Размещено на http://www.allbest.ru/

Министерство образования и науки Российской Федерации

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

"Оренбургский государственный педагогический университет"

Физико-математический факультет

Кафедра геометрии

ВЫПУСКНАЯ КВАЛИФИКАЦИОННАЯ РАБОТА

на тему: "Геометрические построения на плоскости различными инструментами"

Выполнила: студентки V курса заочного отделения

физико-математического факультета

Князевой Натальи Владимировны

Специальность 050201.65 "Математика"

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук

доцент кафедры геометрии

Прояева Ирина Владимировна

Оренбург - 2011

Введение

Глава 1. Геометрические построения на плоскости

1.1 Основы теории геометрических построений

1.1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

1.1.2 Дополнительные замечания об аксиомах конструктивной геометрии

1.1.3 Инструменты геометрических построений

1.2 Построение одним циркулем

1.2.1 О возможности решения геометрических задач на построение одним циркулем

1.2.2 Геометрические построения на плоскости циркулем с ограничением

1.3 Геометрические построения на плоскости различными инструментами

1.3.1 Построение одной линейкой

1.3.2 Применение других инструментов для построения

Глава 2. Методика решения задач на построение

2.1 Характеристика задач на построение

2.1.1 Задача на построение

2.1.2 Элементарные геометрические задачи на построение

2.1.3 Этапы решения геометрической задачи на построение

2.1.4 Методические рекомендации по обучению решению задач на построение

2.2 Основные методы решения задач на построение

2.2.1 Общее понятие о точечных преобразованиях фигур

2.2.2 Метод параллельного переноса

2.2.3 Метод поворота или вращения

2.2.4 Метод осевой симметрии

2.2.5 Метод геометрических мест точек

2.2.6 Метод подобия или гомотетии

2.2.7 Алгебраический метод

2.3 Применение метода ГМТ при решении задач на построение

2.3.1 Методические рекомендации по методу ГМТ

2.3.2 Программа факультативного курса занятий для 8 класса по теме: "Задачи на построение и методы их решения"

Заключение

Список использованной литературы

Приложение 1

Введение

Геометрические построения привлекли внимание древнегреческих математиков ещё в VI-V веках до нашей эры. Ими занимались почти все крупные греческие геометры: Пифагор и его ученики, Гиппократ, Евклид, Архимед, Апполоний, Папп и многие другие. Они успешно справлялись с труднейшими задачами на построение с помощью циркуля и линейки.

Средневековье мало дало в области развития конструктивной геометрии, хотя ею занимались многие математики этого времени.

Только в новое время (XVII-XX вв.) теория геометрических построений стала развиваться дальше главным образом в связи с развитием новых разделов математики.

Много внимания уделяли конструктивным задачам творцы современной математики: Декарт, Ферма, Ньютон, Паскаль, Эйлер, Гаусс. В XVII-XIX веках разрабатывается теория геометрических построений с помощью различных инструментов, отличных от принятых древними. Датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) изучали построения, выполнимые циркулем, и обнаружили, что циркуль позволяет решить всякую конструктивную задачу, разрешимую циркулем и линейкой.

На базе накопленного фактического материала в конце XIX и в XX веках появляется ряд сочинений, обобщающих результаты теории геометрических построений.

В настоящее время теория геометрических построений представляет обширную и глубоко развитую область математики, связанную с решением разнообразных принципиальных вопросов, уходящих в другие ветви математики.

Геометрические построения могут сыграть серьёзную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не даёт столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Они обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний по любому разделу школьного курса геометрии. Геометрические построения являются весьма существенным элементом изучения геометрии, важным средством формирования у учащихся геометрических представлений в целом. В процессе геометрических построений учащиеся в практическом плане знакомятся со свойствами геометрических фигур и отношений, учатся пользоваться чертежными инструментами, приобретают графические навыки. В правильности многих математических утверждений в большинстве случаев школьники убеждаются также в процессе геометрических построений.

Актуальность дипломной работы заключается в том, что геометрические построения должны иметь свое отражение в школьном курсе геометрии в силу недостаточности подготовки учащихся в этой части.

Целью данной работы является изучение различных методов решения задач на построение.

В соответствии с поставленной целью в данном исследовании решались следующие задачи:

1. Описать основы геометрических построений;

2. Показать применение различных инструментов для построения при решении задач;

3. Дать характеристику задач на построение;

4. Рассмотреть методы решения задач на построение.

Объектом исследования является конструктивная геометрия.

Предмет исследования - геометрические задачи на построение.

Гипотеза дипломного исследования состоит в том, что геометрические построения играют серьёзную роль в математической подготовке школьника.

При написании данной работы использовались следующие методы: анализировалась научно-популярная литература, проводился поиск и отбор материалов, посвященных данной теме, проводилась их обработка и сравнение.

Основное содержание работы изложено в двух главах.

В первой главе приводится основание конструктивной геометрии и возможности решения геометрических задач на построение различными инструментами.

Вторая глава посвящена методике решения задач на построение. В ней дана характеристика задач на построение, изложены основные методы решения задач. В данной главе приводится программа факультативного курса занятий для 8 класса по теме "Задачи на построение и методы их решения", которая может быть использована в учебном процессе, т.к. наметилась четкая тенденция к сокращению количества задач на построение в школьном курсе математики. А задания на построение составляют базу для работы, развивающей навыки построения фигур, способствующей формированию умения читать и понимать чертеж, устанавливать связи между его частями, и недостаточность этой системы обусловливает плохое развитие пространственного и логического мышления ученика, низкий уровень его графической культуры.

