Размещено на http://www.allbest.ru/

29

Размещено на http://www.allbest.ru/

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Оренбургский государственный университет"

Колледж электроники и бизнеса

Кафедра физико-математических дисциплин

С.А. Курманова

МАТЕМАТИКА

Методические указания к практическим работам

Рекомендовано к изданию Редакционно-издательским советом

Федерального государственного бюджетного образовательного

учреждения высшего профессионального образования

"Оренбургский государственный университет"

Оренбург 2012



УДК

ББК

Рецензент

Заведующий кафедрой физико-математических дисциплин КЭиБ ОГУ

Т.В. Атяскина

Курманова С.А.

Математика [Текст]: методические указания к практическим работам. / С.А. Курманова. - Оренбург: Колледж электроники и бизнеса ОГУ, 2011. - 46 с.

Методические указания предназначены для выполнения практических работ, обеспечивающих учебный процесс по дисциплине «Математика» в колледже электроники и бизнеса ОГУ для студентов 4 курса в 7 семестре специальности 080501,52 «Менеджмент» очной формы обучения.

Методические указания составлены с учетом Государственного образовательного стандарта среднего профессионального образования по направлению подготовки дипломированных специалистов - утвержденного 12.08.2003 Министерством Образования Российской Федерации.

Курманова С.А., 2012

ГОУ ОГУ, 2012

Содержание

Введение

Практическая работа №1 Матрицы. Действия над матрицами

Практическая работа №2 Различные методы вычисления определителей 2 и 3 порядков

Практическая работа №3 Обратная матрица. Ранг матрицы

Практическая работа № 4 Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Практическая работа № 5 Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Практическая работа №6 Решение системы трех линейных алгебраических уравнений при помощи обратной матрицы

Практическая работа №7 Моделирование задач линейного программирования

Практическая работа №8 Решение задач линейного программирования графическим методом

Практическая работа №9 Решение задач линейного программирования симплекс методом

Практическая работа №10 Двойственная задача линейного программирования

Практическая работа №11 Решение транспортных задач методом северо-западного угла

Практическая работа №12 Решение транспортных задач методом минимального элемента

Практическая работа №13 Решение транспортных задач методом потенциалов

Список используемых источников

Введение

математическое моделирование экономические системы

Изучение дисциплины «Математика» имеет цель формирования у студентов теоретических знаний и умений в области практического использования математических методов, развитие способности к логическому и алгоритмическому мышлению.

Основные задачи курса:

- научить студентов приемам исследования и решения математически сформулированных задач;

- выработать у студентов умение анализировать полученные результаты;

- сформировать у будущих специалистов теоретические знания и практические навыки по применению математического моделирования для исследования сложных экономических систем, а также построения надежных моделей экономических процессов с целью обоснования принимаемых решений;

- привить студентам навыки самостоятельного изучения литературы по практическому применению математических методов.

В результате изучения дисциплины студент должен:

- иметь представление о роли и месте математики в современном мире, общности ее понятий и представлений;

- основные понятия линейной алгебры, виды задач линейного программирования и алгоритм их моделирования;

- решать системы уравнений с несколькими переменными, моделировать и решать несложные задачи линейного программирования.

Студенты должны получить базовые знания и навыки математического моделирования. Они должны уметь применять их в моделировании экономических процессов. В данном курсе студенты должны освоить методы математического программирования.

Курс основан на знаниях, полученных студентами в области экономической теории, статистики, линейной алгебры и математического анализа и др.

Курс рассчитан на 34 часа лекций и 30 часов практических занятий. Промежуточная оценка знаний и умений студентов проводится с помощью, самостоятельных работ, которые включают в себя основные проблемы курса. Завершается изучение дисциплины «Математика» сдачей экзамена.



Практическая работа №1. Матрицы. Действия над матрицами

Краткая теоретическая справка

Матрицей размерности m n называется прямоугольная таблица, состоящая из m·n элементов (m строк и n столбцов):

A_mn =, где a_ij - элементы матрицы,

i = 1,2,…, m - номер строки, j = 1,2,…, n - номер столбца.

Для краткости матрицу обозначают одной буквой, например, буквой А.

Некоторые виды матриц:

1) нулевая матрица: матрица, все элементы которой равны нулю;

2) при n = 1 матрица-столбец: X = ;

3) при m = 1 матрица-строка: Y = ;

4) при m = n квадратная матрица: A_nn = .

У квадратной матрицы различают главную диагональ (соединяющую элементы a₁₁ и a_nn ) и побочную диагональ.

Примеры квадратных матриц:

1) единичная матрица (квадратная матрица, на главной диагонали которой

стоят единицы, а остальные элементы - нули):

E =;

2) квадратная матрица второго порядка: ;

3) квадратная матрица третьего порядка: .

