження різницевих аналогів крайових задач для еліптичних рівнянь з єдиним розв'язком на підпросторі. Основна мета розробити принципи побудови і дослідження різницевих задач двух типів з точки зору методів їх розв'язування: для розв'язування прямими та ітераційними методами.

У підрозділі 6.1 побудовані та досліджені різницеві схеми, що апроксимують задачу Неймана для лінійного і квазілінійного еліптичних рівнянь другого порядку. Розглянуто питання узагальнення поперемінно-трикутного методу для розв'язування різницевої задачі Неймана і організації паралельних обчислень в ітераційних методах розв'язування сіткових рівнянь. Визначено зв'язок між узагальненими сітковими функціями Гріна оператора різницевої задачі Неймана для рівняння Пуаcсона і елементами зваженої псевдооберненої матриці до матриці, що відповідає цьому різницевому оператору.

Спочатку розглядається задача Неймана для самоспряженого рівняння другого порядку без змішаних похідних. Вважаємо, що права частина рівняння і праві частини крайових умов можуть бути задані з похибками. Тоді умова існування розв'язку задачі Неймана може не виконуватись.

Співвідношення між розв'язками задачі Неймана і регуляризованої методом спрощеної регуляризації різницевої задачі установлює

Теорема 6.2. Нехай в умові (24) розв'язок різницевої задачі (40), а u достатньо гладкий розв'язок задачі Неймана, має місце оцінка

де стала, що не залежить від і .

Із оцінки (42) випливає, що необхідно узгоджувати вибір кроку сітки і значення параметра регуляризації з похибкою вхідних даних.

Крім задачі Неймана для лінійних еліптичних рівнянь в цьому підрозділі розглядалась задача Неймана для квазілінійних еліптичних рівнянь другого порядку дівергентної форми. В роботі запропонована слабка постановка з єдиним розв'язком на всьому просторі). Теорема 6.8 стверджує про еквівалентність нової задачі з єдиним розв'язком на всьому просторі до класичної з єдиним розв'язком на підпросторі. Показано, що на основі нової слабкої постановки одержимо систему нелінійних рівнянь з сильно монотонним оператором.

В цьому підрозділі побудовані і досліджені алгоритми паралельних обчислень ітераційних методів для розв'язування сіткових рівнянь. При побудові цих алгоритмів використовується метод ‚‚геометричного паралелізму'', значна увага приділяється мінімізації комунікаційних утрат. Розглянуто паралельні процеси при двох видах упорядкування невідомих: природному і червоно-чорному. Для запропонованих паралельних алгоритмів одержано формули їх ефективності, на основі яких проведено аналіз цих алгоритмів. Визначені структури комунікаційних мереж MIMD-комп'ютерів, з допомогою яких вони можуть бути ефективно реалізовані.

В підрозділі 6.2 побудовані і досліджені різницеві схеми для двовимірної задачі терії пружності в переміщеннях при заданих на границі області напругах. Розглянуто різницеві задачі для вище зазначеної задачі теорії пружності з єдиним розв'язком без додаткових умов на клас функцій. Із умови мінімума різницевого аналогу функціоналу (32) для двовимірної задачі теорії пружності одержано різницеву задачу

,

Оператор самоспряжений і додатно означений в , тому існує єдиний розв'язок задачі (54). Причому, мінімальне власне значення оператора оцінюється знизу сталою.

Зроблено висновки відносно використання методів розв'язування одержаних різницевих задач, що апроксимують задачу Неймана для лінійних еліптичних рівнянь і задачу теорії пружності в переміщеннях при заданих на границі області напругах. Так, різницеві задачі, що одержані з допомогою спрощеної регуляризації, пропонується розв'язувати прямими методами, а різницеві задачі, що одержані методом апроксимації функціоналу варіаційної задачі з єдиним розв'язком на всьому просторі ітераційними.



ВИСНОВКИ

В результаті виконання роботи:

1.Створено теоретичні основи побудови чисельних методів лінійної алгебри в напрямку розв'язування математичних задач, до яких приходять при математичному моделюванні явищ, процесів, систем в різних предметних областях, а саме, досліджено властивості зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків як з додатно означеними, так із виродженими вагами, що є внеском в теорію зваженої псевдоінверсії і теоретичною основою побудови методів розв'язування ряда задач лінійної алгебри: обчислення зважених псевдообернених матриць, ML-зважених псевдообернених матриць, зважених нормальних псевдорозв'язків, ML-зважених нормальних псевдорозв'язків, L-псевдорозв'язків, Lg-псевдорозв'язків, розв'язків задач зважених найменших квадратів, розв'язування задач найменших квадратів з обмеженнями.