Глава 1. Геометрические построения на плоскости

1.1 Основы теории геометрических построений

1.1.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

В пространстве дана некоторая плоскость, которую назовём основной плоскостью.

Примерами фигур могут служить: точка, пара точек, прямая, пара параллельных прямых, отрезок, интервал, луч, окружность и др.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Пересечением, или общей частью нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.

Разностью двух фигур Ф и Ф называется совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат Ф.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру. Конкретный его смысл известен из практики, где оно означает то же, что "начертить" (линию), "отметить" (точку) и т.п. Основные требования (постулаты) конструктивной геометрии выражают в абстрактной форме наиболее существенные моменты чертёжной практики. Они являются аксиомами, принимаются без доказательства и служат в дальнейшем логической основой геометрии.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Т.о, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

I. Каждая данная фигура построена.

II. Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

III. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

IV. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

V. Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

VI. Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

VII. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

VIII. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

IX. Можно построить точку, заведомо не принадлежащую построенной фигуре. [1]

1.1.2 Дополнительные замечания об аксиомах конструктивной геометрии

Система аксиом I-IX, изложенных в пункте 2.1, не является независимой. В настоящем пункте сформулируем систему четырех аксиом, из которой следуют или содержатся в ней все аксиомы I-IX.

Аксиома 1. Основная плоскость построена.

Аксиома 2. Если построены две фигуры, то можно установить является ли их разность пустым множеством или нет.

Аксиома 3. Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность также построена.

Следствие 1. Если две фигуры построены, то можно считать известным, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

Следствие 2. Если построены две фигуры и их пересечение не пусто, то это пересечение должно считаться построенным.

Следствие 3. Если построены две фигуры, то их соединение должно считаться построенным.

Аксиома 4. Если построены две фигуры, пересечение которых не пусто, то можно построить, по крайней мере, одну точку, принадлежащую этому пересечению.

Следствие 4. Если построены две фигуры и n-какое-либо натуральное число, то всегда можно построить, по крайней мере, n различных точек или оно содержит менее, чем n, точек.

Следствие 5. Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

Следствие 6. Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре. [1]

1.1.3 Инструменты геометрических построений

Аксиомы VII и VIII пункта 2.1 устанавливают возможность строить точки, принадлежащие уже построенной фигуре.

Аксиома IX позволяет строить некоторые новые точки, но этим точкам не приписывается никаких определённых свойств, кроме свойства быть новыми, ранее не построенными точками. Для построения новых точек, обладающих некоторыми определёнными, указанными свойствами, а также для построения линий пользуются различными "инструментами геометрических построений.

Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие.

Сформулируем соответствующие аксиомы.

А. Аксиома линейки. Линейка позволяет выполнить следующие геометрические построения:

a) Построить отрезок, соединяющий две построенные точки;

b) Построить прямую, проходящую через две построенные точки;

c) Построить луч, исходящий из построенной точки и проходящий через другую построенную точку.

Б. Аксиома циркуля. Циркуль позволяет выполнить следующие геометрические построения:

a) Построить окружность, если построены центр окружности и отрезок, равный радиусу окружности (или его концы);

b) Построить любую из двух дополнительных дуг окружности и концы этих дуг.

В. Аксиома двусторонней линейки. Двусторонняя линейка позволяет:

a) Выполнить любое построений, перечисленных в аксиоме А;

b) В каждой из полуплоскостей, определённых построенной прямой, построить прямую, параллельную этой прямой и проходящую от неё на расстоянии h, где h-фиксированный для данной линейки отрезок (ширина линейки);

c) Если построены две точки А и В, то установить, будет ли АВ больше некоторого фиксированного отрезка h (ширина линейки), и если АВ>h, то построить две пары параллельных прямых, проходящих соответственно через точки А и В и отстоящих одна от другой на расстоянии h.

Г. Аксиома прямого угла. Прямой угол позволяет:

a) Выполнить построения, перечисленные в аксиоме линейки;

b) Через данную точку плоскости провести прямую, перпендикулярную некоторой построенной прямой;

c) Если построены отрезок АВ и некоторая фигура Ф, то установить, содержит ли фигура Ф точку, из которой этот отрезок виден под прямым углом, и если такая точка существует, то построить такую точку.

Помимо перечисленных инструментов, для геометрических построений можно пользоваться и другими инструментами: произвольным углом, угольником, линейкой с отметками, парой прямых углов, различными приспособлениями для вычерчивания специальных кривых и др.

Построения, о возможности которых сказано в аксиомах, вместе с построениями, перечисленными в аксиомах тех инструментов, которые избраны для построения, называют основными построениями (для данного набора инструментов). [3], [15]

1.2 Построение одним циркулем

1.2.1 О возможности решения геометрических задач на построение одним циркулем

Уже давно было замечено, что циркуль является более точным, более совершенным инструментом, чем линейка, что некоторые построения можно выполнить одним циркулем без употребления линейки. К такому выводу впервые пришли датчанин Мор (1672) и итальянец Маскерони (1797) и доказали, что любая геометрическая задача на построение фигуры из конечного числа точек, разрешимая при наличии циркуля и линейки, может быть решена при наличии только циркуля.