Две матрицы А и В называются равными, если они имеют одинаковые размерности и их соответствующие элементы равны:

A_mn = B_mn a_ij = b_ij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n).

Если у матрицы А строки заменить соответствующими столбцами, то получим так называемую транспонированную матрицу, которую обозначают A^T.

Линейные операции над матрицами

Умножение матрицы A на число k:

B = kA=,

или, в краткой записи:

B = kA b_ij = ka_ij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (1)

Сложение (вычитание) матриц A и B одинаковой размерности:

C_mn = A_mn B_mn c_ij = a_ij b_ij (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, n). (2)

Произведение матриц A_mn и B_nk:

C_mk = A_mn B_nk

c_ij = a_i1b_1j + a_i2b_2j + + a_inb_nj (i = 1,2,…, m; j = 1,2,…, k). (3)

Формулу (3) легко запомнить, как правило умножения «строка на столбец»: произведение матриц A_mn и B_nk есть матрица C_mk, у которой элемент c_ij равен сумме произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы В.

Замечание. Перемножать можно только соответственные матрицы А и В, т.е.число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы В.

Если задан многочлен , то матричным многочленом называется выражение

,

где А - квадратная матрица, и Е - единичная матрица той же размерности, что и А. Значением матричного многочлена является матрица.

Пример. Даны многочлен f(x) и матрица А:

Требуется найти значение матричного многочлена f (A).

Решение:

Записываем матричный многочлен: Здесь Е - единичная матрица той же размерности, что и А, т.е. 3-го порядка.

Найдем матрицу A². При умножении матрицы A на себя используем правило «строка на столбец» (формула (3)):



A² = A·A =

Найдем матрицу 2Е, используя правило умножения матрицы на число (формула (1)):

E =

Теперь найдем значение матричного многочлена f(A), используя правило умножения матрицы на число и правило сложения матриц (формула (22)):

Ответ:

Варианты заданий

Задание 1. Даны матрицы А, В, С, D. Найти P=(2А-3В)C.

1.;

2. ;

3.

4.

5.

6. ;

7.

8. ;

9.

10.

Задание 2. Даны многочлен f(x) и матрица А. Требуется найти значение матричного многочлена .

№ варианта	Многочлен f(x)	Матрица А
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

Вопросы для самопроверки

1. Что называется матрицей?

2. Перечислите виды матриц и охарактеризуйте каждый из них.

3. Какие действия можно выполнять над матрицами?

4. Перечислите свойства операции умножения матриц.

5. Какие преобразования матриц называются элементарными?

6. Если матрицы А и В можно умножать, следует ли из этого, что их можно складывать?

7. Если матрица А неквадратная, может ли существовать такая матрица В, что:

а) ВА=Е?

б) АВ=Е?

Практическая работа №2. Различные методы вычисления определителей 2 и 3 порядков

Краткая теоретическая справка

Определитель второго порядка (определитель квадратной матрицы второго порядка):

det A == a₁₁ a₂₂ - a₁₂ a₂₁-. (4)

Для краткости определитель обозначают: |A| или Д.

Минором элемента a_ij определителя называется определитель, который получается из исходного путем вычеркивания i-й строки и j-го столбца (обозначается M_ij).

Алгебраическим дополнением элемента a_ij определителя (обозначается A_ij) называется число:

A_ij = (-1)^i+j M_ij. (6)



Определитель третьего порядка можно вычислить, используя его разложение по 1-й строке:

, (7)

или, в краткой записи:

,

т.е. определитель равен сумме произведений элементов первой строки на их алгебраические дополнения. Аналогично можно записать разложение определителя по любой другой строке или столбцу.

При вычислении определителя третьего порядка пользуются правилом Саррюса:

К определителю приписывают два первых столбца: со знаком «+» берутся произведения трех элементов, стоящих на главной диагонали и на прямых, ей параллельной;

Со знаком «-» - произведения трех элементов, стоящих на второстепенной диагонали и прямых, ей параллельной.

Этот же способ обычно называют «методом треугольника» и вычисления производят по следующей схеме:

Со знаком «+»: ; Со знаком «-»:

.

главная диагональ. второстепенная диагональ

Пример . Вычислить

Решение:

?= 3·6·(-2) + 1·1·0 +5·5·4 - 4·6·0 - 5·1·3 - 5·1·(-2) = -36 +100 - 15 +10 = 59.

Варианты заданий

Задание 1. Для матрицы третьего порядка вычислите ее определитель

и определитель матрицы, транспонированной к данной.

1. ;2. ;3. ;

4. ;5. ;6. ;

7. ;8. ; 9. ;

10. .

