Результаты пересчета представлены в таблице 1 (первая итерация), новое базисное решение Б₂ = (0; 0; 24; 72; 0; 108).

Целевая функция F = 384.

Однако это решение не оптимально, т.к. в строке целевой функции F имеется отрицательный элемент (при переменной х₂). Следовательно, на новом шаге итерации необходимо исключить переменную х₂, а за разрешающий элемент взять = 9, т.к. он дает наименьшее отношение b_i/a_ij.

Пересчитывается таблица относительно разрешающего элемента a_{2, 2} , результаты пересчета представлены в таблице 1 (итерация 2). Все коэффициенты в строке целевой функции положительны. Следовательно, решение оптимально.

Базисное решение (оптимальное)

Б₃ = (0; 8; 20; 0; 0; 96).

Целевая функция

F = 9*0 + 10*8 + 16*20 = 400.

Варианты заданий

Задание. Решить ЗЛП симплексным методом.

1. Z = 5x₁ + 4x₂ + x₃ > max2. Z = 4x₁ + 3x₂ > max

x₁ + 4x₂ + 2x₃ ? 8-x₁ + 3x₂ ? 9

2x₁ + x₂ + x₃ ? 42x₁ + 3x₂ ? 18

x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?02x₁ - x₂ ? 10

x₁ ?0, x₂ ?0

1. Z = 2x₁ + x₂ + 2x₃ > max4. Z = 5x₁ + 4x₂ - x₃ > max

3x₁ + 2x₂ + x₃ ? 6x₁ - 2x₂ + 2x₃ ? 20

x₁ + x₂ + 2 x₃ ? 4x₁ + 4x₂ - x₃ ? 16

x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?0x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?0

5. Z = 4x₁ - x₂ + x₃ > max6. Z = 3x₁ + 5x₂ > min

x₁ + 2x₂ + x₃ ? 20x₁ + x₂ ? 5

2x₁ - x₂ + 2 x₃ ? 103x₁ - x₂ ? 3

x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?0x₁ ?0, x₂ ?0

7. Z = 3x₁ + x₂ + 3x₃ > max8. Z = x₁ + x₂ + x₃ > max

x₁ + 3x₂ + 5x₃ ? 92x₁ + x₂ + x₃ ? 2

2x₁ + 2x₂ + x₃ ? 54x₁ + 2x₂ + x₃ ? 2

x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?0x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?0

9. Z = 2x₁ + x₂ + x₃ > max10. Z = x₁ + 3x₂ + x₃ > max

x₁ + x₂ + x₃ ? 6-x₁ + x₂ + x₃ ? 1

2x₁ - x₂ + x₃ ? 2x₁ + x₂ + x₃ ? 4

x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?0x₁ ?0, x₂ ?0, x₃ ?0

Вопросы для самопроверки

1. В чем заключается идея симплекс-метода?

2. В каком виде должна быть записана модель ЗЛП для решения симплекс-методом?

3. Как построить первое базисное решение? В каком случае оно будет опорным решением ЗЛП?

4. Из каких этапов состоит переход от одного опорного решения к другому?

5. Как определить, какой из столбцов выбирается за разрешающий в симплекс-преобразованиях?

6. Каким образом сохраняется неотрицательность переменных нового базисного решения?

7. Что является критерием оптимальности решения ЗЛП в симплекс-методе?

8. Как определяется текущее значение целевой функции из таблицы?

Практическая работа №10. Двойственная задача линейного программирования

Краткая теоретическая справка

Каждой ЗЛП может быть поставлена в соответствие другая ЗЛП, называемая двойственной. Первоначальная задача называется прямой или исходной.

Пример. Фирма выпускает продукцию A, B, C, D, используя для ее производства три вида ресурсов в количестве соответственно 260, 400, 240 единиц. Расход каждого ресурса на единицу выпускаемой продукции и цена единицы каждого вида продукции заданы таблицей:

Вид ресурса	Объем ресурса	Нормы расхода ресурсов
		A	B	C	D
1	260	2	1	3	1
2	400	1	2	1	2
3	240	2	0	1	2
Цена, у.е.	1	4	2	5

Определить план выпуска продукции, обеспечивающий фирме максимум стоимости выпускаемой продукции, и оценить каждый вид ресурсов. Оценки, приписываемые каждому ресурсу, должны быть такими, чтобы оценка всех ресурсов была минимальной, а суммарная оценка ресурсов, используемых на производство единицы каждого вида продукции, - не меньше цены единицы продукции данного вида.