Раздел геометрии, изучающий геометрические построения одним циркулем, называют геометрией циркуля.

В геометрии циркуля прямая линия определяется двумя точками, а не задаётся в виде непрерывной прямой линии. Построение прямой линии считается оконченным, как только построены две любые её точки; отрезок считается известным, если построены его концы и луч - если построены его начало и какая-либо принадлежащая ему точка.

При наличии только циркуля можно выполнить следующие построения:

1. Построить точку пересечения двух известных прямых (не строя этих прямых).

2. Построить точки пересечения построенной окружности и известной прямой (если такие точки существуют).

3. Построить точки, принадлежащие известной прямой.

4. Построить точки, заведомо не принадлежащие соединению конечного числа построенных точек, построенных окружностей и известных прямых.

Чтобы доказать выполнимость этих построений исключительно циркулем, решим предварительно следующую задачу: известны отрезки a, b и c; построить, пользуясь только циркулем, четвёртый пропорциональный отрезок, т.е. такой отрезок x, чтобы a:b=c:x.

Изберём на плоскости произвольную точку О и проведём окружность

. Построим также концентрическую ей окружность . Изберём произвольно точку А на окружности и точку А^/ на окружности . Пусть В-точка пересечения окружности с окружностью (А,с), а В' - точка пересечения окружности с окружностью (В,АА'). Теперь треугольники АОА' и ВОВ' равны по трём сторонам, значит равнобедренный треугольник АОВ подобен равнобедренному треугольнику А'ОВ',так что АО:А'О=АВ:А'В' или по построению, a:b=c:А'В'. Отрезок А'В' искомый. [6]

Построение (1). Даны четыре точки А, В, С и D (рис. 1). Построить точку пересечения прямых АВ и СD, пользуясь только циркулем.

Допустим, что задача решена и точка L искомая. Построим точки, D', симметричные точкам С, D относительно прямой АВ. Искомую точку пересечения прямых АВ и СD можно рассматривать теперь как точку пересечения прямых СD и С'D'. Если СDD'E- параллелограмм, то точки С,С' и Е лежат на одной прямой. Точка Е может быть построена как точка пересечения окружностей (С,DD') и (D',DC).

Рис. 1

Из подобия треугольников СLC' и ED'C' видно, что С'Е:С'D'=C'C:С'L. Поэтому отрезок С'L может быть построен как 4-й пропорциональный к трём известным отрезкам С'Е, С'D и С'С. Искомая точка L найдётся после этого в пересечении окружностей (С',С'L) и (С, С'L).

Если прямые АВ и СD окажутся перпендикулярными (СС' и DD' на одной прямой), то решение задачи упрощается: искомая точка L может быть построена как середина отрезка СС'.

Рис. 2

Построение (2). Даны две точки А и В и окружность (О,r). Требуется построить общие точки прямой АВ и окружности (О,r), не проводя прямой АВ. Пусть О'- точка, симметричная с точкой О относительно АВ. Обозначим через М и N точки пересечения окружности (О',r). Так как каждая из этих точек одинаково удалена от точек О и О', то эти точки располагаются на прямой АВ, которая служит симметралью отрезка ОО'. Значит, М и N - искомые точки. Если окружности (О',r) касаются, то их общая точка является искомой (рис. 2).

Построение (3). Пусть известны две точки А и В (рис. 3). Требуется построить произвольное количество точек прямой АВ, не проводя этой прямой. Изберём произвольную точку С плоскости. Если она окажется расположенной на прямой АВ, то это точка искомая. Допустим, что это не

так. Тогда построим точку С ₁, симметричную с точкой С относительно прямой АВ. После этого для получения новых точек прямой АВ (на рисунке точки М ₁ и М ₂) достаточно провести окружности (С, r) и (С ₁,r), где r- произвольный отрезок, больший, чем Ѕ СС ₁ (например, отрезок СС ₁), и построить точки их пересечения; эти точки заведомо принадлежат прямой АВ, так как каждая из них одинаково удалена от точек С и С ₁.

Рис. 3

Построение (4). Пусть построены k точек А₁, А₂,…,А_k и n окружностей

₁, ₂, ₃, …, _n, а также известны m и прямых а₁, а₂, а₃, …, а_m. Ищется точка, не совпадающая ни с одной из этих точек и не принадлежащая ни одной из этих прямых или окружностей.

Изберём произвольную точку А и какую-либо точку В, не лежащую ни на одной из построенных окружностей (для чего не требуется ни линейки, ни циркуля). Тогда окружность _n+1 (А, АВ) не совпадает ни с одной из окружностей ₁, ₂, …, _n. Этой окружности могут принадлежать некоторые из точек А₁, А₂, …, А_k, на ней могут оказаться также точки пересечения с заданными окружностями. Изберём на окружности _n+1, сверх этих, ещё 2m+1 точек. Тогда по крайней мере одна из этих 2m+1 точек удовлетворяет требованиям задачи, так как прямые а_1, а_2, …, а_m могут встретиться с окружностью _n+1 самое большее в 2m точках. Путём конечного числа испытаний среди 2m+1 избранных точек можно выделить искомую. [6]

1.2.2 Геометрические построения на плоскости циркулем с ограничением

Теорема Й. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не превышают некоторого наперед заданного отрезка.