Задание 2. Вычислите определитель четвертого порядка

1. ;2.;3. ;

4. ;5. ;6. ;

7. ;8. ;9. ;

10. .

Вопросы для самопроверки

1. Что называется определителем второго, третьего, п-го порядка?

2. Сформулируйте свойства определителей.

3. Покажите методы вычисления определителей (на примере определителей третьего порядка).

4. Может ли определитель изменить знак на противоположный при транспонировании матрицы?

5. Сколько всего миноров у квадратной матрицы п-го порядка?

6. Что называется минором матрицы А=(а_ij)?

7. Можно ли вычислять миноры, дополнительные к элементам неквадратной матрицы?

8. Дайте определение алгебраического дополнения матрицы А=(а_ij).

9. Верно ли, что:

а) если , то ;

б) если , то ;

в) если , то ;

г) ?



Практическая работа № 3. Обратная матрица. Ранг матрицы.

Краткая теоретическая справка

Алгоритм вычисления обратной матрицы:

1. Найти определитель исходной матрицы. Если = 0, то матрица А - вырожденная и обратная ей матрица не существует. Если , то матрица А - невырожденная и обратная матрица существует.

2. Найти матрицу , транспонированную к матрице А.

3. Найти алгебраические дополнения элементов транспонированной матрицы , , и составить из них присоединенную матрицу

: , , .

4. Вычислить обратную матрицу по формуле:

.

5. Проверить правильность вычисления обратной матрицы , исходя из ее определения: .

Вычисление обратной матрицы методом Гаусса:

1) к матрице А приписать справа единичную матрицу Е той же размерности;

2) путем преобразований методом Гаусса над строками расширенной матрицы (А | E) матрица А приводится к единичной матрице;

3) в результате вычислительного процесса на месте приписанной справа матрицы Е получится обратная матрица .

Схематично процесс нахождения обратной матрицы выглядит следующим образом: (А | E) (E |).

Пример . Найти обратную матрицу методом Гаусса для .

Решение:

1.Составим расширенную матрицу .

2. Элементы первой строки умножим на (- 3) прибавим соответственно к элементам второй строки, получим . Затем элементы второй строки прибавим соответственно к элементам первой строки, получим . При выполнении следующего преобразования элементы второй строки умножим на (-1/2). В результате получим матрицу .

3. Итак, обратная матрица имеет вид .

Ранг матрицы

Число r единиц, стоящих на главной диагонали канонической матрицы , не зависит от способа приведения матрицы А к каноническому виду и называется рангом исходной матрицы А: r(A) = r. Эквивалентные матрицы имеют один и тот же ранг.

Рангом матрицы А называется наибольший порядок отличного от нуля минора.

Метод элементарных преобразований нахождения ранга матрицы заключается в том, что матрицу А приводят к ступенчатому виду с помощью элементарных преобразований; количество ненулевых строк полученной ступенчатой матрицы есть искомый ранг матрицы А.

Метод окаймляющих миноров нахождения ранга матрицы А состоит в следующем. Необходимо:

1. Найти какой-нибудь минор М₁ первого порядка (т.е. элемент матрицы), отличный от нуля; если такого минора нет, то матрица А нулевая и ее ранг r(A)= 0.

2. Вычислять миноры второго порядка, содержащие М₁ (окаймляющие М₁), до тех пор, пока не найдется минор М₂, отличный от нуля. Если такого минора нет, то ее ранг r(A) = 1; если есть, то . И т.д.

Вычислять (если они существуют) миноры k-го порядка, окаймляющие минор . Если таких миноров нет или они равны нулю, то , если есть хотя бы один минор , то и процесс вычисления продолжается.

При нахождении ранга матрицы таким способом достаточно на каждом шаге найти всего один ненулевой минор k-го порядка, причем искать его необходимо только среди миноров, содержащих минор

Пример 1. Найти ранг матрицы

.

Решение:

Приведем матрицу А к каноническому виду путем элементарных преобразований. Прибавляя к элементам первого столбца элементы третьего, а из элементов третьего вычитая элементы второго столбца соответственно, получим

А~.

Умножим элементы первого столбца на , затем вычтем из элементов третьей строки элементы первой строки соответственно:



А~~ .

Из элементов третьей строки вычтем элементы второй, умноженные на 4, а затем к элементам второго и третьего столбцов прибавим элементы первого столбца, умноженные соответственно на 3 и на 1:

А~~.

Таким образом, ранг матрицы А равен 2.

Пример 2. Найти ранг матрицы методом окаймляющих миноров.

.

Решение:

Рассмотрим минор первого порядка , следовательно, ранг матрицы .

Далее рассмотрим минор второго порядка: , т.к. минор второго порядка отличен от нуля, то . Найдем значение минора третьего порядка:

,

следовательно, ранг матрицы равен 3, т.е. .