2. Побудовано і досліджено ітераційні методи для обчислення зважених псевдообернених матриць і зважених нормальних псевдорозв'язків. Показано, що розроблені ітераційні методи можна адаптувати для розв'язування інших задач лінійної алгебри, до яких приходять при математичному моделюванні явищ, процесів, систем в різних предметних областях.

3. Побудовано нові математичні моделі для усталених процесів різної фізичної природи, класичні математичні моделі яких сформульовані у вигляді умовно коректних крайових задач для лінійних еліптичних рівнянь. На основі нових математичних моделей розроблена методологія одержання методами скінченних елементів і скінченних різниць та дослідження дискретних моделей задач, що апроксимують названі вище крайові з наближено заданими вхідними даними. Запропоновано дискретні задачі двох типів, одні з яких доцільно розв'язувати прямими методами, а другі - ітераційними.

4. Для задачі Неймана для квазілінійного еліптичного рівняння другого порядку сформульована та досліджена задача визначення єдиного узагальненого розв'язку без додаткових умов на клас функцій, на основі чого запропоновано метод одержання і дослідження різницевих схем, що апроксимують цю задачу.

5. Визначено зв'язок між узагальненими сітковими функціями Гріна оператора різницевої задачі Неймана для рівняння Пуаcсона і елементами зваженої псевдооберненої матриці до матриці, що відповідає цьому різницевому оператору.

6. Побудовані та досліджені паралельні алгоритми ітераційних методів для обчислення зважених нормальних псевдорозв'язків і розв'язування сіткових рівнянь.



ОСНОВНІ ПОЛОЖЕННЯ ДИСЕРТАЦІЇ ОПУБЛІКОВАНІ В ТАКИХ ПРАЦЯХ

Галба Е.Ф., Семенченко С.П. Численное решение задачи Неймана для уравнения Пуассона// Численный анализ и вопросы оптимизации вычислений.- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1976.- С. 3 - 12.

Молчанов И.Н., Хойер Г., Галба Е.Ф. Численное решение плоской статической задачи теории упругости в анизотропном случае// Вычисл. и прикл. математика: Республиканский межведомственный научный сборник.- Киев: Вища школа, 1977.- №31.- С. 9 - 23.

Галба Е.Ф. О сходимости регуляризованной разностной схемы для задачи Неймана// Численный анализ.- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1978.- С. 59 - 64.

Галба Е.Ф. Попеременно-треугольный метод для разностной задачи теории упругости в прямоугольнике// Оптимизация вычислений и численный анализ.- Киев: Ин-т кибернетики АН УССР, 1980. - С. 49 - 54.

Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. О сходимости разностных схем для второй краевой задачи теории упругости// Докл. АН УССР.- 1982.- Сер.А, №11.- С. 11 - 14.

Molchanov I.N., Galba E.F. Difference methods for elliptic partial differential equations with nonunique solutions// SIAM J. Numer. Anal.- 1982.- 19, №3.- P. 531 - 547.

Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Взвешенное псевдообращение комплексных матриц// Укр. матем. журн. - 1983.- 35, №1.- С. 53 - 57.

Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. О точности метода сеток в задаче Неймана// Вычисл. и прикл. математика: Республиканский межведомствен-ный научный сборник.- Киев: Вища школа, 1983.-№50.- С. 61 - 66.

Молчанов И.Н., Галба Е.Ф., Степанец Н.И. Реализация итерационных методов на многопроцессорной ЭВМ с параллельной организацией вычислений// Кибернетика.- 1983.-№4.- С. 18 - 23.

Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Дискретизация задачи Неймана методом конечных элементов// Докл. АН УССР.- 1984.- Сер.А, №12.- С. 17 - 19.

Галба Е.Ф. О попеременно-треугольном методе для решения третьей краевой задачи// Численные методы и их оптимизация.- Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1984.- С. 72 - 78.

Molchanov I.N., Galba E.F. On finite element methods for the Neumann problem// Numer. Math.- 1985.- 46, №4.- P. 587 - 598.

Молчанов И.Н., Галба Е.Ф. Вариационные постановки второй краевой задачи теории упругости// Докл. АН УССР.- 1986.- Сер.А, №8.- С. 17 - 20.

Галба Е.Ф. О сходимости разностных схем для плоской задачи теории упругости с разрывными коэффициентами// Оптимизация вычислений и численные методы.- Киев: Ин-т кибернетики им. В.М. Глушкова АН УССР, 1987.- С. 7 - 11.

...