Решение. Обозначим через план выпуска продукции. Тогда математическая модель задачи нахождения оптимального плана, максимизирующего суммарную стоимость продукции, примет вид:

Поставим в соответствие первому ресурсу оценку y₁, второму - y₂, третьему - y_3. Тогда общая оценка ресурса, используемого на производство продукции, составит:

.

Цель задачи - минимизировать эту величину.

Суммарная оценка ресурса, необходимого для производства единицы продукции А, равна

Согласно условию задачи эта величина должна быть не меньше цены единицы продукции А, т.е.

.



Из аналогичных соображений получаем:

Естественно предположить, что оценки y₁, y₂, y₃ неотрицательны, т.е.

Итак, получаем математическую модель задачи:

которую называют двойственной к задаче оптимального выпуска продукции из имеющихся ресурсов.

Компоненты оптимального плана называют оптимальными оценками ресурсов. Это оценки ресурсов в условиях конкретной задачи. Одни и те же ресурсы для разных предприятий представляют различную ценность. Изменение запасов ресурсов приводит к необходимости их переоценки. Следуя Л.В. Канторовичу, будем называть их объективно обусловленными оценками.



Варианты заданий

Задание. Для изготовления трех видов продукции (A, B, C) используется три вида ресурсов (1, 2, 3). Объем ресурса нормы его расхода на единицу продукции и цена продукции заданы таблицей (номер таблицы соответствует номеру варианта).

По заданной таблице:

1. Составьте математическую модель определения оптимального плана выпуска продукции из условия ее максимальной стоимости.

2. Составьте математическую модель двойственной задачи.

3. Дайте экономическую интерпретацию двойственной задачи.

4. Решите исходную задачу симплекс-методом.

5. Используя теоремы двойственности, найдите оптимальное решение двойственной задачи.

Таблица 1		Таблица 2
Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода		Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода
		А	В	С				А	В	С
1	100	1	6	1		1	100	5	6	7
2	300	1	3	1		2	300	4	5	6
3	250	1	4	3		3	250	7	1	2
Цена продукции	1	4	3		Цена продукции	3	5	6
Таблица 3		Таблица 4
Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода		Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода
		А	В	С				А	В	С
1	120	1	3	2		1	120	8	5	4
2	150	2	1	4		2	150	3	8	1
3	75	3	7	1		3	75	2	5	6
Цена продукции	5	10	12		Цена продукции	5	10	12
Таблица 5		Таблица 6
Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода		Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода
		А	В	С				А	В	С
1	125	2	1	1		1	125	3	4	6
2	175	3	2	1		2	175	5	4	3
3	250	1	4	3		3	250	2	6	7
Цена продукции	2	4	3		Цена продукции	2	4	3
Таблица 7		Таблица 8
Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода		Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода
		А	В	С				А	В	С
1	190	1	2	5		1	190	5	4	3
2	120	12	4	9		2	120	7	1	8
3	60	7	1	3		3	60	4	3	7
Цена продукции	10	11	13		Цена продукции	10	11	13
Таблица 9		Таблица 10
Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода		Ресурс	Объем ресурса	Нормы расхода
		А	В	С				А	В	С
1	180	4	3	1		1	180	5	4	6
2	90	4	5	9		2	90	7	6	8
3	120	2	1	6		3	120	1	5	8
Цена продукции	12	5	3		Цена продукции	12	5	3

Вопросы для самопроверки

1. Запишите математические модели пары двойственных ЗЛП.

2. Дайте экономическую интерпретацию пары двойственных задач.

3. Сформулируйте правила построения двойственной задачи к исходной.

4. Сформулируйте первую теорему двойственности и дайте экономическую интерпретацию.

5. Сформулируйте и дайте экономическую интерпретацию второй теоремы двойственности.



Практическая работа № 11. Решение транспортных задач методом северо-западного угла

Общий вид транспортной задачи

Одной из типичных задач линейного программирования является транспортная задача, которая возникает при планировании наиболее рациональных перевозок груза.

В общем виде транспортную задачу принято рассматривать в виде таблицы.