Варианты заданий

Задание 1. Найдите матрицу, обратную данной матрице двумя способами. Проверьте результат, вычислив произведение взаимно обратных матриц.

1. ;2. ;

3. ;4. ;

5. ;6. ;

7. ;8. ;

9. ;10. .

Задание 2. Вычислить ранг матрицы двумя способами.

1. ;2. ;

3. ;4. ;

5. ;6. ;

7. ;8. ;

9. ;10. 

Вопросы для самопроверки

1. Дайте определение ранга матрицы.

2. Может ли ранг матрицы быть равным нулю? Меньше нуля? Равным 2,5?

3. Как может измениться ранг матрицы при транспонировании?

4. Докажите, что у матрицы ранга, равного одному, все строки (столбцы) пропорциональны.

5. В чем заключается алгоритм нахождения ранга матрицы методом окаймляющих миноров и элементарных преобразований?

Практическая работа № 4. Системы линейных алгебраических уравнений. Решение систем линейных уравнений методом Гаусса.

Краткая теоретическая справка

Система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет вид

(4)

где - коэффициенты системы, - свободные члены .

Определитель третьего порядка Д, составленный из коэффициентов при неизвестных, называется определителем системы.

Одним из наиболее универсальных методов решения систем линейных алгебраических уравнений является метод Гаусса, состоящий в последовательном исключении неизвестных.

Процесс решения методом Гаусса состоит из двух этапов.

На первом этапе (прямой ход) система приводится к ступенчатому виду (в частности, к треугольному) виду.

Для исходной системы т алгебраических уравнений п неизвестными

система в ступенчатом виде может быть представлена следующим образом:

где , , . Коэффициенты называются главными элементами системы.

На втором этапе (обратный ход) происходит последовательное нахождение неизвестных из этой ступенчатой системы.

Пример 1. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение:

Здесь

.



Расширенная матрица системы имеет вид

.

Выполним прямой ход метода Гаусса.

Шаг 1. Для удобства вычислений поменяем местами первую и вторую строки:

.

Так как , то умножая первую строку на (-2) и на (-1) и прибавляя полученные строки соответственно ко второй и третьей строкам, исключим переменную из всех строк, начиная со второй:

.

Шаг 2. Так как , то умножим вторую строку на (-3/5) и прибавим к третьей, таки образом исключим переменную из третьей строки:

.

Получили систему уравнений, соответствующую последней матрице:

откуда, используя обратный ход метода Гаусса, найдем из третьего уравнения ; из второго уравнения найдем ; из первого уравнения .

Ответ: (3; -5; 2).

Пример 2. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса:

Решение:

Здесь

.

Расширенная матрица системы имеет вид

.

Выполним прямой ход метода Гаусса. Для этого произведем элементарные преобразования над строчками расширенной матрицы системы:

? ? ?

Полученная матрица соответствует системе

Выполним обратный ход метода Гаусса, найдем значения неизвестных: , , .

Ответ: (1; 1; 1).

Варианты заданий

Задание. Найдите все решения однородной системы линейных уравнений методом Гаусса.

1. а);б);

2. а) ;б) ;

3. а) ;б) ;

4. а) ;б) ;

5. а);б) ;

6. а);б);

7. а);б).;

8. а);б);

9. а);б);

10. а);б)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом Гаусса.

2. К системе линейных уравнений с п неизвестными дописали произвольное уравнение с п неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?

3. Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих систем?

4. Докажите, что система п линейных уравнений с п-1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда равен нулю определитель расширенной матрицы.

5. Дайте определение системы линейных однородных уравнений.

Практическая работа №5. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными методом Крамера

Краткая теоретическая справка

Пусть дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными :

(8)

(коэффициенты a_ij и свободные члены b_j для i = 1, 2, 3, j = 1, 2, 3 считаются заданными).

Тройка чисел называется решением системы (8), если в результате подстановки этих чисел вместо все три уравнения системы обращаются в тождества.

Систему (8) можно переписать в матричном виде:

, или AX = B,

где A - это матрица коэффициентов при неизвестных, Х - столбец неизвестных, В - столбец свободных членов:

Составим определитель матрицы А и три вспомогательных определителя:

(9)

Определитель Д называется главным определителем системы (8). Вспомогательные определители Д₁, Д₂ и Д₃ получаются из Д заменой элементов соответственно первого, второго и третьего столбцов столбцом свободных членов.

Если определитель , то существует единственное решение системы (28) и оно выражается формулами:

(10)

Формулы (10) называются формулами Крамера.

Пример. С помощью формул Крамера найти решение системы линейных уравнений

Решение:

Вычислим определитель системы

.