Рассмотрим общий метод решения конструктивных задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R. геометрия плоскость циркуль линейка

Представим задачу решенной одним циркулем в классическом смысле, при свободном пользовании циркулем, когда на раствор ножек никаких ограничений не накладывается. В результате получена некоторая фигура Ф, состоящая из одних только окружностей, взятых в конечном числе. Обозначим через R₁ наибольший из радиусов всех окружностей, составляющих фигуру Ф. Если R₁R, то указанное построение может быть выполнено одним циркулем с ограниченным раствором ножек.

Пусть теперь R₁>R. Возьмем натуральное число n таким, чтобы R₁/2ⁿR. Если все отрезки, данные в задачи, в том числе и отрезки, определяющие радиусы заданных окружностей, уменьшить в 2ⁿ раз и затем провести решение данным циркулем, то в результате получим фигуру Ф', подобную фигуре Ф с коэффициентом подобия, равным 1/2². Все окружности фигуры Ц' могут быть начерчены данным циркулем. При этом, если среди данных в условии задачи имеется некоторая фигура Ц₁ в плоскости чертежа, то одну точку этой фигуры нужно взять за центр подобия и построить ей подобную фигуру Ф'₁ с коэффициентом подобия 1/2ⁿ.

При решении задач на построение число n обычно бывает неизвестным, т.к. данным циркулем нельзя построить фигуру Ф, а значит неизвестен радиус R₁ наибольшей из окружностей. Учитывая это обстоятельство, решение задачи данным циркулем с ограниченным раствором проводим до тех пор, пока не придём к окружности с радиусом r₁>R. Определяем натуральное число n₁ так, чтобы r₁2ⁿR. Уменьшаем данные отрезки в 2ⁿ раз и повторно начинаем решение данной задачи; в результате она будет полностью решена и построена фигура Ф' или снова придем к окружности радиуса r₂>R. Определяем натуральное число n₂ так, чтобы r₂2ⁿR, и снова уменьшаем все отрезки в 2ⁿ раз и в третий раз начинаем решение задачи и т.д. После конечного числа шагов фигура будет построена.

Теорема ЙЙ. Все геометрические задачи на построение, разрешимые циркулем и линейкой, могут быть точно решены и одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не меньше длины некоторого наперед заданного отрезка.

Общий метод решения задач на построение одним циркулем, описывающим окружности, радиусы которых не меньше R, совпадает с общим методом решения задач на построение одним циркулем, растворы ножек которого ограничены сверху отрезком R. Различие этих методов заключается в том, что данные в условии задачи отрезки нужно не уменьшать, а наоборот, увеличивать в n раз.

Многими учеными рассматривались геометрические построения циркулем с постоянным раствором, которым можно описывать окружности только радиуса R.

Циркулем с постоянным раствором, равным R, можно провести прямую, перпендикулярную к отрезку АВ и проходящую через один из его концов, если только |AB|<2R; можно отрезок R увеличить в 2,3,4,… раз. Если |AB|<2R и |AB|?R, то можно строить точки прямой АВ, меняя при этом каждый раз положение симметричных точек. Однако этим циркулем не можем делить отрезки и дуги на равные части, находить пропорциональные отрезки и т.д.

Таким образом, с помощью одного циркуля с постоянным раствором невозможно решить все задачи на построение, которые можно решить циркулем и линейкой. [14]

1.3 Геометрические построения на плоскости различными инструментами

1.3.1 Построение одной линейкой

Пользуясь только линейкой, нельзя решить всякую задачу, разрешимую с помощью циркуля и линейки. Но исследования этого вопроса показали, что для решения как угодно сложной геометрической задачи на построение, разрешимой циркулем и линейкой, достаточно воспользоваться циркулем не более одного раза.

Теорема. Всякая геометрическая задача на построение фигуры, состоящей из конечного числа точек, разрешимая циркулем и линейкой, может быть решена одной линейкой, если на плоскости построена какая-либо окружность и отмечен её центр.

При этом предполагается, что данная фигура состоит только из конечного числа точек, прямых, лучей, отрезков и дуг окружностей. Это предложение было установлено швейцарским математиком Я. Штейнером в 1833 году. При наличии линейки и построенной окружности с отмеченным центром (которую назовём вспомогательной или штейнеровой) можно выполнить следующие построения.

1. Построение общих точек известной окружности и построенной прямой (если такие точки существуют).

2. Построение общих точек двух известных окружностей (если такие точки существуют).

3. Построение любого конечного числа точек, принадлежащих известной окружности.

4. Построение точки, не принадлежащей соединению конечного числа построенных точек, построенных прямых и известных окружностей.

Выполним данные построения.

Построение (1). Пусть О ₁-центр данной окружности, Р ₁-данная её точка, (О,r)- вспомогательная окружность, а _{1 -} данная прямая. Требуется построить общие точки окружности (О₁,О₁Р₁) с прямой а ₁ (рис. 4).