Поставщики	Потребители	Запасы груза
	В1	В2	…	Вm
А1		c11		c12	…		c1m	a1
	x11	x12		x1m
А2		c21		c22	…		c2m	a2
	x21	x22		x2m
…	…	…	…	…	…
Аn		cn1		cn2	…		cnm	an
	xn1	xn2		xnm
Потребности в грузе	b1	b2	…	bm

где А_i - поставщики груза (i=)

B_j - потребители груза (j=)

a_i - запасы груза (i=)

b_J - потребители в грузе (j=)

c_ij - стоимость (тариф) каждой перевозки (i=, j=)

x_ij - количество распределенного товара от i-го поставщика j-му потребителю (i=, j=).

Если в транспортной задаче выполняется условие , то транспортная задача называется закрытой, иначе - открытой.

Для написания модели необходимо все ограничения и целевую функцию представить в виде математических уравнений.

1. (i=);

2. (j=);

3.

4. x_ij ? 0 (i=;j=);

5. .

Методами отыскания начального плана (опорного решения) для решения транспортной задачи являются:

1. метод «северо-западного угла»;

2. метод минимального элемента;

Метод «северо-западного угла»

Заполнение таблицы начинается с левого верхнего угла (северо-западного), передвигаясь дальше по столбцу или по строке. В клетку (1;1) заносят меньшее из чисел а₁ или b₁ , т.е x₁₁=min(а₁; b₁).

Если а₁> b₁, то x₁₁= b₁. Следовательно, x_i1 = 0, i = 2,3...n., т.е. потребности первого потребителя удовлетворены полностью.

Двигаясь дальше по первой строке, записываем в соседнюю клетку

x₁₂ = min(a₁-b₁; b₂).

Если b₁> a₁, то x₁₁= a₁. Следовательно, x_1j = 0, j = 2,3...n., т.е. запасы первого поставщика исчерпаны полностью.

Двигаясь дальше по первому столбцу, записываем в соседнюю клетку

x₂₁ = min(a₂ ; b₁-a₁) и т.д.

Таким образом, пересчитывая запасы и потребности, столбец с исчерпанным запасом или строку с удовлетворенной потребностью исключаем из дальнейшего расчета. Снова находим северо-западный угол, заполняем эту клетку, вычеркиваем строку или столбец и т.д пока не будут исчерпаны все запасы и не удовлетворены все потребности в грузе.

Пример. Пять песчано-гравийных карьеров добывают в сутки 60, 70, 120, 130, 100 у.е. гравия. Для строительства трех дорог необходимо гравий в количестве 140, 180, 160 у.е. соответственно. Стоимость перевозок из одного карьера на один объект приведена в таблице 2 в денежных единицах (д.е.).

Построить опорный план перевозок по правилу «северо-западного угла» и определить значения целевой функции построенного плана.

Карьеры	Дорога 1	Дорога 2	Дорога 3	Запасы гравия
№ 1		2		8		9	60
№ 2		3		5		8	70
№ 3		4		1		4	120
№ 4		2		4		7	130
№ 5		4		1		2	100
Потребности в гравии	140	180	160

Решение задачи рассмотрим в следующей таблице.

Таблица - Оптимальное решение методом «северо-западного угла»

Карьеры	Дорога 1	Дорога 2	Дорога 3	Запасы гравия
№ 1		2		8		9	60
	60	0	0
№ 2		3		5		8	70
	70	0	0
№ 3		4		1		4	120
	10	110	0
№ 4		2		4		7	130
	0	70	60
№ 5		4		1		2	100
	0	0	100
Потребности в гравии	140	180	160	480

X₁₁ = min(60; 140)=60;

X₂₁ = min(70; 140-60)=70;

X₃₁ = min(120; 10)=10;

X₃₂ = min(120-10; 180)=60;

X₄₂ = min(130; 180-110)=70;

X₄₃ = min(130-70; 160)=60;

X₅₃ = min(100; 160-60)=100.

Таким образом, опорный план равен:

X =

Найдем сумму затрат на перевозки:

Z = 60*2+70*3+10*4+110*1+70*4+60*7+100*2=1380 д.е.

Теорема: Число положительных компонент в опорном плане N ? n+m-1, где n - число строк, m - число столбцов плана.

Если условие N ? n+m-1 выполняется, то план называется невырожденным, иначе вырожденным.

Варианты заданий

Задание. Построить опорные планы перевозок по правилу «северо-западного угла», согласно своего варианта. Определить значения целевых функций построенных планов.