Так как Д ? 0, то решение системы может быть найдено по формулам Крамера. Для этого найдем :

.

Подставляя найденные значения определителей в формулы Крамера, получим искомое решение системы: .

Варианты заданий

Задание. Решите систему линейных уравнений по формулам Крамера.

1.а) ;б) ;

2. а) ;б) ;

3. а) ; б);

4. а) ; б) ;

5. а) ; б) ;

6. а) ; б) ;

7. а) ; б) ;

8. а) ; б) ;

9. а) ; б) ;

10. а); б)

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений с помощью формул Крамера.

2. К системе линейных уравнений с п неизвестными дописали произвольное уравнение с п неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?

3. Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих систем?

4. Докажите, что система п линейных уравнений с п-1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда равен нулю определитель расширенной матрицы.

5. Возможно ли, чтобы система линейных уравнений имела решение методом Гаусса, но не имела решения с помощью формул Крамера?

6. Дайте определение системы линейных однородных уравнений.



Практическая работа №6. Решение системы трех линейных алгебраических уравнений при помощи обратной матрицы

Краткая теоретическая справка

Присоединенной (союзной) матрицей к квадратной матрице

А= называется матрица

, (11)

где - алгебраические дополнения элементов определителя матрицы А.

Матрица называется обратной к квадратной матрице А, если выполнено условие: , где Е - единичная матрица той же размерности, что и А.

Обратная матрица существует тогда и только тогда, когда квадратная матрица А - невырожденная, т.е..

Чтобы найти обратную матрицу , необходимо:

а) проверить невырожденность матрицы А, вычислив определитель detA;

б) найти союзную матрицу А^* к матрице А;

в) найти обратную матрицу по формуле:

. (12)

Если систему линейных алгебраических уравнений (28) переписать в матричном виде AX = B, то ее решение можно получить матричным способом, т.е. при помощи обратной матрицы:

, (13)

где - обратная матрица для данной матрицы А.

Пример. Дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными:

Требуется:

1) записать систему в матричном виде;

2) решить систему при помощи обратной матрицы.

Решение:

1) Запишем систему в матричном виде:

2)

, или AX = B, где

(Во втором уравнении системы отсутствует неизвестная х₃, т.е. а₂₃ = 0).

2) Решим систему при помощи обратной матрицы.

a) Определитель следовательно, обратная матрица существует.

б) Чтобы найти союзную матрицу А^* к матрице А, необходимо вычислить по формулам (6) алгебраические дополнения всех ее элементов:

Здесь определители 2-го порядка вычислены по формуле (4).

Тогда союзная матрица (см. формулу (11)):

в) Найдем обратную матрицу по формуле (12):

г) Получим решение системы при помощи обратной матрицы по формуле (13) (правило «строка на столбец»):

.

Решение, полученное матричным способом, совпадает с тем, которое получено по формулам Крамера, что подтверждает правильность этого решения.

Ответы:

1) система в матричном виде: AX = B, где

;

2) решение системы, полученное с помощью формул Крамера:

;

3) решение системы, полученное при помощи обратной матрицы:

.

Варианты заданий

Задание. Дана система трех линейных алгебраических уравнений с тремя неизвестными.

Требуется:

1) записать систему в матричном виде;

2) решить систему при помощи обратной матрицы.

1. а);б) ;

2. а) ;б) ;

3. а) ;б) ;

4. а) ;б) ;

5. а) ;б) ;

6. а) ;б) ;

7. а) ;б) ;

8. а) ;б) ;

9. а) ;б) ;

10. а) ; б) .

Вопросы для самопроверки

1. Сформулируйте алгоритм решения систем линейных уравнений методом обратной матрицы.

2. К системе линейных уравнений с п неизвестными дописали произвольное уравнение с п неизвестными. Как при этом изменится множество решений системы?

3. Множества решений двух систем линейных уравнений совпадают. Равны ли расширенные матрицы этих систем? Равны ли ранги этих систем?

4. Докажите, что система п линейных уравнений с п-1 неизвестными совместна тогда и только тогда, когда равен нулю определитель расширенной матрицы.

5. Дайте определение системы линейных однородных уравнений.

6. Дайте определение фундаментальной системы решений линейных однородных уравнений.

Практическая работа №7 Моделирование задач линейного программирования

Пример задачи. Фирма выпускает 2 вида мороженного: сливочное и шоколадное. Для изготовления используются 2 исходных продукта: молоко и наполнители, расходы которых на 1 кг мороженного и суточные запасы исходных продуктов даны в таблице.