Рис. 4

Идея построения состоит в использовании гомотетии данной и вспомогательной окружности. Для построения центра S этой гомотетии достаточно провести радиус ОР вспомогательной окружности параллельно О ₁Р ₁ и построить точку пересечения прямых О ₁О и Р ₁Р. Пусть прямая О ₁Р ₁ пересекает данную прямую а ₁ в точке М ₁. В пересечении ОР и SМ ₁ найдётся прообраз М точки М ₁ в упомянутой гомотетии, а прямая а, проведённая через М параллельно а ₁, будет прообразом а ₁. В пересечении прямой а с окружностью найдутся прообразы Х и Y искомых точек, а сами искомые точки Х ₁ и Y₁ будут точками пересечения прямых SX и SY с прямой а ₁. Может оказаться, что прямая a не пересечёт окружность . Это означает, что данная окружность (О₁, О₁Р₁) не встречается с прямой а ₁. Если прямая а коснётся , то и прямая а ₁ будет касаться окружности _1. Построение (2).Общими точками двух известных окружностей являются точки пересечения данных окружностей с их радикальной осью. Таким образом, построение (2) сводится к задаче о построении радикальной оси двух известных окружностей и к построению (1). Радикальная ось двух

окружностей перпендикулярна к линии их центров и пересекает её в точке Р, для которой разность квадратов расстояний от центров окружностей равна разности квадратов радиусов этих окружностей (рис. 5). Пусть (О₁,r₁) и (О ₂,r₂) данные окружности. В точках О₁ и О₂ проведём перпендикуляр к линии их центров. Отложим на них соответственно отрезки О₁А₁=r₂ и О₂А₂=r₁. Пусть М-середина отрезка А₁А₂.

Рис. 5

Пусть прямая, проведённая через точку М перпендикулярно А₁А₂, пересекает линию центров О₁О₂ в точке Р. Эта точка - искомая. Действительно:

О₁Р²= А₁Р² - r²₂ и О₂Р²= А₂Р² - r₁².

А₁Р = А₂Р,

О₁Р²- О₂Р² = r₁² - r₂².

Построение (3). Умея строить точки пересечения прямой и окружности, можно построить сколько угодно точек на окружности, заданной центром и точкой на ней: достаточно пересечь эту окружность произвольной прямой. Или провести любую прямую через центр заданной окружности и отложить на этой прямой от центра отрезок, равный радиусу.

Построение (4). Выбираем две точки, не принадлежащие уже построенным прямым, и строим соединяющую их прямую а. На этой прямой могут оказаться расположенными некоторые из построенных точек (что будет установлено непосредственно). Кроме того, могут быть построены все точки пересечения прямой а с построенными прямыми и с известными окружностями. После этого можно построить на прямой а точку, отличную от всех упомянутых её точек. Полученная точка будет искомой. [13]

1.3.2 Применение других инструментов для построения

Широкими возможностями обладают другие чертёжные инструменты: линейка о двух параллельных краях, прямой угол, произвольный угол. Все построения в задачах, которые назовём элементарные (по Штейнеру) можно выполнить перечисленными инструментами. Решение некоторых из них получается непосредственно.

А. Линейка о двух параллельных краях

1) Провести параллельную прямую (рис. 6);

2) Повторить произвольное данное число раз отрезок, длина которого дана, или разделить его на произвольное число равных частей (рис. 7);

Рис. 6

Рис. 7

Рис. 8

3) Провести взаимно перпендикулярные прямые (рис. 8);

Проводят через P прямую h и дважды прикладывают к ней линейку; затем помещают линейку в плоскости чертежа так, чтобы один её край проходил через P, а другой - через А. Прямая PВ есть искомый перпендикуляр.

4) Данный угол разделить пополам или повторить произвольное число раз;

Если требуется разделить пополам угол МSN, то поступают так: рис. 9. Для того чтобы удвоить угол МSN, прикладывают сначала линейку к прямой SМ и получают таким образом точку P; затем помещают линейку так, чтобы один её край проходил через точку P, а другой через точку S.

Фигура SQPR есть ромб (рис. 10).



Рис. 9

Рис. 10

5) Через данную точку провести прямую, которая с данной прямой образовала бы угол, равный некоторому данному по величине и положению (рис. 11).

Строят прямую SL', параллельную l, и биссектрису h угла АSL'. Если затем сделать XSh'=hSB=в иХ'SL'=L'SX'=б, то прямые SХ' и SX' будут параллельны искомым прямым.

Рис. 11

Рис. 12

6) Провести от данной точки в произвольном направлении отрезок, равный некоторому данному по величине и положению отрезку (рис. 12).

Прямая h есть биссектриса А'Мg; прямая А'X параллельна h.

Б. Прямой угол

1) Провести параллельную прямую; (проводят сначала перпендикуляры).

2) Повторить произвольное данное число раз отрезок, длина которого дана, или разделить его на произвольное число равных частей;

Проводят прямую g в произвольном направлении через А, строят h перпендикулярно к АВ и поступают так, как указано на рисунке 13. Как разделить пополам отрезок АВ, показывает чертёж 14. Деление отрезка на большее число равных частей производится с помощью параллельных прямых.

Рис. 13

Рис. 14

Провести взаимно перпендикулярные прямые; (разрешается непосредственно).

3) Данный угол разделить пополам или повторить произвольное число раз;

Если требуется удвоить АSB, то согласно рисунка 15, проводят АСSB и делают =. Если требуется разделить пополам АSС, то делают =, помещают прямой угол в плоскости чертежа так, чтобы стороны угла проходили через А и В, а вершина его лежала на второй сторон угла б.

Рис. 15

Прямая x, параллельная ВС, и будет искомой биссектрисой угла.