Исходные данные варианта № 1

Поставщики груза	Потребители	Запасы груза Ai
	В1	В2	В3	В4
А1		4		8		1		5	100
А2		6		3		2		9	45
А3		2		9		1		4	55
Потребность в грузе Вj	50	50	25	75

Исходные данные варианта № 2

Поставщики груза	Потребители	Запасы груза Ai
	В1	В2	В3	В4
А1		4		7		2		3	30
А2		3		1		0		4	190
А3		5		6		3		7	250
Потребность в грузе Bj	70	120	150	130



Исходные данные варианта № 3

Поставщики груза	Потребители	Запасы груза Ai
	В1	В2	В3	В4
А1		5		1		2		3	300
А2		6		3		7		1	200
А3		4		5		3		2	500
А4		2		4		6		4	700
Потребность в грузе Bj	230	420	650	400

Исходные данные варианта № 4

Поставщики груза	Потребители	Запасы груза Ai
	В1	В2	В3	В4
А1		4		1		8		3	50
А2		5		7		0		9	190
А3		7		1		3		2	110
Потребность в грузе Bj	70	30	150	100

Исходные данные варианта № 5

Поставщики груза	Потребители	Запасы груза Ai
	В1	В2	В3	В4
А1		1		1		2		3	155
А2		4		3		9		1	145
А3		4		5		7		2	560
А4		2		0		6		4	140
Потребность в грузе Bj	400	420	130	50

Исходные данные варианта № 6

Поставщики груза	Потребители	Запасы груза Ai
	В1	В2	В3	В4
А1		5		1		2		3	30
А2		6		3		7		1	20
А3		4		5		3		2	500
А4		2		4		6		4	130
Потребность в грузе Bj	40	42	188	410

Исходные данные варианта № 7

Поставщики	Потребители	Запас груза Аi
	В1	В2	В3	В4	В5	В6
А1	5	3	1	4	2	6	1780
А2	4	2	3	6	1	3	2000
А3	1	3	7	4	5	2	1530
А4	3	4	6	7	1	5	2860
Потребность в грузе Вj	850	1870	1950	1670	1000	830

Исходные данные варианта № 8

Поставщики	Потребители	Запас груза Аi
	В1	В2	В3	В4	В5	В6
А1	7	1	4	6	5	8	600
А2	1	3	5	2	4	6	800
А3	4	5	6	3	1	7	550
А4	5	3	7	2	8	4	730
А5	2	4	3	5	6	3	900
Потребность в грузе Вj	750	580	440	620	550	640

Исходные данные варианта № 9

Поставщики	Потребители	апас груза Аi
	В1	В2	В3	В4	В5
А1	4	1	2	5	6	100
А2	7	3	4	2	5	70
А3	6	4	7	1	8	130
А4	2	5	6	4	7	150
Потребность в грузе Вj	80	120	70	130	50

Исходные данные варианта № 10

Поставщики	Потребители	Запас груза Аi
	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7
А1	8	1	9	3	6	7	2	70
А2	1	2	2	4	1	8	3	50
А3	5	3	1	3	2	5	8	150
А4	2	5	7	1	6	3	4	330
Потребность в грузе Вj	20	40	75	25	200	140	100

Практическая работа №12. Решение транспортной задачи методом минимального элемента

Метод минимального элемента состоит из следующих шагов:

1. В клетку с минимальной единичной стоимостью записывают наибольшее возможное количество груза для поставки.

2. Производится корректировка оставшихся запасов и потребностей.

3. Выбирается следующая клетка с наименьшим тарифом, в которую планируется наибольшее возможное количество груза для поставки и т.д. до тех пор, пока оставшиеся запасы и потребности не станут равны нулю.

4. Если наименьший тариф соответствует более чем одной клетке, то выбор осуществляется случайным образом.

Рассмотрим решение примера из предыдущей практической работы методом минимального элемента, используя следующую таблицу.

Карьеры	Дорога 1	Дорога 2	Дорога 3	Запасы гравия
№ 1		2		8		9	60
	60	0	0
№ 2		3		5		8	70
	0	0	70
№ 3		4		1		4	120
	0	120	0
№ 4		2		4		7	130
	80	0	50
№ 5		4		1		2	100
	0	60	40
Потребности в гравии	140	180	160	480

С₅₂ = 1- min, X₅₂= min (100; 180)=100.