Исходный продукт	Расход исходных продуктов на 1 кг мороженного	Запас, кг
	Сливочное	Шоколадное
Молоко	0.8	0.5	400
Наполнители	0.4	0.8	365

Изучение рынка сбыта показало, что суточный спрос на сливочное мороженное превышает спрос на шоколадное мороженное не более чем на 100 кг. Кроме того, установлено, что спрос на шоколадное мороженное не превышает 350 кг в сутки. Отпускная цена 1 кг сливочного мороженного 16 ден.ед., шоколадного - 14 ден.ед. Определить количество мороженого каждого вида, которое должна производить фирма, чтобы доход от реализации продукции был максимальным.

Решение задачи:

Составляем математическую модель задачи.

Вводим обозначения (переменные величины):

х ₁ - суточный объем выпуска сливочного мороженного, кг;

х ₂ - суточный объем выпуска шоколадного мороженного, кг

Целевая функция:

f = 16 х ₁ + 14 х ₂>max

при ограничениях:

0.8 х ₁ + 0.5 х ₂ ? 400 (ограничение по молоку);

0.4 х ₁ + 0.8 х ₂ ? 365 (ограничение по наполнителям);

х ₁ + х ₂ ? 100 (рыночное ограничение по спросу);

х ₂ ? 350 (рыночное ограничение по спросу);

х ₁ ? 0, х ₂ ? 0

Варианты заданий

Задание. Составить математическую модель задачи:

1. Нефтеперерабатывающая установка может работать в двух различных режимах. При работе в первом режиме из одной тонны нефти производиться 300 кг темных и 600 кг светлых нефтепродуктов; при работе во втором режиме - 700 кг темных и 200 кг светлых нефтепродуктов. Ежедневно на этой установке необходимо производить 110 т темных и 70 т светлых нефтепродуктов. Это плановое задание необходимо ежедневно выполнять, расходуя минимальное количество нефти. Сколько тонн нефти следует ежедневно перерабатывать в первом и во втором режиме, чтобы ежедневный расход нефти был минимальным?

2. Чулочно-носочная фирма производит и продает два вида товаров: мужские носки и женские чулки. Фирма получает прибыль в размере 10 руб. от производства и продажи одной пары чулок и в размере 4 руб. от производства и продажи одной пары носков. Производство каждого изделия осуществляется на трех участках. Затраты труда (в часах) на производство одной пары указаны в следующей таблице для каждого участка:

Участок производства	Чулки	Носки
1	0,02	0,01
2	0,03	0,01
3	0,03	0,02

Руководство рассчитало, что в следующем месяце фирма ежедневно будет располагать следующими ресурсами рабочего времени на каждом из участков: 60 ч на участке 1; 70 ч на участке 2 и 100 ч на участке 3. Сколько пар носков и чулок следует производить ежедневно, если фирма хочет максимизировать прибыль?

3. После предпринятой рекламной компании фирма «Отдых» испытывает рост спроса на два типа мангалов для приготовления шашлыков на открытом воздухе - газовые и угольные. Фирма заключила контракт на ежемесячную поставку в магазины 300 угольных и 300 газовых мангалов. Производство мангалов ограничивается мощностью следующих трех участков: производства деталей, сборки и упаковки. В таблице показано, сколько человекочасов затрачивается на каждом участке на каждую единицу продукции, а также приведен допустимый ежемесячный объем трудозатрат:

Участок	Трудозатраты на производство одного мангала, ч	Фонд времени, человекочасы
	угольного	газового
Производство	5	8	2600
Сборка	0,8	1,2	400
Упаковка	0,5	0,5	200

Фирма «Отдых» не может обеспечить выполнение контракта своими силами. Поэтому она провела переговоры с другим производителем, который в настоящее время располагает избыточными мощностями. Этот производитель согласился поставлять фирме «Отдых» в любом количестве угольные мангалы по 3 тыс. руб. за штуку и газовые мангалы по 5 тыс. руб. за штуку. Эти цены превышают себестоимость мангалов на заводе фирмы «Отдых» на 1,5 тыс. руб. за каждый угольный мангал и на 2 тыс. руб. за каждый газовый мангал. Задача фирмы «Отдых» состоит в том, чтобы найти такое соотношение закупаемых и производимых мангалов, которое обеспечило бы выполнение контракта с минимальными общими затратами.

4. В аптеке продаются поливитамины пяти наименований. Каждый поливитамин содержит витамины и вещества, наиболее важные для пациента, перенесшего простудное заболевание. Необходимо определить, какие поливитамины, и в каком количестве следует принимать пациенту для восстановления нормальной работоспособности. В следующей таблице указано количество витаминов и веществ (мг), которое должен получить пациент за весь курс лечения, а также данные о содержании витаминов и веществ в поливитаминах (в мг на 1 г) и цены на 1 г поливитаминов (в руб.):

ВитаминПоливитамин	1	2	3	4	5	Необходимо
А	1,1	1,2	1,8	1,1	1,3	250
В	0,9	1,1	0,7	1	1,1	128
С	50	60	40	30	60	7000
Железо	24	45	18	12	37	3700
Кальций	210	340	150	260	300	32000
Цена	3,4	4,3	2,4	2,2	3,7

Определите, какие поливитамины следует принимать, чтобы с минимальными затратами пройти курс лечения.