4) Через данную точку провести прямую, которая с данной прямой образовала бы угол, равный некоторому данному по величине и положению;

Проводят через S прямую l' параллельно l, берут на a произвольную точку А и опускают перпендикуляры АВ, АС соответственно на b и l'; затем соединяют точки В, С и опускают из S перпендикуляр SD на ВС. Искомая прямая x параллельна SD (рис 16).

Рис. 16

Рис. 17

4) Провести от данной точки в произвольном направлении отрезок, равный некоторому данному по величине и положению отрезку.

Проводя параллели, строят ==и помещают затем угол в плоскости чертежа так, чтобы катеты его проходили через C и D, а вершина его лежала на g (рис. 17).

В. Произвольный угол

1) Провести параллельную прямую; (решение непосредственно усматривается из рисунка 18).

2) Повторить произвольное данное число раз отрезок, длина которого дана, или разделить его на произвольное число равных частей;

Рис. 18

Рис. 19

Рисунок 19 показывает как с помощью подвижного угла б утроить отрезок АВ: прикладывая угол б к точкам А и В, определяют точку P, проводят через неё параллель к АВ и строят затем точки P',C,P'',D. Рисунок 20 показывает, как разделить отрезок АВ пополам. Деление отрезка на большее число частей выполняется, как и на рисунке 7.

3) Провести взаимно перпендикулярные прямые; (решение непосредственно усматривается из рисунка 20).

4) Данный угол разделить пополам или повторить произвольное число раз;

Рис. 20

Рис. 21

Деление АSB пополам производится согласно рисунка 21, причем предварительно делают =. Способ удвоения угла показывает рисунок 22. На стороне SА берут точку М и определяют затем с

помощью повторного прикладывания угла б точки O, N, P.

Рис. 22

Рис. 23

5) Через данную точку провести прямую, которая с данной прямой образовала бы угол, равный некоторому данному по величине и положению; (разрешается непосредственно) (рис. 23).

Провести от данной точки в произвольном направлении отрезок, равный некоторому данному по величине и положению отрезку; определяют, согласно чертежа 23, точки C, D и E; затем помещают угол б в плоскости чертежа так, чтобы его стороны проходили через Е и С, а вершина лежала на g. [15]

Глава 2. Методика решения задач на построение

2.1 Характеристика задач на построение

2.1.1 Задача на построение

Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперёд заданными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение - значит свести её к конечному числу основных построений, т.е. указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии. Перечень допустимых основных построений и ход решения существенно зависит от того, какие именно инструменты употребляются для построений.

В качестве примера рассмотрим следующую задачу: построить середину отрезка, заданного своими концами А и В.

Найдем решение этой задачи с помощью различных инструментов.

1. Циркулем и линейкой (рис. 24).

Строим последовательно:

1) Прямую АВ;

2) Окружность щ(А,АВ);

3) Окружность щ(В,ВА);

4) Общие точки М и N окружностей щ и щ;

5) Прямую МN;

6) Общую точку О прямых АВ и МN.

Рис. 24

Легко убедиться, что АО=ОВ, т.е. точка О искомая.

2. Циркулем (рис. 25).

Строим последовательно:

1) Окружность щ (В,ВА);

2) Окружность щ₁ (А,АВ);

3) Общую точку окружностей щ и щ;

4) Окружность щ₂ (С,CА);

5) Общую точку D окружностей щ и щ₂, отличную от точки А;

6) Окружность щ₃ (D,DB);

7) Общую точку Е окружностей щ и щ₃.

Заметим, что точки А,В,Е расположены на одной прямой, причем отличную от А. АЕ=2АВ.

Строим далее:

8) Окружность щ₄ (Е, ЕА);

9) Общие точки М и N окружностей щ₁ и щ_4;

10) Окружность щ₅ (М, МА);

11) Окружность щ₆ (N, NА);

13) Общую точку Х окружностей щ₅ и щ₆, отличную от С.

Нетрудно усмотреть, что точка Х расположена на прямой АВ.

Кроме того, треугольник АМХ подобен треугольнику АЕМ, т.к. они равнобедренные и имеют общий угол МАЕ при основаниях.

Рис. 25

Поэтому,

АХ:АМ=АМ:АЕ или

АХ:АВ=АВ:2АВ,

АХ=АВ

и, значит, точка Х искомая.

3. Двусторонней линейкой (рис. 26).

Рис. 26

Строим последовательно:

1) Прямую АВ

2) Прямую a, параллельную АВ и проходящую на расстоянии h от неё;

3) Прямую b, параллельную a, отстоящую от неё на расстоянии h и отличную от прямой АВ;

4) Точку С на прямой b;

5) Прямые АС и ВС;

6) Точки D?a?АС и Е?a?ВС;

7) Прямые АЕ и ВD;

8) Точку P?АЕ?ВD;

9) Прямую СP;

10) Точку X?СP?АВ.

Так как DЕ - средняя линия треугольника АСВ, то АЕ и ВD - его медианы, а значит и СP - медиана, так что точка X искомая.

4. Прямым углом (рис. 27).

1) Строим прямую АВ;

2) Проводим прямые АА и ВВ', перпендикулярные прямой АВ;

3) Выбираем на АА' произвольную точку С, отличную от А;

4) Через точку С проводим СС' АС;

5) Точку D?СС'?ВВ';

6) Прямые АD и ВС;

7) Точку P?АD?ВС;

8) Прямую PP'АВ;

9) Точку X?PP'?АВ.