C₃₂=1- min, X₃₂= min (120; 180-100)=80.

C₁₁=2 - min, X₁₁= min (60;140)=60.

C₄₁=2 - min, X₁₁=min(130;140-60)=80.

C₃₃=3 - min, X₃₃=min(120-180;160)=40.

C₄₃=7 - min, X₄₃=min(130-80;160-40)=50

C₂₃=8 - min, X₂₃=min(70;160-90)=70

Таким образом, опорный план равен:

X =

Затраты на перевозки равны:

Z = 60*2+80*2+70*8+120*1+60*1+50*7+40*2=1450 д.е.

Варианты заданий

Построить опорные планы перевозок методом минимального элемента, согласно своего варианта. Определить значения целевых функций построенных планов.

Исходные данные вариантов смотрите в практической работе №11. Сделайте сравнительный анализ.

Практическая работа № 13. Решение транспортных задач методом потенциалов

Пример. Мощности поставщиков: А₁ = 120 т; А₂ = 220 т; А₃ = 300 т; А₄ = 170 т. Спрос потребителей: В₁ = 120 т; В₂ = 250 т; В₃ = 200 т; В₄ = 180 т. Удельные затраты на перевозку единицы груза представлены матрицей С:

Определить объемы перевозок из пункта i в пункт j такие, чтобы суммарные издержки на перевозку были бы минимальными, т.е. построить матрицу объемов перевозок х.

.

Решение:

1. Определить тип задачи - закрытый или открытый.

Задача открытая, т.к. Вводится фиктивный потребитель с объемом потребления В_ф

2. Строится расчетная матрица (таблица 2) с фиктивным потреблением В_ф и удельными затратами на перевозку фиктивного груза C_iф = 0.

U_i

	120	250	200	180	Вф
120	2 120	4	5	2 0	0
220	5	6	2 200	3 20	0
300	4	3 80	6	7 160	0 60
170	6	2 170	6	6

V_i

3. Формируется опорный план перевозок по критерию наименьших удельных затрат на перевозку единицы груза, т.е. min C_ij. Затраты C_ij = 0 на перевозку фиктивных грузов не принимаются во внимание. Оставшиеся мощности сносятся фиктивному потребителю

Проверяется баланс по строкам и столбцам.

4. Проверяется полученный план перевозок на вырожденность:

K = m + n - 1 - план невырожденный,

K < m + n - 1 - план вырожденный,

где K - количество поставок в матрице (таблица 2), т.е. количество > 0;

m - количество строк матрицы;

n - количество столбцов.

В нашем примере задача вырожденная (7 < 4 + 5 - 1). Число поставок К меньше правой части (m + n - 1) на 1. Таким образом, для приведения опорного плана к невырожденному необходимо ввести фиктивную нулевую поставку (x_ij = 0^*). Она вносится в строку или столбец (1). Допустим, нулевую фиктивную поставку поместим в клетку (1,4), т.е. х₁₄ = 0^*. Теперь задача стала невырожденной.

5. Оптимизируем опорный план, используя метод потенциалов.

Определяем потенциалы строк U_i и столбцов V_j по выражению (14) по клеткам с поставщиками (х_ij > 0):

С_ij = U _i + V_j . (14)

Для этого зададимся любыми значениями потенциала U_i либо V_j, например, U₃ = 0.

Пересчитаем все остальные U_i , V_j по (14) и зафиксируем их в таблице 3:

6. Определяются характеристики свободных клеток:

E_ij = C_ij - (U_i + V_j) 0 (15)

Е₁₂ = 4 - (- 5 + 3) = 6Е₃₁ = 4 - (0 + 7) = - 3

Е₁₃ = 5 - (- 5 + 6) = 4Е₃₃ = 6 - (0 + 6) = 0

Е_1ф = 0 - (- 5 + 0) = 5Е₄₁ = 6 - (- 1 + 7) = 0

Е₂₁ = 5 - (- 4 + 7) = 2Е₄₃ = 6 - (- 1 + 6) = 1

Е₂₂ = 6 - (- 4 + 3) = 7Е₄₄ = 6 - (- 1 + 7) = 0

Е_2ф = 0 - (- 4 + 0) = 4Е_4ф = 0 - (- 1 + 0) = 1.

7. Условие оптимальности задачи: Е _ij 0.