5. Предприятие располагает ресурсами сырья, рабочей силы и оборудованием, необходимыми для производства любого из четырех видов производимых товаров. Затраты ресурсов на изготовление единицы каждого вида товара и прибыль, получаемая предприятием, а также объем ресурсов указаны в таблице.

Ресурсы	Затраты ресурсов на 1 ед. товара	Объем ресурсов
	1	2	3	4
Сырье, кг	3	5	2	4	60
Рабочая сила, чел.	22	14	18	30	400
Оборудование, станко-ч	10	14	8	16	130
Прибыль на 1 ед.товара, руб.	30	25	56	48

Составить план выпуска товаров, дающий максимальную прибыль.

6. Для изготовления трех видов изделий (А,В и С) фабрика расходует в качестве сырья сталь и цветные металлы, имеющиеся в ограниченном количестве. На изготовлении указанных изделий заняты токарные и фрезерные станки. В таблице приведены объем ресурсов, которыми располагает предприятие, и нормы расхода перечисленных ресурсов на единицу изделия. Кроме того, в последней строке таблицы указана прибыль предприятия от продажи единицы каждого изделия. Определить план выпуска продукции, при котором будет получена максимальная прибыль.

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на единицу изделия	Объем ресурсов
	А	В	С
Сталь, кг	10	70	10	57000
Цветные металлы, кг	20	50	10	49000
Токарные станки,	300	400	100	560000
Фрезерные станки,	200	100	100	340000
Прибыль, тыс.руб.	3	8	2

7. При составлении суточного рациона кормления скота можно использовать сено свежее (не более 50 кг) и силос (е более 85 кг). Рацион должен обладать определенной питательностью (число кормовых единиц не менее 30) и содержать питательные вещества: белок( не менее 1 кг), кальций (не менее100 г) и фосфор (не менее80 г). В таблице приведены данные о содержании указанных компонентов в 1 кг каждого продукта питания и стоимость этих продуктов.

Продукт	Количество кормовых единиц	Белок, г/кг	Кальций, г/кг	Фосфор, г/кг	Стоимость 1 кг, руб.
Сено свежее	0,5	40	1,25	2	1,2
Силос	0,5	10	2,5	1	0,8



8. Обработка деталей А и В может производиться на трех станках. Причем каждая деталь при ее изготовлении должна последовательно обрабатываться на каждом из станков. Прибыль от реализации детали А - 100 ден. ед., детали В - 160 ден. ед. Исходные данные приведены в таблице. Определить производственную программу, максимизирующую прибыль при условии: спрос на деталь А не менее 300 шт., на деталь В - не более 200 шт.

Станок	Норма времени на обработку одной детали, ч	Время работы станка, ч
	А	В
1	0,2	0,1	100
2	0,2	0,5	180
3	0,1	0,2	100

9. Фирма выпускает изделия двух типов, А и В. При этом используется сырье четырех видов. Расход сырья каждого вида на изготовление единицы продукции и запасы сырья заданы в таблице.

Изделие	Сырье
	1	2	3	4
А	2	1	0	2
В	3	0	1	1

Запасы сырья 1-го вида составляют 21 ед., 2-го вида - 4 ед., 3-го вида - 6 ед. и 4-го вида - 10 ед. Выпуск одного изделия типа А приносит доход 300 ден. ед., одного изделия типа В - 200 ден. ед. Составить план производства, обеспечивающий фирме наибольший доход.

10. АО «Механический завод» при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Необходимые исходные данные приведены в таблице. Составить оптимальный план загрузки оборудования, обеспечивающий заводу максимальную прибыль.

Оборудование	Деталь	Полезный фонд времени, станко-ч
	1	2
	Технологический способ
	1	2	1	2
Фрезерное	2	2	3	0	20
Токарное	3	1	1	2	37
Сварочное	0	1	1	4	30
Прибыль, ден.ед	11	6	9	6

Вопросы для самопроверки

1. Предмет математического программирования.

2. Основные этапы решения задачи математического программирования.

3. Краткая классификация моделей и методов математического программирования.

4. Понятие математической модели.

5. Постановка задачи оптимального производственного планирования. Математическая модель.

6. Задача о смесях. Постановка и математическая модель.

7. Задача о раскрое. Постановка и математическая модель.

8. Транспортная задача. Постановка и математическая модель.