Рис. 27

Точка X искомая.

Может оказаться, что какая-либо задача на построение имеет несколько решений, т.е. существует несколько различных фигур, удовлетворяющих всем условиям задачи.

Решить задачу на построение - значит найти все её решения.

Различия в положении на плоскости принимается или не принимается в расчет в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое расположение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур.

Если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условиям задачи.

Если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют в конечном числе). При этом даже равные фигуры, но различно расположенные относительно данных фигур, рассматриваются как различные решения данной задачи.

Встречаются задачи, имеющие бесконечно много решений. Таковы, например, задачи: построить окружность данного радиуса, касающуюся данной прямой; построить прямую, касательную к данной окружности; построить окружность, проходящую через две данные точки. Такого рода задачи называют неопределёнными.

Решение неопределённой геометрической задачи ищется в своего рода параметрической форме. Указывается приём построения фигур, удовлетворяющих условиям задачи, причём эти фигуры определяются выбором положения одной или нескольких произвольных точек на некоторых данных или построенных фигурах. Эти точки играют роль "геометрических параметров". Задача считается решённой, если при всевозможных допустимых положениях произвольных точек возникают все фигуры, удовлетворяющие условиям задачи.

Может оказаться, что фигуры, обладающей указанными в задаче свойствами, вовсе не существует. Так, например, нельзя построить окружность, вписанную в данный прямоугольник, если он не является квадратом, нельзя построить общую касательную к двум концентрическим окружностям. Может случиться также, что решение задачи существует, но не может быть найдено данными средствами. Например, нельзя построить прямую, соединяющую две данные точки, располагая только циркулем, или провести окружность, проходящую через три данные точки, располагая только линейкой. Во всех этих случаях решить задачу на построение - значит доказать, что искомая фигура не существует или, соответственно, что она не может быть построена данными средствами.

Иногда задача не имеет решений потому, что на искомую фигуру наложено слишком много условий. Например, нельзя построить окружность, проходящую через четыре заданные точки, или построить треугольник, зная три его стороны и один из углов. Задачи такого рода называют переопределёнными. [19]

2.1.2 Элементарные геометрические задачи на построение

Существует ряд простейших геометрических задач на построение, которые особенно часто входят в качестве составных частей в решение более сложных задач. Задачи такого рода рассматриваются преимущественно в первых главах школьного курса геометрии. Их называют элементарными геометрическими задачами на построение. Список элементарных задач является условным. К числу элементарных задач относят обычно следующие:

1. Деление данного отрезка пополам.

2. Деление данного угла пополам.

3. Построение на данной прямой отрезка, равного данному.

4. Построение угла, равного данному.

5. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой.

6. Построение прямой, проходящей через данную точку и перпендикулярной к данной прямой.

7. Деление отрезка в данном отношении.

8. Построение треугольника по трём сторонам.

9. Построение треугольника по стороне и двум прилежащим углам.

10. Построение треугольника по двум сторонам и углу между ними.

11. Построение прямой, проходящей через данную точку и касающейся данной окружности.

12. Построение прямоугольного треугольника по гипотенузе и катету.

Решения этих задач можно найти в школьном учебнике геометрии. В дальнейшем будем пользоваться этими решениями без дополнительных разъяснений. [18]

2.1.3 Этапы решения геометрической задачи на построение

Вопрос о выборе той или иной схемы решения конструктивной задачи является чисто методическим вопросом.

Решение геометрической задачи на построение является вполне доброкачественным, если оно проведено по следующей схеме:

1. Устанавливается конечное число случаев, исчерпывающих все возможности в выборе данных.

2. Для каждого случая даётся ответ на вопрос, имеет ли задача решения и сколько.

3. Для каждого случая, когда задача имеет решение, даётся способ нахождения (с помощью различных геометрических инструментов) каждого возможного решения или устанавливается, что оно не может быть получено данными средствами.

При решении конструктивных задач в учебных условиях рекомендуется пользоваться известной схемой решения, состоящей из следующих этапов:

o анализ;

o построение;

o доказательство;

o исследование.

Эта схема не является, безусловно, необходимой и неизменной, не всегда удобно и целесообразно строго разделять отдельные её этапы и в точности осуществлять их в указанном порядке. Однако по большей части указанная схема помогает при решении конструктивных задач.

Рассмотрим каждый этап этой схемы.

1. Анализ. Это подготовительный и в то же время наиболее важный этап решения задачи на построение, т.к. именно он даёт ключ к решению задачи. Цель анализа состоит в установлении таких зависимостей между элементами искомой фигуры и элементами данных фигур, которые позволили бы построить искомую фигуру. Это достигается с помощью чертежа-наброска, изображающего данные и искомые примерно в том расположении, как это требуется условием задачи. Этот чертеж можно выполнять "от руки". Иногда построение вспомогательного чертежа сопровождают словами: "предположим, что задача уже решена".

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения искомой фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанных в условии задачи. Например, если нужно построить треугольник по биссектрисе, медиане и высоте, проведённым из одной вершины, то при анализе удобнее сначала изобразить произвольный треугольник, а затем уже проводить в нём указанные в задаче линии.