В нашем примере имеется отрицательная характеристика (Е₃₁ = - 6). Для клетки (3,1) строим контур перераспределения поставок. Он должен включать поставки, быть прямоугольным и замкнутым, т.е. выходить из свободной клетки и входить в нее. Для клетки (3,1) изобразим контур в матрице (таблица 3) и вынесем его отдельно (рисунок 1, а). Так как в клетку (3,1) контура будет помещена поставка, то метим ее знаком (+). Для соблюдения баланса по строкам и столбцам ближайшие к (3,1) клетки метим знаком (-), выбирается поставка с наименьшим значением. Это будет

Величина х₁₁ = 120 и будет объемом перераспределения в контуре. Вводим ее в клетки контура с учетом их знаков.

а ) - + б )+ -

Рисунок 1

8. Перенесем контур (рисунок 1, б) в новую матрицу (таблица 3), а также дополним его поставками, не использованными в контуре.

U_i

	120	250	200	180	Вф
120	2	4	5	2 120	0
220	5	6	2 200	3 20	0
300	4 120	3 80	6	7 40	0 60
170	6	2 170	6	6	0

V_i

Характеристики свободных клеток матрицы (таблица 3) не отрицательны, т.е. Е_ij . Следовательно, задача оптимальна:

Е₁₁ > 0; E₁₂ > 0;E_1ф > 0;E₂₁ > 0;E₂₂ > 0;

E_2ф > 0;E₃₃ = 0;E₄₁ > 0;E₄₃ > 0;E₄₄ = 0.

Задача решена.

9. Определяется значение целевой функции:

F = 2 * 120 + 2 * 200 + 3 * 20 + 4 * 120 + 3 * 80 + 7 * 40 + 2 * 170 = 2040 руб.

Варианты заданий

Задание. Решить транспортную ЗЛП методом потенциалов, построив исходный опорный план способом минимального элемента.

ai<...

Подобные документы

• Методы решения задач математического моделирования

  Основные понятия математического моделирования, характеристика этапов создания моделей задач планирования производства и транспортных задач; аналитический и программный подходы к их решению. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.
  
  курсовая работа [2,2 M], добавлен 11.12.2011
  

• Применение систем компьютерного моделирования (СКМ) для исследования математической модели RLC-цепи

  Применение системы MathCAD при решении прикладных задач технического характера. Основные средства математического моделирования. Решение дифференциальных уравнений. Использование системы MathCad для реализации математических моделей электрических схем.
  
  курсовая работа [489,1 K], добавлен 17.11.2016
  

• Введение в вычислительную математику

  Знакомство с основными требованиями к вычислительным методам. Рассмотрение особенностей математического моделирования. Вычислительный эксперимент как метод исследования сложных проблем, основанный на построении математических моделей, анализ этапов.
  
  презентация [12,6 K], добавлен 30.10.2013
  

• Сущность и основные характеристики исследования операций (ИСО)

  Определение исследования операция как применения научного метода комплексными научными коллективами для решения задач, связанных с управлением организованными (человеко-машинными) системами с целью получения решений. Анализ отличительных особенностей ИСО.
  
  реферат [20,6 K], добавлен 27.06.2011
  

• Принципы использования моделирования

  Моделирование как метод научного познания, его сущность и содержание, особенности использования при исследовании и проектировании сложных систем, классификация и типы моделей. Математические схемы моделирования систем. Основные соотношения моделей.
  
  курсовая работа [177,9 K], добавлен 15.10.2013
  

• Функционально-графический подход к решению задач с параметрами

  Выполнение алгебраических преобразований, логическая культура и техника исследования. Основные типы задач с параметрами, нахождение количества решений в зависимости от значения параметра. Основные методы решения задач, методы построения графиков функций.
  
  методичка [88,2 K], добавлен 19.04.2010
  

• Математическое определение системы и моделей. Теория и методология моделирования

  Процесс выбора или построения модели для исследования определенных свойств оригинала в определенных условиях. Стадии процесса моделирования. Математические модели и их виды. Адекватность математических моделей. Рассогласование между оригиналом и моделью.
  
  контрольная работа [69,9 K], добавлен 09.10.2016
  

• Численные методы решения задач строительства автомобильных дорог

  Проектирование методов математического моделирования и оптимизации проектных решений. Использование кусочной интерполяции при решении задач строительства автомобильных дорог. Методы линейного программирования. Решение специальных транспортных задач.
  