9. Этапы решения задачи математического программирования.

Практическая работа №8. Решение задач линейного программирования графическим методом.

Пример. Решить ЗЛП графическим способом.

Требуется найти max L = x₁ + 4x₂,

при ограничениях

Решение:

Запишем уравнения граничных прямых и построим их на плоскости x₁ox₂

Рисунок 1. Решение ЗЛП геометрическим способом

Выделив область решения каждого неравенства системы ограничений, получим многоугольник допустимых решений ЗЛП.

На рис. 1 видно, что областью допустимых решений является многоугольник ONAC.

Построим основную прямую L = 0, то есть x₁ + 4x₂ = 0, проходящую через начало координат O (0,0) перпендикулярно вектору . Перемещая прямую L = 0 в направлении вектора , находим максимальную точку A, в которой пересекаются прямые L₂ и L₃, и координаты которой равны: x₁ = 3, x₂ = 1. Минимальной точкой является точка начала координат.

Итак, O_min (0,0), A_max (3;1). Тогда L_min = 0, L_max = 7

Варианты заданий

Задание. Решить графическим методом следующую ЗЛП:

1. Z = 3x₁ + 5x₂ > min2. Z = 3x₁ + 5x₂ > max

x₁ + x₂ ? 5x₁ + x₂ ? 5

3x₁ - x₂ ? 33x₁ - x₂ ? 3

x₁ ?0, x₂ ?0x₁ ?0, x₂ ?0

3. Z = 2x₁ + 2x₂ > min4. Z = 2x₁ + 2x₂ > max

x₁ + 3x₂ ? 3x₁ + 3x₂ ? 3

-2x₁ + x₂ ? 2-2x₁ + x₂ ? 2

x₁ + x₂ ? 5x₁ + x₂ ? 5

x₁ ?0, x₂ ?0x₁ ?0, x₂ ?0

5. Z = 2x₁ + 3x₂ > min6. Z = -2x₁ + x₂ > min

x₁ + x₂ ? 4x₁ - x₂ ? 3

6x₁ + 2x₂ ? 6x₁ + x₂ ? 9

x₁ + 5x₂ ? 5-x₁ + x₂ ? 3

x₁ ?0, x₂ ?0x₁ + x₂ ? 3/2

x₁ ?0, x₂ ?0

7. Z = 4x₁ + 3x₂ > max8. Z = x₁ + x₂ > max

-x₁ + 3x₂ ? 9-x₁ + x₂ ? 1

2x₁ + 3x₂ ? 18x₁ + 2x₂ ? 10

2x₁ - x₂ ? 10x₁ + 2x₂ ? 2

x₁ ?0, x₂ ?02x₁ + x₂ ? 10

x₁ ?0, x₂ ?0

9. Z = 2x₁ + x₂ > max10. Z = x₁ - 3x₂ > max

x₁ + x₂ ? 8x₁ - x₂ ? 3

3x₁ - 2x₂ ? 122x₁ + x₂ ? 3

-x₁ + 2x₂ ? 8x₁ - 3x₂ ? 1

2x₁ + 3x₂ ? 6x₁ ?0, x₂ ?0

x₁ ?0, x₂ ?0

Вопросы для самопроверки

1. Запишите основную ЗЛП в общем виде.

2. Запишите модель ЗЛП в стандартной и канонической формах. Матричная форма моделей.

3. Как сводится задача минимизации целевой функции к задаче максимизации?

4. Какова геометрическая интерпретация решения линейных неравенств с одной, двумя, тремя переменными?

5. Что называется допустимым решением и ОДР задачи математического программирования?

6. Какова геометрическая интерпретация решения системы линейных неравенств с двумя переменными?

7. Постройте линию уровня целевой функции , соответствующую значению

8. Чем определяется направление скорейшего возрастания целевой функции? Постройте для функции .

9. Что называется оптимальным решением ЗЛП?

Практическая работа №9. Решение задач линейного программирования симплекс методом

Пример. Решить ЗЛП симплексным методом.

х₁0; х₂0; х₃0.

Решение:

Приведем данную ЗЛП к канонической форме. Запишем ограничения - неравенства в форме ограничений - равенств, для чего введем дополнительные переменные х₄, х₅, х₆:

18х₁ + 15х₂ + 12х₃ + х₄ = 360,

6х₁ + 4х₁ + 8х₃ + х₅ = 192,

5х₁ + 3х₂ + 3х₃ +х₆ = 180,

Составим симплекс - таблицу (таблица 1).

В таблице1 (итерация 0) имеем базисное решение Б₁ (0; 0; 0; 360; 192; 180). Данное решение не оптимально, т.к. при Fmax коэффициенты в строке целевой функции должн...