В общем случае рассуждения ведётся следующим образом. Подмечают, что построение искомой фигуры Ф сводится к построению некоторой другой фигуры Ф. Затем подмечают, что построение фигуры Ф сводится к построению фигуры Ф и т.д. После конечного числа шагов можно прийти к некоторой фигуре Ф, построение кот4орой уже известно.

Полезно учесть следующие частные замечания, помогающие при проведении анализа.

1) Если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертёж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т.д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым.

2) Если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует изобразить на вспомогательном чертеже, если их ещё нет на нём.

3) В процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решённые задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, сходными с теми, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

4) Проводя анализ на основании изучения некоторого чертежа-наброска, мы невольно связываем свои рассуждения в известной мере с этим чертежом. Тот способ решения, к которому мы приходим на основании анализа, может оказаться пригодным лишь для некоторых частных случаев. Чтобы получаемый нами способ решения был пригоден для возможно более широкого выбора данных, желательно изображать искомую фигуру в возможно более общем виде.

2. Построение. Данный этап решения состоит в том, чтобы указать последовательность основных построений (или ранее решённых задач), которые достаточно произвести, чтобы искомая фигура была построена.

Построение обычно сопровождается графическим оформлением каждого его шага с помощью инструментов, принятых для построения.

3. Доказательство. Доказательство имеет целью установить, что построенная фигура действительно удовлетворяет всем поставленным в задаче условиям.

4. Исследование. При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причём предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно ещё выяснить следующие вопросы:

1) всегда ли (т.е. при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом;

2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить;

3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных.

Рассмотрение этих вопросов и составляет исследование. Т.о, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений. Иногда ставится также задача: выяснить, при каких условиях искомая фигура будет удовлетворять тем или иным дополнительным требованиям. Чтобы достигнуть необходимой планомерности и полноты исследования, рекомендуется проводить исследование "по ходу построения". Сущность этого приёма состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то сколькими способами. [3]

2.1.4 Методические рекомендации по обучению решению задач на построение

При решении с учащимися задач на построение возникают большие методические трудности. Дело в том, что при этом обычно преследуют две цели; решить данную задачу и вместе с тем научить школьников решать задачи на построение вообще, т.е. познакомить их с общими подходами к решению задач, показать, как путем анализа искомой фигуры, рассуждений, предположений отыскивается решение задачи.

Эта вторая задача значительно сложней, чем первая, и ее реализация требует от учителя большом кропотливой и систематической работы, особенно в средней школе, так как решение задач на построение - совершенно новый для учащихся вид работы. Во многих случаях отыскание хода решения новой задачи является для учащихся небольшим открытием и в то же время исследованием.

Трудность усугубляется еще и тем, что часто нахождение решения задачи представляет собой весьма сложный процесс, требующий от учащихся большого внимания. Для того чтобы эта работа протекала успешно, необходимо, чтобы учащиеся заинтересовались решением задач, чтобы они поняли, насколько интересна эта работа. Поэтому всегда следует поощрять проявление учащимися изобретательности, инициативы, самостоятельности в отыскании решения.

Также возникает проблема: как и в каком месте курса геометрии следует знакомить учащихся с общей схемой решения задач на построение. Здесь возникает два различных методических вопроса [10]. Первый из них - это вопрос о том_, с какого времени в преподавании геометрии при решении задач должны фактически производиться анализ, построение, доказательство, исследование? Второй вопрос, когда учащийся должен быть ознакомлен с логической схемой решения задачи.

Обращаясь к первому вопросу, заметим, что первым по времени вводимым элементом лучше выбрать построение в смысле перечисления и описания тех или иных операций. Здесь имеется в виду само описание процесса употребления инструмента ("прикладываем два острия ножек циркуля к точкам М и N, затем, не изменяя расстояния между остриями, помещаем одно из них в точку О" и т. п.). На более высокой ступени отдельные операции просто называются ("описываем из точки О окружность радиусом MN" или "опускаем из точки С перпендикуляр на прямую АВ"). Наконец, последней ступенью можно было бы считать ту, когда в качестве элементов построения могут называться и довольно сложные по своему выполнению, но хорошо известные учащимся задачи ("строим треугольник по гипотенузе и катету", "проводим из точки М касательную к окружности" и т. п.).

Вторым моментом по времени появления в школьном курсе лучше выбрать исследование задачи. Первый элемент исследования появляется при решении задачи о построении треугольника по трем сторонам, в виде вопроса о том, можно ли выбрать все три стороны произвольно. К этому должно скоро прибавиться знакомство с возможностью существования нескольких решений одной задачи. Этому моменту нужно придавать весьма большую принципиальную значимость. Дело в том, что слова "найти точку" обозначают требование "найти все точки, которые..." (а не просто "какую-либо точку, которая..."). Аналогично "решить уравнение" значит "найти все числа, которые удовлетворяют уравнению" (а не просто "какое-либо число, которое..."). "Построить окружность" - это "построить, все окружности, которые..." (а не просто "построить какую-либо окружность, которая...") и т. д.

Задачи на геометрические построения с двумя решениями (или более) - первый случай, когда учащийся встречается с такого рода выражениями в математике, и чрезвычайно важно, чтобы учащийся привыкал к ним с самого начала, с 7-8 класса. Иначе совершенно неизбежно возникновение в дальнейшем вопросов такого типа, как "зачем при извлечении корня брать оба знака". Сам термин "исследование" должен появиться много раньше, чем, скажем, термин "анализ".

...