  методичка [690,6 K], добавлен 26.01.2015
  

• Роль математического моделирования технологических процессов в проектировании, строительстве и эксплуатации городских водохозяйственных систем

  Системы водоснабжения и канализации как главный элемент водохозяйственной системы. Этапы математического моделирования технологических процессов. Скважинный водозабор как единая инженерная система, проблемные вопросы переоценки запасов подземных вод.
  
  презентация [9,0 M], добавлен 18.09.2017
  

• Математическое и имитационное моделирование

  Исследование экономических задач методами дифференциального исчисления. Изучение экономических систем с помощью линейных балансовых моделей, сетевое планирование и управление. Эластичность производственных функций, элементы линейного программирования.
  
  методичка [418,9 K], добавлен 10.11.2015
  

• Исследование математических моделей оптимизации обслуживания сложных систем

  Некоторые математические вопросы теории обслуживания сложных систем. Организация обслуживания при ограниченной информации о надёжности системы. Алгоритмы безотказной работы системы и нахождение времени плановой предупредительной профилактики систем.
  
  реферат [1,4 M], добавлен 19.06.2008
  

• Математика в жизни и в будущей профессии

  Математика как чрезвычайно мощный и гибкий инструмент при изучении окружающего мира. Роль математики в промышленной сфере, строительстве, медицине и жизни человека. Место математического моделирования в создании разнообразных архитектурных моделей.
  
  презентация [566,8 K], добавлен 31.03.2015
  

• Общая схема решения задач на проценты

  Методы решения задач с экономическим содержанием повышенного уровня сложности. Выявление структуры экономических задач на проценты. Вывод формул для решения задач на равные размеры выплат. Решение задач на сокращение остатка на одну долю от целого.
  
  курсовая работа [488,3 K], добавлен 22.05.2022
  

• Методика обучения решению задач на построение в 7 классе с использованием математического конструктора Geogebra

  Формирование учебных достижений обучающихся, в образовательной области "Математика и информатика". Планируемые достижения обучения решению задач на геометрические построения в 7 классе и методика их реализации. Структура пользовательского интерфейса.
  
  дипломная работа [748,3 K], добавлен 07.09.2017
  

• Высшая математика для менеджеров

  Учебное пособие "Высшая математика для менеджеров" включает разделы высшей математики, изучение которых применяется для решения прикладных экономических и управленческих задач - это аналитическая геометрия, линейная алгебра и математический анализ.
  
  дипломная работа [468,8 K], добавлен 24.04.2009
  

• Зачем нужна математика

  Значение понятия математика. Ее роль в науке. Математика как наука основанная на разнообразие математических моделей, задачей которых является отображение реальных событий и явлений. Особенности математического языка. Известные высказывания о математике.
  
  реферат [21,7 K], добавлен 07.05.2013
  

• Квазирешетки в прикладных задачах обработки цифровой информации

  Разработка простого метода для решения сложных задач вычислительной и прикладной математики. Построение гибкого сеточного аппарата для решения практических задач. Квазирешетки в прикладных задачах течения жидкости, а также применение полиномов Бернштейна.
  
  дипломная работа [1,9 M], добавлен 25.06.2011
  

• Методы построения сечений многогранников

  Обзор и характеристика различных методов построения сечений многогранников, определение их сильных и слабых сторон. Метод вспомогательных сечений как универсальный способ построения сечений многогранников. Примеры решения задач по теме исследования.
  
  презентация [364,3 K], добавлен 19.01.2014
  

• Нестандартные методы решения задач по математике

  Изучение нестандартных методов решения задач по математике, имеющих широкое распространение. Анализ метода функциональной, тригонометрической подстановки, методов, основанных на применении численных неравенств. Решение симметрических систем уравнений.
  
  курсовая работа [638,6 K], добавлен 14.02.2010
  

• Математика - язык познания мира

  Определение понятия модели, необходимость их применения в науке и повседневной жизни. Характеристика методов материального и идеального моделирования. Классификация математических моделей (детерминированные, стохастические), этапы процесса их построения.
  
  реферат [28,1 K], добавлен 20.08.2015
  

• главная
• рубрики
• по алфавиту
• вернуться в начало страницы
• вернуться к началу текста
• вернуться к подобным работам